Đang tải... (xem toàn văn)
Lý thuyết cơ sở: bảng cấc đạo hàm, bảng các vi phân, công thức về giá trị lượng giác của góc lượng giác, các hằng đẳng thức, nguyên hàm...; tích phân: các quy tắc tính tích phân, ứng dụng của tích phân...
CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương Lý thuyết I Lí thuyết sở I.1 Bảng đạo hàm I.2 Bảng vi phân .4 I.3 Các cơng thức giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác .7 I.4 Các cơng thức phân tích lượng giác thừa số đặc biệt I.5 Các đẳng thức I.6 Ngun hàm I.6.1 Định nghĩa ngun hàm .9 I.6.2 Các tính chất ngun hàm .9 II Tích phân 10 II.1 Định nghĩa tích phân .10 II.2 Các qui tắc tính tích phân 11 II.3 Các phương pháp tính tích phân 11 II.3.1 Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm 11 II.3.2 Phương pháp đổi biến 12 II.3.3 Phương pháp tích phân phần 13 II.3.4 Tích phân hữu tỉ 14 II.4 Ứng dụng tích phân 22 II.4.1 Tính diện tích 22 II.4.2 Tính thể tích .27 Chương Bài tập 31 I.Bài tập 31 I.1 Tính tích phân 31 I.1.1 Tính tích phân sau 31 I.1.2 Tính tích phân sau ( đề thi đại hoc, cao đẳng) .44 I.2 Cơng thức Newton tốn chứng minh liên quan đến tích phân 55 I.3 Tính diện tích thể tích .59 II Tốn tự kiểm tra 64 Trịnh Thị Kim Phượng CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI LỜI NĨI ĐẦU Ngun hàm tích phân nội dung mà tơi khơng thích học thời gian học trường trung học phổ thơng có nhiều kiến thức liên quan đến tích phân, có nhiều dạng tập tích phân mà giáo viên đưa u cầu học để tính tích phân tơi khơng hiểu kiến thức Mặc khác tơi khơng biết tích phân có ứng dụng sống mà biết tìm cách nhận dạng tập tích phân tính kết Tơi muốn tìm hiểu tích phân để hiểu rõ kiến thức lí thuyết, phân chia dạng tập ngun hàm tích phân học; biết ứng dụng ngun hàm tích phân; giúp học sinh hiểu rõ tích phân chương trình dạy học phổ thơng Chính vậy, thơng qua tiểu luận này, tơi muốn tập hợp cố kiến thức trọng tâm ngun hàm, tích phân ứng dụng nó, tạo điều kiện thuận lợi để giúp tơi cơng tác tốt sau Để hồn thành tốt tiểu luận này, tơi xin chân thành cảm ơn thạc sĩ LÊ THỊ KIỀU NGA, tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt thời gian qua Trịnh Thị Kim Phượng CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHỦ ĐỀ CÁC DẠNG TỐN VỀ TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Chương Lí thuyết I Lí thuyết sở I.1 Bảng đạo hàm Đổi x thành u , nhớ nhân thêm u’ 1.(C)’=0 1.(C)’=0 (x)’=1 (u)’=u’ x x ' u 1 ' x u ' 1 u' 1u u ' x u ' ' ' 1 x x ' ln x , x ln x ' x 1 u ' u u ' ln u u ' , u ln u ' ' ' u u ' 1 1 ' ' ln x ln u u , < a log a x ,0 < a log a u ln a ln a x ln a ln a u ' e a a ln a e x ' e u x x ' x e u ' u ' a a ln a.u u ' , 0[...]...CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI b f ( x)dx chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà khơng phụ thuộc vào cách ký hiệu Chú ý: a biến số tích phân Vì vậy ta có thể viết b b b a a a F (b) F (a) F ( x) f ( x)dx f (t )dt f (u )du b a II.2 Các qui tắc tính tích phân a/ Đặt thừa số chung ra ngồi dấu tích phân , Đặt thừa số chung ra ngồi cả khi thay cận lấy tích phân. .. bản 1 1 e Dạng dx,f (x) ax 2 bx c, 0 , phân tích mẫu ax2 + bx + c f (x) dx 1 a 2 x 2 a 2 b b về dạng a [x2 + b’x + c’] dạng cơ bản 2 nhờ x 2 bx ( x ) 2 ( ) 2 2 2 1 f Dạng dx,f (x) ax 2 bx c, 0 , phân tích mẫu ax2 + bx + c f (x) Trịnh Thị Kim Phượng 17 CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI về dạng a(x + b’)2 dạng Ví dụ 1:... làm vài hình b thang cong S bằng tổng các tích phân có dạng f ( x) g ( x) dx , nhìn a hình vẽ xố từng trị tuyệt đối Trịnh Thị Kim Phượng 22 CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 4 Miền S giới hạn bởi 3 đường: y = f(x), y = g(x), y = h(x), hay nhiều đường vẽ hình miền S tìm các giao điểm khi có nhu cầu cắt S làm vài b hình thang cong S bằng tổng các tích phân. .. 11 CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI d (1 3x) 12 (1 3x)3 d (1 3x) nên (1 3x) dx (1 3x) 3 30 0 0 2 2 3 3 (tra bảng u du 4 1 1 3x 3 4 u 1 C ) 1 1 4 4 52 1 3.2 (1 3.0) 3.4 0 2 II.3.2 Phương pháp đổi biến, nhờ sử dụng bảng các vi phân, nhớ kèm đổi cận Ngồi cách đổi biến nhờ vào bảng các vi phân, ... 2 x 1 2 x=0 2 mà x 2 f(y) thể tích của vật thể cần tìm là 4 4 x2 V= .2ydy 2 ydy tra bảng xdx C 2 2 2 y2 2 2 12 4 42 22 2 đơn vò thể tích Trịnh Thị Kim Phượng 32 CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Chương 2 Bài tập Phần A: Bài tập (có giải) I Tính tích phân I.1 Tính tích phân các bài sau: 1 I 100 8 1 cos2xdx... diện tích) 2 2 Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x 0, y 2 x , y 3 x Trịnh Thị Kim Phượng 23 CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Giải x Phương trình hồnh độ giao điểm giữa y 2 và y 3 x là 2x 3 x (1) x Ta có: y 2 là hàm tăng y 3 x là hàm giảm x nên 2 3 x có 1 nghiệm duy nhất 1 Mặt khác: 2 3 1 1 là nghiệm của phương. .. 2 4 8 2 II.4 Ứng dụng của tích phân II.4.1 Tính diện tích II.4.1.1 S là hình thang cong: có 2 đáy song song là 2 đường thẳng x = a, x = b, b a, 2 đáy cong là 2 đồ thị y = f(x), y = g(x), có diện y tích cũng đặt là S, thì y = f(x) b O a b S y = g(x) x S f (x) g(x) dx a u cầu: diện tích S 0 Trịnh Thị Kim Phượng 21 CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI II.4.1.2 Chú... 24 CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 3 1 1 5 1 2 ln 2 2 ln 2 (đơn vò diện tích) Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y x x và y x 2 x 3 Giải Phương trình hồnh độ giao điểm giữa hai đường cong là x3 x x 2 x x3 x 2 2 x 0 x( x 2 x 2) 0 x 0 2 x x 2 0 x 0 x 1 x 2 1 x Vậy diện tích. .. II.3.3 Phương pháp tích phân từng phần: b udv uv b a a b b vdu , với tích phân sau vdu phải tính dễ hơn tích phân trước a a b Chứng minh: udv uv b a b vdu a a / Ta có: uv u/ v uv/ b b b b uv dx u v uv dx u vdx uv/ dx / a a b b / / / a a b uv dx uv dx u/ vdx a / a / a Trịnh Thị Kim Phượng 13 CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ... Kim Phượng 29 CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 4 1 x sin(2x) 4 0 sin 2 sin 2.0 0 2 0 2 2 4 2 4 1 2 4 2 đơn vò thể tích Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Oy của x2 , y 2, y 4, x 0 đường thẳng giới hạn bởi các đường y 2 Giải Hình vẽ