SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG PHẦN I: LÝ THUYẾT – VÍ DỤ – BÀI TẬP Bài Phép dời hình Bài Các phép dời hình mặt phẳng Bài Các ví dụ thực tế PHẦN II: LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ PHẦN I: LÝ THUYẾT – VÍ DỤ – BÀI TẬP Bài Phép dời hình 1) Đại cương phép dời hình: a) Định nghĩa: Phép biến hình (trong mặt phẳng) quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định điểm M’ thuộc mặt phẳng Điểm M’ gọi ảnh điểm M qua phép biến hình b) Thuật ngữ kí hiệu: - Nếu ta kí hiệu phép biến hình F điểm M’ ảnh điểm M qua phép biến hình F ta viết M’ = F(M) F(M) = M’ - Với hình H, ta goi hình H’ gồm điểm M’ = F(M), M thuộc hình H, ảnh H qua phép biến hình F, viết H’ = F(H) c) Tích hai phép dời hình: Khi phép biến hình f biến điểm M thành điểm M1, phép bến hình g biến M1 thành M’ việc thực liên tiếp hai phép biến hình f g (theo thứ tự f trước, g sau) ta biến điểm M thành M’ phép biến hình h biến M thành M’ gọi tích hai phép biến hình f g Kí hiệu: g.f Ta có: f(M) = M1 g(M1) = M’ h(M) = (g.f)(M) = g[f(M)] = M’ 2) Phép dời hình: a) Định nghĩa: Phép dời hình phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm