Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2015Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thôngĐỀ THI CHÍNH THỨCThời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đềCâu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Câu 2 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;3Câu 3 (1,0 điểm)a)Cho số phức z thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của zb)Giải phương trình : Câu 4 (1,0 điểm)Tính tích phân Câu 5(1,0 điểm) : Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm A (1;2;1), B(2;1;3) và mặt phẳng (P) . Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).Câu 6 (1,0 điểm)a)Tính giá trị của biểu thức biết b)Trong đợt phòng chống dịch MERSCoV. Sở y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng TPHCM và 20 đội của Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.Câu 7(1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳmg (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.Câu 8 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu của vuông góc C trên đường thẳng AD. Giả sử H (5;5), K (9;3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng : x y + 10 = 0 . Tìm tọa độ điểm ACâu 9 (1,0 điểm) : Giải phương trình : trên tập số thực.Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn 1,3 và thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP = hoctoancapba.com Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán BÀI GIẢICâu 1: a) Tập xác định là R, y = 3x23, y = 0 = 1 hay x = 1 Đồ thị hàm số đạt 2 cực trị tại: A ( 1 ; 2 ) hay B ( 1 ; 2 ) và Bảng biến thiênx 11 +y’ + 0 0 +y 2 + CĐ 2CTHàm số đồng biến trên 2 khoảng (∞; 1) và (1; +∞)Hàm số nghịch biến trên (1;1)y = 6x; y” = 0 x = 0. Điểm uốn I (0; 0)Đồ thị : Câu 2: f’(x) = trên 1; 3 ta có : f’(x) = 0 f(1) = 5; f(2) = 4; f(3) = . Vậy : ; .Câu 3: a) (1 – i)z – 1 + 5i = 0 (1 – i)z = 1 – 5i Vậy phần thực của z là 3; phần ảo của z là 2.b) Câu 4: Đặt u = x – 3 . Đặt dv = exdx , chọn v = exI = Câu 5: a) AB đi qua A (1; 2; 1) và có 1 VTCP =(1; 3; 2) nên có pt: b) Tọa độ giao điểm M của AB và (P) là nghiệm hệ phương trình: Câu 6:a) P = b) Số phần tử của không gian mẫu là: A là biến cố có ít nhất 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở.Số phân tử của A là : n(A) = Xác suất thỏa ycbt là : P = Câu 7: a) Do góc SCA = 45o nên tam giác SAC vuông cân tại A Ta có AS = AC = = b) Gọi M sao cho ABMC là hình bình hànhVẽ AH vuông góc với BM tại H, AK vuông góc SH tại KSuy ra, AK vuông góc (SBM)Ta có: Vì AC song song (SBM) suy ra d(AC, SB) = d(A; (SBM)) = AK = Câu 8: Đường trung trực HK có phương trình y = 7x + 10 cắt phương trình (d): x – y + 10 = 0 tại điểm M (0; 10).Vì ∆HAK cân tại H nên điểm A chính là điểm đối xứng của K qua MH : y = 3x + 10, vậy tọa độ điểm A (15; 5).Câu 9: ĐK : x 2 Đặt f(t) = với f(t) đồng biếnVậy (2) . Vậy x = 2 hay x = Câu 10: P = Ta có : = Đặt x = ab + bc + ca ≤ Ta có : a, b, c Lại có : Vậy : 3x – 27 ≥ abc ≥ x – 5 3x – 27 ≥ x – 5 2x ≥ 22 x ≥ 11 P = ≤ = (x thuộc 11; 12) P’ = ≤ 0 P ≤ P = khi a = 1, b = 2, c = 3. Vậy maxP = .Th. S Huỳnh Hoàng, Dung Trần Văn Toàn , Trần Minh Thịnh (Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn – TP.HCM)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Mơn: TỐN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x³ – 2x² + (1 – m)x + m (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x12 x 22 x32 Câu II (2,0 điểm) π (1 sin x cos 2x)sin(x ) cos x Giải phương trình tan x 2 Giải bất phương trình x x 2(x x 1) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ≥1 x e x 2x 2e x dx 2e x Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a (4x 1)x (y 3) 2y (x, y R) Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau 2 4x y 4x II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y = 0; d2: x – y = Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B, C cho ΔABC vng B Viết phương trình (T) biết diện tích ΔABC điểm A có hồnh độ dương x 1 y z 2 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: mặt phẳng (P): x – 2y + z = 1 Gọi C giao điểm ∆ với (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần ảo số phức z, biết z ( i)2 (1 2i) B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E(1; –3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho x2 y2 z3 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; –2) đường thẳng ∆: Tính khoảng cách từ A đến Δ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B C cho BC = (1 3i)3 Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z Tìm modun số phức z + iz 1 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Mơn: TỐN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x³ – 2x² + (1 – m)x + m (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x12 x 22 x32 Bạn đọc tự khảo sát phương trình hồnh độ giao điểm x³ – 2x² + (1 – m)x + m = (x – 1)(x² – x – m) = x = x² – x – m = (*) (0,25 đ) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt x1 x2 Δ 4m khác x3 = –1/4 < m ≠ 1 m Khi x12 x 22 x32 (x1 + x2)² – 2x1x2 + < + 2m + < m < Vậy –1/4 < m < m ≠ thỏa mãn u cầu đề Câu II (2,0 điểm) π (1 sin x cos 2x)sin(x ) cos x Giải phương trình (*) tan x Điều kiện cos x ≠ + tan x ≠ Khi (*) (1 + sin x + cos 2x)(sin x + cos x) = cos x (1 + tan x) (sin x + cos x)(1 + sin x + cos 2x) = sin x + cos x (0,25 đ) (sin x + cos x)(sin x + – 2sin² x) = sin x + cos x = (loại) + sin x – 2sin² x = (0,25 đ) sin x = (loại cos x ≠ 0) sin x = –1/2 (0,25 đ) x = –π/6 + k2π x = 7π/6 + k2π (k thuộc Z) (0,25 đ) x x Giải bất phương trình ≥1 (1) 2(x x 1) Điều kiện x ≥ Ta có 2(x² – x + 1) = x² + (x – 1)² + > → – Nên (1) x x ≤ – Mặt khác: 2(x x 1) 2(x x 1) < 2(x x 1) ≤ – x + 2(x x 1) 2[(1 x)2 ( x )2 ] ≥ – x + x Từ (2) (3) suy (1) có nghiệm – x = x ≥ x ≥ 3 ≤ x ≤ – 2x + x² = x x = (0,25 đ) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = I= x (1 2e ) e x 2e x x x 2e x e dx x (2) (0,25 đ) (0,25 đ) dx hoctoancapba.com 1 d(1 2e x ) x x 2e x 2e dx x 2dx x e x 2x 2e x (3) (0,25 đ) (0,75 đ) 1 1 1 ln(1 2e x ) ln(1 2e) ln (0,25 đ) 3 2 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a = Ta có SCDNM = SABCD – SAMN – SBCM = AB² – 1 AM.AN BC.BM = a² – a²/8 – a²/4 = 5a²/8 2 1 5a a 3 SH.SCDNM a 3 24 ΔADM = ΔDCN (c–g–c) → góc ADM = góc DCN mà góc ADM + góc CDH = 90° → góc DCN + góc CDH = 90° → CN vng góc với MD mà MD vng góc với SH → MD vng góc với mặt phẳng (SCN) Kẻ HK vng góc với SC K → MD vng góc với HK; HK vng góc với SC → HK đoạn vng góc chung MD SC Do HK = d(MD, SC) (0,25 đ) a Mắt khác CN = CD2 DN 2a HC = CD² / CN = ; SH.HC a 3.2a 2a HK = 19 SH HC2 25.3a 20a VS.CDNM = Vậy d(MD, SC) = 2a 19 (0,25 đ) (0,25 đ) S K A N D H M B C (0,25 đ) (1) (4x 1)x (y 3) 2y Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau 2 (2) 4x y 4x Điều kiện x ≤ 3/4; y ≤ 5/2 phương trình (1) (4x² + 1).2x = (5 – 2y + 1) 2y (3) (0,25 đ) Xét hàm số g(t) = (t² + 1).t có đạo hàm g’(t) = 3t² + > với số thực t → g(t) đồng biến R (3) g(2x) = g( 2y ) 2x = 2y (4) (0,25 đ) Từ (4) suy x ≥ y = (5 – 4x²) / Thay vào (2) ta có: 4x² + (5 – 4x²)² / + 4x = (5) Nhận xét x = x = 4/3 khơng thỏa mãn (5) Xét hàm số h(x) = 4x² + (5 – 4x²)² / + 4x (0; 3/4) (0,25 đ) 4 h’(x) = 8x – 4x(5 – 4x²) – = 4x(4x² – 3) – < với < x < 3/4 4x 4x → h(x) nghịch biến (0; 3/4); mà h(1/2) = Nên phương trình (5) có nghiệm x = 1/2 Suy y = Vậy (1/2; 2) nghiệm hệ phương trình cho (0,25 đ) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y = 0; d2: x – y = Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B, C cho ΔABC vng B Viết phương trình (T) biết diện tích ΔABC điểm A có hồnh độ dương Ta có: d1 cắt d2 O(0; 0) ΔABC vng B suy AC đường kính đường tròn (T) Mặt khác ΔOAB vng B AB vng góc với d2 n1.n 1 → α = 60° n1 n 2.2 Vì đường tròn (T) tiếp xúc với d1 A nên tam giác OAC vng A Suy góc BAC = α = 60° AB = OAsin α BC = AB tan α = OAsin α tan α 3 SΔABC = AB.BC OA 2 mà SΔABC = suy OA² = (0,25 đ) A thuộc d1 nên A(t; – t) → 4t² = 4/3 → t = (do A có hồnh độ dương) Khi A( ; –1) Đường thẳng AC qua A vng góc với d1, nhận (1; – ) làm vector pháp tuyến, có phương trình x 3(y 1) hay AC: 3x 3y 2 3x 3y Tọa độ C thỏa mãn hệ phương trình sau → C( ; –2) 3x y 1 Đường tròn (T) có tâm trung điểm I AC → I( ; ) Đặt góc AOB = α suy cos α = cos (d1, d2) = (0,25 đ) (0,25 đ) 2 ) ( ) = 2 Vậy phương trình đường tròn (T) (x (0,25 đ) ) (y ) = 2 x 1 y z 2 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: mặt phẳng (P): x – 2y + z = 1 Gọi C giao điểm ∆ với (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = Đường thẳng Δ có vector phương u = (2; 1; –1) mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến n = (1; –2; u.n 1 1) cos ( u, n ) = (0,50 đ) u n 6 Gọi H hình chiếu vng góc M (P) Suy cos CMH = |cos ( u, n )| = 1/6 (0,25 đ) Bán kính đường tròn (T) IA = ( (0,25 đ) Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần ảo số phức z, biết z ( i)2 (1 2i) Khi d(M, (P)) = MH = MC.cos CMH = z (1 2i)(1 2i) i (0,50 đ) →z=5–i (0,25 đ) Vậy phần cảo z (0,25 đ) B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E(1; –3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho E(1; –3) Gọi H chân đường cao hạ từ A ΔABC Gọi D giao điểm AH đường thẳng x + y – = Đường thẳng AH qua A(6; 6) nhận (1; –1) làm vector pháp tuyến → AH: x – y = B A(6; 6) d D H C x y Tọa độ D nghiệm hệ phương trình → D(2; 2) x y H đối xứng với A qua D nên H(–2; –2) (0,25 đ) Đường thẳng BC qua H song song với d nên có phương trình x + y + = (0,25 đ) B thuộc BC nên B(t; –t – 4) C đối xứng với B qua H nên C(–4 – t; t) E nằm đường cao hạ từ C ΔABC nên CE vng góc với AB Hay AB.CE = (t – 6; –t – 10).(5 + t; –3 – t) = (t – 6)(t + 5) + (t + 10)(t + 3) = (0,25 đ) 2t² + 12t = t = t = –6; Vậy B(0; –4), C(–4; 0) B(–6; 2), C(2; –6) (0,25 đ) x2 y2 z3 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; –2) đường thẳng ∆: Tính khoảng cách từ A đến Δ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B C cho BC = Đường thẳng Δ qua điểm M(–2; 2; –3) nhận u = (2; 3; 2) làm vector phương Ta có MA = (2; –2; 1) [ u , MA ] = (7; 2; –10) (0,25 đ) [u, MA] 49 100 d(A, Δ) = =3 u 494 Gọi (S) mặt cầu tâm A cắt Δ B, C cho BC = BC Bán kính (S) R = AB = [d(A, Δ)]2 ( (0,25 đ) ) =5 Vậy phương trình mặt cầu (S) x² + y² + (z + 2)² = 25 (0,25 đ) (1 3i) Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z Tìm modun số phức z + iz 1 i 3i 3.3i 3i3 8 (0,25 đ) z 1 i 1 i = –4 – 4i (0,25 đ) → z + iz = –4 – 4i + i(–4 + 4i) = –8 – 8i (0,25 đ) Vậy | z + iz| = (0,25 đ) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Mơn: TỐN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) −x + Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x − 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Chứng minh với m đường thẳng y = x + m ln cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Câu II (2,0 điểm) + sin x + cos x = sin x sin x Giải phương trình + cot x 2 ⎪⎧5 x y − xy + y − 2( x + y ) = ( x, y ∈ \) Giải hệ phương trình ⎨ 2 ⎪⎩ xy ( x + y ) + = ( x + y ) π Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x sin x + ( x + 1) cos x dx x sin x + cos x Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ x y z biểu thức P = + + y+z z+x 2x + y PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + = đường tròn (C ) : x + y − x − y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) mặt phẳng ( P) : x − y − z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB = Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất số phức z, biết: z = z + z B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) x2 y2 + = Tìm tọa độ điểm A B thuộc Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ): (E), có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z = điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Câu VII.b (1,0 điểm) Tính mơđun số phức z, biết: (2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i ) = − 2i - Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Mơn: TỐN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) ⎧1 ⎫ • Tập xác định: D = \ \ ⎨ ⎬ ⎩2⎭ • Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y ' = −1 ( x −1) 0,25 < 0, ∀x ∈ D 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ Hàm số nghịch biến khoảng ⎜ − ∞; ⎟ ⎜ ; + ∞ ⎟ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 1 Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = − ; tiệm cận ngang: y = − x → −∞ x → +∞ 2 lim − y = − ∞, lim + y = + ∞; tiệm cận đứng: x = ⎛1⎞ ⎛1⎞ x →⎜ ⎟ x →⎜ ⎟ ⎝2⎠ Bảng biến thiên: ⎝2⎠ x −∞ y’ y − 0,25 − +∞ − 0,25 +∞ − −∞ y • Đồ thị: (C) O − 2 x 0,25 –1 (1,0 điểm) Hồnh độ giao điểm d: y = x + m (C) nghiệm phương trình: x + m = −x +1 2x −1 ⇔ (x + m)(2x – 1) = – x + (do x = khơng nghiệm) ⇔ 2x + 2mx – m – = (*) ∆' = m2 + 2m + > 0, ∀m Suy d ln cắt (C) hai điểm phân biệt với m 0,25 0,25 Gọi x1 x2 nghiệm (*), ta có: k1 + k2 = – 4( x1 + x2 ) − x1 x2 − 4( x1 + x2 ) + 1 – = − (2 x1 − 1) (2 x2 − 1) (4 x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1) Theo định lý Viet, suy ra: k1 + k2 = – 4m2 – 8m – = – 4(m + 1)2 – ≤ – Suy ra: k1 + k2 lớn – 2, m = – Trang 1/5 0,25 0,25 Câu II (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Điều kiện: sin x ≠ (*) Phương trình cho tương đương với: (1 + sin2x + cos2x)sin2x = 2 sin2xcosx ⇔ + sin2x + cos2x = 2 cosx (do sinx ≠ 0) ⇔ cosx (cosx + sinx – • cosx = ⇔ x = ) = π + kπ, thỏa mãn (*) 0,25 0,25 0,25 π π ) = ⇔ x = + k2π, thỏa mãn (*) 4 π π Vậy, phương trình có nghiệm: x = + kπ; x = + k2π (k ∈ Z) • cosx + sinx = ⇔ sin(x + 0,25 (1,0 điểm) ⎧⎪5 x y − xy + y − 2( x + y ) = (1) ⎨ 2 (2) ⎪⎩ xy ( x + y ) + = ( x + y ) Ta có: (2) ⇔ (xy – 1)(x2 + y2 – 2) = ⇔ xy = x2 + y2 = • xy = 1; từ (1) suy ra: y4 – 2y2 + = ⇔ y = ± Suy ra: (x; y) = (1; 1) (x; y) = (–1; –1) • x2 + y2 = 2; từ (1) suy ra: 3y(x2 + y2) – 4xy2 + 2x2y – 2(x + y) = 2 ⇔ 6y – 4xy + 2x y – 2(x + y) = ⇔ (1 – xy)(2y – x) = ⇔ xy = (đã xét) x = 2y Với x = 2y, từ x2 + y2 = suy ra: ⎛ 10 10 ⎞ ⎛ 10 10 ⎞ (x; y) = ⎜⎜ ; ;− ⎟⎟ (x; y) = ⎜⎜ − ⎟ ⎠ 5 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 10 10 ⎞ ⎛ 10 10 ⎞ Vậy, hệ có nghiệm: (1; 1), (– 1; – 1), ⎜⎜ ; ;− ⎟⎟ , ⎜⎜ − ⎟ ⎠ ⎝ 5 ⎟⎠ ⎝ III (1,0 điểm) I = π π π 4 ( x sin x + cos x) + x cos x dx = ∫0 x sin x + cos x ∫ dx + x cos x ∫ x sin x + cos x dx 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 π π Ta có: ∫ dx = x 04 = π π ∫ IV (1,0 điểm) 0,25 π x cos x dx = x sin x + cos x d(x sin x + cos x) ∫0 x sin x + cos x = ( ln x sin x + cos x ) π ⎛ ⎛ π ⎞⎞ ⎛ ⎛ π ⎞⎞ π = ln ⎜⎜ ⎜ + 1⎟ ⎟⎟ Suy ra: I = + ln ⎜⎜ ⎜ + 1⎟ ⎟⎟ 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ (SAB) (SAC) vng góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ (ABC) S n góc (SBC) AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒ SBA n = 60o ⇒ SA = AB tan SBA n = 2a (ABC) ⇒ SBA Mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N H ⇒ MN //BC N trung điểm AC D N C A BC AB MN = = a, BM = = a M 2 B ( BC + MN ) BM 3a = ⋅ Thể tích: VS.BCNM = S BCNM ⋅ SA = a 3 ⋅ Diện tích: SBCNM = 2 Trang 2/5 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Đáp án Điểm Kẻ đường thẳng ∆ qua N, song song với AB Hạ AD ⊥ ∆ (D ∈ ∆) ⇒ AB // (SND) ⇒ d(AB, SN) = d(AB, (SND)) = d(A, (SND)) Hạ AH ⊥ SD (H ∈ SD) ⇒ AH ⊥ (SND) ⇒ d(A, (SND)) = AH Tam giác SAD vng A, có: AH ⊥ SD AD = MN = a ⇒ d(AB, SN) = AH = V (1,0 điểm) SA AD = 2a 39 ⋅ 13 0,25 0,25 SA2 + AD 1 + ≥ (*), với a b dương, ab ≥ Trước hết ta chứng minh: + a + b + ab Thật vậy, (*) ⇔ (a + b + 2)(1 + ab ) ≥ 2(1 + a)(1 + b) ⇔ (a + b) ab + ab ≥ a + b + 2ab b )2 ≥ 0, ln với a b dương, ab ≥ Dấu xảy ra, khi: a = b ab = Áp dụng (*), với x y thuộc đoạn [1; 4] x ≥ y, ta có: x 1 P= + + ≥ + 3y 2x + 3y + z + x x 2+ 1+ y z x y 0,25 ⇔ ( ab – 1)( a – Dấu " = " xảy khi: x z x = = y y z 0,25 (1) x t2 + ⋅ = t, t ∈ [1; 2] Khi đó: P ≥ 2t + + t y Đặt − ⎡⎣t (4t − 3) + 3t (2t − 1) + 9) ⎤⎦ t2 < Xét hàm f(t) = + , t ∈ [1; 2]; f '(t ) = 2t + + t (2t + 3) (1 + t ) ⇒ f(t) ≥ f(2) = 0,25 34 x = ⇔ x = 4, y = (2) ; dấu " = " xảy khi: t = ⇔ y 33 34 Từ (1) (2) suy dấu " = " xảy khi: x = 4, y = z = 33 34 Vậy, giá trị nhỏ P ; x = 4, y = 1, z = 33 ⇒P≥ VI.a 0,25 (1,0 điểm) (2,0 điểm) A Đường tròn (C) có tâm I(2; 1), bán kính IA = n = MBI n = 90o MA = MB Tứ giác MAIB có MAI I ⇒ SMAIB = IA.MA B M ∆ 0,25 ⇒ MA = ⇒ IM = IA2 + MA2 = M ∈ ∆, có tọa độ dạng M(t; – t – 2) IM = ⇔ (t – 2)2 + (t + 3)2 = 25 ⇔ 2t2 + 2t – 12 = 0,25 ⇔ t = t = – Vậy, M(2; – 4) M(– 3; 1) 0,25 0,25 (1,0 điểm) ⎧2 x − y − z + = ⎪ Gọi M(x; y; z), ta có: M ∈ (P) MA = MB = ⇔ ⎨( x − 2) + y + ( z − 1) = ⎪ x + ( y + 2) + ( z − 3) = ⎩ Trang 3/5 0,25 Câu Đáp án Điểm ⎧2 x − y − z + = ⎪ ⇔ ⎨x + y − z + = ⎪( x − 2) + y + ( z − 1) = ⎩ 0,25 ⎧x = y − ⎪ ⇔ ⎨z = 3y ⎪7 y − 11y + = ⎩ 0,25 ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ; ⎟ Vậy có: M(0; 1; 3) M ⎜ − ; ; ⎟ ⎝ 7 7⎠ ⎝ 7 7⎠ ⇔ (x; y; z) = (0; 1; 3) ⎜ − ; VII.a Gọi z = a + bi (a, b ∈ R), ta có: z = z + z ⇔ (a + bi)2 = a2 + b2 + a – bi (1,0 điểm) 2 ⎧a − b = a + b + a ⇔ a – b + 2abi = a + b + a – bi ⇔ ⎨ ⎧a = − 2b ⎩b(2a + 1) = ⇔ ⎨ 0,25 ⎛ 1⎞ ⎟ (a; b) = ⎝ 2⎠ 1 1 Vậy, z = z = − + i z = − – i 2 2 ⇔ (a; b) = (0; 0) (a; b) = ⎜ − ; (2,0 điểm) 0,25 0,25 ⎩2ab = − b VI.b 0,25 1⎞ ⎛ ⎜ − ; − ⎟ 2⎠ ⎝ 0,25 (1,0 điểm) Gọi A(x; y) Do A, B thuộc (E) có hồnh độ dương tam giác OAB cân O, nên: y A H O B 0,25 − x2 B(x; – y), x > Suy ra: AB = 2| y | = Gọi H trung điểm AB, ta có: OH ⊥ AB OH = x Diện tích: SOAB = x − x 2 x = x (4 − x ) ≤ Dấu " = " xảy ra, x = 0,25 0,25 ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 2⎞ 2⎞ 2⎞ 2⎞ Vậy: A ⎜⎜ 2; ⎟⎟ A ⎜⎜ 2; − ⎟⎟ B ⎜⎜ 2; ⎟⎟ B ⎜⎜ 2; − ⎟ ⎠ ⎠ ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 0,25 (1,0 điểm) (S) có tâm I(2; 2; 2), bán kính R = Nhận xét: O A thuộc (S) Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r = OA = 3 (P) qua O có phương trình dạng: ax + by + cz = 0, a2 + b2 + c2 ≠ (*) (P) qua A, suy ra: 4a + 4b = ⇒ b = – a Khoảng cách: d(I, (P)) = d(I, (P)) = 2(a + b + c) 2 a +b +c 0,25 R2 − r = = 2c 2a + c ⇒ 2c 2a + c = ⇒ 2a2 + c2 = 3c2 ⇒ c = ± a Theo (*), suy (P): x – y + z = x – y – z = Trang 4/5 0,25 0,25 0,25 C 8.b m) Trong khơng gian với hệ tọ độ Oxyz, cho đ ờng thẳng d: x 1 y z , 1 mặt phẳng (P) : x + y – 2z + = v điểm A (1; -1; 2) Viết ph ng trình đ ờng thẳng cắt d (P) lần l ợt M v N s o cho A l trung điểm củ đoạn thẳng MN Hướng dẫn : x 1 y z (P) : x + y – 2z + = 0; A (1; -1; 2) 1 ng trình cắt d (P) lật l ợt M v N s o cho A l trung điểm MN Cách 1: d: Viết ph x 1 2t Ta có d: y t z t t R Gọi M giao d ta có: M ( -1+2t; t; 2+t) xM x N xA y yN A l trung điểm MN => y A M z zN M zA xN 2t yN 2 2t z t N Mà N (P) => 1.(3-2t) + 1.(-2-t) – 2.(2-t) + = 0. – 2t – – t – + 2t + = t = Vậy M(3; 2; 4); qu MA v vect ph Vậy ph x 2t ng trình : y 1 3t z 2t ng MA (-2; -3; -2)//(2; 3; 2) t R x 2t (t ) y t z t Cách 2: Viết lại (d d ới dạng: Gi sử M(2t-1;t;t+2) N (a;b;c) Ta có 2t a a 2t t b 2 b 2 t 2t t 2t t t c c t a b c a b 2c Vậy M(3;2;4), khác A => qu MA v vect ph Vậy ph C x 2t ng trình : y 1 3t z 2t 9.b ng MA (-2; -3; -2) t R thỏa mãn m) Cho s phức z thỏa 5( z i ) i Tính mơđun s phức w = + z + z2 z 1 Hướng dẫn : Cách 1: Gọi Z= a+bi , a,b R ; z a bi Điều kiện z 5(a bi i) i 5 a (b 1)i = (2-i)(a+bi+1) a bi 5a 5(b 1)i 2a 2bi b i 5a 5(b 1)i 2a b (2b a 1)i Ta có 5a 2a b 5(b 1) 2b a a 3a b (Thỏa mãn) b a 7b 6 Vậy z = 1+i W= 1+1+i+1+2i-1 w=2+3i w 22 32 13 Cách 2: Đặt Z a bi a, b R 5 Z i i a bi i i a bi 1 5a 5bi 5i 2a 2bi b i 3a b i 7b a 3a b a 6 7b a b Vậy Z i, Z 1 i 1 2i 2i W=1+1+i+2i=2+3i nên 2 W 22 32 13 …………………………………………………………………………………………… BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC www.MATHVN.com ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − (1), với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) nghòch biến khoảng (0; + ∞) √ π Câu (1,0 điểm) Giải phương trình + tan x = 2 sin x + √ √ x + + x − − y4 + = y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x2 + 2x(y − 1) + y − 6y + = (x, y ∈ R) Câu (1,0 điểm) Tính tích phân x2 − ln x dx x2 I= Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC = 30◦ , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mã√ n điều kiện (a + c)(b + c) = 4c2 Tìm giá trò 32a3 32b3 a + b2 nhỏ biểu thức P = + − (b + 3c)3 (a + 3c)3 c II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x + y + = A(−4; 8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vuông góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5; −4) x−6 y+1 z+2 Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = −3 −2 điểm A(1; 7; 3) Viết phương trình mặ t phẳ n g (P ) qua A vuô n g gó c vớ i ∆ Tìm tọ a độ điể m √ M thuộc ∆ cho AM = 30 Câu 9.a (1,0 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác đònh số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong √ mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng√∆ : x − y = Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ hai điểm A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + 3y + z − 11 = mặt cầu (S) : x2 + y + z − 2x + 4y − 2z − = Chứng minh (P ) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P ) (S) √ Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z = + i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức w = (1 + i)z5 −−−−−−Hết−−−−−− Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Mơn: TỐN; Khối A khối A1 (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Đáp án Điểm a (1,0 điểm) Khi m = ta có y = − x3 + x − • Tập xác định: D = \ • Sự biến thiên: 0,25 - Chiều biến thiên: y ' = −3x + x; y ' = ⇔ x = x = Khoảng đồng biến: (0; 2); khoảng nghịch biến: (−∞; 0) (2; + ∞) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = −1; đạt cực đại x = 2, yCĐ = - Giới hạn: lim y = +∞; lim y = −∞ x→−∞ 0,25 x→+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ y' − +∞ 0 + +∞ y − 0,25 −1 • Đồ thị: −∞ y 0,25 O x −1 b (1,0 điểm) Ta có y ' = −3x + x + 3m Hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; + ∞) y ' ≤ 0, ∀x > ⇔ m ≤ x − x, ∀x > Xét f ( x) = x − x với x > Ta có f '( x) = x − 2; f '( x) = ⇔ x = 0,25 0,25 Bảng biến thiên: x − f '( x) f ( x) +∞ + +∞ 0,25 −1 Dựa vào bảng biến thiên ta giá trị m thỏa mãn u cầu tốn m ≤ −1 www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 1/4 0,25 www.MATHVN.com Câu (1,0 điểm) Đáp án Điểm Điều kiện: cos x ≠ Phương trình cho tương đương với + sin x = 2(sin x + cos x) cos x ⇔ (sin x + cos x)(2cos x − 1) = • sin x + cos x = ⇔ x = − • 2cos x − = ⇔ x = ± 0,25 π + kπ ( k ∈ ]) 0,25 π + k 2π (k ∈ ]) Đối chiếu điều kiện ta nghiệm: x = − (1,0 điểm) 0,25 π π + kπ x = ± + k 2π (k ∈ ]) ⎧⎪ x + + x − − y + = y (1) ⎨ ⎪⎩ x + x( y − 1) + y − y + = (2) 0,25 0,25 Điều kiện: x ≥ Từ (2) ta y = ( x + y − 1) , suy y ≥ Đặt u = x − 1, suy u ≥ Phương trình (1) trở thành: Xét f (t ) = t + + t , với t ≥ Ta có f '(t ) = 2t t +2 u4 + + u = y + + y (3) + > 0, ∀t ≥ 0,25 Do phương trình (3) tương đương với y = u, nghĩa x = y + Thay vào phương trình (2) ta y ( y + y + y − 4) = (4) Hàm g ( y ) = y + y + y − có g '( y ) = y + y + > với y ≥ Mà g (1) = 0, nên (4) có hai nghiệm khơng âm y = y = Với y = ta nghiệm ( x; y ) = (1; 0); với y = ta nghiệm ( x; y ) = (2; 1) Vậy nghiệm ( x; y ) hệ cho (1; 0) (2; 1) (1,0 điểm) Đặt u = ln x, dv = x2 − x dx ⇒ du = dx , v= x+ x x 0,25 0,25 0,25 2 1 Ta có I = ⎛⎜ x + ⎞⎟ ln x − ∫ ⎛⎜ x + ⎞⎟ dx x⎠ x⎠x ⎝ 1⎝ 0,25 1 = ⎛⎜ x + ⎞⎟ ln x − ⎛⎜ x − ⎞⎟ x⎠ x ⎠1 ⎝ ⎝ = ln − 2 (1,0 điểm) 0,25 0,25 Gọi H trung điểm BC, suy SH ⊥ BC Mà (SBC) vng góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên SH ⊥ (ABC) Ta có BC = a, suy SH = S AB = BC cos30o = Do VS ABC = I B H C A 0,25 a a ; AC = BC sin 30o = ; 2 a 0,25 a3 SH AB AC = 16 Tam giác ABC vng A H trung điểm BC nên HA = HB Mà SH ⊥ (ABC), suy SA = SB = a Gọi I trung điểm AB, suy SI ⊥ AB 0,25 AB a 13 = 4 3V 6V a 39 Suy d (C ,( SAB )) = S ABC = S ABC = S ΔSAB SI AB 13 0,25 Do SI = SB − www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 2/4 www.MATHVN.com Câu (1,0 điểm) Đáp án Đặt x = Điểm a b , y = Ta x > 0, y > Điều kiện tốn trở thành xy + x + y = c c 3 32 y Khi P = 32 x + − x2 + y2 3 ( y + 3) ( x + 3) (u + v)3 Với u > 0, v > ta có u + v = (u + v) − 3uv(u + v) ≥ (u + v) − (u + v)3 = 4 3 3 0,25 3 32 x3 + 32 y ≥ ⎛ x + y ⎞ = ⎛ ( x + y ) − xy + x + y ⎞ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ xy + x + y + ⎝ y +3 x+3⎠ ( y + 3)3 ( x + 3)3 ⎝ ⎠ Thay xy = − x − y vào biểu thức ta Do 3 32 x3 + 32 y ≥ ⎛ ( x + y − 1)( x + y + 6) ⎞ = ( x + y − 1)3 Do ⎜ ⎟ 2( x + y + 6) ⎝ ⎠ ( y + 3)3 ( x + 3)3 0,25 P ≥ ( x + y −1)3 − x + y = ( x + y −1)3 − ( x + y ) − xy = ( x + y −1)3 − ( x + y ) + 2( x + y ) − Đặt t = x + y Suy t > P ≥ (t − 1)3 − t + 2t − ( x + y)2 t2 nên (t − 2)(t + 6) ≥ Do t ≥ =t+ 4 t +1 Xét f (t ) = (t − 1)3 − t + 2t − 6, với t ≥ Ta có f '(t ) = 3(t − 1) − t + 2t − Ta có = x + y + xy ≤ ( x + y ) + Với t ≥ ta có 3(t − 1) ≥ t +1 t + 2t − = 1+ 0,25 ≤ + = , nên 2 (t + 1) − > Suy f (t ) ≥ f (2) = − Do P ≥ − Khi a = b = c P = − Do giá trị nhỏ P − Do C ∈ d nên C (t ; −2t − 5) Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD, suy I trung điểm AC Do I t − ; −2t + 2 Tam giác BDN vng N nên IN = IB Suy IN = IA A D Do ta có phương trình f '(t ) ≥ − 7.a (1,0 điểm) ) ( ( I N B 8.a (1,0 điểm) C M ) ( ) 2 ⎛ − t − ⎞ + − − −2t + = − − t − + ⎛8 − − 2t + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⇔ t = Suy C (1; −7) Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB Mà CB = AD CM||AD nên tứ giác ACMD hình bình hành Suy AC||DM Theo giả thiết, BN ⊥ DM, suy BN ⊥ AC CB = CN Vậy B điểm đối xứng N qua AC Đường thẳng AC có phương trình: x + y + = Đường thẳng BN qua N vng góc với AC nên có phương trình x − y − 17 = Do B(3a + 17; a ) Trung điểm BN thuộc AC nên 3a + 17 + ⎞ a − 3⎛⎜ + = ⇔ a = −7 Vậy B ( −4; −7) ⎟+ 2 ⎝ ⎠ JG Δ có véctơ phương u = (−3; −2;1) JG (P) qua A nhận u làm véctơ pháp tuyến, nên (P) có phương trình −3( x − 1) − 2( y − 7) + ( z − 3) = ⇔ 3x + y − z − 14 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 M thuộc Δ nên M (6 − 3t ; −1 − 2t ; −2 + t ) 0,25 AM = 30 ⇔ (6 − 3t − 1) + (−1 − 2t − 7) + (−2 + t − 3)2 = 120 ⇔ 7t − 4t − = 51 ; − ; − 17 ⇔ t = t = − Suy M (3; −3; −1) M 7 7 www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 3/4 ( ) 0,25 www.MATHVN.com Câu 9.a (1,0 điểm) 7.b (1,0 điểm) Đáp án Điểm Số phần tử S A37 = 210 Số cách chọn số chẵn từ S 3.6.5 = 90 (cách) 90 = Xác suất cần tính 210 Gọi M giao điểm tiếp tuyến A B (C), H giao điểm AB IM Khi M (0; t ), với t ≥ 0; H trung điểm AB = 2 AB Suy AH = M 1 = + , suy AM = 10 2 AH AM AI B Do MH = AM − AH = |t | , nên t = Do M (0; 8) Mà MH = d ( M , Δ ) = H Đường thẳng IM qua M vng góc với Δ nên có phương I x + y − = Do tọa độ điểm H thỏa mãn hệ trình A ⎧x − y = Δ ⇒ H (4;4) ⎨ ⎩x + y − = JJJG JJJJG Ta có IH = IA2 − AH = = HM , nên IH = HM 4 Do I (5;3) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy đường tròn (C) có phương trình ( x − 5) + ( y − 3) = 10 8.b (1,0 điểm) (S) có tâm I (1; −2;1) bán kính R = 14 d ( I ,( P)) = | 2.1 + 3(−2) + 1.1 − 11| = 14 = R Do (P) tiếp xúc với (S) 14 22 + 32 + 12 Gọi M tiếp điểm (P) (S) Suy M thuộc đường thẳng qua I vng góc với (P) Do M (1 + 2t ; −2 + 3t ;1 + t ) Do M thuộc (P) nên 2(1 + 2t ) + 3(−2 + 3t ) + (1 + t ) − 11 = ⇔ t = Vậy M (3;1; 2) 9.b (1,0 điểm) ⎛1 3⎞ z = + 3i = ⎜ + i ⎟ ⎠ ⎝2 π π = ⎛⎜ cos + i sin ⎞⎟ 3⎠ ⎝ 5π 5π Suy z = 25 ⎛⎜ cos + i sin ⎞⎟ = 16(1 − 3i ) 3 ⎠ ⎝ Do w = 16( + 1) + 16(1 − 3)i Vậy w có phần thực 16( + 1) phần ảo 16(1 − 3) - Hết - www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 4/4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A Khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− x+2 x−1 (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C) hàm số (1) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình √ sin x + cos x = + sin 2x Câu (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x2 − x + đường thẳng y = 2x + Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = + 5i Tìm phần thực phần ảo z b) Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+y −2z −1 = y z+3 x−2 = = Tìm tọa độ giao điểm d (P ) Viết phương đường thẳng d : −2 trình mặt phẳng chứa d vuông góc với (P ) 3a , hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SD = Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M(1; 2) N(2; −1) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình √ x 12 − y + y(12 − x2 ) = 12 (x, y ∈ R) √ x3 − 8x − = y − Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x2 + y + z = Tìm giá trò lớn biểu thức P = x2 y+z + yz + − x2 + yz + x + x + y + z + −−−−−−Hết−−−−−− Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A Khối A1 (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Câu a) (1,0 điểm) (2,0đ) • Tập xác đònh D = R \ {1} • Sự biến thiên: ; y < 0, ∀x ∈ D (x − 1)2 Hàm số nghòch biến khoảng (−∞; 1) (1; +∞) 0,25 - Chiều biến thiên: y = − - Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = 1; tiệm cận ngang: y = x→−∞ 0,25 x→+∞ lim y = −∞; lim y = +∞; tiệm cận đứng: x = x→1+ x→1− - Bảng biến thiên: x −∞ y y Điểm P P − +∞ − +∞ P PP PP PP q P 0,25 PP PP q −∞ • Đồ thò: y ✆ 0,25 ✄ ✂ O −2 −2 ✁ ✝ x ☎ b) (1,0 điểm) M ∈ (C) ⇒ M a; a+2 , a = a−1 0,25 a+2 a+ √a − Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x d = √ a2 − 2a + = d = ⇔ |a2 + 2| = 2|a − 1| ⇔ a2 + 2a = • a2 − 2a + = 0: phương trình vô nghiệm a=0 • a2 + 2a = ⇔ Suy tọa độ điểm M cần tìm là: M (0; −2) M (−2; 0) a = −2 0,25 0,25 0,25 Đáp án Câu Phương trình cho tương đương với (1,0đ) ⇔ (sin x − 2)(2 cos x − 1) = sin x + cos x = + sin x cos x • sin x − = 0: phương trình vô nghiệm π • cos x − = ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z) π Nghiệm phương trình cho là: x = ± + k2π (k ∈ Z) 3 Phương trình hoành độ giao điểm đường cong y = x − x + đường thẳng x=1 (1,0đ) y = 2x + x2 − x + = 2x + ⇔ x = Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Diện tích hình phẳng cần tìm S = |x2 − 3x + 2|dx 0,25 x3 3x2 − + 2x (x2 − 3x + 2)dx = = 0,25 1 = 0,25 3a + b = a) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết suy a−b=5 (1,0đ) ⇔ a = 2, b = −3 Do số phức z có phần thực 2, phần ảo −3 0,25 0,25 b) Số phần tử không gian mẫu là: C 416 = 1820 0,25 Số kết thuận lợi cho biến cố “4 thẻ đánh số chẵn” là: C 48 = 70 70 Xác suất cần tính p = = 1820 26 0,25 Gọi M giao điểm d (P ), suy M (2 + t; −2t; −3 + 3t) 0,25 Do M ; −3; 2 − → − → d có vectơ phương u = (1; −2; 3), (P ) có vectơ pháp tuyến n = (2; 1; −2) → − Mặt phẳng (α) cần viết phương trình có vectơ pháp tuyến [ − u,→ n ] = (1; 8; 5) 0,25 Ta có A(2; 0; −3) ∈ d nên A ∈ (α) Do (α) : (x − 2) + 8(y − 0) + 5(z + 3) = 0, nghóa (α) : x + 8y + 5z + 13 = 0,25 (1,0đ) M ∈ (P ) suy 2(2 + t) + (−2t) − 2(−3 + 3t) − = ⇔ t = (1,0đ) Gọi H trung điểm AB, suy √ SH ⊥ (ABCD) Do SH ⊥ HD Ta có SH = SD − DH = SD − (AH + AD ) = a S B ✍ E ✟ ✠ ✌ H ☛ ✞ A a3 SH.SABCD = 3 Gọi K hình chiếu vuông góc H BD E hình chiếu vuông góc H SK Ta có BD ⊥ HK BD ⊥ SH, nên BD ⊥ (SHK) Suy BD ⊥ HE Mà HE ⊥ SK, HE ⊥ (SBD) √ a Ta có HK = HB sin KBH = HS.HK a Suy HE = √ = 2 HS + HK 2a Do d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE = Suy V S.ABCD = ☞ K ✡ D C 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đáp án √ Ta có M N = 10 Gọi a độ dài cạnh của√ hình vuông ABCD, I C 3AC 3a a (1,0đ) D = , a > Ta có AM = AN = 4 5a2 N nên M N = AM + AN − 2AM.AN cos M AN = 5a Do = 10, nghóa a = Gọi I(x; y) trung điểm CD Ta có IM = AD = BD √ A M B = 2, nên ta có hệ phương trình IN = x = 1; y = −2 (x − 1)2 + (y − 2)2 = 16 ⇔ 17 (x − 2)2 + (y + 1)2 = x= ;y = − 5 −−→ • Với x = 1; y = −2 ta có I(1; −2) IM = (0; 4) −−→ Đường thẳng CD qua I có vectơ pháp tuyến IM, nên có phương trình y + = Câu ✒ ✕ Điểm ✑ ✔ 0,25 ✖ ✎ ✓ ✏ 17 17 −−→ 12 16 ; y = − ta có I ;− IM = − ; 5 5 5 −−→ Đường thẳng CD qua I có vectơ pháp tuyến IM, nên có phương trình 3x−4y−15 = • Với x = (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 √ x 12 − y + √ √ y(12 − x2 ) = 12 (1) Điề u kiệ n : −2 ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 √ x3 − 8x − = y − (2) √ x2 + 12 − y y + 12 − x2 Ta có x 12 − y ≤ y(12 − x2 ) ≤ 2 √ x≥0 nên x 12 − y + y(12 − x ) ≤ 12 Do (1) ⇔ y = 12 − x2 √ √ Thay vào (2) ta x3 − 8x − = 10 − x2 ⇔ x3 − 8x − + 2(1 − 10 − x2 ) = 2(x + 3) √ ⇔ (x − 3) x2 + 3x + + = (3) + 10 − x2 Do x ≥ nên x2 + 3x + + 2(x + 3) √ > + 10 − x2 Do (3) ⇔ x = Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm: (x; y) = (3; 3) Ta có ≤ (x − y − z)2 = x2 + y + z − 2xy − 2xz + 2yz = 2(1 − xy − xz + yz), (1,0đ) nên x2 + yz + x + = x(x + y + z + 1) + (1 − xy − xz + yz) ≥ x(x + y + z + 1) x2 x Suy ≤ x + yz + x + x+y+z+1 Mặc khác, (x + y + z) = x2 + y + z + 2x(y + z) + 2yz = + 2yz + 2x(y + z) x+y+z (x + y + z)2 ≤ + 2yz + [x2 + (y + z)2 ] = 4(1 + yz) Do P ≤ − x+y+z+1 36 Đặt t = x + y + z, suy t ≥ t = (x + y + z)2 = (x2 +√ y + z ) + 2xy + 2yz + 2zx ≤ + (x2 + y ) + (y + z ) + (z + x2 ) = Do ≤ t ≤ √ t t2 Xét f (t) = − , với ≤ t ≤ t + 36 t (t − 2)(t2 + 4t + 9) Ta có f (t) = − = − , nên f (t) = ⇔ t = (t + 1)2 18 18(t + 1)2 √ √ √ 31 Ta có f (0) = 0; f (2) = f ( 6) = − , nên f (t) ≤ ≤ t ≤ 30 5 Do P ≤ Khi x = y = z = P = Do giá trò lớn P 9 −−−−−−Hết−−−−−− 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2015 Mơn thi: TỐN – Giáo dục trung học phổ thơng Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x 3x Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x) x đoạn [1;3] x Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn ( i )z 5i Tìm phần thực phần ảo z b) Giải phương trình : log ( x2 x 2) Câu (1,0 điểm)Tính tích phân I = ( x - )e x dx Câu 5(1,0 điểm) : Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A (1;-2;1), B(2;1;3) mặt phẳng (P) x y 2z Viết phương trình đường thẳng AB tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức P ( cos 2 )( cos 2 ) biết sin b) Trong đợt phòng chống dịch MERS-CoV Sở y tế thành phố chọn ngẫu nhiên đội phòng chống dịch động số đội Trung tâm y tế dự phòng TPHCM 20 đội Trung tâm y tế sở để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Tính xác suất để có đội Trung tâm y tế sở chọn Câu 7(1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳmg (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ACBD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB, AC Câu (1,0 điểm): Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A Gọi H hình chiếu A cạnh BC; D điểm đối xứng B qua H; K hình chiếu vng góc C đường thẳng AD Giả sử H (-5;-5), K (9;-3) trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng : x - y + 10 = Tìm tọa độ điểm A x 2 x x 1 x tập số thực x2 x Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực a,b,c thuộc đoạn [1,3] thỏa mãn điều kiện a b c Tìm giá trị lớn biểu thức Câu (1,0 điểm) : Giải phương trình : P= a b2 b2c2 c2a 12abc 72 abc ab bc ca hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn BÀI GIẢI Câu 1: a) Tập xác định R, y' = 3x2-3, y' = x = -1 hay x = Đồ thị hàm số đạt cực trị tại: A ( -1 ; ) hay B ( ; -2 ) lim y lim y x x Bảng biến thiên x y’ y -1 + CĐ + + + -2 CT Hàm số đồng biến khoảng (∞; -1) (1; +∞) Hàm số nghịch biến (-1;1) y" = 6x; y” = x = Điểm uốn I (0; 0) Đồ thị : y -1 x -2 Câu 2: f’(x) = x2 [1; 3] ta có : f’(x) = x 13 Vậy : f ( x) ; max f ( x) [1;3] [1;3] Câu 3: a) (1 – i)z – + 5i = (1 – i)z = – 5i 5i (1 5i)(1 i) 4i 5i z 2i 1 i (1 i)(1 i) Vậy phần thực z 3; phần ảo z -2 b) log ( x2 x 2) log x2 x x hay x 3 f(1) = 5; f(2) = 4; f(3) = Câu 4: I ( x 3)e x dx Đặt u = x – du dx Đặt dv = exdx , chọn v = ex I = ( x 3)e x 1 e x dx 2e e x 3e 0 uuur Câu 5: a) AB qua A (1; -2; 1) có VTCP AB =(1; 3; 2) nên có pt: x 1 y z 1 b) Tọa độ giao điểm M AB (P) nghiệm hệ phương trình: x 1 y z 1 M (0; 5; 1) x y z Câu 6: 14 a) P = 1 3(1 2sin ) 2 3(1 2sin ) P 1 3(1 ) 3( ) b) Số phần tử khơng gian mẫu là: n() C25 2300 A biến cố có đội trung tâm y tế sở Số phân tử A : n(A) = C20 C51 C20 2090 n( A) 209 Xác suất thỏa ycbt : P = n() 230 Câu 7: a) Do góc SCA = 45o nên tam giác SAC vng cân A Ta có AS = AC = a3 H = a V a a 3 B b) Gọi M cho ABMC hình bình hành Vẽ AH vng góc với BM H, AK vng góc SH K Suy ra, AK vng góc (SBM) 1 1 Ta có: 2 2 2 2 AK SA AH 2a 2a 2a S K A C M Vì AC song song (SBM) suy d(AC, SB) = d(A; (SBM)) = AK = Câu 8: Đường trung trực HK có phương trình y = -7x + 10 cắt phương trình (d): x – y + 10 = điểm M (0; 10) Vì ∆HAK cân H nên điểm A điểm đối xứng K qua MH : y = 3x + 10, tọa độ điểm A (-15; 5) Câu 9: ĐK : x -2 ( x )( x ) x2 ( x 1) x 2x x2 2 x x4 x 1 (1 ) x22 x 2x M D B ( x )( x ) ( x ) 2 ( x )2 ( ) Đặt f(t) = ( t )( t ) t 2t 2t với t R f '( t ) 3t 4t f(t) đồng biến Vậy (2) x x x 13 13 x Vậy x = hay x = 2 x 2x x a 2b2 b 2c c a 12abc 72 abc ab bc ca 2 2 2 2 Ta có : ( ab bc ca ) a b b c c a 2abc( a b c ) = a 2b2 b2c2 c2a 12abc ( a b c )2 12 Đặt x = ab + bc + ca ≤ Ta có : a, b, c [ 1; ] a A ( ) ( x )( x ) ( x )( x 2x ) Câu 10: P = D C H K ( a )( b 1 )( c 1 ) abc ( ab bc ac ) a b c 1 abc x abc x Lại có : ( a )( b )( c ) abc 3( ab bc ac ) 9( a b c ) 27 abc 3x 27 Vậy : 3x – 27 ≥ abc ≥ x – 3x – 27 ≥ x – 2x ≥ 22 x ≥ 11 x 72 x 72 x 72 P= abc ≤ ( x 5) = (x thuộc [11; 12]) x x 2 x 72 11 72 160 P’ = ≤ P ≤ x 11 11 160 160 P= a = 1, b = 2, c = Vậy maxP = 11 11 Th S Huỳnh Hồng, Dung Trần Văn Tồn , Trần Minh Thịnh (Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn – TP.HCM) [...]... Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1 (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Câu a) (1,0 điểm) 1 (2,0đ) • Tập xác đònh D = R \ {1} • Sự biến thi n: 3 ;... ảo là 16(1 − 3) - Hết - www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 4/4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− x+2 x−1 (1) a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1) b)... sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Mơn: TỐN; Khối A và khối A1 (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (2,0 điểm) Đáp án Điểm a (1,0 điểm) Khi... …………………………………………………………………………………………… BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC www.MATHVN.com ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − 1 (1), với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = 0 b)... 1 2 , b = − ⋅ Suy ra mơđun: | z | = a 2 + b 2 = ⋅ 3 3 3 - Hết - Trang 5/5 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 PH N CHUN ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 M : TO N : 1 CHO T T C TH SINH 7 0 C Cho h m s 1 20 y x4 2( m 1 )x 2 m2 ( 1 ) ,với m là tham s thực h o s t sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm s (1) khi m = 0 b Tìm m để đồ thị hàm s (1 có b điểm cực trị tạo th nh b đỉnh của một tam giác vng... 5( z i ) 2 i Tính mơđun của s phức w = 1 + z + z2 z 1 …………………………………………………………………………………………………… Hướng dẫn giải : ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 PH N CHUN M : TO N CHO T T C TH SINH 7 0 C Cho h m s 1 20 : 1 y x4 2( m 1 )x 2 m2 ( 1 ) ,với m là tham s thực h o s t sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm s (1) khi m = 0 b Tìm m để đồ thị hàm s (1 có b điểm cực trị tạo th nh b đỉnh của một tam giác... sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x bằng Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình √ 2 sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x Câu 3 (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 − x + 3 và đường thẳng y = 2x + 1 Câu 4 (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = 3 + 5i Tìm phần thực và phần ảo của z b) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên... > 0 Xét f ( x) = x 2 − 2 x với x > 0 Ta có f '( x) = 2 x − 2; f '( x) = 0 ⇔ x = 1 0,25 0,25 Bảng biến thi n: x 0 − f '( x) f ( x) +∞ 1 0 + +∞ 0 0,25 −1 Dựa vào bảng biến thi n ta được giá trị m thỏa mãn u cầu của bài tốn là m ≤ −1 www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 1/4 0,25 www.MATHVN.com Câu 2 (1,0 điểm) Đáp án Điểm Điều kiện: cos x ≠ 0 Phương trình đã cho tương đương với 1 + sin x = 2(sin x + cos x) cos... có y = − x3 + 3 x 2 − 1 • Tập xác định: D = \ • Sự biến thi n: 0,25 - Chiều biến thi n: y ' = −3x 2 + 6 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 Khoảng đồng biến: (0; 2); các khoảng nghịch biến: (−∞; 0) và (2; + ∞) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = −1; đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3 - Giới hạn: lim y = +∞; lim y = −∞ x→−∞ 0,25 x→+∞ - Bảng biến thi n: x −∞ 0 y' − +∞ 2 0 0 3 + +∞ y − 0,25 −1 • Đồ thị:... (1,0 điểm) Tính tích phân x2 − 1 ln x dx x2 I= 1 Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC = 30◦ , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mã√ n điều kiện (a + c)(b + c) = 4c2 Tìm giá trò 32a3 32b3 a 2 + b2 nhỏ nhất ... coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN... f '( x) = ⇔ x = 0,25 0,25 Bảng biến thi n: x − f '( x) f ( x) +∞ + +∞ 0,25 −1 Dựa vào bảng biến thi n ta giá trị m thỏa mãn u cầu tốn m ≤ −1 www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 1/4 0,25 www.MATHVN.com... - Hết - www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 4/4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC