Trích đoạn “ 250 Bài toán 0xy điển hình kì thi THPT Quốc Gia 2016 “ Sưu tầm biên soạn : Lê Đức Thọ CÁC BÀI TOÁN HÌNH OXY TUYỂN CHỌN (Phần ) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB, gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Trên đường thẳng MN lấy điểm K cho N trung điểm đoạn thẳng MK Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết K (5; 1) , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC : x  y   điểm A có tung độ dương (Trích đề thi thử tỉnh Bắc Ninh năm 2014) ■ Nhận xét ý tưởng : Bài toán chia thành hai bước: + Bước 1: chứng minh AC  KD (dùng giả thiết quan trọng để làm tiếp bước 2) + Bước 2: vận dụng AC  KD vào việc giải tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D ☺ Bước 1: Nhận xét sau dựng hình xong phát KD  AC Để chứng minh KD  AC có nhiều cách kể đến: Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ để chinh phục điểm 10 Trích đoạn “ 250 Bài toán 0xy điển hình kì thi THPT Quốc Gia 2016 “ Sưu tầm biên soạn : Lê Đức Thọ  ● Cách 1: Chứng minh KDC  ACD  90 (chứng minh tổng góc tam giác 90o suy   góc DHC  90  Ta có DAC  ACD  90 nên ta cần chứng minh DAC  MKD (2 góc tam giác MKD  ACD )   ● Cách 2: Vẫn với ý tưởng cách 1, ta chứng minh HDC  ACD  90 để suy DHC  90  Ta  có DAC  ACD  90  DAC  HDC (2 góc tan DAC  tan HDC , để dễ hiểu mở rộng hình chữ nhật ABCD thành hình vuông ADEF (và bạn đọc không xa lạ với việc chứng minh AC  KD) ● Cách 3: Dựng hệ trục tọa độ Bxy hình vẽ  tọa độ hóa điểm điều phải chứng minh tương đương với AC.KD  (Bạn đọc xem hình vẽ để hiểu rõ hơn) ● Cách 4: Dựa ý tưởng chứng minh AC.KD   Ta sử dụng tích vô hướng hai véctơ a.b | a | | b | cos(a, b) Cụ thể ta gọi M = BC  KD  chuyển toán chứng minh AC.KD  thành AC.MD  (Ta dùng quy tắc “chèn điểm” để tạo tích vô hướng cạnh có độ dài hợp góc cụ thể) ● Cách 5: Ta chứng minh “điểm thuộc đường tròn” dựa cách chứng minh tứ giác nội tiếp Cụ thể ta chứng minh “H nhìn AK góc vuông”  Xét thấy “M nhìn AK góc vuông ”  Ta chứng minh AMHK tứ giác nội tiếp  ta cần chứng minh DAC  MKD (2 góc liên tiếp nhìn cạnh MH nhau) (việc chứng minh tương tự cách cách 2) ● Cách 6: Ta vận dụng “định lý đảo Pytago” để chứng minh HCD  H  AC  KD  để thực điều bạn cần tính số đo cạnh HC, HD, CD theo cạnh lại cạnh cho trước đồng thời vận dụng “định lý thuận Thales” xét thấy IC  KD = H IK // CD) Ngoài bạn chứng minh cách “gián tiếp đổi đường” chuyển từ toán chứng minh vuông góc sang song song, chứng minh tam giác vuông đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có góc vuông nửa cạnh huyền, v,v,… ☺ Bước 2: Sau chứng minh AC  KD Ta hai hướng sau: + Hướng thứ 1: (tạo thêm phương trình đường thẳng mới) _ Viết phương trình KD  H = KD  AC  tọa độ H _ Vận dụng định lý thuận Thales cách 6)  Ta tìm tỉ số độ dài HK HD  chuyển KH  kKD  KH  kKD, (k  0)  tọa độ điểm D _ Viết phương trình đường thẳng AD qua điểm D có véctơ pháp tuyến n  (a; b), (a2  b2  0) AD tạo với AC góc  với cos   AD AD   AC AD2  CD2 _ Sau viết phương trình AD  tìm tọa độ điểm A  tọa độ tâm M  tọa độ tâm I hình chữ nhật ABCD (dựa quan hệ MK = 3MI  MK  3MI ) _ Có tọa độ tâm I (là trung điểm AC BD)  tọa độ B C + Hướng thứ 2: (tìm tọa độ điểm A thông qua độ dài AK) _ Viết phương trình KD  H = KD  AC  tọa độ H _ Tham số hóa điểm A theo đường AC  ẩn nên cần phương trình  độ dài AK = ? Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ để chinh phục điểm 10 Trích đoạn “ 250 Bài toán 0xy điển hình kì thi THPT Quốc Gia 2016 “ Sưu tầm biên soạn : Lê Đức Thọ _ Dựa vào định lý thuận Thales cách ta tính độ dài AK AH  AC CD  KI _ Có tọa độ điểm A   tọa độ D  tọa độ B  tọa độ C  tọa độ trung điểm I  ► Hướng dẫn giải chứng minh AC  KD : Gọi H = AC  KD * Cách 1: Ta có MKD = ACD (c-g-c)  DAC  MKD    Ta có: DAC  ACD  90  MKD  ACD  90  HDC  ACD  90  Suy DHC  90  HCD  H  AC  KD H * Cách 2: Dựng hình vuông ADEF cho K trung điểm EF CD  tan DAC     AD  tan DAC  tan MKD  DAC  MKD Ta có:   tan MKD  MD    MK    Ta có: DAC  ACD  90  KDE  ACD  90  HDC  ACD  90  Suy DHC  90  HCD  H  AC  KD H * Cách 3: Dựng hệ trục Bxy hình vẽ, Đặt cạnh AB = a >  AD = 2AB = 2a Ta có: A(0; a ), C (2a; 0), D(2a; a), K ( a; a )   AC  (2a; a)  AC.KD  2a  2a   AC  KD H Mặt khác    KD  (a; 2a) * Cách 4: Gọi M = KD  BC Xét: AC.MD   AD  DC   MC  CD   AD.MC  DC.MC  AD.CD  DC.CD a    AD.MC  AD.MC.cos( AD; MC )  2a cos  a  DC.MC  (do CD  MC ) Với  nên AC.MD  a  a    AD.CD  (do AD  CD)   DC.CD  CD  a  Suy AC  MD  AC  KD H * Cách 5: Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ để chinh phục điểm 10 Trích đoạn “ 250 Bài toán 0xy điển hình kì thi THPT Quốc Gia 2016 “ Sưu tầm biên soạn : Lê Đức Thọ CD  tan DAC     AD  tan DAC  tan KDE  DAC  KDE Ta có:  KE  tan KDE     DE Suy tứ giác AMHK tức giác nội tiếp (2 góc liên tiếp nhìn cạnh nhau) Mà M nhìn AK góc vuông  H nhìn AK góc vuông  HAK  H Suy AC  KD H * Cách 6: Gọi M = KD  BC Ta có KI // CD IC  KD = H, theo định lý thuận Thales ta có: Suy HC  IH HD IK    HC HK CD 2 2CD 2 AC CD IH  IC   HD  HK  KD  5 5  CD 2 HC   Xét   HC  HD  CD (theo định lý đảo Pytago)  HCD  H  AC  KD  HD  4CD   ► Hướng dẫn giải hướng thứ 1: * Gọi H = AC  KD Do KD  AC: 2x + y - =  KD: x - 2y + m = KD qua K(5; -1)  m = -7 Vậy KD: x - 2y - = 13  x  2 x  y     13 11  * Tọa độ H nghiệm hê:   H ;  5  x  y    y  11   * Ta có IH HD IK 2    (theo định lý thuận Thales)  HD  KH  HD  KH HC HK CD 3 Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ để chinh phục điểm 10 Trích đoạn “ 250 Bài toán 0xy điển hình kì thi THPT Quốc Gia 2016 “ Sưu tầm biên soạn : Lê Đức Thọ  13  13   xD       x 1    Suy   D  D(1; 3) y   11  11    D y    1  D   * Gọi n  (a; b), (a  b2  0) véctơ pháp tuyến AD Đường thẳng AD qua D có dạng là: a(x - 1) + b(y + 3) = Ta có cos CAD  AD AD   AC AD2  CD2 Mặt khác cos CAD | cos( AD; AC ) | | n.nAC |  | n | | nAC | | 2a  b | a b 2  b   AD : x    Suy (2a  b)2  4(a  b2 )   3b  4a  AD : 3x  y  * TH1: Với AD: 3x + 4y + = 21  x   2x  y     21 27  Ta có A = AD  AC  Tọa độ A nghiệm hệ    A ;   5  3x  y    y  27   Loại A có tung độ dương * TH2: Với AD: x - = 2 x  y    x    A 1;1 Ta có A = AD  AC  Tọa độ A nghiệm hệ   x 1  y 1 Nhận A có tung độ dương Do M trung điểm AD  M(1; - 1) Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD, ta có MK  3MI  I (2; 1) Mặt khác I trung điểm AC BD  B(3;1) C(3; -3) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1;1), B(3;1), C (3; 3), D(1; 3) ► Hướng dẫn giải hướng thứ 2: * Gọi H = AC  KD Do KD  AC: 2x + y - =  KD: x - 2y + m = KD qua K(5; -1)  m = -7 Vậy KD: x - 2y - = 13  x  2 x  y     13 11  * Tọa độ H nghiệm hê:   H ;  5  x  y    y  11   * Ta có A  AC: 2x + y - =  A(a; - 2a) Do A có tung độ dương nên - 2a >  a  KA  (a  5;4  2a) Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ để chinh phục điểm 10 Trích đoạn “ 250 Bài toán 0xy điển hình kì thi THPT Quốc Gia 2016 “ Sưu tầm biên soạn : Lê Đức Thọ Mặt khác AK  KD  KH  d [ K ; AC ]  | 5.2  1.1  |  3 1  a  1(n) Suy AK  20  (a  5)2  (4  2a)  20   a  Vậy A(1;1)  a  21 (l )  AC 3IC AC AC   AH AI  IH IH HD IK 10  * Lại có        HC HK CD AC AC AC AC   13   xC     1  x 3    Suy AC  AH    C  C (3; 3)  y    11  1  yC  3 C    4   * Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD  I trung điểm AC BD I(2;-1) Ta có IK I (2; 1)   CD  IK  D (1; 3)   B (3;1) CD ■ Lời bình: Có thể thấy toán vận dụng linh hoạt nhiều kỹ thuật, phương pháp để giải đối tượng cần tìm Về phần chứng minh vuông góc, bạn thấy, với nhiều phương án tiếp cận khác có nhiều cách chứng minh khác Và sau chứng minh AC  KD hướng giải sau ta thấy sức mạnh việc “vận dụng định lý Thales” cách mà “chuyển đẳng thức độ dài đẳng thức véctơ” Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ để chinh phục điểm 10 ...Trích đoạn “ 250 Bài toán 0xy điển hình kì thi THPT Quốc Gia 2016 “ Sưu tầm biên soạn : Lê Đức Thọ  ● Cách 1: Chứng minh KDC  ACD  90 (chứng minh tổng góc...  ● Cách 2: Vẫn với ý tưởng cách 1, ta chứng minh HDC  ACD  90 để suy DHC  90  Ta  có DAC  ACD  90  DAC  HDC (2 góc tan DAC  tan HDC , để dễ hiểu mở rộng hình chữ nhật ABCD thành hình. .. việc chứng minh AC  KD) ● Cách 3: Dựng hệ trục tọa độ Bxy hình vẽ  tọa độ hóa điểm điều phải chứng minh tương đương với AC.KD  (Bạn đọc xem hình vẽ để hiểu rõ hơn) ● Cách 4: Dựa ý tưởng chứng