1 Mục lục Lời cảm ơn Một số kí hiệu dùng luận văn Lời nói đầu Kiến thức liên quan 1.1 Bài toán chỉnh, toán không chỉnh 1.2 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz 1.3 Mệnh đề giới hạn hàm số 1.4 Các không gian hàm 1.5 Khai triển Fourier 1.6 Biến đổi Fourier 1.6.1 Các đònh nghóa tính chất biến đổi Fourier 1.6.2 Biến đổi Fourier cho hàm thuộc L (R) Bất đẳng thức Holder 1.7 Các kết 10 2.1 Chỉnh hóa toán (5)-(7) 10 2.2 Ví dụ minh họa toán (5)-(7) 16 2.3 Chỉnh hóa toán (9)-(10) 21 2.4 Ví dụ minh họa cho toán 25 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tất Quý Thầy Cô tận tình giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quan trọng suốt thời gian học khoa Sư phạm Toán trường Đại học Vinh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy hướng dẫn Thầy PGS TS Phạm Hoàng Quân, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ vượt qua khó khăn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình động viên, chỗ dựa vững chắc, tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành chương trình học tập luận văn cao học Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu xem xét góp ý cho điểm thiếu sót để luận văn đầy đủ xác Rất mong nhận bảo quý báu Quý Thầy Cô Xin chân thành cảm ơn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2015 Tác giả La Thanh Hùng Một số kí hiệu dùng luận văn Trong luận văn này, ta có kí hiệu sau C[0,T ] : chuẩn không gian C[0, T ] : chuẩn không gian L (R) : chuẩn không gian L (0, π) H (R) : chuẩn không gian H (R) H (R) : chuẩn không gian H (R) t F (t) = k(s)ds với k(.) hệ số dẫn nhiệt xác phụ thuộc vào thời gian phương trình parabolic t Fε (t) = kε (s)ds với kε (.) hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu phụ thuộc vào thời gian phương trình parabolic f(ω) = √1 2π +∞ −∞ f (x)e−iωx dx(ω ∈ R): biến đổi Fourier hàm f ∈ L (R) Lời nói đầu Trong năm gần đây, toán nhiệt ngược thời gian nghiên cứu nhiều tác Hào (xem [3, 13]), Fu (xem [1, 9]), David (xem [2]) Các tác giả khảo sát toán ngược thời gian cho nhiều loại phương trình nhiệt phương trình nhiệt với hệ số hằng, hệ số phụ thuộc thời gian, nguồn nhiệt phi tuyến, ) Trong báo [1], Fu đồng tác giả khảo sát toán nhiệt ngược thời gian với hệ số miền không bò chặn sau ∂u (x, t) ∂t u(x, T ) ∂ 2u (x, t), ∂x2 = ϕ(x), = (x, t) ∈ R × (0, T ), x ∈ R (1) (2) Sử dụng phương pháp chỉnh hóa Fourier, tác giả thu ước lượng sai số cấp độ Holder thời điểm < t < T ước lượng sai số dạng logarit thời điểm ban đầu t = Trong [3], Hào Đức khảo sát toán (1)-(2) thu kết tương tự họ sử dụng phương pháp khác (phương pháp mollification) Năm 2008, Tuấn Trọng (xem [5]) tiến hành chỉnh hóa trường hợp không toán (1)-(2) miền bò chặn phương pháp tựa giá trò biên có điều chỉnh Một năm sau đó, Tuấn Trọng [6] sử dụng phương pháp quen thuộc phương pháp chặt cụt để mở rộng kết nghiên cứu trước Ngoài ra, dạng tổng quát toán (1)-(2) khảo sát Nam (xem [8]) Cụ thể, tác giả sử dụng phương pháp chặt cụt để chỉnh hóa toán sau ut + Au(t) = u(T ) = f (t, u(t)), < t < T (3) ϕ, (4) A toán tử tự liên hợp dương f hàm Lipschitz Gần đây, toán (1)-(2) (3)-(4) khảo sát trường hợp hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian (xem [10, 11, 13, 14]) Đây hướng nghiên cứu xuất phát từ thực tế mà hệ số dẫn nhiệt vật thể phụ thuộc vào vật liệu vật nhiên vật thể thực tế thường không đồng Hơn nữa, vật thể biến đổi theo thời gian trình ăn mòn, oxi hóa, hệ số dẫn nhiệt số Hơn nữa, trường hợp theo biết chưa nghiên cứu Vì lí đó, luận văn chọn đề tài Chỉnh hóa toán parabolic ngược với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu Trong luận văn này, xét toán tìm nhiệt độ u(x, t), (x, t) ∈ [0, π] × [0, T ] thỏa mãn toán ngược thời gian cho phương trình parabolic tuyến tính với hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian bò nhiễu miền bò chặn [0, π] miền không bò chặn R Như vậy, liệu toán gồm hai thành phần phân bố nhiệt thời điểm cuối g(·) hệ số dẫn nhiệt k(·) Bài toán 1: Xét miền bò chặn [0, π] ∂u (x, t) = ∂t u(0, t) = u(x, T ) = ∂ 2u (x, t), ∂x2 u(π, t) = 0, g(x), k(t) (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ), t ∈ [0, T ], x ∈ (0, π), (5) (6) (7) với (g, k) liệu có đo đạc thỏa g ∈ L (0, π) k : [0, T ] → (0, ∞) hàm liên tục cho tồn p, q > (8) < p ≤ k(t) ≤ q, với ≤ t ≤ T Bài toán 2: Xét miền không bò chặn R ∂u (x, t) ∂t u(x, T ) ∂ 2u = k(t) (x, t), ∂x = g(x), (x, t) ∈ R × [0, T ), x ∈ R, (9) (10) với (g, k) liệu có đo đạc thỏa g ∈ L (R) k : [0, T ] → (0, ∞) hàm liên tục thỏa (8) Cấu trúc luận văn chia thành chương Cụ thể: + Chương 1: Kiến thức chuẩn bò Mục trình bày khái niệm toán chỉnh, toán không chỉnh, bất đẳng thức, mệnh đề, đònh lí, đònh nghóa, phép biến đổi sử dụng trình trình bày luận văn + Chương 2: Chỉnh hóa ước lượng sai số toán parabolic ngược với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu miền bò chặn [0, π] miền không bò chặn R Đưa số ví dụ minh họa cho kết Cuối phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Kiến thức liên quan 1.1 Bài toán chỉnh, toán không chỉnh Đònh nghóa 1.1.1 Bài toán chỉnh: Cho X Y không gian đònh chuẩn, K : X −→ Y ánh xạ Phương trình Kx = y gọi chỉnh thỏa điều kiện sau đây: i) Sự tồn tại: Với y ∈ Y , có x ∈ X cho Kx = y ii) Sự nhất: Với y ∈ Y , có nhiều x ∈ X với Kx = y iii) Tính ổn đònh: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào liệu y, tức với dãy (x n ) ⊂ X cho Kx n −→ Kx (tức dãy liệu nhiễu hội tụ đến dãy liệu xác n −→ ∞) x n −→ x (tức dãy nghiệm nhiễu hội tụ đến nghiệm xác n −→ ∞) Đònh nghóa 1.1.2 Bài toán không chỉnh: Bài toán gọi không chỉnh không thỏa điều kiện toán chỉnh 1.2 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz Cho n ∈ N, k = 1, n x k , yk ∈ R, ta có n xk yk k=1 n ≤ n x2k k=1 yk2 k=1 1.3 Mệnh đề giới hạn hàm số Với x ∈ R, ta có mệnh đề sau i) ex − ln (1 + x) lim = 1; lim = x→0 x→0 x x ii) Với k ∈ N, ex = +∞; x→+∞ xk lim lim xk ex = x→−∞ iii) Với k ∈ N, ln x = 0; lim xk ln x = x→+∞ xk x→0 lim 1.4 Các không gian hàm Ta kí hiệu Ω tập đo R k Đònh nghóa 1.4.1 (Đònh nghóa không gian L p (Ω)) Cho f đo Ω Nếu |f | p (1 ≤ p < ∞) khả tích Ω ta đònh nghóa f Lp (Ω) p p = Ω |f | dx Tập hợp tất hàm f thỏa |f | p (1 ≤ p < ∞) khả tích Ω ký hiệu Lp (Ω) Đònh lí 1.4.1 Cho ≤ p < ∞, (Lp (Ω), Lp (Ω) ) không gian Banach Đònh nghóa 1.4.2 Cho tập mở Ω ⊆ R k , k ∈ N Ta đặt L1loc (Ω) = f : Ω → R đo : f ∈ L1 (ω) với ω ⊆ Rk thỏa ωlà tập compăc chứa Ω} Đònh nghóa 1.4.3 (Đạo hàm suy rộng) Cho f ∈ L 1loc (Ω), α = (α1 , , αk ) ∈ Zk , αi ≥ (i = 1, , k) Hàm gα ∈ L1loc (Ω) gọi đạo hàm riêng suy rộng thứ α f f D α ϕdx = (−1)|α| Ω gα ϕdx, Ω với ϕ ∈ Cc∞ (Ω) Ở đây, |α| = α + + αk D α ϕ = ∂ |α| ϕ α α ∂x1 ∂xk k Đònh nghóa 1.4.4 (Không gian Sobolev) Với m ∈ N, ≤ p ≤ ∞, ta đònh nghóa W m,p (Ω) = {f ∈ Lp (Ω) : D α f ∈ Lp (Ω), |α| ≤ m} p với chuẩn f W m,p (Ω) Dαf = |α|≤m p Lp (Ω) Đặc biệt, p = 2, ta kí hiệu H m (Ω) = W m,2 (Ω) Đònh lí 1.4.2 Không gian Hm (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng D α f D α gdx f, g = |α|≤m Ω Đònh lí 1.4.3 Cho T > X không gian Banach với chuẩn X Không gian C([0, T ]; X) không gian Banach gồm tất hàm liên tục u : [0, T ] → X với chuẩn u C([0,T ];X) = sup u(t) X t∈[0,T ] Khi X = R, ta viết C([0, T ]; X) = C[0, T ] 1.5 Khai triển Fourier Đònh lí 1.5.1 (Khai triển Fourier Sin) Với f ∈ L2 (0, π), ta có khai triển Fourier Sin f sau f (x) = ∞ bn sin(nx), (0 < x < π), n=1 bn = π π f (x)sin(nx)dx, (n ≥ 1) hệ số khai triển Fourier Sin Đònh lí 1.5.2 (Đẳng thức Parseval) Với f ∈ L2 (0, π), ta có f 2 π = ∞ n=1 |bn |2 1.6 Biến đổi Fourier 1.6.1 Các đònh nghóa tính chất biến đổi Fourier Đònh nghóa 1.6.1 Cho f ∈ L1 (R), ta đònh nghóa biến đổi Fourier f f (w) = √ 2π ∞ f (x) e−iwx dx, −∞ với w ∈ R Khi đó, ta đònh nghóa biến đổi Fourier ngược f f (x) = √ 2π ∨ ∞ −∞ f (x) eiwx dw Tính chất 1.6.2 Cho f, g ∈ L1 (R), c số thuộc R Khi đó, ta có i) f + g = f + g, ii) c f = c f , ∞ −∞ iii) f ∗ g = f g, với (f ∗ g)(x) = 1.6.2 f (x − y) g(y) dy Biến đổi Fourier cho hàm thuộc L2 (R) Đònh lí 1.6.1 (Đònh lí Plancherel) Với f ∈ L2 (R), N > 0, ta đặt FN {f }(w) = √ 2π N f (x) e−iwx dx, −N với w ∈ R Khi đó, a) FN {f } hội tụ L2 (R) đến hàm F {f } N → ∞ Hơn F {f } 2 = ∞ F {f }(w) dw = −∞ ∞ f (x) dx = −∞ f b) Nếu f ∈ L2 (R) ∩ L1 (R) F {f } = f h.k.n R c) Đặt N gN (x) = √ F {f }(w) eixw dw, π −N d) gN hội tụ L2 (R) đến f N → ∞ F toán tử đẳng cấu từ L2 (R) vào L2 (R) 1.7 Bất đẳng thức Holder Giả sử ≤ p , q ≤ ∞, p + q = 1, Ω ⊂ R Khi f ∈ L p (Ω), g ∈ Lq (Ω) f.g ∈ L1 (Ω) f g dx ≤ Ω f Lp (Ω) g Lq (Ω) 10 Chương Các kết Trong chương 2, kết tham khảo báo [15], [16]; trình bày chứng minh chi tiết kết chỉnh hóa toán parabolic ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu miền bò chặn [0, π] miền không bò chặn R 2.1 Chỉnh hóa toán (5)-(7) Trong tiểu mục 2.1, xét (g ε , kε ), (g, k) ∈ L2 (0, π) × C[0, T ] liệu đo đạc liệu xác cho g ε − g ≤ ε kε − k C[0,T ] ≤ ε Áp dụng khai triển chuỗi Fourier, tìm nghiệm toán (5)-(7) sau u(x, t) = ∞ m=1 g m  exp m2 T t  k(s)ds gm sin(mx), (x, t) ∈ [0, π] × [0, T ], (2.1) π = π g(x) sin(mx)dx Sử dụng phương pháp chặt cụt chuỗi, có nghiệm chỉnh hóa tương ứng với liệu (g, k), (g, k ε ) (gε , kε ) sau uε (g, k)(x, t) = m cho với ε ∈ (0; δ), ta có uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) C1 = + M ≤ C1 ln 1ε g + (2M T ) u(., t) H (R) Chứng minh Với < ε ≤ maxt∈[0;T ] k(t), ta có |kε (t)| − |k(t)| ≤ kε − k < ε ≤ max k(t), t∈[0;T ] |kε (t)| < max k(t) + max k(t) = M, t∈[0;T ] t∈[0;T ] 23 với t ∈ [0, T ] Từ (2.15) (2.16), ta đánh giá |uε (gε , kε ) (w, t) − uε (g, kε ) (w, t)|2 = e2w (Fε (T )−Fε (t)) = e2w RT ≤ e2w t kε (s)ds M(T −t) |gε (w) − g(w)|2 χ2[−bε ,bε ] (w) |gε (w) − g(w)|2 χ2[−bε ,bε ] (w) |gε (w) − g(w)|2 χ2[−bε ,bε ] (w) Suy 2 uε (gε , kε ) (., t) − uε (g, kε ) (., t) bε ≤ e2w M(T −t) −bε |gε (w) − g(w)|2 dw e2bε M(T −t) ε2 , ≤ e2bε MT ε2 ≤ Do đó, ta có uε (gε , kε ) (., t) − uε (g, kε ) (., t) Từ (2.16), (2.17) bổ đề 2.1.2, suy tồn δ ε ∈ (0; δ ) ta có |uε (g, kε ) (w, t) − uε (g, a) (w, t)| = |ew = ew = ew (Fε (T )−Fε (t)) (F (T )−F (t)) RT t b2ε T M ≤ e k(s)ds − ew |ew |ew 2 (F (T )−F (t)) (kε (s)−k(s))ds 2b2ε T ε|g(w)|χ[−bε ,bε ] (w) > cho với ||g(w)|χ[−bε ,bε ] (w) (Fε (T )−Fε (t)−F (T )+F (t)) RT t (2.19) ≤ ebε MT ε − 1||g(w)|χ[−bε ,bε ] (w) − 1||g(w)|χ[−bε ,bε ] (w) Từ bε uε (g, kε ) (., t) − uε (g, a) (., t) ≤ = = b2ε T M e −bε 2b2ε T ε|g(w)| 4b4ε e2bε T M T ε2 b2ε T M 2b2ε e bε −bε (F (T )−F (t)) dw |g(w)|2 dw T ε g Từ (2.14) (2.17), ta có |uε (g, a)(w, t) − u(w, t)| = ew 2 |g(w)|χR\[−bε ,bε ] (w) (2.20) 24 = |u(w, t).χR\[−bε ,bε ] (w)| Do đó, ta uε (g, a)(., t) − u(., t) 2 = R\[−bε ,bε ] w2 |u(w, t)|2 dw w2 |wu(w, t)|2 dw bε R\[−bε ,bε ] u(., t) 2H (R) bε u(., t) 2H (R) b2ε ≤ ≤ = (2.21) Từ (2.18), (2.19), (2.20) (2.21), ta ước lượng uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) 2 ≤ ebε T M ε + 2b2ε ebε T M T ε g Nếu ta chọn b ε cho e bε T M = bε = √1 ε + u(., t) H (R) bε ln 1ε 2M T Do uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) Vì √ ≤ ε+ √ ε ln 1ε g M √ ε ln 1ε √ limε→0 ε ln 1ε limε→0 2 = 0, = 0, nên tồn δ > cho với ε ∈ (0, δ ) √ √ nghóa ε ln 1ε ε ln 1ε < 1, < 1, √  ,  ε< (ln 1ε ) √ 1   ε ln ε < ln ( 1ε ) + (2M T ) u(., t) ln 1ε H (R) 25 Vậy với ε ∈ (0; δ) với δ = min{δ , δ , M }, ta có uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) ≤ 1+ g M + (2M T ) u(., t) H (R ) ln ε Suy uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) C1 ≤ ln ε , 1 C = + M g + (2M T ) u(., t) Kết thúc chứng minh H (R) 2.4 Ví dụ minh họa cho toán Xét toán parabolic ngược thời gian tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian miền không bò chặn R ut (x, t) = u(x, 1) = (2.22) (2.23) (x, t) ∈ R × [0, 1], x ∈ R, k(t)uxx (x, t), g(x), −x2 k(t) = 2t + 1; g(x) = √ e 12 t −3w Suy g(w) = e ; F (t) = (2s + 1)ds = t2 + t Bằng phương pháp biến đổi Fourier, ta có u(w, t) = ew (F (1)−F (0)) g(w) = ew (2−t2 −t) −3w2 e = e−w (t2 +t+1) Xét liệu đo sau gε (x) = kε (t) = Khi đó, g ε − g hóa (2.15) 1+ε = = = ew ew ew g(x), 2t + + ε ≤ ε kε − k uε (gε , kε )(w, 0) π C[0,T ] ≤ ε Với t = 0, ta có nghiệm chỉnh (Fε (1)−Fε (0)) (2+ε) (ε−1) gε (w).χ[−bε ;bε ] (w) 1+ε π 1+ε π e−3w χ[−bε ;bε ] (w) χ[−bε ;bε ] (w) (2.24) Ta có bảng sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa t = 26 Bảng 2.1 Sai số thời điểm t = ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε = 10−1 = 10−2 = 10−3 = 10−4 = 10−5 uεi (gεi , kεi )(., 0)−u(., 0) 6.996120860 × 10−1 5.196825975 × 10−1 4.023413526 × 10−1 3.161395024 × 10−1 2.506163063 × 10−1 Tiếp theo, có hình vẽ minh họa nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa thời điểm t = Hình 2.1: Nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa u t = εi (gεi , kεi ) thời điểm 27 Kết luận Trong luận văn này, trình bày chi tiết kết chỉnh hóa toán parabolic ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu miền bò chặn [0, π] miền không bò chặn R đưa đánh giá sai số cụ thể nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác toán cấp Holder cấp logarit Cuối cùng, đưa số ví dụ minh họa cho tính hiệu phương pháp chỉnh hóa 28 Tài liệu tham khảo [1] C L Fu, X T Xiong, Z Qian, (2007), Fourier regularization for a backward heat equation, J Math Anal Appl., 331, pp 472 480 [2] D Colton, (1979), The Approximation of Solutions to the Backwards Heat Equation in a Nonhomogeneous Medium, J Math Anal Appl., 72, pp 418429 [3] D N Hao, N V Duc, (2009), Stability results for the heat equation backward in time, J Math Anal Appl., 353, pp 627-641 [4] L Fushan, (2009), Backward solutions to Neumann and Dirichlet problems of heat-conduction equation, Applied Mathematics and Computation, 210, pp 211-214 [5] D.D Trong, N.H Tuan, (2008), A nonhomogeneous backward heat problem: regularization and error estimates, Electron J Diff Eq., 33, pp 1-14 [6] N H Tuan, D D Trong, (2009), A new regularized method for two dimensional nonhomogeneous backward heat problem, Applied Mathematics and Computation, 215, pp 873-880 [7] N H Tuan, D D Trong, P H Quan, (2010), On a backward Cauchy problem associated with continuous spectrum operator, Nonlinear Analysis, 73, pp 1966-1972 [8] Phan Thanh Nam, (2010), An approximate solution for nonlinear backward parabolic equations, J Math Anal Appl., 367, pp 337-349 [9] Z Qian, C L Fu, R Shi, (2007), A modified method for a backward heat conduction problem, Applied Mathematics and Computation, 185, pp 564573 [10] L M Triet, P H Quan, D D Trong, N H Tuan, (2013), A backward parabolic equation with a time-dependent coefficient Regularization and error estimates, Journal of Computational and Applied Mathematics, 237, pp 432 441 [11] P H Quan, D D Trong, L M Triet, N H Tuan, (2011), A modified quasi-boundary value method for regularizing of a backward problem with time-dependent coefficient, Inverse Problems in Science and Engineering, 19: 3, pp 409 - 423 29 [12] A Shidfar, A Zakeri, (2005), A numerical technique for backward inverse