MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TOÁN TỔ HỢP Mã: TO03B I Lời nói đầu Các toán tổ hợp dạng toán khó chương trình toán phổ thông thường xuất đề thi olympic, chọn học sinh giỏi quốc gia quốc tế Các toán tổ hợp có dạng không mẫu mực Trở ngại lớn giải toán tổ hợp xác định hướng Để giải toán cần đẳng thức, bất đẳng thức, hay kết trung gian khác … mà cần phải phát xây dựng cách lập luận đầy đủ, xác tạo đại lượng đó, chẳng hạn tạo tương ứng mà song ánh … mà nhờ ta tìm lời giải cho toán Rõ ràng để có khả định hướng tốt việc rèn luyện phương pháp tiếp cận cần thiết Trong nội dung viết này, xin có đề cập đến hai phương pháp có tính hiệu cao toán tổ hợp: Phương pháp sử dụng nguyên lý đếm phương pháp sử dụng song ánh, với toán từ dễ đến khó II Cơ sở lý thuyết Hai quy tắc đếm • Quy tắc cộng: Giả sử công việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A có m cách thực phương án B Khi công việc thực n + m cách • Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A làm theo n cách Với cách thực công đoạn A công đoạn B làm theo m cách Khi công việc thực theo m.n cách Hoán vị • Định nghĩa: Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A (gọi tắt hoán vị A) • Số hoán vị: Ký hiệu Pn số hoán vị tập hợp có n phần tử Ta có: Pn = n! = 1.2 (n − 2)(n − 1)n Chỉnh hợp • Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k A) • Số chỉnh hợp: Ký hiệu Ank số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử Ta có Ank = n! (với ≤ k ≤ n , quy ước An0 = ) (n − k )! Tổ hợp • Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A (gọi tắt tổ hợp chập k A) • Số tổ hợp: Ký hiệu Cnk số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử Ta có: Cnk = n! (với ≤ k ≤ n ) k !(n − k )! • Các tính chất số Cnk - Tính chất 1: Cho số nguyên dương n số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi đó: Cnk = Cnn−k - Tính chất 2: Cho số nguyên n k với ≤ k ≤ n Khi đó: Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 • Chú ý: Ta quy ước Cn0 = (coi ∅ tổ hợp chập tập hợp có n phần tử) Công thức nhị thức Niu-tơn Nhị thức Niu-tơn công thức khai triển biểu thức (a + b)n với n nguyên dương dạng đa thức: ( a + b )n = Cn0a n + Cn1a n−1b + + Cnk a n−k bk + + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n n ( a + b )n = k ∑ Cn a n −k k =0 bk (quy ước a° = b° = 1) Công thức có nhiều ứng dụng toán học biết đến từ trước thời Newton Còn thân Newton mở rộng khai triển trường hợp n âm Ngoài ra, người ta chứng minh công thức tổng quát khai triển này: ( a1 + a2 + + am ) n = n! a1n1 a2n2 amnm n1 + n2 + + nm =n n1 !n2 ! nm ! ∑ Các nguyên lý đếm • Nguyên lý bù trừ Cho X tập hợp hữu hạn A ⊂ X Gọi A = X \ A Khi A = X − A • Nguyên lý cộng Cho A B hai tập hợp không giao AUB = A + B n n i =1 i =1 Tổng quát: Cho Ai , i = 1, n tập rời Khi U Ai = ∑ Ai • Nguyên lý nhân Cho A B hai tập hợp hữu hạn A×B = A × B Tổng quát: Cho n tập hợp Ai , i = 1, n ( n ≥ 2) Khi • Nguyên lý thêm bớt n n i =1 i =1 ∏ Ai = ∏ Ai - Đối với tập hữu hạn A B , ta có: A ∪ B = A + B − A ∩ B - Đối với tập hữu hạn A, B C , ta có: A∪ B ∪C = A + B + C −( A∩ B + A∩C + B ∩C )+ A∩ B ∩C - Tổng quát: Cho A1 , A2 , , An tập hữu hạn Khi đó: n n i =1 i =1 UAi = ∑ Ai − ∑ 1≤i < j ≤ n Ai I Aj + ∑ 1≤i < j < k ≤ n n Ai I Aj I Ak − + (−1) n +1 I Ai i =1 Ánh xạ f : X → Y gọi song ánh X Y vừa đơn ánh, vừa toàn ánh Như f : X → Y song ánh với y ∈ Y , tồn phần tử x ∈ X để f ( x) = y Chú ý rằng: Nếu X Y hai tập hữu hạn X = Y III Các toán đếm Phương pháp 1: Sử dụng nguyên lý đếm Bài toán (Ví dụ SGK Đại số Giải tích 11 Nâng cao) Trong trường THPT, khối 11 có: 160 học sinh tham gia câu lạc Tin học, 140 học sinh tham gia câu lạc Ngoại ngữ, 50 học sinh tham gia hai câu lạc 100 học sinh không tham gia câu lạc hai câu lạc nêu Hỏi khối 11 trường có học sinh ? Giải Gọi tập hợp học sinh khối 11 trường THPT tham gia câu lạc Tin học câu lạc Ngoại ngữ A B Khi tập hợp học sinh khối 11 trường tham gia câu lạc (Tin học Ngoại ngữ) A ∪ B Theo ta có A = 160, B = 140, A ∩ B = 50 Theo quy tắc cộng mở rộng, số học sinh khối 11 tham gia câu lạc (Tin học Ngoại ngữ) A ∪ B = A + B − A ∩ B = 160 + 140 − 50 = 250 Vậy khối 11 trường có 250 + 100 = 350 (học sinh) Lời bình: Đây toán đơn giản em học sinh, nhiên toán mà có A ∩ B ≠ ∅ Do tính cộng số phần tử A với số phần tử B , số phần tử A ∩ B tính hai lần, kết ta phải bớt số phần tử A ∩ B Bài toán Một cỗ tú lơ khơ gồm 52 quân chia thành chất: rô, (màu đỏ), pích nhép (màu đen) Mỗi chất có 13 quân là: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A (đọc át) Bốn quân (gồm rô, cơ, pích, nhép) làm thành (hay gọi “tứ quý” 2); …; bốn quân át (gồm át rô, át cơ, át pích, át nhép) làm thành át (hay gọi “tứ quý” A) Chọn ngẫu nhiên 13 quân Tính xác suất để 13 quân có “tứ quý” Giải Có C5213 cách chọn 13 quân từ 52 quân Ta cần tìm số cách chọn có quân giống Trước hết, ta đếm số cách chọn có “tứ quý” A Lấy quân A quân từ 48 quân lại, suy có C489 cách chọn “tứ quý” A Với quân khác Vì có 13 loại quân khác nên số cách rút “tứ quý” 13.C489 - Trong lời giải trên, đếm lặp Cụ thể cách rút có hai “tứ quý”, chẳng hạn “tứ quý” K “tứ quý” A đếm hai lần: lần “tứ quý” K lần “tứ quý” A Nhưng ta đếm số “tứ quý” mà số lần gặp “tứ quý” Như thế, lần đếm lặp phải trừ Nhận thấy, số cách rút có “tứ quý” K A C445 Lý luận tiếp tục thế, ta có số xác cách rút có “tứ quý” là: 13C489 − C132 C445 + C133 C401 Vậy xác suất cần tìm là: p = 13C489 − C132 C445 + C133 C401 ≈ 0,0342 C5213 Lời bình: Trong lời giải trên, để không bị đếm lặp, bớt đi, lại thêm, lại bớt đi, … Cơ sở toán học phương pháp nguyên lý bù trừ { } { } Bài toán Xét tập hợp X = 1; 2; 3; ; 2015 Đặt A = x ∈ X : x ≡ 1(mod30) a) Tính A b) Tìm số tập B cho B ∩ A = ∅ Giải a) Xét x ∈ X , ta có : x ≡ 1(mod30) ⇒ x = + 30t Ta có ≤ x ≤ 2015 ⇒ ≤ + 30t ≤ 2015 ⇒ ≤ t ≤ 67 , A = 68 b) Gọi P( X ) tập bao gồm tất tập X , M tập tập B X cho B ∩ A ≠ ∅ Khi P( M ) \ X tập B X cho B ∩ A = ∅ hay B ⊂ X \ A Suy P( X ) \ M = P( X \ A) Theo nguyên lý cộng: P ( X ) = M + P ( X \ A) ⇒ M = P ( X ) − P ( X \ A) = 22015 − 22015−68 = 22015 − 21947 Lời bình: Trong lời giải trên, nắm công thức nguyên lý đếm ta lưu ý kiến thức bản, số tập tập hợp có n phần tử n Bài toán Trong đề thi chọn đội tuyển quốc gia có ba câu: Một câu số học, câu đại số, câu hình học Trong 40 thí sinh dự thi có 25 thí sinh làm câu số học, 30 thí sinh làm câu đại số 15 thí sinh làm câu hình học Ngoài số thí sinh làm hai câu số học đại số 20, số thí sinh làm hai câu số học hình học 5, số thí sinh làm hai câu đại số hình học 10 Biêt thí sinh không làm câu Hỏi có thí sinh làm ba câu? Giải Gọi A, B, C tập hợp thí sinh làm câu số học, đại số, hình học Theo giả thiết A = 25, B = 30, C = 15, A ∩ B = 20, B ∩ C = 10, C ∩ A = Vì thí sinh không làm câu nên A ∪ B ∪ C = 40 Áp dụng nguyên lý thêm bớt A ∪ B ∪C = A + B + C − A ∩ B − B ∩C − C ∩ A + A ∩ B ∩C Suy A ∩ B ∩ C = Vậy có thí sinh làm ba câu Bài toán Trong đề thi chọn học sinh dự Trại hè Hùng Vương có ba câu: Một câu số học, câu đại số, câu hình học Trong 60 thí sinh dự thi có 50 thí sinh làm câu số học, 40 thí sinh làm câu đại số 30 thí sinh làm câu hình học Ngoài số thí sinh làm hai câu câu số học đại số 55, số thí sinh làm hai câu đại số hình học 50, số thí sinh làm hai câu số học hình học 45 Biêt có 15 thí sinh làm ba câu Hỏi có thí sinh không làm câu nào? Giải Gọi A, B, C tập hợp thí sinh làm câu số học, đại số, hình học Theo giả thiết : X = 60, A = 50, B = 40, C = 30, A ∪ B = 55, B ∪ C = 50, C ∪ A = 45 A ∩ B ∩ C = 15 Áp dụng nguyên lý thêm bớt ta thu : A ∩ B = A + B − A ∪ B = 35 B ∩ C = B + C − B ∪ C = 20 C ∩ A = A + C − C ∪ A = 35 A ∪ B ∪ C = A + B + C − A ∩ B − B ∩ C − C ∩ A + A ∩ B ∩ C =45 Vậy số thí sinh không giải câu S = X \ ( A ∪ B ∪ C ) = X − ( A ∪ B ∪ C ) = 60 − 45 = 15 { } Bài toán Xét tập hợp X = 1; 2; 3; ; 2015 Hỏi có phần tử X { } bội phần tử tập hợp T = 2; 3; 5; Giải Gọi M tập hợp tất phần tử X bội phần tử tập T A = {x ∈ X : x ≡ 0( mod 2)}, C = {x ∈ X : x ≡ 0( mod5)}, ( B = {x ∈ X : x ≡ 0( mod3)} D = {x ∈ X : x ≡ 0( mod7)} ) Khi M = A ∪ B ∪ C ∪ D ; Suy M = A + B + C + D − A ∩ B − B ∩C − C ∩ D − D ∩ A − A ∩C − B ∩ D + A ∩ B ∩C + A ∩ B ∩ D + A ∩C ∩ D + B ∩C ∩ D − A ∩ B ∩C ∩ D Ta có : A = 1007; B = 671; C = 403; D = 287; A ∩ B = 335; B ∩ C = 134; C ∩ D = 57; D ∩ A = 143; A ∩ C = 210; B ∩ D = 95 A ∩ B ∩ C = 67, A ∩ B ∩ D = 47; A ∩ C ∩ D = 28; B ∩ C ∩ D = 19 A ∩ B ∩C ∩ D = M = 1546 Bài toán Có số nguyên dương có chữ số abc de cho a ≤ b < c < d ≤ e Giải Gọi X tập hợp số có chữ số abc de cho a ≤ b < c < d ≤ e Gọi A tập hợp số có chữ số số abc de cho a < b < c < d < e Gọi B tập hợp số có chữ số số abc de cho a = b < c < d < e Gọi C tập hợp số có chữ số số abc de cho a < b < c < d = e Gọi D tập hợp số có chữ số số abc de cho a = b < c < d = e Ta có X = A ∪ B ∪ C ∪ D A, B, C, D tập rời Do X = A + B + C + D = C 95 + C 94 + C 94 + C 93 = 462 Bài toán Từ chữ số 0;1; 2; 3; có số tự nhiên gồm năm chữ số khác Tính tổng số tự nhiên Giải Gọi X tập hợp tất số có chữ số khác a1a2 a3a4 a5 { } đó, a1, a2 , a3 , a4 , a5 ∈ M = 1; 2; 3; 4; a1 phải khác { } Z = {a a a a a ∈ X : a = 0} Gọi Y = a1a2 a3a4 a5 ∈ X : a ≠ Ta có : Y = X − Z = P5 − P4 = 96 Tính tổng số lập : Trong tập X số ;1 ;2 ;3 ;4 xuất P5 = 24 lần nên tổng số S : S ( X ) = 24( + + + + 4)(1 + 10 + 102 + 103 + 104 ) = 2666640 Trong tập Z số 0; 1; 2; 3; xuất P4 = lần nên tổng số Z : Z ( X ) = 6( + + + + 4)(1 + 10 + 102 + 103 + 104 ) = 66660 Vậy S(Y) = S(X) – S(Z) =2599980 Bài toán (IMO 1989) ( x ; x ; ; x ) tập (1; 2; ; 2n) gọi có tính chất T tồn i ∈ (1; 2; ; 2n − 1) cho Cho n số nguyên dương Một hoán vị 2n xi − xi +1 = n Chứng minh với n nguyên dương, số hoán vị có tính chất T lớn số hoán vị tính chất T Giải ( ) Ta có : xi − xi +1 = n nên xi = k ⇒ xi +1 = k + n với k ∈ 1; 2; ; n Kí hiệu Ak tập hoán vị có hai phần tử k k + n đứng liên tiếp Gọi A tập hoán vị có tính chất T Ta có n UA k =1 k n Do A ≥ ∑ Ak − ∑ Ak ∩ Ah k =1 k 2 ⎣ ⎦ Ta biết số hoán vị tập có 2n phần tử (2n) ! Ta có A + A = ( 2n)! , mà A > ( 2n)! ( 2n)! ⇒ A< hay A > A 2 10 Bài toán 10 (VMO – 1995, bảng B) Hỏi từ số 1, 2, 3, 4, lập số có 10 chữ số thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: 1) Trong số, chữ số có mặt hai lần 2) Trong số, hai chữ số giống không đứng cạnh Giải Kí hiệu số phần tử tập X X Đặt A = {1, 2, 3, 4, 5} Gọi { } T = i1i2 i10 tập số gồm 10 chữ số, i j ∈ A ( j = 1,2, ,10) cho chữ số thuộc A có mặt hai lần Xét tập Ti ⊂ T mà i1i2 i10 ∈Ti chữ số thuộc A chiếm hai vị trí liên tiếp Xét tập B ⊂ T mà i1i2 i10 ∈ B có i j ≠ i j +1 với j = 1, 2, ,9 B = T \ U Ti i =1 Gọi s số số thỏa mãn đề theo nguyên lý bù trừ ta có: 5 i =1 i =1 s = B = T \ U Ti = T − ∑ Ti + ∑ 1≤i1 Không tính chất tổng quát, ta giả sử T tập có nhiều phần tử Ta có: T1 ∩ L1 = T1 + L1 − T1 ∩ L1 (1) Vì (T1 ∪ L1 ) ⊂ L nên T1 ∪ L1 ≤ L Do từ (1) ta T1 ∩ L1 > 2 1 T + L − L = T − L ≥ T (do T ≥ L ) 3 3 Lại có: T1 ∩ L1 ∩ V1 = T1 ∩ L1 + V1 − (T1 ∩ L1 ) ∪ V1 (2) (3) Vi L1 ⊂ V nên (T1 ∩ L1 ) ⊂ V Từ lưu ý V1 ⊂ V suy ra: ⎡⎣(T1 ∩ L1 ) ∪ V1 ⎤⎦ ⊂ V suy (T1 ∩ L1 ) ∪ V1 ≤ V Vậy từ (1), (2) (3) ta : 1 T1 ∩ L1 ∩ V1 > T + V − V = ( T − V ) ≥ 3 3 Hiển nhiên T ∩ L ∩ V ∩ S = T1 ∩ L1 ∩ V1 (4) (5) Từ (4) (5) ta có T ∩ L ∩ V ∩ S > , suy đpcm Phương pháp2: Sử dụng song ánh Trước hết, ta xem xét nhận xét sau: Có n người đến dự buổi hội thảo toán học hội trường có 400 ghế Giả sử người chiếm ghế ngồi ghế có nhiều người ngồi Nếu ta thông báo người có chỗ ngồi ta kết luận 14 n ≤ 400 Nếu ta biết thêm ghế trống ta biết n = 400 Nếu có số người phải đứng ghế ngồi ta suy n > 400 Như vậy, xác định hay ước lượng số phần tử tập hợp A thông qua tập hợp B mà ta biết số phần tử nhờ phép tương ứng (ánh xạ) A B Đây phương pháp sử dụng hiệu để giải nhiều toán đếm nâng cao Bài toán 13 Có nhóm người mà đó, cặp không quen có hai người quen chung, cặp quen người quen chung Chứng minh số người quen người Giải Giả sử a quen b gọi tập người quen a tập người quen b (không kể a b ) A B Mỗi người a ' thuộc A quen với người thuộc B (do a ' b không quen nhau, họ có người quen chung a ) Tương tự, người thuộc B quen với người thuộc A Vậy tồn song ánh từ A tới B , tức a b có số người quen Nếu a không quen b tồn c quen a b Do đó, số người quen a số người quen b có số người quen c Bài toán 14 (VMO – 2002) Cho tập hợp S gồm tất các số nguyên dương đoạn [1; 2002] Gọi T tập hợp tất tập không rỗng S Với X thuộc T , ký hiệu m( X ) trung bình cộng phần tử X Tính α=∑ m( X ) ; tổng lấy theo tất tập X thuộc T T Giải 15 Xây dựng song ánh f : T → T sau; f ( X ) = {2003 − x / x ∈ X }; ∀X ∈ T Rõ ràng m( X ) + x ( f ( X ) ) = 2003 Do 2∑ m( X ) = ∑ ⎡⎣m( X ) + m ( f ( X ) )⎤⎦ = T 2003 ⇒ α = ∑ m( X ) 2003 = T Lời bình: Ý tưởng giải tập thực chất xem xuất phát từ toán quen thuộc: tính tổng + + + 100 , với cách giải tuyệt vời nhà toán học Gauxơ Ở diễn đạt lại cách tính sau: ∀i ∈ S = {1,2, ,100}, gọi f ánh xạ xác định sau: f (i) = 101 − i Rõ ràng f song ánh từ S tới S , đó: 2∑ i = ∑ (i + f (i) ) = A 101 = 10100 i∈s i∈s Suy tổng cần tính 5050 Bài toán 15 Hãy tính trung bình cộng tất số N gồm 2002 chữ số thỏa mãn N M99 chữ số N thuộc tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Giải Gọi M tập số N thỏa mãn điều kiện đề Xây dựng ánh xạ f : M → M sau: Nếu N = a1a2 a2002 f ( N ) = bb b2002 với bi = − ; i = 1, 2, 3, ,2002 Do N + f ( N ) = 99 { M99 nên f song ánh 2002 Từ đó, ta có: ∑ N = M 99 { N ∈M 2002 Suy trung bình cộng số N 99 { 2002 = 102002 − Bài toán 16 Trong xâu nhị phân có độ dài n , gọi an số xâu 16 không chứa số liên tiếp 0, 1, bn số xâu không chứa số liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0, Chứng minh bn +1 = 2an Giải Ta gọi xâu thuộc loại A không chứa số liên tiếp 0, 1, gọi xâu thuộc loại B không chứa số liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0, Với xâu X = ( x1 , x2 , , xn ) , ta xây dựng f ( X ) = ( y1 , y2 , , yn +1 ) sau: y1 = , yk ≡ x1 + x2 + + xk (mod 2) Rõ ràng X chứa số liên tiếp 0, 1, f ( X ) chứa số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0, tức X thuộc loại A f ( X ) thuộc loại B Vậy f song ánh từ tập xâu loại a độ dài n đến tập xâu loại B độ dài n + mà bắt đầu Nhưng xâu X thuộc B ta nhận xâu X thuộc B cáh đổi phần tử X theo quy tắc → 0; → nên số xâu loại B có độ dài n + gấp đôi số xâu loại B độ dài n + mà bắt đầu số Từ ta có điều phải chứng minh Bài toán 17 (Bài toán chia kẹo Euler) Cho k , n số nguyên dương Tìm số nghiệm không âm phương trình: x1 + x2 + + xn = k (1) Giải Ta xây dựng song ánh từ tập hợp A nghiệm nguyên không âm (1) với tập hợp B xâu nhị phân độ dài n + k − với k bít n − k bít sau: ( x1 , x2 , , xn ) a 101 101 01 Trong có x1 số liên tiếp, sau đến số 0, sau đến x2 số liên tiếp, lại đến số 0, … , cuối xn số liên tiếp 17 Ta chứng minh ánh xạ song ánh Từ A = B = Cnn+−k1−1 Bài toán 18 Chứng minh với n∈• C2nn = (Cn0 ) + (Cn1 ) + + (Cnn ) 2 Giải Ta đếm số cách chọn n phần tử từ tập gồm 2n phần tử theo hai cách - Cách thứ nhất: Mỗi lần chọn n phần tử, số cách hiển nhiên C2nn - Cách thứ hai: Trước hết chia tập 2n phần tử thành hai tập con, tập gồm n phần tử; sau chọn từ tập thứ k phần tử (có Cnk cách chọn) chọn từ tập thứ hai n − k phần tử (có Cnn−k = Cnk cách chọn), ta có (C ) k n cách chọn, cuối cho k chạy từ tới n ta tổng số cách chọn cần tìm (Cn0 ) + (Cn1 ) + + (Cnn ) 2 Vậy theo cách chọn ta có: C2nn = (Cn0 ) + (Cn1 ) + + (Cnn ) 2 Lời bình: Đây cách suy luận đơn giản có hiệu Tuy nhiên ta có thẻ có cách giải khác nhờ phương pháp đồng hệ số x n đẳng thức (1 + x)n (1 + x)n = (1 + x)2 n , cách học sinh phải biết công thức khai triển nhị thức Niu tơn Dưới tập phức tạp Bài toán 19 (Vô địch Trung Quốc – 1994) Chứng minh rằng: n ∑ C C[ k =0 k k n ( n − k )/2] n−k = C2nn+1 ; ∀n ∈ ¢ + Giải Ta chọn n số từ 2n + số sau Trước hết, từ 2n + số, ta chia n cặp số x - Bước 1: Ta chọn k cặp từ cặp chọn số - Bước 2: Chọn [(n − k ) / 2] cặp n − k cặp lại, ra, số x chọn n − k lẻ không chọn n − k chẵn rõ ràng bước 18 có 2n Cnk cách chọn bước có Cn[(−nk− k )/2] cách chọn ta chọn tổng cộng n số, k chạy từ đến n Từ lập luận ta có điều phải chứng minh Bài toán 20 Gọi M tập hợp tất số nguyên dương (viết theo hệ thập phân) có n chữ số 1, n chữ số không chữ số khác N tập hợp tất số nguyên dương có n chữ số thuộc tập {1, 2, 3, 4} số chữ số số chữ số Chứng minh M = N = C2nn Giải Rõ ràng M N tập hữu hạn Ta chứng minh tồn song ánh từ N vào M sau: Số có n chữ gồm số 1, 2, 3, số chữ số số chữ số “nhân đôi” thành số có 2n chữ số theo quy tắc: Đầu tiên, hai phiên số viết kề thành số có 2n chữ số Sau đó, chữ số n chữ số đầu đổi thành chữ số 1, chữ số n chữ số sau đổi thành chữ số Tương tự, chữ số n chữ số đầu đổi thành chữ số 2, chữ số n chữ số sau đổi thành chữ số Như thế, ta thu số có n chữ số n chữ số Rõ ràng đơn ánh, ta xây dựng ánh xạ ngược sau: Với số có n chữ số n chữ số 2, ta cắt n chữ số đầu n chữ số cuối đặt chúng “ song song ” với thực phép “cộng” Thực phép “cộng” theo quy tắc: + = 2, + = 1,1 + = 3, + = Ta thu số có n chữ số gồm chữ số 1, 2, 3, 4, với cac chữ số chữ số Do đó, song ánh hai tập hợp M N thiết lập Tính M : 19 Có 2n vị trí để bố trí chữ số 1, suy có C2nn cách Còn lại n vị trí để bố trí chữ số 2, suy có cách Theo nguyên lý nhân, ta có: 1.C2nn = C2nn số có n chữ số n chữ số Do M = C2nn Do vậy: M = N = C2nn Cách 2: ∀k ∈ S = {0,1, , n}, ta thực lần (độc lập với nhau) việc đánh dấu k n vị trí hàng Sau đó, vị trí ta ghi: chữ số đánh dấu lần, chữ số không đánh dấu lần nào, chữ số đánh dấu lần đầu chữ số chie đánh dấu lần sau Rõ ràng cho k chạy S số tất số thu N Hơn nữa, ∀k ∈ S xem số cách đánh dấu lần đầu số cách chọn k số n vị trí, số cách đánh dấu lần sau số cách chọn n − k vị trí n vị trí Do tổng số cách đánh dấu k chạy S số cách chọn n phần tử từ 2n phần tử (tức C2nn ), số M Vậy ta có M = N = C2nn v Bài tập tương tự 1) Từ hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng NGười ta chọn viên bi Hỏi có cách chọn mà số viên bi lấy không đủ màu 2) Cho n số nguyên dương Xét A = p1α p2α pnα với p1 , p2 , , pn n số nguyên tố phân biệt Hỏi A có ước số dương phân biệt Đáp số: (α1 + 1)(α + 1) (α n + n) 3) (Poland) Cho tập M gồm n phần tử Với hai tập tùy ý A, B tập M tính số phần tử A ∩ B Chứng minh tổng tất phần tử giao gồm hai tập M n.4n−1 4) (VMO - 2006, bảng A) Xét tập hợp số S có 2006 phần tử Ta gọi tập T S tập “bướng bỉnh” với hai số u, v tùy ý (có thể u = v ) 20 thuộc T có u + v không thuộc T Chứng minh rằng: a) Nếu S tập hợp gồm 2006 số nguyên dương đàu tiên tập “ bướng bỉnh” S có không 1003 phần tử b) Nếu S tập hợp gồm 2006 số nguyên dương tùy ý tồn tập “bướng bỉnh” S có 669 phần tử 5) Có số tự nhiên có chữ số mà tổng chữ số bội Đáp số : 2249 { 6) Cho tập X = 0;1; 2; 3; 4; 5} Hỏi từ tập X ta có số tự nhiên abc de f gồm sáu chữ số khác thỏa mãn d + e + f − a − b − c = Đáp số : 84 { 7) (IMO - 1991) Xét tập hợp S = 1; 2; 3; ; 280} Tìm số tự nhiên n nhỏ cho tập hợp gồm n phần tử S chứa số dôi nguyên tố Đáp số : n = 217 8) Có cách xếp từ chữ MAYMAN cho cách xếp hai chữ giống không đứng gần HD : Kí hiệu M1 tập hợp chứa cách xếp hai chữ M đứng cạnh M2 tập hợp chứa cách xếp hai chữ A đứng cạnh d0 tất cách xếp Khi đó, số cách xếp phải : d = d0 − M1 ∪ M2 = d0 − ( M1 + M2 ) + M1 ∩ M2 ⇒ d = 180 − 120 + 24 = 84 9) Chứng minh báo cáo thành tích cuối năm lớp sau sai “ Lớp có 45 học sinh, có 30 em nam Lớp có 30 em học sinh đạt loại giỏi số có 16 em nam Lớp có 25 em chơi thể thao số 21 có 18 em nam 17 em đạt loại giỏi Có 15 em nam vừa đạt loại giỏi, vừa chơi thể thao.” HD: Gọi M tập hợp số học sinh lớp Gọi A, B, C số học sinh nam, số học sinh đạt loại giỏi số học sinh chơi thể thao Khi ( ) ( M − A ∪ B ∪C = M − A + B + C + A ∩ B + B ∩C + C ∩ A ) − A ∩ B ∩C = 45 − (30 + 30 + 25) + (16 + 18 + 17) − 15 = −4 (mẫu thuẫn ) 10) Có số nguyên dương bội và không chia hết cho 2015 số nguyên dương Đáp số : 806 11) Người ta tô tất đỉnh đa giác 10 đỉnh màu khác cho điều kiện sau thỏa mãn đồng thời: i) Mỗi đỉnh tô màu; ii) Mỗi màu dùng để tô cho hai đỉnh không kề Hai cách tô màu thỏa mãn điều kiện gọi tương đương cách tô màu nhận từ cách tô màu nhờ phép quay quanh tâm đa giác cho Cnk+ k n Cmk + k 12) Cho trước số nguyên dương m, n Tính T = ∑ m+ k + ∑ n + k k =0 k =0 m Đáp số: T = 2m+ n+1 13) Cho số nguyên dương n, k với n ≥ k Xét phép toán f thứ tự X = ( x1 , x2 , , xn ) sau: lần chọn k số liên tiếp tùy ý X đổi dấu chúng Tìm số thứ tự X = ( x1 , x2 , , xn ) thỏa mãn điều kiện: i) Mọi phần tử X thuộc tập {0,1} ; ii) Có thể thực hữu hạn lần phép toán f để từ X nhận (1,2, ,1) 22 KẾT LUẬN Các vấn đề nghiên cứu phần giúp cho giáo viên học sinh có cách nhìn đôi chút hai phương pháp toán đếm toán tổ hợp, phương pháp sử dụng nguyên lý đếm phương pháp dùng song ánh Trong trình nghiên cứu biên soạn lại dạng toán, tác giả cố gắng thu thập hệ thống lại cách rõ ràng, nhiên tránh khỏi thiếu sót Rất mong thầy cô em học sinh sử dụng chuyên đề đóng góp ý kiến để chuyên đề ngày hoàn thiện 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tủ sách Toán học tuổi tre (2007), Các thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990 - 2006) NXB Giáo Dục Văn Phú Quốc (Chủ biên), Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán I NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2013), Đại số Giải tích 11 nâng cao(tái lần thứ sáu), NXB Giáo Dục Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ, Quyển 1, NXB Giáo Dục Việt Nam 2009 24 [...]... Đầu tiên, hai phiên bản của số này được viết kề nhau thành số có 2n chữ số Sau đó, các chữ số 3 ở n chữ số đầu được đổi thành chữ số 1, các chữ số 3 ở n chữ số sau được đổi thành chữ số 2 Tương tự, các chữ số 4 ở n chữ số đầu được đổi thành chữ số 2, các chữ số 4 ở n chữ số sau được đổi thành chữ số 1 Như thế, ta thu được một số có đúng n chữ số 1 và n chữ số 2 Rõ ràng đây là một đơn ánh, ta xây dựng... n chữ số 1, n chữ số 2 và không còn chữ số nào khác N là tập hợp tất cả các số nguyên dương có n chữ số thuộc tập {1, 2, 3, 4} và số chữ số 1 bằng số chữ số 2 Chứng minh rằng M = N = C2nn Giải Rõ ràng M và N là các tập hữu hạn Ta sẽ chứng minh tồn tại một song ánh từ N vào M như sau: Số có n chữ gồm các số 1, 2, 3, 4 và số các chữ số 1 bằng số các chữ số 2 được “nhân đôi” thành số có 2n chữ số theo... ước lượng số phần tử của một tập hợp A nào đó thông qua một tập hợp B mà ta đã biết số phần tử của nó nhờ một phép tương ứng (ánh xạ) giữa A và B Đây là một phương pháp được sử dụng rất hiệu quả để giải nhiều bài toán đếm nâng cao Bài toán 13 Có một nhóm người mà trong đó, mỗi cặp không quen nhau có đúng hai người quen chung, còn mỗi cặp quen nhau thì không có người quen chung Chứng minh rằng số người.. .Bài toán 10 (VMO – 1995, bảng B) Hỏi từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1) Trong mỗi số, mỗi chữ số có mặt đúng hai lần 2) Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau Giải Kí hiệu số phần tử của tập X là X Đặt A = {1, 2, 3, 4, 5} Gọi { } T = i1i2 i10 là tập các số gồm 10 chữ số, trong đó i j ∈ A (... dấu lần nào, chữ số 1 nếu chỉ được đánh dấu lần đầu và chữ số 2 nếu chie được đánh dấu lần sau Rõ ràng khi cho k chạy trên S thì số tất cả các số thu được chính là N Hơn nữa, ∀k ∈ S thì có thể xem số cách đánh dấu lần đầu là số cách chọn k trong số n vị trí, còn số cách đánh dấu lần sau là số cách chọn n − k vị trí trong n vị trí Do đó tổng số cách đánh dấu khi k chạy trên S đúng bằng số cách chọn n... x1 , x2 , , xn ) a 1 101 101 1 01 1 Trong đó có x1 số 1 liên tiếp, sau đó đến một số 0, sau đó đến x2 số 1 liên tiếp, lại đến số 0, … , cuối cùng là xn số 1 liên tiếp 17 Ta chứng minh được ánh xạ này là một song ánh Từ đó A = B = Cnn+−k1−1 Bài toán 18 Chứng minh rằng với mỗi n∈• thì C2nn = (Cn0 ) + (Cn1 ) + + (Cnn ) 2 2 2 Giải Ta đếm số cách chọn n phần tử từ một tập gồm 2n phần tử theo hai cách... thực hiện hữu hạn lần phép toán f để từ X nhận được bộ (1,2, ,1) 22 KẾT LUẬN Các vấn đề nghiên cứu trên phần nào giúp cho giáo viên cũng như học sinh có được cách nhìn đôi chút về hai phương pháp cơ bản trong các bài toán đếm của toán tổ hợp, đó là phương pháp sử dụng các nguyên lý đếm cơ bản và phương pháp dùng song ánh Trong quá trình nghiên cứu và biên soạn lại các dạng bài toán, tác giả đã cố gắng... bình cộng các số N là 99 9 { 2002 2 = 102002 − 1 2 Bài toán 16 Trong các xâu nhị phân có độ dài n , gọi an là số các xâu 16 không chứa quá 3 số liên tiếp 0, 1, 0 và bn là số các xâu không chứa 4 số liên tiếp 0, 0, 1, 1 hoặc 1, 1, 0, 0 Chứng minh rằng bn +1 = 2an Giải Ta gọi một xâu thuộc loại A nếu nó không chứa quá 3 số liên tiếp 0, 1, 0 và gọi một xâu thuộc loại B nếu nó không chứa 4 số liên tiếp... bỉnh” của S đều có không quá 1003 phần tử b) Nếu S là tập hợp gồm 2006 số nguyên dương tùy ý thì tồn tại một tập con “bướng bỉnh” của S có 669 phần tử 5) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng của các chữ số là bội của 4 Đáp số : 2249 { 6) Cho tập X = 0;1; 2; 3; 4; 5} Hỏi từ tập X ta có thể có bao nhiêu số tự nhiên abc de f gồm sáu chữ số khác nhau thỏa mãn d + e + f − a − b − c = 1 Đáp số : 84... dựng ánh xạ ngược như sau: Với mỗi số có n chữ số 1 và n chữ số 2, ta cắt n chữ số đầu và n chữ số cuối và đặt chúng “ song song ” với nhau khi thực hiện phép “cộng” Thực hiện phép “cộng” theo quy tắc: 1 + 1 = 2, 2 + 2 = 1,1 + 2 = 3, 2 + 1 = 4 Ta sẽ thu được một số có n chữ số gồm các chữ số 1, 2, 3, 4, với cac chữ số 1 bằng các chữ số 2 Do đó, song ánh giữa hai tập hợp M và N đã được thiết lập Tính ... gồm số 1, 2, 3, số chữ số số chữ số “nhân đôi” thành số có 2n chữ số theo quy tắc: Đầu tiên, hai phiên số viết kề thành số có 2n chữ số Sau đó, chữ số n chữ số đầu đổi thành chữ số 1, chữ số n... a < b < c < d < e Gọi B tập hợp số có chữ số số abc de cho a = b < c < d < e Gọi C tập hợp số có chữ số số abc de cho a < b < c < d = e Gọi D tập hợp số có chữ số số abc de cho a = b < c < d... phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A (gọi tắt tổ hợp chập k A) • Số tổ hợp: Ký hiệu Cnk số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử Ta có: Cnk = n! (với ≤ k ≤ n ) k !(n − k )! • Các tính chất số Cnk -