Tóm tắt lý thuyết Giải 1,2,3 trang 82; Bài 4,5 trang 83 SGK đại số giải tích 11: Phương pháp quy nạp toán học Đây Chương Đại số giải tích lớp 11: Dãy số – cấp số cộng cấp số nhân Xem lại: • Bài tập SGK chương đại số giải tích lớp 11 • Giải ôn tập chương đại số giải tích 11: Bài 1,2,3, 4,5,6, 7,8,9, 10,11,12, 13,14,15 trang 76, 77, 78 A Tóm tắt lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề P(n) với n ∈ N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, tiến hành theo hai bước sau: Bước (bước sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) với n = Bước ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) với số tự nhiên n = k, (k ≥ 1) (ta gọi giả thiết quy nạp) chứng minh với n = k + Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề P(n) đùng với n ∈ N* Trong trường hợp phải chứng minh mệnh đề P(n) lf vơi số tự nhiên n ≥ p (p số tự nhiên) thì: – Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề P(n) với n = p Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề P(n) với số tự nhiên n = k, (k ≥ p) chứng minh với n = k + Phép thử với số hữu hạn số tự nhiên chứng minh cho phép ta dự đoán kết Kết giá thuyết để chứng minh ta dùng phương pháp quy nạp toán học Một số toán thường gặp – Chứng minh mệnh đề toán học liên quan đến lập luận lôgic – Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức – Dự đoán kết chứng minh A Giải tập sách giáo khoa phương pháp quy nạp toán học – Sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 trang 82,83 Bài trang 82 SGK Đại số giải tích lớp 11 Chứng minh với n ∈ N*, ta có đẳng thức: Đáp án hướng dẫn giải 1: a) Với n = 1, vế trái có số hạng 2, vế phải (3+1) / = Vậy VT = VP hệ thức a) với n = Đặt vế trái Sn Giả sử đẳng thức a) với n = k ≥ 1, tức Ta phải chứng minh a) với n = k + 1, nghĩa phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: (điều phải chứng minh) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) với n ∈ N* b) Với n = 1, vế trái 1/2, vế phải 1/2, hệ thức Đặt vế trái Sn Giả sử hệ thức b) với n = k ≥ 1, tức Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: (điều phải chứng minh) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) với n ∈ N* c) Với n = 1, vế trái 1, vế phải 1(1+1)(2+1) / = nên hệ thức c) với n = Đặt vế trái Sn Giả sử hệ thức c) với n = k ≥ 1, tức Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: (đpcm) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) với n ∈ N* Bài trang 82 SGK Đại số giải tích lớp 11 Chứng minh với n ε N* ta có: a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3; b) 4n + 15n – chia hết cho 9; c) n3 + 11n chia hết cho Đáp án hướng dẫn giải 2: a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n Với n = S1 = chia hết cho Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) ⋮ Ta phải chứng minh Sk+1 ⋮ Thật Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + + 3k2 + 6k + + 5k + = k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3) Theo giả thiết quy nạp Sk⋮3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) ⋮3 nên Sk+1 ⋮ Vậy (n3 + 3n2 + 5n) ⋮ với n ∈ N* b) Đặt Sn = 4n + 15n – Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – = 18 nên S1 ⋮9 Giả sử với n = k ≥ Sk= 4k + 15k – chia hết cho Ta phải chứng minh Sk+1 ⋮ Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + + 15(k + 1) – = 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2) Theo giả thiết quy nạp Sk ⋮ nên 4S1 ⋮ 9, mặt khác 9(5k – 2) ⋮ 9, nên Sk+1 ⋮ Vậy (4n + 15n – 1) ⋮ với n ∈ N* c) Đặt Sn = n3 + 11n Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 ⋮ Giả sử với n = k ≥ ,ta có Sk = k3 + 11k ⋮ Ta phải chứng minh Sk+1 ⋮ Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + + 11k + 11 = ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4) THeo giả thiết quy nạp Sk ⋮ 6, mặt khác k2 + k + = k(k + 1) + số chẵn nên 3(k2 + k + 4) ⋮ 6, Sk+1 ⋮ Vậy n3 + 11n chia hết cho với n ∈ N* Bài trang 82 SGK Đại số giải tích lớp 11 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 2, ta có bất đẳng thức: a) 3n > 3n + 1; b) 2n + > 2n + Đáp án hướng dẫn giải 3: a) Dễ thấy bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức với n = k ≥ 2, tức 3k > 3k + (1) Nhân hai vế (1) vơi 3, ta được: 3k + > 9k + ⇔ 3k + > 3k + + 6k -1 Vì 6k – > nên 3k + > 3k + hay 3k + > 3(k + 1) + tức bất đẳng thức với n = k + Vậy 3n > 3n + với số tự nhiên n ≥ b) Với n = vế trái 8, vế phải Vậy bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức với n = k ≥ 2, tức 2k + > 2k + (2) Ta phải chứng minh với n= k + 1, nghĩa phải chứng minh 2k + > 2(k + 1) + 2k + > 2k + Nhân hai vế bất đẳng thức (2) với 2, ta được: 2k + > 4k + ⇔ 2k + > 2k +5 + 2k + Vì 2k + 1> nên 2k + > 2k + Vậy 2n + > 2n + với số tự nhiên n ≥ Bài trang 83 SGK Đại số giải tích lớp 11 Cho tổng với n ∈ N* a) Tính S1, S2, S3 b) Dự đoán công thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp Đáp án hướng dẫn giải 4: a) Ta có: b) Từ câu a) ta dự đoán Sn=n/(n+1) (1), với n ∈ N* Ta chứng minh đẳng thức (1) phương pháp quy nạp Khi n = 1, vế trái S1 =1/2, vế phải 1/(1+1)=1/2 Vậy đẳng thức (1) Giả sử đẳng thức (1) với n = ≥ 1, tức Ta phải chứng minh n = k + 1, nghĩa phải chứng minh Ta có tức đẳng thức (1) với n = k + Vậy đẳng thức (1) chứng minh Bài trang 83 SGK Đại số giải tích lớp 11 Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh 5: Đáp án hướng dẫn giải Ta chứng minh khẳng định với n ∈ N* , n ≥ Với n = 4, ta có tứ giác nên có hai đường chéo Mặt khác thay n = vào công thức, ta có số đường chéo tứ giác theo công thức là: 4(4-3)/2 = Vậy khẳng định với n= Giả sử khẳng định với n = k ≥ 4, tức đa giác lồi k cạnh có số đường chéo k(k – 3)/2 ... Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: (đpcm) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) với n ∈ N* Bài trang 82 SGK Đại số giải tích lớp 11 Chứng minh với n ε N* ta có:... thiết quy nạp Sk ⋮ 6, mặt khác k2 + k + = k(k + 1) + số chẵn nên 3(k2 + k + 4) ⋮ 6, Sk+1 ⋮ Vậy n3 + 11n chia hết cho với n ∈ N* Bài trang 82 SGK Đại số giải tích lớp 11 Chứng minh với số tự nhiên... + > 2n + với số tự nhiên n ≥ Bài trang 83 SGK Đại số giải tích lớp 11 Cho tổng với n ∈ N* a) Tính S1, S2, S3 b) Dự đoán công thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp Đáp án hướng dẫn giải 4: a) Ta