Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH( PHẦN 7)
S THI CHN HC SINH GII THNH PH LP - Nm hc 2015-2016 MễN :TON Thi gian lm bi : 150 phỳt ( thi gm cõu, trang) Bi 1( 2.0 im) 1.1) Chng minh rng vi x > 0, x 1, biu thc sau khụng ph thuc vo bin: x + x +1 x x +1 x + x x x x x + x x x x +1 1.2) Cho x = + Tớnh giỏ tr ca biu thc f ( x) = x + 3x Bi ( 2.0 im) 2.1) Cho phng trỡnh x mx + m = (1) (x l n s) nh m hai nghim x1 , x2 ca (1) tha x12 x22 =4 x1 x2 2.2) Gii phng trỡnh: x x + 16x = Bi 3(2.0 im) 3.1) Cho A = k4 + 2k3 16k2 2k + 15 vi k Z Tỡm iu kin ca k A chia ht cho 16 3.2) Cho x, y, z > v x + y + z = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P= 1 1 + + + 2 xy yz xz x +y +z Bi 4( 3.0 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, tia phõn giỏc ca gúc BAC ct cnh BC ti D Gi E, F theo th t l hỡnh chiu vuụng gúc ca D trờn AB, AC t AC = b, AB = c, BC = a, AD = d 4.1) Tớnh chu vi v din tớch t giỏc AEDF theo d 4.2) Chng minh rng : 1 = + d b c 4.3) Chng minh rng : A Sin + B Sin + C Sin >6 Bi ( 1.0 im) Nn nh hỡnh ch nht c lỏt kớn bng cỏc viờn gch hỡnh ch nht kớch thc 1x3 v ming hỡnh ch nht 1x1 Hi cú th lỏt li nn nh y ch bng mt loi gch 1x3 hay khụng ? Ht P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 1) LP - Nm hc 2015-2016 MễN :TON Thi gian lm bi : 150 phỳt (Hng dn chm gm trang) Chỳ ý: - Thớ sinh lm bi theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im ti a ng vi im ca bi ú - im ca bi thi l tng im ca cỏc bi lm ỳng v khụng c lm trũn Bi ỏp ỏn im 1.1.( 1.0 im) x + x +1 Vi x > 0, x 1, rỳt gn c: x+ x v (2.0 ) x2 + x x x x x +1 x x +1 = x x x ( x 1) x ( x 1) = 0,25 0,25 x + x +1 x x +1 x + x x x x Suy : = - (pcm !) x + x x x x +1 0,5 1.2( 1.0 im) Ta cú x3 = ( +2 x3 = + + 3 x3 = 3 ( ( ) 5+2 )( 0,25 ) )( + = 3x f ( x) = 3x + 3x = 2.1 ( 1.0 im) +2 ) 0,25 0,25 0,25 Cho phng trỡnh x mx + m = (1) (x l n s) nh m hai nghim x1 , x2 ca (1) tha (2.0 ) x12 x22 =4 x1 x2 Vỡ a + b + c = m + m = 0, m nờn phng trỡnh (1) cú nghim x1 , x2 1, m 0,25 T (1) suy : x = mx m x12 x22 mx m mx2 m =4 =4 x1 x2 x1 x2 m ( x1 1)( x2 1) = m = m = ( x1 1)( x2 1) 0,25 0,5 2.2 ( 1.0 im) Gii phng trỡnh x2 - x - + 16x = KX: x 16 Khi ú phng trỡnh x2 - x = 2( + 16x + 1) Xột: + 16x + = 2y ( y ) + 16x = 4y -4y + 4y - 4y = 16x y - y = 4x (*) 2 0,25 y y = 4x (x y)(x + y + 3) = x x = 4y Ta cú: x = y x + y + = (loại x - y ) 16 0,25 Vi x = y thay vo (*) x2 - x = 4x x2 - 5x = x(x - 5) = x = (thoả mãn) x = (loại) 0,25 Vy phng trỡnh cú nghim nht l: x = 0,25 (2.0 ) 3.1( 1.0 im) Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 vi k Z Vi k Z ta xột cỏc trng hp sau: TH1: k chn A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 l mt s l A khụng chia ht cho A khụng chia ht cho 16 (loi) (1) TH2: k l, ta cú: A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k l k - 1; k + 1; k - 3; k + u chn A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) M2.2.2.2 = 16 (tho món) (2) T (1) v (2) vi k Z m k l thỡ A luụn chia ht cho 16 0,25 0,25 0,25 0,25 3.2 ( 1.0 im) 1 + + (vi A, B, C > 0) A B C A+B+C 1 + + vi x, y, z > ta cú: xy yz zx xy + yz + zx p dng bt ng thc: P P ( + 2 x +y +z xy + yz + zx x +y +z + 2 + 1 + )+ xy + yz + zx xy + yz + zx xy + yz + zx + 2 x + y + z + 2xy + 2yz + 2zx xy + yz + zx 9 21 + + 30 = 2 xy + yz + zx (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z)2 0,25 0,25 (Do 3(xy + yz + zx) (x + y + z)2 v x + y + z = 1) Du "=" xy v ch x = y = z = Vy Pmin = 30 x = y = z = 0,25 0,25 (3.0 ) A F E H B C D 4.1 ( 1.0 im) T giỏc AEDF cú gúc DEA bng gúc EAF bng gúc AFD bng 900 0,25 T giỏc AEDF l hỡnh ch nht m cú AD l tia phõn giỏc ca gúc A nờn t giỏc AEDF l hỡnh vuụng Xột AED vuụng cõn ti E P dng nh lý Pitago ta cú AD2=AE2+ED2 => AD2 =2AE2 0,25 d AE= 0,25 Vy chu vi t giỏc AEDF bng 2d 0,25 Din tớch t giỏc AEDF bng d2 4.2 ( 1.0 im) Ta cú SABC = SABD+ SACD 1 AB AC = AB.DE + AC.DF 2 b.c = c d + b d 2 2 0,25 0,25 bc = c d + b d 2 2bc = cd + bd 1 = + d b c 0,25 0,25 4.3 ( 1.0 im) K BH vuụng gúc vi AD ti H Xột ABH vuụng ti H S in A BH BD = AB AB 0,25 Theo tớnh cht ng phõn giỏc tacú: a b+c BD CD BD + CD BC = = = = AB AC AB + AC AB + AC 0,25 b+c A a =>S in => Sin A a b+c c+a a+b ; B C Tng t: Sin b c Sin 2 1 c+b c+a a +b + + + + => Sin A Sin B Sin C a b c 2 => Sin A + Sin B + Sin C p dng Cosi ta cú : Sin A c b c a a b + + + + + a a b b c c + B Sin + C Sin Du "=" xy v ch a=b=c hay tam giỏc ABC u, trỏi gi thit tam giỏc ABC vuụng => (1.0 ) Sin A + Sin B + Sin C >6 0,25 0,25 Ta cú nhn xột sau: Nn nh cú ớt nht mt kớch thc l s nguyờn chia ht cho Tht vy , gi thit phn chng khụng phi nh vy, ú hoc kớch thc ca nn nh cú dng: a) 3k + 1; 3q + 1, ú din tớch S ca nn nh l: 0,25 S = ( 3k + 1)(3q + 1) S khụng chia ht cho b) k + 1; 3q + 2, ú din tớch S ca nn nh l: S = ( 3k + 1)(3q + 2) S khụng chia ht cho c) k + 2; 3q + 2, ú din tớch S ca nn nh l: 0,25 S = ( 3k + 2)(3q + 2) S khụng chia ht cho Nh th ta luụn cú S khụng chia ht cho ( 1) Mt khỏc, vỡ nn nh ó cho lỏt kớn c bng cỏc viờn gch 1x3 v viờn 1x1 Do ú S = 3n + 3, õy n l s viờn gch 1x3 dựng Nh th li cú S chia ht cho ( 2) T ( 1) v (2) suy vụ lý, vy gi thit phn chng l sai Nhn xột c 0,25 chng minh Quay tr li bi toỏn: Lỏt viờn gch 1x3 theo chiu cnh ca hỡnh ch nht cú kớch thc chia ht cho Lm nh vy s lỏt kớn c nn nh ó cho m ch phi dựng mt loi gch cú kớch thc 1x3 0,25 Vy cú th lỏt li nn nh y ch bng mt loi gch 1x3 Ht S THI CHN HC SINH GII THNH PH LP - Nm hc 2015-2016 MễN: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt Bi (2,0 im) (1,0 im) Rỳt gn A = 13 + + + 2 + 13 + + 2 x + y + z = 2 (1,0 im) Cho x, y, z > v ; x + y + z = x y z + + ữ Hóy tớnh P = (1 + x )(1 + y )(1 + z ) ữ 1+ x 1+ y 1+ z Bi (2,0 im): (1,0 im) Gii phng trỡnh x x + 12 x = 36 (1,0 im) Tỡm k Z cỏc nghim ca phng trỡnh sau l cỏc s hu t kx + ( 2k 1) x + k + = Bi (2,0 im): (1,0 im) Tỡm cỏc s nguyờn dng x, y bit (x + y)5 = 120y + (1,0 im) Cho a, b > 0, tha ab > 2015a + 2016b Chng minh a + b > ( 2015 + 2016 ) Bi (3,0 im): (1,0 im) Tam giỏc ABC u, cnh a ni tip ng trũn (O; R) im M tựy ý thuc ng trũn Chng minh MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 (2,0 im) Tam giỏc ABC nhn (AB < AC), ni tip ng trũn (O), hai ng cao BD, CE, gi I l trung im DE, tia AI ct ng trũn (O) ti im M khỏc A Gi N l im i xng ca M qua BC a Chng minh AD BN = AE CN b Chng minh cỏc gúc BNC v DNE bng Bi (1,0 im) Cho ng gp khỳc khộp kớn cú di bng Chng minh rng luụn tn ti mt hỡnh trũn cú bỏn kớnh R = cha ton b ng gp khỳc ú - Ht - P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 2) Lp - Nm hc 2015 - 2016 MễN: TON (Hng dn chm gm 04 trang) Chỳ ý: Bi - Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im ti a - im bi thi khụng lm trũn ỏp ỏn im 1.(1im) A = 13 + + + 2 + 13 + + 2 A = 13 + + + 2 + 13 + + 2 A2 = 13 + + + 2 + 13 + + + 13 + + + + 13 + + 2 0,25 ( ) ( = 26 + 2 + 13 + + 2 ) Bi (2,0 im) = 26 + 2 + 169 + 26 + 25 + 2 ( = 26 + 2 + 46 24 = 26 + 2 + ( ) ) ( 12 ) 0,5 0,25 = 26 + 2 + 12 = 50 A = ( A >0) 2.(1im) t a = x ; b = y ; c = z (a, b, c > 0) a + b + c = Bi toỏn tr thnh: Cho a, b, c > v (I) 2 a + b + c = 0,25 0,25 b c a + + 2 ữ 1+ a 1+ b 1+ c 2 Hóy tớnh P = (1 + a )(1 + b )(1 + c ) 0,5 T gi thit (I), ta chng minh c ab + bc + ca = Tớnh c kt qu P = 1.(1im) iu kin: x (*) Khi ú phng trỡnh tng ng vi x x + = 36 12 x + x ( x 1) = ( x 1) Bi (2,0 im) ( ( ( ) 0,25 x x x + x ) ( )( ) = x 1 x + x 1+ x = ) ( x7+ ) x = x + = x x = (tha iu kin) x = x Vy x = 0,5 0,25 2.(1im) Xột phng trỡnh kx2 + (2k 1)x + k = (1) 0,25 + Nu k = (1) tr thnh x = x = (tha món) + Nu k khỏc V = (2k 1)2 4.k(k 2) = 4k2 4k + 4k2 + 8k = 4k + Vỡ k Z 4k + Z (1) cú nghim hu t 4k + l s chớnh phng t 4k + = n2 (n Z) m 4k + l n l n = 2p + (p Z) Vy 4k + = (2p + 1)2 k = p(p + 1) Vy k l tớch hai s nguyờn liờn tip 0,5 0,25 1.(1im) Ta cú (x + y)5 = 120y + < 120(x + y) 0,25 (x + y)4 < 120 < 44 x + y < Do x, y Ơ , nờn x + y < , m 120y + l s l, nờn suy 0,5 0,25 x + y l s l, suy x + y = Vy 35 = 120y + y = 2, dn n x = 2.(1im) Bi (2,0 im) 2015 2016 + T gi thit, suy > , b a 2015a 2016b + 2016 ; b > 2015 + suy ra: a > , a b 2015a 2016b + + 2015 Vy a + b > 2015 + b a 2015a 2016b 2015 + + 2016 = 2015 + 2016 b a ( 0,5 0,5 ) 1.(1im) A B C M Xột trng hp im M thuc cung nh BC (cỏc trng hp khỏc lm tng t) 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) tõm, k ng trũn ( O ;1) Khụng cú im no nm ngoi ca O1 v O2 0,25 im Tht vy, gi s tn ti C nm ngoi O1 v O2 thỡ ta cú AB >1; BC >1; AC > vụ lý vỡ im A, B, C phi cú im cú khong cỏch nh hn 0,25 im Vy 25 im nm ng trũn nờn theo nguyờn lý Dirichlet ng trũn cú ớt nht 13 im ó cho 0,25 im Ht - - Ht - S THI CHN HC SINH GII THNH PH LP - Nm hc 2015-2016 MễN:TON Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm cõu, 1trang) Bi 1: ( 2.0 im) 2ab Xột biu thc P = b2 +1 1.1 Chng minh P xỏc nh Rỳt gn P 1.2 Khi a v b thay i, hóy tỡm giỏ tr nh nht ca P Bi 2: ( 2.0 im) Cho cỏc s dng a; b v x = a+x+ ax + a + x a x 3b 2.1 Cho phng trỡnh x + 2( m ) x + m 2m + = Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x1 , x2 tha 1 = x + x2 x1 x2 15m 2.2: Gii h phng trỡnh ỡù x3 = 2y - x ùù ùù y = 2x - y ùợ Trang 42 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) Bi 3: ( 2.0 im) 3.1: Chng minh rng nu n l s t nhiờn cho n+1 v 2n+1 u l cỏc s chớnh phng thỡ n l bi s ca 24 3.2: Cho a, b, c > v a + b + c = Chng minh rng a b c + + b + ab c + bc a + ca Bi 4: (3.0 im) Cho na ng trũn (O, R) ng kớnh AB, EF l dõy cung di ng trờn na ng trũn cho E thuc cung AF v EF = R , AF ct BE ti H, AE ct BF ti C, CH ct AB ti I a Tớnh gúc CIF b Chng minh AE.AC + BF BC khụng i EF di ng trờn na ng trũn c Tỡm v trớ ca EF t giỏc ABFE cú din tớch ln nht Tớnh din tớch ú Bi 5: (1.0 im) Trong mt gii c vua cú kỡ th tham gia, thi u vũng trũn mt lt, thng c im, hũa c 0,5 im, thua c im Bit rng sau tt c cỏc trn u kt thỳc thỡ c tỏm kỡ th nhn c cỏc s im khỏc v kỡ th xp th hai cú s im bng tng im ca kỡ th xp cui cựng Hi vỏn u gia kỡ th xp th t v kỡ th xp th nm ó kt thỳc v kt qu nh th no? Ht P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S ) Lp - Nm hc 2015 - 2016 MễN:TON Chỳ ý: - Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im ti a - im bi thi khụng lm trũn Bi ỏp ỏn 1.1( im) Trang 43 im B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) ( im) Ta cú: a; b; x > a + x > (1) a (b 1) Xột a x = (2) b +1 Ta cú a + x > a x a + x a x (3) T (1); (2); (3) P xỏc nh Rỳt gn: 2ab a (b + 1) Ta cú: a + x = a + = b +1 b +1 a a + x = (b + 1) b +1 2ab a (b 1) a - x =a = b +1 b +1 a a x = b b +1 a a (b + 1) + b b +1 b +1 + = b +1+ b + P= 3b b + b 3b a a (b + 1) b +1 b +1 b + = + Nu < b < P = 2b 3b 3b P = b + = 3b + + Nu b 3b 3b 0,25im 0,5 im 0,25 im 1.2( im) Xột trng hp: 4 P> 3b b 2b = + + + Nu b , a dng tu ý thỡ P = b + 3b 3b p dng bt ng thc Cụ-si cho s dng b + , du bng xy v ch b = 3b 2b , du bng xy v ch b = Mt khỏc: 3 2 Vy P + = , du bng xy v ch b = 3 KL: Giỏ tr nh nht ca P = + Nu < b < 1, a dng tu ý thỡ P = Trang 44 0,25 im 0,5 im 0,25 im B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) 2.1( im) PT ó cho cú hai nghim phõn bit khi: '> ( m ) m 2m + > m < (*) ( ) 0,25 im x1 + x2 = 2m Vi m < theo Vi-et ta cú: x1 x2 = m 2m + 1 1 = = Ta cú 2 x1 + x2 x1 x2 15m ( x1 + x2 ) x1 x2 x1 x2 15m 1 = m 6m + m 2m + 15m 1 = 4 (1) m + m + 15 m m t m + = t m < t < m 0,5 im t = 1 = t = ( t < ) Ta cú (1) tr thnh t t 15 t = 12 Vi t = ta cú m + = m = tha (*) m Vy vi m = -2 thỡ phng trỡnh cú hai nghim tha iu kin 0,25 im bi ( im) 2.2 ( im) ỡù x3 = 2y - x ( 1) ùù ùù y = 2x - y ( 2) ùợ Ly (1) tr (2) v theo v ta cú : x3 y = ( y x ) ( ) ( x y ) x + xy + y = ( x y ) Suy x = y hoc x + xy + y = 2 Vỡ x + xy + y > nờn x + xy + y = vụ nghim Vy x = y T (1) suy x3 = x x x = x x = hoc x = hoc x = -1 Vy h phng trỡnh cú cỏc nghim l (0 ;0) ; ( ;1) ; ( -1 ;-1) 3.1.( iờm) Vỡ n+1 v 2n+1 l cỏc s chớnh phng nờn t n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N) Trang 45 0,5 im 0,5 im B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) Ta cú m l s l m = 2a+1 m2 = 4a (a+1) + 4a(a + 1) m2 n= = = 2a(a+1) 2 n chn n+1 l k l t k = 2b+1 (Vi b N) k2 = 4b(b+1) +1 n = 4b(b+1) n (1) Ta cú k2 + m2 = 3n + (mod3) Mt khỏc k2 chia cho d hoc 1, m2 chia cho d hoc Nờn k2 + m2 0,5 im (mod3) thỡ k2 (mod3) m2 (mod3) m2 k2 hay (2n+1) (n+1) n (2) M (8; 3) = (3) T (1), (2), (3) n 24 ( im) 0,5 im 3.2 ( im) p dng bt ng thc Cauchy ta cú: a b b 1 11 = = + 1ữ b + ab b a + b b ab b a b a b 11 c 11 + 1ữ, + 1ữ Tng t: c + bc c b a + ca a c Cng ba bt ng thc ny li v theo v, ta c a b c 31 1 + + + + ữ b + ab c + bc a + ca a b c 0,5 im Bi toỏn c quy v chng minh 1 3 1 + + ữ + + 4a b c a b c + a ữ+ + b ữ+ + c ữ + a + b + c = ( 1) a b c 0,25 im Theo bt ng thc Cauchy ta cú: 1 + a 2, + b 2, + c a b c ng thc xy v ch a = b = c = 0,25 im Trang 46 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) a.( im) ( im) BE, AF l hai ng cao ca ABC CI l ng cao th ba 0,25im hay CIAB T giỏc IHFB ni tip HIF = HBF hay CIF = EBF EOF u nờn EOF = 600 0,5 im cung EF = 600 CIF = EBF = 300 0,25im b.( im) - Chng minh ACI : ABE AC AI = AC AE = AB AI AB AE BC BI = BC.BF = BA.BI -Tng t BCI : BAE suy ra: BA BF Suy 0,25im 0,25im - Cng c: AE.AC + BF BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) 0,5 im = AB2 = const c.( im) - Chng minh ABC ng dng vi FEC 0,25im S FEC EF R = = = S ABFE = S ABC 0,25im S ABC AB 2R - S ABFE ln nht S ABC ln nht CI ln nht C chy trờn - cung cha gúc 600 v trờn AB nờn CI ln nht I O CAB cõn EF // AB 0,5im Trang 47 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) ( im) Sau gii u kt thỳc s vỏn c ó thi u gia kỡ th cui cựng l ( 4.3) : = Sau mi vỏn tng s im ca hai kỡ th t c l Vỡ th tng s im s ca cu th cui cựng khụng ớt hn im Nu s 6,5 thỡ s im ca kỡ th xp th hai l s 6,5 Do kỡ th c cỏc s im khỏc nờn d thy kỡ th xp th nht cú s im khụng ớt hn s + 0,5 Do kỡ th th nht u trn nờn iu ny ch xy s + 0,5 = Suy s = 6,5 v kỡ th xp th nht thng c vỏn Suy kỡ th xp th hai thng khụng quỏ vỏn v cú s im < s vụ lớ Vy ta phi cú s = iu ny cú ngha l cỏc kỡ th xp t th nm n th tỏm ch ginh im thi u vi m thụi, ngoi thua tt c cỏc kỡ th khỏc Do vy kỡ th xp th t ó thng kỡ th xp th nm trõn i u trc tip 0,25im 0,25 im 0,25im 0,25im Ht S THI CHN HC SINH GII THNH PH LP - Nm hc 2015-2016 MễN:Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm 5cõu,1.trang) Cõu (2 im) a) Thc hin phộp tớnh: b) Cho x = ( ) + + + + + + + + 3 + 10 + Tớnh giỏ tr ca biu thc A = x4 4x2 + x 2016 Cõu (2 im) a) Cho phng trỡnh: x ( k + 1) x + k = Tỡm k phng trỡnh cú nghim x1; x2 tha x12 + x2 = 12 Trang 48 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) x + y + z = b) Gii h phng trỡnh: yz + zx xy = x + y + z = 14 Cõu (2 im) a) Cho s M = 19931997 + 19971993 Chng minh rng s M chia ht cho 15 b) Chng minh rng vi mi a, b, c, d ta luụn cú a + b + c + d 4abcd Cõu (3 im) Cho tam giỏc ABC cú gúc nhn ni tip ng trũn tõm O bỏn kớnh R Cỏc ng cao AD, BE, CF ca tam giỏc ct ti H v ct (O;R) ln lt ti cỏc giao im D'; E'; F' a) Chng minh H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc DEF b) Chng minh: DD' = DH; EE' = EH; FF' = FH c) Tỡm iu kin rng buc gia gúc B v gúc C ca tam giỏc ABC t s HA = 2015 HD Cõu (1 im) Cho 2015 s t nhiờn khỏc nhau, ú mi s nh hn 4028 Chng minh rng cú th chn 2015 s ó cho ba s cho cú mt s bng tng hai s Ht Trang 49 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) P N THI CHN HC SINH GII THNH PH ( S ) Lp - Nm hc 2015 - 2016 MễN: Toỏn - Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im ti a im bi thi khụng lm trũn Cõu ỏp ỏn im a (1 im) + + + + + + + + + = + + + + = + + + + (2 im) = + = ( + 3) ( 3) = =1 0,5 b (1 im) + Ta cú x= ( ) ( + ) 3 = = Do ú A = (2 im) 0,5 ( 3) ( ( ( 2+ ) 2016 ) ) =( )( +1 ) ( + ) 0,5 0,25 +3 = 12 + ( ) 2016 =0 0,25 a (1 im) + Xột ' = ( k + 1) 3k = k k + = k ữ + > vi mi k Vy phng trỡnh luụn cú hai nghim x1; x2 vi mi k ( k + 1) x1 + x2 = Theo h thc Vi-ột ta cú: x x = k 2 k + 1) 2k Ta cú x12 + x2 = ( x1 + x2 ) x1.x2 = ( = 12 12 12 16 ( k + 2k + 1) 24k = 15 16k + 8k + = ( 4k + 1) = k = Vy k = 0,25 0,25 0,25 thỡ phng trỡnh ó cho cú nghim tha 12 b (1 im) x12 + x2 = 0,25 + Ta cú: ( x + y + z ) = x + y + z + 2( xy + yz + zx ) Do ú h phng trỡnh Trang 50 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) ó cho tng ng vi h phng trỡnh: x + y + z = x + y + z = (1) yz + zx xy = ( x + y ) z = (2) yz + zx + xy = 11 xy = (3) T (1) v (2) ta cú x+y; z l hai nghim ca phng trỡnh: t2 - 6t+9 = Gii phng trỡnh trờn tỡm c t = Vy x+y = z = x + y = x = x = Gii h ny ta tỡm c hoc xy = y = y =1 Ta cú 0,25 0,25 Vy h ban u cú nghim l (1;2;3), (2;1;3) 0,25 0,25 (2 im) a (1 im) Biu din M = (1993 - 1)1997 + (1997 + 1)1993 M M3 Biu din M = 1993.19931996 + 1997.19971992 = 1993 ( 19934 ) 499 + 1997 ( 1997 ) 498 M tn cựng l M M5 m (3,5) = M M 15 b (1 im) 0,25 0,25 0,25 0,25 p dng bt ng thc Cụ-si ln ta c a + b + c + d = ( a + b ) + ( c + d ) 2a 2b + 2c d = 2( a b + c d 2 2 ) 2.2abcd = 4abcd a = b2 a = b = c = d Du " = " xy c = d a = b = c = d ab = cd a = b = c = d (3 im) a (1 im) ã ã ã ã Ta cú FDH (2 gúc ni tip cựng chn mt cung v = FBH = HCE = HDE ã cp gúc cựng ph vi BAC ) Trang 51 0,5 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) ã ã , m tia DH nm gia hai tia DE v DF FDH = HDE ã DH l tia phõn giỏc ca FDE ã Tng t, EH l phõn giỏc ca FED H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc DEF b (1 im) ã ' BC = D ã ' AC = EBC ã ã ã D HBD = DBD ' v BD HD ' BHD ' cõn ti B DD ' = DH Tng t EE' = EH; FF' = FH (1 im) c (1 im) Ta cú DAB : DCD ' DA.DD ' = DB.DC M DD' = DH DA DH DA.DH = DB.DC =1 (1) DB DC HA = 2015 HA = 2015.HD DA = 2016 HD (2) Theo gi thit HD DH DH 1 ã ã = cot BHD cot CHD = T (1) v (2) DB DC 2016 2016 ã ã hay tan BHD.tan CHD = 2016 ã ; BHD ã tan C.tan B = 2016 M CHD =B =C Gi 2015 s ó cho l a1, a2, a3, , a2015 v ta cú th gi s rng a1 a2 a3 a2015 (1) Ta thnh lp 2014 s mi nh sau: b1 = a2 a1 , b2 = a3 a1 , b3 = a4 a1 , , b2014 = a2014 a1 (2) Theo gi thit cỏc (i = 1, 2, , 2015) l khỏc nhau, ú cỏc s bk (k = 1, 2, , 2014) l cỏc hiu c thnh lp nh trờn cng khỏc C hai dóy s a1,a2,a3, ,a2015 v b1, b2, b3, , b2014 cú tt c (2015+2014) = 4029 s Giỏ tr ca mi s c hai dóy u nh hn 4028 Do ú theo nguyờn tc i-rich-lờ, ớt nht cng phi cú hai s no ú cú giỏ tr bng Nhng cỏc s dóy (1) v dóy (2) u khỏc nhau, ú ch cú th mt s no ú ca dóy (1) bng mt s no ú bk ca dóy (2), ngha l: = bk hay = ak - a1 T ú + a1 = ak Cỏc s a1, ai, ak tho iu kin ca bi toỏn t -Ht - Trang 52 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) S 10 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP - Nm hc 2015-2016 MễN:Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm 5cõu,1.trang) Cõu (2,0 im) Thc hin cỏc phộp tớnh: a, + + + + b, + +1 2 + Cõu (2,0 im) a, Gii phng trỡnh: x x + x x 18 = b, Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh: x2 - 2x - 11 = y2 Cõu (2,0 im) a, Tỡm s t nhiờn a cho A = a + 10a + 136 cú giỏ tr l s chớnh phng b, Chng minh rng: Vi x > thỡ x 1 x Cõu (3,0 im) Cho ng trũn (O; R) v ng thng d khụng i qua O ct ng trũn (O) ti hai im A v B T mt im M tựy ý trờn ng thng d v ngoi ng trũn (O) v hai tip tuyn MN v MP vi ng trũn (O), (P, N l hai tip im) a, Chng minh rng MN = MP = MA.MB b, Dng v trớ im M trờn ng thng d cho t giỏc MNOP l hỡnh vuụng c, Chng minh rng tõm ca ng trũn i qua im M, N, P luụn chy trờn ng thng c nh M di ng trờn ng thng d Cõu (1,0 im) Trờn mt cỏi bng, ngi ta vit 2008 du (+) v 2009 du (-) Gi s mi ln, hai du bt kỡ b xúa i v vit thay bi mt du (+) nu chỳng ging v thay bng mt du (-) nu chỳng khỏc Sau thc hin 4016 ln nh vy, du no s cũn li trờn bng? Ht Trang 53 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) P N THI CHN HC SINH GII THNH PH ( S 10 ) Lp - Nm hc 2015 - 2016 MễN: Toỏn Cõu ỏp ỏn im a (1,0 im) = 2(2 + 2) = 4=2 b (1,0 im) (2,0 im) = = +1 ( 0,5 im 0,5 im ) 2 0,5 im ( 1) = 0,5 im a (1,0 im) x x + x x 18 = iu kin phng trỡnh cú ngha: x x t t = x x ( t ) x x 18 = t 12 ( t ) Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh: t + t 12 = ( t ) t = (t = < loi) 61 + 61 ; x2 = 2 61 Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim: x1,2 = 2 (2,0 im) b (1,0 im) x x 11 = y ( x 1) y = 12 ( x + y ) ( x y ) = 12 t = x x = > x x 15 = x1 = Mt khỏc: x + y x y v x y vi x + y cú cựng tớnh chn l x + y = x = x = x = - nờn ta cú: y = x y = y = Vy phng trỡnh cú cỏc cp nghim nguyờn (x;y) l (5;2); (5;-2); (-3;2); (-3;-2) a (1,0 im) (2,0 im) * t a + 10a + 136 = y ( yN ) 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im Ta cú: y - (a+5) = 121 (y + a + 5)(y a - 5) = 121 0,25 im Li cú: (y + a + 5)+ (y-a - 5) = 2y nờn (y + a + 5) v (y a - 5) Trang 54 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) cựng tớnh chn l m y +a +5 y a -5 nờn y+a+5 y-a-5 a y 11 11 -5 (loi) 11 121 55 61 0,25 im b (1,0 im) 1.( x 1) + x 1 = x x 0,5 im 0,5 im Du = xy x = a (1,0 im) D 0.25 im N A E B L M d I H d' O P Ta cú: MN = MP (Tớnh cht ca tip tuyn ct nhau) (3,0 im) Chng minh c tam giỏc MAN v MNB ng dng MA MN = MN = MP = MA.MB Suy ra: MN MB b (1,0 im) MNOP l hỡnh vuụng thỡ ng chộo OM = ON = R Dng im M: Ta dng hỡnh vuụng OADC, dng ng trũn tõm O i qua im D, ct (d) ti M Chng minh: T M v tip tuyn MN v MP Ta cú MN = MO ON = R , nờn tam giỏc ONM vuụng cõn ti N Tng t, tam giỏc OPM cng vuụng cõn ti P Do ú MNOP l hỡnh vuụng Bi toỏn luụn cú nghim hỡnh vỡ OM = R > R c (1,0 im) Trang 55 0.5 im 0.25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) + Ta cú: MN v MP l tip tuyn ca (O), nờn M, N, O, P cựng nm trờn ng trũn ng kớnh OM Tõm l trung im H ca OM Suy tam giỏc ba im M, N, P thuc ng trũn ng kớnh OM, tõm l H + K OE AB , thỡ E l trung im ca AB (c nh) K HL (d ) thỡ HL // OE, nờn HL l ng trung bỡnh ca tam giỏc OEM, suy 0,5 im ra: HL = OE (khụng i) + Do ú, M i ng trờn (d) thỡ H luụn cỏch du (d) mt on khụng i, nờn H chy trờn ng thng (d') // (d) v (d') i qua trung im ca on OE c nh - Thay mi du (+) bi s - Thay mi du (-) bi s Khi ú, tng hai s b xúa i cựng tớnh chn l vi s c vit thay chỳng, nh vy tng cỏc s trờn bng khụng thay i tớnh chn l (1,0 im) - Vỡ tng cỏc s lỳc u bng 2009, l s l nờn s cũn li cui cựng l s l - Do ú du cũn li trờn bng l du (-) -Ht Chỳ ý: - Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im a im bi thi khụng lm trũn Trang 56 0,25 im 0.25 im 1,0 im [...]... ) 29 9 = x 2 + y2 29 2xy 20 x 2 + y 2 + 2xy 49 = = (4) x 2 + y 2 29 x 2 + y2 29 T (3) v (4) suy ra: x 2 2xy + y 2 9 (x y) 2 9 9 = = (x y) 2 = (x + y) 2 2 2 2 x + 2xy + y 49 (x + y) 49 49 Th vo (1) ta c: 9 (x + y)2 = 63 (x + y)3 = 343 x + y = 7 49 Th x + y = 7 vo (2) ta c: x2 + y2 = 29 (x+y)2 2xy = 29 72 2xy = 29 2xy = 20 xy = 10 (x + y) (x + y) 0,125 0,125 0,125 0,25 x +... p; q) = (5;5) 2 (1.0 im) + p dng BT Cụ si cho 197 6 s a 2016 v 40 s x 2016 Ta cú 197 6.a 2016 + 40.x 2016 2016 2016 197 6 2016 40 a x = a 197 6 x 40 ( 197 6 + 40 ) ( ) ( ) 197 6.b + 40 y 2016 b y = b 197 6 y 40 ( 197 6 + 40 ) + T (1) v (2) ta cú: 197 6 a 2016 + b 2016 + 40 x 2016 + y 2016 2016.(a 197 6 x 40 + b 197 6 y 40 ) (3) 2016 2016 ( Tng t ( ) ) 2015 197 6 ( ( 0,25im 0,25im 0,25im 0,25im 0,5im ) 2016... mt khỏc mu HT Trang 30 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 7) P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 6) Lp 9 - Nm hc 2015 - 2016 MễN: TON (Hng dn chm gm 5 trang) Chỳ ý: - Nu hc sinh trỡnh by cỏch lm khỏc m ỳng thỡ cho im cỏc phn theo thang im tng ng Li gii ca hc sinh cn lp lun cht ch, hp logic - Vi bi 4, nu hc sinh v hỡnh sai hoc khụng v hỡnh thỡ khụng chm - im bi thi khụng lm trũn Bi ỏp ỏn 1... ) ( )( ) Cõu p q = 1 p = 30 3 Nhng 59 l s nguyờn t, nờn: 2,0 p + q = 59 q = 29 im T n + 18 = p 2 = 302 = 90 0 suy ra n = 882 Thay vo n 41 , ta c 882 41 = 841 = 292 = q 2 Vy vi n = 882 thỡ n + 18 v n 41 l hai s chớnh phng p 2 q 2 = n + 18 n 41 = 59 p q b, 1.0 im Trang 26 p + q = 59 0.25 0.25 0.25 0.25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 7) Vỡ vai trũ ca a, b, c nh nhau, khụng... +y 1 Vỡ a 2016 + b 2016 1 v x 2016 2016 +b + 40 x 2016 + y 2016 (4) Nờn 2016 197 6 a 2016 2016 ( ) T (3) v (4): 2016 2016.(a (a 197 6 x 40 + b 197 6 y 40 ) 1 197 6 ( ) x + b 40 197 6 y ) 40 Du = xy ra khi v ch khi a 197 6 = x 40 ; b 197 6 = y 40 1 (2,0 im) 4 (3 im) Trang 33 0,5 im B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 7) P A N1 O M1 O1 I A' O2 N2 Q 0,5im M2 0,5im S 2 a)+ Ta cú AM 1 AN1 = AM 2 AN... + b 2 - ab) ab(a + b) a 3 + b 3 ab(a + b) a 3 + 20b 3 19b 3 + ab(a + b) 20b 3 - ab(a + b) 19b 3 - a 3 b(20b 2 - ab - a 2 ) 19b 3 - a 3 b(20b 2 - 5ab + 4ab - a 2 ) 19b 3 - a 3 0,25im b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b 3 - a 3 b(4b - a)(a + 5b) 19b 3 - a 3 (4b - a)(ab + 5b 2 ) 19b 3 - a 3 19b 3 - a 3 4b - a ab + 5b 2 19c3 - b 3 19a 3 - c3 Tng t vi a, b, c > 0 thỡ: 4c b; 4a - c cb + 5c2... THI HC SINH GII THNH PH LP 9 Nm hc 2015 2016 MễN : TON Thi gian lm bi: 150 phỳt ( Khụng k thi gian giao ) ( thi gm 05 cõu, 01 trang) Bi 1: (2,0 im) x +1 xy + x xy + x + + 1ữ: 1 x + 1 ữ Cho biu thc A = ữ xy 1 xy + 1 ữ xy + 1 1 xy 1 Rỳt gn biu thc A 1 1 2 Cho x + y = 6 Tỡm giỏ tr ln nht ca A Bi 2: (2,0 im) Trang 29 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 7) 1 Chng minh rng nu tớch... 1,7 a 3 = 2 ; 4 = 2 a4 = 2 Bi 5 (1,0 im) Kớ hiu an l s nguyờn gn 1 = 1 a1 = 1 ; 2 1, 4 a 2 = 1 ; 1 1 1 1 + + + + Tớnh : a1 a 2 a 3 a 198 0 ************* Ht*********** B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 7) P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 5) Lp 9 - Nm hc 2015 - 2016 MễN:TON (Hng dn chm gm 04 trang) NI DUNG CU IM a)1.0 im t a = 2 + 5 + 5 + 2 - 5 + 5 , a > 0 2 a2 = 4 + 2 4 5+ 5 = 4+... 2 Theo Cụsi, ta cú: 6 = x y Du bng xy ra 1 1 9 xy xy 1 1 = 1 x = y = x y 9 Vy: maxA = 9, t c khi : x = y = 1,0 im 1 9 1 (1,0 im) + Gi x1 l nghim ca phng trỡnh (1) x2 l nghim ca phng trỡnh (2) x1 x2 l nghim ca phng trỡnh (3) Theo nh lớ Viet: 1 = a x1 1 x2 + = b x2 x1 + 2 (2,0im) (4) (5) 0,25im Trang 31 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 7) x1 x2 + 1 = ab x1 x2 (6) + Nhõn (4) vi (5) x1... 0.25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 7) 1 1 < x < k2 + k + 4 4 Rừ rng bt phng trỡnh ny cú 2k nghim t nhiờn l : k2 k + 1 ; k2 0.25 k + 2 ; ; k2 + k Do ú : 1 1 1ữ 1 1 1 1 ữ 1 1 1 1 1 ữ + + + = + ữ+ + + + ữ+ + + + + ữ a1 a2 a 198 0 1 2 442 2 4 2 432 ữ 44 44 44 { 1ữ 1 1 4 4 4 2 4 44 3 ữ 4 soỏ 88 soỏ 2 soỏ 0.25 = 2.44 = 88 Ht ng thc tng ng vi : k2 k + S 6 THI HC SINH ... 0,25 0,25 (2 im) a (1 im) Biu din M = ( 199 3 - 1) 199 7 + ( 199 7 + 1) 199 3 M M3 Biu din M = 199 3. 199 3 199 6 + 199 7. 199 7 199 2 = 199 3 ( 199 34 ) 499 + 199 7 ( 199 7 ) 498 M tn cựng l M M5 m (3,5) = M M 15... x2 = 12 Trang 48 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 7) x + y + z = b) Gii h phng trỡnh: yz + zx xy = x + y + z = 14 Cõu (2 im) a) Cho s M = 199 3 199 7 + 199 7 199 3 Chng minh rng s M... 29 0,125 (x + y ) (x 2xy + y ) 29 = x + y2 29 2xy 20 x + y + 2xy 49 = = (4) x + y 29 x + y2 29 T (3) v (4) suy ra: x 2xy + y (x y) 9 = = (x y) = (x + y) 2 2 x + 2xy + y 49 (x + y) 49