Đang tải... (xem toàn văn)
Xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu về nội dung bài tập khảo sát hàm số. nộ dung tài liệu là hệ thống các bài tập khảo sát và các dạng bài toán phụ có liên quan được chia theo các dạng bài cụ thể, các bài tập đều có lời giải chi tiết. các em học sinh có thế coi đây là phần ôn tập toàn bộ kiến thức phần khảo sát hàm số cho mình, các thầy cô có thể sử dụng để tham khảo trong quá trình giảng dạy trong quá trình lên lớp
Khảo sát hàm số KSHS 01 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Kiến thức Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D • Hàm số f đồng biến D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Hàm số f nghịch biến D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Nếu y ' = ax + bx + c (a ≠ 0) thì: a>0 + y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ a0 + y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ a x = m y' = ⇔ Hàm số đồng biến khoảng (−∞; m), (m + 1; +∞) x = m +1 Do đó: hàm số đồng biến (2; +∞) ⇔ m + ≤ ⇔ m ≤ Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến khoảng K = (0; +∞) Câu • Hàm đồng biến (0; +∞) ⇔ y ′= x + 2(1 − 2m) x + (2 − m) ≥ với ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ f (x) = 3x + x + ≥ m với ∀x ∈ (0; +∞) 4x + 6(2 x + x − 1) = ⇔ x + x − = ⇔ x = −1; x = Ta có: f ′( x ) = 2 (4 x + 1) 1 Lập BBT hàm f ( x ) (0; +∞) , từ ta đến kết luận: f ÷ ≥ m ⇔ ≥ m 2 Câu hỏi tương tự: a) y = (m + 1) x − (2m − 1) x + 3(2m − 1) x + (m ≠ −1) , K = (−∞; −1) b) y = (m + 1) x − (2m − 1) x + 3(2m − 1) x + (m ≠ −1) , K = (1; +∞) Trang ĐS: m ≥ 11 ĐS: m ≥ Khảo sát hàm số c) y = (m + 1) x − (2m − 1) x + 3(2m − 1) x + (m ≠ −1) , K = (−1;1) Câu ĐS: m ≥ Cho hàm số y = (m2 − 1) x + (m − 1) x − x + (1) (m ≠ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (−∞;2) • Tập xác định: D = R; y′ = (m2 − 1) x + 2(m − 1) x − Đặt t = x – ta được: y′ = g(t ) = (m − 1)t + (4m + 2m − 6)t + 4m2 + 4m − 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;2) ⇔ g(t ) ≤ 0, ∀t < a < m2 − < TH1: ∆ ≤ ⇔ 3m − 2m − ≤ Vậy: Với Câu m2 − < a < 3m − 2m − > ∆ > TH2: S > ⇔ 4m2 + 4m − 10 ≤ −2m − P ≥ >0 m + −1 ≤ m < hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;2) Cho hàm số y = (m2 − 1) x + (m − 1) x − x + (1) (m ≠ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (2; +∞) • Tập xác định: D = R; y′ = (m2 − 1) x + 2(m − 1) x − Đặt t = x – ta được: y′ = g(t ) = (m − 1)t + (4m + 2m − 6)t + 4m2 + 4m − 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +∞) ⇔ g(t ) ≤ 0, ∀t > m2 − < a < 3m − 2m − > m2 − < ∆ > a < TH1: ∆ ≤ ⇔ TH2: S < ⇔ 4m2 + 4m − 10 ≤ 3m − 2m − ≤ −2m − P ≥ , y ′= có nghiệm phân biệt: − m , 0, m Hàm số (1) đồng biến (1; 2) ⇔ m ≤ ⇔ < m ≤ Vậy m ∈ ( −∞;1 Câu hỏi tương tự: a) Với y = x − 2(m − 1) x + m − ; y đồng biến khoảng (1;3) ĐS: m ≤ Câu 10 Cho hàm số y = mx + x+m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) • Tập xác định: D = R \ {–m} y ′= m2 − ( x + m)2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y ′< ⇔ −2 < m < (1) Để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) ta phải có − m ≥ ⇔ m ≤ −1 (2) Kết hợp (1) (2) ta được: −2 < m ≤ −1 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Trang Khảo sát hàm số Dạng 1: Cực trị hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d A Kiến thức • Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình y′ = có nghiệm phân biệt • Hoành độ x1, x2 điểm cực trị nghiệm phương trình y′ = • Để viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu, ta sử dụng phương pháp tách đạo hàm – Phân tích y = f ′( x ).q( x ) + h( x ) – Suy y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) Do phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu là: y = h( x ) • Gọi α góc hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 tan a = k1 − k2 + k1k2 B Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d : y = px + q – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu p – Giải điều kiện: k = p (hoặc k = − ) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y = px + q góc a – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: k−p = tan a (Đặc biệt d ≡ Ox, giải điều kiện: k = tan a ) + kp Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B cho ∆IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm cực đại, cực tiểu – Tìm giao điểm A, B ∆ với trục Ox, Oy – Giải điều kiện S∆IAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho ∆IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện S∆IAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm cực đại, cực tiểu – Gọi I trung điểm AB ∆ ⊥ d – Giải điều kiện: I ∈ d Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: d ( A, d ) = d (B, d ) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khoảng cách hai điểm Trang Khảo sát hàm số A, B lớn (nhỏ nhất) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị) – Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) AB Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu hoành độ điểm cực trị thoả hệ thức cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et Tìm điều kiện để hàm số có cực trị khoảng K1 = (−∞;α ) K2 = (α ; +∞) y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c Đặt t = x −a Khi đó: y ' = g(t ) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c Hàm số có cực trị thuộc K1 = (−∞;α ) Hàm số có cực trị khoảng (−∞;α ) ⇔ f ( x ) = có nghiệm (−∞;α ) ⇔ g(t ) = có nghiệm t < Hàm số có cực trị thuộc K2 = (α ; +∞) Hàm số có cực trị khoảng (α ; +∞) ⇔ f ( x ) = có nghiệm (α ; +∞) ⇔ g(t ) = có nghiệm t > P < ∆ ' ≥ ⇔ S < P ≥ P < ∆ ' ≥ ⇔ S > P ≥ Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả: a) x1 < α < x2 b) x1 < x2 < α c) α < x1 < x2 y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c Đặt t = x −a Khi đó: y ' = g(t ) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < α < x2 ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < < t2 ⇔ P < b) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < x2 < α ∆ ' > ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < t2 < ⇔ S < P > c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả α < x1 < x2 ∆ ' > ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả < t1 < t2 ⇔ S > P > Câu 11 Cho hàm số y = − x + 3mx + 3(1 − m2 ) x + m3 − m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Trang Khảo sát hàm số • y ′= −3 x + 6mx + 3(1 − m ) PT y ′= có ∆ = > 0, ∀m ⇒ Đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị ( x1; y1), ( x2 ; y2 ) Chia y cho y′ ta được: Khi đó: 1 m y = x − ÷y ′+ x − m + m 3 3 y1 = x1 − m + m ; y2 = x2 − m + m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) y = x − m2 + m Câu 12 Cho hàm số y = x + 3x + mx + m − (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hoành • PT hoành độ giao điểm (C) trục hoành: x = −1 (1) ⇔ (2) g( x ) = x + x + m − = (Cm) có điểm cực trị nằm phía trục Ox ⇔ PT (1) có nghiệm phân biệt x + x + mx + m − = ∆ ′= − m > ⇔ m biệt dấu ⇔ 2m − > m ≠ ⇔ m > Câu 15 Cho hàm số y = x − 3x − mx + (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y = x − • Ta có: y ' = x − x − m Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = x − x − m = có nghiệm phân biệt x1; x2 ⇔ ∆ ' = + 3m > ⇔ m > −3 (*) Gọi hai điểm cực trị A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) Trang Khảo sát hàm số 1 1 2m m − ÷x + + ÷ Thực phép chia y cho y′ ta được: y = x − ÷y '+ 3 3 3 2m 2m m m ⇒ y1 = y( x1 ) = − ÷x1 + + ; y2 = y( x2 ) = − ÷x2 + + 3 2m m ⇒ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị ∆: y = − ÷x + + Các điểm cực trị cách đường thẳng y = x − ⇔ xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y = x − ⇔ 2m − = ⇔ m = (không thỏa (*)) TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng y = x − y1 + y2 x1 + x2 2m m = −1 ⇔ − ÷( x1 + x2 ) + + ÷ = ( x1 + x2 ) − 2 3 2m m ⇔ − ÷.2 + + ÷ = ⇔ m = 3 ⇔ yI = xI − ⇔ Vậy giá trị cần tìm m là: m = Câu 16 Cho hàm số y = x − 3mx + 4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x x = • Ta có: y′ = x − 6mx ; y′ = ⇔ x = 2m Để hàm số có cực đại cực tiểu m ≠ uuu r Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ AB = (2m; −4m3 ) Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3) AB ⊥ d A, B đối xứng qua đường thẳng d: y = x ⇔ I ∈ d 2m − 4m3 = ⇔ m=± 2m = m ⇔ Câu 17 Cho hàm số y = − x + 3mx − 3m − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y − 74 = • y ′= −3 x + 6mx ; y ′= ⇔ x = ∨ x = 2m Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT y ′= có nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ uuu r Khi điểm cực trị là: A(0; −3m − 1), B(2m;4m3 − 3m − 1) ⇒ AB(2m;4m3 ) Trung điểm I AB có toạ độ: I (m;2m3 − 3m − 1) r Đường thẳng d: x + 8y − 74 = có VTCP u = (8; −1) I ∈ d m + 8(2m3 − 3m − 1) − 74 = A B đối xứng với qua d ⇔ AB ⊥ d ⇔ uuur r AB.u = Câu hỏi tương tự: a) y = x − x + m x + m, d : y = x − ĐS: m = Câu 18 Cho hàm số y = x − x + mx (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Trang ⇔ m=2 Khảo sát hàm số 2) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x − y − = • Ta có y = x − 3x + mx ⇒ y ' = 3x − x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ′= có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = − 3m > ⇔ m < 1 1 2 Ta có: y = x − ÷y ′+ m − ÷x + m 3 3 2 ⇒ đường thẳng ∆ qua điểm cực trị có phương trình y = m − ÷x + m 3 d: x − y − = ⇔ y = x − ⇒ d có hệ số góc k2 = 2 nên ∆ có hệ số góc k1 = m − Để hai điểm cực trị đối xứng qua d ta phải có d ⊥ ∆ 12 ⇒ k1k2 = −1 ⇔ m − ÷ = −1 ⇔ m = 2 Với m = đồ thị có hai điểm cực trị (0; 0) (2; –4), nên trung điểm chúng I(1; –2) Ta thấy I ∈ d, hai điểm cực trị đối xứng với qua d Vậy: m = Câu 19 Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x + m − (1) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: y = x • y ' = x − 6(m + 1) x + Hàm số có CĐ, CT ⇔ ∆ ' = 9(m + 1)2 − 3.9 > ⇔ m ∈ (−∞; −1 − 3) ∪ (−1 + 3; +∞) 1 m +1 Ta có y = x − ÷y ′− 2(m + 2m − 2) x + 4m + 3 Giả sử điểm cực đại cực tiểu A( x1; y1), B( x2 ; y2 ) , I trung điểm AB ⇒ y1 = −2(m2 + 2m − 2) x1 + 4m + ; y2 = −2(m2 + 2m − 2) x2 + 4m + x + x = 2(m + 1) và: x1.x 2= Vậy đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu y = −2(m2 + 2m − 2) x + 4m + 1 AB ⊥ d A, B đối xứng qua (d): y = x ⇔ I ∈ d ⇔ m =1 Câu 20 Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m , với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 − x2 ≤ • Ta có y ' = x − 6(m + 1) x + + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 ⇔ PT y ' = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ PT x − 2(m + 1) x + = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Trang 10 Khảo sát hàm số · Do cos ABI = 17 nên tan ·ABI = x = IA = ⇔ IB2 = 16.IA2 ⇔ ( x0 − 2)4 = 16 ⇔ x0 = 4 IB 3 2 5 Tại M 4; ÷ phương trình tiếp tuyến: y = − x + 3 Kết luận: Tại M 0; ÷ phương trình tiếp tuyến: y = − x + Câu hỏi tương tự: a) y = 3x − ;cos·BAI = x +1 26 Câu 155 Cho hàm số y = ĐS: ∆: y = x − ∆: y = x + 2x − có đồ thị (C) x −2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn ′ • Lấy điểm M m; + ÷ ∈ ( C ) Ta có: y (m) = − m−2 Tiếp tuyến (d) M có phương trình: y=− (m − 2)2 (m − 2) ( x − m) + + m−2 Giao điểm (d) với tiệm cận đứng là: A 2;2 + ÷ m−2 B (2 m − 2;2) Giao điểm (d) với tiệm cận ngang là: m = 2 Ta có: AB = (m − 2) + ≥ Dấu “=” xảy ⇔ m = (m − 2) Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) M(1;1) Câu 156 Cho hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi M điểm (C), I giao điểm đường tiệm cận Tiếp tuyến d (C) M cắt đường tiệm cận A B Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2π • Ta có: I(2; 2) Gọi M x0 ; 2x − x0 − −1 ( x − x0 ) + ∈ (C ), x ≠ PTTT d: y = ÷ x0 − x0 − ÷ ( x0 − 2)2 2x − , B(2 x0 − 2;2) ÷ d cắt tiệm cận A 2; ÷ x0 − ∆IAB vuông I S( IAB ) = 2π ⇔ ( x0 − 2) + Câu 157 Cho hàm số y = x = ⇒ M (1;1) =2⇔ ( x0 − 2) x0 = ⇒ M (3;3) 2x − x −2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Trang 64 Khảo sát hàm số • Giả sử M x0 ; −1 x0 − ∈ (C ) x0 ≠ , y '( x0 ) = ÷ x0 − ÷ ( x0 − ) Phương trình tiếp tuyến (∆) với ( C) M: y = −1 ( x0 − ) ( x − x0 ) + Toạ độ giao điểm A, B (∆) với hai tiệm cận là: A 2; x0 − x0 − 2 x0 − ÷; B ( x0 − 2;2 ) x0 − ÷ y A + yB x0 − + x0 − x +x = = y M ⇒ M trung điểm AB Ta thấy A B = = x0 = x M , x0 − 2 Mặt khác I(2; 2) ∆IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích x0 − ≥ 2π π IM = π ( x − 2) + − = π ( x − 2) + ÷ S= x −2 ÷ ( x0 − 2)2 x = 1 ⇔ Dấu “=” xảy ( x0 − 2) = ( x − 2)2 x0 = Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) Câu hỏi tương tự: a) Với y = 3x + ĐS: M (0;1), M (−4;5) x+2 Câu 158 Cho hàm số y = 2mx + x−m 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm m để tiếp tuyến diểm (C) cắt hai tiệm cận A B cho ∆IAB có diện tích S = 64 • (C) có tiệm cận đứng x = m , tiệm cận ngang y = 2m Giao điểm tiệm cận I (m;2m) 2m2 + 2mx + 2mx + 0 ∈ (C ) PTTT ∆ (C) M: y = ( x − x0 ) + ÷ Gọi M x0 ; ÷ x − m x − ( x − m ) 0 m 2mx + 2m + ÷ , cắt TCN B(2 x0 − m;2m) ∆ cắt TCĐ A m; ÷ x − m Ta có: IA = 4m + 58 ; IB = x0 − m ⇒ SIAB = IA.IB = 4m + = 64 ⇔ m = ± x0 + m 2 Câu 159 Cho hàm số y = x x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với đường tiệm cận (C) tam giác có chu vi P = ( + ) • (C) có tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = Giao điểm tiệm cận I(1;1) Gọi M x0 ; x x0 ( x − x0 ) + ∈ (C ) ( x0 ≠ 1) PTTT ∆ (C) M: y = − ÷ x0 − x0 − ÷ ( x0 − 1)2 x +1 ÷ ∆ cắt TCĐ A 1; ÷, cắt TCN B(2 x0 − 1;1) x −1 Trang 65 Khảo sát hàm số + x0 − + ( x0 − 1)2 + ≥ 4+2 x0 − ( x0 − 1)2 Ta có: PIAB = IA + IB + AB = x = Dấu "=" xảy ⇔ x0 − = ⇔ x0 = + Với x0 = ⇒ PTTT ∆: y = − x ; Câu 160 Cho hàm số y = + Với x0 = ⇒ PTTT ∆: y = − x + 2x + có đồ thị (C) x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ • Giao điểm tiệm cận I(1;2) Gọi M x0 ;2 + + PTTT M có dạng: y = −3 ( x0 − 1) ( x − x0 ) + + ÷ ∈ (C) x0 − ÷ x0 − + Toạ độ giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận: A 1;2 + 1 ÷ , B (2 x0 − 1;2) x0 − ÷ ×2 x0 − = 2.3 = (đvdt) + Ta có: S∆IAB = IA.IB = × x0 − + ∆IAB vuông có diện tích không đổi ⇒ chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB ⇔ x = 1+ = x0 − ⇒ x0 − x0 = − Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1 ( + 3;2 + ) , M2 ( − 3;2 − ) Khi chu vi ∆AIB = + Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (không đổi) biểu thức P = a + b + a2 + b2 nhỏ a = b Thật vậy: P = a + b + a2 + b2 ≥ ab + 2ab = (2 + 2) ab = (2 + 2) S Dấu "=" xảy ⇔ a = b Câu hỏi tương tự: a) y = 2x −1 x −1 Câu 161 Cho hàm số y = ĐS: M1(0; −1), M2 (2;3) x −2 x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt tiệm cận A B cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất, với I giao điểm tiệm cận • (C) có TCĐ x = −1 , TCN y = Giao điểm tiệm cận I(−1;1) Gọi M x0 ; x −2 x0 − ( x − x0 ) + ∈ (C ) PTTT ∆ (C) M: y = ÷ x0 + x0 + ÷ ( x0 + 1) ∆ cắt hai tiệm cận A −1; x0 − ; IB = x0 + , B(2 x0 + 1;1) Ta có: IA = ÷ ÷ x x0 + +1 Trang 66 Khảo sát hàm số ⇒ SIAB = IA.IB = Gọi p, r nửa chu vi bán kính đường trọn nội tiếp ∆IAB Ta có: S = pr ⇒ r = S = Do r lớn ⇔ p nhỏ Mặt khác ∆IAB vuông I nên: p p p = IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB ≥ IA.IB + 2IA.IB = + Dấu "=" xảy ⇔ IA = IB ⇔ ( x0 + 1)2 = ⇔ x0 = −1 ± + Với x = −1 − ⇒ PTTT ∆: y = x + ( + ) + Với x = −1 + ⇒ PTTT ∆: y = x + ( − ) Câu 162 Cho hàm số y = 2x + x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai nhánh đồ thị (C), điểm M, N cho tiếp tuyến M N cắt hai đường tiệm cận điểm lập thành hình thang • Gọi M (m; yM ), N (n; yN ) điểm thuộc nhánh (C) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B Tiếp tuyến N cắt hai tiệm cận C, D 2m + PTTT M có dạng: y = y′(m).( x − m) + yM ⇒ A 1; ÷, B(2m − 1;2) m −1 2n + ÷, D(2n − 1;2) n −1 Tương tự: C 1; Hai đường thẳng AD BC có hệ số góc: k = −3 nên AD // BC (m − 1)(n − 1) Vậy điểm M, N thuộc nhánh (C) thoả mãn YCBT Câu 163 Cho hàm số y = x+3 x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm Mo ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh Mo trung điểm đoạn thẳng AB 4 ( x − x0 ) • Mo ( xo ; yo ) ∈ (C) ⇒ y0 = + x − PTTT (d) M0 : y − y0 = − ( x − 1) 0 Giao điểm (d) với tiệm cận là: A(2 x0 − 1;1), B(1;2 y0 − 1) ⇒ x A + xB y + yB = x0 ; A = y0 ⇒ M0 trung điểm AB 2 Câu 164 Cho hàm số : y = x+2 (C) x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích không đổi • Giả sử M a; a+2 ÷ ∈ (C) a −1 PTTT (d) (C) M: y = y ′(a).( x − a) + −3 a2 + a − a+2 x+ ⇔ y= a −1 (a − 1)2 (a − 1) Trang 67 Khảo sát hàm số a+5 ÷, B(2a − 1;1) a −1 Các giao điểm (d) với tiệm cận là: A 1; → → IA = 0; ; IB = (2a − 2;0) ⇒ IB = a − ÷ ⇒ IA = a −1 a −1 Diện tích ∆IAB : S ∆IAB = IA.IB = (đvdt) ⇒ ĐPCM Câu hỏi tương tự: a) y = 2x − x +1 ĐS: S = 12 Câu 165 Cho hàm số y = 2x −1 1− x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hoành độ a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ • I (1; −2), A a; 2a − 2a − ( x − a) + ÷ PT tiếp tuyến d A: y = 1− a 1− a (1 − a)2 2a ÷ 1− a Giao điểm tiệm cận ngang tiếp tuyến d: Q(2a − 1; −2) Ta có: x P + xQ = 2a = x A Vậy A trung điểm PQ Giao điểm tiệm cận đứng tiếp tuyến d: P 1; IP = 2a +2 = ; IQ = 2(a − 1) Suy ra: 1− a 1− a Câu 166 Cho hàm số y = SIPQ = IP.IQ = (đvdt) 2x −1 x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm đồ thị (C), điểm M có hoành độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn: IA2 + IB = 40 • (C) có TCĐ: x = −1 ; TCX: y = ⇒ I(–1; 2) Giả sử M x0 ; x0 − ÷ ∈ (C), (x0 > 0) x0 + ÷ x − 2x − ( x − x0 ) + A −1; ÷, B ( (2 x0 + 1;2 ) PTTT với (C) M: y = ⇒ x0 + x0 + ÷ ( x0 + 1) 36 + 4( x0 + 1)2 = 40 2 ( x + 1) ⇔ ⇔ x0 = (y0 = 1) ⇒ M(2; 1) IA + IB = 40 x > Câu 167 Cho hàm số y = x +1 (C) x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) • Gọi M (0; yo ) điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d) Trang 68 Khảo sát hàm số x +1 ( y − 1) x − 2( y + 1) x + y + = (1) x − = kx + yo o o o ⇔ −2 (d) tiếp tuyến (C) ⇔ −2 (*) =k =k x ≠ 1; 2 ( x − 1) ( x − 1) YCBT ⇔ hệ (*) có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm khác yo = y ≠ o x = ; yo = ⇒ k = −8 ⇔ ∨ ⇔ 2 ∆ ' = ( yo + 1) − ( yo − 1)( yo + 1) = x = x = 0; yo = −1 ⇒ k = −2 Vậy có điểm cần tìm là: M(0; 1) M(0; –1) Câu 168 Cho hàm số y = x+3 (C) x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng d : y = x + điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) • Gọi M (m;2m + 1) ∈ d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 2m + PT hoành độ giao điểm ∆ (C): k ( x − m) + 2m + = ⇔ kx − [ (m + 1)k − 2m ] x + [ mk − (2m + 4)] = x+3 x −1 (*) k ≠ ∆ = [ (m + 1)k − 2m ] − 4k [ mk − (2m + 4)] = ∆ tiếp xuc với (C) ⇔ (*) có nghiệm kép ⇔ k ≠ 2 2 g(k ) = (m − 1) k − 4(m − m − 4)k + 4m = Qua M (m;2m + 1) ∈ d kẻ tiếp tuyến đến (C) ⇔ ⇔ g(k ) = m = m = −1 ⇔ m = m = ∆′ = −32(m − m − 2) > 0; g(0) = 4m = 2 có nghiệm k ≠ ⇔ ∆′ = −32(m − m − 2) > 0; g(0) = 4m = m − = ⇒ 16k + = ⇒ k = − ⇒ M (0;1) ⇒ M (−1; −1) ⇒ M (2;5) ⇒ M (1;3) BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu 169 Cho hàm số y = − x + x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình x − x = m3 − 3m2 có ba nghiệm phân biệt a • PT x − x = m3 − 3m2 ⇔ − x + x + = −m3 + 3m2 + Đặt k = −m3 + 3m2 + Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng d: y = k Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có nghiệm phân biệt ⇔ < k < ⇔ m ∈ (−1;3) \ { 0;2} Câu 170 Cho hàm số y = x − x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Trang 69 Khảo sát hàm số m x −1 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x − x − = • Ta có x − x − = m ⇔ ( x − x − ) x − = m, x ≠ Do số nghiệm phương trình x −1 số giao điểm y = ( x − x − ) x − , (C ') đường thẳng y = m, x ≠ f (x) Với y = ( x − x − ) x − = x > nên ( C ' ) bao gồm: − f ( x ) x 0) (*) + Số nghiệm (*) số giao điểm đồ thị y = x − x + y = − log2 m + Từ đồ thị suy ra: 0 0, b > ) điểm thuộc nhánh (C) a b 1 1 16 16 64 AB = (a + b)2 + 16 + ÷ = (a + b)2 1 + ≥ 4ab 1 + = 4ab + ≥ 32 2 2 ab a b a b a b a = b a = b AB = ⇔ ⇔a=b=44 16 ⇔ AB nhỏ ⇔ ab = a = ab Khi đó: A ( −1 − 4;1 + 64 ) , B ( −1 + 4;1 − 64 ) Câu hỏi tương tự: a) y = 4x − x −3 ĐS: A ( − 3;4 − ) , B ( + 3;4 + ) Câu 192 Cho hàm số y = −x + x −2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C), điểm A, B cho độ dài đoạn AB đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d : y = x • PT đường thẳng AB có dạng: y = − x + m PT hoành độ giao điểm (C) AB: −x + = − x + m ⇔ g( x ) = x − (m + 3) x + 2m + = (1) ( x ≠ 2) x −2 ∆ > Để có điểm A, B (1) phải có nghiệm phân biệt khác ⇔ g g(2) ≠ (m + 3)2 − 4(2m + 1) > ⇔ ∀m − (m + 3).2 + m + ≠ ⇔ x + x = m + Ta có: x A x B= 2m + Mặt khác y A = − x A + m; yB = − x B + m A B m = −1 Do đó: AB = ⇔ ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 = 16 ⇔ m − 2m − = ⇔ m = x = + ⇒ y = − 2 + Với m = , thay vào (1) ta được: x − x + = ⇔ x = − ⇒ y = ⇒ A(3 + 2; − 2), B(3 − 2; 2) A(3 − 2; 2), B(3 + 2; − 2) Trang 77 Khảo sát hàm số x = + ⇒ y = −2 − 2 + Với m = −1 , thay vào (1) ta được: x − x − = ⇔ x = − ⇒ y = −2 + ⇒ A(1 + 2; −2 − 2); B(1 − 2; −2 + 2) A(1 − 2; −2 + 2); B(1 + 2; −2 − 2) Trang 78 [...]... 2 2 Trang 12 Khảo sát hàm số Câu 27 Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx − 5 , m là tham số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hồnh độ là các số dương • Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hồnh độ là các số dương ⇔ PT y ' = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 có 2 nghiệm dương... 61 Cho hàm số y = 2 4 1 2 1 4 3 x − mx 2 + 2 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại x = 0 • y ′= 2 x 3 − 2mx = 2 x ( x 2 − m) y ′= 0 ⇔ 2 x =m Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại ⇔ PT y ′= 0 có 1 nghiệm ⇔ m ≤ 0 Câu 62 Cho hàm số y = − x 4 + 2mx 2 − 4 (Cm ) 1) Khảo sát sự... ĐS: m = 2 Câu 48 Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 12mx − 3m + 4 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 0 Trang 19 Khảo sát hàm số 9 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C −1; − ÷ 2 lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm • Ta có y ' = 3x 2 − 3(m + 1) x + 12m Hàm số có hai cực trị ⇔ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt... Đối chiếu điều kiện ta có m = − Câu 55 Cho hàm số : y = 1 3 x − mx 2 + (m2 − m + 1) x + 1 (1) 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (−∞;1) Trang 21 Khảo sát hàm số • Tập xác định D = R y′ = x 2 − 2mx + m2 − m + 1 Đặt t = x − 1 ⇒ x = t + 1 ta được : y ' = g(t ) = t 2 + 2 ( 1 − m ) t + m2 − 3m + 2 Hàm số( 1) có cực trị trong khoảng... < x2 Dạng 2: Cực trị của hàm số trùng phương: y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c A Kiến thức cơ bản • Hàm số ln nhận x = 0 làm 1 điểm cực trị • Hàm số có 1 cực trị ⇔ phương trình y′ = 0 có 1 nghiệm • Hàm số có 3 cực trị ⇔ phương trình y′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt • Khi đồ thị có 3 điểm cực trị A(0; c), B( x1; y1), C ( x2 ; y2 ) thì ∆ABC cân tại A Trang 23 Khảo sát hàm số B Một số dạng câu hỏi thường gặp... Trang 18 Khảo sát hàm số uuu r uuu r m = −1 2 ∆OAB vng tại O ⇔ OA.OB = 0 ⇔ 2m − 2m − 4 = 0 ⇔ m = 2 Câu 45 Cho hàm số y = 2 x 2 − 3(m + 1) x 2 + 6mx + m3 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vng tại C, với C(4;0) • Ta có: y′ = 6( x − 1)( x − m) Hàm số có CĐ, CT ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm... m ≤ 0 hoặc m = 2 Trang 24 Khảo sát hàm số Câu 63 Cho hàm số y = x 4 + (3m + 1) x 2 − 3 (với m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân 2 lần độ dài cạnh bên 3 3m + 1 • Ta có: y ' = 4 x 3 + 2(3m + 1) x ; y ' = 0 ⇔ x = 0, x 2 = − 2 1 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ⇔ m < −... 4(m − 1)t + 4m − 5 = 0 Trang 13 Khảo sát hàm số (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 ⇔ (2) có 2 nghiệm âm phân biệt m > 0 ∆′ > 0 5 4 ⇔ ⇔ 0 4 3 S < 0 3 2 Câu 31 Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + 2 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hồnh độ thuộc khoảng (−2;0) • Ta có: y′ = 3 x 2 + 2(1 − 2m) x +... + m4 Trang 26 Khảo sát hàm số Câu 68 Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 x = 0 3 2 • Ta có y ′= 4 x − 4mx = 4 x( x − m) = 0 ⇔ 2 x = m Hàm số đã cho có ba điểm cực... g( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ m > −3 Câu 78 Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − (m 2 − 1) ( m là tham số) (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương Trang 31 Khảo sát hàm số (1) có 2 cực trò y y < 0 • Đồ thị (1) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ ... nghiệm Trang (2) Khảo sát hàm số Câu 1 Cho hàm số y = (m − 1) x + mx + (3m − 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến... Trang 12 Khảo sát hàm số Câu 27 Cho hàm số y = (m + 2) x + x + mx − , m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có... m ≤ m = Trang 24 Khảo sát hàm số Câu 63 Cho hàm số y = x + (3m + 1) x − (với m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = −1 2) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị