1 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01 MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân hàm số y = f(x) kí hiệu dy cho công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx Ví dụ: d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: Từ công thức vi phân ta dễ dàng thu số kết sau d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) x  1 xdx = d   = d x = d x ± a = − d a − x   2   ( ) ( ) ( )  x3  1 x dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3   3   dx d ( ax + b ) dx = = d ( ln ax + b )  → = d ( ln x ) ax + b a ax + b a x 1 sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )  → sin xdx = − d ( cos2 x ) a a 1 cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )  → cos xdx = d ( sin x ) a a 1 eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b  → e2 x dx = d e x a a dx d ( ax + b ) dx = = d  tan ( ax + b )   → = d ( tan x ) 2 cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a cos x ( ) ( ) ( dx sin ( ax + b ) = ( ) ) ( ) d ( ax + b ) dx = − d cot ( ax + b )   → = − d ( cot x ) a sin ( ax + b ) a sin x II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) liên tục khoảng (a; b) Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) F’(x) = f(x) viết ∫ f ( x)dx Từ ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x) Nhận xét: Với C số ta có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) Với giá trị cụ thể C ta nguyên hàm hàm số cho Ví dụ: Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm F(x) = x2 + C, (x2 + C)’ = 2x Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm F(x) = –cosx + C, (–cosx + C)’ = sinx III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) g(x) liên tục tồn nguyên hàm tương ứng F(x) G(x), ta có tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Chứng minh: Do F(x) nguyên hàm hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b) Tính chất 2: Chứng minh: Theo tính chất ta có, ( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x) Theo định nghĩa nguyên hàm vế phải nguyên hàm f(x) + g(x) ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx c) Tính chất 3: ( ∫ k f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ Từ ta có Chứng minh: ( ) ′ Tương tự tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k f ( x)  → ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du d) Tính chất 4: Tính chất gọi tính bất biến nguyên hàm, tức nguyên hàm hàm số phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biến IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM Công thức 1: ∫ dx = x + C Chứng minh: Thật vậy, ( x + C )′ = ⇒ ∫ dx = x + C Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ du = u + C Công thức 2: ∫ x n dx = x n +1 +C n +1 Chứng minh:  x n +1 ′ x n +1 + C  = x n ⇒ ∫ x n dx = +C Thật vậy,  n +1  n +1  Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ u n du = u n +1 +C n +1 dx dx du +) Với n = − ⇒ ∫ = 2∫ = x + C ← →∫ =2 u +C x x u dx du +) Với n = −2 ⇒ ∫ = − + C ← →∫ = − + C x x u u Ví dụ: x3 a) ∫ x dx = + C x5 b) ∫ ( x + x ) dx = ∫ x dx + ∫ xdx = + x + C c) ∫ − x − x2 x3 x2 x x2 x2 dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x dx − = − + C = 33 x − + C x x 2 ( x + 1) + C u n du d) I = ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1)  →I = 5 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG e) I = ∫ (1 − 3x ) f) I = ∫ Facebook: LyHung95 (1 − 3x ) + C 2010 u n du dx = − ∫ (1 − x ) d (1 − x )  →I = − 2011 du d ( x + 1) u 1 = ∫ → I = − +C =− +C 2 ( x + 1) 2x + ( x + 1) 2011 2010 dx ( x + 1) g) I = ∫ x + 5dx = Công thức 3: ∫ 3 1 +C = +C x + d x + ⇒ I = x + x + 5 5 ( ) ( ) ( ) 4∫ dx = ln x + C x Chứng minh: dx Thật vậy, ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C x x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta du ∫u = ln u + C  dx = ln x + k + C d ( ax + b ) dx  ∫ 2x + k + ∫ = = ln ax + b + C  → ax + b a ∫ ax + b a  dx = − ln k − x + C  ∫ k − x Ví dụ: 1 dx x  a) ∫  x3 + +  dx = ∫ x3 dx + ∫ dx + ∫ = + x + ln x + C x x x x  du dx d ( 3x + ) u = ∫ → I = ln 3x + + C 3x + 3x + 2x2 + x + 3 dx d ( x + 1)   c) ∫ dx = ∫  x + = x2 + ∫ = x + ln x + + C  dx = ∫ xdx + 3∫ 2x + 2x +  2x + 2x +  b) I = ∫ Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C Chứng minh: Thật vậy, ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ sinudu = − cos u + C + ∫ sin ( ax + b ) dx = 1 sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C  → ∫ sin xdx = − cos2 x + C ∫ a a Ví dụ:  dx d ( x − 1)  a) ∫  x x + s inx + = ∫ x dx − cos x + ∫ =  dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫ 2x −1  2x −1 2x −1  2x = − cos x + ln x − + C  dx d ( x − 3)  = ∫ sin xd ( x ) + ∫ = − cos2 x + ln x − + C b) ∫  sin x +  dx = ∫ sin xdx +3∫ 4x −  4x − 4x −  x   c) ∫  sin + sinx + sin x  dx   1  x x Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 2 2 T : x x x  x   ∫  sin + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin dx + ∫ sin xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin d   + ∫ sin xd ( x ) + ∫ sin 3xd ( 3x ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x 1 = −2cos − cos2 x − cos3x + C 2 Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C Chứng minh: Thật vậy, ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ cosudu = sin u + C + ∫ cos ( ax + b ) dx = 1 cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C  → ∫ cos2 xdx = sin x + C ∫ a a Ví dụ: 4x −     a) ∫  cos x − sin x +  dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  −  dx = sinx + cos x + x − 5ln x + + C x +1  x +1   x2 b) ∫ ( cos x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin x − cos x − + C 2 − cos2 x 1 1 1  c) ∫ sin xdx = ∫ dx = ∫  − cos2 x  dx = x − ∫ cos2 xd ( x ) = x − sin x + C 2 4 2  Công thức 6: ∫ dx = tan x + C cos x Chứng minh: Thật vậy, ( tan x + C )′ = dx ⇒∫ = tan x + C cos x cos x Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta +) dx d ( ax + b ) du ∫ cos u = tan u + C dx = tan x + C 2x ∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos 2 Ví dụ: dx   a) ∫  + cos x − sin x  dx = ∫ + ∫ cos xdx − ∫ sin xdx = tan x + sin x + cos x + C 2 cos x  cos x    dx dx d ( x − 1) d (5 − 4x) b) I = ∫  + + 2∫ = ∫ − ∫  dx = ∫ 2 cos ( x − 1) − x cos ( x − 1) − 4x  cos ( x − 1) − x  du 1 tan ( x − 1) − ln − x + C 2 du dx d (3 − 2x ) cos u c) I = ∫ =− ∫  → I = − tan ( − x ) + C 2 cos ( − x ) cos ( − x )  →= cos2 u Công thức 7: ∫ dx = − cot x + C sin x Chứng minh: Thật vậy, ( − cot x + C )′ = dx ⇒ ∫ = − cot x + C sin x sin x Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta +) dx d ( ax + b ) du ∫ sin u = − cot u + C dx = − cot x + C 2x ∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin 2 Ví dụ: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 dx x6   a) ∫  cos x − + x5  dx = ∫ cos xdx − ∫ + ∫ x dx = sin x + cot x + + C sin x sin x   du dx d (1 − x ) 1 sin u b) I = ∫ =− ∫  → I = − − cot (1 − x )  + C = cot (1 − 3x ) + C sin (1 − 3x ) sin (1 − x ) 3  x d  du dx  x sin u c) I = ∫ = ∫    → I = −2 cot   + C x x     2 sin   sin   2 2 Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C Chứng minh: Thật vậy, ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ eu du = eu + C  x+ k e dx = e x + k + C ∫  1  → +) ∫ e ax + b dx = ∫ e ax + b d ( ax + b ) = e ax + b + C  a a  e k − x dx = − e k − x + C  ∫ Ví dụ:  dx 1 d ( 3x )  a) ∫  e −2 x +1 − + dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ + ∫ dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ + 4.2 x  sin 3x sin x sin x x x  1 = − e −2 x +1 + cot 3x + x + C b) ∫ ( 4e x+2 + cos (1 − 3x ) ) dx = ∫ e3 x + dx + ∫ cos (1 − x ) dx = 3x+2 e d ( 3x + ) − ∫ cos (1 − x ) d (1 − x ) ∫ 3 = e3 x + − sin (1 − x ) + C 3 Công thức 9: ∫ a x dx = ax +C ln a Chứng minh:  ax ′ a x ln a ax Thật vậy,  +C = = a x ⇒ ∫ a x dx = +C ln a ln a  ln a  Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ a u du = a u + C +) ∫ a kx + m dx = kx + m a d ( kx + m ) = a kx + m + C ∫ k k Ví dụ: 3x 2x 23 x 32 x a u du d x + d x  → I = + +C ( ) ∫ ( ) 3∫ 3ln 2ln 3 21− x x + − e x + ) dx = ∫ 21− x dx − ∫ 3e x + dx = − ∫ 21− x d (1 − x ) − ∫ e x + d ( x + 3) = − + e +C 2ln a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = b) ∫ (2 1− x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp • ∫ 0dx = C • ∫ a x dx = • ∫ dx = x + C • ∫ xα dx = • x α +1 α +1 ax + C (0 < a ≠ 1) ln a • ∫ cos xdx = sin x + C + C, (α ≠ −1) • ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ x dx = ln x + C • ∫ e x dx = e x + C • ∫ • ∫ cos2 x sin2 x dx = tan x + C dx = − cot x + C • ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0) a • ∫ eax + b dx = • ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0) a • 1 ax + b e + C , (a ≠ 0) a ∫ ax + bdx = a ln ax + b + C LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Ví dụ 1: [ĐVH] Chứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x) biết  F ( x) = (4 x − 5)e x a)  x  f ( x) = (4 x − 1)e  F ( x) = tan x + x − b)   f ( x) = tan x + tan x +   x2 +   F ( x) = ln     x +3 c)  −2 x  f ( x) =  ( x + 4)( x + 3)   F ( x) = ln  d)   f ( x) =  x2 − x + x2 + x + 2( x − 1) x4 + Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm sau 1  1) ∫  x – x +  dx = x  2) ∫ 3) x4 + dx = x2 ∫ x −1 dx = x2 ( x − 1)2 4) ∫ dx = x2 5) ∫ ( ) x + x + x dx =   6) ∫  −  dx = x  x 7) ∫ 2sin x dx = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 8) ∫ tan xdx = 9) ∫ cos xdx = 10) ∫ dx = sin x.cos x 11) ∫ cos x dx = sin x.cos x 12) ∫ 2sin x cos xdx = 13) ∫ e x ( e x – 1) dx =  e− x  14) ∫ e x  +  dx = cos x   2x   15) ∫  e3 x +1 +  dx = x −1   Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x ) = x − x + 5; c) f ( x ) = e) f ( x ) = − 5x ; x x3 − x2 ; g) f ( x ) = sin x.cos x; i) f ( x ) = F (1) = b) f ( x ) = − cos x; F ( e) = d) f ( x ) = F (−2) = f) f ( x ) = x x + π F '  = 3 h) f ( x ) = x3 + 3x3 + 3x − ( x + 1)2 ; F (0) = x2 + ; x F (π) = F (1) = ; x 3x − x + x2 F (1) = −2 ; F (1) = x π π k) f ( x) = sin ; F   = 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) g( x ) = x cos x + x ; f ( x ) = x sin x; π F  =3 2 b) g( x ) = x sin x + x ; f ( x ) = x cos x; F (π) = c) g( x ) = x ln x + x ; f ( x ) = ln x; F (2) = −2 Bài 2: [ĐVH] Tìm điều kiện tham số để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x):  F ( x ) = mx + (3m + 2) x − x + a)  Tìm m  f ( x ) = x + 10 x −  F ( x ) = ln x − mx +  b)  Tìm m 2x +  f (x) = x + 3x +  Bài 3: [ĐVH] Tìm điều kiện tham số để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x): Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG  F ( x ) = (ax + bx + c) x − x a)  Tìm a, b, c  f ( x ) = ( x − 2) x − x Facebook: LyHung95  F ( x ) = (ax + bx + c)e x b)  Tìm a, b, c x  f ( x ) = ( x − 3)e Bài 4: [ĐVH] Tìm điều kiện tham số để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x):  F ( x ) = (ax + bx + c)e−2 x a)  Tìm a, b, c −2 x  f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e  F ( x ) = (ax + bx + c)e − x b)  Tìm a, b, c −x  f ( x ) = ( x − x + 2)e Bài 5: [ĐVH] Tìm điều kiện tham số để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x):  b c  a)  F ( x ) = (a + 1)sin x + sin x + sin x Tìm a, b, c  f ( x ) = cos x  F ( x ) = (ax + bx + c) x −  b)  Tìm a, b, c 20 x − 30 x + f ( x ) =  2x −  Bài 6: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 1) I1 = ∫(x ) + x dx   2) I =  − 3 x  dx x   x − x +  dx 4) I =   x   x ∫ ∫( ∫ 3) I =   5) I = ∫  x + dx x  6) I = ∫ ) x − x3 + x3 dx x4 + dx x2 Bài 7: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 7) I = ∫ ( ) x −1 dx x x + x3 − x + 10) I10 = ∫ dx x2 8) I = ∫ ( x − 1) dx 11) I11 = ∫ 9) I = ∫ x2 − x x − x dx x (x 16) I16 = ∫ ( x − 24 x )( x − x ) dx   14) I14 = ∫  x +  dx x  17) I17 = dx (2 x − 3)5 ∫ + 4) dx x2   12) I12 = ∫  −  dx x  x Bài 8: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau:   13) I13 = ∫  x −  dx x  ( x − 3x 15) I15 = ∫ 18) I18 = ∫ ( x − 3) x x +1 ) dx dx Bài 9: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: x  x π  19) I19 = sin  +  dx 20) I 20 =  sin x + sin  dx 3 2 7    π x +1 x 22) I 22 =  sin  3x +  − sin  dx 23) I 23 = ∫ cos dx 4    ∫ ∫ ∫ x   21) I 21 = ∫  sin + x  dx   x 24) I 24 = ∫ sin dx Bài 10: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 26) I 26 = ∫ dx cos x 29) I 29 = ∫ tan x dx 27) I 27 = ∫ dx cos ( x − 1) 30) I 30 = ∫ cot x dx 28) I 28 = ∫ ( tan x + x ) dx 31) I 31 = ∫ dx sin ( x + 3) Bài 11: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 32) I 32 = ∫ dx − cos x   35) I 35 = ∫  sin x −  dx − 5x     33) I 33 = ∫  x + + cot x  dx x   x+2 36) I 36 = ∫ dx x−3   34) I 34 = ∫  x +  dx 3x +   2x −1 37) I 37 = ∫ dx 4x + Bài 12: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x dx − 5x 3x + x + x + 41) I 41 = ∫ dx x+2 38) I 38 = ∫ x + x + 11 dx x+3 x3 + x − 42) I 42 = ∫ dx 2x + 39) I 39 = ∫ Bài 13: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 44) I 44 = ∫ e −2 x + dx 45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx   47) I 47 = ∫  e− x +  dx sin (3 x + 1)    e− x  48) I 48 = ∫ e x  +  dx cos x   Facebook: LyHung95 2x2 − x + dx x −1 x2 + 6x + 43) I 43 = ∫ dx 2x + 40) I 40 = ∫ 46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx 49) I 49 = ∫ ( 21− x − e x + ) dx Bài 14: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 50) I 50 = ∫ dx 2x 51) I 51 = ∫ 2x dx 7x ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 12 CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG PP TỪNG PHẦN b b Công thức tích phân phần I = ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu b a a Thứ tự ưu tiên đặt u : Hàm loga, ln → Hàm đa thức→ Hàm lượng giác = Hàm mũ Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: e ln x dx ( x + 1) b) I = ∫ a) I1 = ∫ e x sin xdx e c) I = ∫ x ln xdx e 1 d) I = ∫ x ln(1 + x )dx e) I = ∫ x e x dx 0 Lời giải: 1 e = u e dx = du a) Đặt  ⇒ ⇒ I1 = ∫ e x sin xdx = − ( e x cos x ) + ∫ cos x.e x dx = − ( e x cos x ) + J 0 sin xdx = dv  − cos x = v 0 1 cos xdx = dv v = sinx x x Đặt  ⇒ ⇒ J = cos xe dx = e sin x − sin xe x dx = e x sin x 10 − I1 ( )  ∫ ∫ x x ' u = e  du = e dx 0 1 − e (sin1 − cos1) ⇒ I1 = ( e x sin x ) − ( e x cos x ) = − e(sin1 − cos1) ⇒ I1 = 0  dx ln x = u = du e e e ln x ln x dx   x b) Đặt  dx ⇒ ⇒ I2 = ∫ dx = − + ∫ x + 1 x( x + 1) ( x + 1)  ( x + 1) = dv v = − e  e e x +1  x =− ln x x +1 e e x e e e e e e e e dx dx ln x x −∫ =− + ln = −1 + = x +1 x +1 1 x ( x + 1) +∫ dx  e e du = 2ln x e e e ln x = u   x2  dx  x 2  x 2 c) Đặt  ⇒ ⇒ I = x ln xdx = ln x − x ln x = ln x −     ∫1 ∫ ∫ x ln xdx x   1 1  xdx = dv v = x  dx  e e du = e e   x2   x2 u = ln x x2   x Xét J = ∫ x ln xdx Đặt  ⇒ ⇒ J =  ln x  − ∫ xdx =  ln x −  1  xdx = dv v = x  1   e  x2 x2 x2  e2 −  → I =  ln x − ln x +  = 1  2 xdx  du = ln(1 + x ) = u  + x2 d) Đặt  ⇒  xdx = dv v = x  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1  x2  x dx  x x    ⇒ I = ∫ x ln(1 + x )dx =  ln(1 + x )  − ∫ = ln(1 + x ) −   x−  dx = ∫ x +1   0 1+ x  0 0 1 1 1  x2   x2    x2  xdx  x 1  =  ln(1 + x )  −   + ∫ =  ln(1 + x )  −   +  ln ( x + 1)  = ln − 0     0 x +1  0  0 2 1 1  du = xdx  x = u x x e) Đặt  x ⇒ ⇒ I = x e dx = x e − xe x dx = ( x e x ) − J ( ) ∫ ∫ x 0 0 e dx = dv v = e 1 1 x = u  du = dx x x Xét J = ∫ xe x dx Đặt  x ⇒ ⇒ xe dx = xe − e x dx = ( xe x − e x ) ( ) ∫ ∫ x 0 e dx = dv v = e 0 Vậy I = ( x e x ) − J = ( x e x ) − ( xe x − e x ) = e − 1 1 0 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ ( x − 1) ln xdx e ln x dx x2 e ln x dx x2 b) I = ∫ c) I = ∫ π Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: ln( x + 1) dx (2 x − 1) 2 a) I1 = ∫ x + cos x dx + sin x π π b) I = ∫ (2 x − 1)e x dx c) I = ∫ Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ x ln( x + x)dx x sin x b) I = ∫ dx cos x c) I = ∫ x cos x.sin xdx Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau: xe x dx ( x + 1) a) I1 = ∫ HD: Đặt u = xe x x2ex dx ( x + 2) b) I = ∫ π c) I = ∫ d) I = ∫ x sin x + ( x + 1) cos x dx x sin x + cos x HD: Đặt u = x e x HD: Đạo hàm biểu thức mẫu số để tìm mối quan hệ với tử số x2 + e x + x2e x dx + 2e x Bài 5: [ĐVH] Tính tích phân sau: π x + tan x a) I1 = ∫ dx cos x(tan x + 1)2 π tan x + x tan x dx cos 2 x π x dx + sin x b) I = ∫ c) I = ∫ π π2 Bài 6: [ĐVH] Tính tích phân sau: e2   a) I1 = ∫  −  dx ln x ln x  e  b) I = ∫ π x sin x + ln(sin x) dx cos x c) I = ∫ sin xdx π Bài 7: [ĐVH] Tính tích phân sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG e2 x ln x − x a) I1 = ∫ dx 2ln x e π ln(sin x + cos x) dx cos x b) I = ∫ Facebook: LyHung95 + x ln x dx x + 2ln x e c) I = ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13 TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ GIẢI MẪU x2 x − x + 12 I = ∫ dx 2  16  Ta có I = ∫  + − dx = ( x + 16 ln x − − ln x − ) = + 25ln − 16 ln x −4 x −3  dx I = ∫ x + x3 1 Ta có: x ( x + 1)  ⇒ I =  − ln x −  I = ∫ 1 x + + x x x +1 =− 2 3 + ln( x + 1) = − ln + ln + 2 2x2 1 xdx ( x + 1)3 x x + 1−1 1 Ta có: = = ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 ⇒ I = ∫ ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 dx = ( x + 1)3 ( x + 1)3 I = ∫ x (1 − x )6 dx Đặt t = − x ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ dx = I = ∫ 11  t t8  t (1 − t ) dt =  − = ∫ 30   168 dx x ( x + 1) 2 dx x.( x10 + 1)2 1  x dx x ( x10 + 1)2 − x7 x (1 + x ) t  ∫  t − t + dt = ln 2 Ta có I = ∫ I = ∫ 3x ⇒I = Đặt t = x ⇒ I = I = ∫ −dt  Đặt t = x ⇒ I = 32 dt ∫ t (t + 1)2 dx 128 − t dx Đặt t = x ⇒ I = ∫ dt 7 t (1 + t ) x (1 + x ) Ta viết lại I dạng I = ∫ (1 − x ).x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG I = Facebook: LyHung95 dx ∫ x (1 + x ) Đặt : x = ⇒ I =− t 3 ∫ t6 dt = t2 + 1  117 − 41 π  + t − t +1−  dt = 135 12 t +   ∫ I = ∫ 1+ x 11+ Ta có: x4 1+ x 1+ x dx 1+ x Đặt t = x − ⇒ dt =  +  dx   x x2   x2 + x2 = 2  −1  t− ⇒ I=∫ = − ln ln   2=   dt = ∫  +1 2 2 t t − t + 2 + 2 2 t −   1   1 dt − x2 10 I = ∫ 11+ x4 1− x 1 dx −1  1  dt = x Đặt t = x + ⇒ dt =  −  dx ⇒ I = − ∫ x + x4 x2 + t + x2   x2 du 5 Đặt t = tan u ⇒ dt = ; tan u = ⇒ u1 = arctan 2; tan u = ⇒ u2 = arctan 2 cos u Ta có: 2 ⇒I= u2 ∫ du = u1 1− x 11 I = ∫ 1x+x  2 (u2 − u1 ) =  arctan − arctan  2   dx −1 x Ta có: I = ∫ dx Đặt t = x + ⇒ I = ln x +x x 12 I = ∫ x4 + x +1 x4 + Ta có: x6 + 1 ⇒ I =∫ 13 I = dx = x2 + x6 + dx + 3 x2 x4 −1 ∫ ( x − x + 1) + x = x4 − x2 + ( x + 1)( x − x + 1) + x2 x6 + = x2 + + x2 x6 + 1 d (x3 ) π π π dx = + = ∫ ( x )2 + 4 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 3 Ta có I = ∫ ( x − 1)( x + 1) x xdx 14 I = ∫ x + x +1 dx = 3  ∫ 1  π + dx = ln(2 − 3) +   12  x − x2 +  1 dt 11 Đặt t = x ⇒ I = ∫ = t + t + 0∫ dt 15 I = 1+ x2 + ∫ x4 − x2 + 1 Ta có: x +1 x − x +1 ⇒ I =∫ 0t Facebook: LyHung95 = π dx 1+ =  1  3  t +  +   2   x2 + x2 x2 −1 Đặt t = x −  1  ⇒ dt =  +  dx x x2   π dt +1 Đặt t = tan u ⇒ dt = du cos u ⇒ I = ∫ du = π BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: x2 + ∫1 x + dx a) b) 1 ∫1 x + dx c) ∫x dx + x2 + Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: x4 − ∫0 x + dx a) b) ∫1 x + x3 dx c) x ∫ (1 + x ) dx Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) x dx ∫ (1− x ) b) ∫ ( 3x + 2) x2 + x3 + x2 + x + dx ∫0 x2 + dx c) Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau: x3 + x + ∫ x + dx a) − x 2010 ∫ x + x 2010 dx b) ( ) x4 c) ∫ (x ) −1 2 dx Bài 5: [ĐVH] Tính tích phân sau: − x4 ∫ + x dx a) b) ∫ ( x + 2)2 ( x + 3)2 dx c) ∫x 1 (1 + x ) dx Bài 6: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) dx ∫ x4 + x2 + 4 b) dx ∫ x3 − x c) dx − 1) ∫ x( x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 14 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN π sin x.cos x dx + cos x I= Câu ∫ π sin x.cos2 x (t − 1)2 dx Đặt t = + cos x ⇒ I = ∫ dt = ln − 1 cos x t + Ta có: I = ∫ π I = ∫ sin x tan xdx Câu π π Ta có: I = ∫ sin x sin x dx = cos x (1 − cos2 x )sin x dx Đặt t = cos x ∫ x cos − u2 du = ln − u ⇒ I = −∫ π I = ∫ sin2 x (2 − + cos2 x )dx Câu π π π Ta có: I = ∫ 2sin xdx − ∫ sin2 x + cos2 xdx = H + K π π 2 π π + Xét H = ∫ 2sin xdx = ∫ (1 − cos x )dx = π − π π 2 π = π π π π π π π 2 + Xét K = ∫ sin2 x cos2 x = − ∫ sin2 x cos xdx = − ∫ sin2 xd (sin x ) = ⇒I = π 2 3 − π I= Câu dx ∫ sin2 x.cos4 x π π I = ∫ π dx 2 sin x.cos x Đặt t = tan x ⇒ dt = dx cos2 x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG I= ∫ (1 + t )2 dt t2 = ∫ Facebook: LyHung95  1 t3  3−4 2 + + t dt = − + t +   =   1  t t  π Câu I=∫ sin x ( + sin x ) dx π Ta có: I = π sin x ∫ (2 + sin x )2 ⇒ I = 2∫ t−2 t2 sin x cos x dx = ∫ (2 + sin x ) dx Đặt t = + sin x 3 1   2 dt = ∫  −  dt =  ln t +  = ln − t t2  t 2  2 π Câu I= sin x ∫ cos x dx π I= π sin x sin x ∫ cos x dx = ∫ cos2 x − dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx 0 Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = Ta I = − ∫ 1 2t − dt = π ⇒t= 2 ln 2t − 2t + = 2 ln 3−2 5−2 π Câu I = ∫ esin x sin x.cos3 x dx • Đặt t = sin x ⇒ I = 11 t e (1 − t )dt = e − ∫ 20 π Câu I = ∫ sin x ⋅ sin2 x + dx π • Đặt t = cos x I = (π + 2) 16 π Câu I= sin x ∫ sin6 x + cos6 x dx π I= ∫ sin x − sin 2 x 4 dx Đặt t = − sin 2 x ⇒ I = ∫  − t 1  t dt =  1 = π Câu 10 I = ∫ sin x ( sin x + cos x ) dx  π Ta có: sin x + cos x = cos  x −  ; 6  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95   π π π π  sin x = sin   x −  +  = sin  x −  + cos  x −  6 6 6 6     π π π sin  x −  dx 6 3 dx  ⇒I= = + ∫ ∫   16 π  16 π cos3  x −  cos2  x −  6 6   π Câu 11 I = ∫ − sin x − cos2 x cos2 x π π sin x ∫ − = − π I= π cos2 x dx + ∫ sin x cos2 x sin x ∫ − π sin x − cos2 x dx = ∫ − cos2 x π dx dx = π cos2 x sin x dx = ∫ − π π sin x cos2 x sin x dx + ∫ sin x −0 cos x sin x dx 7π − −1 12 π Câu 12 I = ∫ sin x + cos x dx  π sin  x +  1 16  dx  I=∫ dx = ∫ dx = ∫ 20  20  π π sin x + cos x sin  x +  − cos2  x +  3 3   π π π 1   π π 1 Đặt t = cos  x +  ⇒ dt = − sin  x +  dx ⇒ I = ∫ dt = ln 3 3 1− t   π Câu 13 I = ∫ − sin x + cos2 xdx π π Ta có I = ∫ sin x − cos x dx = I = ∫ sin x − π cos x dx + ∫ sin x − cos x dx = − π π Câu 14 I = sin xdx ∫ (sin x + cos x )3 π Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ⇒ 2I = cos tdt dx = cos xdx ∫ (sin t + cos t )3 ∫ (sin x + cos x )3 π π π = − cot( x + ) = ⇒ I = π sin ( x + ) ∫ (sin x + cos x )2 = ∫ π π 2 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π Câu 15 I = 7sin x − 5cos x ∫ (sin x + cos x )3 dx π Xét: I1 = ∫ π Đặt x = π sin xdx ( sin x + cos x ) ; I2 = cos xdx ( sin x + cos x ) ∫ − t Ta chứng minh I1 = I2 π dx ( sin x + cos x ) ∫ Tính I1 + I2 = ⇒ I1 = I = π 2 = dx cos2 ( x − ) ∫ π = π π tan( x − ) = ⇒ I = 7I1 – 5I = π Câu 16 I = 3sin x − cos x ∫ (sin x + cos x )3 dx π π Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = 2 π 3cos t − 2sin t ∫ (cos t + sin t )3 dt = π ⇒ 2I = I + I = 3sin x − cos x ∫ (sin x + cos x )3 π 3cos x − 2sin x ∫ (cos x + sin x )3 dx π dx + Câu 17 I = 2 π 3cos x − 2sin x ∫ (cos x + sin x )3 dx = ∫ (sin x + cos x )2 dx = ⇒ I= x sin x ∫ + cos2 x dx π Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫ π π sin t ⇒ 2I = π ∫ + cos π Câu 18 I = t (π − t )sin t + cos2 t π dt = π ∫ sin t + cos t dt − I π π  π2 =π  + ⇒ I = 4 4 + cos t dt = −π ∫ d (cos t ) cos4 x sin x ∫ cos3 x + sin3 x dx Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = − ∫ π π sin t cos t cos3 t + sin3 t dt = sin x cos x ∫ cos3 x + sin3 x dx π ⇒ 2I = π cos x sin x + sin x cos x sin3 x + cos3 x ∫ dx = 3 sin x cos x (sin x + cos x ) sin3 x + cos3 x ∫ π dx = 12 1 sin xdx = ⇒ I = ∫ 20 π Câu 19 I = Đặt x = π 2   ∫  cos2 (sin x ) − tan  (cos x ) dx  − t ⇒ dx = −dt Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π Facebook: LyHung95 π 2    1 ⇒ I=∫ − tan (sin t ) dt = ∫  − tan (sin x ) dx  cos2 (cos t )   cos (cos x )  0 0 π π 2   1 π + − tan (cos x ) − tan (sin x ) dx = ∫ dt = π ⇒ I = Do đó: 2I = ∫  2  cos (sin x ) cos (cos x )  0 π Câu 20 I = cos x − sin x − sin x ∫ dx π Đặt u = sin x + cos x ⇒ I = du ∫ 4−u Đặt u = 2sin t ⇒ I = ∫ π π cos tdt − 4sin t = ∫ dt = π π 12 π Câu 21 I = sin x ∫ cos x + sin x − cos2 x Ta có: cos2 x = − t dt = Đặt t = + sin x = I= π π 3 ∫ = dx sin x cos x + sin2 x 15 t+2 ln t−2 Câu 22 I = ∫π sin3 x + sin2 x 2π +) Tính I1 = ∫π 2π +) Tính I =∫π π dx + ∫π sin x Vậy: I = 2π x Ta có I = ∫π cos2 x + sin2 x x + ( x + sin x )sin x 2π sin x.cos x ∫ 1 15 +  ln − ln  15 −  = 2π dx = 15 ∫ dx = dt − t2 = sin x cos x + sin2 x dx 15  ∫ 1  −  dt t+2 t−2 3+2  (  = ln 15 + ) − ln ( + ) −  ( ) dx dx + sin x u = x π  du = dx dx ⇒  ⇒ I1 = dx Đặt  dv = v = − cot x sin x  sin x x 2π dx = ∫π3 + sin x 2π dx dx = ∫π3 =4 − π  x 2π + cos  − x  cos  −  2   2 +4−2 π Câu 23 I=∫ π I=∫ sin x 2 dx cos x + 4sin x udu 2sin x cos x 22 dx Đặt u = 3sin x + ⇒ I = ∫ = ∫ du = u 31 3sin2 x + Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG  π tan  x −   dx cos2 x π Câu 24 I = ∫ π I= ∫ Facebook: LyHung95 π  π tan  x −   dx = − tan x + dx Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = (tan x + 1)dx ∫ cos x cos2 x (tan x + 1) ⇒ I =− ∫ dt (t + 1) = 1− = t +1 π Câu 25 I = cot x dx π sin x.sin  x + π   4 ∫ π I = 2∫ π cot x sin x (1 + cot x ) dx Đặt + cot x = t ⇒ sin x dx = − dt ⇒ I= +1 t −1 dt = ( t − ln t ) t ∫ +1 +1 +1   = 2 − ln    π Câu 26 I = dx ∫ sin2 x.cos4 x π π Ta có: I = ∫ π dx 2 sin x.cos x Đặt t = tan x ⇒ dx = dt + t2 (1 + t )2 dt 1 t3 = ∫ ( + + t )dt = (− + 2t + ) ⇒ I= ∫ t t2 1 t π Câu 27 I = ∫π2 sin x − cos x + sin x = 3−4 dx π π  Ta có: + sin x = sin x + cos x = sin x + cos x (vì x ∈  ;  ) 4 2 π ⇒ I = ∫π2 ⇒I =∫ sin x − cos x dx Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x )dx sin x + cos x 21 t dt = ln t = ln 2 Câu 28 I = ∫ − cos3 x sin x.cos5 xdx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Đặt t = − cos3 x ⇔ t = − cos3 x ⇒ 6t 5dt = 3cos2 x sin xdx ⇒ dx = 2t 5dt cos2 x sin x  t t13  12 ⇒ I = ∫ t (1 − t )dt =  −  =  13  91 6 π Câu 29 I = tan xdx cos x + cos2 x ∫ π Ta có: I = tan xdx ∫ 2 cos x tan x + Đặt t = + tan x ⇒ t = + tan x ⇒ tdt = ⇒ I= tdt ∫2 t = tan x dx cos x ∫ dt = 3− 2 π Câu 30 I = cos2 x ∫ (cos x − sin x + 3)3 dx t −3 dt = − 32 t Đặt t = cos x − sin x + ⇒ I = ∫ π Câu 31 I = ∫ sin x dx cos x tan x + π Ta có: I = ∫ sin x 4 sin x + cos x dx Đặt t = sin x + cos4 x ⇒ I = −2 2 ∫ dt = − BÀI TẬP LUYỆN TẬP π 1) ∫ sin x dx π 2) ∫ sin x dx 3) ∫ sin x dx 0 π π π 4) ∫ cos3 x dx 7) π 5) ∫ sin x dx 0 π π ∫ tan x dx 8) 6) π ∫ tan x dx π tan x dx 10) ∫ cos x 11) π π π 13) ∫ sin x.cos x dx ∫ ( cot 14) 9) ) x + dx + sin x dx cos x ∫ x dx π π π ∫ tan tan x ∫0 cos2 x dx π cot x dx 12) ∫ π sin x π 15) ∫ sin x cos3 x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π 16) dx ∫π sin x.cos3 x π 19) π sin x 20) π sin x 22) ∫ dx cos x + 23) sin x.cos x dx + cos x ∫ π 28) ∫ cos x ( sin x + cos x ) dx π 31) ∫ sin x.tan x dx π 37) 40) ∫ ( sin π π π − x 24) dx π sin x 27) ∫ sin x cos x (1 + cos x ) dx dx π π 30) dx x x π sin cos 2 ∫ sin x cos x − cos x 46) ∫ dx + cos x 33) 4sin x ∫0 + cos x dx π 36) ∫ ( sin ) x + cos3 x dx x − sin x ) dx 41) ∫ sin x (1 + sin x ) dx π 39) ∫ ( cos π 42) ) x.sin x dx dx ∫π sin x.cos x 44) ∫ sin π π 47) π dx x.cos3 x 45) dx ∫ ( tan x − cot x ) π dx + sin x + cos x dx sin x + cos x π π π 50) ∫ sin x (1 + sin x ) π − π π 49) ∫ cos x.cos x dx x π dx 4 π sin x 32) ∫ dx x cos ∫ ( cos dx ∫ cos π 38) sin x 29) ∫ dx sin x + π sin x ∫ + cos x dx π π ∫ ( + sin x ) π π π sin x ∫ + cos 21) sin x 35) ∫ dx + cos x x + cos x ) dx cos x ∫ + 2sin x dx ∫ cos x ∫ − sin x dx π 43) π π cos3 x 34) ∫ dx cos x + π 0 26) 18) ∫ sin x cos5 x dx 0 π 25) π 17) ∫ sin x cos x dx ∫ + 3cos x dx Facebook: LyHung95 ∫ − 2sin x 48) ∫ dx + sin x π 51) sin x ∫ cos x + sin x dx 52) ∫ cos x + sin x + sin x dx 53) ∫π sin x − cos x + sin x π 54) dx ∫ − cos x sin x.cos5 xdx π 55) ∫ − cos x sin x.cos5 x dx π 56) ∫ cos x π π tan x + cos x dx 57) ∫ cos x dx + cos x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π 58) ∫ sin x cos x − cos x dx 61) π 59) 0 π π ∫ cos x dx + cos x 62) − dx π  cos x.cos  x +  4  ∫ 71) 66) cos x dx ∫ ( sin x + cos x ) π 69) sin x − 5cos x dx π  sin x.cos  x +  4  72) dx π  sin x.sin  x +  6  ∫π sin x sin x dx 75) ∫ ∫ (e tan x dx cos x e ) eπ π sin x + cos x cos x dx ln(sin x) dx π cos x π 6 π ∫ cos(ln x)dx 80) 83) dx sin xdx (sin x + cos x 78) π ) 84) π dx ∫0 cos2 x + 4sin x 92) sin x − cos x + ∫0 sin x + cos x + dx π π sin x ∫0 cos8 x dx dx ∫0 sin x + 2sin x cos x − cos2 x 95) dx π cos x 87) ∫ dx sin x + cos x π ∫ ( sin 90) x + cos5 x ) dx π π cos x − 4sin x ∫ (cos x + sin x) π 89) ∫ 81) ∫ sin x.ln(cos x) dx sin xdx 86) ∫ sin x + cos x π sin x ∫0 + sin x dx ∫ π 1+ cos x sin x ∫0 sin x + cos6 x dx ∫ dx π 77) π ∫π π sin x cos3 xdx ∫ ( 3sin x + cos x ) 2x π (1 + sin x) 85) ∫ ln + cos x 94) π sin(ln x) dx x sin ∫e π 91) ( cos x − sin x ) π 74) ∫ e dx 82) ∫ sin x + cos x 88) ) dx 63) ∫ π tan x + e 73) ∫ cos x 79) sin x sin x − cos x + 68) ∫ dx π sin x + cos x + π 76) ( cos x + dx π sin x 67) ∫ dx sin x + cos x π ∫ sin x + sin x dx + 3cos x ∫ π cos x dx 65) ∫ + sin x π π + cos x π cos x − sinx 64) ∫ dx sinx + cos x 70) 60) π π cos x dx ∫ Facebook: LyHung95 sin x + cos x dx + 2sin x 93) ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... 5 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi... trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Ta có I11 = ∫ ∫ ∫ Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 cos u du = d ( sin u ) c) Sử dụng các công thức vi phân  sin x dx = −d ( cos x ) 3 Ta có I12 = ∫ 1 2 cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = − ∫ 2 ( cos x ) 2 3 Ví dụ 5: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:... dx 4x + 3 Bài 12: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x dx 6 − 5x 3x 3 + 2 x 2 + x + 1 41) I 41 = ∫ dx x+2 38) I 38 = ∫ x 2 + x + 11 dx x+3 4 x3 + 4 x 2 − 1 42) I 42 = ∫ dx 2x + 1 39) I 39 = ∫ Bài 13: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: 44) I 44 = ∫ e −2 x + 3... 49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx Bài 14: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: 50) I 50 = ∫ 1 dx 2x 51) I 51 = ∫ 2x dx 7x ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI... một nguyên hàm của hàm số đã cho Ví dụ: Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Chương trình Luyện thi. .. Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1 ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ ĐƠN GIẢN Phương pháp giải: Nếu hàm f(x) có chứa n g... x 1+ x ) 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2 ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC Nếu hàm f(x) có chứa dx = d (a sin... F ( x ) = ln x 2 − mx + 5  b)  Tìm m 2x + 3  f (x) = 2 x + 3x + 5  Bài 3: [ĐVH] Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG  F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x a)  Tìm a, b, c  f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x... x +1 x +1 x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 1  dt dt  1 1 t −1 1 =  − + C = ln  = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln 4  t −1 t +1 4 4 t +1 4 ∫ Facebook: LyHung95 x4 + 1 − 1 ∫ x4 + 1 + 1 + C Ví dụ 4: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I11 = dx 2 − 5x ∫1+ c) I13... = − + e +C 2 4 2ln 2 4 a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = b) ∫ (2 1− 2 x Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp • ∫ 0dx = C • ∫ a x dx = • ∫ dx = x + C • ∫ xα dx = • x α +1 α +1 ax + C (0 < a ≠ 1) ln a • ∫ ... Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung 95 Bảng nguyên hàm số hàm số thường... điều kiện tham số để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x): Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT... Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung 95 Bảng nguyên hàm số hàm số thường