SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán - THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang x+3 có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình −x + y = x − m − Tìm m để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O, (O gốc tọa độ) Câu (2,5 điểm) Cho hàm số y = Câu (2,5 điểm) Giải phương trình cos x(2sin x − 1) + 2cos x(2sin x + 1) = 3sin x Câu (2,5 điểm) Một dãy phố có cửa hàng bán quần áo Có người khách đến mua quần áo, người khách vào ngẫu nhiên năm cửa hàng Tính xác suất để có cửa hàng có nhiều người khách vào Câu (2,5 điểm) Tính tích phân π I= ∫ cos x.ln(sin x + cos x)dx Câu (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , AC = a Tam giác SAB cân nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc đường thẳng SD mặt phẳng đáy 60o Câu (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(−5;2) · · M (−1; −2) điểm nằm bên hình bình hành cho MDC MB ⊥ MC = MBC · = Tìm tọa độ điểm D biết tan DAM Câu (2,5 điểm) Giải hệ phương trình ( x + y )2 + 3( x + y ) = 2( x + y + 1) +  ( x + y − 2) x + = x + y − Câu (2,5 điểm) Cho số x, y, z thỏa mãn < x ≤ y ≤ z Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx (x − xyz − + y2 + z2 ) -Hết • Họ tên thí sinh:…………………………………….Số báo danh:……………… • Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-THPT Hướng dẫn chấm có 06 trang I Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu không làm tròn số II Đáp án – thang điểm Nội dung Điểm x+3 Câu Cho hàm số y = có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình: −x + 2,5 y = x − m − Tìm m để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): x+3 = x − m −1 0,5 −x + ⇔ x − (m + 2) x + 2m + = (1) ( x ≠ 2) Điều kiện: ∆ = (m + 2)2 − 4(2m + 5) = m − 4m − 16 >  (*) 2 − 2(m + 2) + 2m + ≠ 02 − (m + 2).0 + 2m + ≠ 0,5  Với điều kiện (*) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác khác 0, hay (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A( x1; x1 − m − 1); B( x2 ; x2 − m − 1) , không trùng điểm O uuu r uuu r Ta có OA = ( x1 ; x1 − m − 1); OB = ( x2 ; x2 − m − 1) Vì tam giác OAB vuông O nên uuu r uuu r OA.OB = ⇔ x1 x2 + ( x1 − m − 1)( x1 − m − 1) = ⇔ x1 x2 − (m + 1)( x1 + x2 ) + (m + 1) = (**)  x1 + x2 = m + Theo định lí Viet ta có:  , thay vào (**) được:  x1 x2 = 2m + 2(2m + 5) − (m + 1)(m + 2) + ( m + 1) = ⇔ m = −3 Thử lại vào (*) thấy thỏa mãn Vậy m = −3 thỏa mãn toán Câu Giải phương trình sau cos x(2sin x − 1) + 2cos x(2sin x + 1) = 3sin x Ta có: (1) ⇔ cos x(2sin x − 1) + 2cos x(2sin x + 1) = 3sin x 0,5 0,5 0,5 2,5 0,5 ⇔ sin x cos x − cos x + 4cos x sin x + 2cos x − 3sin x = ⇔ sin x cos x + 2sin x sin x − 4sin x cos x − cos x − sin x + 2cos x = ⇔ 2sin x( cos x + sin x − 2cos x) − ( cos x + sin x − 2cos x) = ⇔ (2sin x − 1)( cos x + sin x − 2cos x) =  2sin x − = (2) ⇔  cos x + sin x − 2cos x = 0(3) π  x = + 2kπ  (2) ⇔ sin x = ⇔   x = 5π + 2kπ  π (3) ⇔ cos x + sin x = cos x ⇔ cos(2 x − ) = cos x 2 π π    x − = x + kπ  x = + 2kπ ⇔ ⇔  x − π = − x + 2kπ  x = π + kπ   18 Vậy phương trình cho có họ nghiệm: π 5π π kπ x = + 2kπ ; x = + kπ ; x = + (k ∈ ¢ ) 6 18 Câu Một dãy phố có cửa hàng bán quần áo Có người khách đến mua quần áo, người khách vào ngẫu nhiên năm cửa hàng Tính xác suất để có cửa hàng có nhiều người khách vào Người khách thứ có cách chọn cửa hàng để vào Người khách thứ hai có cách chọn cửa hàng để vào Người khách thứ ba có cách chọn cửa hàng để vào Người khách thứ tư có cách chọn cửa hàng để vào Người khách thứ năm có cách chọn cửa hàng để vào Theo quy tắc nhân có 5.5.5.5.5 = 3125 khả khác xảy cho người vào cửa hàng Suy số phần tử không gian mẫu là: Ω = 3125 Để có cửa hàng có nhiều khách vào có trường hợp (TH) sau: TH1: Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba cửa hàng lại khách TH có C51.C53 C41 C22 = 200 khả xảy TH2: Một cửa hàng có khách, hai cửa hàng có khách, hai cửa hàng lại khách TH có C51.C53 C42 P2 = 600 khả xảy TH3: Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba cửa hàng lại khách TH có C51.C54 C41 = 100 khả xảy TH4: Một cửa hàng có khách, cửa hàng khác khách TH có C51 = khả xảy Suy có tất 200 + 600 + 100 + = 905 khả thuận lợi cho biến cố “có 0,5 0,5 0,5 0,5 2,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 cửa hàng có nhiều người khách vào” 905 181 = Vậy xác suất cần tính là: P = 3125 625 Câu Tính tích phân π I= I= 0,5 2,5 ∫ cos x.ln(sin x + cos x)dx π ∫ cos x.ln(sin x + cos x)dx = = π 0,5 ∫ ln(sin x + cos x) cos x.dx π ∫ ln(1 + sin x) cos xdx 0,5 2cos x   du = + sin x dx u = ln ( + sin x ) ⇒ Đặt  dv = cos xdx v = ( + sin x )  π π  4  I= ( + sin x ) ln ( + sin x ) − ∫ cos xdx  2  0   π 4 1 2ln − = ln − sin x  = 2    Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , AC = a Tam giác SAB cân nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc đường thẳng SD mặt đáy 60o 0,5 0,5 0,5 2,5 S A D K H B I C Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB cân nên SH ⊥ AB Vì tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ⊥ ( ABCD ) Suy góc SD 0,5 · mp(ABCD) SDH = 60o ⇒ SH = HD tan 60o = HD · Dễ thấy tam giác ABC cạnh a nên ·ABC = 60o ⇒ HAD = 120o Theo định lí Cô sin: a2 a   7a 2 2 HD = AH + AD − AH AD.cos120 = + a − .a  − ÷ =  2 a a 21 hay SH = HD = 2 Ta có AD / / BC ⇒ AD / /( SBC ) ⇒ d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC )) Đường thẳng AH cắt (SBC) B nên d ( A,( SBC )) BA = = ⇒ d ( A,( SBC )) = 2d ( H ,( SBC )) d ( H ,( SBC )) BH Kẻ HI ⊥ BC , HK ⊥ SI Vì BC ⊥ HI , BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ ( SHI ) ⇒ BC ⊥ HK Vì HK ⊥ BC , HK ⊥ SI ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = d ( H ,( SBC )) Vì thấy tam giác ABC cạnh a nên CH ⊥ AB hay tam giác HBC vuông H Ta có 1 1 1 = + = + + 2 2 HI HS HI HS HB HC 4 4.29 = + 2+ = 21a a 3a 21a 609a a 609 Suy HI = Vậy d ( A,( SBC )) = 2d ( H ,( SBC )) = HI = 58 29 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(−5;2) · · M (−1; −2) điểm nằm bên hình bình hành cho MDC = MBC · MB ⊥ MC Tìm tọa độ điểm D biết tan DAM = 0,5 Suy HD = 0,5 0,5 0,5 2,5 B A M D E C Gọi E điểm thứ tư hình bình hành MABE, dễ thấy MECD hình bình · · hành nên MEC = MDC · · · · Mà MDC = MBC suy MEC hay tứ giác BECM nội tiếp = MBC · · · Suy BMC + BEC = 180o ⇒ BEC = 180o − 90o = 90o 0,5 0,5 · Ta có ∆AMD = ∆BEC (c.c.c) ⇒ ·AMB = BEC = 90o hay ∆AMD vuông M DM 1 · = = ⇒ DM = MA Vì tan DAM MA 2 Ta có MA = ⇒ MD = 2 ⇒ AD = MA2 + MD = 40  AD = 40 ( x + 5) + ( y − 2) = 40 ⇒ Giả sử D( x; y ) ta có  2  MD = ( x + 1) + ( y + 2) = Giải hệ phương trình hai nghiệm: (−3; −4), (1;0) Vậy có hai điểm D thỏa mãn đề là: D(−3; −4), D (1;0) Câu 7: Giải hệ phương trình ( x + y )2 + 3( x + y ) = 2( x + y + 1) + (1)  ( x + y − 2) x + = x + y − (2) x + y ≥ Điều kiện:  2 x + ≥ Đặt t = x + y (t ≥ 0) PT (1) trở thành t + 3t = 2t + + (Vì t + + ⇔ t − + 3t − 2t + = 3t − 2t − ⇔ (t − 2)(t + 2) + =0 3t + 2t + ⇔ (t − 2)(t + + )=0 3t + 2t + ⇔ t = > ∀t ≥ ) 3t + 2t + Với t = suy x + y = ⇒ y = − x Thay y = − x vào (2) ta có: ( x − x) x + = x3 − x − 0,5 0,5 0,5 2,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ⇔ x ( x − x + 1) + x + 1( x − x + 1) = ⇔ ( x − x + 1)( x + x + 1) = ⇔ x − 2x + = ⇔ 2x + = x x ≥ ⇔ ⇔ x = 1+ 2 2 x + = x 0,5 Suy y = − Vậy hệ cho có nghiệm: (1 + 2;1 − 2) Câu 8: Cho số x, y, z thỏa mãn < x ≤ y ≤ z Tìm giá trị lớn biểu thức 2,5 P = xy + yz + zx 2 (x − xyz − + y2 + z2 ) Vì < x ≤ y ≤ z nên x( x − y )( y − z ) ≥ ⇔ ( x − xy )( y − z ) ≥ 0,5 ⇔ x y − x z − xy + xyz ≥ ⇔ x y + xyz ≥ x z + xy 2 2 2 xy + yz + zx − xyz = ( x z + xy ) + yz − xyz 0,5 ≤ ( x y + xyz ) + yz − xyz = y ( x + z ) Theo bất đẳng thức Cô si ta có: y ( x2 + z ) = y ( x + z )( x + z ) ≤ Do P = xy + yz + zx 2 0,5  x2 + y + z   y2 + ( x2 + z ) + ( x2 + z )  =  ÷  ÷ 3     (x − xyz − + y2 + z2 )  x2 + y + z   x2 + y + z  ≤2  ÷ −  ÷ 3   2   x2 + y + z  Đặt t =  ÷ (t > 0) Ta có P ≤ f (t ) = 2t − t   f '(t ) = 6t − 6t = 6t (1 − t ) = ⇔ t = Lập bảng biến thiên hàm f (t ) suy 1 f (t ) ≤ f (1) = − = ⇒ P ≤ 2 1 Ta thấy P = x = y = z = Vậy giá trị lớn cần tìm Max P = 2 x = y = z = 0,25 0,5 0,25 Hết -