heat conduction problems in one-dimensional space, Applied Mathematics and Computation, 171, pp 1016-1024 [13] D N Hao, N V Duc, (2011), Stability results for backward parabolic equations with time-dependent coefficients, Inverse problems, 27, 025003 (20pp) [14] Nguyen Huy Tuan, Pham Hoang Quan, Dang Duc Trong, Le Minh Triet, (2013), On a backward heat problem with time-dependent coefficient Regularization and error estimates, Applied Mathematics and Computation, 219, pp 6066 6073 [15] Pham Hoang Quan, Le Minh Triet, Le Duy Hien, (2013), Regularizing an inverse problem for parabolic equation with perturbed time-dependent coefficients, Kỷ yếu Hội nghò quốc tế ứng dụng Toán học, NXB Thông tin Truyền thông [16] Quan P H., Triet L M., Trong D D., (2014), On a backward nonlinear parabolic equation with time and space dependent thermal conductivity: Regularization and error estimates, J Inverse Ill-Posed Probl., Vol 22, pp 375-402 [...]... (t)) 2 RT t b2 ε T M ≤ e k(s)ds − ew |ew |ew 2 2 (F (T )−F (t)) (kε (s)−k(s))ds 2b2 ε T ε|g(w)|χ[ b ,b ] (w) 1 > 0 sao cho với mọi ||g(w)|χ[ b ,b ] (w) (Fε (T )−Fε (t)−F (T )+F (t)) RT t 2 (2.19) ≤ ebε MT ε 2 − 1||g(w)|χ[ b ,b ] (w) − 1||g(w)|χ[ b ,b ] (w) Từ đó b uε (g, kε ) (., t) − uε (g, a) (., t) 2 ≤ = = b2 ε T M e b 2b2 ε T ε|g(w)| 2 4b4 ε e 2b T M T 2 ε2 b2 ε T M 2b2 ε e b b 2 (F (T )−F... hóa tại < /b> thời điểm < /b> t = 0 Hình 2.1: Nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa u t = 0 εi (gεi , kεi ) tại < /b> thời điểm < /b> 27 Kết luận Trong < /b> luận văn này, chúng tôi đã trình b y chi tiết các < /b> kết quả chỉnh hóa b i toán parabolic ngược thời gian < /b> với hệ số dẫn nhiệt b nhiễu trong < /b> miền b chặn [0, π] và miền không < /b> b chặn R và đưa ra các < /b> ánh < /b> giá sai số cụ thể giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác của < /b> b i toán ở... |g(w)|χR\[ b ,b ] (w) (2.20) 24 = |u(w, t).χR\[ b ,b ] (w)| Do đó, ta được uε (g, a)(., t) − u(., t) 2 2 = R\[ b ,b ] w2 |u(w, t)|2 dw w2 1 |wu(w, t)|2 dw 2 b R\[ b ,b ] 1 u(., t) 2H 1 (R) 2 b 1 u(., t) 2H 1 (R) b2 ε ≤ ≤ = (2.21) Từ (2.18), (2.19), (2.20) và (2.21), ta ước lượng uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) 2 2 2 ≤ ebε T M ε + 2b2 ε ebε T M T ε g 2 Nếu ta chọn b ε sao cho e b T M = b = √1... 2 t kε (s)ds M(T −t) |gε (w) − g(w)|2 χ2[ b ,b ] (w) |gε (w) − g(w)|2 χ2[ b ,b ] (w) |gε (w) − g(w)|2 χ2[ b ,b ] (w) Suy ra 2 2 uε (gε , kε ) (., t) − uε (g, kε ) (., t) b ≤ e2w 2 M(T −t) b |gε (w) − g(w)|2 dw 2 e 2b M(T −t) ε2 , ≤ 2 e 2b MT ε2 ≤ Do đó, ta có uε (gε , kε ) (., t) − uε (g, kε ) (., t) 2 Từ (2.16), (2.17) và b đề 2.1.2, suy ra tồn < /b> tại < /b> δ ε ∈ (0; δ 1 ) ta có |uε (g, kε ) (w,... backward problem with time-dependent coefficient, Inverse Problems in Science and Engineering, 19: 3, pp 409 - 423 29 [12] A Shidfar, A Zakeri, (2005), A numerical technique for backward inverse heat conduction problems in one-dimensional space, Applied Mathematics and Computation, 171, pp 1016-1024 [13] D N Hao, N V Duc, (2011), Stability results for backward parabolic equations with time-dependent coefficients,... nghiệm chỉnh hóa 22 cho b i toán (9)-(10) tương ứng với các < /b> dữ liệu (g ε , kε ), (g, kε ) và (g, k) như sau uε (gε , kε )(x, t) uε (g, kε )(x, t) uε (g, a)(x, t) 1 √ 2π = 1 √ 2π = 1 √ 2π = +∞ ew 2 (Fε (T )−Fε (t)) gε (w)eiwx χ[ b ,b ] (w)dw, −∞ (2.15) +∞ ew 2 (Fε (T )−Fε (t)) g(w)eiwx χ[ b ,b ] (w)dw, −∞ (2.16) +∞ ew 2 (F (T )−F (t)) g(w)eiwx χ[ b ,b ] (w)dw, −∞ (2.17) trong < /b> đó b ε → + ∝ khi ε → 0... (., t) − u(., t) 2 C1 ≤ ln 1 ε 1 2 , 1 1 trong < /b> đó C 1 = 1 + M g 2 + (2M T ) 2 u(., t) Kết thúc chứng minh H 1 (R) 2.4 Ví dụ minh họa cho b i toán 2 Xét b i toán parabolic ngược thời gian < /b> tuyến tính thuần nhất với hệ số phụ thuộc thời gian < /b> trong < /b> miền không < /b> b chặn R ut (x, t) = u(x, 1) = (2.22) (2.23) (x, t) ∈ R × [0, 1], x ∈ R, k(t)uxx (x, t), g(x), 1 −x2 trong < /b> đó k(t) = 2t + 1; g(x) = √ e 12 6 2... 4 χ[ b ;b ] (w) (2.24) Ta có b ng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại < /b> t = 0 26 B ng 2.1 Sai số tại < /b> thời điểm < /b> t = 0 ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε = 10−1 = 10−2 = 10−3 = 10−4 = 10−5 uεi (gεi , kεi )(., 0)−u(., 0) 6.996120860 × 10−1 5.196825975 × 10−1 4.023413526 × 10−1 3.161395024 × 10−1 2.506163063 × 10−1 Tiếp theo, chúng ta có các < /b> hình vẽ minh họa của < /b> nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại.< /b> .. liệu đo (gε , kε ) Khi đó, chúng ta có các < /b> phát biểu sau i) Nếu u là nghiệm chính xác của < /b> b i toán (5)-(7) thỏa mãn 1 2q u(., T ) + u(., 0) < ∞ thì tồn < /b> tại < /b> δ > 0 sao cho uε (gε , kε )(., t) − u(., t) ≤ 1+ 1 u(., T ) + u(., 0) 2q pt ε 4qT , với mọi ε ∈ (0, δ) ii) Nếu u là nghiệm chính xác của < /b> b i toán (5)-(7) thỏa mãn 1 2q u(., T ) +4qT uxx (., 0) < ∞ thì tồn < /b> tại < /b> δ > 0 sao cho uε (gε , kε )(., t) −... (2009), Backward solutions to Neumann and Dirichlet problems of heat-conduction equation, Applied Mathematics and Computation, 210, pp 211-214 [5] D.D Trong,< /b> N.H Tuan, (2008), A nonhomogeneous backward heat problem: regularization and error estimates, Electron J Diff Eq., 33, pp 1-14 [6] N H Tuan, D D Trong,< /b> (2009), A new regularized method for two dimensional nonhomogeneous backward heat problem, Applied ... lí 1.4.2 Không gian Hm (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng D α f D α gdx f, g = |α|≤m Ω Đònh lí 1.4.3 Cho T > X không gian Banach với chuẩn X Không gian C([0, T ]; X) không gian Banach gồm... văn Trong luận văn này, ta có kí hiệu sau C[0,T ] : chuẩn không gian C[0, T ] : chuẩn không gian L (R) : chuẩn không gian L (0, π) H (R) : chuẩn không gian H (R) H (R) : chuẩn không gian. .. (s)−k(s))ds 2b2 ε T ε|g(w)|χ[ b ,b ] (w) > cho với ||g(w)|χ[ b ,b ] (w) (Fε (T )−Fε (t)−F (T )+F (t)) RT t (2.19) ≤ ebε MT ε − 1||g(w)|χ[ b ,b ] (w) − 1||g(w)|χ[ b ,b ] (w) Từ b uε (g, kε