hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN m PHẦN 2: TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN in h2 47 co PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: A Phương pháp: Phương pháp phân tích việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng hạng tử mà nguyên hàm hạng tử nhận từ bảng nguyên hàm phép biển đổi đơn giản biết, sau áp dụng định nghĩa B Ví dụ: VD1: Tính tích phân I Giải : Biến đổi I dạng I = ( ex ( ex = (e = e ex dx x e (ex 1) )dx ex ex ex [(ex 1) x e (ex ex ]dx 1) ex x )dx ye 1 x e ns dx 2x x ex )dx Tu = ( e x x ln e x )10 = VD2: Tính tích phân sau: a/ x2  2x I dx; x b/ J   (3x  e )dx Giải: 2 2 1   a/ Ta có: I      dx   ln | x |    (ln2  1)  (ln1  2)  ln2  x  x  1 x hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh x 3  b/ Ta có: J   x  4e  2   (24  4e)  (0  4)  28  4e x5 VD3: Tính tích phân: I   dx x 1 Giải: Từ x5  x3 (x2  1)  x(x  1)  x 1 VD4: Tính  in h2 47 co / m x  1  1  Ta được: I    x3  x  dx   x  x  ln(x  1)]  ln  2 4 0 x 1 0 sin x dx cosx  sin x Giải: sin x  cosx  sin x  (A  B)cosx  (A  B)sin x  A  B  cosx  sin x cosx  sin x  cosx  sin x  A  B   A  B Đồng đẳng thức, ta được:  A  B  Ta có: Vậy:  / sin x  cosx  sin x    dx      dx   x  ln(cosx  sin x)   cosx  sin x 2(cosx  sin x      tg x   sin x dx Tu 1) ye C.Bài tập: Tính: ns / /    2)  ( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx  3)  tg2x dx 4)   | x-2 | dx 5)  x  x  dx 3 6)  4 | x2-4 | dx 7)  cos x  dx  II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh b 1) DẠNG 1: Tính I   f ( x)dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục [a;b] a A Phương pháp: t  u ( x)  dt  u ' ( x)dx (t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục tập xđ t) xb t  u(b) +)Đổi cận :  xa t  u (a) +) Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta +) Đặt I   f u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) b u (b ) a u(a) VD1 Tính tích phân I e Giải x ln x e t I Vậy I dx x e2 dt 1, x dt t ln t cos x dx (sin x cos x)3 ns ln VD2: Tính tích phân I Tu ye cos x dx (sin x cos x) ĐS: I I dx x ln x t ln Hướng dẫn: in h2 47 co e2 Đặt t m , ln x) đặt t = lnx x +, Khi f(x) có chứa n u(x) thường đặt t = u(x) +, Khi f(x) có mẫu số thường đặt t = mẫu Nhìn chung ta phải nắm vững công thức vận dụng hợp lý B Ví dụ: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( CHÚ Ý: (tan x x dx x 1) dx Đặt t cos2 x tan x VD3:Tính tích phân: I (1 dx x) 2x Hướng dẫn: 2x Đặt t ĐS: I ln VD4 Tính tích phân I hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh Hướng dẫn: Đặt t ĐS: I x x 3 t2 dt ; đặt t (t2 1)2 tan u hoctoancapba.com Chú ý: Phân tích I x dx , đặt t x VD5:: Tính tích phân : I   x tính nhanh x3dx 1  x2 m Giải: 3t 2dt Đặt t  x   t  x  1, đó: 3t dt  2xdx  dx  2x x=  t = Đổi cận:  x=  t  2 x3dx in h2 47 co x3 3t 2dt Ta có:   3t(t  1)dt  3(t  t)dt 2xt  x2 2  t5 t2  141 Khi đó: I  3 (t  t)dt      10   1 C.Bài tập: Tính tích phân sau:   1)  cos x sin xdx ;  5)  sin 2x(1  sin2 x)3dx ; ye e  ln2 x 1 x dx ; Tu 9) 12)  6)  cos x sin 4x 3)  dx ;  cos2 x 2)  cos xdx ; ns  dx e ; 7)   10)  x5 (1  x3 )6dx ; 11) 0   ln x dx ; x cos x   5sin x  sin 4)  x3  x dx x 8)  cos xdx dx ; tg x  cos2xdx  cos x  sin x 13)  dx ;  sin x  14)  sin x cos x  sin x dx x 3 ln e  2e ln dx ; 15)  x hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh   sin x dx ; 16)  (  sin x )  ln(tgx) dx ; 17)   sin x 18)  (1  tg x)dx ;  sin x  cos x 19)   sin x  dx 20)  sin x  sin x  cos x x 23)  sin x cos x 21)  dx ;  cos x dx ; e 1 x 1   24)  dx ; 22)  (e sin x  cos x) cos xdx ;   sin x dx  sin x  ln x ln x dx ; x 25)  m in h2 47 co  2) DẠNG 2: b A Phương pháp: I   f ( x)dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục [a;b] a Cách thực hiện: +) Đặt x   (t )  dx   ' (t )dt (  (t ) hàm số lựa chọn thích hợp: ảnh  (t ) nằm tập xác định f  ' (t ) liên tục.) xb t +) Đổi cận :  xa t  +) Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta  I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) b  a x )n đặt x ye +, (a ns Chú ý: * Nếu f(x) có chứa: +, (a x2 )n đặt x +, x a2 đặt x Tu n +, +, B Ví dụ a sin t với t ; a tan t với t a x sin t , x 2 a cos t ; , x a cos t với t a cot t với t 0; 0; a x a x đặt x a cos 2t ; a x a x (x a)(b x) đặt x=a+(b-a)sin2t VD1 :Tính tích phân I 1 x2 dx Giải Đặt x sin t, t ; dx cos tdt hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh x t 0, x t cos t dt sin2 t I cos t dt cos t dt t 06 Vậy I 6 VD2: Tính tích phân I x2 dx m in h2 47 co Hướng dẫn: Đặt x sin t ĐS: I dx x2 VD3:Tính tích phân I Hướng dẫn: Đặt x tan t, t ; (tan2 x dx x t I 1)dt 0, x x ye Hướng dẫn: I ĐS: I 12 2 dt dx (x 1)2 tan t Tu Đặt x x dx 2x dx 2x ns VD4:Tính tích phân I t tan2 t dt tan2 t Vậy I 1 VD5: Tính tích phân : I   2 x2  x2 dx Giải: Đặt x = sint, đó: dx = costdt Đổi cận: x=  t =  với   x=  t  hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh x2dx Lại có: sin2 t.cos tdt   x2  sin2 t  sin t.cos tdt sin t cos tdt   (1  cos2t)dt cos t cos t / 1  Khi đó: I   (1  cos2t)dt   t  sin 2t  2  VD6: Tính tích phân : I  2/  /    dx x x2  m Giải: cost , ñoù : dx   dt sin t sin t   x=  t = Đổi cận:   x= t 3  cos tdt  / /   / sin t   dt  t  /  Khi đó:  / / sin t 1 sin2 t VD7: Tính tích phân : I   ax dx, (a  0) ax ns a in h2 47 co Đặt x  Đặt x  a.cos2t, ñoù: dx  2a.sin2tdt Giải: ye   x= -a  t =  x=0  t    Tu Đổi cận: Lại có: ax a  a.cos2t dx  (2a.sin 2tdt)  cot t (2a.sin 2tdt) ax a  a.cos2t  4a.cos2 t.dt  2a(1  cos2t)dt / /      a 1   Do đó: I  2a  (1  cos2t)dt  2a  t  sin 2t    /  4 / VD8: Tính tích phân : I  / cosdx  / sin x  5sin x   hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh Giải: Đặt x = sint, đó: dt = cosxdx   x=  t = Đổi cận:  x=   t   cosdx dt dt Ta có:   sin x  5sin x  t  5t  (t  2)(t  3) Suy ra: A    B  1 in h2 47 co A  B   2A  3B  Từ đó:  cosxdx      dt sin x  5sin x   t  t   Khi đó: I  3/2  1/  t 3    dt  ln t2  t 3 t 2 C.Bài tập: Tính tích phân sau:  x dx x  x  dx x x2   cos x dx  cos2 x 9) ns  2) 6)  3x dx x2  ye 5) 0  cos x  sin x dx 1)   Tu m B  [(A  B)t  2A  3B]dt  A    dt  (t  2)(t  3)  t 3 t 2 3/2  ln 1/ 3(6  3) 5(4  3) 2 3)   x2 7))  1 x4 dx 10)  1 x6 x2 (1  x )5  4)  x2  x2 dx 1 x  11) dx dx cos x  cos2 x 8)  dx x x2 1 dx dx 1 x  2x  12)  x x 1 dx   3x x5 III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: A Phương pháp: 13)  dx 14)  * Kiến thức: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D vi phân hàm số ký hiệu: dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx * Để tính nhanh em cần nhớ công thức sau: d(a.x b) dx (a 0) +, d(a.x b) a.dx a hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh +, d(ae x ae x dx b) +, d(sin x) dx cos x.dx +, d(ln x) dx x +, d( x2 a2 ) dx dx a.x b x.dx d(ae x b) a.e x d(sinx) sin x.dx ; d(cos x) cos x d(a.x b) ln(a.x b) a a.x b a dx d(cos x) sin x hoctoancapba.com x2 a B.Ví dụ 1: Tính tích phân sau: 1) e dx ; 2007.x 2008 sin x.cos xdx; 2) 3)  1 x x2 2)  ( ) dx;  x3 ; e2  ln x 6)  dx ; x e  3) 2x2 4)  xe dx ; x2 dx ; in h2 47 co 1) 2x2 dx 7)  ; e x  ln x 1 x   3 sin x 8)  dx ; cos3 x cot x.dx 4) C Bài tập Tính tích phân sau: e x dx ; 3e2x m 9)  sin x e cos x dx ; 5)  x 2e x dx 1 10) dx 2e IV TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: A Phương pháp: Công thức tích phân phần:  u ( x).v' ( x)dx  u ( x).v( x)a   v( x).u ' ( x)dx b b b a a  udv  u.va   vdu b Hay: b u  u ( x) du  u' ( x)dx  dv  v' ( x)dx v  v( x) ye Cách thực hiện: a ns a b +) Đặt Tu +) Thay vào công thức tích phân từng phần :  udv  u.va   vdu b a b b a Chú ý: +)Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) vi phân du u/ (x)dx không phức tạp b vdu phải tính +)Hơn nữa, tích phân a +)Đặc biệt: x hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh b b i/ Nếu gặp P(x) sin axdx, eax P(x)dx với P(x) đa thức đặt P(x) cos axdx, a u b a a P(x) b P(x) ln xdx đặt u ii/ Nếu gặp ln x a b b x e x cos axdx ta tính hai lần phần cách đặt e sin axdx , iii/ Nếu gặp a u a x e B Ví dụ: m xex dx VD1:Tính tích phân I Giải Đặt 1 x xe dx xe x x in h2 47 co u dv ex dx 0 e VD2Tính tích phân I x e dx Giải Đặt e x2 ln x 1 u v e (chọn C 0) dv e xdx xdx e2 dx x du ln x ns x ln xdx dx x x ln xdx e 1)ex (x du x2 v e x sin xdx ye VD3Tính tích phân I Tu Giải Đặt u dv sin x du e x dx x e sin xdx x e sin x e x cos xdx 0 Đặt dv cos x x e dx du v J sin xdx e x ex cos xdx e2 u J ex v I cos xdx e x cos x e x sin xdx I 10 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh Vậy I x Câu8:: Tính tích phân : I  2008 sin xdx 1 Giải: 2008 2008  x sin xdx   x sin xdx Viết lại I dạng: I  1 Xét tích phân J  x 2008 (1) sin xdx Đặt x  t  dx  dt đó: 3t 2dt  2xdx  dx   2008 Khi đó: I    (t) in h2 47 co x= -1  t = x=0  t  Đổi cận: 3t 2dt 2x m 1 sin(t)dt    x2008 sin xdx (2) Thay (2) vào (1) ta I = Câu9:: Tính tích phân : I  /  cos4 x dx cos4 x  sin x Giải:   x  dx  dt   x=  t =  Đổi cận:   x=  t    cos4 (  t)(dt) / / sin tdt sin x Khi đó: I       dx 4 4    / cos4 (  t)  sin (  t) cos t  sin t cos x  sin x 2 / / cos4 x  sin x   dx  dx   I  Do đó: 2I    4 cos x  sin x Tu ye ns Đặt t  Câu10:: Tính tích phân: I  1/  1 x  cos x.ln   dx 1 x  1/  Giải: 20 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh  1 x  I   cos x.ln   dx   x   1/ 1/  1 x   cos x.ln   x  dx (1) 0  1 x  cosx.ln   dx  x   1/ Đặt x  t  dx  dt Xét tính chất J  Đổi cận:  1  x= -  t =  2 x=0  t  Khi đó: m 1/ 1/  1 t   1 t   1 x  I    cos(t).ln  dt   cost.ln dt   cosx.ln   dx       t  t  x       1/ 0 in h2 47 co Thay (2) vào (1) ta I = (2) x 4dx Câu11:: Tính tích phân: I   x 1  Giải: x 4dx x 4dx Biến đổi I dạng: I   x  x 1  1 Xét tích phân J  x 4dx  x 1  Đặt x = –t  dx = –dt  (t)4 dt t 2t.dt x 2x.dx x= -1  t =  t  x Khi đó: J     t x=0  t  1 1 1 (2) ns Đổi cận: (1) Tu ye x 2x.dx x 4dx x (2x  1)dx  x    x dx  Thay (2) vào (1) ta được: I   x x 1 1 1 0 Câu12: Tính tích phân: I  Đặt t  /  cosn xdx cosn x  sin n x Giải:   x  dx  dt 21 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh   x=  t = Đổi cận:   x=  t     cosn   t  (dt) / / sin n tdt sin n x     dx Khi đó: I      0 cosn t  sin n t 0 cosn x  sin n x n  / cosn    t   sin   t  2  2   / cosn x  sin n x   dx   dx   I  n n cos x  sin x m Do đó: 2I  /  xsin xdx  cos x in h2 47 co Câu13:: Tính tích phân: I   Giải:   xsin xdx xsin xdx     sin2 x   xf(sin x)dx  (1  sin x) 0 Đặt x   t  dx  dt Biến đổi I dạng: I    x=   t = x=0  t   Đổi cận: (  t)sin(  t)dt  (  t)sin tdt   sin tdt  t sin tdt    2 2  cos (   t)  cos t  cos t  0  cos t Khi đó: I      d(cost) d(cost) d(cost)    I  2I      2  cos t  cos t cos t  ns  ye   d(cost)  cost  I   ln cos2 t  4 cost  Tu Câu14:: Tính tích phân: I  2  x.cos    ln xdx Giải: Đặt x  2  t  dx  dt  x= 2  t = x=0  t  2 Đổi cận: 2 2 0 Khi đó: I   2  cos3 tdt   t cos3 tdt  2  (2  t).cos (2  t)(dt)   (2  t).cos 2 tdt 2  (cos3t  3cos t)dt  I 0 22 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh 2 1   2I   sin3t  3sin t    I  23 0 Câu15: Tính tích phân: I  /    sin x  ln   dx   cos x  Giải:   x  dx  dt   x=  t = Đổi cận:   x=  t       /   sin   t     cos t    sin t  Khi đó: I   ln   (dt)   ln   dt    ln   dt   sin t    cos t    cos    t   / 0   2    /  in h2 47 co m Đặt t    sin x  ln   dx  I  2I   I    cos x  Câu16:: Tính tích phân: I  /  ln(1  tgx)dx ns Giải:   x  dx  dt   x=  t =  Đổi cận: Khi đó:   x=  t   / /   tgt I    ln[1  tg(  t)dt   ln(1  )dt   ln dt  tgt  tgt / 0 Tu ye Đặt t   / / 0  [ln  ln(1  tgt)]dt  ln   2I  dt  /  / ln(1  tgt)dt  ln 2.t  I  ln  ln I II TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 23 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh b Dạng tính tích phân I f(x) dx a +) lập bảng xét dấu f(x) : giả sử bxd f(x) a x f(x) b +) Tính I x1 x1 x2 f(x) dx b f(x)dx a f(x)dx a b x2 f(x)dx x1 x2 x2 Ví dụ Tính tích phân I 3x dx m Giải Bảng xét dấu I x 2 in h2 47 co x 3x x2 3x x2 dx 3x 59 2 dx 59 Vậy I Ví dụ Tính tích phân I cos2 x sin xdx Giải 2 sin2 x I Bảng xét dấu sin x sin x dx x ns sin x sin x 6 I 1dx dx ye 2 sin x dx Vậy I Tu Dạng b Giả sử cần tính tích phân I f(x) g(x) dx , ta thực a Cách b Tách I b f(x) a g(x) dx b f(x) dx a g(x) dx sử dụng dạng a Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) 24 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh Ví dụ Tính tích phân I x x dx Giải Cách 2 x x 1 dx xdx 1)dx x2 (x 1)dx 1 x2 dx (x x 1 xdx x2 x dx x2 x x m I Cách Bảng xét dấu –1 0 in h2 47 co x x x–1 – – + – + + I x x dx x x dx x x2 x Vậy I x 01 Dạng b Để tính tích phân I x 12 dx b max f(x), g(x) dx J a x f(x), g(x) dx , ta thực a bước sau: Bước Lập bảng xét dấu hàm số h(x) Bước + Nếu h(x) max f(x), g(x) + Nếu h(x) max f(x), g(x) g(x) đoạn [a; b] f(x) ns f(x) f(x), g(x) g(x) f(x), g(x) g(x) f(x) max x2 Ví dụ Tính tích phân I dx ye Đặt h(x) Tu 1, 4x x Giải 4x x2 4x Bảng xét dấu x h(x) + I – x dx + 4x x2 dx Vậy I dx 80 80 3x , Ví dụ Tính tích phân I x dx Giải 25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh Đặt h(x) 3x – 3x x x Bảng xét dấu x h(x) x I dx + 3x ln ln x dx Vậy I 4x x2 2 ln 1.Tích phân dạng: dx  ax  bx  c (với a  0) in h2 47 co Cách làm: m III TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VÔ TỈ Biến đổi ax  bx  c dạng ,sau thực phép đổi biến tương ứng ta đưa việc tính tích phân hàm hữu tỉ a) a  t Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u (hoặc u  0; ; 2 b) a  t Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u (hoặc u ; 2 c) t  a Đặt t = Chú ý công thức: dx  x a Chứng minh: a a (hoặc t = ) với u Cosu Sinu = ln x  x  a +C 0; - 0; (hoặc u ) ; - 0 ) 2 (C số tuỳ ý) Tu ye ns  t.dx x  x  a  dt  1  dx =  x2  a x2  a   dt dx dx dt  Từ ta có : Vậy :  =   ln t  C  ln x  x  a  C (ĐPCM) t t x2  a x2  a du  ln u  u  a  C (*)Trong u = u(x) Với hàm hợp:  u a Đặt t = x + Ví dụ 1:Tính  I = I =  dx 2x  x dx  ( x  1) Đặt x-1 = Sint Khi : dx  Costdt x =1  t = x = t = 26 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh  I =   cos tdt   dt  t  sin t = Ví dụ 2:Tính J =  6 dx  4x  4x  Thông thường với tích phân dạng (a) (c) ta sử dụng công thức (*) lời giải dễ dàng ngắn gọn 3 dx dx áp dụng công thức (*) ta có: J =  =  4x  4x  (2 x  1)  2 1 2 4x  4x   dx in h2 47 co dx  Ví dụ 3: Tính K = 1 2 m 3 d (2 x  1)   45   =  = ln x   x  x  = ln 2 (2 x  1)    21  2 = (2 x  1)  Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có: 1 2 K=  dx = ln x   x  x  2 (2 x  1)  1 2 = ln  Cách 2: Đặt 2x - = tan t Chú ý: Nếu mẫu thức khai ta giải toán cách đơn giản sau: dx Ví dụ 4:Tính M =  2 x  x  ns M= dx  2x  = 2 dx d (1  x) =      ln  x  2x 2  x 2 ( Ax  B )dx 2.Tích phân dạng:  Với a.A  ax  bx  c Cách làm: = - ln 2 Tu ye Tách tích phân cho thành hai tích phân có chung mẫu ax  bx  c ,một tích phân có tử đạo hàm tam thức bậc hai,một tích phân có tử số ( Ax  B )dx 2ax  b M dx dx   Tức tách:  =  ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ( x  4)dx Ví dụ 1:Tính I =  x  2x   (2 x  2)   (2 x  2)dx 6dx dx =    Ta có: I =  = 2  x  2x  x  2x  x  2x   27 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh x  x   ln x   x  x   C = Ví dụ 2:Tính J = Ta có: J = = ( x  2)dx 1 x  2x  ( x  2)dx   1 x  2x  (2 x  2)dx  1 x  2x  2 =  1 + 1 (2 x  2)  x  2x  dx dx x  2x  2 =  x  x   ln x   x  x   =   ln(1  2)   1 dx 3.Tích phân dạng:  (Với  a  ) (x   ) ax  bx  c Cách làm: Đặt x    chuyển tích phân cần tính tích phân dạng (a) t dx Ví dụ 1:Tính I =  ( x  1) x  x  Đặt x  = Khi x = 0 t = t x = t = in h2 47 co m dt Và dx = - Ta có: I = t Ví dụ 2:Tính J = dx  ( x  1)  dt t 1 = ln t  t  1 = ln 2(1  2) 1 x2 1 t 1 Đặt x-1 =  x = t t Khi ns Tu ye x = t=1 x = t = dt dx = - t dt  2 dt t Tích phân cần tính là: I =  =  2 t  t  12 1  t  1   1 t  t   1 dt   1 1   10  1  2  ln = = = ln t   t  t  12  2     2 2 t     2 ln Ví dụ 3:Tính K =  (1  e e x dx x )  e x  e2x 28 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh Đặt t = ex  dt = exdx.Khi : x=0  t=1 x = ln2  t = dt Ta có: K =  (1  t )  t  t dt u= ta có: du    1 t (1  t ) 1  1  u     12   Ví dụ 4:Tính N =  Ta có : N =   cot gxdx Sin x  2 =N= t 2 ln u  u  4.Tích phân dạng:  3 ln cos xdx  Sinx  1 = Sin x  Đặt t = Sin x : N = = cot gxdx    = 2 1  ln u    u    2  12  m Vậy K = 1  du   2  du u2 t  1 u dt   in h2 47 co Đặt dt t 2 2 = Sin x  Lại đặt u = 1 N = t 2  du u2  =  2 3   ln    f ( x)dx Tu ye ns Với a  bậc f(x)  2,f(x) đa thức ax  bx  c f ( x)dx dx Cách làm:Tách  = g(x) ax  bx  c +   2 ax  bx  c ax  bx  c Với g(x) đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x) Tìm hệ số g(x) số  phương pháp hệ số bất định ( x  1)dx Ví dụ 1:Tính M =  x  2x  dx ( x  1)dx Tách :  = ( Ax  B ) x  x  +   x  2x  x  2x  Lấy đạo hàm hai vế ta có: x2 1  A x  x  + ( Ax  B)( x  1) x  2x  3 Đồng hệ số ta có : A  ; B   ;   2 x3 dx x  2x  +  Vậy M = x  2x  x  2x  +  x  2x  29 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh x3 x  x  + ln x   x  x   C x3  x  Ví dụ 2:Tính N =  dx x  2x  dx x3  x  Ta có :  (1) dx = ( Ax  Bx  C ) x  x  +   2 x  2x  x  2x  Lấy đạo hàm hai vế (1) quy đồng ta có: x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D Đồng hệ số ta có: 3A = A= 5A+2B =0 B=  4A+3B+C =-1 C= 2B +C+D =1 D= dx Vậy có: M = x  x  x  x  +  x  2x  in h2 47 co m =     x  x  x  x  + ln x   x  x   C xx  1( x  1) dx Ví dụ 3:Tính P =  x  x  1 Để áp dụng ví dụ ta làm sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu hai tích phân: 0 xx  1( x  1) x3  x dx =  dx = P=  2 x  x  x  x  1 1 =  dx - dx   dx = x  2x  1 x  2x  = x  5x  x  x   ln x   x  x   = 1   ln  = dx 5.Tích phân dạng:  với m, n  N * , a.c  m nm n (ax  b) (cx  d ) 1 x  2x  =N- 1 ns P= x3  x   Tu ye   ax  b  Cách làm:Đặt t    ta đưa tính tích phân hàm hữu tỉ  cx  d  Ví dụ :Tính I =  m n dx (3x  1) (5 x  4) Ta thấy m  3; n  đặt t =  3x      5x    3x   t    5x   dx dx 2dt  3x    2tdt  3.    2 (5x  4)  x   (5 x  4) 21 t 30 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh 8 27 x 1 t  dx  Vậy ta có: I = (3x  1) (5 x  4) 27 = 8 ax  b dx cx  d 27  5 x  4  2 = t dt =   21 t 6.Tích phân dạng: dx  = 27 Với  3x      5x   = 2dt  21t t = m x0t  Khi a.c  0 in h2 47 co ax  b cx  d Cách 2: Đặt t  cx  d Với cách đặt ta đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản 1 x dx Ví dụ :Tính J =  3 x Cách làm: Cách 1: Đặt t  Ta thực theo cách đặt 2: Đặt t   x  dt   dx 3 x dx   2dt 3 x Khi x  t    x   t Vậy J =  ns 1 x dx =    t dt 3 x Đặt t  Siny t 3 y Khi  ye t 2y   Tu dt  2.Cosydy Vậy : J =    4Sin2 y 2Cosydy =     4   Cos2 y  32 =  2Cos ydy   dy = 4 y  Sin2 y  =    7.Tích phân dạng:  Rx; n  u ; m u dx Cách làm: Đặt t  k u Với k BCNN m n Ví dụ1 :Tính I = 1 x 1 1 1 x 1 dx Đặt t  x   t  x  1(t  0)  6t dt  dx 31 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh I= 1 x 1 1 1 dx =  6t x 1 1 t3 dt 1 t2 6t    =    6t  6t  6t  6t  6t   dt t  t    Tích phân dễ dàng tính x 1  dx Ví dụ2 :Tính J =  x 1 1 x  2x  Đặt t  x   2tdt  dx 2(t  2)tdt dx =  J=  = t4  t x 1 1 x  2x  2 2t  dt 1 t m x 1  Bt  C   A =   dt t  t  t    Đồng hệ số ta có: A  2; B  2; C  2 2 Vậy J =  ln t   t in h2 47 co 2t  dt =  t 1  1 dt   2 d (t  t  1) 2 = ln   = ln  ln t  t   L   2 3 t  t 1 t  t 1 2 Tính L cách đặt t    tgu Ta có đáp số là: I = ln  3 2 8.Tích phân dạng:  x r (a  bx p ) q dx (p,q,r phân số) a)Nếu q nguyên đặt x= t với s BCNN mẫu số r p r 1 b)Nếu nguyên đặt a  bx p  t s với s mẫu phân số q p r 1 c) Nếu +q nguyên đặt ax  p  b  t s với s mẫu số phân số q p dx Ví dụ1 :Tính I =  x ( x  1) ye ns s 3     Viết tích phân cần tính dạng sau: I =  = x   x    dx x ( x  1)  Vì q=-3 nguyên nên đặt x= t ta có dx=4t dt tdt 4t dt I=  =4  = (t  1) t (t  1)  Tu dx  1    = 4   dt = t  1 (t  1)  (t  1)   1   ln t    C =  t 1  2(t  1)  Ví dụ :Tính J =  x dx (a  x ) a  x a  0 32 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh 3 r 1 1   nguyên nên đặt a-x2 = t2 p 2  x  (a  t )  2 xdx  2tdt  xdx  tdt Vậy J =    x (a  x ) dx Vì a  t  tdt 2 = - t3 a2 C =  t  2at  t Ví dụ :Tính N =  Ta có: N =  t  2at  a dt t3 ax  x dx ax  x dx = x 3 (a  x ) dx m Ta có: J = 1 r 1  q  nguyên nên ta đặt ax 2   t hay Do r  ; p  2; q  3 p Vậy N = = in h2 47 co a a 3at dt 2 1  t  x   dx   x2 t 1 (t  1)  3at  a 3a t dt t  dt = = =  dx      (t  1)   x2  (t  1) at a dt a   (Tích phân dễ dàng tính được)   td   =  2(t  1) t   t 1  BÀI TẬP Bài:1 Tính tích phân sau: e A=  x  - x dx x B=  x -1 dx C= x ln 2dx  -2 Bài2: Tính tích phân sau:  e B= ln xdx  C= ns A= e3 cos x sin xdx  x  dx x x2  x dx x -1 1 D=  Bài3: tính tích phân sau: e ye I= sin(ln x) dx 1 x  J= dx  sin2 x cot x Tu  ln L=  x dx x 3 ln e  2e 10 K=  lg xdx M= sin xdx  cos x  sin x N=  dx x -9  sin x dx 2 (1  cos x) Bài 4:ính tích phân sau: dx A= C=   D= ln  - x2 1- e x dx  ex B=  3 E=  dx x 3 C=  16 - x dx dx x 1 Bài 5:Tính tích phân sau: 33 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh  B*=  x sin 2x dx e2 A=  ln x dx x ln x dx x C*=   cos x D=  cos(ln x)dx x2   dx 1  x 3x  x E=  dx x3 e F  * Bài 6:Tính:   A=  cos xdx B=  cos xdx 0 D=  C=  xe x dx e x x dx E=  x ln xdx G=  x  x dx F=  H=  x  xdx I=  x dx x 1 m ln x  dx x e x dx 1 x Bài A=  C=  dx D=  1 x dx E=  x ( x  1) dx G=   x  2x  2 (Đặt x  dx x  x 1 Bài 8: Tính 2 T=  x  x  3x   x x  3x  2 dx L=  3 dx x 1  x 1 (2 x  1)dx ( x  1) x  3x  (2 x  1)dx x  8x  dx  x  3x  Tu ye 5  ns P=  2x  x x 1  x 1 I=  1 x  x2 x  12 H=  x  2x   x  t ) x dx xdx F=  B=  ( x  1) ( x  1) x2  1 x in h2 47 co J=  34 [...]... VIEN:Trinh thi thanh Binh 3 2 Tính tích phân I f(x).dx 3 2 VD4: Tính tích phân 2 2 a) I b)J x.sin x.cos x.dx ; ( 0 0 1 cos (cos x) tan2 (sin x)).dx 2 VD5: Tính các tích phân 2 ln(sin x sin 2 x)dx; 1 m a) I 0 2008 sin2007 x.dx b) J in h2 47 co 0 VD6: Tính các tích phân sau: 1 1 a) x4  2x  1 dx 1 b)  1  1 x2 dx 1  2x c) sin 2 x  3x  1 dx  PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN ns I.TÍCH PHÂN... pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t cos2 x sin2 x 1 t2 Chú ý: (cos x)2n 1 (cos2 x)n cosx (1 t2 )n cosx 15 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 2 cos5 xdx Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân I 0 Giải sin x dt Đặt t x 0, x 1 1 cos xdx 2 (1 0... Ví dụ 2 Tính tích phân I x dx 0 Giải 25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh Đặt h(x) 3x 4 – 1 0 3x x x 4 Bảng xét dấu x h(x) 1 0 2 x I 3 dx 4 0 2 + 3x 1 ln 3 0 2 ln 3 x dx 1 Vậy I 4x x2 2 2 1 2 ln 3 5 2 5 2 1 .Tích phân dạng: dx  ax  bx  c 2 (với a  0) in h2 47 co Cách làm: m III TÍCH PHÂN CỦA MỘT... ĐỐI Phương pháp giải toán 23 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh b 1 Dạng 1 tính tích phân I f(x) dx a +) lập bảng xét dấu f(x) : giả sử bxd f(x) là a x f(x) b +) Tính I x1 0 x1 x2 f(x) dx b f(x)dx a f(x)dx a b x2 0 f(x)dx x1 x2 2 x2 Ví dụ 1 Tính tích phân I 3x 2 dx 3 m Giải Bảng xét dấu I 2 x 3 2 0 1... Ví dụ 1 Tính tích phân I 0 xdx sin x 1 Đặt x x 0 t Giải t dx , x dt t 0 16 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 0 I ( sin( dt 2 0 t sin 2 t cos 2 4 1 t sin t 1 dt 2 0 sin t 1 t d 2 4 2 0 cos2 t 2 4 I 2 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 t 2 0 in h2 47 co 0 tg 2 0 4 0 m Tổng quát: Ví dụ 2 Tính tích phân I dt I dt...  1 dx x -9 2  2 sin 2 x dx 2 2 0 (1  cos x) Bài 4:ính các tích phân sau: 1 dx A= C=   0 D= ln 2  0 4 - x2 1- e x dx 1  ex B= 3  3 3 E=  2 dx 2 x 3 4 C=  16 - x 2 dx 0 2 dx x 1 2 Bài 5:Tính các tích phân sau: 33 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh  B*=  x sin 2x dx e2 A=  ln x dx x 1 2 ln x...  1 = 2 dx 1 d (1  2 x) 1 =      ln 1  2 x 1  2x 2 2 1  2 x 2 2 ( Ax  B )dx 2 .Tích phân dạng:  Với a.A  0 ax 2  bx  c Cách làm: 0 1 = - ln 5 2 2 0 Tu ye 0 Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là ax 2  bx  c ,một tích phân có tử là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số ( Ax  B )dx 2ax  b M dx dx   Tức là tách:  =  ax 2  bx  c ax 2... VD1: Tính tích phân 1/ 2 1 x I   cos x.ln( )dx 1 x 1/ 2 1 x ) thỏa: Giải: nhận xét hs f(x)  cos x.ln( 1 x * Liên tục trên [-1/2;1/2] * f(x) +f(-x) = = 0 Theo tc 1 ta được I=0 VD2 :Tính tích phân 2 cos x.ln(x I= x2 1)dx 2 VD3 Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) = 2 2.cos 2x 14 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn... I 2 t cos tdt 2 t sin t cos t 2 0 2 0 19 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh Vậy I 1 x Câu8:: Tính tích phân : I  2008 2 sin xdx 1 Giải: 0 1 2008 2008  x sin xdx   x sin xdx Viết lại I về dưới dạng: I  1 Xét tích phân J  0 x 2008 (1) 0 sin xdx Đặt x  t  dx  dt khi đó: 3t 2dt  2xdx  dx  ... cos4 x  sin 4 x   dx  dx   I  Do đó: 2I    4 4 2 4 0 cos x  sin x 0 Tu ye ns Đặt t  Câu10:: Tính tích phân: I  1/ 2  1 x  cos x.ln   dx 1 x  1/ 2  Giải: 20 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh 0  1 x  I   cos x.ln   dx  1  x   1/ 2 1/ 2  1 x   cos x.ln  1  x  dx ... 14 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIAO VIEN:Trinh thi Binh Tính tích phân I f(x).dx VD4: Tính tích phân 2 a) I b)J x.sin x.cos... tan x VD3:Tính tích phân: I (1 dx x) 2x Hướng dẫn: 2x Đặt t ĐS: I ln VD4 Tính tích phân I hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán... )dx 2 .Tích phân dạng:  Với a.A  ax  bx  c Cách làm: = - ln 2 Tu ye Tách tích phân cho thành hai tích phân có chung mẫu ax  bx  c ,một tích phân có tử đạo hàm tam thức bậc hai,một tích phân