Rèn luyện kĩ giải toán "đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song" cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông : Giáo dục học: 60 14 10 / Nguyễn Thị Định ; Nghd : PGS.TS Bùi Văn Nghị Lí chọn đề tài Luật giáo dục nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt nam, năm 2005, ghi: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên” (chương I, điều 4); “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (chương I, điều 24) Những yêu cầu phản ánh nhu cầu đổi phương pháp giáo dục, để giải mâu thuẫn yêu cầu đào tạo người với thực trạng chậm đổi phương pháp dạy học nước ta Trong phân mơn Tốn học Hình học khơng gian phần quan trọng thiết thực, thông qua việc dạy học hình khơng gian, phát triển người học trí tưởng tượng cao, khả phân tích quan sát tốt, từ giáo dục cho học sinh phẩm chất cần thiết cho người lao động xã hội chủ nghĩa Tuy nhiên thực tế hình học khơng gian xem chủ đề hay khó dạy, khó học Học sinh thường lúng túng giải tập hình học khơng gian, có tư tưởng ngại sợ làm tập hình khơng gian, khả tưởng tượng khơng gian kém, chưa biết vận dụng lí thuyết vào giải tập Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn: dạy Toán dạy kiến thức, kĩ năng, tư tính cách, dạy kĩ có vị trí đặc biệt quan trọng, khơng có kĩ khơng thể phát triển tư khơng tìm lối cho việc giải vấn đề Một khó khăn người học tốn đứng trước tốn khơng biết đâu, tìm đường lối giải “Quan hệ song song không gian” nội dung quan trọng chương trình tốn học phổ thơng, nội dung tương đối khó với học sinh em bước đầu làm quen với hình học khơng gian, địi hỏi người giáo viên phải lựa chọn phương pháp dạy học tích cực để tạo niềm vui, hứng thú cho học sinh Từ lí trên, đề tài chọn là: “Rèn luyện kĩ giải toán “Đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song” cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông” Lịch sử nghiên cứu Đã có số cơng trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này, nghiên cứu việc xây dựng, vận dụng qui trình giải tốn G.Pơlya, qui trình xác định hình dạy tập đường thẳng mặt phẳng, quan hệ song song không gian Chẳng hạn như: “Rèn luyện kĩ xác định hình hình học không gian” - báo Bùi Văn Nghị (Tạp chí Thơng tin KHGD, số 60, tháng 3/1997); "Rèn luyện kĩ giải tốn Hình học khơng gian phương pháp tọa độ trường THPT" - Luận văn thạc sĩ Thái Thị Anh Thư, ĐHSP HN, năm 2004; "Rèn luyện kĩ giải toán thiết diện hình khơng gian chương trình Hình học 11 THPT" - luận văn thạc sĩ Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006 v.v Đề tài khác đề tài nói là: tập trung nghiên cứu kĩ giải toán hình học khơng gian giới hạn chương thứ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Đề tài nhằm đề xuất số biện pháp khả thi hiệu rèn luyện kĩ giải tập “Đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song” Từ đó, đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu là: - Hệ thống hóa sở lí luận kĩ giải vấn đề - Nghiên cứu kĩ giải tập hình học khơng gian - Nghiên cứu nội dung, mục tiêu dạy học “Đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song” - Đề xuất số biện pháp rèn luyện kĩ giải toán “Đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song” cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông - Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Đối tượng nghiên cứu khách thể nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học nội dung hình học khơng gian Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu quan hệ song song khơng gian Khách thể nghiên cứu: Tình hình dạy học trường THPT Văn giang - Hưng yên Mẫu khảo sát Lớp 11TN4; 11TN7 trường THPT Văn giang - Hưng yên Vấn đề nghiên cứu Rèn luyện kĩ giải toán đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song cho học sinh để mang lại hiệu cao? Giả thuyết khoa học Nếu vận dụng biện pháp đề xuất luận văn rèn luyện cho học sinh THPT kĩ giải vấn đề liên quan đến đường thẳng mặt phẳng khơng gian, quan hệ song song, góp phần nâng cao hiệu dạy hình học khơng gian trường phổ thông Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận + Phương pháp điều tra quan sát + Phương pháp thực nghiệm sư phạm Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm chương: Chương 1: Cơ sở lí luận thực tiễn Chương 2: Những biện pháp rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Định hướng đổi phương pháp dạy học phương pháp dạy học tích cực + Định hướng đổi phương pháp dạy học trường phổ thông Đổi phương pháp dạy học cần khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư sáng tạo người học, áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Rất cần phát huy tối đa lực tự học, học suốt đời thời đại bùng nổ thông tin Như cốt lõi đổi phương pháp dạy học hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động 1.2 Kĩ + Khái niệm kĩ Kĩ khả vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, ) để giải nhiệm vụ đặt Nói đến kĩ nói đến cách thức, thủ thuật trình tự thực thao tác hành động để đạt tới mục đích định Kĩ kiến thức hành động - Đặc điểm kĩ năng: Bất kĩ phải dựa sở lí thuyết, kiến thức Kiến thức sở kĩ kiến thức phản ánh đầy đủ thuộc tính chất đối tượng, thử nghiệm thực tiễn tồn ý thức với tư cách hành động Muốn có kĩ hành động cần phải: Có kiến thức để hiểu mục đích hành động, biết điều kiện, cách thức để đến kết quả, để thực hành động Tiến hành hành động với yêu cầu Đạt kết phù hợp với mục đích đề Có thể hành động có hiệu điều kiện khác Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ phải trải qua thời gian đủ dài - Sự hình thành kĩ Kĩ hình thành thơng qua q trình tư để giải nhiệm vụ đặt Thực chất hình thành kĩ tạo dựng cho học sinh khả nắm vững hệ thống phức tạp thao tác nhằm làm biến đổi sáng tỏ thơng tin chứa đựng tốn Có thể dạy cho học sinh kĩ đường khác + Kĩ giải tốn Đó khả vận dụng có mục đích tri thức kinh nghiệm có vào giải tốn cụ thể, thực có kết hệ thống hành động giải toán để đến lời giải toán cách khoa học - Các yêu cầu rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh trường THPT Giúp cho học sinh hình thành nắm vững mạch kiến thức xuyên suốt chương trình Giúp học sinh phát triển lực trí tuệ Coi trọng việc rèn luyện khả tính tốn Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất đạo đức thẩm mĩ - Một số kĩ cần thiết giải toán Hệ thống kĩ giải toán học sinh chia làm ba cấp độ: Biết làm, thành thạo sáng tạo việc giải toán cụ thể Trong giải tốn học sinh cần có nhóm kĩ sau: • Nhóm kĩ chung - Kĩ hiểu nội dung tốn - Kĩ tìm kiếm, đề chiến lược giải, hướng giải cho tốn • Nhóm kĩ thực hành - Kĩ vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán Kĩ rèn luyện q trình tìm tịi lời giải tốn - Kĩ tính tốn - Kĩ trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc vẽ đồ thị - Kĩ ước lượng, đo đạc - Kĩ tốn học hóa tình thực tiễn • Nhóm kĩ tư - Kĩ tổ chức hoạt động nhận thức giải toán - Kĩ tổng hợp - Kĩ phân tích - Kĩ mơ hình hóa - Kĩ sử dụng thông tin 1.3 Thực tiễn dạy học “đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song” chương trình hình học 11 nâng cao THPT 1.3.1.Mục đích yêu cầu chương đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song - Về kiến thức Trang bị cho học sinh số sở khoa học để hiểu rõ từ khái niệm ban đầu: điểm, đường thẳng, mặt phẳng quan hệ “thuộc”(đi qua), quan hệ vng góc, quan hệ song song, với tiên đề, định lí, khái niệm Giúp học sinh Nắm vững điều kiện xác định mặt phẳng Nắm vững vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng, đặc biệt quan hệ song song chúng Nắm cách xác định thiết diện hình cắt mặt phẳng Nắm cách vẽ hình biểu diễn hình Nắm vững định nghĩa cách vẽ ba hình khơng gian: hình chóp, hình lăng trụ hình chóp cụt - Về kĩ Chú trọng rèn luyện cho học sinh kĩ sau: Kĩ vẽ hình Các kĩ nhận dạng tập để lựa chọn đường lối giải Kĩ huy động kiến thức lí thuyết trang bị vào giải toán cụ thể Kĩ tự kiểm tra đánh giá, trình bày lời giải toán - Về phương pháp Chú trọng cho học sinh biết cách khai thác phương pháp khác nhau, lựa chọn ưu điểm phương pháp dạy học tích cực - Về việc phát triển lực tư phẩm chất trí tuệ cho học sinh Rèn luyện kĩ chứng minh suy diễn, khả lập luận có cứ, bồi dưỡng lực chứng minh, trọng phát triển trí tưởng tượng khơng gian 1.3.2 Những kĩ thuộc nội dung đường thẳng mặt phẳng không gian , quan hệ song song - Kĩ xác định hình: Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Xác định giao điểm đường thẳng mặt phẳng Xác định thiết diện đa diện với mặt phẳng - Kĩ chứng minh: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba đường thẳng đồng qui Chứng minh quan hệ song song khơng gian - Kĩ tính tốn - Kĩ tìm tập hợp điểm 1.3.3 Những khó khăn HS học nội dung đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song - Trong mặt phẳng ta xét quan hệ điểm đường thẳng khơng gian cịn có thêm quan hệ đối tượng mặt phẳng –một đối tượng Vì mối quan hệ trở nên phức tạp nhiều - Khó khăn việc vẽ hình biểu diễn hình khơng gian mặt phẳng - Khó khăn định hướng giải, cách giải toán khơng gian Chương 2: Mét sè biƯn ph¸p rÌn lun k giải tập đờng thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song sonG 2.1 Bin pháp 1: Rèn luyện kĩ tìm tịi lời giải theo bước giải tốn Pơlya Dạy học giải tập tốn khơng có nghĩa GV đơn cung cấp cho HS lời giải toán Biết lời giải tốn khơng quan trọng làm để tìm lời giải Để tạo hứng thú học tập cho HS, để phát triển tư duy, rèn luyện kĩ giải toán, rèn luyện tính độc lập, sáng tạo cho HS, GV phải hình thành cho em qui trình chung để giải tốn phương pháp tìm tịi lời giải Theo G.Polya nên rèn luyện kĩ thơng qua bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn Bước 2: Xây dựng chương trình giải tốn Bước 3: Trình bày lời giải Bước 4: Nghiên cứu kết toán Trong phần chúng tơi đưa ví dụ minh họa với hệ thống câu hỏi dẫn dắt giáo viên nhằm mục đích xây dựng cho học sinh cách thức phân tích, tìm tịi, định hướng để tìm đường lối giải cho toán 2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kĩ xác định hình Điều việc rèn luyện kĩ xác định hình hình thành thuật giải cho dạng toán cụ thể Mỗi thuật giải phát rèn luyện thông qua bước sau: - Nhìn nhận cách xác định hình thơng qua hệ thống toán cụ thể - Trên sở việc giải toán cụ thể, đề xuất qui trình xác định hình - Kiểm nghiệm lại qui trình hệ thống tập áp dụng Cách thức cụ thể cho dạng tốn sau: Dạng 1: Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng, định hướng để tìm đường lối giải, giáo viên cần phải có hệ thống câu hỏi dẫn dắt: GV: Một đường thẳng không gian hoàn toàn xác định nào? HS: Biết hai điểm phân biệt biết điểm phương đường thẳng Từ học sinh hình thành đường lối giải toán Cấu trúc nội dung sau: Một số toán mở đầu: Gồm ví dụ dạng tốn sau - Xác định giao tuyến cách tìm hai điểm chung phân biệt - Xác định giao tuyến nhờ định lí giao tuyến song song Điểm yếu học sinh xác định giao tuyến nhờ định lí giao tuyến song song lựa chọn định lí để vận dụng vào tốn cụ thể Vì để rèn kĩ xác định giao tuyến nhờ định lí giao tuyến song song, giáo viên nên cho học sinh hệ thống lại định lí liên quan, định lí giao tuyến song song Đề xuất qui trình giải Muốn xác định giao tuyến hai mặt phẳng phân biệt, ta có cách sau: Cách 1: Tìm hai điểm A, B thuộc hai mặt phẳng cho Giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng AB Để tìm điểm chung hai mặt phẳng ta phải tìm hai đường thẳng đồng phẳng thuộc hai mặt phẳng Trong nhiều trường hợp, nhìn đường sẵn có mặt phẳng, khơng tìm hai đường cắt mà phải tạo đường thẳng thuộc hai mặt phẳng Cách 2: Xác định giao tuyến nhờ định lí giao tuyến song song Các tốn áp dụng Ví dụ: Cho tứ diện ABCD, M điểm bên tam giác ABD; N điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau a) (AMN) (BCD) b) (DMN) (ABC) Hướng dẫn: Phải tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng (AMN) (BCD) Lời giải: Trong (ABD), AM ∩ BD = M’ Trong (ACD), AN ∩ CD = N’ Khi (AMN) ∩ (BCD) = M’N’ Trong (ABD), DM ∩ AB = E Trong (ACD), DN ∩ AC = F Khi (DMN) ∩ (ABC) = EF 10 Chú ý: Để tìm điểm chung hai mặt phẳng (P), (Q) ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng thuộc hai mặt phẳng Giao điểm hai đường thẳng điểm chung (P) (Q) Trong tìm giao tuyến hai mặt phẳng, ta chưa nhìn thấy điểm chung chúng, ta phải tạo hai điểm chung theo cách Dạng 2: Xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng Cấu trúc phần sau: Một số toán mở đầu Đề xuất qui trình giải Để tìm giao điểm đường thẳng d với (P), ta tiến hành bước sau: Bước 1: Tìm mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d mà có giao tuyến với (P) Bước 2: Tìm giao tuyến d’ (P) (Q) Trong (Q), d ∩ d’ = I I giao điểm d (P) Với qui trình giải vậy, HS dễ dàng việc xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng Các toán áp dụng Dạng 3: Xác định thiết diện Trong hình học khơng gian, tốn xác định thiết diện dạng tốn bản, chiếm tỷ lệ lớn xuyên suốt toàn chương trình Xác định thiết diện Cho trước khối đa diện T mặt phẳng (P) Nếu (P) có điểm chung với T (P) cắt số mặt T theo đoạn thẳng Phần mặt phẳng (P) giới hạn đoạn thẳng đa giác, gọi thiết diện T (P) Khi xác định thiết diện cần ý: - Bài toán xác định thiết diện tốn dựng hình cần trình bày phần cách dựng phần biện luận (nếu có) - Đỉnh thiết diện giao điểm (P) với cạnh T, cạnh thiết diện đoạn giao tuyến (P) với mặt T Do đó, thực chất việc xác định thiết 11 diện giải toán xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng xác định giao tuyến hai mặt phẳng Cấu trúc phần sau: Một số toán mở đầu: Gồm ví dụ minh họa cho phương pháp xác định thiết diện Phương pháp 1: Phương pháp giao tuyến gốc Ta biết để xác định giao tuyến hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung phân biệt tìm điểm chung phương giao tuyến Trong nhiều toán xác định thiết diện, ta thường sử dụng phối hợp cách Phương pháp 2: Xác định thiết diện định lí giao tuyến song song Cơ sở để xác định thiết diện trường hợp định lí giao tuyến song song Khi mặt phẳng ( α ) cho tính chất song song có trường hợp sau: - Trường hợp 1: ( α ) qua đường thẳng d1 song song với d2 (d1 d2 chéo nhau) Lúc ( α ) có đường thẳng d1 biết Ta cần xác định đường thẳng cắt d1 song song với d2 Đường thường xác định sau: Vì d2 // ( α ) nên ta chọn mặt phẳng ( β ) chứa d2 cho giao điểm A d1 ( β ) xác định Trong ( β ) dựng đường thẳng d2’ song song với d2, ( α ) mặt phẳng chứa d1 d2’ - Trường hợp 2: ( α ) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo cho trước Để xác định ( α ), trước tiên ta xét hai mặt phẳng (M; d1),(M; d2) Trong mặt phẳng xác định đường thẳng qua M, song song với d1và d2 Khi ( α ) mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa xác định Chú ý: Nếu (M; d2) khó xác định, ta cần xác định (M; d1), mặt phẳng dựng đường thẳng d1’ song song với d2, thiết diện xác định trường hợp 12 Đề xuất qui trình giải Để xác định thiết diện hình đa diện với mặt phẳng, ta phải xác định đoạn giao tuyến mặt phẳng với mặt hình đa diện Có thể xác định thiết diện phương pháp: Phương pháp 1: Phương pháp giao tuyến gốc Để xác định thiết diện T (P), trước hết tìm cách xác định giao tuyến (P) với với mặt phẳng chứa mặt T Trên mặt phẳng này, lấy giao điểm giao tuyến vừa tìm với đường thẳng chứa cạnh T Từ giao điểm tìm xác định giao tuyến (P) với mặt khác T Giao tuyến (P) với mặt T gọi giao tuyến gốc, từ giao tuyến ta xác định giao tuyến khác Cách xác định thường dùng mặt phẳng (P) cho dạng tường minh, tức cho ba điểm không thẳng hàng hay hai đường thẳng cắt hai đường thẳng song song Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, để xác định nó, thường phải giải tốn phụ: tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng để tìm thêm số điểm thiết diện Phương pháp 2: Xác định thiết diện định lí giao tuyến song song Các tốn áp dụng Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác SABCD, điểm H nằm cạnh SC Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) qua AH, song song với BD S H N I M D C O A B 13 Hướng dẫn: Từ giả thiết BD // (P) gợi ý cho ta nghĩ tới việc xác định giao tuyến (P) với mặt phẳng chứa BD Để lựa chọn mặt phẳng cần khai thác giả thiết (P) qua AH mà AH cắt SO, suy (P) (SBD) có điểm chung, từ xác định giao tuyến (SBD) (P) Lời giải: Gọi O giao điểm AC BD Trong (SAC), AH ∩ SO = I Vì BD // (P), (SBD) qua BD nên (SBD) cắt (P) theo giao tuyến MN // BD M ∈ SB, N ∈ SD Tứ giác AMHN thiết diện (P) hình chóp Nhận xét: Thực chất để xác định thiết diện hình chóp với (P) ta tạo thêm đường thẳng MN (P) để đưa (P) xác định tường minh 2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kĩ chứng minh Một nội dung quan trọng chương đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song hệ thống toán chứng minh Kĩ chứng minh chương chủ yếu thông qua dạng toán sau: - Chứng minh ba điểm thẳng hàng - Chứng minh ba đường thẳng đồng qui - Chứng minh quan hệ song song không gian Biện pháp rèn luyện kĩ là: thông qua số toán (làm mẫu) tập luyện cho HS vận dụng giải toán tương tự Trong cụ thể thực tiến trình giảng theo bước sau: Bước 1: Yêu cầu HS nhắc lại kiến thức liên quan đến toán Bước 2: Yêu cầu HS đề xuất giải pháp Bước 3: GV giúp đỡ HS thực giải pháp Bước 4: Rút học kinh nghiệm, điểm cần ý Tùy vào đặc điểm toán mà bước tổ chức cách linh hoạt Sau số ví dụ minh họa cho dạng toán: Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Cấu trúc phần sau: 14 Một số toán mở đầu: Gồm ví dụ, ví dụ có hướng dẫn giải để học sinh tự phát đường lối giải - Để chứng minh ba đường thẳng đồng phẳng ta xác định mặt phẳng qua hai ba đường chứng minh đường thứ ba nằm mặt phẳng - Để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Cách 1: Chứng minh chúng ba điểm chung hai mặt phẳng phân biệt Cách 2: Chuyển toán toán chứng minh thẳng hàng mặt phẳng - Trong số toán cần ý xét trường hợp xảy toán Các toán áp dụng Dạng 2: Chứng minh ba đường thẳng đồng qui Cấu trúc phần sau: Một số toán mở đầu Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng qui Cách 1: Tìm giao điểm hai đường chứng minh đường thứ ba qua giao điểm Bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng qui cuối qui chứng minh ba điểm thẳng hàng Cách 2: Dùng định lí giao tuyến ba mặt phẳng Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta cịn chứng minh qua điểm có hai đường thẳng song song với đường thứ ba 2.Các toán áp dụng Dạng 3: Chứng minh quan hệ song song không gian + Chứng minh hai đường thẳng song song Một số ví dụ mở đầu Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song Cách 1: Đưa hai đường thẳng vào mặt phẳng sử dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba Cách 3: Dùng định lí giao tuyến song song Các toán áp dụng 15 + Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Một số ví dụ mở đầu Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Cách 1: Chứng minh đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng a mặt phẳng (P) Ghi : Nếu đường thẳng a khơng có sẵn hình ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d lấy a giao tuyến (P) (Q) Cách 2: Chứng minh đường thẳng d nằm mặt phẳng (Q) mà (Q) // (P) Chú ý:Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, không sử dụng dấu hiệu , ta đưa đường thẳng cho vào mặt phẳng chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng cho Các tập áp dụng + Chứng minh hai mặt phẳng song song Một số ví dụ mở đầu Phương pháp chứng minh mặt phẳng song song Cách 1: Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng Cách 2: Chứng minh hai đường cắt mặt song song với hai đường cắt mặt Cách 3: Chứng minh hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba Các ví dụ áp dụng Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi I trung điểm SC, J điểm (ABCD) cách AB CD Chứng minh IJ song song với (SAB) Hướng dẫn: Dấu hiệu để chứng minh IJ song song với đường thẳng mặt phẳng (SAB) khơng có, vậy, để chứng minh IJ // (SAB) ta chứng minh IJ nằm mặt phẳng song song với (SAB) GV: Khai thác giả thiết J cách AB CD, J thuộc (ABCD) ta có điều gì? 16 HS: J nằm đường thẳng PQ // AB, P, Q trung điểm AD BC GV: IJ đưa vào mặt phẳng nào? HS: (IPQ) GV: Hãy chứng minh (IPQ) // (SAB) Lời giải: a) Vì J điểm thuộc (ABCD) cách AB CD nên J nằm đường thẳng PQ qua O song song với DC, P, Q trung điểm AD BC Ta có IQ // SB, PQ // AB, IQ PQ thuộc (IPQ), SB AB thuộc (SAB) suy (IPQ) // (SAB) Mà IJ ⊂ (IPQ) ⇒ IJ // (SAB) Chú ý: Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, không sử dụng dấu hiệu , ta đưa đường thẳng cho vào mặt phẳng chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng cho 2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ tính tốn Một kĩ việc giải toán chương đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song kĩ tính tốn Bài tốn tính tốn gặp nhiều dạng khác nhau: Tính độ dài đoạn thẳng, tính diện tích mặt đa diện, tính chu vi diện tích thiết diện, tính tỷ số Vấn đề dạng tập tính tốn tính độ dài đoạn thẳng phần lớn tốn tính tốn qui tính độ dài đoạn thẳng Để tính độ dài đoạn thẳng, ta có cách: - Đưa đoạn thẳng cần tìm vào tam giác xác định số yếu tố - Thiết lập tỷ số liên hệ đoạn thẳng cần tìm với đoạn thẳng biết 17 - Thiết lập đẳng thức liên quan đến đoạn thẳng cần tìm cách tính đại lượng hình học theo hai cách khác Điểm yếu HS giải toán tính tốn khơng biết tìm mối liên hệ yếu tố cho với yếu tố cần tính Để khắc phục điểm yếu đó, biện pháp chúng tơi là: Bước 1: Hướng dẫn HS phân tích toán, xác định yếu tố cho yếu tố cần tìm Để hướng dẫn HS phân tích toán, xác định yếu tố cho yếu tố cần tìm ta dùng hệ thống câu hỏi: Hỏi : “ Muốn tính đại lượng X ta cần tính đại lượng nào?” Trả lời : “Muốn tính X ta cần tính X1” Hỏi : “Muốn tính X1 ta cần tính đại lượng nào?” Bước 2: Trình bày lời giải Bước 3: Rút học kinh nghiệm, điểm cần ý Để giải tập tính tốn, cần sử dụng hai kĩ tính tốn tính trực tiếp tính gián tiếp Tính trực tiếp đại lượng hình học thiết lập biểu thức liên quan trực tiếp tới đại lượng cần tìm, xác định đại lượng trung gian có biểu thức, từ suy đại lượng cần tìm Tính gián tiếp biện pháp tính đại lượng trung gian thơng qua đại lường trung gian đó, xác định đại lượng cần tìm Cấu trúc phần sau: Một số tốn mở đầu Chú ý: Khi tính độ dài đoạn thẳng, ta chia đoạn thẳng cần tính thành nhiều đoạn thẳng tính độ dài đoạn thẳng Trong tốn tính tốn, có phận khơng nhỏ tốn tính diện tích thiết diện Để giải dạng tồn này, địi hỏi học sinh phải có kĩ xác định thiết diện tốt Để tính diện tích thiết diện cách thuận lợi cần xác định hình dạng thiết diện 18 Trong số tập tính diện tích thiết diện, ta tính theo hai cách: Cách 1: Tìm diện tích đa giác chứa thiết diện trừ diện tích đa giác trung gian Cách 2: Tính trực tiếp: Chia diện tích đa giác cần tính thành diện tích đa giác thành phần Đối với tốn diện tích thiết diện, ta gặp tốn cực trị hình học Để giải toán dạng này, cần phải tính diện tích thiết diện theo đại lượng biến thiên thiết lập bất đẳng thức lập bảng biến thiên cho biểu thức diện tích Điều quan trọng phải xác định điều kiện ẩn số Khi xác định thiết diện hình đa diện với mặt phẳng đó, giao điểm mặt phẳng với cạnh hình đa diện chia cạnh thành hai đoạn Ta thường gặp tốn tính tỷ số độ dài đoạn thiết diện chia cạnh đa diện Khi giải tốn tính tỷ số, ta thường tìm cách tạo yếu tố song song đưa đoạn thẳng tỷ số vào tam giác đồng dạng Các tốn áp dụng Ví dụ: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a N, P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh BC, CC’, C’D’ Tìm diện tích thiết diện (MNP) cắt hình lập phương Hướng dẫn: Bước 1: Hướng dẫn HS phân tích tốn - Xác định hình dạng thiết diện? - Tính diện tích thiết diện nhờ tam giác EHK tam giác ERQ, HSM, KPN chia diện tích cần tính thành diện tích có cơng thức tính Bước 2: Trình bày lời giải Ta có: PQ cắt CD DD’ theo thứ tự K, E NK cắt AB AD theo thứ tự M H HE cắt AA’, A’D’theo thứ tự S R Thiết diện lục giác MNPQRS Ta chứng minh thiết diện lục giác Thật vậy, ta dễ dàng chứng minh tam giác vuông ED’Q, QC’P, PCK Do đó: CK = D’E = CP = a 19 Cũng dễ dàng chứng minh BM = AM = AH = a Mặt khác, tam giác vuông AHS, D’ER nhau, suy S R trung điểm cạnh AA’, A’D’ Do đỉnh hình lục giác trung điểm cạnh hình lập phương cạnh lục giác nửa đường chéo hình vng, 2a Cũng theo chứng minh trên, tam giác ERQ, SHM, PNK tam giác nhau, : ERQ = EQR = HSM = = 600 ⇒ SRQ = RQP = RSM = = 1200 Vậy thiết diện lục giác Ta có: SMNPQRS = 6SOMN  a  3a2 = .OM.ON.sin600 = 3  =   Cách 2: S MNPQRS = SEHK - 3SREQ 2.5 Biện pháp 5: Rèn luyện kĩ tìm tập hợp điểm Bài tốn tìm tập hợp điểm tốn khó HS Đứng trước tốn tìm tập hợp điểm, HS thường khơng biết tìm mối liên hệ yếu tố di động với yếu tố cố định, không đổi tốn Một khó khăn HS khơng phân biệt rõ ràng nhiệm vụ cần giải phần tốn quỹ tích Cụ thể: Phần thuận: Cần điểm M di động thỏa mãn tính chất T nằm hình (H) Giới hạn: Từ vị trí yếu tố di động tốn, tìm giới hạn quỹ tích Phần đảo: Cần điểm thuộc hình (H) có tính chất T Để khắc phục những khó khăn học sinh, biện pháp đưa là: Đưa ví dụ cụ thể, tập luyện cho HS vận dụng giải tập tương tự Hình thành toán mẫu đưa phương pháp cụ thể cho loại 20 toán việc làm cần thiết giáo viên Từ học sinh giải tốn tương tự Để làm điều đó, cụ thể, chúng tơi thực tiến trình giảng theo bước sau: Bước 1: Hướng dẫn HS tìm đường lối giải Yêu cầu HS xác định rõ yếu tố cố định, khơng đổi tốn, xác định yếu tố di động tốn, từ đưa dự đốn tập hợp điểm cần tìm.Cần kết hợp với phần mềm dạy học để hỗ trợ HS dự đốn tìm giới hạn quỹ tích Trong chương này, tốn tìm tập hợp điểm hạn chế đường thẳng, mặt phẳng phần chúng, sở để giúp HS dự đoán tập hợp điểm dễ dàng Bước 2: Hướng dẫn HS trình bày lời giải Bước 3: Những học kinh nghiệm, điểm cần ý Cấu trúc phần sau: Các tốn mở đầu Để tìm tập hợp giao điểm hai đường thẳng phân biệt, ta tìm hai mặt phẳng cố định qua hai đường thẳng Ngồi yếu tố cố định sẵn có đề bài, nhiều phải tạo thêm yếu tố cố định khác Để tạo điểm cố định, lấy trung điểm đoạn thẳng cố định điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số không đổi, giao điểm hai đường thẳng cố định… Để tìm tập hợp điểm khơng gian, ta đưa điểm cần tìm tập hợp điểm vào mặt phẳng cố định sử dụng tập hợp điểm mặt phẳng Các toán áp dụng Tiểu kết chương Chương trình bày số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ giải tốn hình học không gian thông qua hệ thống tập xếp theo trình tự từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Các biện pháp chủ yếu là: - Rèn luyện kĩ tìm tịi lời giải theo bước giải tốn Pơlya 21 - Rèn luyện kĩ xác định hình: Xác định giao tuyến hai mặt phẳng phân biệt, xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng, xác định thiết diện - Rèn luyện kĩ chứng minh - Rèn luyện kĩ tính tốn - Rèn luyện kĩ tìm tập hợp điểm Những biện pháp đề xuất củng cố kiến thức đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song mà quan trọng rèn luyện kĩ giải tốn cho học sinh thơng qua hệ thống gồm 32 ví dụ 29 tập áp dụng Qua HS vừa trang bị tri thức phương pháp vừa rèn luyện kĩ hình học Chng 3: Thử nghiệm s phạm 3.1 Mục đích, nhiệm vơ thư nghiƯm s− ph¹m Thử nghiệm sư phạm nhằm kiểm định giả thuyết khoa học, đánh giá tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất qua dạy học đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song Từ nhiệm vụ thử nghiệm sư phạm là: - Biên soạn tài liệu dạy thử nghiệm số tiết học theo định hướng luận văn - Đánh giá kết thử nghiệm theo hai phương diện: tính khả thi (cách sử dụng, cách nhận biết, phạm vi sử dụng), tính hiệu (xét theo tiêu chuẩn dạy theo phương án đề xuất) 3.2 Tiến trình thử nghiệm Thử nghiệm sư phạm tiến hành khoảng thời gian từ tháng 11 đến tháng năm học 2008-2009 - Chọn lớp thử nghiệm: Vì nội dung luận văn rèn luyện kĩ giải tập hình học khơng gian nên chúng tơi chọn lớp 11TN4; 11TN7 (năm học 2008-2009), trường THPT Văn giang - Hưng yên Trong lớp thử nghiệm lớp 11TN4, lớp đối chứng lớp 11TN7, hai lớp lớp học theo chương trình nâng cao trường có kết học tập tương đương 22 3.3 Nội dung thử nghiệm Thử nghiệm dạy học 12 tiết chương đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song (chủ yếu tiết tập) Các tiết dạy thử nghiệm có giáo án cụ thể Chúng vận dụng số phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực HS phương pháp dạy học khám phá, phương pháp phát giải vấn đề kết hợp với sử dụng công nghệ thông tin Theo hướng giáo viên đóng vai trị người tổ chức điều khiển học sinh thực nội dung thử nghiệm Để phát huy tính sáng tạo học tập HS, GV chuẩn bị trước hệ thống tập xếp theo dạng, hệ thống câu hỏi, toán gợi ý ghi vào phiếu học tập Vì khn khổ luận văn có hạn, đưa soạn chi tiết để minh họa 3.4 Kết thử nghiệm kết luận rút từ thử nghiệm + Về khả lĩnh hội kiến thức HS Mức độ khó khăn thể qua hệ thống tập phù hợp với trình độ nhận thức HS lớp 11 Nhìn chung HS có khả tiếp nhận nắm cách giải dạng toán đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song HS tự giải số hệ thống tập Còn số HS chưa làm sau có gợi ý GV, số em giải Các tình gợi vấn đề, biện pháp sư phạm xây dựng luận văn góp phần tạo hứng thú cho HS, lơi HS vào q trình tìm hiểu, giải tốn HS từ chỗ chưa có phương pháp học hình khơng gian, chưa biết cách suy luận để giải tập hình khơng gian, qua q trình học tập theo định hướng luận văn có kĩ phương pháp học tập Từ chỗ sợ học hình khơng gian, em tìm hứng thú học tập tập hình khơng gian khơng cịn nỗi ám ảnh em Sau đợt thử nghiệm, HS có kĩ xác định hình, tính 23 tốn, chứng minh, tìm tập hợp điểm , qua HS phát triển khả tư độc lập, tích cực sáng tạo + Về kết kiểm tra Trong đợt thử nghiệm cho HS làm kiểm tra Sau kết kiểm tra Kết kiểm tra Điểm 10 Số 11TN4 (Lớp TN) 12 48 11TN7 (Lớp ĐC) 12 10 1 48 Lớp Lớp 11TN4 có 93,8 0 HS đạt điểm trung bình, có 66,7 0 đạt điểm giỏi Lớp 11TN7 có 72,9 0 HS đạt điểm trung bình, có 27 0 đạt điểm giỏi Nhìn chung em HS lớp 11TN4 nắm vững vận dụng tương đối tốt kĩ giải toán Một số em có lời giải hay sáng tạo Qua kết thử nghiệm ta thấy: Nếu vận dụng biện pháp rèn luyện kĩ nêu luận văn - Có khả tạo mơi trường cho HS học cách tự khám phá, tự phát giải vấn đề hình học khơng gian - Có khả góp phần phát triển tư tốn học cho HS KẾT LUẬN Q trình nghiên cứu đề tài dẫn đến kết đóng góp chủ yếu sau: Làm sáng tỏ khái niệm kĩ kĩ giải toán, đặc điểm kĩ năng, hình thành kĩ năng, yêu cầu biện pháp rèn luyện kĩ giải toán, đặc biệt kĩ giải dạng tập chương đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song 24 Đề xuất định hướng sư phạm biện pháp sư phạm phù hợp với định hướng đổi phương pháp dạy học để hình thành phát triển số kĩ năng, đồng thời đưa ý cần thiết để hướng dẫn thực biện pháp Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ tìm tịi lời giải theo bước giải tốn Pơlya Biện pháp 2: Rèn luyện kĩ xác định hình Biện pháp 3: Rèn luyện kĩ chứng minh Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ tính tốn Biện pháp 5: Rèn luyện kĩ tìm tập hợp điểm Làm rõ tiềm phát triển kĩ giải số loại toán Cung cấp kĩ cần thiết để giải số loại toán đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song, đồng thời cung cấp kĩ cần thiết để giải toán hình học khơng gian nói chung Những kết thu qua thử nghiệm sư phạm biện pháp sư phạm thực tiễn dạy học thân tác giả minh họa tính khả thi hiệu biện pháp đề xuất Qua tiết dạy thực nghiệm, học sinh hoạt động, tư sáng tạo cá nhân nhóm phát huy Các kết luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh dạy học hình học không gian, đặc biệt dùng làm tài liệu để luyện thi đại học Toàn kết cho thấy nhiệm vụ nghiên cứu luận văn hoàn thành, giả thuyết khoa học đặt luận văn khẳng định Tuy nhiên trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 25 ... dạy học “Đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song” - Đề xuất số biện pháp rèn luyện kĩ giải toán “Đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song” cho học sinh lớp 11 Trung học phổ. .. niềm vui, hứng thú cho học sinh Từ lí trên, đề tài chọn là: ? ?Rèn luyện kĩ giải toán “Đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song” cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông? ?? Lịch sử nghiên... khái niệm kĩ kĩ giải toán, đặc điểm kĩ năng, hình thành kĩ năng, yêu cầu biện pháp rèn luyện kĩ giải toán, đặc biệt kĩ giải dạng tập chương đường thẳng mặt phẳng không gian, quan hệ song song 24