MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP

24 630 1
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP.Chuyên ngành toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng. Nội dung của toán tổ hợp phong phú và được ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống. Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện trong rất nhiều bài toán với độ khó rất cao. Tổ hợp có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình học...

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP NĂM 2015 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP TRẦN NGỌC THẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC Chuyên ngành toán tổ hợp phận quan trọng, hấp dẫn lí thú Toán học nói chung toán rời rạc nói riêng Nội dung toán tổ hợp phong phú ứng dụng nhiều thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp xuất nhiều toán với độ khó cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt toán học không đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò công cụ đắc lực mô hình rời rạc giải tích, đại số, hình học Với vai tròn quan toán học nên hầu hết kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh sinh viên trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến tổ hợp thường toán khó, tập phân loại học sinh tốt Phương pháp giải toán tổ hợp thường phong phú đa dạng Nhìn chung để giải toán tổ hợp thông thường học sinh phải sáng tạo phương pháp cách thức tiếp cận toán Do giảng dạy phần tổ hợp điều quan trọng với toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải cách cụ thể để học sinh hiểu ý tưởng mục đích toán Để cho việc giảng dạy toán phần tổ hợp đạt kết tốt, mạnh dạn viết chuyên đề "sử dụng số phức để giải số dạng toán tổ hợp" để trao đổi với thầy, cô giáo phương pháp giảng dạy toán tổ hợp Trong chuyên đề này, số dạng tập chọn lọc đề kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Olimpic sinh viên trường đại học giới năm gần Chuyên đề chia làm hai phần chính: I Phần tập minh họa II Phần tập tương tự Những toán tổ hợp xuất đề thi chọn học sinh giỏi năm gần thường tập hay khó, có độ phân hóa cao đối tượng học sinh Với thời gian ngắn học sinh thường khó để giải toán dạng vấn đề nan giải công tác ôn luyện học sinh giỏi đa số giáo viên Số lượng số dạng toán tổ hợp nhiều (có thể nói vô hạn) nên giáo viên dạy hết tất được, mà cần phải có phương pháp hiệu để trang bị cho học sinh cách tiếp cận kiến thức sở việc giải toán tổ hợp Chuyên đề hoàn thành với giúp đỡ nhiệt tình nội dụng hình thức thầy, cô giáo tổ toán - tin, BGH trường THPT chuyên Vĩnh Phúc Do thời gian trình độ có hạn nên viết đề cập đến khía cạnh nhỏ dạng toán tổ hợp, mong nhận góp ý phương pháp hiệu để việc giảng dạy phân môn có hiệu I MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA Bài Cho tập hợp M tập hợp tập phần tử phân biệt M X có tính chất T nếu: tích không số phương Tìm số phần tử M lớn Lời giải Xét tập hợp rời có phần tử tích phần tử số phương: { 1, 4,9} , { 2, 7,14} , { 5,12,15} , { 3, 6,8} Nếu tập hợp thuộc M tập hợp phần tử +) M có tính chất M ≤ 11 suy có phần tử tập không M = 11 Giả sử : Do { 1, 4, 9} , { 2, 7,14} , { 5,12,15} , { 3, 6,8} 10,11,13 ∈ M Khi với tập hợp M có tính chất { 1, 4,9} T nên tập phải có hai phần tử thuộc M { 5,12,15} 5,12 ∈ M ⇒ ∉ M ⇒ 7,14 ∈ M ⇒ ∉ M ⇒ 3, ∈ M chứa phần tử +) T ta xét trường hợp sau: Do 3.12 = 62 nên M không vô lí 5,15 ∈ M ⇒ ∉ M ⇒ 6,8 ∈ M ⇒ ∉ M ⇒ 7,14 ∈ M Do 7.14.8 = 282 vô lí +) 12,15 ∈ M ⇒ ∉ M ⇒ 3,8 ∈ M { 1, 4,9} Do 3.12 = 62 vô lí Vậy Bài Cho tập hợp M M 10 M M tập hợp tập M A = { 1, 2,3,5, 7,11,13} tử lớn M 11 Bài (VMO 2004) Cho tập hợp a + b2 X có tính chất T k : k A ⇒ M ≤ 11 M Mặt khác tập hợp { 2,3, 4,6,8,9,10,12,14,15,16} A k nhỏ tồn hai số phân biệt B = { 2, 4, 6,8,10,12,14,16} , ta thấy k ≥9 a, b ∈ B ⇒ a + b cho a + b2 số nguyên tố: ( 1, ) , ( 2,3) , ( 5,8 ) , ( 6,11) , ( 7,10 ) , ( 9,16 ) , ( 12,13) , ( 14,15 ) số chẵn Ta chứng minh số nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, ta chia tập hợp hai phần tử Vậy số phần Hãy tìm số nguyên dương phần tử thỏa mãn yêu cầu toán ( a, b ) thỏa mãn tính số nguyên tố Lời giải Xét tập hợp lớn nên T A = { 1, 2,3, ,16} cho tập gồm thỏa mãn , ta thấy tập hợp chứa nhiều phần tử gồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất a, b M = { 1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14} Mặt khác ta lấy X = { 1, 2,3, ,16} Lời giải Xét tập hợp số chất không chứa phần tử không chứa ba phần tử đôi nguyên tố Tìm số phần tử lớn T M M ≤ 10 Vậy số phần tử lớn tập hợp nếu: nên A k =9 thành cặp Do theo nguyên tắc Dirichlet phần tử phân biệt tập hợp tồn hai số thuộc cặp Vậy Bài Cho tập hợp M = { 1, 2, , n} , n ≥ k A phải nhỏ Hãy tìm số m nhỏ cho tập chứa m phần tử M tồn hai số a, b mà số bội số Lời giải Xét tập M1  n + 1  n + 1  M1 =  , + 1, , n         M Do hai số mà số chia hết cho số Do minh  n + 1 m= +1      a1 , a2 , , a n +1 +1       TH1 Nếu n = 2k  n + 1 m≥ +1   nên , ta chứng số nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, xét tập M Ta xét hai trường hợp = ci bi , ta viết số lẻ nên tồn  n + 1 2 >n   i≠ j cho , ci = c j ⇒ ci n chẵn số lẻ, n lẻ i = 1, 2, , k + hai số , a j Do có k có số chia hết cho số TH2 Nếu n = 2k + , ta viết k+1 số lẻ nên tồn = 2bi ci i≠ j , cho ci số lẻ, ci = c j ⇒ i = 1, 2, , k + hai số chia hết cho số  n + 1 m= +1   Vậy số nhỏ thỏa mãn yêu cầu Sau ta đưa số ứng dụng toán Do có nhiều , a j có số Bài 4.1 Cho tập hợp M M = { 1, 2, , 2n} , n ≥ Khi tập hợp gồm n +1 phần tử chứa hai phần tử bội Kết hay có nhiều ứng dụng việc giải toán liên quan Sau xin đưa số tập vận dụng hệ nêu Bài 4.2 (Brasil 2015) Cho tập S = { 1, 2, , 6n} , n ≥ cho khẳng định sau đúng: tập ( a, b ) , a < b Lời giải Lấy A = 4n , , có k lớn cặp x, y ∈ A, x y cặp Nếu S k a b A = { 2n + 1, 2n + 2, ,6n} k 4n − n = 3n ⇒ B ≥ 3n + Từ đây, kết hợp với 4.1 ta suy tập B có hai phần tử bội nhau, vô lí Vậy số nguyên dương lớn thỏa mãn yệu cầu toán Bài 4.3 Cho k =n n, n > Chứng minh Lời giải số nguyên dương  2n  a1 >   3 a1 < a2 < < an ≤ 2n cho  , a j  > 2n, ∀i ≠ j Giả sử 2n  2n  a1 ≤   ⇒ a1 ≤ ⇒ 3a1 ≤ 2n 3 tập { 1, 2, , 2n} Xét tập hợp { 2a1 ,3a1 , a2 , , an } 3a1 , ≤ i ⇒ [ 3a1, ] = ≤ 2n vô lí Nếu 2a1 , ≤ i ⇒ [ 2a1 , ] = ≤ 2n vô lí Vậy giả sử ban đầu sai suy Bài 4.4 Cho số nguyên dương n p, q ∈ ¢ ,1 ≤ q ≤ n p, q ∈ ¢ ,1 ≤ q ≤ n q j = kqi ⇒ Đặt Từ (1) ta n có nhiều  2n  a1 >   3 phân số tối giản dạng n p q n +1 phân số tối giản dạng pi p j , qi q j cho qi q j (1) kpi − p j = ⇒ k p j ⇒ ( p j , q j ) > kpi − p j pi p j p pj − = i− = ≥ qi q j qi kqi kqi n chứng minh n +1 Theo 4.1 tồn hai phân số kpi − p j pi p j p pj − = i− = qi q j qi kqi kqi Ta nhận thấy vô lí Nếu Giả sử khoảng có độ dài , phần tử Trên trục số lấy khoảng có độ dài Chứng minh khoảng không chứa nhiều p q n +1 nên theo 4.1 ta có tồn hai số bội Giả sử a j , ≤ i < j ⇒ ai , a j  = ≤ 2n , Lời giải gồm kpi − p j ≠ ⇒ kpi − p j ≥ vô lí suy vô lí pi p j − < qi q j n Do toán Bài Cho X tập tập ab { 1, 2,3, ,10000} , cho a, b nằm X không nằm X Tìm số phần tử lớn tập X Lời giải Xét tập hợp M = { 101,102, ,10000} { 1, 2,3, ,10000} , 1012 > 10000 nên tập hợp M thỏa mãn yêu cầu toán, tập hợp M có 9900 phần tử Ta chứng minh 9900 số lớn thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, xét tập A gồm có 9901 phần tử, ta chứng minh tập A không thỏa mãn yêu cầu toán Xét 100 số sau : ( 100 − i,100 + i, ( 100 − i ) ( 100 + i ) ) , ≤ i ≤ 99 Dễ thấy số thuộc A vô lý suy phải có số không thuộc A ⇒ A ≤ 10000 − 100 = 9900 , vô lí Vậy số phần tử lớn X 9900 Bài Cho A tập tập hợp phần tử lớn 100 Giả sử x thuộc A { 1; 2;3; ;100} Lời giải Giả sử tập hợp A gồm 2≤i≤n A có phần tử nhỏ phần tử A A x ≠1 , = x1 < x2 < < xn −1 < xn = 100 Với số Do x2 ≤ x1 = 2, x3 ≤ x2 = 4, x4 ≤ x3 = x5 ≤ x4 = 16, x6 ≤ x5 = 32, x7 ≤ x6 = 64 , Do ta có: xi = x j + xs ≤ xi −1 Nếu x n = ⇒ x8 = 100 , kết hợp với x5 + x6 ≤ 48 ⇒ x7 = x6 ⇒ x6 = 25 Vì x6 + x7 ≤ 64 + 32 = 96 ⇒ x8 = x7 ⇒ x7 = 50 n≥8 x4 + x5 ≤ 24 ⇒ x6 = x5 ⇒ x5 = Mặt khác hai lần phần tử Tìm số phần tử nhỏ tập hợp n A có tính chất: Với phần tử tổng hai phần tử thuộc A , 25 vô lý Do n≥9 n=9 , với ta lấy tập hợp A = { 1, 2,3,5,10, 20, 25,50,100} thỏa mãn yêu cầu toán Vậy số phần tử nhỏ tập hơp A Bài Cho tập hợp X có n≥2 phần tử Xét X i ≠ X j , ∀i ≠ j, X i I X j ≠ ∅, ∀i, j = 1, 2, , k Lời giải Xét k tập 2n Với 2k k = 2n −1 Y1 = X \ X , Y2 = X \ X , , Yk = X \ X k thỏa mãn nên Do Yi ≠ Y j , ∀i ≠ j , Yi I X j , ∀i, j = 1, 2, , k X Do X Mặt khác số tập tập hợp 2k ≤ 2n ⇔ k ≤ 2n −1 , ta xét phần tử a∈ X gọi 2n−1 tập X = A1 U{ a} , X = A2 U{ a} , , X 2n−1 = A2n−1 U{ a} cầu toán Vậy giá trị lớn Bài Cho X k tập đôi phân biệt tập Do tập Tìm giá trị lớn có X i ≠ X j , ∀i ≠ j, X i I X j ≠ ∅, ∀i, j = 1, 2, , k ta có k≥2 n, k k = 2n −1 số nguyên dương, cho họ gồm k n≥2 2n−1 X \ { a} tập A1 , A2 , , A2n−1 X Khi thỏa mãn yêu Tìm số nguyên dương nhỏ tập hợp tập { 1, 2, , n} k tìm ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Lời giải Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau đây: Bổ đề Cho tập hợp n số nguyên { 1, 2, , n} n≥2 Khi tồn họ 2n−1 tập cho ba tập hợp phân biệt khác rỗng họ không thỏa mãn tính chất chúng hợp hai tập hợp lại Chứng minh Ta chứng minh bổ đề quy nạp sau: +) Khi n=2 đễ thấy thỏa mãn +) Ta giả sử bổ đề đến tập hợp A1 , A2 , , A2n−1 n≥2 , tức từ tập hợp { 1, 2, , n} tồn 2n−1 cho tập hợp hợp hai tập hợp phân biệt khác Ta xét tập hợp { 1, 2, , n, n + 1} Khi 2n tập sau: A1 , A2 , , A2n−1 , A1 U{ n + 1} , , A2n−1 U{ n + 1} Thỏa mãn tập hợp hợp hai tập hợp phân biệt khác Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề Cho n số nguyên tập hợp tập hợp { 1, 2, , n} n≥2 Chứng minh họ gồm 2n−1 + tìm ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Chứng minh Ta chứng minh quy nạp toán học +) Khi n=2 đễ thấy bổ đề +) Giả sử bổ đề đến { 1, 2, , n} n≥2 , tức họ 2n−1 + tập tập hợp tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại Ta chứng minh 2n + tập tập hợp { 1, 2, , n, n + 1} tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại n +1 Thật vậy, số tập chứa tập hợp { 1, 2, , n, n + 1} k ≥ 2n −1 + TH1 Nếu k ≤ 2n −1 TH2 Nếu Đặt i) Nếu Bi ≠ ∅ ∀i , 2n + − 2n −1 = 2n −1 + 2n−1 + tập dạng tập chứa A1 , A2 , , A2n−1 +1 n +1 2n + tập theo giả thiết quy nạp ta có đpcm Bi = ∅ tập khác rỗng Nếu tập Nếu tồn cho Nếu số tập 2n + theo giả thiết quy nạp ta có đpcm có i ii) Gọi k xét Khi ta xét trường hơp: xét Giả sử ta xét Bi = Ai \ { n + 1} 2n C ≠ B j , ∀j ≠ i ∃j ≠ i, C = B j Ai = { n + 1} { 1, 2, , n} Trong giả sử C 2n + tập chọn phải có theo giả thiết quy nạp ta có đpcm ba tập Aj , C , { n + 1} thỏa mãn yêu cầu toán Vậy bổ đề chứng minh Trở lại Bài dễ thấy k nhỏ 2n−1 + n, d ∈ ¥ * Bài (Bài toán khoảng cách Hamming) Cho Gọi C tập hợp chứa xâu nhị phân có độ dài khoảng cách Hamming có độ dài không nhỏ d 1) Kí hiệu Nếu M ( n, d ) = M 2d > n số phần tử lớn tập hợp C Khi  d  M ( n, d ) ≤   2d − n  2) Nếu d lẻ 2d + > n  d +1  M ( n, d ) ≤   2d + − n  3) 4) Nếu Nếu d d chẵn M ( d , d ) ≤ 4d lẻ M ( 2d + 1, d ) ≤ 4d + Chứng minh 1) Ta đánh giá ∑ x , y∈C , x ≠ y d ( x, y ) theo cách khác nhau, kí hiệu x, y +) Số cách chọn có thứ tự ( x, y ) M ( M − 1) ∑ x , y∈C , x ≠ y +) Xét ma trận M ×n d ( x, y ) khoảng cách Hamming hai xâu suy ra: d ( x, y ) ≥ M ( M − 1) d , dòng phần tử thứ tương ứng cột thứ có xứng nên suy M − mi C Gọi ∑ d ( x, y ) = ∑ 2mi ( M − mi ) i =1 Do từ hai cách đánh giá ta được: n 2M ≥ 2mi ( M − mi ) ≥ M ( M − 1) d ∑ ∑ i =1 i =1 n Hay M ( M − 1) d ≤ nM 2d ⇔M ≤ 2d − n Sau xét trường hợp chẵn, lẻ +) Nếu M chẵn từ (1) ta có M số số cột số Do xét quan hệ hai xâu , có tính đối n x , y∈C , x ≠ y mi (1) M d M  d  M   d   d  ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ M ≤ 2   2d − n  2d − n     2d − n   2d − n  +) Nếu M số lẻ mi ( M − mi ) ∑ x , y∈C , x ≠ y 2d > n sử dụng M≤ d ( x, y ) ≤ mi = đạt giá trị lớn M ±1 hay ta có : 1 n ( M − 1) ⇒ M ( M − 1) d ≤ n ( M − 1) 2 , ta : 2d M +1 d M +1  d   d  −1 ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ M ≤ 2 −1  2d − n 2d − n  2d − n   2d − n  Kết hợp hai trường hợp ta  d  M ≤ 2  2d − n  2) X = { a1 , a2 , , an } Xét tập hợp với tập ti = tập A A X ta cho tương ứng xâu nhị phân theo nguyên tắc : Nếu không chứa phần tử Ai ∆Aj ≥ d ,1 ≤ i < j ≤ m có , M giá trị lớn mãn tính chất Hai tập gọi hai tập không giống Xét tập nguyên tắc sau : Nếu chẵn thì tập Giả sử tập Ai ∆Aj ≥ d ,1 ≤ i < j ≤ m Ai ti = Ai' = Ai Ai , Aj m , Ai' = Ai U{ an+1} lẻ , 1≤ i < j ≤ m Ta có Ai I Aj ⊂ Ai' I A'j ⇒ Ai' I A'j ≥ Ai I Aj ≥ d (2) 1) Nếu d C Khi ta Ta thiết lập tập Ai' ∆A'j = Ai' + A'j − Ai' I A'j số chẵn với A1 , A2 , , Am Ai thỏa mãn tính chất với Do ta có nên chứa phần tử cho tập i Ai' ∆A'j thỏa Ai ∆Aj ≥ d X ' = X U{ an +1} Ai A A t1t2 tn chẵn ta chứng minh giống phần Ai' theo Ai' Khi chẵn Ai' I A'j ≥ d + d 2) Nếu lẻ theo (2) ta Ta đánh giá ∑ x , y∈C , x ≠ y d ( x, y ) theo cách khác nhau, kí hiệu x, y +) Số cách chọn có thứ tự ( x, y ) M ( M − 1) ∑ x , y∈C , x ≠ y +) Xét ma trận M ×n d ( x, y ) khoảng cách Hamming hai xâu suy ra: d ( x, y ) ≥ M ( M − 1) d C , dòng phần tử thứ tương ứng cột thứ có xứng nên suy M − mi ∑ x , y∈C , x ≠ y Gọi mi số số cột số Do xét quan hệ hai xâu , có tính đối n d ( x, y ) = ∑ 2mi ( M − mi ) i =1 Do từ hai cách đánh giá ta được: n 2M ≥ ∑ 2mi ( M − mi ) ≥ M ( M − 1) ( d + 1) ∑ i =1 i =1 n Hay M ( M − 1) ( d + 1) ≤ Sau xét trường hợp chẵn, lẻ +) Nếu M ( d + 1) nM ⇔M ≤ 2d + − n M (3) chẵn từ (3) ta có M d +1 M  d +1   M   d +1   d +1  ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ M ≤ 2   2d + − n  2d + − n     2d + − n   2d + − n  +) Nếu M số lẻ ∑ mi ( M − mi ) x , y∈C , x ≠ y sử dụng 2d + > n d ( x, y ) ≤ ta : mi = đạt giá trị lớn M ±1 hay ta có : 1 n ( M − 1) ⇒ M ( M − 1) ( d + 1) ≤ n ( M − 1) 2 , M≤ 2d + M +1 d +1 M +1  d +1   d +1  −1 ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ M ≤ 2 −1  2d + − n 2d + − n  2d + − n   2d + − n  Kết hợp hai trường hợp ta  d +1   d +1  M ≤ 2 ≤ 2   2d + − n   2d + − n  Bài tập áp dụng khoảng cách Hamming m Bài 9.1 (Vĩnh Phúc 2012, vòng 2) Có em học sinh lập thành nhóm hoạt động ngoại khóa, học sinh tham gia nhiều nhóm hoạt động Biết với hai nhóm tùy ý có học sinh tham gia vào hai nhóm m Tìm giá trị lớn Lời giải Cách (Đáp án thức) Ta lập “bộ ba”, ba gồm hai nhóm với học sinh không tham gia vào hai nhóm Giả sử có đẳng thức sau: k ba Theo ta có bất k ≥ Cm2 = 2m ( m − 1) Nếu học sinh vậy, học sinh a a tham gia ma nhóm, không tham gia tham gia vào ma ( m − ma ) m − ma nhóm Như ba Từ ta có: k = ∑ ma ( m − ma ) ≥ 2m ( m − 1) a Mặt khác ma ( m − ma ) ≤ m2 Suy 7m ≥ 2m ( m − 1) Tức m≤8 Ví dụ sau cho cách phân nhóm với m =8 , học sinh a, b, c, d , e, f , g A1 = { a, b, c} , A2 = { a, d , e} , A3 = { a, f , g } , A4 = { b, d , f } , A5 = { b, e, f } A6 = { c, d , g} , A7 = { c, e, f } , A8 = { a, b, c, d , e, f , g} Cách (Sử dụng kết liên quan đến khoảng cách Hamming) : a1 , a2 , , a7 Giả sử học sinh xâu dạng t1t2 t7 , ti = đặt X = { a1 , a2 , , a7 } nhóm chứa Ta coi nhóm ti = , nhóm không chứa Khi theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ Áp dụng kết d = 4, n = phần 2.i với ta m≤8 m =8 Với ta xây dựng xâu nhị phân độ dài khoảng cách Hamming hai xâu sau: a1 1 0 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a4 1 a5 0 1 a6 0 1 0 a7 0 1 a8 1 1 1 Bài 9.2 Cho điều kiện sau: A1 , A2 , , Ak tập tập S = { 1, 2,3, ,10} thỏa mãn đồng thời Ai = 5, i = 1, 2, , k a) Ai I A j ≤ 2,1 ≤ i < j ≤ k b) k Xác định giá trị lớn có Lời giải Ta coi tập Ai i chứa phần tử Ai ti = xâu nhị phân có dạng tập hợp Ai t1t2 t10 i không chứa phần tử Do ti = tập Ai I A j ≤ 2,1 ≤ i < j ≤ k , nên khoảng cách Hamming hai tập hợp Ai , Aj ,1 ≤ i < j ≤ k   k ≤ 2 =6  2.6 − 10  theo kết định lí ta không nhỏ Do k =6 Với ta xây dựng xâu nhị phân thỏa mãn khoảng cách Hamming không nhỏ sau : A1 1 1 0 0 A2 0 1 1 0 A3 1 0 0 1 A4 1 1 A5 1 0 1 A6 0 1 0 1 Bài 9.3 Cho tập hợp X = { 1, 2,3, , 4n} Hai tập A∆B ≥ 2n + giống , mà phần tử tập a) Chứng minh m ≤ 2n m≤ X A B A∆B = ( A \ B ) U ( B \ A ) gồm m X gọi không Cho tập hợp { A1 , A2 , , Am } phần tử đôi không giống ( n + 1) Chứng minh Lời giải Ta chứng minh phần b phần a hệ b) Ta coi tập ti = Ai 2n + Ai xâu dạng , trong ti = Ai i chứa , i không chứa Khi theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ Áp dụng kết phần 2.ii với   2n + +  2n +  ( n + 1) m ≤ 2  = 2  ≤ 2 n + + − n 3 ( )    t1t2 t4 n m = M ( 2n + 1, 4n ) ta đánh giá dễ dàng dấu Bài 9.4 Trong thi có n thí sinh p giám khảo, n, p số nguyên p>2 dương, Mỗi giám khảo đánh giá thí sinh cho kết luận thí sinh đỗ hay trượt Giả sử k số thỏa mãn điều kiện: Với hai giám khảo bất kì, số thí sinh mà họ cho kết giống nhiều k Chứng minh Lời giải Giả sử n thí sinh ti = s1 , s2 , , sn thí sinh đỗ, k p−2 ≥ n ( p − 1) Mỗi giám khảo cho tương ứng với xâu ti = TH Nếu TH Nếu +) Nếu 2( n − k ) > n n−k k p−2 ≥ > n 2 ( p − 1) n−k n−k , Ta xét hai trường ta xét hai khả sau: chẵn theo kết định lí ta được:   n−k n−k k p−2 p ≤ 2 ⇒ p ( n − 2k ) ≤ n − k ⇔ ≥ ≤2 2( n − k ) − n n ( p − 1) 2( n − k ) − n  +) Nếu t1t2 t n thí sinh trượt Theo giả thiết khoảng cách Hamming hai giám khảo không nhỏ hợp sau : 2( n − k ) ≤ n ⇔ lẻ theo kết định lí ta được:  n − k +1  n − k +1 p ≤ 2 ⇒ p ( n − 2k + 1) ≤ 2n − 2k + ≤2 n − k + − n n − k + − n ( ) ( )   k p − n +1 p−2 ⇔ ≥ > n ( p − 1) n ( p − 1) Vậy ta có đánh giá k p−2 ≥ n ( p − 1) Bài 9.5 Cho A1 , A2 , , Am Ai = 505, i = 1, 2, , m Lời giải tập hợp tập hợp Si I S j = 1,1 ≤ i < j ≤ m S = { 1, 2, , 2013} Chứng minh m ≤ 672 , Ta coi tập Ai i chứa phần tử Ai ti = xâu nhị phân dạng tập hợp Ai t1t2 t2013 , i ti = tập Si I S j = 1,1 ≤ i < j ≤ m không chứa phần tử Do nên hai tập có khoảng cách Hamming không nhỏ định lí ta 2.504 = 1008 Theo kết 1008   m ≤ 2 = 672  2.1008 − 2013  Như với cách tạo khoảng cách Hamming hai đối tương ta dạng tập tương đối khó Trong tất dạng tập liên quan đến khoảng cách Hamming thật tinh tế sâu sắc Nhận xét Như với cách tạo khoảng cách Hamming hai đối tương ta dạng tập tương đối khó Trong tất dạng tập liên quan đến khoảng cách Hamming 9.3 thật tinh tế sâu sắc Bài 10 (THPT chuyên VP 2015) Điểm M ( x; y ) mặt phẳng tọa độ gọi điểm nguyên, x y số nguyên Tìm số nguyên dương n bé cho từ n điểm nguyên, tìm ba điểm nguyên đỉnh tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng coi diện tích tam giác 0) Lời giải + n=4 không thỏa mãn, ta chọn bốn điểm nguyên đỉnh hình vuông đơn vị, đó, tam giác có đỉnh ba bốn điểm nguyên xét có diện tích số nguyên + Ta chứng minh n=5 số nguyên bé thỏa mãn Ta chia điểm nguyên M ( x; y ) mặt phẳng thành loại: Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn Khi đó, điểm nguyên xét, có hai điểm loại, ta gọi hai điểm A, B Ta chứng minh, với điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC số nguyên Thật vậy: + Nếu A B có hoành độ a, A, B loại, nên độ dài AB số chẵn Gọi h S ABC = C (c1 ; c2 ), d (C ; AB), AB ×h khoảng cách với số nguyên Tương tự với A, B tung độ, ta có diện tích tam giác ABC số nguyên + Xét trường hợp A(a1 ; a2 ), B(b1 ; b2 ) điểm thứ tư D, chẳng hạn thuộc loại, D(b1 ; a2 ) Nhưng nên S ABC S ACBD k Chọn số nguyên số nguyên Điều phải chứng minh Bài 11 (THPT chuyên VP 2013) Xét 20 số nguyên dương tìm số nguyên dương a2 ≠ b2 Khi đó, theo lập luận trên, tam giác ABD, CAD, CBD có diện tích số nguyên, suy S ACBD = S ABC + S ABD , a1 ≠ b1 , 1, 2,3, …, 20 Hãy nhỏ có tính chất: Với cách lấy k số phân biệt từ 20 số trên, lấy hai số phân biệt a b cho a+b số nguyên tố Lời giải { 2, 4, 6,8,10,12,14,16,18, 20} Xét tập hợp , ta thấy tổng hai phần tử tập hợp số nguyên tố Do k ≥ 11 , ta chứng minh Thật vậy, ta chia tập hợp k = 11 A = { 1, 2,3, , 20} số nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán thành 10 cặp số sau: ( 1, ) , ( 3,16 ) , ( 4,19 ) , ( 5, ) , ( 7,10 ) , ( 8,9 ) , ( 11, 20 ) , ( 12,17 ) , ( 13,18 ) , ( 14,15 ) Tổng hai số cặp số số nguyên tố Khi tập A có 11 phần tử tồn hai phần tử thuộc vào 10 cặp số Suy tổng số nguyên tố II BÀI TẬP TƯƠNG TỰ A có hai phần tử phân biệt có Bài 12 Cho A1 , A2 , , An tập hợp có hữu hạn phần tử cho A1 = A2 = An n UA = S i i =1 Giả sử có số nguyên dương họ S, hợp nhiều 1≤ k ≤ n k −1 thỏa mãn hợp k tập hợp tập họ cho tập thực S Tìm số phần tử nhỏ S Bài 13 Cho ( X i ) 1≤i≤ k họ tập có h phần tử tập hợp X Chứng minh k U X i Bài i =1 14 số nguyên dương m nhỏ cho Cho n A = ( Ai ) 1≤i ≤3 n , B = ( Bi ) 1≤i ≤3 n , C = ( Ci ) 1≤i ≤3 n số nguyên k ≤ Cmh dương cho trước ba phân hoạch tập hợp hữu hạn ta có bất đẳng thức sau với X Giả sử i, j , k = 1, 2, , 3n Ai I B j + Ai I Ck + B j I Ck ≥ 3n Tìm số phần tử nhỏ có tập hợp : X Bài 15(Định lí Sperner) Cho X tập hợp có n phần tử, họ tập X thỏa mãn tính chất G = { A1 , A2 , , Ap } Ai ⊄ Aj , ∀i, j = 1, 2, , p, i ≠ j Chứng minh n   max p = Cn  Bài 16(Định lí Erdos – Ko - Rado) Cho X tập hợp có n phần tử, G = { A1 , A2 , , Ap } Ai = r ≤ a) họ tập X thỏa mãn điều kiện sau: n , ∀i = 1, 2, , p Ai I Aj ≠ ∅, ∀i, j = 1, 2, , p b) max p = C r −1 n −1 Chứng minh Bài 17 Cho X tập hợp có n phần tử, Y tập có k phần tử X Chứng minh số lớn tập đôi khác tập X, tập có  n−k    r phần tử Y hai tập không chứa Bài 18(Balkan MO 2005) Cho hợp { 1, 2, , n} cho S n≥2 số nguyên S Ckr Cn−k2 tập tập chứa hai phần tử mà phần tử bội phần tử kia, chứa hai phần tử nguyên tố Tìm số phần tử lớn tập hợp S Bài 19(Balkan MO 1997) Cho tập hợp A có n phần tử S = { A1 , A2 , , Ak } tập hợp tập hợp A Nếu với hai phần tử Ai ∈ S chứa phần tử hai phần tử x, y X = { 1, 2, , 1996 Bài 20(Balkan MO 1996) Cho tập x, y ∈ A có tập Chứng minh − 1} họ n ≤ 2k , chứng minh tồn tập A X thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: ∈ A, 21996 − 1∈ A; a) b) Với phần tử khác A viết thành tổng hai (có thể nhau) c) phần tử thuộc A; Số phần tử lớn tập A 2012 Bài 21(Balkan MO 1989) Cho F họ tập tập hợp { 1, 2, , n} thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a) Nếu A thuộc F, A có phần tử; b) Nếu A B hai phần tử khác S, A B có nhiều phần tử chung Kí hiệu f ( n) số phần tử lớn có F Chứng minh n − 4n n2 − n ≤ f ( n) ≤ 6 Bài 22 Cho S tập tập hợp { 1, 2, ,1989} S thỏa mãn tính chất S hai phần tử mà hiệu chúng Tìm số phần tử lớn S? Bài 23 (Iran TST 2013) Cho { 1, 2,3, , n} p F = { A1 , A2 , , Ap } thỏa mãn tính chất: Ai ⊂ Aj họ tập tập Ai − A j ≥ Tìm số lớn có Bài 24 (Moldova TST 2013) Tìm số lớn cặp phân biệt xi , yi ∈ { 1, 2, , 2013} , ( xi , yi ) cho xi + yi ≤ 2013, ∀i ≠ j, xi + yi ≠ x j + y j Bài 25 (China 1996) Cho 11 tập hợp M , M , , M 11 , tập có phần tử thỏa mãn M i I M j ≠ ∅, ∀i ≠ j; i, j = 1, 2, ,11 Gọi m số lớn cho tồn tập M i1 , M i2 , , M im Trong số tập cho cho m I k =1 M ik ≠ ∅ Hỏi giá trị lớn m bao nhiêu? Bài 26 (AIME 1989) Cho tập hợp X = { 1, 2,3, ,1989} tính chất: hai phần tử phần tử lớn S bao nhiêu? S Xét tập S X thỏa mãn đơn vị Hỏi số Bài 27 Cho số nguyên dương n≥5 X = { 1, 2, , n} tập hợp X nhỏ cho với cách chia tập hợp Tìm số nguyên dương thành hai tập rời A, B n tồn tập chứa ba số lập thành cấp số cộng Bài 28 (IMO 1991) Cho tập hợp cho tập Bài 29 Cho m, n n phần tử S với k m >1 tập rời i = 1, 2, , k Tìm số nguyên dương nhỏ n chứa số đôi nguyên tố số tự nhiên cho lớn cho tồn Ai ∈ { m, m − 1} S = { 1, 2, , 280} n > 2m A1 , A2 , , Ak Tìm số nguyên dương tập { 1, 2, , n} k thỏa mãn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Toán rời rạc, NXB Giáo dục, 2008 [2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Rời rạc số vấn đề liên quan, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên hè 2007, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội [3] Trần Nam Dũng (chủ biên), Chuyên đề toán học số 8, 9, Trường PTNK - ĐHQG TP Hồ Chí Minh [4] Le Hai Chau - Le Hai Khoi, Selected Problems of the Vietnamese Maththematical Olympiad (1962 - 2009), World Scientific [5] Tạp chí Toán học tuổi trẻ, Crux - Canada, AMM - USA [6] Titu Andresscu - Zuming Feng, A path to combinatorics for underfrduates, Birkhauser [7] Arthur Engel, Problem - Solving Strategies, Springer [8] Titu Andreescu and Zuming Feng 102 combinatorial problems from the training of the USA IMO team [9] Phạm Minh Phương Một số chuyên đề toán học tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông NXB Giáo dục Việt Nam [10] Các nguồn tài liệu từ internet www.mathscope.org; www.mathlinks.org; www.imo.org.yu [...]... cùng vào một trong 10 cặp số trên Suy ra trong tổng là một số nguyên tố II BÀI TẬP TƯƠNG TỰ A luôn có hai phần tử phân biệt có Bài 12 Cho A1 , A2 , , An là các tập hợp có hữu hạn phần tử sao cho A1 = A2 = An và n UA = S i i =1 Giả sử có số nguyên dương họ trên bằng S, hợp của nhiều nhất 1≤ k ≤ n k −1 thỏa mãn hợp của bất kì k tập hợp của tập của họ đã cho là một tập con thực sự của S Tìm số phần tử... Hỏi số Bài 27 Cho số nguyên dương n≥5 X = { 1, 2, , n} và tập hợp X nhỏ nhất sao cho với mọi cách chia tập hợp Tìm số nguyên dương thành hai tập rời nhau A, B n thì luôn tồn tại một tập chứa ba số lập thành một cấp số cộng Bài 28 (IMO 1991) Cho tập hợp sao cho mọi tập con Bài 29 Cho m, n n phần tử của S với mọi k m >1 tập con rời nhau i = 1, 2, , k Tìm số nguyên dương nhỏ nhất n đều chứa 5 số đôi một. .. của hai phần tử bất kì của tập hợp này đều không phải là số nguyên tố Do đó k ≥ 11 , ta sẽ chứng minh Thật vậy, ta chia tập hợp k = 11 A = { 1, 2,3, , 20} là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán thành 10 cặp số sau: ( 1, 2 ) , ( 3,16 ) , ( 4,19 ) , ( 5, 6 ) , ( 7,10 ) , ( 8,9 ) , ( 11, 20 ) , ( 12,17 ) , ( 13,18 ) , ( 14,15 ) Tổng của hai số trong mỗi cặp số trên là số nguyên tố Khi đó mỗi tập con... chứa hai phần tử nguyên tố cùng nhau Tìm số phần tử lớn nhất của tập hợp S Bài 19(Balkan MO 1997) Cho tập hợp A có n phần tử và S = { A1 , A2 , , Ak } các tập hợp con của tập hợp A Nếu với hai phần tử bất kì Ai ∈ S chứa đúng một phần tử trong hai phần tử x, y X = { 1, 2, , 2 1996 Bài 20(Balkan MO 1996) Cho tập x, y ∈ A có một tập con Chứng minh rằng − 1} là một họ n ≤ 2k , chứng minh rằng tồn tại... p = C r −1 n −1 Chứng minh rằng Bài 17 Cho X là một tập hợp có n phần tử, và Y là một tập con có k phần tử của X Chứng minh rằng số lớn nhất các tập con đôi một khác nhau của tập X, mỗi tập có  n−k    đúng r phần tử của Y và hai tập bất kì thì không chứa nhau bằng Bài 18(Balkan MO 2005) Cho hợp { 1, 2, , n} sao cho S n≥2 là một số nguyên và S Ckr Cn−k2 là một tập con của tập hoặc chứa hai... ( n) ≤ 6 6 Bài 22 Cho S là một tập con của tập hợp { 1, 2, ,1989} và S thỏa mãn tính chất trong S không có hai phần tử mà hiệu của chúng bằng 4 hoặc 7 Tìm số phần tử lớn nhất của S? Bài 23 (Iran TST 2013) Cho { 1, 2,3, , n} p của F = { A1 , A2 , , Ap } thỏa mãn tính chất: nếu Ai ⊂ Aj là một họ các tập con của tập Ai − A j ≥ 3 thì Tìm số lớn nhất có thể có Bài 24 (Moldova TST 2013) Tìm số lớn nhất... B j I Ck ≥ 3n Tìm số phần tử nhỏ nhất có thể có của tập hợp : X Bài 15(Định lí Sperner) Cho X là một tập hợp có n phần tử, và một họ các tập con của X thỏa mãn tính chất G = { A1 , A2 , , Ap } Ai ⊄ Aj , ∀i, j = 1, 2, , p, i ≠ j là Chứng minh n   rằng max p = Cn 2  Bài 16(Định lí Erdos – Ko - Rado) Cho X là một tập hợp có n phần tử, và G = { A1 , A2 , , Ap } Ai = r ≤ a) là một họ các tập con... đầu tiên tìm số nguyên dương a2 ≠ b2 Khi đó, theo lập luận ở trên, các tam giác ABD, CAD, CBD có diện tích là số nguyên, suy ra S ACBD = S ABC + S ABD , a1 ≠ b1 , 1, 2,3, …, 20 Hãy nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt a và b sao cho a+b là một số nguyên tố Lời giải { 2, 4, 6,8,10,12,14,16,18, 20} Xét tập hợp , ta thấy tổng của hai phần... là số chẵn Gọi h S ABC = C (c1 ; c2 ), d (C ; AB), 1 AB ×h 2 là khoảng cách với khi đó là số nguyên Tương tự với A, B cùng tung độ, ta cũng có diện tích tam giác ABC là số nguyên + Xét trường hợp A(a1 ; a2 ), B(b1 ; b2 ) điểm thứ tư D, chẳng hạn thuộc cùng một loại, nhưng D(b1 ; a2 ) Nhưng nên S ABC S ACBD k Chọn là số nguyên là số nguyên Điều phải chứng minh Bài 11 (THPT chuyên VP 2013) Xét 20 số. .. một tập con thực sự của S Tìm số phần tử nhỏ nhất của S Bài 13 Cho ( X i ) 1≤i≤ k là một họ các tập con có h phần tử của tập hợp X Chứng minh k min U X i rằng Bài i =1 14 bằng số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho Cho n là một A = ( Ai ) 1≤i ≤3 n , B = ( Bi ) 1≤i ≤3 n , C = ( Ci ) 1≤i ≤3 n số nguyên k ≤ Cmh dương cho trước là ba phân hoạch của tập hợp hữu hạn ta có bất đẳng thức sau đúng với mọi X và ... toán tổ hợp, mong nhận góp ý phương pháp hiệu để việc giảng dạy phân môn có hiệu I MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA Bài Cho tập hợp M tập hợp tập phần tử phân biệt M X có tính chất T nếu: tích không số. .. hai số cặp số số nguyên tố Khi tập A có 11 phần tử tồn hai phần tử thuộc vào 10 cặp số Suy tổng số nguyên tố II BÀI TẬP TƯƠNG TỰ A có hai phần tử phân biệt có Bài 12 Cho A1 , A2 , , An tập hợp. .. vị Hỏi số Bài 27 Cho số nguyên dương n≥5 X = { 1, 2, , n} tập hợp X nhỏ cho với cách chia tập hợp Tìm số nguyên dương thành hai tập rời A, B n tồn tập chứa ba số lập thành cấp số cộng Bài 28

Ngày đăng: 21/12/2015, 14:24

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan