Thuật toán nón xoay tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu trong bài toán trò chơi ma trận và ứng dụng

55 508 0
Thuật toán nón xoay tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu trong bài toán trò chơi ma trận và ứng dụng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM ĐỨC TUẤN THUẬT TOÁN NÓN XOAY TÌM CHIẾN LƢỢC HỖN HỢP TỐI ƢU TRONG BÀI TOÁN TRÒ CHƠI MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS Nguyễn Anh Tuấn Thái Nguyên - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU.……………………………………………………………… …….…… … i Chƣơng THUẬT TOÁN NÓN XOAY VÀ BÀI TOÁN TRÒ CHƠI MA TRẬN 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ………………………………………………….……1 1.2 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính, cạnh phương nón Nón – (nón cực tiểu)………………………………………………………………… ………….…1 1.2.1 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính…………….……… 1.2.2 Khái niệm cạnh nón đơn hình………………………… .……………2 1.2.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh từ nón M………………… ………………4 1.2.4 Định nghĩa Nón – (nón cực tiểu)…………………………….……….……5 1.3 Phương pháp nón xoay tuyến tính…………………………………….……… ……7 1.3.1 Thuật toán nón xoay tuyến tính…………………………………….….……….8 1.3.2 Bảng lặp giải toán quy hoạch tuyến tính thuật toán nón xoay tuyến tính ví dụ minh hoạ……………………………………………………………………10 1.4 Thuật toán nón xoay giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm…………………………………………………………….…….……14 1.4.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm……………………………………………………………………….…….…… 14 1.4.2 Xây dựng nón – (nón cực tiểu) xuất phát ………………….…… ……15 1.4.3 Thuật toán nón xoay tuyến tính LA giải toán qui hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số không âm…………………………………………….…… ……15 1.4.4 Lựa chọn số đưa vào sở………………………………… …….…… 16 1.5 Cặp toán đối ngẫu quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn……… …………… 18 1.5.1 Cặp toán đối ngẫu………………………………………….… ….…… 18 1.5.2 Một số tính chất định lý đối ngẫu………………………… ….…….…… 19 1.6 Bài toán trò chơi ma trận 20 1.6.1 Khái niệm trò chơi ma trận 21 1.6.2 Hàm thu hoạch P1 .22 1.6.3 Điểm yên ngựa chiến lược tối ưu 23 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii 1.7 Đưa trò chơi ma trận toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 24 1.7.1 Đưa toán trò chơi ma trận toán quy hoạch tuyến tính 24 1.7.2 Ví dụ minh họa[2] 26 Chƣơng THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN TRÒ CHƠI MATRẬN KHI SỐ CHIẾN LƢỢC CỦA MỘT TRONG HAI NGƢỜI CHƠI LÀ HAI 2.1 Bài toán trò chơi ma trận người chơi P1 sử dụng hai chiến lược 31 2.2 Phương pháp giải trực tiếp toán người chơi P1 33 2.3 Bảng giải toán người chơi P1 theo phương pháp TT 41 2.4 Ví dụ minh họa giải toán P1 theo phương pháp TT 44 Chƣơng NHẬN XÉT VÀ KẾT LUẬN .48 TÀI LIỆU THAM KHẢO .49 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv MỞ ĐẦU Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn toán có miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính với biến không âm Nhiều toán quy hoạch tuyến tính thực tế thường bắt đầu dạng này, luận văn trình bày phương pháp nón xoay giải trực tiếp toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Từ ta xây dựng thuật toán nón xoay tuyến tính giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm ứng dụng để tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu trò chơi ma trận Luận văn gồm chương: Chương 1, trình bày phương pháp nón xoay thuật toán nón xoay tuyến tính giải toán quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số không âm với sở xuất phát từ gốc tọa độ O( 0, 0, …, 0) Sau trình bày toán trò chơi ma trận đưa việc tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu toán trò chơi ma trận việc giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Chương 2, luận văn ứng dụng thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm trình bày chương 1, ta xây dựng phương pháp cụ thể giải trực tiếp toán tìm chiến lược tối ưu trường hợp đặc biệt với số chiến lược người chơi thứ (người chơi thứ hai có số chiến lược chơi n bất kỳ) mà thường giải phương pháp đồ thị Các thuật toán trình bày luận văn xây dựng chi tiết, bước thuật toán trình bày cho dễ dàng lập trình chuyển sang chương trình máy tính ngôn ngữ Pascal, C, Java, Luận văn hoàn thành dựa tài liệu [2], [4], [5], [6] tài liệu có phần tài liệu tham khảo Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Tác giả Phạm Đức Tuấn Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chƣơng THUẬT TOÁN NÓN XOAY VÀ BÀI TOÁN TRÒ CHƠI MA TRẬN Trong chương này, trình bày phương pháp giải toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính thuộc lược đồ xấp xỉ (vì xuất phát giải từ đỉnh nón đơn hình tuyến tính miền chấp nhận được) gọi thuật toán nón xoay tuyến tính [4] Từ trình bày trường hợp riêng biến thể giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn hàm mục tiêu có hệ số không âm, lớp toán thường hay gặp thực tế Bài toán trò chơi ma trận trường hợp cần tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu dẫn đến toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, chương trình bày khái niệm toán trò chơi ma trận đưa toán toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính Xét toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính sau: n f ( x) C, x ( L) ci xi i x PL : x  n : Ai , x bi 0, i 1,2, , m x  n , Ai véc tơ dòng Ai  n , m n, Ai (ai1, ai2, , ain) ≠ O(0,…,0), C(c1, c2,…, cn), bi  , i=1, 2, , m Hạng hệ Ai (i=1, 2, …, m) n, giả thiết bình thường miền ràng buộc PL toán quy hoạch tuyến tính nói chung có ràng buộc dấu biến x 1.2 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính, cạnh phƣơng nón Nón – (nón cực tiểu) 1.2.1 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính Xét tập M xác định từ n ràng buộc tuyến tính PL, cụ thể là: M: x  n : Ai , x bi (1.1) 0, i I Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ I : 1,2, , m , I i1, i2 , , in I) Ai với i n (ở I số đo số phần tử tập I hệ độc lập tuyến tính Tập M gọi nón đơn hình tuyến tính hệ ràng buộc PL với đỉnh xM nghiệm (được xác định) thoả mãn hệ sau: + bi = 0, Hệ véc tơ Ai với i i I (1.2) I gọi sở nón M, hay gọi sở đỉnh xM Tập I gọi tập số sở nón M 1.2.2 Khái niệm cạnh nón đơn hình I, tập hợp điểm x Với i  n thỏa mãn hệ: + br = 0, r I\{i} (1.3) gọi đường thẳng i nón M Tập điểm x thoả mãn hệ: Ar , x br 0, r Ai , x bi I\ i gọi cạnh i nón M Với i (i I), Véc tơ z Mi (i I), xác định hệ: Ar , zMi 0, r Ai , zMi I,r i (1.4) gọi véc tơ phương cạnh i nón M Đỉnh xM nón M xác định từ (1.2), trường hợp biết hệ véc tơ phương zMi (i I) sử dụng công thức sau: xM bi zMi (1.5) i I Định lý 1.1 [4] Nếu xM đỉnh nón đơn hình M xác định từ (1.2), hệ véc tơ phương z Mi (i I) cạnh i nón M xác định từ (1.4) xác định đỉnh xM từ công thức sau: Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ xM bi zMi i I Từ định lý 1.1 ta suy trường hợp biết hệ véc tơ phương z Mi (i I) xác định đỉnh xM từ công thức sau: xM bi zMi i I Ta ký hiệu: J xM : 1, 2, , m : A j , x M j Rõ ràng J+(xM) = ta giả sử J+(xM) bj (1.6) xM điểm chấp nhận toán (L) Chúng Với s Is : i I : As , zMi I0 : i I As , zMi J+(xM), ký hiệu sau: o I: I: (1.7) i1 , i2 , , in (1.8) i1 , i2 , , in Ta thấy: I = I0 I s Với i Is đường thẳng x=xM+á z Mi giao với siêu phẳng + bs=0 điểm xi = xM + As , x M As , zMi i i i z M (1.9) bs (1.10) Ta gọi I s := i I s : I s : i Is : Rõ ràng I s Định lý 1.2 i i = i I s : As , zMi = is1 , is , , isq Is I s J ( xM ) I s Chứng minh (xem [4]) Định lý 1.3 [4] Is tập phương án toán (L) rỗng Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (1.11) Định lý cho ta kết luận rằng, toán (L) có điểm chấp nhận I s tập khác rỗng 1.2.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh từ nón M Giả sử M nón đơn hình tuyến tính hệ ràng buộc PL xác định (1.1) J+(xM) ≠ , với S J ( x M ) r I s , tập hợp điểm x thoả mãn hệ bất đẳng thức: Ai , x bi 0, i As , x bs I ,i r (1.12) xác định nón đơn hình tuyến tính gọi nón xoay M(r,s), đỉnh là: xM(r,s) =x r = xM + r r r z M (1.13) xác định từ (1.10) Đỉnh xr thoả mãn: Ai , x r bi 0, i I r, s s \ r I Tập số sở I(r,s) nhận từ tập số sở cũ I cách loại số r khỏi tập sở cũ, đưa số s vào thay Ta nói nón xoay M(r,s) sinh từ nón M Bổ đề 1.1 Hệ Ai với i I r, s hệ độc lập tuyến tính Chứng minh Thật vậy, ngược lại hệ Ai với i I(r,s) phụ thuộc tuyến tính dễ dàng suy tồn biểu diễn: As i Ai As , zMr i I\ r i i I\ r Điều mâu thuẫn với Ai i Ai , zMi i I\ r (vì r I s ) Bổ đề cho ta thấy nón xoay M(r,s) nón đơn hình Các véc tơ phương zMi ( r ,s ) , i I r , s nón xoay M(r,s) xác định từ (1.4) với tập số sở I(r,s), xác định từ công thức đơn giản Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ theo xi, xr, zMi , zMr (xác định từ (1.4), (1.9), (1.10)) với i, r thuộc I tập số sở cũ: z Mi zMi ( r , s ) zMi r zMr i I0 i I s,i i s r (1.14) i As , zMr zMr Hay zMi z i M ( r ,s ) z As , zMi As , zMr i M A , zMr s zMr zMr i I0 i I s ,i i r (1.15) s Các công thức gọi công thức đổi sở, bổ đề chứng minh công thức Bổ đề 1.2 [4] Giả sử M nón xác định M:= {x  n : Ai , x bi 0, i I } với véc tơ phương zMi cạnh xác định theo (1.4), giao điểm xi xác định theo (1.9), (1.10) Khi nón xoay M(r,s) có đỉnh x M r ,s I r, s I x r xác định từ (1.12) với sở tương ứng {s} \{r} véc tơ phương cạnh tương ứng zM ( r ,s ) xác i định (1.15) 1.2.4 Định nghĩa Nón cực tiểu (Nón – min) Nón đơn hình tuyến tính M với đỉnh xM gọi nón cực tiểu (nón – min) hàm f x C, x toán (L) f x M f x , x M Ta nói M nón - toán (L) M nón – hàm mục tiêu f toán (L) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Giả sử M nón đơn hình xác định từ hệ (1.1) đỉnh xM, với véc tơ phương cạnh i zMi (i I), xác định (1.4), ta có định lý sau Định lý 1.4 Nếu f x M f xM zMi M nón - hàm f Chứng minh (xem [4]) Hệ 1.1 M nón - hàm f(x)= khi: ≥ 0, i I Giả sử M nón - hàm mục tiêu f(x)= toán (L) Gọi Vs : I s : f xv v min{ f xi } s (1.16) i I s Vậy V : v I s : f xv C , xi mins i I Thay xv xi xác định từ công thức (1.9) vào ta có: Vs : v I s : C , xv s C, xi i I v I s : C, xM v Is : v v C , zMv zMv min{ C, xM s i I s Vậy: V := s s i I v I : M C , zMv As , zMv zMi } min{ C , zMi } i s C , zMv v I : ( A ,x bs ) As , zMv v C, zMi } v I s : Cs, zMv min{ s i I A , zM As , zMi s i min{ s i I s min{ ( A ,x s i I C , zMi } As , zMi M C , zMi bs ) } As , zMi (1.17) Định lý 1.5 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37 Gọi j1 J1 số thỏa mãn a1 j : j J1 a1 j max (2.7) (nếu có nhiều số thỏa mãn (2.7) ta chọn j1 số nhỏ số thỏa mãn) Gọi j2 J số thỏa mãn a2 j : j J2 a2 j max (2.8) (nếu có nhiều số thỏa mãn (2.8) ta chọn j2 số nhỏ số thỏa mãn) Gọi J x1 j : 1, 2, , n : A j , x1 j j 1 Bây ta chứng minh ràng buộc j1 a1 j x1 a2 j x2 ràng 0 buộc biên toán người chơi P1 toán có lời giải thỏa mãn chặt ràng buộc j1 Định lý 2.2: Nếu ràng buộc j1 a1 j x1 a2 j x2 ràng buộc biên 0 toán người chơi P1 toán có lời giải thỏa mãn chặt ràng buộc j1 Chứng minh: Vì ràng buộc j1 a1 j x1 a2 j x2 ràng buộc biên nên tồn 0 điểm chấp nhận x0 miền ràng buộc toán người chơi P1 thỏa mãn chặt ràng buộc j1, theo định lý 2.1 ta có : x0 x1 j ; x j Lại j1 J1 nên theo (2.2) ta dễ dàng suy ra: f1 x1 j f1 x x1 j Ta thấy J Vậy J x1 j f1 x j (2.9) x1 j lời giải cua toán P1 đoạn thẳng x0 ; x1 j giao với biên miền chấp nhận toán P1 điểm Ta gọi ràng buộc s ràng buộc biên tương ứng miền Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 38 chấp nhận D1 giao với đoạn x0 ; x1 j mà điểm x s D1 Do x s D1 x0 ; x1 j , từ (2.9) suy f1 x1 j As , x s D Lại có f1 x j f1 x (2.10) D1 nên theo định lý 2.1 Mà x s D x s D1 1s s x s x s , s (2.11) 0;1 Trong x1s = (1/a1s , 0) x2s = ( 0, 1/a2s ) hai điểm cực biên khúc lồi tuyến  2:x Ds := x tính: 0; As , x x1 j nên ta có Vì s J As , x1 j 1 a1s a1 j a2 s 1 a1 j 1 a1s (2.12) điều suy s J s J1 theo (2.1) ta có a1s a2 s (2.13) Từ (2.12) (2.13) ta thấy mâu thuẫn với (2.7) Do phải có s J a2 s Vậy: a1s f1 x s f1 x1s (2.14) Từ (2.11) (2.14) suy f1 x s f1 x s D1 f1 x1s (2.15) Mà x s D1 thỏa mãn chặt hai ràng buộc s j1 nên đỉnh nón đơn hình zj Nsj : x x2 j  : Aj , x x1 j z s 1 1; As , x với hai véc tơ phương x1s x2s , từ (2.9) (2.15) chứng tỏ z j1 z s hai hướng không giảm hàm mục tiêu toán P1, nón N sj nón cực tiểu toán P1 Suy x s D1 lời giải toán P1 thỏa mãn chặt ràng buộc j1 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 39 Lý luận tương tự ràng buộc j2: a1 j x1 a2 j ràng buộc biên toán người chơi P1 toán có lời giải thỏa mãn chặt ràng buộc j2 Từ định lý 2.2 ta thấy có hai khả sau: a2 j III.1/ Nếu ta chọn ràng buộc ứng với số j1 thoả mãn (2.7) thấy a1 j có hai khả năng: ràng buộc j1 ràng buộc biên chứa lời giải toán P1 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1 Vậy ta tiến hành tính toán sau để tìm x* x1* ; x2* lời giải toán P1 thỏa mãn chặt ràng buộc j1 biết ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1 toán P1 loại khỏi miền ràng buộc D1 1 a2 j x2* vào hàm mục tiêu ràng a1 j Từ a1 j x1* a2 j x2* ta thay x1* 1 1 buộc toán P1 đưa việc giải toán P1 việc giải toán biến tương đương sau: f1 x* a1 j f1 x1* a2 j a1 j x2* a1 j Với ràng buộc: a2 j x2* (2.16) a1 j a2 j a1 j a1 j a2 j * x với j = 1, 2, …, n; j a1 j 1 a1 j Đặt d jj 1 Gọi J 0j : a2 j a1 j , c jj 1 1,2, n \ j1 : c jj j 1 a1 j a2 j a1 j Jj : j 1,2, n \ j1 : c jj Jj : j 1,2, n \ j1 : c jj 1 (2.17) J1 Có khả sau xảy ra: III.1.1/ Nếu J 0j1 chuyển xuống III.1.1.2/ Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 40 III.1.2/ Nếu J 0j1 : + Tồn j J 0j mà d jj 1 suy ràng buộc j1 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 j J 0j mà d jj + Nếu chuyển xuống III.1.2.1./ 1 d jj j J j từ (2.17) ta có j cj III.1.2.1./ x2* III.1.2.2/ Nếu tồn j J j mà d jj suy ràng buộc j1 ràng buộc lỏng 1 miền chấp nhận D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 j J j mà d jj III.1.2.3/ Nếu 1 ta chuyển xuống III.1.3/ d jj c jj * III.1.3/ j J j từ (2.17) ta có x Gọi M j d jj max j : j J j cj 1 1 1 + Nếu M j 1 suy ràng buộc j1 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1, ta a2 j loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 + Nếu M j 1 ta dễ dàng suy