1 B GIO DC V O TO Trờng đại học Vinh INH TH PHNG VI VN XUNG QUANH GI THUYT NG D ABC Luận văn thạc sĩ toán học NGHệ AN - 2015 B GIO DC V O TO Trờng đại học Vinh INH TH PHNG VI VN XUNG QUANH GI THUYT NG D ABC CHUYấN NGNH: I S V Lí THUYT S Mó s: 60 46 01 04 Luận văn thạc sĩ toán học Ngi hng dn khoa hc PGS.TS NGUYN THNH QUANG NGHệ AN - 2015 MC LC Trang M U CHNG NHNG KIN THC S HC C S 1.1 Iờan v cn 1.2 o hm 10 1.3 Bt ng thc Diophant i vi cỏc a thc h s phc 10 CHNG GI THUYT ABC NG D 2.1 Gi thuyt ABC 23 2.2 Gi thuyt ABC ng d 24 Kt lun .31 TI LIU THAM KHO 32 M U Gi thuyt ABC c xut c lp bi David Masser v Joseph Oesterle vo nm 1985 ([1, 6, 9]) Gi thuyt ABC Gi s a, b, c l cỏc s nguyờn khỏc 0, nguyờn t cựng v tho h thc a + b = c Khi ú, vi mi s > , tn ti mt s K ( ) cho max ( a , b , c ) K ( )rad (abc)1+ , ú rad (abc ) l cn ca abc Nhiu nh toỏn hc ó n lc c gng chng minh gi thuyt Nm 2007, nh toỏn hc Phỏp Lucien Szpiro, m cụng vic ca ụng vo nm 1978 ó dn n nhng phng oỏn ABC v ó l ngi u tiờn tuyờn b chng minh c nú, nhng sau ú ó sm tỡm thy cú nhng thiu sút Andrew Granville thuc i hc Montreal nhn xột "Gi thuyt ABC thot nhỡn thỡ n gin so vi nhng cõu hi sõu sc Lý thuyt s Tuy nhiờn, phng oỏn k l ny tng ng vi tt c nhng chớnh ú l trung tõm ca nhng bi toỏn ang c nghiờn cu Gi thuyt ABC cng ó c mụ t nh l mt lý thuyt thng nht ca h thng s, ú nhiu nh lý quan trng khỏc lp tc tr thnh h qu Chng hn, nh lý Fermat tim cn l mt h qu trc tip ca gi thuyt ABC; cng t gi thuyt ny ngi ta cng cú th chng minh c phng trỡnh Brocard ch cú hu hn nghim nguyờn dng, Trong mt bi bỏo trờn The Sciences nm 1996, Dorian Goldfeld giỏo s ca i hc Columbia cho bit Gi thuyt ABC i vi cỏc nh toỏn hc nú thc s p, hn na tin dng Nh gi thuyt ABC rt nhiu Diophantine bt ng c liờn kt li mt phng trỡnh nht t ú cho cm giỏc rng tt c cỏc nhỏnh toỏn hc u thuc mt th thng nht Khụng cú gỡ ỏng ngc nhiờn cỏc nh toỏn hc ang ht sc n lc chng minh iu ú Goldfeld so sỏnh gi thuyt ABC ging nh nhng nh him trc mt vỏch ỏ thng ng c gng kim tỡm nhng mch nh trờn mt ỏ vi hy vng rng mt s ú s cho h ng dn n nh nỳi Cng theo Goldfeld, Nu chng minh gi thuyt ABC c khng nh thỡ cỏc nh toỏn hc s thy c cụng c rt mnh gii quyt cỏc lý thuyt s v s l mt nhng thnh tu ỏng kinh ngc nht ca toỏn hc ca th k 21 V bõy gi, mt nhng nh him cú th ó chm n nh nỳi Theo Nature News, Mochizuki - nh toỏn hc ti i hc Kyoto ngi ó chng minh nhiu nh lý sõu sc quỏ kh, tuyờn b gii c bi toỏn ABC Tuy nhiờn, s cn mt khong thi gian di cỏc nh toỏn hc kim chng tớnh ỳng n chng minh ca Mochizuki Gi thuyt ABC cú th ó c gii" v tờn nh toỏn hc Shinichi Mochizuki xut hin liờn tc trờn nhiu t bỏo my tun u thỏng nm 2014, thm trờn c mt s khụng phi ca toỏn nh Nature, New York Times, Telegraph Tin c bit ny xut phỏt t vic giỏo s Mochizuki ca vin Nghiờn cu cỏc khoa hc v Toỏn (RIMS), i hc Kyoto, Nht Bn, a lờn trang cỏ nhõn ca ụng bn bi bỏo di tng cng khong 500 trang m phn cui cựng dn n chng minh ca gi thuyt ABC v mt s gi thuyt quan trng khỏc [5] Gi thuyt ABC c ỏnh giỏ l mt nhng gi thuyt khú v quan trng nht ca lý thuyt s hin nay, li gii ca nú s a n cõu tr li cho mt lot lý thuyt s, ú cú li gii khỏc ca Bi toỏn Fermat Vỡ vy li gii ca Mochizuki nu ỳng s to mt cuc cỏch mng mt s lnh vc toỏn hc v s l mt thnh tu quan trng ca toỏn hc na u th k XXI Hin li gii ny ang c kim tra bi cỏc chuyờn gia [5] Theo V H Vn (Nht ký Yale 23-2014), ó cú ngi ó ch mt ch sai chng minh ca Mochizuki v hin Mochizuki cha cú cõu tr li Cú th lm yu gi thuyt ABC bi gi thuyt sau õy: Gi thuyt ng d ABC [6] Gi s a, b, c l cỏc s nguyờn khỏc 0, nguyờn t cựng v tho ng d thc abc 0(mod m) v h thc a + b = c Khi ú, vi mi s > , tn ti mt s K (m, ) cho max ( a , b , c ) K (m, )rad (abc)1+ , ú rad (abc ) l cn ca abc Tuy nhiờn, nu gi thuyt ng d ABC c chng minh, vi mt s nguyờn dng m no ú thỡ t ú cú th suy gi thuyt ABC l ỳng [6] Vic nghiờn cu s m rng ca gi thuyt ABC vnh s nguyờn, vnh a thc cng nh trờn trng hm ó v ang c nhiu nh toỏn hc v ngoi nc quan tõm Vo nm 2001, Hu v Yang (Trung Quc) ó chng minh gi thuyt ABC cho cỏc hm chnh hỡnh p-adic Nm 2014, C Toropu (M) ó bo v thnh cụng lun ỏn tin s vi ti nh lý ABC trng hp hm [10], ú cú cỏc ỏnh giỏ v bỡnh lun v kt qu gn õy ca Nguyn Thnh Quang, Phan c Tun v lnh vc ny [7] Cỏc tỏc gi H Huy Khoỏi, V Hoi An, on Quang Mnh, ó chng minh gi thuyt ABC vi cỏc hm chnh hỡnh phc hoc p-adic nhiu bin Vi nhng lý nh ó núi trờn, chỳng tụi la chn ti lun Vi xung quanh Gi thuyt ng d ABC nhm tỡm hiu sõu hn nhng kt qu s hc cú liờn quan n cỏc gi thuyt ny Ngoi phn m u, kt lun v ti liu tham kho, lun ny gm cú hai chng Chng trỡnh by cỏc ni dung liờn quan n cỏc c s s hc cú liờn quan nh: Lý thuyt iờan vnh s nguyờn; Cn ca mt s nguyờn khỏc 0; Phộp o hm trờn vnh Chng cũn trỡnh by gi thuyt ABC tng quỏt v mt trng hp c bit ca gi thuyt ABC, ú l gi thuyt ng d ABC Ngoi ra, chng trỡnh by ni dung cú liờn quan n vic t gi thuyt ng d ABC suy c gi thuyt ABC Phng phỏp v cụng c nghiờn cu lun ny bao gm: - S dng cỏc khỏi nim v kt qu c s ca S hc; - S dng s tng t húa gia s nguyờn v a thc; - Dựng cụng c o hm trờn a thc v k thut ng d; - S dng k thut Wronskian trờn hm chnh hỡnh Lun c hon thnh di s hng dn tn tỡnh v chu ỏo ca thy giỏo hng dn PGS.TS Nguyn Thnh Quang Nhõn dp ny tụi xin by t lũng kớnh trng v bit n sõu sc ti thy giỏo hng dn khoa hc, ngi ó dnh nhiu thi gian v cụng sc giỳp tụi hon thnh lun ny Nhõn dp ny tụi xin gi li cm n n quý thy cụ giỏo thuc chuyờn ngnh i s v Lý thuyt s, Khoa S phm Toỏn hc, Phũng o to Sau i hc Trng i hc Vinh - ó tn tỡnh ging dy, hng dn v giỳp chỳng tụi hc v nghiờn cu Tỏc gi xin trõn trng cm n Trng i hc Kinh t Cụng nghip Long An ó to mi iu kin cho chỳng tụi hc hon thnh nhim v khúa hc Tuy ó cú nhiu c gng, song chc chn lun ny cũn nhiu thiu sút Tỏc gi rt mong nhn c s gúp ý, ch bo ca quý thy cụ giỏo v cỏc ng nghip Xin chõn thnh cm n c quan cụng tỏc, gia ỡnh, bn bố ó quan tõm giỳp tỏc gi sut thi gian hc sau i hc va qua TC GI CHNG NHNG KIN THC S HC C S Trong ton b lun ny, chỳng ta gi s rng R { 0} l vnh giao hoỏn cú n v 1.1 Iờan v cn 1.1.1 nh ngha Mt nhúm cng I ca vnh R c gi l iờan ca vnh R nu ar I,a I ,r R Vớ d: C R v { 0} u l iờan ca vnh R Tp hp cỏc s nguyờn chn lp thnh mt iờan ca vnh s nguyờn  Nu A l mt hp khỏc rng ca vnh R , ú hp tt c cỏc t hp tuyn tớnh cú dng: a1r1 + L + ak rk , A, ri R l mt iờan ca R , ký hiu bi A , v c gi l iờan sinh bi A Mt iờan sinh bi mt phn t a R c gi l iờan chớnh v ký hiu l a = aR = { ar : r R} Mt vnh chớnh l vnh m mi iờan nú u l iờan chớnh Chng hn, vnh  l vnh chớnh, vnh  m cng l vnh chớnh Mt iờan I vnh R c gi l iờan nguyờn t nu I R v ab I kộo theo a I hoc b I vi a,b I Ph (spectrum) ca vnh R, ký hiu bi Spec ( R ) l hp tt c cỏc iờan nguyờn t ca vnh R 1.1.2 nh lý Ph ca vnh s nguyờn  l Spec (  ) = { p : p P p = 0} Chng minh Vỡ  l vnh chớnh, nờn mi iờan ca  u cú dng d  , d Ơ Nu d = thỡ d  = { 0} l iờan nguyờn t Nu d = thỡ d  =  khụng l iờan nguyờn t Nu d = p l s nguyờn t v ab p thỡ kộo theo p l c ca ab Do p l s nguyờn t nờn p l c ca a hoc p l c ca b hay a p hoc b p T ú suy p l i ờan nguyờn t vi mi s nguyờn t p Nu d l hp s thỡ ta cú th vit d = ab, < a b < d Nu a d  thỡ a = dk = abk , vi k l s nguyờn dng no ú, dú ú 1= bk , mõu thun T ú suy a d  v tng t b d  Vỡ d = ab d  nờn suy d khụng l iờan nguyờn t Vy, iờan nguyờn t  l iờan cú dng p vi p l s nguyờn t hoc p = 1.1.3 nh ngha Mt phn t x ca vnh R c gi l phn t ly linh (nilpotent) nu tn ti s nguyờn dng k no ú cho x k = Chng hn, phn t (n v ca phộp cng) l phn t ly linh ca mi vnh; phn t (n v ca phộp nhõn) khụng l phn t ly linh ca mi vnh Tp hp tt c cỏc phn t ly linh ca vnh R c gi l cn (radical) ca vnh R v c ký hiu bi ( R) Ta cú ( ) = { 0} Cn ca vnh R l iờan thc s ca vnh R Cn ca vnh R l giao ca tt c cỏc iờan nguyờn t ca vnh R Mt bi toỏn t l hóy tớnh cn ca vnh  m cỏc lp ng d 1.1.4 nh ngha Vi mi s nguyờn khỏc khụng v s nguyờn t p, ta nh ngha p (n) l s nguyờn ln nht r cho p r chia ht n Nh vy, p (n) l s nguyờn khụng õm v p (n) v ch p l c ca n Nu p (n) = r thỡ ta núi rng ly tha p r chia ht ỳng n v ký hiu p r n Dng tiờu chun ca n l n=p p (n) pn 10 Giỏ tr p (n) c gi l giỏ tr p-adic ca n Ta cú: p (nm) = p (n) + p (m); n p (n !) = p ( m) m =1 1.1.5 Cn ca s nguyờn Tớch ca cỏc c nguyờn t (khụng k bi) ca s nguyờn m > , kớ hiu bi Sqp(m) , c gi l s nhõn t t (square free number) Núi khỏc i, s nhõn t t l s khụng chia ht cho bỡnh phng ca bt k s nguyờn t no Chng hn, Sqp(18) = ì = l s nhõn t t Cn ca mt s nguyờn m > l square-free number ln nht ca m , ngha l nú bng tớch tt c cỏc c nguyờn t phõn bit ca m : rad (m) = p pm Vớ d: rad (72) = rad (2.2.2.3.3) = 2.3 = ; rad (30) = rad (2.3.5) = 2.3.5 = 30 Nhn xột Gi s m, n > l cỏc s nguyờn Khi ú: 1) rad (mn) rad (m)rad (n) 2) rad (mn) = rad (m)rad (n) v ch m, n nguyờn t cựng 1.1.6 nh lý Gi s m v a l nhng s t nhiờn khỏc Khi ú, tn ti mt s nguyờn dng k cho m l c ca a k v ch rad (m) l c ca rad (a ) k Chng minh Ta cú m chia ht a k v ch p (m) p (a ) = k p (a) vi mi s nguyờn t p Nu tn ti mt s nguyờn t k cho m chia ht a k thỡ p (a) > p (m) v vỡ vy mi s nguyờn t chia ht m cng chia ht a iu ú suy rad (m) chia ht rad (a) 21 4) nh lý Mason l cụng c rt hiu qu cho phộp ta gii quyt nhng bi toỏn liờn quan n cỏc phng trỡnh a thc h s phc 1.3.2 nh lý sau cựng ca Fermat Nu n thỡ phng trỡnh Fermat x n + y n = z n khụng cú cỏc nghim cỏc s nguyờn dng Phng trỡnh Fermat cú nghim cỏc a thc vi n = , chng ( hn: t ) 2 ( + ( 2t ) = + t ) Bõy gi, ta s ng dng nh lý Mason chng minh nh lý sau cựng ca Fermat cho cỏc a thc, vi n 1.3.3 nh lý Nu n , thỡ thỡ phng trỡnh Fermat x n + y n = z n khụng cú cỏc nghim khỏc khụng cỏc a thc khỏc khụng, nguyờn t cựng v khụng ng thi l hng s Chng minh Gi s n v tn ti cỏc a thc x, y, z khỏc khụng khụng, nguyờn t cựng nhau, khụng ng thi l hng s cho x n + y n = z n p dng nh lý Mason vi a = x n , b = y n , c = z n Khi ú rad ( abc ) = rad ( x n y n z n ) = rad ( xyz ) n Vỡ deg ( x ) = n deg ( x ) cho nờn ta cú n deg ( x ) n max { deg ( x ) ,deg ( y ) ,deg ( z ) } { = max deg ( x n ) ,deg ( y n ) ,deg ( z n ) = max { deg ( a ) ,deg ( b ) ,deg ( c ) } } deg ( rad ( abc ) ) = deg ( rad ( xyz ) ) deg ( xyz ) = deg ( x ) + deg ( y ) + deg ( z ) Nh vy, s dng tớnh bỡnh ng ca cỏc a thc x, y, z ta cú: n deg ( x ) deg ( x ) + deg ( y ) + deg ( z ) 1; 22 n deg ( y ) deg ( x ) + deg ( y ) + deg ( z ) 1; n deg ( z ) deg ( x ) + deg ( y ) + deg ( z ) Cng ba ng thc trờn li vi nhau, ta thu c bt ng thc sau: n ( deg ( x ) + deg ( y ) + deg ( z ) ) ( deg ( x ) + deg ( y ) + deg ( z ) ) n ( deg ( x ) + deg ( y ) + deg ( z ) ) Chỳng ta gp phi mt mõu thun v nh lý sau cựng ca Fermat cho cỏc a thc c chng minh 1.3.4 nh lý Vi n , phng trỡnh x n + y n = khụng cú cỏc nghim cỏc hm phõn thc khỏc hng s x, y Ê ( t ) Chng minh Gi s n v tn ti cỏc hm phõn thc x = f h , y = Ê ( t) g k khỏc hng s cho x n + y n = z n Th vo phng trỡnh ny ta cú n n f h n n n n n n g ữ + k ữ = ( fk ) + ( gh ) = ( gk ) a + b = c , vi a = ( fk ) , b = ( gh ) , c = ( gk ) n n n Khụng mt tớnh tng quỏt, bng cỏch gin c nhõn t chung nu cú, chỳng ta cú th gi thit a, b, c nguyờn t cựng Mt khỏc n rad ( abc ) = rad ( f n g n h n k n ) = rad ( fghk ) ; deg ( fk ) = n deg ( fk ) T ú, ỏp dng nh lý Mason, ta thu c: 23 n deg ( fk ) n max { deg ( fk ) ,deg ( gh ) ,deg ( gk ) } { = max deg ( fk ) ,deg ( gh ) ,deg ( gk ) n n = max { deg ( a ) ,deg ( b ) ,deg ( c ) } n } deg ( rad ( abc ) ) = deg ( rad ( fghk ) ) deg ( fghk ) = deg ( fk ) + deg ( hg ) + deg ( gk ) Nh vy, s dng tớnh bỡnh ng ta cú ba bt ng thc sau xy ra: n deg ( fk ) deg ( fk ) + deg ( hg ) + deg ( gk ) ; n deg ( gh ) deg ( fk ) + deg ( hg ) + deg ( gk ) ; n deg ( gk ) deg ( fk ) + deg ( hg ) + deg ( gk ) Cng ba ng thc trờn li vi nhau, ta thu c bt ng thc sau: n ( deg ( fk ) + deg ( gh ) + deg ( gk ) ) ( deg ( fk ) + deg ( hg ) + deg ( gk ) ) n ( deg ( fk ) + deg ( hg ) + deg ( gk ) ) Chỳng ta gp phi mt mõu thun v nh lý c chng minh 1.3.5 nh lý Phng trỡnh Catalan x m y n = khụng cú nghim cỏc a thc khỏc hng s x, y Ê [ t ] vi cỏc s nguyờn m, n Chng minh Gi s m, n v tn ti cỏc a thc x, y Ê [ t ] khỏc hng s cho x m y n = t a = x m , b = y n , c = z = , ta cú a + b = c v rad ( abc ) = rad ( ab ) = rad ( xy ) Bõy gi, ỏp dng nh lý Mason ta thu c: 24 m deg ( x ) = deg ( x ) m { } max deg ( x ) ,deg ( y ) ,deg( z ) m n = max { deg ( a ) ,deg ( b ) ,deg ( c ) } deg ( rad ( abc ) ) = deg ( rad ( ab ) ) deg ( xy ) = deg ( x ) + deg ( y ) Nh vy, ta cú bt ng thc sau xy ra: m deg ( x ) deg ( x ) + deg ( y ) Tng t, chỳng ta cng cú n deg ( y ) deg ( x ) + deg ( y ) ; Gi k = { m, n} ta s cú ng thi hai bt ng thc sau k deg ( x ) deg ( x ) + deg ( y ) k deg ( y ) deg ( x ) + deg ( y ) Cng hai ng thc trờn li vi nhau, ta thu c bt ng thc sau: k ( deg ( x ) + deg ( y ) ) ( deg ( x ) + deg ( y ) ) k ( deg ( x ) + deg ( y ) ) Chỳng ta gp phi mt mõu thun v nh lý c chng minh 1.3.6 nh lý Gi s f v g l cỏc a thc khỏc hng s, nguyờn t cựng vnh Ê [ t ] Khi ú, ta cú bt ng thc tt sau: deg ( f g ) deg ( f ) + Chng minh t a = f , b = g , c = f g , cú a + b = c p dng nh lý Mason ta thu c bt ng thc sau: 25 3deg ( f ) = deg ( f ) { max deg ( f ) ,deg ( g ) ,deg ( f g ) max { deg ( a ) ,deg ( b ) ,deg ( c ) } } deg ( rad ( abc ) ) ( = deg fg ( f g ) ) deg ( f ) + deg ( g ) + deg ( f g ) Nh vy, ta cú bt ng thc: 3deg ( f ) deg ( f ) + deg ( g ) + deg ( f g ) Tng t ta cng cú bt ng thc: 2deg ( g ) deg ( f ) + deg ( g ) + deg ( f g ) Cng hai bt ng thc trờn ta cú bt ng thc sau: deg ( f ) 2deg ( f g ) Do ú, chỳng ta thu c bt ng thc cn chng minh: deg ( f g ) deg ( f ) + Chn f = t + 4t + 10t + g = t + 6t + 21t + 35t + 63 t Kim tra ta cú f g = 27t + 351 t + 216, 1 = deg ( f g ) = deg ( f ) + = ì6 + 2 Vớ d ny ch bt ng thc trờn l bt ng thc tt 26 CHNG GI THUYT ABC NG D 2.1 Gi thuyt ABC Gi thuyt ABC c xut c lp bi David Masser v Joseph Oesterle vo nm 1985 liờn quan n square-free number l s khụng chia ht cho bỡnh phng ca bt k s nguyờn t no Vớ d, tớch ca tt c cỏc c nguyờn t (khụng k bi) ca s nguyờn n - kớ hiu sqp(n) l mt square - free number 2.1.1 Gii thiu Cho a, b, c  * tha cỏc iu kin sau: a + b + c = v gcd( a, b, c) = (2.1) Nh toỏn hc J Oesterlộ ó t cõu hi: L = L (a, b, c )= log max(| a |,| b |,| c |) log rad (abc) (2.2) l mt i lng b chn? Cõu hi ny ó c xem xột bi D W Masser mt gi thuyt ca ụng, thng gi l gi thuyt ABC Cho m Gi thuyt ABC ng d c phỏt biu nh sau 2.1.2 Gi thuyt ABC Gi s a, b, c l cỏc s nguyờn khỏc khụng, nguyờn t cựng v tha h thc a + b = c Khi ú, vi mi s thc > , tn ti mt s K ( ) cho: max ( a , b , c ) K ( ) rad ( abc ) 1+ (2.3) ú rad ( abc ) l cn ca abc Gi thuyt ABC tng ng vi bt ng thc lim sup{L} , (2.4) 27 ú lim sup{L} l gii hn trờn ca L, c ly trờn tt c cỏc b s nguyờn a, b, c tha iu kin (2.1) Trong thc t, cỏc nh toỏn hc ó chng minh c lim sup{L} , nờn bt ng thc (2.4) tng ng ng thc limsup { L} = Gi thuyt ABC chng t rng nu phõn tớch nguyờn t ca cỏc s nguyờn a, b, c cú cỏc tha s nguyờn t vi s m ln thỡ cỏc tha s ny c bự li bng mt s lng ln cỏc s nguyờn t nh, cú mt khai trin vi s m Cỏc tha s khai trin vi s m nh thỡ chỳng c bự li bi cỏc s nguyờn t ln vi s m õy chớnh l ý tng t gi thuyt ABC cú th suy nh lý Fermat tim cn (Asymptotic Fermat theorem) v nh lý Catalan tim cn (Asymptotic Catalan theorem) Cho n nay, gi thuyt ABC cha c chng minh v vic ly phn vớ d cho gi thuyt ny l iu dng nh khụng th Bi vỡ, gi thit v s m + l gi thit rt mnh 2.2 Gi thuyt ABC ng d Gi thuyt ABC ng d l yu hn so vi Gi thuyt ABC bi nú b hn ch bi nhng iu kin ng d Tuy nhiờn, ta s chng minh rng nu Gi thuyt ABC ng d l ỳng vi mụun m no ú thỡ ú Gi thuyt ABC cng ỳng [6] 2.2.1 Gi thuyt ABC ng d Vi mi > , tn ti s K ( m, ) cho nu a, b, c l cỏc s nguyờn khỏc , nguyờn t cựng v tho h thc abc ( mod m ) v a + b = c , ú: 28 max ( a , b , c ) K ( m, ) rad ( abc ) 1+ Chỳng ta bt u vi b ba s ( a, b, c ) cỏc s nguyờn cho: a + b = c Trc ht, ta thy mt cỏc s nguyờn a, b, c phi l s chn v ú abc ( mod ) Vỡ th gi thuyt ng d ABC vi m = cng tng t nh gi thuyt ABC v vỡ vy ta ch cn xột m Th hai, nu ( a, b, c ) = ú hoc c l hoc b a l, hoc c chn, c a v b u l v b a chn Th ba, nu a, b, c l cỏc s nguyờn phõn bit khỏc , ú ta cú th gi thit rng chỳng l cỏc s dng v a < b < c 2.2.2 B Gi s a, b, c l cỏc s nguyờn dng, nguyờn t cựng tha a < b < c v a + b = c Gi thit rng n Khi c l, ta t: An = ( b a ) n Bn = c n ( b a ) n Cn = c n Khi c chn, ta t: n ba An = ữ n n c ba Bn = ữ ữ n c Cn = ữ Khi ú An , Bn , Cn l phõn bit, nguyờn dng, nguyờn t cựng cho: An + Bn = Cn Nu m v n = ( m ) , thỡ: An BnCn ( mod m ) 29 Chng minh Rừ rng l An , Bn , Cn l phõn bit, nguyờn dng, nguyờn t cựng cho An + Bn = Cn Gi s m v n = ( m ) vi l hm s s hc Euler Khi ú n Ta cn phi chng minh: An BnCn ( mod m ) iu ny l nu ta chng minh c rng, nu p l s nguyờn t v p r l c ca m , thỡ: An BnCn ( mod p r ) ( ) r Chỳ ý rng, nu p l s nguyờn t v p r l c ca m , thỡ ( p 1) p cng l c ca n v vỡ vy r 2r ( p 1) p r n Gi s rng p l s nguyờn t l Nu p l c ca c , thỡ ú p n r l c ca c n v p n l c ca Cn Vỡ r n , nờn suy Cn ( mod p ) r Tng t, nu p l c ca b a , thỡ An ( mod p ) Nu p khụng chia ht cho c hoc b a , thỡ theo nh lý Euler ta cú: c( p 1) p r 1( mod p r ) v ( b a) ( p 1) p r 1( mod p r ) r Vỡ ( p 1) p l c ca n , nờn ta cú: c n ( b a ) 1( mod p r ) n r v vỡ vy Bn ( mod p ) iu ú ó chng minh rng ng d thc ( ) ỳng, vi p l s nguyờn t l c bit, ta xột s nguyờn t chn Nu 2r l c ca m , thỡ 2r l c ca n v r n 30 Nu c chn thỡ b a chn v cú ỳng mt cỏc s nguyờn c v b a chia ht cho ý rng hoc c n hoc ( b a ) chia ht cho 4n , v n ú hoc Cn hoc An chia ht cho 2n Nu c l, thỡ b a l v: c2 r ( b a) 2r 1( mod 2r ) T 2r chia ht cho n , ta cú: Bn = c n ( b a ) ( mod 2r ) n Nh vy, chỳng ta ó chng minh c ng d thc ( ) cng ỳng vi s nguyờn t 2.2.3 nh lớ Gi s m Nu gi thuyt ng d ABC ỳng vi m thỡ gi thuyt ABC cng ỳng Chng minh Gi s < < Vi b ba s a, b, c phõn bit, nguyờn dng, nguyờn t cựng cho a + b = c , chỳng ta nh ngha hm s: ( a, b, c ) = log c ( + ) log rad ( abc ) Khi ú: log rad ( a, b, c ) = log c log c ( a, b, c ) 1+ 1+ Gi s A, B, C phõn bit, nguyờn dng nguyờn t cựng cho: ABC ( mod m ) v A + B = C Nu gi thuyt ABC ng d l ỳng vi m , ú tn ti hng s K ( m, ) > cho: C K ( m, ) rad ( ABC ) 1+ , hoc tng ng: ( A, B,C ) log K ( m, ) = K ( m, ) Gi s a, b, c nguyờn dng, nguyờn t cựng cho: 31 a < b < c v a + b = c t n = ( m ) , vi l hm s s hc Euler Theo tớnh cht ca hm , ta cú n chn, vi m nh ngha cỏc s nguyờn An , Bn , Cn nh B 2.2.2 Khi ú, An BnCn ( mod m ) v An + Bn = Cn Ngoi ra, ( An , Bn ,C n ) K ( m, ) Vỡ s nguyờn n chn, nờn ta cú hng ng thc sau: ( b + a) n ( ( b a ) = 4ab ( b + a ) n n + ( b + a) n4 ( b a) +L + ( b a) n Do ú Bn = c n ( b a ) n = ( b + a) ( b a) n ( = 4ab ( b + a ) n n + ( b + a) n ( b a) +L + ( b a) n2 n 4ab ữ( b + a ) = 2abnc n T n B An BnCn = ( b a ) n ữabc n , ab ta suy rng n B rad ( An BnCn ) = rad ( b a ) n ữ( abc n ) ữ ab B = rad ( b a ) n ữabc ữ ab B rad ( b a ) rad n ữrad ( abc ) ab n2 ) ) 32 B ( b a ) n ữrad ( abc ) ab ( b a ) ( 2nc n ) rad ( abc ) 2nc n1rad ( abc ) Do ú log rad ( An BnCn ) ( n 1) log c + log rad ( abc ) + log 2n = n log c log c ( a, b, c ) + log 2n 1+ 1+ ( a, b, c ) n = log c + log 2n ữ ữ 1+ ( 1+ ) n ( a, b, c ) log C + n log + log 2n ( ) ữ n ữ + n + ( ) n + ( n 1) (1+ ) n ( a, b, c ) log C + 2n log n ữ n ữ + Tng ng, n + ( n 1) ( a, b, c ) n (1+ ) n log C ữ n n + ( n 1) ( 1+ ) n < log Cn n + ( n 1) ( log rad A B C ( ) ữ n n n ữ+ ( + ) n log ữ ữ log rad A B C ( ) ữ n n n ữ+ n log ữ ữ ) = logCn ( + ' ) log rad ( An BnCn ) + 4n log 2, ú: ' = ( + ) n = n + ( n 1) ( m ) + ( ( m ) 1) 33 log Cn ( + ' ) log rad ( An BnCn ) = ' ( An , Bn , Cn ) K ( ' , m ) , T ta suy ( a, b, c ) < K ( ' , m ) + ( m ) log Nh vy, vi mi > , hm s ( a, b, c ) l b chn trờn, iu ny tng ng vi gi thuyt ABC Phộp chng minh hon tt 34 KT LUN Li gii cho gi thuyt ABC khụng ch cú ý ngha l mt bi toỏn m ca Toỏn hc c gii quyt, m cũn cú ý ngha sõu sc hn na l cỏc k thut v kin thc phi cú gii thiu s l nhng cụng c rt mnh, nhm gii quyt cỏc ca Lý thuyt s tng lai Cựng vi s quan tõm chung ca cng ng toỏn hc, lun ny chỳng tụi tỡm hiu v gi thuyt ABC vi nhng ni dung c th sau õy: Phộp o hm v phộp o hm lụgarir ca a thc vi h s phc Bt ng thc Diophant i vi cỏc a thc vi h s phc ng dng ca bt ng thc Diophant i vi cỏc phng trỡnh hm trờn trng cỏc hm hu t Ê ( t ) Tỡm tũi mt s vớ d vnh a thc Ê [ t ] cú liờn quan n gi thuyt ABC Gi thuyt ABC ng d v s liờn h ca nú vi gi thuyt ABC Gi thuyt ABC l mt phong phỳ v sõu sc ca Toỏn hc, vỡ vy cỏc ni dung lun ny mi ch l nhng kin thc ban u tip cn Hy vng rng, thi gian ti chỳng tụi s cú nhng tỡm hiu sõu hn, hiu qu hn v gi thuyt ny 35 TI LIU THAM KHO TING VIT [1] [2] [3] [4] H Huy Khoỏi, Phm Huy in (2003), S hc thut toỏn, NXB i hc Quc gia H Ni Hi Toỏn hc Vit Nam (2012), Gi thuyt ABC cú th ó c gii, Thụng tin Toỏn hc, Tp 16, S Nguyn Thnh Quang (2011), Lý thuyt trng v ng dng, Nh xut bn i hc Quc Gia H Ni Nguyn Quc Thng (1998), V nh lý cui cựng ca Fermat v Andrew Wiles, Thụng tin Toỏn hc, Thụng tin Toỏn hc, Hi Toỏn hc Vit Nam, Tp 2, S TING ANH [5] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill Company Limited, New Delhi [6] M B Nathanson (2000), Elementary Methods in Number Theory, Springer [7] Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2008), A generalization of the ABC Conjecture over function Field, Journal of Analisis and Applications, Vol 6, No 2, 69-76 [8] K A Ribet (1990), From the Taniyama-Shimura Conjecture to Fermat's Last Theorem, Ann Fac Sci Toulouse Math 11, 116-139 [9] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw-Hill Company Limited, New Delhi [10] C Toropu (2014), ABC Theorem in functional case, Dissertation of Philosophy Doctor on Mathematics, The University of New Mexico - [...]... từ giả thuyết ABC có thể suy ra định lý Fermat tiệm cận (Asymptotic Fermat theorem) và định lý Catalan tiệm cận (Asymptotic Catalan theorem) Cho đến nay, giả thuyết ABC vẫn chưa được chứng minh và việc lấy phản ví dụ cho giả thuyết này là điều dư ng như không thể Bởi vì, giả thiết về số mũ 1 + ε là giả thiết rất mạnh 2.2 Giả thuyết ABC đồng dư Giả thuyết ABC đồng dư là yếu hơn so với Giả thuyết ABC. .. những điều kiện đồng dư Tuy nhiên, ta sẽ chứng minh rằng nếu Giả thuyết ABC đồng dư là đúng với môđun m nào đó thì khi đó Giả thuyết ABC cũng đúng [6] 2.2.1 Giả thuyết ABC đồng dư Với mỗi ε > 0 , tồn tại số K ( m, ε ) sao cho nếu a, b, c là các số nguyên khác 0 , nguyên tố cùng nhau và thoả mãn hệ thức abc ≡ 0 ( mod m ) và a + b = c , khi đó: 28 max ( a , b , c ) ≤ K ( m, ε ) rad ( abc ) 1+ε Chúng... đó abc ≡ 0 ( mod 2 ) Vì thế giả thuyết đồng dư ABC với m = 2 cũng tương tự như giả thuyết ABC và vì vậy ta chỉ cần xét m ≥ 3 Thứ hai, nếu ( a, b, c ) = 1 khi đó hoặc c lẻ hoặc b − a lẻ, hoặc c chẵn, cả a và b đều lẻ và b − a chẵn Thứ ba, nếu a, b, c là các số nguyên phân biệt khác 0 , khi đó ta có thể giả thiết rằng chúng là các số dư ng và a < b < c 2.2.2 Bổ đề Giả sử a, b, c là các số nguyên dư ng,... Như vậy, chúng ta đã chứng minh được đồng dư thức ( ∗) cũng đúng với số nguyên tố 2 ▄ 2.2.3 Định lí Giả sử m ≥ 3 Nếu giả thuyết đồng dư ABC đúng với m thì giả thuyết ABC cũng đúng Chứng minh Giả sử 0 < ε < 1 Với bộ ba số a, b, c phân biệt, nguyên dư ng, nguyên tố cùng nhau sao cho a + b = c , chúng ta định nghĩa hàm số: φε ( a, b, c ) = log c − ( 1 + ε ) log rad ( abc ) Khi đó: log rad ( a, b, c )... Nhà toán học J Oesterlé đã đặt câu hỏi: L = L (a, b, c )= log max(| a |,| b |,| c |) log rad (abc) (2.2) là một đại lượng bị chặn? Câu hỏi này đã được xem xét bởi D W Masser trong một giả thuyết của ông, thường gọi là giả thuyết ABC Cho m ≥ 2 Giả thuyết ABC đồng dư được phát biểu như sau 2.1.2 Giả thuyết ABC Giả sử a, b, c là các số nguyên khác không, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn hệ thức a + b = c... = log c − ε log c φε ( a, b, c ) − 1+ ε 1+ ε Giả sử A, B, C phân biệt, nguyên dư ng nguyên tố cùng nhau sao cho: ABC ≡ 0 ( mod m ) và A + B = C Nếu giả thuyết ABC đồng dư là đúng với m , khi đó tồn tại hằng số K ( m, ε ) > 0 sao cho: C ≤ K ( m, ε ) rad ( ABC ) 1+ε , hoặc tương đương: φε ( A, B,C ) ≤ log K ( m, ε ) = K ∗ ( m, ε ) Giả sử a, b, c nguyên dư ng, nguyên tố cùng nhau sao cho: 31 a < b ... )rad (abc) 1+ , ú rad (abc ) l cn ca abc Tuy nhiờn, nu gi thuyt ng d ABC c chng minh, vi mt s nguyờn dng m no ú thỡ t ú cú th suy gi thuyt ABC l ỳng [6] Vic nghiờn cu s m rng ca gi thuyt ABC vnh... c thỡ max { deg( a),deg(b),deg(c)} N ( abc) = deg ( rad ( abc ) ) 1, ú N (abc) l s nghim phõn bit ca a thc abc v rad ( abc ) l cn ca a thc ca a thc abc Chng minh Vỡ nh lý Mason l i xng vi... trỡnh by gi thuyt ABC tng quỏt v mt trng hp c bit ca gi thuyt ABC, ú l gi thuyt ng d ABC Ngoi ra, chng trỡnh by ni dung cú liờn quan n vic t gi thuyt ng d ABC suy c gi thuyt ABC Phng phỏp v cụng