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Lý thuyết Xác xuất thông kê lè một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói
Chu’ ong ’ ´’ LU’ONG ’ ¯DA.I LU’ONG ˆ´ CUA U’OC THAM SO ’ ’ ˆ˜ NHIEN ˆ NGAU ´’ lu’o.’ng tham sˆo´ θ l`a du.’a Gia’ su’’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X c´o tham sˆo´ θ chua ’ biˆe´t U’oc ˆ , X2 , , Xn ) v`ao mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen Wx = (X1 , X2 , , Xn ) ta d¯ua ’ thˆo´ng kˆe θˆ = θ(X ´’ lu’o.’ng (du.’ d¯o´an) θ d¯ˆe’ u’oc ´’ lu’o.’ng: C´o phu’ong ’ ph´ap u’oc ´’ lu’o.’ng d¯iˆe’m: chi’ θ = θ0 n`ao d¯o´ d¯ˆe’ u’oc ´’ lu’o.’ng θ i) U’oc ´’ lu’o.’ng khoang: ´’ θ cho P (θ1 < θ < θ2 ) = ’ ’ (θ1 , θ2 ) chua ii) U’oc chi’ mˆo.t khoang ´ ´ ’ u’oc − α cho tru’oc ’ (1 − α go.i l`a d¯ˆo tin cˆa.y cua ’ lu’o.’ng) ´’ LU’ONG ˆ’ ´ PHU’ONG ´ U’OC ’ CAC PHAP ’ ¯DIEM 1.1 ´’ lu’ o.’ng Phu’ ong ph´ ap h` am u’ oc ’ • Mˆ o ta’ phu’ ong ph´ ap ’ ´’ lu’o.’ng tham sˆo´ θ cua `’ X ta lˆa.p mˆa˜u ngˆa˜u ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X Tu Gia’ su’’ cˆa`n u’oc nhiˆen WX = (X1 , X2 , , Xn ) ˆ , X2 , , Xn ) Ta go.i θˆ l`a h` ´’ lu’o.’ng cua ’ X Cho.n thˆo´ng kˆe θˆ = θ(X am u’oc ´’ lu’o.’ng Thu.’c hiˆe.n ph´ep thu’’ ta d¯u’o.’c mˆa˜u cu thˆe’ wx = (x1 , x2 , , xn ) Khi d¯´o u’oc ˆ , x2 , , xn ) ’ θ l`a gi´a tri θ0 = θ(x d¯iˆe’m cua ´’ lu’ o’ng khˆ a) U’oc ong chˆ e.ch ˆ , X2 , , Xn ) d¯u’o’c go.i l`a u’oc ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch ¯Di.nh nghi˜a Thˆo´ng kˆe θˆ = θ(X ˆ ’ tham sˆo´ θ nˆe´u E(θ) = θ cua ´ nghi˜a Y ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch cua ’ tham sˆo´ θ Ta c´o Gia’ su’’ θˆ l`a u’oc ˆ − E(θ) = θ − θ = E(θˆ − θ) = E(θ) 69 ´’ lu’ong ’ d Chu’ong ’ U’oc tham sˆ o´ cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ 70 ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch l`a u’oc ´’ lu’o.’ng c´o sai sˆo´ trung b`ınh ba˘`ng Vˆa.u u’oc ⊕ Nhˆ a.n x´ et ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch cua ’ mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen X l`a u’oc ’ trung b`ınh cua ’ i) Trung b`ınh cua ’ ’ tˆong thˆe θ = E(X) = m v`ı E(X) = m ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch cua ’ cua ’ mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen S l`a u’oc ’ ii) Phu’ong ’ sai d¯iˆe`u chinh 02 2 ’ ’ ’ tˆong thˆe σ v`ı E(S ) = σ phu’ong ’ sai cua ’’ ’ 50 cˆay lim d¯u’o.’c cho boi • V´ı du Chiˆe`u cao cua ’ chiˆe`u cao (m´et) sˆ Khoang o´ cˆay lim [6, 25 − 6, 75) [6, 75 − 7, 25) [7, 25 − 7, 75) [7, 75 − 8, 25) 11 [8, 25 − 8, 75) 18 [8, 75 − 9, 25) [9, 25 − 9, 75) [9, 75 − 10, 2) P 50 x0i 6,5 7,0 7,5 8,5 9,5 10 ui -4 -3 -2 -1 ni ui -4 -6 -10 -11 -13 ni u2i 16 18 20 11 12 95 ’ cˆay lim Go.i X l`a chiˆe`u cao cua ´’ lu’o.’ng d¯iˆe’m cho chiˆe`u cao trung b`ınh cua ’ c´ac cˆay lim a) H˜ ay chi’ u’oc ’ ´ ´’ chiˆe`u ’ ’ ’ b) H˜ ay chi u’oc ’ lu’o.’ng d¯iˆem cho d¯oˆ tan m´at cua c´ac chiˆe`u cao cˆay lim so voi cao trung b`ınh ´’ lu’o.’ng d¯iˆe’m cho p c) Go.i p = P (7, 75 ≤ X ≤ 8, 75) H˜ ay chi’ u’oc ’ Giai ’ t´ınh cho x v`a s2 Ta lˆa.p bang Thu.’c hiˆe.n ph´ep d¯ˆo’i biˆe´n ui = x0i − 8, 0, (x0 = 8, 5; h = 0, 5) = −0, 26 Suy Ta c´o u = − 13 50 x = 8, + 0, 5.(−0, 26) = 8, 37 95 s = (0, 5) − (−0, 26)2 = 0, 4581 ∼ (0, 68)2 50 ´’ lu’o.’ng l`a 8,37 m´et a) Chiˆe`u cao trung b`ınh d¯u’o.’c u’oc 2 ´’ lu’o.’ng l`a s = 0, 68 m´et ho˘ ’ m´at d¯u’o.’c u’oc b) ¯Dˆo tan a.c sˆ = q 50 0, 4581 50−1 ∼ 0, 684 ’ c) Trong 50 quan s´at d¯a˜ cho c´o 11+18 = 29 quan s´at cho chiˆe`u cao lim thuˆo.c khoang [7, − 8, 5) ´’ lu’o.’ng d¯iˆe’m cho p l`a p∗ = Vˆa.y u’oc 29 50 = 0, 58 ´’ lu’ong C´ ac phu’ong ph´ ap u’oc d ¯iˆ e’m ’ ’ 71 ´’ lu’ o’ng hiˆ b) U’oc e.u qua’ ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch cua ´’ ’ tham sˆo´ θ Theo bˆa´t d¯a˘’ ng thuc ⊕ Nhˆ a.n x´ et Gia’ su’’ θˆ l`a u’oc Tchebychev ta c´o ˆ ˆ < ε) > − V ar(θ) P (|θˆ − E(θ)| ε2 ˆ ˆ = θ nˆen P (|θˆ − θ| < ε) > − V ar(θ) V`ı E(θ) ε2 ˆ c`ang nho’ th`ı P (|θˆ − θ| < ε) c`ang gˆa`n Do d¯o´ ta s˜ ´’ Ta thˆa´y nˆe´u V ar(θ) e cho.n θˆ voi ˆ ´ ’ V ar(θ) nho nhˆat ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch θˆ d¯u’o.’c go.i l`a u’oc ´’ lu’o.’ng c´o hiˆe.u qua’ cua ’ tham ¯Di.nh nghi˜a U’oc ˆ ´’ lu’o.’ng cua ’ θ sˆ o´ θ nˆe´u V ar(θ) nho’ nhˆa´t c´ ac u’oc ´’ minh d¯u’o.’c ra˘`ng nˆe´u θˆ l`a u’oc ´’ lu’o.’ng hiˆe.u qua’ cua `’ ta chung ’ θ th`ı phu’ong Ch´ uy ´ Ngu’oi ’ ’ n´o l`a sai cua ˆ = (4.1) V ar(θ) ∂lnf (x,θ) n.E( ∂θ ) ´’ ’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen gˆo´c Mo.i u’oc d¯´o f (x, θ) l`a h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t cua ˆ ´’ hon ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch θ luˆon c´o phu’ong ’ sai lon ’ V ar(θ) (4.1) Ta go.i (4.1) l`a gioi ha.n Crame-Rao ⊕ Nhˆ a.n x´ et Nˆe´u d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen gˆo´c X ∈ N (µ, σn ) th`ı trung b`ınh mˆa˜u X l`a ´’ lu’o.’ng hiˆe.u qua’ cua ’ k` u’oc y vo.ng E(X) = µ n 1X σ2 ´ Thˆa.t vˆa.y, ta biˆet X = Xi ∈ N (µ, ) n i=1 n ’ Xi th`ı M˘ a.t kh´ac X c´o phˆan phˆo´i chuˆa’n nˆen nˆe´u f (x, µ) l`a h`am mˆa.t d¯ˆo cua 2 f (x, µ) = √ e−(x−µ) /2σ σ 2π Ta c´o ∂ x−µ lnf (x, µ) = ∂µ σ2 " ∂lnf (x, µ) Suy nE ∂µ ’ σ /n d¯ao #2 x−µ = nE σ2 2 = n Do d¯´o V ar(X) ch´ınh ba˘`ng nghi.ch σ2 ´’ lu’o.’ng hiˆe.u qua’ cua ’ µ Vˆa.y X l`a u’oc ´’ lu’ o’ng vung ˜’ c) U’oc ˆ , X2 , , Xn ) d¯u’o’c go.i l`a u’oc ´’ lu’o.’ng vung ˜’ cua ’ tham ¯Di.nh nghi˜a Thˆo´ng kˆe θˆ = θ(X ´ ´ sˆ o θ nˆeu ∀ε > ta c´o lim P (|θˆ − θ| < ε) = n→∞ ´’ lu’ong ’ d Chu’ong ’ U’oc tham sˆ o´ cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ 72 ´’ lu’ o’ng vung ˜’ ’ cua ’ u’ oc ¯Diˆ e`u kiˆ e.n d ¯u ˆ = th`ı θˆ l`a u’oc ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch cua ´’ lu’o.’ng vung ˜’ ’ θ v`a lim V ar(θ) Nˆe´u θˆ l`a u’oc n→∞ ’ θ cua 1.2 ´’ lu’ o.’ng ho.’p l´ Phu’ ong ph´ ap u’ oc y tˆ o´i d ¯a ’ `’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u Gia’ su’’ WX = (X1 , X2 , , Xn ) l`a mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen d¯u’o.’c ta.o nˆen tu ’ ˆ ˆ nhiˆen X c´o mˆa˜u cu thˆe wx = (x1 , x2 , , xn ) v`a θ = θ(X1 , X2 , , Xn ) ’ d¯ˆo´i sˆo´ θ x´ac d¯.inh nhu’ sau: X´et h`am h`am ho.’p l´ y L(x1 , , xn , θ) cua `’ ra.c: • Nˆe´u X roi L(x1 , , xn , θ) = P (X1 = x1 /θ, , Xn = xn /θ) = n Y P (Xi = xi /θ) (4.2) (4.3) i=1 L(x1 , , xn , θ) l`a x´ac suˆa´t d¯ˆe’ ta nhˆa.n d¯u’o.’c mˆa˜u cu thˆe’ Wx = (x1 , , xn ) • Nˆe´u X liˆen tu.c c´o h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t f (x, θ) L(x1 , , xn , θ) = f (x1 , θ)f (x2 , θ) f (xn , θ) ’ x´ac suˆa´t ta.i d¯iˆe’m wx (x1 , x2 , , xn ) L(x1 , x2 , , xn , θ) l`a mˆa.t d¯ˆo cua ˆ , x2 , , xn ) d¯u’o’c go.i l`a u’oc ´’ gi´a ´’ lu’o.’ng ho.’p l´ ´’ voi Gi´a tri θ0 = θ(x y tˆo´i d¯a nˆe´u ung ’ θ h`am ho.’p l´ tri n`ay cua y d¯a.t cu.’c d¯a.i Phu’ ong ph´ ap t`ım ’ V`ı h`am L v`a lnL d¯a.t cu.’c d¯a.i ta.i c` ung mˆo.t gi´a tri θ nˆen ta x´et lnL thay v`ı x´et L ´’ 1: T`ım ∂lnL Bu’ oc ∂θ ∂lnL (Phu’ong y) ’ tr`ınh ho.’p l´ ∂θ ˆ , x2 , , xn ) Gia’ su’’ phu’ong ’ tr`ınh c´o nghiˆe.m l`a θ0 = θ(x ´’ 2: Giai ’ phu’ong Bu’ oc ’ tr`ınh ∂ lnL ´ ´ Bu’ oc ’ 3: T`ım d¯a.o h`am cˆap hai ∂θ ∂ lnL ˆ , x2 , , xn ) l`a u’oc ´’ Nˆe´u ta.i θ0 m`a < th`ı lnL d¯a.t cu.’c d¯a.i Khi d¯o´ θ0 = θ(x ∂θ ’ θ lu’o.’ng d¯iˆe’m ho.’p l´ y tˆo´i d¯a cua ’ Phu’ong ph´ ap khoang tin cˆ ay ’ 73 ’ ´ KHOANG ˆ Y ’ PHU’ONG PHAP TIN CA 2.1 Mˆ o ta’ phu’ ong ph´ ap ’ ´’ θ cho ’ Gia’ su’’ tˆo’ng thˆe’ c´o tham sˆo´ θ chua (θ1 , θ2 ) chua ’ biˆe´t Ta t`ım khoang ´’ P (θ1 < θ < θ2 ) = − α cho tru’oc `’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen gˆo´c X lˆa.p mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen WX = (X1 , X2 , , Xn ) Cho.n Tu ˆ , X2 , , Xn ) c´o phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh d` thˆo´ng kˆe θˆ = θ(X u chua ’ biˆe´t θ ´’ α1 kh´a b´e (α1 < α) ta t`ım d¯u’o.’c phˆan vi θα1 cua ´’ l`a P (θˆ < θα1 ) = α1 ) ’ θˆ (tuc Voi ´’ α2 m`a α1 + α2 = α kh´a b´e (thu’ong `’ lˆa´y α ≤ 0, 05) ta t`ım d¯u’o.’c phˆan vi θ1−α2 cua ’ Voi ˆ ˆ ´ θ (tuc ’ l`a P (θ < θ1−α2 ) = − α2 ) Khi d¯´o P (θα1 ≤ θˆ ≤ θ1−α2 ) = P (θˆ < θ1−α2 ) − P (θˆ < θα1 ) = − α2 − α1 = − α (∗) `’ (*) ta giai ’ d¯u’o.’c θ Khi d¯´o (*) d¯u’o.’c d¯ua Tu ’ vˆe`da.ng P (θˆ1 < θ < θˆ2 ) = − α ’ Thu.’c hiˆe.n V`ı x´ac suˆa´t − α gˆa`n ba˘`ng 1, nˆen biˆe´n cˆo´ (θˆ1 < θ < θˆ2 ) hˆa`u nhu’ xay ´’ mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen WX ta thu d¯u’o.’c mˆa˜u cu thˆe’ wx = (x1 , x2 , , xn ) mˆo.t ph´ep thu’’ d¯ˆo´i voi ’ `’ mˆa˜u cu thˆe n`ay ta t´ınh d¯u’o.’c gi´a tri θ1 = θˆ1 (x1 , x2 , , xn ), θ2 = θˆ2 (x1 , x2 , , xn ) Tu ´’ − α cho tru’oc, ´’ qua mˆa˜u cu thˆe’ wx ta t`ım d¯u’o.’c khoang ´’ θ ’ (θ1 , θ2 ) chua Vˆa.y voi cho P (θ1 < θ < θ2 ) = − α ’ (θ1 , θ2 ) d¯u’o.’c go.i l`a khoang ’ tin cˆa.y • Khoang ´’ lu’o.’ng ’ u’oc • − α d¯u’o.’c go.i l`a d¯ˆo tin cˆa.y cua ’ tin cˆa.y • |θ2 − θ1 | d¯u’o.’c go.i l`a d¯ˆo d`ai khoang 2.2 ´’ lu’ o.’ng trung b`ınh U’ oc ´’ ’ tˆo’ng thˆe’ E(X) = m chua ’ (m1 , m2 ) chua Gia’ su’’ trung b`ınh cua ’ biˆe´t Ta t`ım khoang ´ ´ m cho P (m1 < m < m2 ) = − α, voi’ − α l`a d¯oˆ tin cˆa.y cho tru’oc ’ `’ i) Tru’ ong ho.’p ( Biˆe´t V ar(X) = σ n ≥ 30 ho˘ a.c (n < 30 nhung ’ X c´o phˆan phˆo´i chuˆa’n) Cho.n thˆo´ng kˆe Ta thˆa´y U ∈ N (0, 1) √ (X − m) n U= σ (4.4) ´’ lu’ong ’ d Chu’ong ’ U’oc tham sˆ o´ cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ 74 Cho.n c˘ a.p α1 v`a α2 cho α1 + α2 = α v`a t`ım c´ac phˆan vi P (U < uα1 ) = α1 , P (U < uα2 ) = − α2 Do phˆan vi chuˆa’n c´o t´ınh chˆa´t uα1 = −u1−α1 nˆen P (−u1−α1 < U < u1−α2 ) = − α ’ hˆe bˆa´t phu’ong Du.’a v`ao (4.4) v`a giai ’ tr`ınh (4.5) ta d¯u’o.’c σ σ X − √ u1−α2 < m < X + √ u1−α1 n n (4.5) ’ ´’ ta cho.n α1 = α2 = α v`a d¯a˘ t γ = − ’ tin cˆa.y d¯ˆo´i xung ¯Dˆe d¯u’o.’c khoang σ σ X − √ uγ < m < X + √ uγ n n α th`ı ’ tin cˆa.y (x − ε, x + ε), d¯o´ T´om la.i, ta t`ım d¯u’o.’c khoang ’ mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen * x l`a trung b`ınh cua σ * ε = uγ √ n ´’ uγ l`a phˆan vi chuˆa’n muc ´’ γ = − (¯ doˆ ch´ınh x´ac) voi α ´’ d¯ˆ ’ phˆa’m l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆ • V´ı du Khˆo´i lu’o.’ng san a˜u nhiˆen X c´o phˆan phˆ o´i chuˆ a’n voi o ’ ’ ´ ’ ’ ’ lˆe.ch tiˆeu chuˆan σ = Cˆan thu’ 25 san phˆ am ta thu d¯u’o.’c kˆet qua sau X (khˆo´i lu’o.’ng) 18 19 20 21 ni (sˆo´ lu’o.’ng 15 ´’ lu’o.’ng trung b`ınh khˆo´i lu’o.’ng cua ´’ d¯ˆ ’ san ’ phˆ H˜ ay u’oc a’m voi o tin cˆ a.y 95 % ’ Giai Ta c´o x = 491 25 = 19, 64kg xi ni xi ni 18 54 19 95 20 15 300 21 42 P 25 491 ¯Dˆo tin cˆa.y − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 d¯u’o.’c phˆan vi chuˆa’n uγ = u0,975 = 1, 96 Do d¯´o =⇒ γ = 1− 1 ε = u0,975 √ = 1, 96 = 0.39 25 x1 = x − ε = 19, − 0, 39 = 19, 25 x2 = x + ε = 19, + 0, 39 = 20, 03 ’ tin cˆa.y l`a (19, 25; 20, 03) Vˆa.y khoang α = 0, 975 Ta t`ım ’ Phu’ong ph´ ap khoang tin cˆ ay ’ 75 `’ ii) Tru’ ong ho.’p ( σ chua ’ biˆe´t n ≥ 30 ´’ mˆa˜u lon ´’ (n ≥ 30) c´o thˆe’ d` ´’ lu’o.’ng cua `’ ho.’p n`ay k´ıch thu’oc ’ S thay Tru’ong ung u’oc ’ tin cˆa.y (x − ε, x + ε) d¯o´ cho σ chua ’ biˆe´t (E(S ) = σ ), ta t`ım d¯u’o.’c khoang ’ mˆa˜u cu thˆe’ * x l`a trung b`ınh cua s ´’ uγ l`a phˆan vi chuˆa’n muc ´’ γ = − * ε = uγ √ voi n ’ cua ’ mˆa˜u cu thˆe’ d¯iˆe`u chinh α v`a s0 l`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n ´’ o’’ mˆo.t tru’ong `’ ta tiˆe´n h`anh nghiˆen cuu `’ d¯a.i ho.c xem mˆo.t th´ang • V´ı du Ngu’oi trung b`ınh mˆo.t sinh viˆen tiˆeu hˆe´t bao nhiˆeu tiˆe`n go.i d¯iˆe.n thoa.i Lˆ a´y mˆo.t mˆ a˜u ngˆ a˜u nhiˆen ´ ` gˆ om 59 sinh viˆen thu d¯u’o.’c kˆet qua’ sau: 14 18 95 16 30 147 29 73 22 36 22 27 72 26 60 30 111 37 15 41 36 37 25 26 35 28 42 63 127 33 31 57 26 20 79 23 29 40 58 36 31 35 18 33 52 70 41 85 23 15 27 48 28 35 47 11 15 32 ´’ lu’o.’ng khoang ’ tin cˆa.y 95% cho sˆ H˜ ay u’oc o´ tiˆe`n go.i d¯iˆe.n thoa.i trung b`ınh h`ang th´ang ’ mˆ cua o.t sinh viˆen ’ Giai `’ c´ac sˆo´ liˆe.u d¯a˜ cho, ta c´o Tu n = 59; ¯Dˆo tin cˆa.y − α = 0, 95 u0,975 = 1, 96 x = 41, 05; =⇒ − α s0 = 27, 99 ’ = 0, 975 Tra bang phˆan vi chuˆa’n ta c´o √ = 7, 13 Do d¯´o ε = 1, 96 27,99 59 x − 7, 13 = 33, 92; x + 7, 13 = 48, 18 ´’ lu’o.’ng l`a (33,92; 48,18) ’ tin cˆa.y cua ’ u’oc Vˆa.y khoang `’ iii) Tru’ ong ho.’p ( σ chua ’ biˆe´t n < 30 v`a X c´o phˆan phˆo´i chuˆa’n √ (X − m) n Cho.n thˆo´ng kˆe T = S ∈ T (n − 1) 76 ´’ lu’ong ’ d Chu’ong ’ U’oc tham sˆ o´ cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ S ’ tin cˆa.y (x − ε, x + ε) d¯o´ ε = tγ √ Ta t`ım d¯u’o.’c khoang n ´’ tγ l`a phˆan vi Student muc ´’ γ = − voi ’ cua ’ mˆa˜u cu thˆe’ chuˆa’n d¯iˆe`u chinh α ´’ n − bˆa.c tu.’ v`a s0 l`a d¯oˆ lˆe.ch tiˆeu voi • V´ı du Dioxide Sulfur v`a Oxide Nitrogen l`a c´ac h´oa chˆ a´t d¯u’o.’c khai th´ac tu`’ l`ong ´ ´ ´ ´ d¯ˆ at C´ac chˆat n`ay d¯u’o.’c gi´o mang d¯i rˆat xa, kˆet ho.’p th`anh acid v`a roi a.t d¯ˆ a´t ta.o ’ tro’’ la.i m˘ `’ `’ ta d¯o d¯ˆo d¯ˆa.m d¯a˘ c cua ’ Dioxide Sulfur (µg/m3 ) khu rung th` anh mua ’ acid Ngu’oi ´’ ¯Duc ´’ Sˆo´ liˆe.u cho boi ´’ d¯ˆ ’’ bang ’ nu’oc ’ du’oi Bavarian cua ay: 52,7 62,2 45,3 52,4 43,9 56,5 63,4 38,6 41,7 33,4 53,9 46,1 71,5 61,8 65,5 44,4 47,6 54,3 66,6 60,7 55,1 50,0 70,0 56,4 ´’ lu’o.’ng d¯ˆo d¯ˆa.m d¯a˘ c trung b`ınh cua ´’ d¯ˆ ’ Dioxide Sulsfur voi H˜ ay u’oc o tin cˆ a.y 95% ’ Giai Ta t´ınh d¯u’o.’c x = 53, 92µg/m3 , s0 = 10, 07µg/m3 α ’ phˆan ¯Dˆo tin cˆa.y − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 =⇒ − = 0, 975 Tra bang ´ vi student muc ’ 0,975 bˆa.c n − = 23 ta d¯u’o.’c t23;0,975 = 2, 069 √ Do d¯´o ε = 2, 069 10,07 = 4, 25 24 x − ε = 53, 92 − 4, 25 = 49, 67, x + ε = 53, 92 + 4, 25 = 58, 17 ’ tin cˆa.y l`a (49,67; 58,17) Vˆa.y khoang ´’ hon `’ ta biˆe´t d¯u’o.’c nˆe´u d¯oˆ d¯aˆ m d¯a˘ c cua ’ Dioxide Sulfur mˆo.t khu vu.’c lon Ngu’oi ’ ’’ mua `’ khu vu.’c bi ph´a hoa.i boi 20µg/m th`ı mˆoi tru’ong ’ acid Qua v´ı du n`ay c´ac `’ Bavarian bi ph´a hoa.i trˆa`m tro.ng n˘ am nh`a khoa ho.c d¯a˜ t`ım d¯u’o.’c nguyˆen nhˆan rung 1983 l`a mua acid ’ ´’ m^ Ch´ uy ´ (X´ ac d¯ inh k´ ıch thu’oc a~u) ´’ cho tru’oc ´’ th`ı ta cˆa`n x´ac Nˆe´u muˆo´n d¯oˆ tin cˆa.y − α v`a d¯oˆ ch´ınh x´ac ε d¯a.t o’’ muc ´ ˜ ’ mˆau d¯.inh k´ıch thu’oc ’ n cua `’ ho.’p biˆe´t V ar(X) = σ : i) Tru’ong ´’ ε = u2γ √σ ta suy `’ cˆong thuc Tu n n = u2γ `’ ho.’p chua ii) Tru’ong ’ biˆe´t σ : σ2 ε2 ’ Phu’ong ph´ ap khoang tin cˆ ay ’ 77 Du.’a v`a mˆa˜u cu thˆe’ d¯a˜ cho (nˆe´u chua ’ c´o mˆa˜u th`ı ta c´o thˆe’ tiˆe´n h`anh lˆa´y mˆa˜u lˆa`n ´’ k´ıch thu’oc ´’ n1 ≥ 30) d¯ˆe’ t´ınh s02 Tu `’ d¯´o x´ac d¯.inh d¯u’o.’c d¯ˆa`u voi n= 02 2s uγ ε ´’ mˆa˜u n phai ´’ trˆen d¯u’o.’c ’ l`a sˆo´ nguyˆen Nˆe´u t´ınh n theo c´ac cˆong thuc K´ıch thu’oc ´’ ’ n´o cˆo.ng thˆem voi gi´a tri khˆong nguyˆen th`ı ta lˆa´y phˆa`n nguyˆen cua ´’ l`a n = Tuc 2.3 " 2σ uγ ε # + ho˘ a.c n = " 02 2s uγ ε # + ´’ lu’ o.’ng ty’ lˆ U’ oc e ’’ Ty’ lˆe phˆa`n tu’’ c´o t´ınh chˆa´t A l`a p Gia’ su’’ tˆo’ng thˆe’ d¯u’o.’c chia l`am hai loa.i phˆa`n tu ´’ lu’o.’ng ty’ lˆe l`a chi’ khoang ´’ p cho P (f1 < p < f2 ) = 1−α ’ (f1 , f2 ) chua chua ’ biˆe´t U’oc ’ ´’ k´ıch thu’oc ´’ n kh´a lon ´’ ’ b`ai to´an d¯u’o.’c d¯on ’ ta cho.n mˆa˜u voi ’ gian, ¯Dˆe cho viˆe.c giai `’ tˆo’ng thˆe’ th`ı Go.i X l`a sˆo´ phˆa`n tu’’ c´o t´ınh chˆa´t A lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t phˆa`n tu’’ tu X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen c´o phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t X P 1-p p Go.i Xi (i = 1, n) l`a sˆo´ phˆa`n tu’’ c´o t´ınh chˆa´t A lˆa`n lˆa´y thu´’ i n 1X ´’ lu’o.’ng d¯iˆe’m cua ’ p = E(X) M˘ Xi ch´ınh l`a tˆa`n suˆa´t u’oc a.t kh´ac, theo n i=1 p(1 − p) ´’ B(n, p) Tu `’ d¯´o E(X) = p v`a V ar(X) = chu’ong ’ 2, nX c´o phˆan phˆo´i nhi thuc n √ (f − p) n ´ ’ mˆa˜u c´o t´ınh Cho.n thˆong kˆe U = q , d¯o´ f l`a ty’ lˆe c´ac phˆa`n tu’’ cua p(1 − p) chˆa´t A Ta c´o X = ´’ th`ı U ∈ N (0, 1) Giai ´’ lu’o.’ng trung ’ quyˆe´t b`ai to´an tu’ong Khi n kh´a lon ’ tu.’ nhu’ o’’ u’oc ’’ f , σ boi ’’ f (1 − f ) ta d¯u’o.’c b`ınh, thay X boi f − uγ s f (1 − f ) < p < f + uγ n s f (1 − f ) n ’ tin cˆa.y (f1 , f2 ) = (f − ε, f + ε), d¯o´ T´om la.i, ta x´ac d¯.inh d¯u’o.’c khoang ’ mˆa˜u c´o t´ınh chˆa´t A f l`a ty’ lˆe c´ac phˆa`n tu’’ cua ε = uγ s f (1 − f ) n (¯ doˆ ch´ınh x´ac) (4.6) ´’ lu’ong ’ d Chu’ong ’ U’oc tham sˆ o´ cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ 78 ´’ uγ l`a phˆan vi chuˆa’n muc ´’ − α voi `’ (4.6) ta c´o Tu √ ε n uγ = q f (1 − f ) n = u21− α f (1 − f ) ε2 ’ tin cˆa.y cua ’ p ba˘`ng c´ach kh´ac nhu’ sau: Ch´ uy ´ Ta c´o thˆe’ t`ım khoang `’ khoang ’ tin cˆa.y cua ’ p: Tu f − uγ s p(1 − p) < p < f + uγ n s p(1 − p) n hay |f − p| < uγ s p(1 − p) n ’ bˆa´t phu’ong Giai ’ tr`ınhn`ay ta t`ım d¯u’o.’c p1 = nf + 0, 5u2γ − q 0, 25u2γ − nf (1 − f ) n + u2γ , p2 = nf + 0, 5u2γ + q 0, 25u2γ − nf (1 − f ) n + u2γ ´’ d¯ˆo tin cˆa.y − α ’ tin cˆa.y cua ’ p voi Khi d¯´o (p1 , p2 ) l`a khoang ’ phˆa’m lˆ • V´ı du Kiˆe’m tra 100 san o h` ang thˆ a´y c´o 20 phˆe´ phˆ a’m ´’ lu’o.’ng ty’ lˆe phˆe´ phˆa’m c´o d¯ˆ i) H˜ ay u’oc o tin cˆ a.y 99 % ´’ lu’o.’ng l` ’ u’oc ii) Nˆe´u d¯ˆo ch´ınh x´ac ε = 0, 04 th`ı d¯ˆ o tin cˆ a.y cua a bao nhiˆeu? ’ kiˆe’m tra bao nhiˆeu iii) Nˆe´u muˆo´n c´o d¯ˆo tin cˆa.y 99% v`a d¯ˆ o ch´ınh x´ac 0,04 th`ı phai ’ phˆ san a’m? ’ Giai i) n = 100, X´et U= 20 = 100 √ (f −p) 100 √ pq f= 0.2 ∈ N (0, 1) Ta c´o − α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ − α = − 0, 005 = 0, 995 √ 0, 2.0, 0, ε = u0,995 √ = 2, 58 = 0, 10 100 f1 = f − ε = 0, − 0, = 0, f2 = f + ε = 0, + 0, = 0, ’ Phu’ong ph´ ap khoang tin cˆ ay ’ 79 ’ tin cˆa.y l`a (0, 1; 0, 3) Vˆa.y khoang √ 0, 04 100 ii) u1− α2 = √ =1 0, 2.0, T`ım d¯u’o.’c α = 0, 84 1− =⇒ − α = 0, 68 Vˆa.y d¯ˆo tin cˆa.y l`a 68% iii)1 − α = 0, 99 =⇒ Do d¯´o α = 0, 01 =⇒ − α2 = 0, 995 T`ım d¯u’o.’c u0,995 = 2, 576 (2, 576)2 0, 2.0, n≈ = 6, 635.100 = 663, (0, 04)2 Vˆa.y n = 664 2.4 ´’ lu’ o.’ng phu’ ong U’ oc sai ’ ´’ phu’ong Gia’ su’’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X c´o phˆan phˆo´i chuˆa’n voi ’ sai V ar(X) = σ ´’ lu’o.’ng phu’ong ’ (σ12 , σ22 ) chua ’ sai V ar(X) l`a chi’ khoang ’ biˆe´t Cho < α < 0.05 U’oc 2 2 ´’ σ cho P (σ1 < σ < σ2 ) = − α chua `’ X lˆa.p mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen WX = (X1 , X2 , , Xn ) v`a x´et c´ac tru’ong `’ ho.’p Tu a) Biˆ e´t E(X) = µ Cho.n thˆo´ng kˆe χ2 = n X (Xi − µ)2 σ2 i=1 ´’ n bˆa.c tu.’ Ta thˆa´y χ2 c´o phˆan phˆo´i ”khi-b`ınh phu’ong” voi ’ Cho.n α1 v`a α2 kh´a b´e cho α1 + α2 = α Ta t`ım d¯u’o.’c c´ac phˆan vi χ2α1 v`a χ21−α2 ’ m˜ thoa an P (χ2α1 < χ2 < χ21−α2 ) = − α (4.7) ´’ cua ’ χ2 v`ao (4.7) v`a giai ’ ta d¯u’o.’c Thay biˆe’u thuc P P (Xi − µ)2 χ2α1 P P (Xi − µ)2 χ2α (Xi − µ)2 < σ2 < χ21−α2 Cho.n α1 = α2 = α th`ı (Xi − µ)2 < σ2 < χ21− α (4.8) ´’ mˆa˜u cu thˆe’ wx = (x1 , x2 , , xn ), t´ınh c´ac tˆo’ng P(xi − µ)2 v`a du.’a v`ao (4.8) ta Voi ’ tin cˆa.y (σ12 , σ22 ), d¯o´ t`ım d¯u’o.’c khoang 80 ´’ lu’ong ’ d Chu’ong ’ U’oc tham sˆ o´ cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ P (xi − µ)2 ni χ2 α P n,1− 2 (xi − µ) ni σ22 = χ2n, α σ12 = ´’ voi ´’ − χ2n,1− α l`a phˆan vi ”khi−b`ınh phu’ong” muc ’ ´’ χ2n, α l`a phˆan vi ”khi−b`ınh phu’ong” muc ’ α ´’ n bˆa.c tu.’ voi α ´’ n bˆa.c tu.’ voi b) Chua e´t E(X) ’ biˆ (n − 1)S σ2 ´’ n − bˆa.c tu.’ Tu’ong Thˆo´ng kˆe n`ay c´o phˆan phˆo´i ”khi−b`ınh phu’ong ’ voi ’ tu.’ nhu’ 2 ´ ’ tin cˆa.y (σ1 , σ2 ) voi’ trˆen ta t`ım d¯u’o.’c khoang Cho.n thˆo´ng kˆe χ2 = σ12 = (n − 1)s2 ; χ2n−1,1− α σ22 = (n − 1)s2 χ2n−1, α ´’ hao ph´ı nhiˆen liˆe.u cho mˆo.t d¯on ’ phˆ • V´ı du Muc a’m l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆ a˜u nhiˆen ’ vi san ’ phˆ c´ o phˆan phˆ o´i chuaˆ’n X´et trˆen 25 san a’m ta thu d¯u’o.’c kˆe´t qua’ sau: X ni 19,5 20 20,5 18 ´’ lu’o.’ng phu’ong ´’ d¯ˆo tin cˆ `’ ho.’p sau: H˜ ay u’oc a.y 90 % c´ac tru’ong ’ sai voi i) Biˆe´t k`y vo.ng µ = 20g ii) Chua ’ biˆe´t k`y vo.ng ’ Giai i) Biˆe´t µ = 20g xi 19,5 20 20,5 P ¯Dˆo tin cˆa.y − α = 0, ni xi − 20 (xi − 20)2 -0,5 0,25 18 0 0,5 0,25 n=25 =⇒ α = 0, =⇒ (xi − 20)2 ni 1,25 0,5 1,75 α = 0, 05 ´’ n = 25 bˆa.c tu.’ ta d¯u’o.’c ’ phˆan vi χ2 voi Tra bang χ225;0,05 = 14, 6; χ225;0,95 = 37, =⇒ 1− α = 0.95 B` tˆ a p Do d¯´o σ12 σ22 = P = P 81 1, 75 (xi − 20)2 ni = = 0, 046 χ25;0,95 37, (xi − 20)2 ni 1, 75 = = 0, 12 χ25;0,05 14, ’ tin cˆa.y l`a (0, 046; 0, 12) Vˆa.y khoang ii) Khi chua y vo.ng ta t`ım s02 = 0, 0692 ’ biˆe´t k` ´’ bˆa.c tu.’ n − = 24 ’ phˆan vi b`ınh phu’ong Tra bang ’ voi χ20,05 = 13, 85; v`a t´ınh χ20,95 = 36, σ12 = 24s02 24 × 0, 0692 = = 0, 046 χ0,95 36, σ22 = 24s02 24 × 0, 0692 = = 0, 12 χ0,05 13, 85 ’ tin cˆa.y l`a (0, 046; 0, 12) Vˆa.y khoang ` TA ˆ P BAI ´’ l`a 8,3; 10,6; 9,7; 8,8; 10,2 v`a 9,4 kg X´ac d¯.inh Mˆo.t mˆa˜u c´ac tro.ng lu’o.’ng tu’ong ’ ung ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch cua ’ u’oc ’ tˆo’ng thˆe’, a) trung b`ınh cua ’ tˆo’ng thˆe’ b) phu’ong ’ sai cua `’ k´ınh cua ’ qua’ cˆa`u l`a 6,33; 6,37; 6,36; 6,32 v`a 6,37cm X´ac Mˆo.t mˆa˜u d¯oˆ d¯o d¯u’ong ´ `’ k´ınh qua’ ’ trung b`ınh v`a phu’ong ’ d¯u’ong d¯.inh u’oc ’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch cua ’ sai cua ` cˆau `’ ta ’ mˆo.t chiˆe´c cˆan ta khˆong c´o sai sˆo´ hˆe thˆo´ng, ngu’oi ¯Dˆe’ x´ac d¯.inh d¯oˆ ch´ınh x´ac cua ´ ´ ` ’ tiˆen h`anh lˆan cˆan d¯oˆ c lˆa.p (c` ung mˆo.t vˆa.t), kˆet qua nhu’ sau: 94, 94, 96, 95, kg ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch cua `’ ho.’p: ’ phu’ong X´ac d¯.inh u’oc ’ sai sˆo´ d¯o hai tru’ong a) biˆe´t khˆo´i lu’o.’ng vˆa.t cˆan l`a 95kg; b) khˆong biˆe´t khˆo´i lu’o.’ng vˆa.t cˆan ’’ mˆo.t m´ay `’ k´ınh cua ’ mˆo.t mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen cua ’ 200 viˆen bi d¯u’o.’c san ’ xuˆa´t boi ¯Du’ong ´’ lu’o.’ng mˆo.t tuˆa`n c´o trung b`ınh 20,9mm v`a d¯oˆ lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n 1,07mm U’oc ´’ d¯ˆo tin cˆa.y (a) 95%, (b) 99% `’ k´ınh cua ’ viˆen bi voi trung b`ınh d¯u’ong 82 ´’ lu’ong ’ d Chu’ong ’ U’oc tham sˆ o´ cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ ´’ bˆe`n chi.u lu.’c cua `’ ta tiˆe´n h`anh d¯o ’ s´at suc ’ mˆo.t loa.i ˆo´ng cˆong nghiˆe.p ngu’oi ¯Dˆe’ khao ´ ´ ˆong v`a thu d¯u’o.’c c´ac sˆo liˆe.u sau 4500 6500 5000 5200 4800 4900 5125 6200 5375 ´’ bˆe`n d¯´o c´o phˆan phˆo´i chuˆa’n `’ kinh nghiˆe.m nghˆe` nghiˆe.p ngu’oi `’ ta biˆe´t ra˘`ng suc Tu ’ ´’ d¯ˆo lˆe.ch chuˆan σ = 300 X´ac d¯.inh khoang ´’ bˆe`n trung b`ınh ’ tin cˆa.y 95% cho suc voi ´ ’ loa.i ˆong trˆen cua `’ nguyˆen sinh, ngu’oi `’ ta d¯eo v`ong cho 1000 chim Sau mˆo.t Ta.i mˆo.t v` ung rung ´ ´ ´’ lu’o.’ng sˆo´ chim `’ gian, ba˘t la.i 200 th`ı thˆay c´o 40 c´o d¯eo v`ong Thu’’ u’oc thoi ´’ d¯ˆo tin cˆa.y 99% `’ d¯´o voi v` ung rung ´’ d¯ˆo tin cˆa.y 0,95, nˆe´u ta ’ mˆa`m cua ’ mˆo.t loa.i ha.t giˆo´ng l`a 0,9 Voi Biˆe´t ty’ lˆe ´ ` ’ tin cˆa.y cua ’ ty’ lˆe ’ mˆam khˆong vu’o.’t qu´a 0,02 th`ı cˆa`n phai ’ muˆon d¯oˆ d`ai khoang gieo bao nhiˆeu ha.t? ’ mˆo.t loa.i tr´ai cˆay cho o’’ bang ’ sau: Kˆe´t qua’ quan s´at vˆe`h`am lu’o.’ng vitamine C cua H` am lu’o.’ng vitamine C (%) 6−7 7−8 8−9 − 10 10 − 11 11 − 12 Sˆo´ tr´ai 10 20 35 25 ´’ lu’o.’ng h`am lu’o.’ng vitamine C trung b`ınh mˆo.t tr´ai voi ´’ d¯oˆ tin cˆa.y a) H˜ ay u’oc 95% ´’ nhung ´’ lu’o.’ng ˜’ tr´ai c´o h`am lu’o.’ng vitamine C trˆen 10% l`a tr´ai loa.i A U’oc b) Qui u’oc ´’ d¯ˆo tin cˆa.y 90% ty’ lˆe tr´ai loa.i A voi ´ ´’ lu’o.’ng h`am lu’o.’ng vitamine C trung b`ınh l`a 0,1 v`a c) Muˆon d¯ˆo ch´ınh x´ac u’oc ´’ lu’o.’ng ty’ lˆe tr´ai loa.i A l`a 5% voi ´’ c` d¯oˆ ch´ınh x´ac u’oc ung d¯ˆo tin cˆa.y 95% th`ı cˆa`n ˜’ A quan s´at thˆem bao nhiˆeu tr´ai nua? ’’ san `’ k´ınh cua ’ 100 chi tiˆe´t m´ay mˆo.t phˆan xu’ong ’ xuˆa´t, ta d¯u’o.’c kˆe´t qua’ ¯Do d¯u’ong ’ sau: cho o’’ bang `’ k´ınh (mm) ¯Du’ong 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15 Sˆo´ chi tiˆe´t m´ay 12 20 30 14 10 83 B` tˆ a p `’ 9, 9mm d¯ˆe´n 10, 1mm l`a nhung ˜’ chi tiˆe´t c´o d¯u’ong `’ k´ınh tu ˜’ chi Theo qui d¯.inh, nhung ’ ´ tiˆet d¯a.t tiˆeu chuˆan k˜ y thuˆa.t ´’ lu’o.’ng ty’ lˆe v`a u’oc ´’ lu’o.’ng trung b`ınh d¯u’ong `’ k´ınh cua ˜’ chi tiˆe´t d¯a.t tiˆeu ’ nhung a) U’oc ´’ c` chuˆa’n voi ung d¯ˆo tin cˆa.y 95%? ’ ´’ lu’o.’ng d¯u’ong `’ k´ınh trung b`ınh cua ˜’ chi tiˆe´t d¯a.t ’ nhung b) ¯Dˆe d¯ˆo ch´ınh x´ac u’oc ´’ lu’o.’ng ty’ lˆe chi tiˆe´t d¯a.t tiˆeu chuˆa’n tiˆeu chuˆa’n l`a 0, 02mm v`a d¯oˆ ch´ınh x´ac u’oc ´’ c` ˜’ l`a 5% voi ung d¯ˆo tin cˆa.y 99% th`ı cˆa`n d¯o thˆem ´ıt nhˆa´t bao nhiˆeu chi tiˆe´t nua? ’ ban ’ kim loa.i tuˆan theo luˆa.t chuˆa’n ¯Do 10 ban ’ kim loa.i d¯´o ta thu d¯u’o.’c 10 ¯Dˆo d`ai cua ´ sˆo liˆe.u sau: 4, 3, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, H˜ ay x´ac d¯.inh ’ tin cˆa.y 90% cho d¯oˆ d`ai trung b`ınh trˆen; a) Khoang ’ tin cˆajy 95% cho phu’ong ’ d¯ˆo d`ai d¯o´ b) Khoang ’ sai cua `’ ta d¯o chiˆe`u sˆau cua ’ biˆe’n, sai lˆe.ch ngˆa˜u nhiˆen d¯u’o.’c gia’ thiˆe´t phˆan phˆo´i theo 11 Ngu’oi ’ ´’ d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n l`a 20m Cˆa`n d¯o bao nhiˆeu lˆa`n d¯ˆe’ x´ac d¯.inh qui luˆa.t chuˆan voi ´’ sai lˆe.ch khˆong qu´a 15m v`a d¯oˆ tin cˆa.y d¯a.t d¯u’o.’c 95%? ’ biˆe’n voi chiˆe`u sˆau cua ’’ h`ang, ta d¯u’o.’c kˆe´t qua’ ghi 12 Theo d˜ oi sˆo´ h`ang b´an d¯u’o.’c mˆo.t ng`ay o’’ mˆo.t cua ’ sau: o’’ bang Sˆ o´ h`ang b´an 1900 1950 2000 2050 d¯u’o.’c (kg/ng` ay) − 1950 − 2000 − 2050 − 2100 Sˆo´ ng`ay 10 ´’ lu’o.’ng phu’ong ´’ d¯oˆ tin cˆa.y 95%? ’ lu’o.’ng h`ang b´an d¯u’o.’c mˆo˜i ng`ay voi H˜ ay u’oc ’ sai cua (cho biˆe´t α1 = α2 ) `’ BAI ` TA ˆ P • TRA’ LOI a) 9, 5kg, b) 0, 74kg 2 x = 6, 35cm, s2 = 0, 00055cm2 ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch cua ’ phu’ong a) Trung b`ınh khˆo´i lu’o.’ng m = 95kg U’oc ’ sai l`a n 1X 1X (xi − m)2 = (xi − 95)2 = 0, 41 n i=1 i=1 b) X = n 1X 1X xi = xi = 95, n i=1 i=1 ´’ lu’ong ’ d Chu’ong ’ U’oc tham sˆ o´ cua ¯a.i lu’ong ngˆ a˜u nhiˆ en ’ ’ 84 ´’ lu’o.’ng khˆong chˆe.ch cua ’ phu’ong U’oc ’ sai l`a s2 = n X 1X (xi − X)2 = (xi − 95, 5)2 = 0, 7rf f n − i=1 i=1 (a) 20, ± 0, 148mm, (b) 20, ± 0, 195mm (5092, 89 ; 5484, 89) 0, 1271 < p < 0, 2729 1000 1000 `’ na˘`m khoang ’ ( 0,2729 Tˆo’ng sˆo´ chim v` ung rung , 0,1271 ) q × 1, 96 0,9×0,1 n ’ bˆa´t phu’ong < 0, 02 Giai ’ tr`ınh ta c´o n > 3457 a) 9, 06; 9, 54), c) 467 tr´ai a) (0, 792 < p < 0, 928); (9, 982 < m < 10, 006) b) 221 10 a) (4, 09 ; 4, 49), b) (0, 064 ; 0, 456) 11 lˆa`n 12 (1253, < σ < 3983, 8) ... nu’oc ’ du’oi Bavarian cua ay: 52,7 62,2 45 ,3 52 ,4 43,9 56,5 63 ,4 38,6 41 ,7 33 ,4 53,9 46 ,1 71,5 61,8 65,5 44 ,4 47,6 54, 3 66,6 60,7 55,1 50,0 70,0 56 ,4 ´’ lu’o.’ng d¯ˆo d¯ˆa.m d¯a˘ c trung b`ınh... 75 − 9, 25) [9, 25 − 9, 75) [9, 75 − 10, 2) P 50 x0i 6,5 7,0 7,5 8,5 9,5 10 ui -4 -3 -2 -1 ni ui -4 -6 -1 0 -1 1 -1 3 ni u2i 16 18 20 11 12 95 ’ cˆay lim Go.i X l`a chiˆe`u cao cua ´’ lu’o.’ng d¯iˆe’m... kˆet qua’ sau: 14 18 95 16 30 147 29 73 22 36 22 27 72 26 60 30 111 37 15 41 36 37 25 26 35 28 42 63 127 33 31 57 26 20 79 23 29 40 58 36 31 35 18 33 52 70 41 85 23 15 27 48 28 35 47 11 15 32 ´’