lời giải toán P1 a2 j x* 1 a2 j M j ; M j a1 j 1 (2.18) 1 III.2/ Nếu a2 j ta chọn ràng buộc ứng với số j2 thoả mãn (2.8) thấy a1 j có hai khả năng: ràng buộc j2 ràng buộc biên chứa lời giải toán P1 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1 Vậy ta tiến hành tính toán sau để tìm Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 41 x* x1*; x2* lời giải toán P1 thỏa mãn chặt ràng buộc j2 biết ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1 toán P1 loại khỏi miền ràng buộc D1 1 a2 j x2* vào hàm mục tiêu a1 j Từ a1 j x1* a2 j x2* ta thay x1* 2 ràng buộc toán P1 đưa việc giải toán P1 việc giải toán biến tương đương sau: f1 x* a1 j a2 j * x2 a1 j a1 j f1 x1* Với ràng buộc: a2 j x2* (2.19) a1 j a2 j a1 j a1 j a2 j * x với j 1,2, n; j a1 j 2 Chú ý j2 a2 j a1 j , c jj a1 j a2 j a1 j 2 1 j 1,2, , n \ j2 : c jj Gọi J 0j : 2 Jj : j 1,2, , n \ j2 : c jj 1,2, , n \ j2 : c jj 2 Jj : (2.20) J nên hệ số hàm mục tiêu biến âm a1 j Đặt d jj j2 j Có khả sau xảy ra: III.2.1/ Nếu J 0j chuyển xuống III.2.1.1/ III.2.2/ Nếu J 0j : 2 + Tồn j J 0j mà d jj 2 suy ràng buộc j2 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 + Nếu j J 0j mà d jj 2 chuyển xuống III.2.3.1/ Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 42 d jj c jj III.2.1.2/ j J j từ (2.20) ta có x2* Gọi Max j max 2 d jj : j Jj c jj 2 2 suy ràng buộc j2 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1, a2 j + Nếu Max j 2 ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n a2 j + Nếu Max j ta chuyển đến III.2.3./ d jj c jj j J j từ (2.20) ta có III.2.3./ x*2 III.2.3.1./ Nếu tồn j J j mà d jj suy ràng buộc j2 ràng buộc lỏng 2 miền chấp nhận D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 j J j mà d jj III.2.3.2./ Nếu ta gọi 2 d jj j : j J j cj mj 2 M j m j ; a2 j lời giải toán P1 x* 1 a2 j M j ; M j a1 j 2 (2.21) Rõ ràng theo định lý 2.2 miền ràng buộc toán người chơi P1 ràng buộc lỏng phương pháp TT cho lời giải sau bước khả xấu số bước giải không số chiến lược n người chơi P2 2.3 Bảng giải toán ngƣời chơi P1 theo phƣơng pháp TT Để thuận tiện cho việc giải toán người P1 ta xây dựng bảng tính toán số liệu cần thiết từ thay vào công thức nghiệm đươc xây dựng phương pháp TT mục Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 43 Bài toán người chơi P1 giải phương pháp TT trương hợp đơn giản trường hợp I II ta nhận lời giải toán, ta lập bảng trường hợp III sau: Bảng tính toán trường hợp III.1: a2 j : a1 j Bảng Chỉ số a1j a2j a11 a21 1/a11 1/a21 a21/a11 a12 a22 1/a12 1/a22 a22/a12 … … … Cơ sở … … j1 1/ … … n a1n Trong d a2n a1 j j1 j … … 1/a1n 1/a2n a2n/a1n … … … … … … … / … ; c jj a1 j + Nếu thấy M j 1/ a2 j a1 j 1 a2 j ;M j a1 j … … d jj max j : j J j cj 1 1 suy ràng buộc j1 ràng buộc lỏng miền chấp nhận a2 j D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 + Nếu M j 1 ta dễ dàng nhận lời giải toán P1 theo (2.18) a2 j Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 44 1 a2 j M j ; M j a1 j x* 1 1 a2 j Bảng tính toán trường hợp III.2: : a1 j Bảng Chỉ số a1j a2j a11 a21 1/a11 1/a21 a21/a11 a12 a22 1/a12 1/a22 a22/a12 … … … Cơ sở … … j2 … n 1/ … a1n Trong d j2 j 1/ / … … … a2n 1/a1n 1/a2n a2n/a1n a1 j ; c jj a1 j + Nếu thấy Max j 2 a2 j a1 j 2 a2 j ;M j a1 j … … … … … … … … … d jj max j : j J j cj 2 suy ràng buộc j2 ràng buộc lỏng miền chấp a2 j nhận D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 + Nếu Max j : mj a2 j 2 d jj : j Jj c jj Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN M j m j ; a2 j http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 45 ta dễ dàng nhận lời giải toán P1 theo (2.21) 1 a2 j M j ; M j a1 j x* 2 2 2.4 Ví dụ minh họa giải toán P1 theo phƣơng pháp TT Ví dụ 1: Tìm chiến lược tối ưu P1 P2 với ma trận trò chơi 1 A Ta thấy aij : aij A 2 , ta chọn 4 aij thay A ma trận Mọi phần tử A dương nên v Ta có cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu tương ứng cần giải sau: Cặp toán đối ngẫu P1 P2 : f1 x1 x1 3x1 x1 x1 x1 x2 x2 3x2 x2 x2 0, x2 f2 y1 y1 y1 y1 y2 y3 y2 y3 y2 y3 0, y2 0, y3 y4 max y4 y4 0, y4 Ta có bảng sau: Chỉ số Cơ sở a1j a2j 1/5 1/4 4/5 1/4 1/3 3/4 3 1/3 1/6 1/5 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN 1/20 -1/20 -1 6/3 -1/12 -5/4 1/15 5/1 -3/4 -17/4 3/17 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 46 Từ số liệu cột ta xác định J1 = { 1, 2} J2 = { 3, 4}, từ số liệu cột 3, cột cho ta xác định j1 = j2 = a12 a24 Vậy ràng buộc ứng với số j1 = chọn ràng buộc biên chứa lời giải có toán Từ bảng ta có M2 = max{ -1, 1/15, 3/7}= 3/17 < a22 Vậy theo (2.18) ta có lời giải toán P1 x* 1 a22.M ; M a12 3.3 ; 17 17 ; 17 17 Từ định lý độ lệch bù ta có hệ phương trình xác định lời giải người chơi P2 y1 y1 y1 y3 y2 y3 y4 y2 y3 y4 0 Giải hệ ta y’ (0 4/17, 0, 1/17) Từ suy lời giải trò chơi cho: + Chiến lược tối ưu P1 : x* v x + Chiến lược tối ưu P2 : y* + Giá trò chơi: v* v v y 17 , 17 17 , 5 17 0, , 0, 17 17 0, , 0, 5 17 5 Ví dụ 2: Tìm chiến lược tối ưu P1 P2 với ma trận trò chơi A Ta thấy 1 10 aij : aij , ta chọn Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN thay A ma trận http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 47 A 11 12 aij Mọi phần tử A dương nên v Ta có cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu tương ứng cần giải sau: Cặp toán đối ngẫu P1 P2 : f1 x1 x2 x1 3x2 x1 x2 x1 11.x2 x1 12.x2 x1 0, x2 f2 y1 y1 y1 y1 y2 y3 y2 y3 y2 11y3 0, y2 0, y3 y4 max y4 12 y4 0, y4 Ta có bảng sau: Chỉ số Cơ sở a1j a2j 1/5 1/3 3/5 1/8 1/6 3/4 3/40 -3/20 -1/2 11 1/4 1/11 11/4 -1/20 -43/20 1/43 12 1/12 12 -4/5 -57/5 4/57 Từ số liệu cột ta xác định J1 = { 1, 2} J2 = { 3, 4}, từ số liệu cột 3, cột cho ta xác định j1 = j2 = a11 a23 11 Vậy ràng buộc ứng với số j1 = chọn ràng buộc biên chứa lời giải có toán Từ bảng ta có M1 max 1 , , 43 57 57 a21 Vậy theo (2.18) ta có lời giải toán P1 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 48 1 a21.M1; M1 a11 x* 3.4 = (9/57; 4/57) ; 57 57 57 Vậy v = 13 Từ định lý độ lệch bù ta có hệ phương trình xác định lời giải người chơi P2 y1 y1 y '2 y3 y2 y3 y4 y2 11y3 12 y4 0 Giải hệ ta y 11 ;0;0; 57 57 Từ suy lời giải trò chơi cho: * + Chiến lược tối ưu P1 : x v x 57 , 13 57 57 * + Chiến lược tối ưu P2 : y v y 57 11 , 0, 0, 13 57 57 * + Giá trò chơi: v 57 31 13 13 v Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN , 13 13 11 , 0, 0, 13 13 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 49 Chƣơng NHẬN XÉT VÀ K ẾT LUẬN Luận văn trình bày việc ứng dụng phương pháp nón xoay để tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu trò chơi ma trận đưa giải cặp toán đối ngẫu Vì chương luận văn trình bày kiến thức liên quan đến toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, toán đối ngẫu toán trò chơi ma trận Trong chương 2, luận văn ứng dụng thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm trình bày chương 1, xây dựng phương pháp cụ thể giải trực tiếp toán tìm chiến lược tối ưu trường hợp đặc biệt với số chiến lược người chơi thứ (còn người chới thứ hai có số chiến lược chơi n bất kỳ) mà thường giải phương pháp đồ thị Chúng ta biết, nhiều sách tài liệu đưa khái niệm chiến lược thừa phương pháp loại bớt chiến lược thừa toán trò chơi ma trận trước đưa toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tương ứng để tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu Và toán trò chơi ma trận chiến lược thừa phương pháp TT trình bày chương cho ta lời giải toán trò chơi ma trận sau bước người chơi thứ có số chiến lược chơi người chơi thứ hai có số chiến lược chơi n tùy ý Còn sử dụng phương pháp đơn hình để giải chắn số bước lặp nhiều Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 50 Hoàn toàn với lý luận tương tự trình bày phương pháp TT, xây dựng phương pháp tương tự phương pháp TT để giải trực tiếp toán tìm chiến lược tối ưu trường hợp đặc biệt với số chiến lược người chơi thứ hai (còn người chới thứ có số chiến lược chơi m bất kỳ) mà thường giải phương pháp đồ thị Tác giả luận văn hy vọng có dịp trình bày TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nhập môn phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học kỹ thuật, Năm 1998 [2] Trần Xuân Sinh, Toán kinh tế, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội, 2007 [3] Tô Cẩm Tú, Một số phương pháp tối ưu hóa kinh tế, Năm 1997 [4] Trần Vũ Thiệu Bùi Thế Tâm, Các phương pháp tối ưu hóa, Nxb Khoa học kỹ thuật, Năm 1998 [5] Nguyễn Anh Tuấn, Quy hoạch gần lồi – gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính, Nxb Khoa học kỹ thuật, Năm 2011 [6] Nguyễn Anh Tuấn, Nguyễn Văn Quý Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay, Nxb Giáo dục Việt nam, Năm 2012 Tiếng Anh [7] A.C Belenski, Minimization monotone function in a polyhedron set, Automatic and Tele-Mechanics 9, 112-121(1982) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 51 [8] Nguyen Anh Tuan and Pham Canh Duong, “Vietnam Journal of Mathematics”, Minimization of An Almost-convex and Almost-concave Function, Volume 24, Number 1.1996 (57-74) [9] H Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer 1998 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... quyết bài toán trò chơi ma trận trong trường hợp người chơi P2 sử dụng 2 chiến lược còn người chơi P1 sử dụng m chiến lược, tức ma trận thu hoạch A = (aij)mx2 2.1 Bài toán trò chơi ma trận khi người chơi P1 sử dụng hai chiến lược Chúng ta đã biết, để tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu của bài toán trò chơi ma trận (trong phần 1.7 của chương 1), chúng ta có thể đưa về việc giải cặp bài toán đối ngẫu tương ứng. .. phương án tối ưu đối ngẫu Định lý mạnh về độ lệch bù: Nếu cặp bài toán đối ngẫu (P1) và (P2) có phương án thì tồn tại một cặp phương án tối ưu x*, y * nghiệm đúng y* Ax * b 0 và x * c AT y * 0 1.6 Bài toán trò chơi ma trận Trong phần này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm về trò chơi ma trận, chiến lược hỗn hợp tối ưu trong bài toán trò chơi ma trận và đưa bài toán trò chơi ma trận về bài toán quy... http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 Chƣơng 2 THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN TRÒ CHƠI MA TRẬN KHI SỐ CHIẾN LƢỢC CỦA MỘT TRONG HAI NGƢỜI CHƠI LÀ HAI Trong chương 1, chúng ta đã trình bày thuật toán nón xoay LA giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm Từ đó ứng dụng nó để tìm chiến lược tối ưu của bài toán trò chơi ma trận trong trường hợp tổng quát với ma Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... ma trận về bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Trong phần này chúng ta sẽ trình bày cách đưa việc tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu của bài toán trò chơi ma trận về việc giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số không âm 1.7.1 Đưa bài toán trò chơi ma trận về bài toán quy hoạch tuyến tính Xét trò chơi ma trận A là tìm các véc tơ X v aij m n Theo các định nghĩa 1.4 và. .. dụ chứng tỏ không phải trò chơi ma trận nào cũng có điểm yên ngựa, nghĩa là có chiến lược đơn tối ưu Vì thế ta cần đi đến khái niệm chiến lược hỗn hợp tối ưu 1.6.3.2 Chiến lƣợc tối ƣu Định nghĩa 1.6 Lời giải của trò chơi ma trận là cặp chiến lược hỗn hợp X x1, x2 , , xm , Y y1, y2 , , yn và số thực v sao cho: a) E X ,Y v b) E X , j v với mọi chiến lược đơn j 1, 2, , n c) E i,Y v với mọi chiến lược. .. chính trong bài toán gốc trở thành các hệ số mục tiêu trong bài toán đối ngẫu, còn các hệ số mục tiêu trong bài toán gốc lại trở thành các hệ số ở vế phải ràng buộc chính trong bài toán đối ngẫu + Bài toán gốc tìm min thì bài toán đối ngẫu tìm max (và ngược lại) + Cả hai bài toán (P1) và (P2) đều có dạng chuẩn: mọi ràng buộc chính đều là các bất đẳng thức ( đối với bài toán min, đối với bài toán max) và. .. 1, từ đó ta nhận được một phương pháp tìm chiến lược tối ưu trong trường hợp này rất hiệu quả so với phương pháp đồ thị và các phương pháp khác Do thời gian có hạn nên dưới đây chúng ta sẽ chỉ xét và giải quyết bài toán trò chơi ma trận trong trường hợp người chơi P1 sử dụng 2 chiến lược còn người chơi P2 sử dụng n chiến lược, tức ma trận thu hoạch A = (aij)2xn Và cũng bằng nhưng lý luận dưới đây chúng... đây cho thấy mọi trò chơi ma trận đều có lời giải Định lý minimax: Đối với mọi trò chơi ma trận bao giờ cũng tồn tại max min E X ,Y , X Y min max E X , Y và hai giá trị này bằng nhau Y X Nói cách khác, mọi trò chơi ma trận đều có nghiệm X ,Y , v sao cho: E X ,Y E X ,Y v E X ,Y với mọi cặp chiến lược hỗn hợp X, Y Như vậy, với trò chơi ma trận bất kỳ mỗi đối thủ đều có chiến lược tối ưu X , Y sao cho... để từ chiến lược hỗn hợp tối ưu của người chơi này có thể suy ra chiến lược hỗn hợp tối ưu của người chơi kia trong bài toán trò chơi ma trận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 19 1.5.1 Cặp bài toán đối ngẫu Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau, ta ký hiệu là (P1): f x (P1) c1x1 c2 x2 cn xn min ai1x1 ai 2 x2 ain xn bi , i 1,2, , m x j 0, j 1,2, , n Bài toán. .. trò chơi ma trận Để đơn giản chúng ta giả sử có hai người (đối thủ) P1 và P2 cùng chơi người chơi thứ nhất P1 có m chiến lược (cách chơi) , người chơi thứ hai P2 có n chiến lược, khi đó ta có một số khái niệm về trò chơi ma trận như sau: Định nghĩa 1.1: Cho ma trận A aij cấp mxn, có m hàng, n cột, với aij là các số thực tùy ý (cho trước) Trò chơi được xác định bởi ma trận A được gọi là trò chơi ma trận ... trình bày khái niệm trò chơi ma trận, chiến lược hỗn hợp tối ưu toán trò chơi ma trận đưa toán trò chơi ma trận toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 1.6.1 Khái niệm trò chơi ma trận Để đơn giản... trình bày toán trò chơi ma trận đưa việc tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu toán trò chơi ma trận việc giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Chương 2, luận văn ứng dụng thuật toán giải toán quy... người chơi P2 sử dụng chiến lược người chơi P1 sử dụng m chiến lược, tức ma trận thu hoạch A = (aij)mx2 2.1 Bài toán trò chơi ma trận người chơi P1 sử dụng hai chiến lược Chúng ta biết, để tìm chiến

Ngày đăng: 30/12/2015, 15:19

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan