21 BỌ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐAI HOC VINH LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SÓ VÀ LÝ THƯYÉT SỔ LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PSG TS LÊ QUÓC HÁN Nghệ An 2013 Nghệ An 2013 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Kiến thức chuan bị 1.1 Nửa nhóm tự Vị nhóm tự 1.2 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm 4 14 Chương Tính tách nửa nhóm Blaumslag-Solitar 19 2.1 Dạng chuấn đối nửa nhóm Blaumslag-Solitar với 19 LỜI NÓI ĐẦU Giả sử k số nguyên không âm Nhóm Blaumslag-Solitar Bki với biểu diễn nhóm đuợc Blaumslag Solitar đề xuất nghiên cứu từ 1962 đạt đuợc nhiều kết sâu sắc \a,b I ab^ giải số toán liên quan đến lớp nửa nhóm này, có toán xác định tính tách chúng Nửa nhóm s gọi nửa nhóm tách hữu hạn với nửa nhóm M s phần tử s e S \ M , tồn nửa nhóm hữu hạn T đồng cấu nửa nhóm < p : S — > T cho < P ( S ) I Ế < P ( M ) Chương Kiến thức chuân bị Trong chương này, hệ thông lại kiên thức nửa nhóm tự vị nhóm tự do, biểu diễn nửa nhóm biểu diễn vị nhóm cấu trúc tự Chương Tính tách nửa nhóm BlaumslagSolỉtar Đây nội dung luận văn Trong chương này, trước hết trình bày dạng chuẩn từ nửa nhóm Blaumslag-Solitar Trên sở trình bày chi tiết kết luận văn nói rằng: Nửa nhóm Bĩaumslag-Soỉitar tách hữu hạn Phần cuối luận văn trình bày bước đầu tìm hiểu số lóp nửa nhóm với biểu diễn thỏa mãn điều kiện phú nhỏ C ( n ) hay T ( k ) Nghệ An, tháng năm 2013 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẲN BỊ Trong chương này, trình bày số khái niệm Lý thuyết nửa nhóm vị nhóm có sử dụng luận văn 1.1 Nửa nhóm tự Vị nhóm tự Tiết trình bày nửa nhóm tự vị nhóm tự 1.1.1 Đinh nghĩa Giả sử s nửa nhóm Một tập X s sinh s cách tự s ánh xạ a ữ : X — >p (trong p nửa nhóm bất kỳ) mở rộng thành đồng cấu a : S — a\ỵ = aồ Khi ta nói a mở rộng đong cấu ánh xạ aữ Nếu s sinh tự tập s gợi nửa nhóm tự Chứng minh Theo định nghĩa, a0 có mở rộng Giả sử ánh xạ a S ^ - P p ' s —^ p mở rộng đồng cấu a Khi với x e S , x = xlx2 x với phần tử V eXnào đó, X sinh s Thế a = / □ 1.1.4 Đinh lý Một nửa nhóm tự nỏ đãng cẩu với nửa nhóm từ A+ với bảng chữ A+ vói 1111 Khi tồn song ánh ụ/0 : A — > X X ì A sinh A + cách tự nên tồn mở rộng toàn cấu Iỵ : A + —» s Vì ụ /~1: X — > A song ánh s sinh tự X nên I Ị / ^ có mở rộng toàn câu J : S — > A + Cái hợp thành { h ỵ : A + ^ > A + toàn cấu thỏa mãn điều kiện: J3ụ/ ị A = plị/ữ = (p / X) ụ/0 = ụ / - X \ Ị /0 = ị A Vì i ^ : A — > A mở rộng cách tới đăng cấu đồng ì Ạ : A + — > A + nên Ị3\Ị/ = ÌẠ VÌ ĨẠ song ánh nên lự đơn ánh lự song ánh Từ lự đẳng cấu ụ / = i / / \ A X = ụ / ( A ) Giả sử p nửa nhóm tùy ý a0 : X - > p ánh xạ Thế ánh xạ ccQụ/ữ :A^P mở rộng cách thành đồng cấu Xét ánh xạ Ị3 = ỵụrl :S — > p Đó đồng cấu y/~l y đồng cấu Hơn nữa, với IG 1,^(1) = Z "^ot1) Ị3\ỵ = aữ, nghĩa Ị3 mở rộng đồng cấu a0 Theo định nghĩa, s sinh tự bỏi X U s R nửa nhóm sinh tự tương ứng X Y s = R 1.1.6 Đinh lý Moi nửa nhóm tự cỏ luật giản ước Chứng minh Suy từ luật giản ước có A+ □ Bây ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi — Dubreil - Jacotin nửa nhóm tự nhân tử hóa phần tử Giả sử Ic,s Chúng ta nói x = xlx2 x phân tích thành 1.1.7 Dịnhlý Một nửa nhóm s dược sinh tự X phần tử X thuộc s có nhân tử hóa X Chứng minh Trước hết ta nhận xét khắng định Định lý 1.1.7 Giả sử A bảng chữ saođược cho ánh a0 :X —> A song Giả thiết X sinh s Giả sử x = xìx1 xn = yìy1 y, hai nhân tử hóa X X a mở rộng đồng cấu aữ a ( x ) = a ũ ( x ] ) a ( x ) a ũ ( x r ì ) = aũ(y])aũ(y2) aữ(ym) hai nhân tử hóa a ( x ) A Vì A + thỏa mãn khắng định định lý, nên phải có a ữ = (jtf) = a ( y í ) với Vi = 1,2, ,« (và m = n ) Vì a song ánh nên X = y , với i = 1,2, ,« Và s thỏa mãn khăng định Định lý 1.1.7 Giả sử s thỏa mãn điều kiện Ký hiệu Ị3ữ =a~l giả sử : A + - > S mở rộng đồng cấu Ị ữ Khi Ị toàn ánh (vì X sinh s ) đơn ánh (vì Ị ( u ) = P ( v ) với u , v e A + , u * v { ĩ i ) có hai cách nhân tử hóa khác X : trái giả thiết) Vậy Ị song ánh đẳng cấu □ 10 s ước thuộc s , X & ộ X sinh s Thật vậy, giả sử a - b c b , c e X a = xyz trình kết thúc ta thu biêu diễn a dạng tích phần tử thuộc X với số n lớn tùy ý tồn phần tử ^,«2, ,« eS cho a = a1a2 a Nếu a = axa2 a a x , a x a , a x a a , , , a x a a ước bên trái a , chúng Giả sử xxx2 xn = y ì y y m x l , y J e X Đặt x2 xn = x y2 ym =y Xxx = yxy nên X x , y x có ước Khả thứ hai không xảy định nghĩa X Bây tương tự thu X, =y,và tiếp tục trình không max ị n , m } bước, ta tới 77 = 772 X = y với 7=1,2, ,« Như phần tử thuộc s biểu diễn cách dạng tích phần tử thuộc X Do s sinh tự X n 1.1.10 Ví dụ Giả sử A = Ịa,ỏ,cỊ bảng chữ Các từ ab,bab,ba sinh nửa nhóm nửa nhóm từ A+ Nửa nhóm s 11 1.1.11 Định nghía Vị nhóm M gọi vị nhỏm tự sinh tự tập V với lế X X u{l} tập sinh M ánh xạ a ữ : X —» p (trong p vị nhóm) mở rộng thành đồng cấu vị nhóm cr.M —> p, nghĩa cc\ỵ = aữ a ( ì M ) = ì p 1.1.12 Định lý Nếu s ỉà nửa nhóm tự S' vị nhóm ngược lại 1.1.13 A Hệ Vị nhóm từ A' vị nhóm tự vói bảng chữ cải 1.1.14 Định lý Một vị nhóm M vị nhóm tự M \ {1} nửa nhỏm tự Chứng minh Đối với điều kiện ngược lại, tập A/\{1} nửa nhóm M Điều thỏa mãn, không ìu có hai cách nhân tử hóa khác Phần lại khắng định định lý suy từ Định nghĩa 1.1.1l.ũ Tương tự nửa nhóm tự do, ta có số kết khác sau vị nhóm tự 1.1.15 Định lý i) Một vị nhóm M sinh tự X 26 2.2 Tính tách hữu hạn nửa nhóm Blaumslag-Solitar 2.2.1 Dịnh nghĩa, a) Nửa nhóm s gọi tách hữu hạn với nửa nhóm M s phần tử sỉ s - M, tồn nửa nhóm hữu hạn T đồng cấu nửa nhóm F : s ® T cho F(s)ĩ F(M) b) Nửa nhóm s gọi có tập tách hữu hạn với tập M s phần tử sỉ s- M, tồn nửa nhóm hữu hạn T đồng cấu nửa nhóm F : s ® T cho F (s)ĩ F (M) Từ định nghĩa trực tiếp suy ra: Nửa nhóm s có tập tách hữu hạn nửa nhóm tách hữu hạn 2.2.2 Chú ý Kết tiết chứng minh nửa nhóm S, J có tập tách hữu hạn, từ suy S: I nửa nhóm tách hữu hạn Đẻ chứng minh kết đó, ta sử dụng kết E A Golubov (1970) với nội dung sau Giả sử s1 vị nhóm thu từ nửa nhóm s cách ghép thêm đơn vị Với cặp phần tử x , y ĩ s, định nghĩa [v:v]= |(?/,v)í sl' sl :wcv= yỊ Trong công trình Finite separabiỉity of semigroups đăng tạp chí Sibirsk Mat z 11 (1970), E A Golubov chứng minh rằng: Điều kiện cần 27 2.2.3 Bố đề Giả sử /> uvu2 từ bảng chữ A = {a,b} với [MJ]= ịn2 ] /rơr?g Nen ux ố":ov2 VỚ7' 0£ Wj|, J=|| Thay đổi vai trò M V ( tương ứng, a cho b), ta Theo Bổ đề 2.2.3, ta có j\ = j2 ẳ^VịíỊ s, J Mỗi cặp cuối từ cỏn - lần xuất a nên ta có áp dụng giả thiết quy nạp để nhận |"|/> '4' hay (kqì + ||)/f ‘£^+MTừ 11^“'“=(/?,+ý, j|)(/jL ■ II/ 2.2.5 Chú ý Nếu ĩ u phần tử bảng chữ A = ị a , b y biểu diễn s ta định nghĩan =ỆỆ Theo kết luận đầu Bổ đề 2.2.4, định nghĩa hoàn toàn chấp nhận 29 2.2.6 Đinh lý Nửa nhóm Bỉaumsỉag-Solỉtar s có tập tách hữu hạn Chímg minh Theo Định lý Golubov ( xem ý 2.2.4), cần chứng minh với sỉ s, Ị, có nhiều số hữu hạn tập \s: v] phân biệt X chạy qua tất phần tử s Neu k= ỉ = Sữữ nửa nhóm tự A= {«,£} \ s : x ] khác rỗng X từ s Neu k > /> theo Bố đề 2.2.4, có số hữu hạn từ A biếu diễn s Neu \ s : v] khác rỗng, X phải biếu diễn từ tập hợp hữu hạn từ Do có số hữu hạn phần tử vĩ s, , cho \ s : v] khác rỗng Phần lại chứng minh, cần giả thiết = k < ỉ (Do tính đối xứng, 30 Nếu s = u x v phải có = +ỆÍ+ỆỆ Chúng ta nhận thấy [5: JC] khác rỗng n £n = m Nếu [5: x \ khác rỗng vàỆỆ = m ' viết X dạng chuẩn bên phải x = b J ' m abJ m' la abJ l a b n m'> x = b n m ' = Nếu [s: v] chứa phần tử ( u , 1) hay phải có n ' £ n Vì m ' £ m 0£ 7' < với 1£ i £ m ' , nên có số hữu hạn phần tử X khác cho [S:JC] chứa phần tử ( u , 1) hay Nếu phần tử b) Nửa nhóm s gọi nửa nhóm lũy linh s có phần tử zero tồn số nguyên dương m cho sm+1 = {0} 31 Khi số nguyên dương n nhỏ thỏa mãn stt¥ì = {0} gọi bậc lũy linh cua s 2.3.2 Chú ý a) Từ định nghĩa suy s nửa nhóm lũy linh với bậc lũy linh n tồn k phần tử (k< n) thuộc s a v a , , a k cho aìa2 ak tồn h phần tử Qi> rì) thuộc s : b l , b , , b h cho K K \ = 0b) Cũng từ định nghĩa trực tiếp suy s nửa nhóm lũy linh s nửa nhóm nil Bổ đề sau chứng tỏ trường hợp nửa nhóm hữu hạn với phần tử zero, khăng định ngược lại 2.3.3 Bổ đề Giả sử s nửa nhóm nil hữu hạn Khi s nửa nhóm lũy linh Bậc lũy linh s độ dài lớn chuỗi chặt iđêan chỉnh khác zero s Chímg minh Giả sử n độ dài lớn chuỗi tăng chặt iđêan khác zero s (nó tồn s hữu hạn) Giả sử aìa2 a +1 tích n+ phần tử thuộc s Khi chuỗi a l S ỉ Ẽ a ỉ a ^ S ì Ẻ Ê aỉa2 anhìSì có độ dài /7+1 có hai phần kề chuỗi trùng Giả sử 32 Mặt khác, có chuỗi giảm chặt a^s1 É a S l É É ct.fi1 iđêan khác không s Do tồn phần tử X ỉ s cho a + l = a X với 1£ i £ n Thế a = a,x, x tích khác zero thành phần s có độ dài n u 2.3.4 Bố đề Giả sử s ỉ nửa nhóm lũy linh hữu hạn A = s2 \ s Khỉ A tập sinh toi tiếu s Chímg minh Giả thiết A tập sinh s B = a í s nên tồn phần tử XpX2, ,x I X(zz3 2) cho a = x1x2 x mâu thuẫn với a \ A nên a i s2 Vậy A tập sinh tối tiểu s u 2.3.5 Định nghĩa, a) Giả sử s nửa nhóm / iđêan s Khi quan hệ r J s cho a r b (a , b ì s) a = b 33 Rees liên kết với iđêan / Vị nhóm thương / gọi thưong Rees / s theo mod r Ị ký hiệu đơn giản / b) Giả sử s nửa nhóm lũy linh hữu hạn với bậc lũy linh n A= s \ s Khi theo Mệnh đề 2.3.4, A tập sinh tối tiểu s Gọi A+ nửa nhóm tự sinh A Khi I(ỵì)= |wĩ A+ II n} iđêan A+ thương Rees^Ịi^^ ^ ký hiệu FN(A\rí) Năm 2001, D B MC Alister nhận kết sau 2.3.6 Mệnh đề Giả sử s nửa nhỏm lũy linh hữu hạn vói bậc lũy linh n A = s \ s Thế s ảnh đồng cấu FN(Ạ\rìy Hơn nữa, sỉ s, giả sử c = {wĩ A: [w]= 5} Nếu c tập hợp hữu hạn có nửa nhóm lũy linh hữu hạn T đồng cấu nửa nhóm ¥ :S ® T cho F (V)1 F(s) VỚ7 s'ỉ s mà s'1 s Chứng minh Một phần tử sd ĩ sl gợi ước không bên trái s sd.s'd = s với s'd eS1 Chúng ta không bắt buộc ước bên trái 34 G phần tử Xs Nếu s= svs2 c c phải hữu hạn Nếu Wj ĩ c w2 ĩ c wrw2 ĩ c Nếu sd.sd,= s sd biểu diễn s hay nhiều hữu hạn đoạn ban đầu từ thuộc c Nhu X hữu hạn, nửa nhóm phép biến đối đầy đủ [...]... F(s)ĩ F(M) b) Nửa nhóm s được gọi là có tập con tách được hữu hạn nếu với mỗi tập con M của s và một phần tử sỉ s- M, tồn tại một nửa nhóm hữu hạn T và một đồng cấu nửa nhóm F : s ® T sao cho F (s)ĩ F (M) Từ định nghĩa trực tiếp suy ra: Nửa nhóm s có tập con tách được hữu hạn là nửa nhóm tách được hữu hạn 2.2.2 Chú ý Kết quả chính của tiết này là chứng minh nửa nhóm S, J có tập con tách được hữu hạn,... diễn một phần tử của s, thì bằng cách quy chúng về một dạng chuẩn phải chung, chúng ta tìm được từ gốc bằng nhau của chúng vói độ dài tối đa|/|t |/£ 26 2.2 Tính tách được hữu hạn đối với nửa nhóm Blaumslag- Solitar 2.2.1 Dịnh nghĩa, a) Nửa nhóm s được gọi là tách được hữu hạn nếu với mỗi nửa nhóm con M của s và mỗi phần tử sỉ s - M, tồn tại một nửa nhóm hữu hạn T và một đồng cấu nửa nhóm F : s ® T sao... vị nhóm giao hoán Do đó mỗi phần tử thuộc z e A ẩ có dạng z =\Ị/[a",b"^ với /77 > 0, n> 0 nào đó Hơn nữa, a.ab = 1 và ba.a = 1 nên ba là nghịch đảo của a Tương tự a2 là nghịch đảo của b, 21 CHƯƠNG2 TÍNH TÁCH ĐƯỢC CỦA NỬA NHÓM BLAUMSLAG- SOLITAR 2.1 Dạng chuẩn đối với nừa nhóm Blaumslag- Solitar 2.1.1 Đinh nghĩa Nửa nhóm có biếu diễn nửa nhóm ^b trong đó k và / là các số nguyên không âm cho trước được. .. trực tiếp suy ra nếu s là nửa nhóm lũy linh thì s là nửa nhóm nil Bổ đề sau đây chứng tỏ rằng đối với trường hợp nửa nhóm hữu hạn với phần tử zero, khăng định ngược lại cũng đúng 2.3.3 Bổ đề Giả sử s là nửa nhóm nil hữu hạn Khi đó s là nửa nhóm lũy linh Bậc lũy linh của s là độ dài lớn nhất của một chuỗi chặt các iđêan chỉnh khác zero của s Chímg minh Giả sử n là độ dài lớn nhất của một chuỗi tăng chặt... tích khác zero của các thành phần của s có độ dài n u 2.3.4 Bố đề Giả sử s ỉ à nửa nhóm lũy linh hữu hạn và A = s2 \ s Khỉ đó A là tập sinh toi tiếu duy nhất của s Chímg minh Giả thiết rằng A không phải là một tập sinh của s và B = ... thức chuan bị 1.1 Nửa nhóm tự Vị nhóm tự 1.2 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm 4 14 Chương Tính tách nửa nhóm Blaumslag- Solitar 19 2.1 Dạng chuấn đối nửa nhóm Blaumslag- Solitar với 19 LỜI... đa|/|t |/£ 26 2.2 Tính tách hữu hạn nửa nhóm Blaumslag- Solitar 2.2.1 Dịnh nghĩa, a) Nửa nhóm s gọi tách hữu hạn với nửa nhóm M s phần tử sỉ s - M, tồn nửa nhóm hữu hạn T đồng cấu nửa nhóm F : s ®... lớp nửa nhóm này, có toán xác định tính tách chúng Nửa nhóm s gọi nửa nhóm tách hữu hạn với nửa nhóm M s phần tử s e S M , tồn nửa nhóm hữu hạn T đồng cấu nửa nhóm < p : S — > T cho < P ( S )