®¹i häc CƠ CƠ SỞ SỞ CƠ CƠ HỌC HỌC MÔI MÔI TRƯỜNG TRƯỜNG LIÊN LIÊN TỤC TỤC VÀ VÀ LÝ LÝ THUYÊT THUYÊT ĐÀN ĐÀN HỒI HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 1(53) Chương Nhập môn phương pháp phần tử hữu hạn July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(53) NỘI DUNG 8.1 8.1.Mở Mởđầu đầu 8.2 8.2.Khái Kháiniệm niệmvề vềPhương Phươngpháp phápPTHH PTHH 8.3 8.3.Trình Trìnhtự tựphân phântích tíchbài bàitốn tốntheo theoPP PPPTHH PTHH 8.4 8.4.Phần Phầntử tửtam tamgiác giáctrong trongphép phépgiải giảitheo theochuyển chuyểnvịvị July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(53) 8.1 Mở đầu 8.1 8.1.Mở Mởđầu đầu Trong chương trước, ta giải toán phẳng theo ứng suất với việc sử dụng hàm ứng suất Airy dạng đa thức chuỗi lượng giác – lời giải lời giải giải tích Số tốn cho nghiệm giải tích ít, đặc biệt tốn khơng gian Với tốn khơng thể cho nghiệm giải tích, người ta thường tìm cách giải gần – kết khơng phải hàm giải tích mà giá trị đại lượng cần tìm số điểm định vật thể biên => Phương pháp số Phương pháp số: 9Giải phương trình vi phân: tích phân số, sai phân hữu hạn (rời rạc hóa tốn học, đưa phương trình vi phân phương trình đại số) 9Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH): rời rạc hố mơ hình vật thể - mơ hình tương thích, mơ hình cân mơ hình hỗn hợp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(53) 8.1 Mở đầu • Ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực • Các ứng dụng ‰ Cơ học/Hàng khơng/Xây dựng/ Cơng nghiệp tơ ‰ Phân tích kết cấu (tĩnh, động,tuyến tính/phi tuyến) ‰ Nhiệt/dịng chảy ‰ Điện từ ‰ Cơ học đất đá ‰ Sinh học ‰ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 5(53) 8.1 Mở đầu July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 6(53) 8.2 Khái niệm Phương pháp PTHH 8.2 8.2.Khái Kháiniệm niệmvề vềPhương Phươngpháp phápPTHH PTHH Miền xác định V vật thể chia thành số hữu hạn miền phần tử hữu hạn (finite element), liên kết với nút (node) e July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 7(53) 8.2 Khái niệm Phương pháp PTHH Trong phạm vi phần tử, đại lượng cần tìm lấy xấp xỉ hàm đơn giản gọi hàm dạng (shape function) hàm nội suy (interpolation function) Các hàm biểu diễn qua giá trị hàm điểm nút phần tử Số lượng giá trị nút gọi bậc tự nút Tổng số bậc tự nút phần tử số bậc tự phần tử ẩn số cần tìm tốn Tùy theo ý nghĩa vật lý hàm xấp xỉ mà người ta phân tích tốn theo mơ hình: • Mơ hình tương thích: ẩn số chuyển vị (được sử dụng rộng rãi hơn) • Mơ hình cân bằng: ẩn số ứng suất • Mơ hình hỗn hợp: ẩn số vừa ứng suất vừa chuyển vị Giả thiết: Các phần tử liên kết với nút Tại nút có chuyển vị nút lực nút Lực nút bao gồm lực tương tác phần tử tải trọng nút (tải tập trung nút, tải trọng phân bố qui đổi nút) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 8(53) 8.3 Trình tự phân tích tốn theo PP PTHH 8.3 8.3.Trình Trìnhtự tựphân phântích tíchbài bàitoán toántheo theoPP PPPTHH PTHH Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát Miền khảo sát V chia thành phần tử Ve có hình dạng thích hợp Số phần tử, hình dạng hình học, kích thước phần tử xác định Số điểm nút phần tử lất tùy thuộc vào dạng hàm xấp xỉ định chọn Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 9(53) Mesh Elements One-dimensional Planar Shell Solid July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 10(53) Ví dụ 8.2 Ta có: P2=qa/2 qa P2 = − P3 = −qa qa P4 = − P9 = −qa P4=qa/2 P3=qa P1 = P5 = P6 = P7 = P8 = P10 = qa T {P} = − {0 0 0 0} Phương trình viết cho kết cấu: July 2009 P9=qa [ K ].{ X } = {P} Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 48(53) Ví dụ 8.2 Bước 5: Áp đặt điều kiện biên Từ đặc điểm liên kết, ta có: X2 X = X = X = X = X 10 = => Loại bỏ X , X , X , X , X 10 vec tơ ẩn số a X1 X4 X3 2a => Loại bỏ P1 , P5 , P6 , P9 , P10 vec tơ tải trọng X6 X10 X8 X5 a X7 a => Loại bỏ dòng, cột 1, 5, 6, 9, 10 ma trận độ cứng [K] ⎤ ⎧X2 ⎫ ⎧1 ⎫ ⎡ 20 −12 ⎪2 ⎪ ⎢ 38 −6 ⎥ ⎪ X ⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ qa ⎪⎪ ⎪⎪ Et ⎢ ⎢ −12 28 −16 ⎥ ⎨ X ⎬ − ⎨1 ⎬ = ⎪ ⎪ 30 ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ −6 70 ⎥ ⎪ X ⎪ ⎪ ⎪ −16 40 ⎦⎥ ⎩⎪ X ⎭⎪ ⎩⎪0 ⎭⎪ ⎣⎢ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 49(53) X9 Ví dụ 8.2 Loại bỏ dịng, cột 1, 5, 6, 9, 10 ma trận độ cứng [K] Et 30 35 -10 -32 -3 0 0 -10 20 -12 -8 0 0 -32 38 0 -10 -6 0 6 -12 28 -10 0 -16 -3 -10 35 -32 0 -8 -10 0 20 -12 0 0 -6 -32 70 -32 -6 0 -16 -12 -32 40 -4 -12 0 0 -32 -4 32 0 0 -6 -12 12 July 2009 ⎧ P1 ⎫ ⎧ X1 ⎫ ⎪P ⎪ ⎪X ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ P3 ⎪ ⎪ X3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ P4 ⎪ ⎪ X4 ⎪ ⎪⎪ P5 ⎪⎪ ⎪⎪ X ⎪⎪ ⎨ ⎬ = ⎨P ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ X6 ⎪ ⎪ P7 ⎪ ⎪ X7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ P8 ⎪ ⎪ X8 ⎪ ⎪P ⎪ ⎪X ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9⎪ ⎪⎩ P1 ⎭⎪ ⎪⎩ X 10 ⎪⎭ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 50(53) Ví dụ 8.2 Phương trình để giải: ⎤ ⎧X2 ⎫ ⎧1 ⎫ ⎡ 20 −12 ⎪2 ⎪ ⎢ 38 −6 ⎥ ⎪ X ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ qa ⎪ ⎪ Et ⎪ ⎪ ⎢ −12 − ⎨1 ⎬ = 28 −16 ⎥ ⎨ X ⎬ ⎪ ⎪ 30 ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ −6 70 ⎥ ⎪ X ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ 0 −16 40 ⎦⎥ ⎪⎩ X ⎪⎭ ⎪⎩0 ⎪⎭ Nghiệm phương trình: July 2009 ⎧X2 ⎫ ⎧ 0,104 ⎫ ⎪X ⎪ ⎪0, 042 ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 15qa ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨X4 ⎬ = − ⎨ 0,104 ⎬ Et ⎪ ⎪X ⎪ ⎪ 0, 004 ⎪ 7⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ X ⎭⎪ ⎪⎩0, 042 ⎪⎭ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 51(53) Ví dụ 8.2 Ứng suất phần tử: Phần tử σ = [ D ][ B ]1 { X }1 = [ D ][ B ]1 { X X2 X5 X6 X3 X 4} T ⎧ ⎫ ⎪ 0,104 ⎪ ⎪ ⎧σ xx ⎫ ⎡ −16 −2 16 ⎤ ⎪ ⎧0,884 ⎫ ⎪ ⎪ q⎢ q⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ = − 1, 001 σ = ⎨σ yy ⎬ = − ⎢ −4 −8 ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ t t⎪ ⎪σ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ − − 0 0, 001 ⎣ ⎦ ⎪0, 042 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ 0,104 ⎭ Phần tử 2, July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 52(53) Ví dụ 8.2 Ứng suất nút: Ứng suất nút i σi σ ∑ = r n n - số phần tử có nút I, r – tên phần tử có nút i July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 53(53) Ansys application Example 1: Circular and circle Holes in a Plate Under Uniform Tension ( FEM Mesh and load condition July 2009 Distribution of x-stress Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 54(53) Example 2: Circular Disk Under Diametrical Compression FEM Mesh and load condition July 2009 Distribution of x-stress Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 55(53) Abaqus application Example 1: Circular and ellipse Holes in a Plate Under Uniform Tension FEM Mesh and load condition July 2009 Distribution of x-stress Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 56(53) BÀI TẬP LỚN Giải toán phẳng lý thuyết đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn chịu lực cho sơ đồ kèm theo Trình tự thực Vẽ lại với kích thước, liên kết tải trọng theo sơ đồ giao Chia thành phần tử tam giác theo gợi ý sơ đồ Đánh số tên phần tử, tên nút Gọi tên ẩn số chuyển vị nút, viết véc tơ chuyển vị nút Xác định ma trận độ cứng phần tử, kèm theo ký hiệu thành phần ma trận Tìm ma trận độ cứng chung cho tồn Tìm véc tơ lực nút Theo điều kiện biên, khử dạng suy biến ma trận độ cứng, thu gọn dạng phương trình để giải Giải phương trình Viết lại kết véc tơ chuyển vị nút Tính ứng suất phần tử 10 Tính ứng suất nút theo giá trị trung bình July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 57(53) Sơ đồ liên kết Số sơ đồ Điểm A Điểm B Điểm C Điểm D u=v=0 v=0 v=0 u=0 u=0 u=v=0 v=0 v=0 v=0 u=v=0 v=0 u=0 u=0 u=0 v=0 u=0 u=0 v=0 u=v=0 u=0 July 2009 u=0 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com Điểm E 58(53) Sơ đồ hình học Trong sơ đồ đây, phần tử hình tam giác vng cân có cạnh bên a A B D E I July 2009 C A C B D A E II Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com B C D E III 59(53) Sơ đồ tải trọng q Sơ đồ Sơ đồ q 2q q q 2q A July 2009 2q q B Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 60(53) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 61(53) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 62(53) ... biên => Phương pháp số Phương pháp số: 9Giải phương trình vi phân: tích phân số, sai phân hữu hạn (rời rạc hóa tốn học, đưa phương trình vi phân phương trình đại số) 9Phương pháp Phần tử hữu hạn. .. 6(53) 8. 2 Khái niệm Phương pháp PTHH 8. 2 8. 2.Khái Kháiniệm niệmvề v? ?Phương Phươngpháp phápPTHH PTHH Miền xác định V vật thể chia thành số hữu hạn miền phần tử hữu hạn (finite element), liên kết... 8. 2 8. 2.Khái Kháiniệm niệmvề v? ?Phương Phươngpháp phápPTHH PTHH 8. 3 8. 3.Trình Trìnhtự tựphân phântích tíchbài bàitốn tốntheo theoPP PPPTHH PTHH 8. 4 8. 4 .Phần Phầntử tửtam tamgiác giáctrong trongphép