1 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 00 VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I CÁC QUY TẮC VÉC TƠ Quy tắc véc tơ đối : Với hai điểm A, B cho trước ta có AB = − BA ⇔ AB + BA = Quy tắc cộng véc tơ : Cho trước hai điểm A, B Với điểm M1, M2 Mn ta có hệ thức sau: AB = AM1 + M1M + M M + + M n B Quy tắc trừ hai véc tơ : Cho trước hai điểm A, B Với điểm M ta có AB = MB − MA Quy tắc hình bình hành : AB + AD = AC Cho hình bình hành ABCD, AB = DC Quy tắc trung tuyến: Cho hai điểm A, B Nếu M trung điểm AB ta có  MA + MB = hệ thức   AM + BM = Quy tắc trung tuyến: Cho tam giác ABC, gọi M N theo thứ tự trung điểm BC AC Khi AB + AC = 2AM BA + BC = 2BN Quy tắc trọng tâm: Cho tam giác ABC có trọng tâm G hình vẽ GA + GB + GC =  Khi ta có   AG = AM = 2GM  Nhận xét: + Với điểm I ta có IA + IB + IC = 3IG + Điểm G gọi trọng tâm tứ diện ABCD GA + GB + GC + GD = Ví dụ 1: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD Xác định điểm M, N thỏa mãn: a) AM = AB + AC + AD b) AN = AB + AC − AD Hướng dẫn giải: Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a) AM = AB + AC + AD Gọi I trung điểm BC, AB + AC = 2AI Gọi J điểm đối xứng A qua I, ta có 2AI = AJ  → AB + AC = AJ Từ AB + AC + AD = AJ + AD = 2AE , với E trung điểm DJ Theo bài, AM = AB + AC + AD = 2AE Vậy M điểm đối xứng A qua E b) AN = AB + AC − AD Theo a, ta có AB + AC = 2AI = AJ Gọi J điểm đối xứng A qua I, ta có  → AN = AB + AC − AD = AJ − AD = DJ Vậy tam giác ADJ ta tạo hình bình hành ADJN điểm N thỏa mãn yêu cầu điểm cần tìm Ví dụ 2: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD, G trung điểm MN G1 trọng tâm tam giác BCD Chứng minh hệ thức sau: 1 a) AC + BD = AD + BC b) MN = AC + BD = AD + BC 2 c) GA + GB + GC + GD = d) NA + NB + NC + ND = 4NG, ∀N ( ) ( ) e) AB + AC + AD = 3AG Hướng dẫn giải: a) AC + BD = AD + BC Sử dụng quy tắc cộng véc tơ ta có AC = AD + DC  → AC + BD = AD + BC + DC + CD  BD = BC + CD ( ) → AC + BD = AD + BC Mà DC + CD =  1 b) MN = AC + BD = AD + BC 2 Chứng minh: MN = AC + BD ⇔ AC + BD = 2MN AC = AM + MN + NC Theo quy tắc cộng ta có BD = BM + MN + ND ( ) ( ( ( ) ) ) (  → AC + BD = AM + BM + 2MN + NC + ND ) AM + BM = Theo quy tắc trung điểm ta lại có   NC + ND = Từ ta AC + BD = 2MN  → ( dpcm ) ( ) AD + BC Ta chứng minh tương tự trên, sử dụng kêt câu a AC + BD = AD + BC ta điều phải chứng minh Chứng minh: MN = Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 c) GA + GB + GC + GD = Theo quy tắc trung điểm ∆GAB ∆GCD ta có GA + GB = 2GM (  → GA + GB + GC + GD = GM + GN GC + GD = 2GN ) Mà G trung điểm MN nên GM + GN =  → GA + GB + GC + GD = d) NA + NB + NC + ND = 4NG, ∀N NA = NG + GA Ta có NB = NG + GB NC = NG + GC ( )  → NA + NB + NC + ND = 4NG + GA + GB + GC + GD = 4NG ND = NG + GD e) AB + AC + AD = 3AG1 Sử dụng quy tắc trung tuyến cho ∆ACD ta AC + AD = 2AN Gọi I điểm đối xứng A qua N, 2AN = AI  → AC + AD = AI ( ) Ta có AB + AC + AD = AB + AC + AD = AB + AI = 2AE, với E trung điểm BI Xét ∆ABI có BN AE đường trung tuyến, giả sử BN ∩ AE = G′ G′ trọng tâm ∆ABI Khi BG ′ = BN = BG1  → G ′ ≡ G1 2AE AB + AC + AD Mà AG1 = AE = = ← → AB + AC + AD = 3AG1 3 II PHÉP PHÂN TÍCH, CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VÉC TƠ Ba véc tơ đồng phẳng: Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c Khi đó, tồn phép phân tích c = ma + nb Ba véc tơ không đồng phẳng: Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c Khi đó, với véc tơ d tồn phép phân tích d = ma + nb + pc Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Hãy phân tích véc tơ SA, SB, SC, SD theo AB, AC, SO Hướng dẫn giải: Phân tích SA : 1 Ta có SA = SO + OA = SO + CA = SO − AC 2  → SA = SO − AC Phân tích SB : SB = SO + OB = SO + OA + AB = SO − AC + AB  → SB = SO − AC + AB Phân tích SC :   SA + SC = 2SO  → SC = 2SO − SA = 2SO −  SO − AC     → SC = SO + AC Phân tích SD :   SB + SD = 2SO  → SD = 2SO − SB = 2SO −  SO − AC + AB     → SD = SO + AC − AB ( ) Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD, gọi M N theo thứ tự trung điểm AB, CD Chứng minh ba véc tơ MN, BC, AD đồng phẳng Hướng dẫn giải: Nhận xét: Để chứng minh ba véc tơ MN, BC, AD đồng phẳng ta kiểm tra xem có đẳng thức véc tơ liên quan đến ba véc tơ hay không Bằng trực quan hình học, ta thấy MN BC AD nên ta xuất phát từ véc tơ MN theo hai hướng BC AD MN = MA + AD + DN Ta có  MN = MB + BC + CN ( ) ( ) (  → 2MN = MA + MB + BC + AD + DN + CN ) ( ) Từ ta có MN = BC + AD , tức ba véc tơ đồng phẳng Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên đoạn SA lấy điểm M cho MS = −2MA đoạn BC lấy điểm N cho NB = − NC Chứng minh ba vectơ AB, MN, SC đồng phẳng Hướng dẫn giải: Tương tự ví dụ trên, phân tích MN theo hai hướng MN = MA + AB + BN, (1) Ta có  MN = MS + SC + CN, ( ) Nhân hai vế (1) với cộng với (2) ta ( ) ( ) ( 3MN = 2MA + MS + 2AB + SC + 2BN + CN )  2MA + MS = MS = −2MA Từ giả thiết  ←→  2NB + NC =  NB = − NC  → 3MN = 2AB + SC ⇔ MN = AB + SC 3 Vậy ba véc tơ AB, MN, SC đồng phẳng BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh a) AB + DC = AC + BD b) AB + CD + EF = AF + ED + CB Bài 2: [ĐVH] Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Chứng minh a) AB + AD + AA ' = AC ' b) A ' B ' + BC + D ' D = A ' C c) Gọi O tâm hình hộp Chứng minh OA + OB + OC + OD + OA ' + OB ' + OC ' + OD ' = Bài 3: [ĐVH] Cho tứ diện S.ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Phân tích vectơ SG theo ba véc tơ SA, SB, SC b) Gọi D trọng tâm tứ diện S.ABC Phân tích vectơ SD theo ba vectơ SA, SB, SC Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 4: [ĐVH] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có AA ' = a, AB = b , AC = c a) Hãy phân tích vectơ B′C , BC ′ theo vectơ a, b, c b) Gọi G′ trọng tâm tam giác A′B′C′ Biểu diễn véc tơ AG ′ qua véc tơ a, b, c Bài 5: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD có trung tuyến qua đỉnh A tam giác ABC AN Lấy điểm M AN cho AM = Phân tích véc tơ DM theo DA; DB; DC MN Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Góc hai véc tơ  AB = u Giả sử ta có   → u; v = AB; AC = BAC , với 0o ≤ BAC ≤ 180o  AC = v 2) Tích vô hướng hai véc tơ  AB = u Giả sử ta có   → u.v = AB AC = AB AC cos AB AC  AC = v Nhận xét: u = +) Khi   → u.v = v = ( ) ( ) ( ( ) +) Khi u ↑↓ v  → ( u; v ) = 180 ) → u ; v = 00 +) Khi u ↑↑ v  +) Khi u ⊥ v ←→ u.v = Ví dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a ( ) a) Tính góc hai véc tơ AB; BC ( ) b) Gọi I trung điểm AB Tính góc hai véc tơ CI ; AC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng công thức tính góc hai véc tơ ta AB BC AB BC AB BC cos AB; BC = , (1) = = AB.BC a2 AB BC ( ) ( ) Xét AB BC = AB BA + AC = AB.BA + AB AC ( ) AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a Mà ( ) AB AC = AB AC.cos AB AC = a.a.cos 600 = a2 a2 a2 =− 2 a2 − → AB; BC = 1200 (1) ⇔ cos AB; BC = 22 = −  a Vậy AB; BC = 120o  → AB BC = −a + ( ( ) ) ( ( ) b) Ta có cos CI ; AC = CI AC CI AC = ) CI AC CI AC Tứ diện ABCD cạnh a, CI trung tuyến tam giác ABC nên CI = ( ) ( ) a CI AC  → cos CI ; AC = , ( 2) a Ta có CI AC = CI AI + IC = CI AI + CI IC Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Do ∆ABC nên CI ⊥ AI ⇔ CI AI = ( ) a a 3a 3a 3a cos1800 = −  → CI AC = − =− 2 4 3a −  → CI ; AC = 1500 Thay vào (2) ta ( ) ⇔ cos CI ; AC = = − a Vậy CI ; AC = 150 Đồng thời, CI IC = CI IC cos CI ; IC = ( ( ) ( ) ) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi vuông góc SA = SB = SC = a Gọi M trung điểm AB a) Biểu diễn véc tơ SM BC theo véc tơ SA; SB; SC ( ) b) Tính góc SM ; BC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng quy tắc trung tuyến quy tắc trừ hai véc tơ ta   SA + SB = 2SM  SM = SA + SB  ← →  BC = SC − SB  BC = BS + SC  ( ( ) b) cos SM ; BC = SM BC SM BC = ) SM BC , (1) SM BC  SA.SB =  Mà SA, SB, SC đôi vuông góc nên  SA.SC =   SB.SC = Tam giác SAB SBC vuông S nên theo định lý Pitago ta  BC = a  AB = BC = a  → a  SM = AB =  2  1 a2 Theo câu a, SM BC = SA + SB SC − SB =  SA.SC − SA.SB + SB.SC − SB.SB  = − SB = − 2 2 0  a − SM BC Thay vào (1) ta cos SM ; BC = = = −  → SM ; BC = 1200 SM BC a 2 a 2 ( )( ( ) ) ( ) II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1) Khái niệm véc tơ phương đường thẳng Một véc tơ u ≠ mà có phương song song trùng với d gọi véc tơ phương đường thẳng d 2) Góc hai đường thẳng Khái niệm: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a′; b′ song song với a; b Kí hiệu ( a;b ) a// a ′ Từ định nghĩa ta có sơ đồ   → ( a;b ) = ( a ′;b′ )  b// b′ Nhận xét: ( ) +) Giả sử a, b có véc tơ phương tương ứng u; v u; v = φ Khi đó, ( a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o ( a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180o Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 +) Nếu a // b a ≡ b ( a; b ) = 0o Các xác định góc hai đường thẳng: Phương án (sử dụng định nghĩa) a ′// a Tạo đường   → ( a, b ) = ( a ′, b′ )  b′// b Phương án - Lấy điểm O thuộc a - Qua O, dựng đường ∆ // b  → ( a, b ) = ( a, ∆ ) Chú ý: Các phương pháp tính toán góc hai đường thẳng: Nếu góc thuộc tam giác vuông dùng công thức tính toán tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot Nếu góc thuộc tam giác thường sử dụng định lý hàm số cosin tam giác ABC: a = b + c − 2bc cos A  → cos A = b2 + c − a 2bc Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB, SAD, SAC tam giác vuông A Biết SA = a 3; AB = a; AD = 3a Tính góc đường thẳng sau: a) SD BC b) SB CD c) SC BD Hướng dẫn giải: a) Tính góc SD BC Để xác định góc hai đường thẳng SD BC ta sử dụng phương án 2, tìm đường thẳng song song với hai đường thẳng SD, BC song song với đường lại Ta dễ nhận thấy AD // BC SDA Khi ( SD; BC ) = ( SD; AD ) =  180o − SDA SA Xét ∆SAD: tan SDA = =  → SDA = 30o AD Vậy ( SD; BC ) = 30o b) Tính góc SB CD SBA Tương tự, CD//AB  → ( SB;CD ) = ( SB;AB ) =  180o − SBA SA Xét ∆SAB: tanSBA = =  → SDA = 60o AB Vậy ( SB;CD ) = 60o c) Tính góc SC BD Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD, I trung điểm SA  IOB Trong ∆SAC có OI // SC  → ( SC; BD ) = ( OI; BD ) =  180o − IOB a 3 a Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB =   + a =   2 ABCD hình chữ nhật nên BD = AB2 + AD = a + 9a = a 10  → OB = a 10 = OA 2  a   a 10  a 13 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO =   +   =      2 Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13a 10a 7a + − OI + OB − IB 4 = Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được: cos IOB = = 2.OI.OB a 13 a 10 130 2    → IOB = arccos   = ( SC;BD )  130  2   Vậy ( SC;BD ) = arccos    130  Ví dụ Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm BC, AD Biết AB = CD = 2a , MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD Hướng dẫn giải: Do AB CD cạnh tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc hai đường thẳng AB CD ta tạo đường thẳng tương ứng song song với AB, CD chúng cắt Gọi P trung điểm AC, MP // AB, NP // CD  MPN  → ( AB,CD ) = ( MP, NP ) =  180o − MPN Do MP, NP đường trung bình nên ta có MP = NP = a Áp dụng định lý hàm số cosin ∆MPN ta MP + NP − MN 2a − 3a cos MPN = = =− 2MP.NP 2.a.a  → MPN = 120o ⇔ ( MP, NP ) = 60o Vậy ( AB,CD ) = 60o Nhận xét: Ngoài việc khởi tạo P ta lấy điểm P trung điểm BD, cách giải tương tự Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A D, AD = DC = a, AB = 2a SA vuông góc với 3a AB AD, SA = Tính góc đường thẳng a) DC SB b) SD BC Hướng dẫn giải: Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Bài 3: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o b) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) góc 30o a3 a3 b) V = 16 Bài 4: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông B, biết BB' = AB = a B'C hợp với đáy Đ/s: a) V = ABC góc 300 Tính thể tích lăng trụ a3 Bài 5: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết AB' hợp với mặt bên Đ/s: V = (BCC'B') góc 300 Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ a3 Bài 6: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông A, AC = a góc ACB 600 Biết Đ/s: AB ' = a 3, V = BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 300 Tính thể tích lăng trụ diện tích tam giác ABC' Đ/s: V = a 6, S ∆ABC = 3a • CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI (Học sinh TB – Khá nên tham khảo) Bài 7: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 600 b) A'B hợp với đáy ABC góc 450 c) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ a3 c) V = a 3 Bài 8: [ĐVH] Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: Đ/s: a) V = a 3 b) V = a) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 450 b) BD' hợp với đáy ABCD góc 600 c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a Đ/s: a) V = 16a3 b) V = 12a3 c) V = 16a 3 Bài 9: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông cạnh a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 600 b) Tam giác BDC' tam giác c) AC' hợp với đáy ABCD góc 450 Đ/s: a3 a) V = b) V = a3 c) V = a3 Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Bài 10: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 600 Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 600 b) Khoảng cách từ C đến (BDC') a/2 c) AC' hợp với đáy ABCD góc 450 3a 3 3a 3a b) V = c) V = Bài 11: [ĐVH] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có BD' = 5a, BD = 3a Tính thể tích khối hộp trường hợp sau đây: Đ/s: a) V = a) AB = a b) BD' hợp với AA'D'D góc 300 c) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 300 Đ/s: a) V = 8a3 b) V = 5a3 11 c) V = 16a3 Bài 12: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân A, BC = 2a , Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 a) Chứng minh AB ⊥ ( ACC ' A ') b) Tính thể tích khối lăng trụ theo a b) Tính khoảng cách từ A đến đến (A’BC) d) Tính khoảng cách từ AA’ đến (BCC’B’) Bài 13: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, góc mặt phẳng (C’AB) với (ABC) 300, khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’) a Tính khoảng cách từ C đến mp(C’AB) thể tích khối lăng trụ Bài 14: [ĐVH] Cho lăng trụ tứ giác ABCD A1 B1C1 D1 có khoảng cách AB A1 D Độ dài đường chéo mặt bên a) Hạ AK ⊥ A1 D Chứng minh AK = b) Tính thể tích khối lăng trụ cho Bài 15: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông đường chéo 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 600 b) Tam giác BDC' tam giác c) AC' hợp với đáy ABCD góc 450 d) Khoảng cách AC với BD’ a Bài 16: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn BAC = 600 Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a) Mặt (BDC') hợp với đáy ABCD góc 600 b) Khoảng cách từ C đến (BDC’) a c) AC' hợp với đáy ABCD góc 450 d) Diện tích tam giác BDC’ a2 Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 08 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A ' B ' C ' D có đáy hình chữ nhật với AB = a; AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A ' lên (ABCD) trùng với trọng tâm G tam giác ABD Biết góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) (ABCD) 600 a) Tính thể tích lăng trụ cho b) Tính cosin góc hai đường thẳng A ' B AC c) Tính khoảng cách hai đường thẳng A ' C BD Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H OB Biết ( A ' BC ; ABC ) = 600 a) Tính thể tích lăng trụ cho (Đ/s: V = a3 ) 16 b) Tính góc hai đường thẳng AA ' BC c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC d) Tính khoảng cách từ G tới mặt phẳng ( AA ' B ) , với G trọng tâm tam giác B ' C ' C Ví dụ 3: [ĐVH] (Đề thi Đại học khối B – 2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a; AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Ví dụ 4: [ĐVH] (Đề thi Đại học khối A – 2008) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A' (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA' , B'C' Đ/s: VA ' ABC a3 = , cos ( AA ', B ' C ' ) = Ví dụ 5: [ĐVH] (Đề thi Đại học khối B – 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc đường thẳng BB' (ABC) 600; tam giác ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a 9a 208 Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc A' Đ/s: VA ' ABC = (ABCD) nằm hình thoi, cạnh xuất phát từ A hộp đôi tạo với góc 600 a) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD b) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B' c) Tính thể tích hộp Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Đ/s: a) S ACC ' A ' = a b) S BDD ' B ' = a Facebook: LyHung95 a3 c) V = 2 Lời giải: a) Ta có: A ' AD = A ' AB = DAB = 600 ⇒ ∆AA ' D, ∆AA ' B, ∆ABD tam giác ⇒ A ' D = A ' B = a ⇒ ∆A ' BD tam giác cân Gọi O = AC ∩ BD ⇒ A 'O ⊥ BD  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( A ' AC ) Ta có   BD ⊥ A ' C Trong ( A ' AC ) kẻ A ' H ⊥ AC ⇒ BD ⊥ A ' H  A ' H ⊥ BD Ta có  ⇒ A ' H ⊥ ( ABCD ) :  A ' H ⊥ AC Vậy H nằm đường chéo AC b) ∆A ' BD có A ' D = A ' B = BD = a ⇒ ∆A ' BD tam giác ⇒ A ' O = Ta có : cos A ' AO = a AA '2 + AO − A ' O a a 3 , mà AA ' = a, AO = , A 'O = ⇒ cos A ' AO = AA ' AO 2 ⇒ sin A ' AO = − cos A ' AO = a2 ⇒ S A ' AO = AA ' AO.sin A ' AO = ⇒ S ACC ' A ' = S A ' AO = a 2 Ta có : BD ⊥ ( AA ' C ) ⇒ BD ⊥ AA ' ⇒ BD ⊥ DD ' ⇒ S BDD ' B ' = BD.BB ' = a.a = a c) Ta có sin A ' AH = A'H a ⇒ A ' H = AB.sin A ' AH = AB a a3 ⇒ VABCD A ' B 'C ' D ' = A ' H S ABCD = A ' H AC.BD = a 3.a = ( dvtt ) 2 Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A 600, chân đường vuông góc hạ từ B' xuông (ABCD) trùng với giao điểm đường chéo đáy, cho biết BB' = a a) Tìm góc hợp cạnh bên đáy b) Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp Đ/s: a) 60 3a b) V = ; ΣS = a 15 Lời giải: Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 a) Gọi O = AC ∩ BD A = 600 ⇒ ∆ABD tam giác Ta có: ( BB ', ( ABCD ) ) = ( BB ', BO ) = OBB ' cos OBB ' = OB = ⇒ OBB ' = 600 BB ' b) B ' O == BB '2 − BO = a a 3a a.a = 2 Gọi H hình chiếu A ' xuống ( ABCD ) ⇒ VABCDA ' B ' C ' D ' = B ' O.S ABCD = ⇒ A ' B '/ / OH Ta có: BH = BD + DH = BD + AO = a + A' B = A ' H + BH = B ' O + BH = cos A ' AB = 3a a = 3a a a 10 + = 4 AA '2 + AB − A ' B a 10 mà AA " = a, AB = a, A ' B = ⇒ cos A ' AB = − AA ' AB a 15 a 15 a 15 ⇒ sin A ' AB = − cos A ' AB = ⇒ S A ' AB = AA ' AB.sin A ' AB = ⇒ S AA ' B ' B = S A ' AB = Tông diện tích mặt bên hình chóp 4.S ABB ' A ' = a 15 BÀI TẬP TỰ LUYỆN • CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI (Học sinh TB – Khá nên tham khảo) Bài 1: [ĐVH] Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên AA ' = a hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ 3a 3 Bài 2: [ĐVH] Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' Đ/s: V = xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết AA' hợp với đáy ABC góc 600 a) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật b) Tính thể tích lăng trụ Đ/s: V = a3 Bài 3*: [ĐVH] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = a 3, AD = a Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên a Đ/s: V = 3a3 Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Bài 4: [ĐVH] Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, đỉnh A' cách điểm A, B, C AA ' = 2a Tính thể tích lăng trụ a3 Đ/s: V = Bài 5: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc đỉnh A' lên (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC mặt bên (BB'C'C) hợp với đáy (ABC) góc 600 a) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật b) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' 3a 3 Bài 6: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh bên CC' = a hợp Đ/s: V = với đáy ABC góc 600, C' có hình chiếu ABC trùng với O a) Chứng minh AA'B'B hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B b) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' a2 3a 3 b) V = Bài 7: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết chân đường vuông góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a Đ/s: a) S AA ' B ' B = a) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ b) Tính thể tích lăng trụ a3 Bài 8: [ĐVH] Cho lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C' (ABC) O Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a hai mặt bên (AA'C'C) Đ/s: a) 300 b) V = (BB'C'C) hợp với góc 900 Đ/s: V = 27 a Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 09 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP, LẬP PHƯƠNG Thầy Đặng Việt Hùng LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN • Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy hình bình hành - mặt hình hộp hình bình hành - Hai mặt đối diện song song - Bốn đường chéo hình hộp đồng quy trung điểm đường • Hình hộp chữ nhật: Có mặt hình chữ nhật • Hình lập phương: Là hình có mặt hình vuông (bằng nhau) Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; BC = a 3; AA ' = 2a Điểm M AD chia đoạn AD theo tỉ số k = –3 Tính thể tích khối chóp M B ' C ' C khoảng cách từ M đến (AB’C) theo a Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a K trung điểm DD’ Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A’D theo a Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi ABCD cạnh a , góc A 600, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy (ABCD) trùng với giao điểm O đương chéo đáy Cho BB’ = a Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp Ví dụ 4: [ĐVH] (Trích Đề thi ĐH khối B – 2008) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a AB = AD = a; AA ' = ; BAD = 600 Gọi M N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN N A' Hướng dẫn: B' E M VA.BDMN = D' 3 a 3a VS.ABD = SA.SABD = a = 4 4 16 C' I A B O D C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH] Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông Gọi O tâm ABCD OA ' = a Tính thể tích khối hộp khi: a) cạnh đáy cạnh bên lăng trụ b) OA' hợp với đáy ABCD góc 600 c) A'B hợp với (AA'CC') góc 300 Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 d) diện tích tam giác BDA’ 2a Bài 2: [ĐVH] Đáy hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ hình thoi có đường chéo nhỏ a góc nhọn 600 Diện tích mặt bên khối hộp a 2 Tính thể tích khối hộp Bài 3: [ĐVH] (Đề thi Đại học khối D – 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A ' C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Bài 4*: [ĐVH] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ lên (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ Bài 5: [ĐVH] (Đề thi Đại học khối B – 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1 B1C1 có đáy tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm AA1 , BC1 Chứng minh MN đoạn vuông góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA1 BC1 A Hướng dẫn: C +) MN // AE mà AE ⊥ AA1 ⇒ MN ⊥ AA1 B E Do hai hình chữ nhật: AA1B1 B, AA1C1C nhau: MB = MC1 Do ∆MBC1 cân M ⇒ MN ⊥ BC1 MN đường vuông góc chung M +) A1C1 ⊥ ( AA1B1B ) ⇒ A1C1 ⊥ ( A1MB ) N ⇒ V M A1 B C1 = V C A1 M B = A1 C S A1 M B C1 A1 B1 Bài 6: [ĐVH] (Đề thi Đại học khối B – 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a B' A' C' a 600 A B 600 C Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Bài 7: [ĐVH] (Đề thi Đại học khối D – 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) M A' Hướng dẫn: C' IH CI 2 4a = = ⇒ IH = AA ' = IH đường cao tứ AA ' CA ' 3 B' I diện IABC AC = a 5, BC = 2a ⇒ VIABC = IH S ABC = 3a 2a +) Dựng IK vuông góc với A’B Ta có A’K khoảng cách từ A đến (IBC) K A C H a B Bài 8: [ĐVH] (Đề thi Đại học khối A – 2008) Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA', B'C' A' C' B' 2a a C A a I B Bài 9: [ĐVH] Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vuông Gọi O tâm ABCD OA' = a Tính thể tích khối hộp khi: a) ABCD A'B'C'D' khối lập phương b) OA' hợp với đáy ABCD góc 600 c) A'B hợp với (AA'CC') góc 300 Đ/s: a) V = 2a ; b) V = a3 ; c) V = 4a 3 Bài 10: [ĐVH] Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD góc 300 mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích hộp chữ nhật Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 2a Đ/s: V = Bài 11: [ĐVH] Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có AB = a; AD = b; AA' = c BAD = 300 biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ Đ/s: V = abc Bài 12: [ĐVH] Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc A' (ABCD) nằm hình thoi, cạnh xuất phát từ A hộp đôi tạo với góc 60o a) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD b) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B' c) Tính thể tích hộp Đ/s: b) S ACC ' A ' = a 2; S BDD ' B ' = a a3 c) V = Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, SA= SB = SC = AB = a; SA, SB, SC tạo với đáy góc φ Tính giá trị cosφ để thể tích khối chop S.ABC max a3 ;Vmax = Đ/s: cos ϕ = 8 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b Góc mặt bên mặt đáy α Xác định α để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ Đ/s: cos ϕ = 3 3b3 ;Vmin = Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SA = SB = SC = a Tính SD theo a để thể tích khối chóp S.ABCD max Đ/s: SD = a Ví dụ 4: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), ∆ABC vuông cân đỉnh C SC = a Tính góc φ mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Lời giải: a3  π Ta có φ = SCA ∈  0;  ⇒ VSABC = (sin φ − sin φ)  2  π Cách 1: Xét hàm số y = sin x − sin x khoảng  0;   2 Lập bảng biến thiên ta dễ dàng suy (VSABC )max = Cách 2: Ta có VSABC = a3 a3  π ymax = sin φ = ;φ ∈  0;   2 a3 a3 (sin φ − sin φ) = sin φ.cos φ 6 Dùng Cosi thầy làm nhé! Ví dụ 5: [ĐVH] Trên cạnh AD hình vuông ABCD có độ dài a, lấy điểm M cho AM = x (với ≤ m ≤ a) Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) điểm A, lấy điểm S cho SA = y (y > 0) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y x Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABCM, biết x + y = a 1 a3 a Đ/s: V = ya (a + x) ⇒ V = a (a − x)(a + x) Vmax = x = 36 Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc S mặt phẳng đáy (ABC) trung điểm AB SE = 2a Gọi I, J trung điểm EC, SC; M điểm di động đối tia BA cho góc ECM = α (với α < 900) H hình chiếu vuông góc S MC Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a, α tìm để thể tích lớn Đ/s: V = α sin2α; α = 450 24 Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = h vuông góc mặt phẳng (ABCD), M điểm thay đổi CD Kẻ SH vuông góc BM Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn nhát Ví dụ 8: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2a Góc mặt bên mặt đáy α a) Tính thể tích khối chóp theo a α b) Xác định α để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Ví dụ 1: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có ∆ABC vuông A, d ( AA ';( ABC ) ) = a; d ( C ; ABC ') = b; ( ABC '; ABC ) = φ a) Tính thể tích lăng tru cho theo a, b φ b) Khi a = b, tìm φ để thể tích khối lăng trụ nhỏ Đ/s: a) V = ab3 sin 2φ b − a sin φ b) Vmin = 3a ⇔ cos φ = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có ( AC '; ABC ) = 300 ; AC ' = a; AC ' B = φ Tính thể tích khối hộp cho tìm φ để thể tích khối hộp lớn Đ/s: Vmax = 9a 10 ⇔ cos φ = 32 Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AC ' = a; ( AC '; ABCd ) = α; ( AC '; BCC ' B ') = β Tìm hệ thức liên hệ α, β để A ' D ' CB hình vuông tìm thể tích khối hộp max a3 Đ/s: cos α − sin β = ;Vmax = ⇔ α = β = 300 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB ' = AC ' = a 2; A ' B ' = A ' C ' = a, khoảng cách từ A ' đến mặt phẳng ( AB ' C ') a Tính góc hai mặt phẳng ( AB ' C ') ( A ' B ' C ') , biết thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a 15 Lời giải: Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 +) Đặt A ' I = x ⇒ B ' I = 2a − AI = a − x ⇒ AI = a + x +) A ' H = A ' I sin φ = x sin φ ⇒ x sin φ = a 3 +) Ta có AK = AI sin φ = a + x sin φ ⇒ V = AK S A ' B 'C ' ⇔ ⇔ a4 − x4 a 15 a 15 = a + x sin φ x.2 a − x ⇔ a − x ( x sin φ) = 9 a a 15 a = ⇒ a4 − x4 = a4 ⇒ = ⇒ sin φ = ⇒ φ = 450 9 x 2 Ví dụ 5: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' , biết A ' ABC hình chóp có cạnh đáy a Góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) ( BCC ' B ') 900 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AA ' B ' C theo a Lời giải: Gọi M , N , E trung điểm AB, BC B’C’; H = CM ∩ AN Có H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ A ' ABC hình chóp ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) Góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) ( BCC ' B ') 900 ⇒ ( A ' BC ) ⊥ ( BCC ' B ') Ta có A ' N ⊥ BC ⇒ A ' N ⊥ ( BCC ' B ') ⇔ A ' N ⊥ NE • Đặt A 'A = A 'B = A 'C = x( x > 0) a  NE = BB '  NE = AA ' A ' N = A ' B − BN = x − ;  ⇒ ⇒ Tứ giác ANEA ' hình bình  NE / / BB '  NE / / AA '  NE = x  hành ⇒  a A' E =  2 a 3 a2 a 2 • Trong tam giác vuông A ' NE có A ' N + NE = A ' E ⇔ x − + x =   ⇔ x = a ⇔ x =   P = −3c3 + 96c − 384c + 512 − 3ab (8 − 2c) 2 2 ≤ −3c3 + 96c − 384c + 512 − 3(7 − 2c)(8 − 2c ) ⇒ P ≤ −3c3 + 84c − 294c + 344 Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 a a2 a3 Thể tích khối lăng trụ ABC A' B ' C ' V = A ' H S ∆ABC = = A ' A / / B ' B ⇒ A ' A / /( BCC ' B ') ⇒ d ( A ' A, B ' C ) = d ( A ' A, ( BCC ' B ') ) = d ( A, ( BCC ' B ') )  BC ⊥ AN •  ⇒ BC ⊥ ( A ' AN ) ⇒ BC ⊥ AA ' ⇒ BC ⊥ BB ' ⇒ Tứ giác BCC ' B ' hình chữ nhật  BC ⊥ A ' N 1a a2 ⇒ S ∆B ' BC = B ' B.BC = a = 2 3V a • VB ' ABC = V = = d ( A, ( BCB ') ) S ∆B ' BC ⇒ d ( A, ( BCB ') ) = B ' ABC 24 S ∆B ' BC a3 a ⇒ d ( A, ( BCB ') ) = 28 = a 2 Ví dụ 6: [ĐVH] Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, điểm A ' cách ba điểm A, B, C Góc AA ' mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AB , CC’ theo a Lời giải: A' C' B' K C A H G G trọng tâm ∆ ABC Ta có A ' G ⊥ ( ABC ) ( AA ';( ABC ) ) = A ' AG = 600 a Xét ∆A ' AG có A ' G = AG.tan 600 = a a2 S ABC = a2 a3 a = Thể tích VABC A ' B 'C ' = S ABC A ' G = 4 AG = B Kẻ CK ⊥ A ' H ⇒ CC '// AA ' ⇒ d ( CC ', AA ') = d ( CC ', ( AA ' B ' B ) ) = CK Ta có CK = A ' G.CH = A' H a a2 a a 13 = = 13 A ' G + HG a 39 Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh AB = AD = a, AA ' = a , BAD = 600 Gọi M N trung điểm cạnh A ' D ' A ' B ' Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN theo a Lời giải: Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... tiếp hình trụ Bài 4: [ĐVH] Cho hình trụ có trục O1O2 Một mặt phẳng (α) song song với trục O1O2 cắt hình trụ theo thi t diện là hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm của thi t diện đó Tính góc O1OO2 biết bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD bằng bán kính đường tròn đáy của hình trụ Pro – S năm 2 016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2 016 ! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2 016 . .. cầu đó Pro – S năm 2 016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2 016 ! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2 016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.8 31] Facebook: LyHung95 MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S... AH = 1 AC ; SH = 2a Tính góc giữa 4 a) (SA; CD) b) (SC; BD) c) (SB; AD) d) (SA; BD) Đăng kí Gói Pro – S 2 016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2 016 ! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2 016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.8 31] Facebook: LyHung95 MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình. .. AC = BD = a 2 ⇒ AO = OG = a 2 2 1 a 2 2 2 AO = ⇒ CG = a 3 6 3 Đăng kí Gói Pro – S 2 016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2 016 ! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2 016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Mặt khác tan SCG = ( Facebook: LyHung95 SG 2a 3 1 2 = = ⇒ cos SCG = = >0 2 GC 2a 2 11 2 1 + tan SCG 3 ) Vậy SC ; ( ABCD ) = SCG = α với cos α = 2 11  DO ⊥ AO c) Ta có:  ⇒ DO ⊥ (... giữa MN và mặt phẳng (SBD) Bài 3 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 và vuông góc với đáy Tính góc giữa a) SC với (ABCD) b) SC với (SAB) c) SB với (SAC) Đ/s: a) 300 b) tan α = 7 7 c) sin α = 14 14 Đăng kí Gói Pro – S 2 016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2 016 ! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2 016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95... Đăng kí Gói Pro – S 2 016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2 016 ! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2 016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B Biết SA vuông góc với (ABCD),... tam giác vuông cân c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC ( R = 2a 3) Pro – S năm 2 016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2 016 ! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2 016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.8 31] Facebook: LyHung95 MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH]... 5: [ĐVH] Một hình nón có đường cao bằng a, thi t diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 12 00 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Hướng dẫn giải: Pro – S năm 2 016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2 016 ! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2 016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.8 31] Facebook: LyHung95 a) Thi t diện qua... tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2 016 ! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2 016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.8 31] Facebook: LyHung95 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH] Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, thi t diện qua trục của hình trụ là hình vuông a) Tính diện tích thi t diện qua trục b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của trụ c) Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ Bài 2: [ĐVH]... S 2 016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2 016 ! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2 016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 3 XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (nâng cao) Ví dụ 1 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ... Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 MẶT CẦU KHÔNG GIAN –... S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 MẶT CẦU KHÔNG GIAN –... BD 0 0 d) Chứng minh AC′ vuông góc với MN Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG