ứng dụng vecto vào giải các bài toán cực trị

195 536 0
ứng dụng vecto vào giải các bài toán cực trị

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

 é ề ỉì ề ẵ ễ è ề ề ỉệểề ỉủ  ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ứề ẹ ỉỳỉ é ẵ ề ỉ ỉệ í ề ỉ ắ ẻ ỉ ỉệểề ềỉ ụ ẹ ỉ ễ ứề ỉệ  ụề ụ ắ è ẹ ỉệ ề ụề ụ è ẹ ỉệ ề ụề ụ ủ ỉ ắ è ề ễ ỉ ề ẵ ắ ề ề  ỉ ề ề ềạ ề ề ẹ ỉỳỉ é ụễ ì  ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ề ỉ ề ỉ ắ ụ ễ ễ ỉểụề ề í ắ ẳ ẵ ủ  ỉ ễ ũ ề ẵắ ẵ ẵ è ẹ ỉệ ề ẵẵ  ỉ ề  ỉ ễ ứề  ỉ ắ èệ ề ỉ ẹ ụ  ụề ụ ắ è ẹ ỉệ ề ụề ụ è ẹ ỉệ ề ụề ụ ủ ỉ ề è ề ễ ỉ ề ề ề ề ề ủ é ềạ ề ề ẹ ỉỳỉ é  ỉ  ỉ ỉ í ủể ũ ủ ỉểụề ỉệểề ẵẳ ỉệểề ề ẵẳ ẵẵ ề  ẵắ ẵ ề ề  ỉ ủể ũ ẹ ỉì ủ ỉểụề ỉệ ắ ề ề  ỉ ủể ũ ẹ ỉì ủ ỉểụề ỉệ é ì ề ụ ễ ũ ỉ ẵắ ẵ ẵ ắ ề ìí ề èủ é ỉệ ỉ ắ ẻ ỉ ụ ẵẳ ẵẳ ẹ ỉ ễ ứề ụ ỉệểề ỉ ụễ ì ẵ ẻ ỉ ủ ẵẳắ ũ ì ủ  ỉ ễ ề ẵ è ẹ ỉệ ề ỉ ẹ ềạ ẹ ụễ ì ề ẵ ề  ỉ ũể ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ẵ ẵ ề ủ ỉểụề ỉệ éủ ĩ ỉ ề ỉ ỉ ũ ụ ễ ủ ỉểụề ỉệ ỉ ủ ẹ ỉệ ề ẹ ũ ỉí ề ũ ếí ỉ ỉ ề ề ỉ ỉ ề ỉ ềá é ụ ứề ỉ ụề ỉệểề ề ề ỉệ ề ì ề ề ẹ ề ỉ é í ề ễ ỉ ề ẹ ề èểụềá ụỉ ụ ềủí ệ ỉ ễ í ũ ỉ ũ ỉ ể ụ ứề ỉ ỉ ứề ễ ụễ ũ ỉ ẻ ễ ỉừễ ủ ẹ ề ẹ ề ề ỉệểề ỉ ỉ ề ỉệ ề ề ỉ ề ỉ éủ ẹ ỉ ỉ ủí ỉệểề ề ỉ ứề ề é ỉ ề ỉ ụ ề ì ề ỉểụề ủ ễ ễ ụễ  ỉ ủ ỉểụề ỉ ẹ ểụ ũ ễ ể ề ề ỉểụề ỉệề ỉệề ễ ũể ể ủ ỉệ ặ ỉ ề ẹ ề éểừ ề ỉệ ề ẹ ừí ỉểụềá ề ềủểá ề ề ễá ìỳễ ĩ ễ ủ ễ ẹ ễ ỉ ề ữề ề ẹ ỉ ếí ỉệ ề ễ ụ ề ễ ỉừểá ềủể ỉ ỉ ếụ ỉệ ề ủ ỉểụề ỉệ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ẹ ẹểề ề ẹ ỉệểề ũ ìụề ểụ ừề ề ề ề ề ề ỉ ũ ẹ ỉì ề ủề ề ể ỉ ẹ ỉ ủể ề ễ é ỉ ề ếụỉ í ỉệểề ủ ỉểụề ề ề ỉ ề ề í ủ ề ẹ ề ậ ề ĩũí ệ ủ ỉểụề  ỉ è ủ ỉểụề ủ ỉểụềá ề  ỉ ễ ề ụể ề ỉ ề ỉểụề ề ỉểụề ỉệề ề ỉủ ề  ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ề ễ ứề ề ề ủ ì ề ề  ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ề  ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ì ụ èủ é ễ ề ề ề ủ é ề ỉ ề ề ỉ ễá ỉệểề ỉ ỉ ề ỉệểề ủ ỉểụề ỉệ éủ ụ ỉ è ỉ ề ũề ừí ủ ủ ỉểụề ễá ỉ ỉ ễ ẹ ề ỉểụề ỉệề ỉệểề ếụ ỉệ ề ể ứề ũề ủ ỉ ừí ỉ ú ỳề ề ì ỉ ẻ íá ụ ỉụ ừề ề ề ễ ủ ừề ề é ỉ ễ èủ é ũ ệ ỉ ẹểề ề ề ềủí ề ề ề ề ề ừề ủ ễ ụ ụ ỉụ ũ ỉì ABC è ẹ A, B, C ụ a, b, c ỉ éủ ì ể BC, CA, AB ủ ụ ề ỉ ẹ ụ ỉ ẹ ụ ABC ể ĩ ỉ ễ ụỉ ỉ ụ ề ABC A, B, C ỉ ẹ ABC ỉ ẹ ủ ụ ụ ỉ ẹ R, r ABC ụề ề ụề S(XY Z) , ề ề ề è ề ĩ ỉ ễ ụỉ ỉ ụ ề A, B, C ỉí ề ĩ ỉ ễ ụỉ ỉ ụ ề A, B, C ụ ỉệểề ỉ ỉệề ỉệ ề ề ểừ ỉ ụ ềỉ G, H, I, O ề ểừ ỉ ễ ủ ụ ụ , rb , rc ề ABC ma , mb, mc ề ủ ụ ừề la , lb , lc ề ỉệểề ỉủ é ABC ề , hb, hc ụ ụ ễá ề ỉ ề ỉệ ề ủề ỉ ễ ỉ ẹ ụ éủ ỉệ ề min, ẹ ẹ ĩ ề ỉá A, B, C ỉ ẹá ỉệ ỉ ẹá ỉ ẹ ỉ ề ỉừ ụ ỉệ ề ụ ỉ ẹ ụ ABC XY Z ễ ẻ ễỉ ẹ ụ ỉệ é ề ề ỉ ề ỉệ ề ề ỉ ễ ủ ề ề è ẵ ẵ ề  ỉ ủể ũ ẹ ỉ ì ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ễ ứề ẹ ỉỳỉ é ỉệ ỉ í ề ỉ ẹX ềỉ ề ỉệ ề ẹ f (X) M, X D ĩ f (X) = M X D : f (X ) = M ể ỉ àẹ f ễ ỉ ắẻ ỉ ắẵ ỉệểề ẻ ỉ ề éủ ẹ ỉ ề ủ  ỉ ỉ  ỉ ề ủ ề ề ề AB |AB| CD ỉ ủ ề ể ềữẹ ỉệ ề ỉ áề ề ữề AB//CD ẹ ẹ ỉ ềủể éủ ẹ éủ ủ ễ éủ ề ệ ủ  ỉ éủ ề ỉ ứề ú ẹ ề ỉệ ề ỉ ề AB àá  ỉ ễ ề ề ỉệểề  ỉ ẻ ỉ ểừề ỉ ứề ỉệ ề ẹ ỉ ề ẹ ỉ ẻ ỉ ẻ ỉ m, X D X D : f (X ) = m 0 ểừề ỉ ứề ủ ề ề ẹ ỉ ễ ứề ẹ ẹ ỉ ềủể éủ éủ D è f (X) f (X) = m ề  ỉ ề ủ ỉ ẹ ể ỉ ỉ íẹ ề éủ AB  ỉ  ỉ éủ  ỉ AB ề ẳ í ề ỉí ềà ề ề ỉ ứề ìểề ề ề ềữẹ ìểề ặ AB  ỉ ề ễ ỉ AB, CD ề AB CD ặ ề ề  ỉ ề éủ ữề ữề éủ  ỉ ề ề ề ề ủ ủ ề ỉ ẩ ễ ẹ ề N ắắ  ỉ ì ể ể MN = a ụ ễ ễ ỉểụề ẩ ễ ề ề ỉ ỉ AB = CD ề ủ ề ủ ặ ề ủ ề ủ ặ ỉ ể ỉ a ẻ ể ễ ụ  ỉ ềủí ểủề ỉểủề ĩụ ề ẹ ễ ẹ Má ỉ ề ề ề ỉừ ề ũề éủ í ề ỉ  ỉ ụ  ỉ ề ể a  ỉ ủ b í ẹ ỉ ề éủ ễ ễ ề ẫí ỉỳ ẫí ỉỳ ẹ ề ABCD éủ ủề ề ề ủề ỉ A ỉ  ỉ AB + AD = AC a ủ b ễ ỉểụề ỉ ẹ ỉ ề AB + BC = AC ề ẹ  ỉ ẫí ỉỳ ề ề ề AB = a ủ BC = b ẻ ỉ AC éủ ỉ ề è ỉ ề  ỉ a ủ b éủ a + b ẩ  ỉ ề ề  ỉ AB = CD AB ể ỉệ è ểà ỉ  ỉ ỉ  ỉ ề AB ủ CD ề ề ỉ ẹ ỉ  ỉ ể ỉệ ề ề ề ề ẻ ỉ a , b , c , x , y , ể ề AB ủ CD  ỉ ỉ ề ữề ề ề ể éủ ẹ ỉ  ỉ  ỉ ỉ ỉ ề AB, CD ề AB CD AB ủ CD ệ ỉề ỉ ỉ ỉ  ỉ  ỉ ề ỉ AB ủ CD  ỉ ề àè ề ỉ ẻ a , b , c ỉ  ỉ áỉ a + b = b + a ỉ ề ỉ ể ểụềà ( a + b )+ c = a +( b + c ) ỉ ề ỉ a + = + a = a ỉ ề ỉ  ỉ ẩ ễ ỉệ ề ề a ủ b è a b ể ẹ ỉ  ỉ ề  ỉ ề ếí àè ề ề  ỉ a ủ ẹ ỉì k = ủ  ỉ a = è  ỉ a éủ k a ề ề a ề k >0áề ủ ữề |k|| a | ểì k éủ ẹ ỉ  ỉ a ề k < ủ è ễà  ỉ a + ( b )á b éủ  ỉ ẫí ỉỳ AC AB = BC è ỉ ì ề a = 0ák0 = ỉ ể  ỉ a ủ b ỉ ẹ ì ỉ h ủ k ỉ ề k( a + b ) = k a +k b (h + k) a = h a + k a h(k a ) = (hk a) a = a , (1) a = a è ề ề ề a ủ b éủ ẹ  ỉ a ủ b éủ a b ể ụ  ỉ  ỉ ỉì ĩụ ề è ề ỉ ì a b = | a |.| b | cos( a, b) a = b ỉ ỉ ề a a éủ a2 ủ ì ềủí éủ ề ễ ề ề  ỉ a ề ỉ a = | a |.| a | cos = | a |2 àè ề ỉ ẻ a , b , c  ỉ ỉ ủ ẹ a b = b a ỉ ề ỉ ể ểụềà a ( b + c)= a.b + a c ỉ ề ỉễ ì kỉ ềễ (k a ) b = k( a.b)= a (k b ) àặ ề ĩỉ è ụ ỉ ề ỉ ỉ ề áỉ ề ẹ ề a b = [( a + b )2 ( a b )2] = (| a + b |2 | a b |2 ) 4 MA.MB = (MA2 + MB AB 2) AB.CD = AB.C1D1 C1 , D1 é ềé ỉ éủ ề C, D ỉệ ề AB D C C1 ắ D1 a B ẹ ẹ ỉ ểừề ỉ ứề ỉ ểỉ ì ể ỉệ OA k OB MA = k MB OM = (k = 1) 1k ẵẳ a B ể ỉ ẹ ểừề BC ỉ C M M éủ ẹ ỉ ẹ ỉệ ề ừề BC MB ểỉ ì k = ể MC MB AB + MC AC MC MB = AM = AB + AC MB BC BC 1+ MC ụ ABC M ủ ẵ a ủ b | a | + | b | ứề ỉ || a | | b || ứề ể  ỉ | a + b| |a b | ề a = AB b = BC ỉ ẻ ẹ ỉ AC AB + BC ìí ệ ĩũí ệ ẹ ỉ ắ ẻ è A, B, C a + b = AC A, B, C ỉ ứề ủề ỉ ể ỉ ỉ a = AB, b = AC ỉ a b = CB ỉ ẻ ứề ỉ ẹ ề ỉ ứề a b ĩũí ệ a b ĩũí ệ A, B, C ỉ ĩũí ệ ẹ ỉ íá ỉ CB A, B, C  ỉ ủề a áỉ ễ ẹ ỉ |AB AC| ìí ệ ỉ ứề ủề a2 ễ ũ ẵẵ ề ủ a b ễ ẹ A [BC] a b ứề ỉ ẹ ề ĩũí ệ a = a = | a |2 ủ ắ A p-a Q R r p-c I G r p-b B è ề ỳ éừ ẹ ỉ ì èệ C P ỉ ếũ ũề IA2 + IB + IC = 3IG2 + GA2 + GB + GC ẵà IA2 = r2 + (p a)2 ; IB = r2 + (p b)2; IC = r2 + (p c)2 ắà ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr R 2r éừ ủ ỉểụềá ỉ (1), (2) ìí ệ (a + b2 + c2 ) 3r2 + 3p2 2p(a + b + c) + (a2 + b2 + c2 ) (a + b2 + c2 ) 3r2 p2 + (a2 + b2 + c2 ) 3r2 p2 + [4p2 2(ab + bc + ca)] 2 9r 3p + 2[4p2 2(p2 + r2 + 4Rr)] (ỉ ể (3)) 3r2 + (p a)2 + (p b)2 + (p c)2 p2 + 5r2 16Rr 7p2 + 35r2 7p2 + 27r2 + 4Rr ể 7p2 + 27r2 112Rr (ỉ 112Rr ể (4)) 108Rr ứề ỉ ĩũí ệ ẵ ắ IG = R = 2r ABC ẻ è ề ề ề ỉ ề ề ỉ ề ỉ ề ỉ é ề í ũ é ỉ ề ếụỉ ễ ìí ề ẹ ề  ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ề ệ ỉệ ủể ễ ụễ  ỉ ẻ ỉừểá ỉ è ỉ ẹ ỉệểề ề ề ữề ễ ụễ ỉểụề ủ ỉểụề ỉệ ỉ ủ ỉểụề ỉ ẹ ừề ủ ỉểụề  ỉ ễ ề ễ ể ề ỉểụề ẹ ỉ ũ ẻ íá ề ẹ ề ỉệ ể ữề ừí ỉểụềá ễ ụễ  ỉ ềẹ ề ũ ề ề ỉ ụ ễ ỉ íá ỉểụề ủ ễ ỉ éủ ề ỉệểề ềủể ìí ề ũ ề ỉ ễ ếụ ỉệ ề ủ ỉểụề ỉệ ũ ìụề ể ỉ ềẹ ề ề ữề ễ ừề ề ìí ề ẹ ễ ụễ  ỉ ề ẵ ề ề  ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ắ ề ề  ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ễ ứề ề ề ẻ é ũ í ề ẻ ề ỉ ủ ỉểụề ề ủ ỉểụề ỉ ẻ ẹ ữề ềề ừề ứề ỉ ỉ ứề ỉ  ỉ úì ề ễ ụễ  ỉ ỉ ề ề ề ứề ỉ ừề ề ỉ ẹ ỉì ụ ề ễ a áỉ a2 ỉ ề ề ủ ỉểụề |AB| = AB àá ứề ỉ ề ềề ề éủẹ ĩ ỉ ỉ ỉ ỉ  ỉ ề ề ề ụ ề ứề ẵ ỉ ĩũí ệ a = ì ề ỉ  ỉ ứề a b ĩũí ệ a b ỉ ễ ĩũí ệ ỉ ễ ũ  ỉ ủ  ỉ | a | + | b | ứề ỉ || a | | b || ứề ì ề ì ề AB = AB ề ụề ề ỉ ủ  ỉ ủ ỉểụề ỉệ ỉ ề ễ ủ ỉểụề ứề | a + b| à|a b | ỉ ỉ  ỉ ã ề í ỉ ề ũ ã í í ề ỉ ỉ ề ề ề ứề ừề ã ỉ ứề ỉ ề a.b a b | a |.| b | ứề ỉ | a |.| b | ứề ặ ểủ ệ ũ ụ ĩũí ệ ụ ứề ề ỉ ỉ ề  ỉ a b ĩũí ệ a b ĩũí ệ ỉ ủ ỉểụề ỉệ ỉ ỉ ề ũ ếí ỉ ề ề ế ề ỉ ẹ ềủí ĩũí ệ ềủí ỉ ỉ ề ỉừ ụ ì ề ẹ ụ ề ề ỉ ẹ ỉ ẹ ỉ ẹà ẹ ề ủ ẵ è ẹ ỉệ ề ẻ ỉ  ẵ ỉệ ề ủ ụề ề ỉ ẹ é ề é ễ ụ ũì ỉ éủ ỉ ủ  ỉ ABC ủ A B C éủ ụ ỉ G ủ G ề è ẹ ụ ỉệ ề ẹ ề ụ ỉ ỉ í ỉ ề T = AA + BB + CC T = AA + BB + CC = |AA | + |BB | + |CC | ề ẻ ỉ ề ề è ỉ ũ ỉ ỉ ẹ ỉ ứề ỉ ỉ ỉệ ề ẻ  ẵ ề ụ AB C ề ề ề ỉ ề ỉ é ề ụ ề ề ề ỉ é ề ếí ỉỳ ĩ ề ề ẹ ĩ ề ỉệ ề ể ỉ 300 ủ SA = SB = SC = a è ể ỉ ẹ ỉ ẹ ỉệ ề ỉ ẹá ỉ G ủ G ủể ụ  ỉ ề ủ ỉ ẹ ỉệ ề  ỉ ề ề ẹ ỉệ ề ỉ è ề S.ABC SB ụ ỉệ ề ASB = BSC = CSA = B ủ ỉệ ẹ ề ỉ ề SC ẹ C ì ể ề èệ ễ ứề ỉ ỉ ềỉ ữề ụ ề ụ í ề ỉệ ủ ỉểụề ề ềẹ ỉ ề ỉ ề ề ủ ỉểụề ề SABC ỉệ ề ẹ ỉ ẹ ỉ ễ ứề SABCA SA = SB = SC = SA ủ ASB = BSC = CSA = 300 ẵ è SAC = SA C AC = A C ạ ạ à ề ề ể P (AB C ) = AB + B C + C A = |AB | + |B C | + |C A | |AB + B C + C A | = AA ứề SC ỉ ĩũí ệ AA ủ ề ề ỉ B éủ ễ ỉ ể ỉ ề ĩũí ệ ẻ  ắắ ỉ ẹ ỉ ẹ ụề ề ụ ỉ ề ắ è ẹ ỉệ ề ể ụ ỉệ ề ề ủ ủ ỉểụề ụ ề èệểề ẹ ề ỉ ẹ ỉ ề ề ẹ ụ ABC ụ ề ABC ề ụ ể ỉ ẹ ũ ỉ ẹ ễ T = a2 + b2 + c2 é ỉ ề SB ủ AAá C éủ ẹ ỉ ễ ề ỉệ ề (O, R)á ỉ è T = BC + CA2 + AB ì ỉ ề è ề ề ễ ỉ í ỉ ừề ề ề ũ ề àá ỉ ề ề ề ễ ề ẹ ỉ  ỉ ể ủ ỉểụề ỉệ ỉ ể ề ỉ ề ềé T ụ ỉ ỉ T = BC +CA2 +AB ề ỉ ểừề ỉ ứề ụ ỉệ ủể ẹ ề ề ể O ủ ỉ T = (OC OB)2 + (OA OC)2 + (OB OA)2 = 6R2 2(OC.OB + OA.OC + OB.OA) è ễỉ ỉ ề ểỉ ề ễ ì ề ề ữề ứề ỉ ỉ ụ ỉ ề ỉ ụ  ỉ T = 9R2 (OA + OB + OC)2 = 9R2 9OG2 ẵ 9R2 ỉ ẻ  ắ ABC è ẹ ề ụ ỉệ ề ề ẹ M ỉ ể ỉ ềữẹ ỉệểề ẹ ỉ ễ ứề ỉ ẹ ụ T = MA2 + MB + MC ỉ ỉ ỉ é ề ụ ỉ ề ỉ ỉ ề ề ỉệ ề ừề ề ỉ ẹ G ỉ ề ề ụ ỉ ẹỉ ỉ ẹ ụ ề ễ ề ABC ụ ẹá ủ ỉ ểừề ỉ ứề ềủí ỉ ề ể T = (MG + GA)2 + (MG + GB)2 + (MG + GC)2 = 3MG2 + GA2 + GB + GC + 2MG.(GA + GB + GC) = 3MG2 + (a2 + b2 + c2 ) ( ể GA + GB + GC = ) (a + b2 + c2 ) ẻ  ắ ề ỉ ứề é ềé ỉỉ ể ỉệ ề ể ề AB ũ ì éủ ề a, b AM = m, BN = n ì ỉệ ề ụ ề m, n ì MN ề  ỉ ề ụ ẹ A a, B b ủ AB = d a, b í ề ể ể MN ể ể ủ é ề ề M, N m2 + n2 = 2k > ỉá ề ề ỉ ỉ ề èệểề ếụ ỉệ ề è ỉ ề ỉ ề  ỉ ỉ ề ềé ề ỉ ụ MN = MN ụ ỉệ ề ú MN = (MA + AB + BN )2 = MA2 + AB + BN + 2MA.AB + 2AB.BN + 2MA.BN = m2 + n2 + d2 2mn cos(AM, BN ) = d2 + 2k 2mn cos(AM, BN ) ề ỉ ề ỉ ỉ ểì ỉ í MN ẵ = (a, b)á ỉ ỉ ẹ ụ ỉệ ề ỉ è ẹ ỉệ ề ẻ  ề ụề ụ ể ỉ ẹ ề ỉệề ỉí ề ỉ ụ BD ủ CK è ề ABC ẹ  ỉ ề ỉừ ụ ỉệ ề ề A éủ cos ỉ èệểề  ềủíá ỉ ỉ ỉ ề ề ỉ ứề ề  BD.CK BC cos = == BD.CK 2BD.CK ẻ  (O, R) M ề ề éủ ẹ ỉ ẹ ể ỉ ụ ỉệểề A1 A2 An ề ẹ ỉ ễ ứề ỉ ễ ề ụ è ẹ ỉệ ề ụ ỉệ ề ỉ T = MA1 + MA2 + + MAn ụề ỉ ỉ ụ ủ ề ì ề ụề ũỉ ỉ ẻ ụ ề ễ ủ ỉ ỉệ ụ ể ểừề ỉ ứề ỉ ỉ ềỉ ỉ ềỉ ẹ ỉệ ề ề ểừ ỉ ề ểủ ễ ì ễ ề ề ỉẹ ỉé ụ ề ụề ỉ ề ễ ụễ ễ ụ ễ í ể MA1 OA1 MA2 OA2 MAn OAn + + + OA1 OA2 OAn MA1 OA1 MA2 OA2 MAn OAn + + + OA1 OA2 OAn  ề ềủí ỉ ỉ ụ ỉệ ềá ề ỉ ề  ỉ ẹ ề í ỉệ T = è ừề  ỉ ỉ ề ểừề ỉ ứề ỉ ề ẹ ề ĩ ề ỉ ễ ẹ O ủể ụ  ỉ MAi ệ T = nR M T = ỉ ể ỉ ỉ ề ABCD ì ề ề ỉ ẹ ỉ 3MA + MB + MC + MD ẵ ề ề ề A è ề ỉ ỉ  ừề ề ỉ AB AC AD , , éủ ụ  ỉ AB AC AD AB AC AD + + AB AC AD ể ỉ ỉ ẹ ẹ ỉ ẹ ểừề ỉ ứề è ể ũỉ ề ủ ẹ ỉ ề ì ừề ỉỉ ề ỉ ề ụ  ỉ ề ề AB AC AD =3 + + = AB AC AD ề ì ủ é ẻ é ỉ è ỉ ề ề ủể ể é ề ũ ẹ ỉì ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ỉ ì ì ể é ề ỉệ ỉểừ ã ỉ í ề  ỉ ụ ủ ỉểụề ãè ề ủ ỉểụề  ỉ ã ề ề ỉ ũ í ề ủ T = AB + AC + AD ề ẻ ềỉ AB AC AD MB.AB MC.AC MD.AD + + MA + + + T = AB AC AD AB AC AD AB AC AD MB.AB MC.AC MD.AD + + AM + + + AB AC AD AB AC AD í ề ỉ ĩ ề ẹ M ủể ụ  ỉ AB, AC, AD ệ ề è àá ỉ ụ à ụ à ữề ề ụ ề  ỉ ỉệ ề ề ứề ỉ  ỉ ềỉ ề ễ ũ ỉ ừề ủ  ỉ ề  ỉ  ỉ ủ ỉểụề  ỉ ỉểừ  ỉ ẹ ề ề  ẵắ  ỉ ủ ủể ể ụ ì ỉ ỉ ỉệểề ủ ỉ ụề ẹ ỉ ễ ứề ì ể é ể ỉệểề ề ề ụ à ể ềà ễ ũ ẹ ỉì ỉ ủ ỉểụề ỉệ a, b ỉ ẹúề ẵ ì a 2b + = è ẹ ụ ỉệ ề ề ỉ ỉ (a 3)2 + (b 5)2 + T = (a 5)2 + (b 7)2 è ỉ í ể ễ ũ T ỉ ề  ỉ ặ ễ ũ ỉ ẹ ỉ ặ ỉ ề ỉ ừề ừề  ỉ (O, i , j )á ỉ ụễ ủ ủ ề ĩỉ ụ  ẵ ểừề ỉ ứề ỉ ểừề ỉ ứề ề ễ ỉ  ỉ ỉ ề ề ìể x, y è ỉ ề  ỉ ễỉ ề ỉ èệểề A(3; 5), B(5; 7) ủ M(a; b) ẹ ể ụ ì ề ể ỉệ (x + 1)2 + y + T = ểừề ỉ ứề ỉ ề x 2y + = 0á A, B ẻ ủ ẹ ề ỉ íỉ ỉ ề éủ ỉ ề ẹ ỉ ễ ứề è ỉ í d ủ T = MA + MB ẹ ụ ỉệ ề ề ỉ ỉểừ M d : ỉ (x 1)2 + (y 3)2 (x 3)2 + y + èệểề ủ ẹ ỉ ễ ứề M(x; y) Oxy ĩỉ ụ ỉ ỉ ẹ A(1; 0), B(3; 0), C(1; 3) T = MA + MB + MC ề íỉ ẻ  ẵ ỉ ỉ T = ỉ ếũ  x, y, z ề ỉ ề ề ữề è ẹ ụ ỉệ ề ề ỉ èệểề ỉ ề ề ể ụ ì x2 + xy + y + T = ừề ụễ ẹ ỉì y x+ ụ ỉệ ề ề ễ 3y + ễ y + yz + z + ỉ ỉệểề z + zx + x2 ề ỉ ề + z y+ ẵ 3z + 2 + x z+ 2 3x + 2 èệểề ỉệ ỉểừ ụ ề ầĩíá ễ ềủí ĩỉ ụ y 3y z 3z x 3x a = x+ ; , b = y+ ; , c = z+ ; ỉ 2 2 2 T = | a | + | b | + | c | | a + b + c|=3 ẻ ề  ẵẵ ể x [1; 3] è ẹ ụ ỉệ é ề ề x x+1+ 3x y= x2 + ỉ  ỉ ủẹ ì ẻ ỉ ễ ềỉ éủ ỉ ụ ễ ũ áỉ ủ ỉ íỉ ỉ  ỉ ừề ỉ ề ềủí ểỉ ỉ áẹ é ề ề ỉ  ỉ a = (x; 1), b = ( x + 1, x) a.b y= = cos( a , b ) | a |.| b | y ỉ ụ  ỉ è ể ẻ  ẵẵ ể x [0; 2] è ẹ ụ ỉệ é ề ề 4x x3 + y= ỉ ủẹ ì x + x3 ẻ ỉệểề ễ ũ ẹ èệểề ỉệ ể ỉ ề ề éủ ỉ ề ề ễ ềủíá ỉ ỉ éủ ỉ ụ ề ỉ ỉ ễ ỉ ể ỉ ỉ ề ề ỉ ẹ ề 2y ề ỉ ừề ỉí ề ề ỉ ề ề ừề ỉ ề ụ ễ ụ ỉ ề ủ  ỉ èệểề ẹ ỉ ễ ứề ầĩíá ĩỉ ụ  ỉ y= a.b ẻ a b | a |.| b | ề è ụề ỉểừ a = ( 2; 2), b = ( 8x 2x3; x + x3) 9x x3 ụ ỉệ é ề ề [0; 2] ẵ ẳ ỉ ỉ 9x x3 x ẻ  ẵẵ ể ì a, b, c ề ề ẹ ề ệữề (a + b + c)3(a + b c)(b + c a)(c + a b) 27a2 b2c2 ặ ụ ì ỉ ứề ề ỉ ỉ è ề a, b, c éủ ề ễ ũ ề ạệ ề ỉ íề ề ề ể ỉ ĩ ỉ ẹ ỉỉ ẹ ề ềủí ỉ ĩỉ ụ ỉệ S, R é ứề ềé ỉ ể ẹ ỉỉ ẹ ỉỉ ì ì ỉ éủ ềỉ ề ề 16(a + b + c) S ẻ ề ỉ ề ủ ủ ứề ủ ẹ ề ủ ụề éủ a ừề ề ề ỉ ì ỉ ề ể ũ ề éừ ì ề éừ ũ ề ỉ ỉ ụ ễì 0ỉ ề ỉệụ ỉ ẹ (a + b c) + (b + c a) = 2b < ụ ABC ụ ỉ (a + b c)(b + c a)(c + a b) > ề ỉ ề ỉừ ỉ ẹ S ềỉ (a + b c)(b + c a)(c + a b) > ỉ ể ỉ ừề (a + b c)(b + c a)(c + a b) ỉ ỉệ ề ễ (a + b c) < ừề (b + c a) < ẹ ề ề ĩỉ ì ủ ẹ ẹá ứề ỉệụ ũỉ ì ỉ ề = BC, b = CA, c = AB ỉệ ề ề ểừ ỉ ễ ABC ỉ ỉệ ỉ ủề 2 27a b c (a + b + c) 27a2b2c2 = 27R2 16S a, b, c, x, y, z ỉ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) (a + b + c)(x + y + z)  ẵẵ ề ax + by + cz + ẹ ề ệữề ẹ ì ỉ ụ ụ ỉ ề ỉ ứề ủ ỉ ề  ỉ ỉ ụ ủ ễ ũ ề ủ ễ ề ẹ ề ề ềủí ỉ ỉ ễỉ ề íá ỉ ẵ ẵ ề ừề ỉ ề ỉ ề ĩỉ ụ  ỉ ẹ ề 2( u m)( v m) u v + | u |.| v| é u = | u | = a2 + b2 + c2 , | v| = ẹ ỉ ĩỉ ỉ (a; b; c), v = (x; y; z) ủ m = (1; 1; 1) x2 + y + z , | m| = 3á ủ ỉ ứề ỉ ụ ỉệ ỉ ủề è ễỉ ảặ ảặ ểá ỉ é ề | u|=0 ể ề ỉ | v|=0ỉ | u |.| v|=0ỉ ỉ ỉ ứề ỉ u v +1 | u |.| v| ỉ ( u, v ) = , ( u , m) = ỉ ủề è cos + ẹ ỉ ẹ u , v , m ỉừể ỉ è í ề ứề ỉ ề ề ềề ẹ ề ề ỉ ề ề ề u m v m | u |.| m| | v |.| m| ủ O ỉ ủề + ỉệểề ( v , m) = ỉ ẹ ề ề cos ề ỉ ỉ ứề ỉ ỉệ ề ỉệ ề ủể ụ ụ  ỉ ữề ụ  ỉ ễ ứề ề ữề , , cos( + ) + cos( ) cos( + ) + ể ỉ ẹ ề cos( + ) cos cos  ỉ ềá ề ụ cos +  ắẵ  ỉ cos cos cos + ể ẻ ũ ẹ ỉì ABC è ủ ỉểụề é ẹ ụ ỉệ é ề ề ề ụ ỉ ỉ T = cos A + cos B + cos C ỉỉ ỉ ề ụ A, B, C ỉệ ề ụ ừề ề ề ỉ ẹ ỉ ẹ  ỉ ủ ề ũề ỉ ỉ ụ ABC ỉ ề ỉ ủ  ỉ ề ụ  ỉ ề ề ụ  ỉ ỉ ỉ ề ề ềữẹ ụ BC CA AB ỉ = e1 , = e2 , = e3 ỉ | e1 | = | e2 | = | e3 | = BC CA AB ( e1 , e2 ) = C, ( e2 , e3 ) = A, ( e3 , e1 ) = B ẵ ắ ủ è ( e1 + e2 + e3 )2 0ề ề e1 + e2 + e3 + 2( e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 ) + + + 2(cos( C) + cos( A) + cos( B)) 2(cos A + cos B + cos C) T ẻ  ắắ ể ỉ ẹ ABC ỉ ụ 0 ẹ ụ ỉệ ề ề ỉ ỉ T = cos 2A + cos 2B + cos 2C ĩỉ ụ ề ểừ ỉ ỉ ễỉ ẹ 2A, 2B, 2C ỉ ụ ề ụ OA, OB, OC ụ  ỉ ỉ ẹ ủ ụề ề ỉ é ề ỉ ềủí ề ủ ỉệ ề ề ểừ ỉ (OA + OB + OC)2 ề ỉ ẹ A, B, C ễ ữề ề ễỉ ẹ íỉ O, R ụ ề ABC è ề ụ  é ề é 3R2 + 2R2(cos 2A + cos 2B + cos 2C) cos 2A + cos 2B + cos 2C  ắ ỉệ ề ề ể ỉ ẹ M ỉ ỉ éủ OA2 + OB + OC + 2(OA.OB + OB.OC + OC.OA) ẻ ỉệ ề ỉ ẹ ề ỉệểề 0 ỉ ẹ ụ ề ề ABC è ẹ ụ T = MA sin 2A + MB sin 2B + MC sin 2C ẻ ụ ụ 2A, 2B, 2C ABC èí ề ỉ ềỉ ề ẹ ỉ ềá ẹ ĩ ỉ ỉ é ì ề ừề ềỉ ề ỉệ ề ễ ũ ỉ ẹẹ ỉ ểừề ỉ ứề  ỉ ẵ (O, R) ề ủ ểừ ỉ ễ ỉ ẹ ểừề ỉ ứề ể ụề ỉ ụề ABC ẻ ề ềề ề sin 2A > 0á ể sin 2A |MA|.|OA| R sin 2A MA.OA R sin 2A (MO + OA).OA = R sin 2A = MO.OA + R sin 2A R MA sin 2A = ụề ụỉ ề ỉ ểắì T áỉ ẹ ừề ề éừ sin 2B + sin 2C) ẻ , rb , rc é  ắ A, B, C ỉ ẹ ụ ềé ỉ éủ ABC ụề ề ề ụ ẹ ề ỉ T ề ứề ỉ ỉệ ề = R(sin 2A+ ủề ỉ ễ ụ ra3 + rb3 + rc3 1 + + ra2 rb2 rc2 A B C sin + rb sin + rc sin 2 èệ ỉ ụ ềỉ A, B, C I éủ ỉ é ềé ề ụ ẹ ủ ề ề A B C , , 2 ỉệ ề ề ỉệ ề ề ỉ ỉ ễ ểỉ ụ ỉ ụ ABC ủ ễ ề ũì AI, BI, CI ễ ỉ ẹ ề ỉệ ề ề ểừ ỉ ễ ỉ ẹ ụ ABC ỉừ ụ ẹ D, E, F EF FD DE = e 1, = e 2, = e3ỉ e1 , e2 , e3 éủ ụ  ỉ ề EF FD DE e1 + e2 + e3 ề ìí ệ rb rc A B C 1 1 sin + rb sin + rc sin rbrc + + (1) 2 2 rb rc ỉ ỳỉ éừ ỉ è ỉ ụ á ỉ ể ỉ ứề ỉ rb rc ể ụ ỉệểề ỉ ạì ỉ éừ (r + rb3 + rc3 ) (2) a (1) ủ (2) ìí ệ A B C sin + rb sin + rc sin 2 ẵ ra3 + rb3 + rc3 1 + + ra2 rb2 rc2 èủ é ỉ ẹ ẵ ề ặ ểủề ẫ ề ẹá è ề ề ũể ềàá ặ í ề í ề ể ề è ỳề èệ ề ẻ ề ẻ ề ềàá ặ í ề ì ẵẳ ề ề ể ạ ắẳẳ ắ ặ í ề í ề ề ể ề è ỳề ềàá ẩ ừẹ è ềè ề ủ ỉ ễ ừ ì ặ ểủề ẫ ề ể ặ ẵẳ ề ề ắẳẳ ểủề ẫ ề è ề ẻ ềặ ề ặ í ề ề ủ ỉ ễ ề ề í ểủề ẫ ề ủ ỉ ễ ỳ ẩ ề ỉ ì ề ề ể ề è ỳề ểủề ẫ ề ềàá ặ í ề ề ậ ềá ềàá ặ í ề ì ủ ũ ỉ ẵẵ ẵẵ ề ề ề ể ặ ềàá ẩ ừẹ ỳ ểạ ặ ẹá ặ í ề ỳ è ỳề ềàá ẻ ề ặ ềá èừ ề ề ề ề ề ề è ề ạ ắẳẳ è ề ểủề ẫ ề ề ểạ ặ ẵẵ ề ề ềàá ẩ ừẹ ắẳẳ ềá èừ ề ủ ỉ ễ ề ắẳẳ è ề ề ặ í ề ềàá ặ í ề í ề ẹá ề ề ể ề è ỳề ềàá èệ ề ũ ỉ ẵắ ề ề ắẳẳ ẹá ẩ ừẹ è ẵắ ề ề ẵẵ í ề ắẳẳ ể ề ẵẳ ặ í ề í ểủề èệ ề ềàá ặ í ề í ểủề ẫ ề ặ ể ặ ềàá ẩ ừẹ ẻ ắẳẳ ẻ ề ặ ể ặ ẹá ặ í ề ỳ ề ẵẵ ề ề ắẳẳ ềàá ặ í ề ẻ ề è ề ặ í ề í ề ề ể ặ ẵẳ ề ề ẵẳ ề ề ể ặ ề ề ềàá ẻ ề ặ ể ề ặ ể ặ ểủề ẫ ề ềàá èệ ề ẩ ểủề ẫ ề ề ề ề ặ í ề ề è ỳề ủ ỉ ễ ề ũ ắẳẳ è ề ềàá ẻ ề ặ ẵ ề ềàá ẩ ừẹ ỳ ềá í ề èừ ề ề ẵắ ẻ ề ặ ềạ ề ủ ỉ ễ ề ể ặ ủ ẵẳ ặ ẵ ặ í ề ề ặ ễ ụễ ỉểừ ềàá ẩ ừẹ ỳ ẵắ ề ề ẵ ặ í ề ề ề ểạ ặ ẵắ ề ề í ụ í ề èừ ắẳẳ ềàá ặ í ề ạẵ ềá ắẳẳ ủ ỉểụề ề ễ ề ề èểụề ề ề ễ ụễ  ỉ ể ủ ễ ề ũ ẩ ề ắẳẳẳ ẵ ặ í ề ẻ ề ềạ ỉ ứề ỉ ỉệểề ụ ặ ỉ ẹ ắẳẳẳ ẵ èệ ề è ủề ặ í ề ề ẵ èệ ề ề ạẵ ễá ặ ỉ ặ ủ ặ ẵ ẵẳ ặ ỉ ỉ ắẳẳẳ ỉí ề ì ề ề ẹ ẵ ủể ểề ặ í ề ẩ ể ứề èệ ề ỉ ỉểủề ế ề ẹ ắẳẳắá ắẳẳá ắẳẳ ạ ắẳẳ ề ề ủ ặ í ềá èệ ề ẫ ề ặ ẵ èệ ề è ề ỉí ề ì ề ềàá èệ ề ũ ỉểụề ề ểúề ề ắẳẳẳá ặ ề è ỉ ề ũ èệ ề èí ỉ è ỉ ể ề ểủề ứề ề ẻ ề ẹ ề èểụề èí ề ắẳẳắ ắẳẳ ắẳẳ ắẳ ề ẩ ề ễ ụễ ũ ỉểụề  ỉ ặ ủ ĩ ỉ ũề ỉệ ắẳẳ ắẵ èừễ ũề ụể èểụề ủ è ỉ ỉệ  ẵ ề ẹẵ ề ề ẹ ắẳẳ ặ ủ ĩ ỉ

Ngày đăng: 27/02/2016, 14:14

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan