®¹i häc CƠ CƠ SỞ SỞ CƠ CƠ HỌC HỌC MÔI MÔI TRƯỜNG TRƯỜNG LIÊN LIÊN TỤC TỤC VÀ VÀ LÝ LÝ THUYÊT THUYÊT ĐÀN ĐÀN HỒI HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 1(39) Chương Bài tốn đàn hồi phẳng hệ toạ độ vng góc July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(39) NỘI DUNG 7.1 7.1.Bài Bàitoán toánứng ứngsuất suấtphẳng phẳng 7.2 7.2.Bài Bàitoán toánbiến biếndạng dạngphẳng phẳng 7.3 7.3.Giải Giảibài bàitoán toánphẳng phẳngtheo theoứng ứngsuất suất Hàm Hàmứng ứngsuất suấtAiry Airy July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(39) Mở đầu Bài tốn khơng gian: tốn tổng qt, đại lượng tính tốn ứng suất, biến dạng, chuyển vị phụ thuộc vào ba biến số toạ độ không gian ba chiều Bài toán phẳng: Các đại lượng cần xác định phụ thuộc vào hai ba biến số toạ độ Loại tốn chia làm hai nhóm: tốn ứng suất phẳng toán biến dạng phẳng Bài toán ứng suất phẳng: vật thể chịu lực gây nên ứng suất mặt phẳng Chẳng hạn tường mỏng chịu lực phân bố chiều dày song song với mặt trung bình Bài tốn biến dạng phẳng: vật thể chịu lực gây nên biến dạng mặt phẳng Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm chịu tải trọng không đổi theo chiều dài thuộc lớp toán Để thuận tiện sử dụng tốn phẳng ta kí hiệu hệ trục mặt phẳng trung bình x, y thay cho x1, x2 trục vng góc với mặt trung bình theo phương chiều dày z July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(39) 7.1 Bài toán ứng suất phẳng 7.1 7.1.Bài Bàitoán toánứng ứngsuất suấtphẳng phẳng Giả thiết: - Tải trọng nằm mặt phẳng (xy) - Chiều dày bé so với kích thước cịn lại (h Phương pháp giải giống ¾ Bài tốn phẳng có ẩn số (3 ứng suất, biến dạng chuyển vị) Ta có phương trình để tìm nghiệm (2 pt cân bằng, pt động hình học pt vật lý) ¾ Các điều kiện biên tĩnh học để xác định số tích phân: σ xx l + σ xy m = f x* σ xy l + σ yy m = f y* ¾ Có phương trình tương thích ∇ (σ xx + σ yy ) = July 2009 (Biểu diễn biến dạng qua ứng suất kết hợp với phương trình cân bằng, lực thể tích =const) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 12(39) 7.3 Giải toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.2 Hàm ứng suất Airy cho toán phẳng Airy đề xuất cách giải toán đàn hồi phẳng: Thay cho việc xác định ba ẩn ứng suất dựa vào pt, cần xác định hàm nhất- hàm ứng suất Airy ϕ(x, y) thỏa mãn: Là Làhàm hàmhai haibiến biếnđộc độclập lập(x, (x,y)y) Khi Khibỏ bỏqua qualực lựcthể thểtích: tích: σ xx ∂ϕ = ∂y σ yy ∂ϕ = ∂x σ xy ∂ 2ϕ =− ∂x∂y Do giải theo ứng suất nên phải thoả mãn phương trình tương thích => Pt điều hồ Levy có dạng: 4 ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ϕ ∇ 4ϕ = + 2 + = ∂x ∂x ∂y ∂y July 2009 Phương trình điều hồ kép Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 13(39) 7.3 Giải toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy 7.3.4 Đường lối giải toán LTĐH Thông thường hàm ứng suất chọn: dạng đa thức, chuỗi lượng giác (khi tải trọng tác dụng lên biên không liên tục) a Đường lối thuận: Từ điều kiện tải trọng chuyển vị cho, giải trực tiếp pt bi điều hịa, từ xác định thành phần ứng suất => Khó khăn muốn có lời giải xác b Đường lối ngược: Giả thiết trước hàm ϕ, từ tìm ngược lại tải trọng từ đk bề mặt => Chỉ giải số toán đơn giản VD: Khảo sát chữ nhật, tam giác Cho trước đầy đủ dạng hàm ϕ suy ngược lại tải trọng đặt lên biên y y a c b x b July 2009 x Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 14(39) 7.3 Giải toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy Các bước giải: • Kiểm tra điều kiện: ∂ 4φ ∂ 4φ ∂ 4φ ∇ ϕ= +2 2 + =0 ∂x ∂x ∂y ∂y • Xác định thành phần ứng suất σ xx = ∂ ϕ ∂y 2 σ yy ∂ 2ϕ = ∂x σ xy ∂ 2ϕ =− ∂x∂y •Tìm tải trọng theo điều kiện biên Trên biên xác định cosin phương pháp tuyến n với hai trục x, y: l = cos(n,x) ; m = cos(n, y) σxxl + σyxm = fx* σxyl + σyym = fy* • Biểu diễn tải trọng biên (phương, chiều độ lớn) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 15(39) c Đường lối nửa ngược: Chọn hàm ϕ chứa số hệ số dạng ẩn, sau tìm biểu thức ứng suất, buộc biểu thức thỏa mãn đk biên, từ xác định hệ số số hạng chưa biết July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 16(39) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 17(39) ... DUNG 7. 1 7. 1 .Bài Bàitoán toán? ??ng ứngsuất suấtphẳng phẳng 7. 2 7. 2 .Bài Bàitoán toánbiến biếndạng dạngphẳng phẳng 7. 3 7. 3.Giải Giảibài bàitoán toánphẳng phẳngtheo theoứng ứngsuất suất Hàm Hàmứng ứngsuất.. .Chương Bài toán đàn hồi phẳng hệ toạ độ vng góc July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(39) NỘI DUNG 7. 1 7. 1 .Bài Bàitoán toán? ??ng... Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 7( 39) 7. 2 Bài toán biến dạng phẳng 7. 2 7. 2 .Bài Bàitoán toánbiến biếndạng dạngphẳng phẳng Chỉ tồn biến dạng mặt phẳng Đập nước γ xy ε x , ε y , γ xy εy