PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016 Câu (2,0 điểm): a) Rút gọn biểu thức A = x −9 x + x +1 − − với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x−5 x +6 x − 3− x b) Phân tích đa thức B = xyz + x y - x z - y + yz - xz thành nhân tử Câu (2,0 điểm): a) Tìm giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d): y= (2m-1)x + + 2m có giá trị lớn b) Giải phương trình: x - + - x + 10x = x + 27 Câu (2,0 điểm): a) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: 2016xy = x + y b) Tìm số tự nhiên x; y; z thỏa mãn đồng thời (x -1) + y3 - 2z = x + y + z – số nguyên tố Câu (3,0 điểm): Cho nửa đường tròn (O;R), BC đường kính Điểm A di động nửa đường tròn (A khác B C) Kẻ AH vuông góc với BC H Gọi I K thứ tự hình chiếu H AB AC BI AB3 = a) Chứng minh: CK AC b) Chứng minh điểm B, I, K, C thuộc đường tròn c) Xác định vị trí điểm A nửa dường tròn để tích HA.HB có giá trị lớn Câu (1,0 điểm): 2x (2xy - 1) = 2xy + y Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 2x + y Cho số dương x,y thỏa mãn: - Hết SBD: Họ tên thí sinh: Giám thị 1: Giám thị 2: PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Bài HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 04 trang) Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016 Ý Nội dung Điểm TP Tổng điểm Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Ta có : x −9 x + x +1 − − x−5 x +6 x − 3− x A= = x −9 x + x +1 − + ( x − 2)( x − 3) x −2 x −3 = x − − ( x + 3)( x − 3) + (2 x + 1)( x − 2) ( x − 2)( x − 3) a = x− x −2 ( x − 2)( x − 3) ( x + 1)( x − 2) = ( x − 2)( x − 3) = x +1 x −3 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 Ta có B = xyz + x y - x z - y + yz - xz = ( x y - x z) + ( xyz - xz ) - (y - yz ) b = x ( y − z ) + xz ( y − z ) − y ( y − z ).( y + z ) = ( y − z ).( x + xz − y − yz ) = ( y − z ).[ ( x − y ).( x + y) + z ( x − y ) ] = ( y − z ).( x − y ).( x + y + z ) a Xét đường thẳng (d): y= (2m-1)x + + 2m - Tìm điểm cố định A( -1;4) - Lập phương trình đường thẳng OA là: y = -4x - Khẳng định: Khoảng cách từ O đến (d) có giá trị lớn (d) vuông góc với OA - Khi (2m – 1).(-4) = -1 ⇔ m = giá trị lớn khoảng cách từ O đến (d) 17 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 1,0 0,25 0,25 0,25 0.25 Xét phương trình: ⇔ x - + - x + 10x = x + 27 x - + - x = x - 10x + 27 ĐKXĐ: ≤ x ≤ b Chứng minh vế trái Dấu “=” xảy ⇔ x = Chứng minh vế phải x - 10x + 27 ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = Khẳng định phương trình có nghiệm x = Từ 2016xy = x + y => 20162 xy – 2016x – 2016 y = a  ( 2016 x – 1) ( 2016 y – 1) = Do x y số nguyên nên giải phương trình ta suy Cặp số nguyên ( x; y) = (0;0) Ta có ( x + y + z − 1)3 = [ ( x − + y + z ) ] 0,25 x-4 + 6-x ≤2 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 1,0 = ( x − 1)3 + y + 3( x − 1) y ( x − + y )  + z + 3( x − + y ) z + 3( x − + y ) z = z + 3( x − 1) y ( x − + y ) + 3( x − + y ) z + 3( x − + y ) z M 0,25 ( (x -1) + y = 2z ) b => ( x -1 + y + z) chia hết cho Vì x − + y + z nguyên tố nên x − + y + z = Vai trò x, y, z nên không tính tổng quát, giả sử : 0,25 1,0 0,25 x − ≤ z ≤ y ⇒ = x − + y + z ≥ 3( x − 1) ⇒ x − ≤ ⇒ x − ∈ { 1;0} Với x − = ⇒ y = z y + z = , suy không tồn y, z số tự nhiên thỏa mãn Với x − = ⇒ + y = z y + z = Tìm y = z = Đáp số x = 2; y = z = 0,25 A I M K O B H C N ˆ = 900 Vì A ∈ nửa đường tròn tâm O, đường kính BC ( gt) => BAC Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có AB = BH BC => AB = BH BC AC = CH BC => AC = CH BC a 0,25 Lại có BH = BI BA, 0,25 0,25 CH = CK CA AB BI BA.BC AB BI ⇒ = => = AC CK CA.BC AC CK 1,0 b c 0,25 Chứng minh tứ giác AKHI hình chữ nhật Gọi M giao điểm AH IK, N giao điểm đường trung trực IK BC Chứng minh AO vuông góc với IK, từ suy tứ giác AMNO hình bình hành Do MA = ON = MK Chứng minh hai tam giác BON NMI Suy NI = NB = NK =NC Vậy điểm B, I ,K, C thuộc đường tròn 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 a +b+c+d + Dễ dàng chứng minh : abcd ≤  ÷ (*)   Dấu “=” xảy a = b = c = d 1,0 0,25 + Đặt HB = x , < x < 2R => HC = 2R - x Chứng minh : HA = x.(2R − x) Ta có: HA.HB = x x(2R − x) = (2R − x)x 3 HA.HB có giá trị lớn ⇔ (2R − x)x có giá trị lớn ⇔ x.x.x(2R – x) có giá trị lớn 0,25 x x x (2R − x) có giá trị lớn 3 x Áp dụng (*) với a = b = c = x x x x x x R4  Ta có : (2R − x) ≤  + + + (2R − x) ÷ = 3 3 3 16  x Do tích HA.HB có giá trị lớn ⇔ = (2R − x) ⇔ x = R Và xác định vị trí điểm A nửa đường tròn AC = R ⇔ 0,25 0,25 Do x, y dương 2x 2x 1 (2 x − ) = x + (2xy - 1) = 2xy + => nên từ y y y y 2x 1 (2 x − ) = x + ta suy 2x > y >0 y y y 2x 2 y (2 x − y ) = (2 x + y ) (1) 1 Đặt a =2x + ; b = 2x (a, b > 0; a ≥ 4b) y y 2 2 Ta có: (1) ⇔ b(a − 4b) = a ⇔ a (b − 1) = 4b Có Suy : b - > a = 0,25 4b b −1 b2 1 = b +1+ = (b − 1) + + ≥ (b − 1) +2=4 Lại có : b −1 b −1 b −1 b −1 (theo bđt Cô si) Do đó: a ≥ 16 Mà a > nên a ≥ ⇒ x + y ≥ Dấu “=” xảy : b − = ⇔ (b − 1) = ⇔ b = ( b> ) b −1   2+ 2 x + y = 2 x = + x =    ⇔ 1 ⇔ Khi đó:   x =  y = 2− y = 2+   y  1,0 0,25 0,25 Vậy giá trị nhỏ biếu thức 2x + y x= y= 2+ * Chú ý: Học sinh làm cách khác, cho điểm tối đa 0,25 ...PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Bài HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 04 trang) Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016 Ý Nội... tháng 01 năm 2016 Ý Nội dung Điểm TP Tổng điểm Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Ta có : x 9 x + x +1 − − x−5 x +6 x − 3− x A= = x 9 x + x +1 − + ( x − 2)( x − 3) x −2 x −3 = x − − ( x + 3)( x − 3) + (2 x +... tồn y, z số tự nhiên thỏa mãn Với x − = ⇒ + y = z y + z = Tìm y = z = Đáp số x = 2; y = z = 0,25 A I M K O B H C N ˆ = 90 0 Vì A ∈ nửa đường tròn tâm O, đường kính BC ( gt) => BAC Áp dụng hệ