3 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết ổn định lý thuyết tốn học có nhiều ứng dụng khoa học, đặc biệt kỹ thuật học Đã có nhiều nhà Tốn học nghiên cứu lý thuyết ổn định, nhiên bó hẹp việc giải tốn xác định ổn định không ổn định A.M.Liapunov thiết lập hàng loạt điều kiện đủ tổng quát cho ổn định không ổn định chuyển động khơng có nhiễu, mơ tả hệ phương trình vi phân thông thường Để đưa vấn đề ổn định chuyển động khơng có nhiễu vấn đề ổn định vị trí cân Vận dụng hàm Liapunov hệ thống điều chỉnh cho phép đánh giá: Sự thay đổi đại lượng điều chỉnh, thời gian điều chỉnh,chất lượng điều chỉnh ảnh hưởng nhiễu loạn tác dụng thường xuyên Ngoài hàm Liapunov cho phép giải vấn đề: ổn định “trong toàn cục” tức đánh giá miền nhiễu ban đầu, theo thời gian khơng vượt ngồi giới hạn miền cho trước Chính lý trên, tơi chọn đề tài “lý thuyết ổn định ứng dụng” với mong muốn tìm hiểu cách rõ ràng sâu rộng lý thuyết ổn định, đặc biệt vận dụng hàm liapunov hệ phương trình tuyến tính hệ phi tuyến có dạng đặc biệt Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov ứng dụng vào hệ phương trình tuyến tính, hệ phi tuyến có dạng đặc biệt Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov, định lý ổn định không ổn định liapunov - Đánh giá ổn định nghiệm hệ phương trình tuyến tính 4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov (tức ổn định với nhiễu ban đầu) Đánh giá nghiệm hệ phương trình tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Phương pháp định tính đánh giá hệ phương trình vi phân Những đóng góp luận văn Vận dụng hàm liapunov xét ổn định hệ phương trình tuyến tính CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Không gian véctơ 1.1.1 Định nghĩa không gian véctơ r r r Cho tập hợp V mà phần tử kí hiệu α ; β ; γ ; trường K mà phần tử kí hiệu là: x, y, z , giả sử V có phép tốn: Phép tốn trong, kí hiệu: +: V ×V → V ur ur r r (α , β ) a α + β Phép tốn ngồi, kí hiệu : : K ×V → V ur ur ( x,α ) a x.α Thỏa mãn tính chất sau (cũng nói thỏa mãn tiên đề sau): r r r với α , β , γ ∈V với x, y, z ∈ K : r r r r r r 1) α + β ) + γ = α + ( β + γ ) ( ) r r r r r r 2) Có ∈V cho + α = α + = α r r r r r r r r 3) α ' ∈V cho α '+ α = α + α ' = kí hiệu α , = −α r r r r 4) α + β = β + α r r r 5) ( x + y ).α = x.α + y.α r r r r x ( α + β ) = x α + x β 6) r r 7) x.( y.α ) = ( x y ).α r r 8) 1.α = α phần tử đơn vị trường K Khi V (cùng với phép toán xác định trên) gọi không gian véctơ trường K , hay K - không gian véctơ, hay vắn tắt không gian véctơ Khi K = ¡ , V gọi không gian véctơ thực Khi K = £ , V gọi không gian véctơ phức Các phần tử V gọi véctơ, phần tử K gọi vơ hướng Phép tốn “+” gọi phép cộng véctơ, phép toán “ ” gọi phép nhân véctơ với vô hướng r r Để cho gọn dấu “ ” nhiều lược bỏ, thay x.α ta viết xα Bốn tiên đề chứng tỏ V nhóm giao hốn phép cộng véctơ Các tiên đề 5, theo thứ tự nói lên phép nhân véctơ với vơ hướng có tính chất phân phối phép cộng vô hướng, phân phối phép cộng véctơ có tính chất kết hợp 1.1.2 Ví dụ không gian véctơ a) Tập hợp véctơ (“tự do”) không gian ¡ , ¡ , ¡ với phép toán cộng nhân véctơ với số thực không gian véctơ thực b) Tập K [ x ] đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường K với phép cộng đa thức nhân đa thức với phần tử thuộc trường K K không gian véctơ c) Tập số phức £ với phép cộng số phức nhân số phức £ khơng gian véctơ Trong £ với phép cộng số phức nhân số phức với số thực ¡ - không gian véctơ d) Tập ¡ số thực với phép cộng số thực nhân số thực với số hữu tỷ l mt Ô - khụng gian vộct e) Trong nhúm cộng ma trận cỡ (m × n) trường K ta đưa vào phép nhân với vô hướng sau, với: A = (aij ) i = 1, m; j = 1, n kA = ( kaij ) Dễ thử thấy K - khơng gian véctơ 1.2 Dạng toàn phương 1.2.1 Định nghĩa Giả sử η :V × V → ¡ r r r r (α , β ) a η (α , β ) dạng song tuyến tính đối xứng ¡ - không gian véctơ V Ánh xạ (tức hàm số) H :V → ¡ → r r r α a H (α ) = η (α ,α ) gọi dạng toàn phương V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η Chú ý: Nếu cho trước dạng tồn phương H ¡ - khơng gian véctơ V dạng song tuyến tính đối xứng η V nhận H làm dạng toàn phương tương ứng hoàn toàn xác định: → r r r r r η (α + β ) =  H (α + β ) − H (α ) − H ( β )    η gọi dạng cực dạng toàn phương H 1.2.2 Biểu thức tọa độ Biểu thức tọa độ dạng toàn phương H ứng với η có dạng: r H (α ) = n ∑ a x x i , j =1 ij i j r với α = ( x1 , x2 , , xn ) ∈V Ma trận A= (aij ) gọi ma trận dạng toàn phương H 1.2.3 Biểu thức tọa độ dạng tắc dạng tồn phương r r r Nếu ¡ - không gian véctơ V có sở ( µ1 , µ , , µ n ), r r r r η ( µi , µ j ) = với i ≠ j sở ma trận A = (aij ), aij = η ( µi , µ j ) , có dạng chéo Dạng tồn phương H ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η V n sở có biểu thức tọa độ dạng: ∑a x ; i =1 i i = aij Cơ sở gọi η - trực giao V hay gọi tắt sở trực giao V η rõ Biểu thức gọi biểu thức tọa độ dạng tắc H 1.3 Phương trình vi phân 1.3.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp có dạng tổng quát : F ( x, y, y′) = (1.1) hàm F xác định miền D ⊂ ¡ Nếu miền D , từ phương trình (1.1) ta giải thích y′ : y′ = f ( x, y ) ( 1.2) ta phương trình vi phân cấp giải đạo hàm Hàm y = ϕ ( x) xác định khả vi khoảng I = (a, b) gọi nghiệm phương trình (1.1) nếu: a) ( x,ϕ ( x),ϕ ′( x)) ∈ D với x ∈ I b) F ( x,ϕ ( x),ϕ ′( x)) ≡ I Ví dụ 1: Phương trình: dy = 2y dx 2x có nghiệm hàm y = ce xác định khoảng (−∞; +∞) (với c số tùy ý) Ví dụ 2: Phương trình: y′ = + y (1.3) π π có nghiệm hàm y = t anx xác định khoảng (− ; ) Có thể kiểm tra 2 trực tiếp hàm y = tan ( x + c ) với số c cố định nghiệm phương trình (1.3) khoảng xác định tương ứng 1.3.2 Định nghĩa phương trình vi phân cấp cao Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát: F ( x, y, y′, , y ( n ) ) = (1.4) Hàm F xác định miền G khơng gian ¡ n+ Trong phương trình (1.4) vắng mặt số biến: x, y, y′, , y ( n−1) y ( n ) thiết phải có mặt Nếu từ (1.4) ta giải đạo hàm cấp cao nhất, tức phương trình (1.4) có dạng: y ( n ) = F ( x, y, y′, , y ( n −1) ) (1.5) ta gọi phương trình vi phân cấp n giải đạo hàm cấp cao Nghiệm phương trình (1.4) hàm y = ϕ ( x) khả vi n lần khoảng (a, b) cho: (n) a) ( x,ϕ( x ) ,ϕ(′x ) , ,ϕ( x ) ) ∈ G với x ∈ ( a, b) b) Nó nghiệm phương trình (1.4) (a, b) Ví dụ 1: Phương trình: y′′ − y = 2x −2 x có nghiệm tổng quát ϕ( x ) = c1.e + c2 e c1 , c2 số 10 Ví dụ 2: Phương trình: xyy′′ + xy′2 − yy′ = có nghiệm tổng quát là: y = c1 x + c2 , c1 , c2 hai số 1.3.3 Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng qt là: a0 ( x) y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + + an ( x) y = g ( x ) (1.6) Như hàm F định nghĩa dạng tổng quát phương (n) trình vi phân cấp cao phụ thuộc cách tuyến tính theo y, y′, , y Ta giả thiết hàm a0 ( x); a1 ( x); ; an ( x), g ( x) liên tục khoảng (a, b) a0 ( x) ≠ (a, b) Khi chia hai vế phương trình (1.1) cho a0 ( x) ta phương trình: y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + + pn ( x ) y = f ( x ) (1.7) : pi ( x) = ( x) g ( x) ; f ( x) = ; (i = 1,2, , n) a0 ( x) a0 ( x) hàm số liên tục khoảng (a, b) Nếu phương trình (1.7) hàm f ( x) ≡ tức ta có phương trình: y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + + pn ( x ) y = (1.8) gọi phương trình tuyến tính cấp n phương trình (1.7) gọi phương trình tuyến tính khơng cấp n 1.4 Hệ phương trình vi phân 1.4.1 Định nghĩa Hệ n phương trình vi phân cấp dạng chuẩn tắc hệ phương trình sau: 11  dy1  dx = f1 ( x, y1 , y2 , , yn )   dy2 = f ( x, y , y , , y ) 2 n  dx L L L L L   dyn = f ( x, y , y , , y ) n n  dx (1.9) Ở x biến số độc lập y1 = y1 ( x); y2 = y2 ( x ); ; yn = yn ( x) hàm phải tìm Các hàm f i (i = 1,2, , n) xác định miền G không gian n + chiều ¡ n+1 Hệ n hàm khả vi y1 = ϕ1 ( x); y2 = ϕ ( x); ; yn = ϕ n ( x) xác định khoảng (a, b) gọi nghiệm hệ (1.9) với x ∈ (a, b) điểm ( x,ϕ1 ( x),ϕ ( x), ,ϕ n ( x)) ∈ G thay chúng vào hệ (1.9) ta n đồng thức theo x (a, b) Tập hợp điểm: Γ = { ( x,ϕ1 ( x),ϕ ( x), ,ϕn ( x)), x ∈ ( a, b)} gọi đường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ1 ( x),ϕ ( x); ,ϕn ( x) hiển nhiên Γ ⊂ ¡ n+1 Bây ta coi ( y1 , y2 , , yn ) tọa độ điểm không gian n chiều ¡ n mà ta gọi khơng gian pha Khi tập hợp điểm: γ = { (ϕ1 ( x),ϕ2 ( x), ,ϕ n ( x)), x ∈ (a, b)} gọi đường cong pha hay quỹ đạo pha Hiển nhiên đường cong pha chứa không gian pha Không gian ¡ n+1 thường gọi không gian pha suy rộng Đường cong tích phân chứa khơng gian pha suy rộng 1.4.2 Ý nghĩa học Ta coi t biến độc lập, x1 , x2 , , xn tọa độ điểm không gian pha ¡ n Khi hệ phương trình vi phân cấp một: 12  dx1  dt = F1 (t , x1 , x2 , , xn )   dx2 = F (t , x , x , , x ) 2 n  dt L L L L L   dxn = F (t , x , x , , x ) n n  dt hệ phương trình chuyển động điểm không gian pha ¡ (1.10) n mà: dx   dx1 dx2 ; ; ; n ÷  dt   dt dt véctơ vận tốc điểm Tại điểm M khơng gian pha véctơ vận tốc thay đổi theo thời gian nên ta nói hệ (1.10) xác định trường vận tốc khơng dừng Nếu kí hiệu X véctơ ( x1 , x2 , , xn ) , F véctơ ( F1 , F2 , , Fn ) hệ (1.10) viết dạng dX = F (t , X ) dt Ta xét trường hợp đặc biệt hệ (1.10) vế phải không phụ thuộc vào t :  dx1  dt = F1 ( x1 , x2 , , xn )   dx2 = F ( x , x , , x ) 2 n  dt L L L L   dxn = F ( x , x , , x ) n n  dt (1.11) Đối với hệ (1.11) véctơ vận tốc điểm M khơng thay đổi theo thời gian Ta nói hệ (1.11) xác định trường vận tốc dừng gọi hệ ơ- tơ-nơm hay hệ dừng 1.5 Tiêu chuẩn Hurwitz 30 − v v ≥ −r ≥ − , λn λ1 (3.6) λ1 , λn tương ứng giá trị riêng nhỏ lớn dạng v Bởi vậy, từ hệ thức (3.5) (3.6) ta suy bất đẳng thức: − v dv v ≤ ≤− , λ1 dt λn cịn viết dạng: − dt dv dt ≤ ≤− λ1 v λn (3.7) Tích phân (3.7) từ không t ký hiệu v0 giá trị hàm v điểm đầu quỹ đạo điểm p , ta nhận được: v0e − t / λ ≤ v ≤ v0e − t / λ n Sử dụng bất đẳng thức (3.6) ta nhận đánh giá triệt để r dọc theo nghiệm hệ (3.4): v0 − t / λ v e ≤ r ≤ e−t /λ λn λ1 (3.8) n Bất đẳng thức (3.8) sử dụng để đánh giá thời gian trình chuyển tiếp Thực vậy, giải t phương trình v0 − t / λ e = ε , ta nhận λ1 n λ1ε được: t = −λn ln v0 Vậy thời gian trình chuyển tiếp t ( p, ε ) tức thời gian cần thiết để đại lượng r bắt đầu từ trở sau ln nhỏ ε thỏa mãn bất đẳng thức: λ1ε t ( p, ε ) ≤ −λn ln v0 31 3.2 Ổn định theo xấp xỉ thứ Cùng với hệ: dxi n = ∑ aik xk + X i ( x1 ,K , xn ), i = 1,2, , n dt k =1 (3.9) Ta xét hệ: dxi n = ∑ aik xk , i = 1,2, , n dt k =1 (3.10) Giả sử X i (0,K ,0) = 1+α  n x2  , X ( x , K , x ) ≤ M ∑ i ÷ ∑ n i =1  i =1  n 2 (3.11) α > cịn M số dương Hệ (3.10) gọi hệ xấp xỉ thứ Ta đặt tốn tìm điều kiện để chúng thỏa mãn từ ổn định không ổn định hệ xấp xỉ thứ ta suy cách tương ứng ổn định không ổn định nghiệm không hệ (3.9) Bổ đề: Giả sử ω dạng toàn phương xác định dấu, v dạng ∂v X i xác định dấu dấu trùng với ω i =1 ∂x i n toàn phương Hàm số ω + ∑ lân cận gốc tọa độ Theo (3.3) ta có: ρ1r ≤ ω ≤ ρ n r , ρ1 giá trị riêng nhỏ nhất, ρ n giá trị riêng lớn dạng ω , 1/2 n r =  ∑ xi2 ÷ Bởi  i =1   ∂v  ∑  ÷ dạng tồn phương nên ta có: i =1  ∂t  n  ∂v  2 ∆ r ≤ ∑ ÷ ≤ ∆nr , i =1  ∂xi  2 n 32 2 ∆1 , ∆ n giá trị riêng dạng tồn phương nói Từ bất đẳng thức Bunhiacovsky – Schwartz (3.11) ta suy ra: 1/2  n  ∂v 2   n 1/2 ∂v Xi ≤  ∑ ÷  ∑ X i ÷ ≤ M ∆ nr α +2 ∑ ÷  i =1  ∂xi  ÷  i =1 i =1 ∂x  i   n giả sử ω dạng toàn phương xác định âm Ta có: ∂v X i ≤ ( ρ n + M ∆ n r α )r i =1 ∂x i n ω+∑ Nếu ta chọn lân cận cho M ∆ n r α < ρn ta nhận bất đẳng thức cần tìm ∂v X i < r ≠ i =1 ∂x i n ω+∑ Nếu ω > ta có: ∂v X i > ( ρ1 − M ∆ n r α )r > r ≠ miễn M ∆ n r α < ρ1 i =1 ∂x i n ω+∑ Định lý 3.2.1 : (Định lý ổn định theo xấp xỉ thứ nhất): Nếu nghiệm phương trình đặc trưng hệ xấp xỉ thứ có phần thực âm nghiệm khơng hệ (3.9) ổn định tiệm cận Thực vậy, tồn dạng toàn phương xác định dương v , đạo hàm lấy theo hệ (3.10) −r Đạo hàm hàm v dựa vào hệ (3.9) có dạng: n dv ∂v = −r + ∑ Xi dt i =1 ∂x i theo bổ đề xác định âm Từ định lý Liapunov ổn định tiệm cận ta suy có ổn định tiệm cận 33 Định lý 3.2.2: (Định lý không ổn định theo xấp xỉ thứ nhất): Nếu số nghiệm phương trình đặc trưng hệ xấp xỉ thứ có dù nghiệm với phần thực dương nghiệm khơng hệ (3.9) khơng ổn định Ta có tồn dạng tồn phương v , thừa nhận giá trị dương thỏa mãn hệ thức: dv = r + α v, α > 0, dτ dv biểu thị đạo hàm hàm v , lấy theo hệ (3.10) dτ Lấy đạo hàm hàm v theo hệ (3.9) ta nhận được: n dv ∂v = r2 + αv + ∑ Xi dt i =1 ∂x i Nhưng từ bổ đề ta suy rằng: ∂v Xi i =1 ∂x i n r2 + ∑ hàm xác định dương Từ định lý (2.3.4) ( chương 2) ta suy có khơng ổn định Ta xét vài ví dụ: Ví dụ Xét phương trình dao động lắc & & x&+ ax+bsin x = tương ứng với hệ: x&= y, y&= −b sin x − ay (3.12) Điểm kỳ dị hệ có tọa độ x = kπ ( k số nguyên bất kỳ), y = Sử dụng khai triển: x3 sin x = x − +L , 3! 34 Ta viết hệ xấp xỉ thứ nhất: x&= y, y&= −bx − ay , (3.13) Phương trình đặc trưng có dạng: λ + aλ + b = Nếu a > 0, b > nghiệm có phần thực âm vị trí cân khơng ổn định theo xấp xỉ thứ Bây ta nghiên cứu ổn định điểm (π ,0) Sử dụng khai triển: ( x − π )3 sin x = − ( x − π ) + −L , 3! Ta viết hệ xấp xỉ thứ nhất: x&= y, y&= b( x − π ) − ay Chuyển gốc tọa độ điểm x = π , y = ta nhận hệ: x&= y, y&= bx − ay Trong trường hợp phương trình đặc trưng có dạng: λ + aλ − b = với a > 0, b > phương trình có nghiệm thực với dấu khác nhau, điểm (π ,0) điểm khơng ổn định Ví dụ Bây xét phương trình lắc, có sử dụng mômen quay: & x&+ ax&+ b sin x = L (3.14) Ta xét trường hợp L < b Trong trường hợp đặt L = b sin x , phương trình (3.14) có dạng hệ: x&= y, y&= −b(sinx − sinx ) − ay (3.15) Điểm kỳ dị xác định phương trình y = 0,sinx = sin x0 , tọa độ X , Y0 điểm kỳ dị có dạng: 35 X = (−1) k x0 + kπ , Y0 = 0, k = 0,1,2,K Sử dụng khai triển sinx thành chuỗi Taylor lân cận điểm X , ta viết hệ xấp xỉ thứ nhất: x&= y, y&= −bcos X ( x − X ) − ay (3.16) Sau chuyển gốc tọa độ điểm x = X , y = ta nhận hệ: X&= Y , Y&= −b cos X X − aY Phương trình đặc trưng λ + aλ + b cos X = hệ có nghiệm với phần thực âm a > 0, bcos X > Nếu đặt trước điều kiện a > 0, b > điều kiện ổn định có dạng cos X > Ví dụ Ta xét hệ: x&= y − xy , y&= − x Hệ xấp xỉ thứ có dạng (3.17) x&= y, y&= từ suy y = y0 , x = y0t + x0 Vậy nghiệm khơng hệ xấp xỉ thứ khơng ổn định Nhưng hai nghiệm phương trình đặc trưng khơng nên dựa sở định lý 3.2.2 kết luận nghiệm không hệ (3.17) không ổn định Hơn nữa, nghiệm không hệ (3.17) trường hợp lại ổn định tiệm cận Thực vậy, đạo hàm hàm số Liapunov: v= 2 x + y dựa vào hệ (3.17) có dạng v&= − x y mang dấu âm Dễ dàng trục tọa độ x = 0, y = , hàm số v& triệt tiêu, khơng chứa quỹ đạo nguyên vẹn trừ vị trí cân bằng khơng Từ suy có ổn định tiệm cận 3.3 Ổn định hệ số Xét hệ: 36 dY = AY dt (3.18) A =  a jk  ma trận (n × n) Định lí 3.3.1: Hệ vi phân tuyến tính (3.18) với ma trận A ổn định tất nghiệm đặc trưng λ j = λ j ( A) A có phần thực khơng dương: Re λ j ( A) ≤ ( j = 1,2, , n) nghiệm đặc trưng có phần thực khơng có ước đơn Chứng minh: Vì để chứng minh điều kiện cần phải có số kiến thức phụ lý thuyết ma trận ta chứng minh điều kiện đủ định lý Giả sử λ j = α j + iβ j ( j = 1,2, , p; i = −1) tất nghiệm đặc trưng ma trận A với phần thực α j âm λk = iγ k (k = 1, , q ) tất nghiệm đặc trưng A với phần thực khơng Khi nghiệm hệ (3.18) có dạng: q n Y (t ) = ∑ eα t (cosβ jt + isin β j t ).Pj (t ) + ∑ (cosγ k t + isin γ k t )Ck , (3.19) j j =1 k =1 Pj (t ) hàm – véctơ đa thức có bậc nhỏ bội λ j Ck α t véctơ- cột số Vì α j < nên e Pj (t ) → t → +∞ Ngoài j cosγ k t + isin γ k t = Vì từ cơng thức (3.19) suy nghiệm Y (t ) bị chặn nửa trục t0 ≤ t Như hệ (3.18) ổn định Chú ý Hệ tuyến tính với ma trận A ổn định ổn định thời điểm ban đầu t0 ∈ (−∞, +∞) 37 Định lý 3.3.2: Hệ vi phân tuyến tính (3.18) với ma trận A ổn định tiệm cận tất nghiệm đặc trưng λ j = λ j ( A) A có phần thực âm, tức là: Re λ j ( A) < ( j = 1,2, , n) Chứng minh: a) Chứng minh điều kiện đủ: Giả sử λ1 , , λm (m ≤ n) tất nghiệm đặc trưng A Re λ j < ( j = 1,2, , m) Ta suy nghiệm hệ (3.18) có dạng: m Y (t ) = ∑ e Pj (t ), λ jt j =1 Trong Pj (t ) ma trận đa thức Từ Re λ j < ta có: lim Y (t ) = t →+∞ hệ (3.18) ổn định tiệm cận b) Bây ta chứng minh điều kiện cần: Giả sử hệ (3.18) ổn định tiệm cận Khi hệ ổn định theo Liapunov t → ∞ theo định lý 3.3.1 ta có: Re λ j < ( j = 1,2, , m) (3.20) Giả sử tồn nghiệm đặc trưng λs = iµ s (1 ≤ s ≤ m) cho: Re λs = Khi hệ (3.18) có nghiệm dạng: Z = eλ t C ≡ (cosµ st + isin µ s ).C , s C véctơ – cột khác khơng Vì Z = C ≠0 38 có nghĩa Z khơng tiến tới t → ∞ , điều mâu thuẫn với tính ổn định tiệm cận hệ (3.18) Do đó: Re λ j < ( j = 1,2, , m) Định lý hoàn toàn chứng minh 3.4 Ổn định tiệm cận nghiệm Giả sử G (t , X ) liên tục theo t có đạo hàm riêng liên tục theo x1 , x2 , , xn miền T (T = { a < t < ∞, X < H } ) dX = G (t , X ) dt (3.21) hệ vi phân quy đổi, tức G (t ,0) ≡ từ rõ ràng hệ (3.21) có nghiệm tầm thường X ≡ (1,1) Giả sử v = v(t , X ) ∈ Ctx (T0 ) ( khả vi liên tục theo biến t , x1 , x2 , , xn T0 = { a < t < ∞; X ≤ h < H } ⊂ T ) G (t , X ) = colon [ G1 (t , x1 , , xn ), , Gn (t , x1 , x2 , , xn ) ] Định nghĩa: Hàm số: v&(t , X ) = ∂v n ∂v +∑ G j (t , X ) ∂t j =1 ∂x j (3.22) gọi đạo hàm (toàn phần) theo t hàm v(t , X ) nghĩa hệ (3.21) Nếu X = X (t ) nghiệm hệ (3.21) v&(t , X ) đạo hàm tồn phần theo t hàm hợp v(t , X (t )) , tức là: v&(t , X ) = d v(t , X (t )) dt 39 Định lý thứ Liapunov: Nếu hệ quy đổi (3.21) tồn hàm xác định dương: v(t , X ) ∈ CtX(1,1) (T0 )(T0 ⊂ T ) Có đạo hàm dấu âm v&(t , X ) theo t nghĩa hệ, nghiệm tầm thường X ≡ ( a < t < ∞) hệ cho ổn định theo Liapunov t → +∞ Chứng minh: Theo điều kiện định lý có hàm liên tục xác định dương ω ( X ) cho: v(t , X ) ≥ ω ( X ) > với X ≠ (3.23) v(t ,0) = ω (0) = n Trong không gian Rx xét mặt cầu Sε X =ε (3.24) hoàn toàn bị chứa T0 , < ε ≤ h < H Vì mặt cầu Sε tập compắc hàm ω ( X ) liên tục dương Sε cận hàm đạt điểm X ∗ ∈ Sε đó, i nf ω ( X ) = ω ( X ∗ ) = α > X ∈Sε (3.25) Giả sử t0 ∈(a, +∞) tùy ý Hàm v(t0 , X ) liên tục theo X v(t0 ,0) Do tồn lân cận X < σ < ε cho ≤ v(t0 , X ) < α với: X v(t0 , X (t0 )) ≥ v(t1 , X (t1 )) ≥ ω ( X (t1 )) ≥ α , điều phi lí Như vậy, nghiệm X = X (t ) với t ∈[ t0 , ∞ ) hữu hạn ln bên mặt cầu Sε ε < H nên nghiệm xác định với t0 ≤ t < ∞ (kéo dài vơ hạn phía phải) X (t ) < ε với t0 ≤ t < ∞ , X (t0 ) < σ Điều có nghĩa nghiệm tầm thường X ≡ ổn định theo Liapunov t → +∞ Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính dX = A(t ) X ( A(t ) ∈ C [ t0 , ∞ ) ) dt tồn hàm xác định dương v ( t,X ) có đạo hàm nghĩa hệ v&(t , X ) ≤ tất nghiệm X (t ) hệ xác định bị chặn nửa trục [ t , +∞ ) Ví dụ Xét tính ổn định nghiệm tầm thường hệ: 41  dx 2 = − ( x − y )(1 − x − y )  dt   dy = −( y + x)(1 − x − y )  dt Giải: 2 Chọn hàm v(t , x, y ) = x + y Rõ ràng hàm xác định dương Đạo hàm hàm theo t nghĩa hệ là: dv ∂v dx ∂v dy = + = x.(2 y − x)(1 − x − y ) − y ( x + y )(1 − x − y ) dt ∂x dt ∂y dt 2 2 = −2(1 − x − y )( x + y ) ≤ với x , y đủ bé Ta thấy tất điều kiện định lý thỏa mãn, nghiệm tầm thường x ≡ 0, y ≡ hệ cho ổn định Chú ý: Trong định lý thứ Liapunov thay tính xác định dương hàm v ( t,X ) tính xác định âm, địi hỏi v&(t , X ) phải hàm dấu dương Việc chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý thứ hai Liapunov: Giả sử hệ quy đổi (3.21) tồn (1,1) hàm xác định dương v(t , X ) ∈ CtX (T0 ) có giới hạn vơ bé bậc cao X → có đạo hàm theo t xác định âm v&(t , X ) nghĩa hệ Khi nghiệm tầm thường X ≡ hệ ổn định tiệm cận t → +∞ Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính nhất: dX = A(t ) X dt tồn hàm xác định dương v ( t,X ) thỏa mãn điều kiện định lý thứ hai Liapunov nghiệm hệ ổn định tiệm cận toàn cục 42 Chú ý: Trong định lý ta thay điều kiện xác định dương hàm v ( t,X ) điều kiện âm, phải có điều kiện xác định dương v&(t , X ) Ví dụ Xét tính ổn định nghiệm tầm thường hệ:  dx  dt = −7 y − x   dy = x − y  dt Giải: 2 Hàm v = x + y thỏa mãn điều kiện định lý Liapunov Thật vậy: v( x, y ) ≥ v(0,0) = ; dv = x.( −7 y − x ) + y (7 x − y ) = −(8 x + y ) ≤ dt dv = x = 0, y = dt KẾT LUẬN Những kết luận văn đạt được: Bổ trợ thêm số kiến thức: - Không gian véctơ - Dạng tồn phương - Phương trình vi phân - Hệ phương trình vi phân - Tiêu chuẩn Hurwitz 43 Nghiên cứu tìm hiểu: - Định nghĩa ổn định theo nghĩa Liapunov - Định lý ổn định không ổn định Liapunov - Sự ổn định “trong tồn cục” - Bài tốn Aizerman Kết thu thông qua vài ứng dụng: - Đánh giá nghiệm hệ phương trình tuyến tính - Xét ổn định theo xấp xỉ thứ - Ổn định với hệ số - Ổn định tiệm cận nghiệm Tuy nhiên thời gian, kinh nghiệm hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1.] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nxb Giáo dục [ 2.] Nguyễn Đình Phư (2001), Lý thuyết ổn định ứng dụng, Nxb Đại học Quốc gia TPHCM [3.] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Dỗn Tuấn (1997), Giáo trình đại số tuyến tính hình học giải tích 44 [ 4.] E.A Barbasin, Mở đầu lý thuyết ổn định, Nxb Khoa học kỹ thuật [ 5.] Demidovich B.P (1967), Bài giảng lý thuyết ổn định Toán học, (Tiếng Nga) Nxb Nauka [ 6.] Malkin I (1979), Lý thuyết ổn định chuyển động, Nxb ĐH THCN, Hà Nội ... véctơ - Dạng tồn phương - Phương trình vi phân - Hệ phương trình vi phân - Tiêu chuẩn Hurwitz 43 Nghiên cứu tìm hiểu: - Định nghĩa ổn định theo nghĩa Liapunov - Định lý ổn định không ổn định Liapunov. .. vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov (tức ổn định với nhiễu ban đầu) Đánh giá nghiệm hệ phương trình tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Phương pháp định. .. xác định âm Từ định lý Liapunov ổn định tiệm cận ta suy có ổn định tiệm cận 33 Định lý 3.2.2: (Định lý không ổn định theo xấp xỉ thứ nhất): Nếu số nghiệm phương trình đặc trưng hệ xấp xỉ thứ có