Trường THPT Hùng Vương Ôn tập hệ phương trình Đại số ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Hệ phương trình đối xứng loại 1: Định nghĩa: Hệ Pt đối xứng loại có dạng:  f ( x, y ) =  f ( x, y ) = f ( y , x )  ,   g ( x, y ) =  g ( x, y ) = g ( y , x ) (Trong pt thay x cho y y cho x pt không thay đổi ) 2.Cách giải: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S ≥ P Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P dùng Viét đảo tìm x, y Chú ý: + Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP + Đôi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv + Có hệ phương trình trở thành đối xứng loại sau đặt ẩn phụ II Hệ phương trình đối xứng loại 2: Định ghĩa:  f ( x, y ) = ( )   f ( y , x) = ( ) Cách giải: Lấy (1) − (2) (2) − (1) ta được: (x−y)g(x,y)=0 Khi x−y=0 g(x,y)=0 + Trường hợp 1: x−y=0 kết hợp với phương trình (1) (2) suy nghiệm + Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) (2) suy nghiệm (trong trường hợp hệ phương trình thông thường vô nghiệm) III Hệ đẳng cấp bậc hai Lý thuyết: ax + bxy + cy = d (1) * Hệ đẳng cấp bậc có dạng:  2 a ' x + b' xy + c' y = d ' (2) Phương pháp giải: + Kiểm tra x = có thỏa hệ hay không?  x (a + bt + ct ) = d + Xét x ≠ Đặt y = tx ⇒   x (a '+b' t + c' t ) = d ' + Kiểm tra a '+b' t + c' t = có thỏa hệ hay không? (1) + Xét x ≠ a '+b' t + c' t ≠ Ta lấy ta được: (2) a + bt + ct d = ⇔ (cd '−dc ' )t + (bd '−db' )t + ad '− da ' = ; giải PT để tìm t thay t vào hệ ta tìm d' a '+b' t + c' t x sau tìm y = tx Bài Tập: Giải hệ pt sau: x − xy − y = x + y + xy =  xy ( x − y ) = −2  x y + xy = 30 Bài 1: a)  b)  c)  d)  e) 3 2 x − y =  x + y = 35 x y − xy = x + y + x y = 21 GV: Hồ Đình Sinh_Tổ toán  x y + y x = 30   x x + y y = 35 Trường THPT Hùng Vương Ôn tập hệ phương trình Đại số Bài 2: 1  x y 13 x + y =   + = a)  1 b)  y x  + x + y = = 13   x y Bài 3:  x + y 10 =   x+y c)  1 + =  x y 1   x + y + x + y = ( x + y )(1 + xy ) =   a)  b)  c)  x + y + + = ( x + y )(1 + ) =   x2 y x2 y2 2  x + d)  x  +  y =3 3 = y   x − 2y + x + 2y =  e)  x + 2y  = −6  x − 2y 1   x x + + y + =5 y  + = +1 x y   x x y d)  y   x + y + + =  x xy + y xy = 78   x3 y Bài 4:  x + y =  x + y =  x3 + y =  x5 + y = x + y = 82 a)  b) c) d) e) ĐS:(0;1),(1;0)    9  2 6 5 2 4  x − x y + y = 13  x + y =  x + y = x + y xy =  x + y = x + y Bài 2 x + y + x + y2 =  x ( x + 2)(2 x + y) =  x (3 x + y )( x + 1) = 12  x + x + y + y = 18 a)  b)  c)  d)   xy ( x + 1)( y + 1) = 72  xy(x + 1)(y + 1) = 12  x + x + y = x + 2y + 4x − = 2  x + + y + =  x + y + x + y = 10  x + y − x + y = e)  f) g)    xy ( x + 4)( y + 4) = 3 x − y − x − y = x y + + y x + + x + + y + = Bài 6: 2 3  xy + x + = y 1 −1  y + xy = x 1 + x y = 19 x  1 a)  ĐS: (1; 2), ( ;1) b)  ĐS:( ; −2), ( ;3) c)  2 ĐS:  1; ÷, (3;1) 2 2 2  3 1 + x y = x  y + xy = −6 x  x y + xy + = 13 y 3  3−   3+  ( x + 1) + y ( y + x) = y 8 x y + 27 = 18 y * d)  ĐS: (-2;5) e)  ĐS:  ; ,  ; ÷ ÷  ÷ 3+   − ÷  ( x + 1)( y + x − 2) = y  x y + x = y Bài 7: Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: x + y = m  x + y + xy = m 21 Ú m ³ + 3; a)  ĐS: − ≤ m ≤ + ; b)  ĐS: m £ 2  x y + xy = 3m −  x + y = 2m +  x+ c)  y =1  x x + y y = − 3m ĐS: £ m £  x + y + x + y = 10 d)   xy ( x + 4)( y + 4) = m Bài 8:  x = 3x + y a)  ĐS: (0,0), (5;5), (-1;2), (2;-1).b)  y = y + x ĐS: - 24 £ m £  −1 + −1 +  x3 + = y ; ĐS: (1;1),   2  y + = x   2 x + y = x x3 = 2x + y  c)  ĐS:(1;1), e) (0;0), ( 3; 3), ( − 3; − 3), (1; −1), ( −1;1) d)   y = 2y + x 2 y + x =  y2 GV: Hồ Đình Sinh_Tổ toán   −1 − −1 −  ÷ ÷,  ; ÷ ÷     2x = y + y ĐS:(1;1)  2y2 = x +  x Trường THPT Hùng Vương Ôn tập hệ phương trình Đại số Bài 9:  2x + y + y = 14 2  x + x + 2y = 14 a/  2 2 2x − 3x = y − 2 b/  2y − 3y = x − x = 2y −   y = 2x − x − 2y = 2x + y c) 2 d)   y2 − 2x2 = 2y + x e)  2 x + y = x   2 y + =  x y Bài 10:  x + − y = a)   y + − x = ĐS: (0;0),(2;2)  x + + y − = c)   y + + x − = ĐS: (7;7)  x + + y − = b)  ĐS:(11;11)  y + + x − =  x + y − x − y = d)   x + y + x − y = 2 2 5 2   ĐS:  ; ÷ Bài 11: 2 2  x + +2 xy + y =  x + xy − y = 3 x + xy + y = 11 6 x − xy − y = 56  x + x y = a)  b)  c)  d)  e)  2 2 x + xy + y =  x + xy + y = 25 5 x − xy − y = 49  y + xy =  x x + y y = −2 Bài 12:  xy + x + y = x − y a)  HD: xy + x + y = x − y ⇔ (x + y)(x −2y −1) =  x y − y x − = x − y  x − xy + y = 3( x − y ) b)  2  x − xy + y = Bài 13: HD: x − xy + y = ⇔ (2 x − y )( x − y ) = 1     x − x = y − y ( 1) a)  HD: (1) ⇒ ( x − y ) 1 + ÷ = xy   2 y = x3 +   −1 + −1 +   −1 − −1 −  ; ; ÷ ÷ ĐS: ( 1;1) ,  ÷,  ÷ 2 2       x + y + x y + xy + xy = − b)  HD: Biến đổi hệ phương trình thành:  x + y + xy ( + x ) = −   x = x = u = x + y   ∨ Đặt:  ĐS:  −3 v = xy  y = − 25  y =  16 ( x + y ) − 5(4 x − y ) + 6(2 x − y ) =  c)  HD: Đặt =3 2 x + y + 2x − y  GV: Hồ Đình Sinh_Tổ toán ĐS: x = 5; y = −5  2  x + y + xy x + y + xy =   x + y + xy = −5  ( ( ) ) u = x + y 3 1 3 1 ĐS:  ; ÷,  ; ÷  8 4 4 2 v = x − y Trường THPT Hùng Vương Ôn tập hệ phương trình Đại số Bài 14:  y − x = y − x a)  HD:  x + y = x + y + ( ) 3 1 y − x = y − x ⇒ y − x − x − y = ĐS: ( 1;1) ,  ; ÷ 2 2  x + y = x + y  x − y = x − y  −7 + −11 +   −3  ; b)  ĐS: (2; −2),  ; ÷ c)  ĐS: (0;0),  ÷ ÷ 4 2     x − y = x − y − 12  x + − − y = − x Bài 15:  x 2  x   2x 2y  ÷ +  ÷ = 12 + =3 3  x a)  y   y  ĐS: (2;1), (-2;-1) b)  y ĐS: (−1; −2), ( ;3), (2;1), ( −2; − ) 2   x − y + xy = x y + xy = ( )   x−y x + y +3 =4  c)  x − y x+y  xy =  Bài 16:  x + x3 y + x y = x + ( x, y ∈ ¡ ) HD: rút x.y từ pt thứ hai vào pt thứ đưa pt bậc chọn đc nghiệm   x + xy = x + ĐS: x = −4; y = 17 Bài 17:  x + y + xy = 3 3 2  HD: x + y = ( x + y ).1 ⇔ x + y = ( x + y ).( x + y + xy ) ĐS: (1;0),(-1;0) x + y = x + y  Các em cố gắng làm hết nhé! Chúc em học tốt GV: Hồ Đình Sinh_Tổ toán ... c)  x − y x+y  xy =  Bài 16:  x + x3 y + x y = x + ( x, y ∈ ¡ ) HD: rút x.y từ pt thứ hai vào pt thứ đưa pt bậc chọn đc nghiệm   x + xy = x + ĐS: x = −4; y = 17 Bài 17:  x + y + xy =... Sinh_Tổ toán   −1 − −1 −  ÷ ÷,  ; ÷ ÷     2x = y + y ĐS:(1;1)  2y2 = x +  x Trường THPT Hùng Vương Ôn tập hệ phương trình Đại số Bài 9:  2x + y + y = 14 2  x + x + 2y = 14 a/ ... + xy = −5  ( ( ) ) u = x + y 3 1 3 1 ĐS:  ; ÷,  ; ÷  8 4 4 2 v = x − y Trường THPT Hùng Vương Ôn tập hệ phương trình Đại số Bài 14:  y − x = y − x a)  HD:  x + y = x + y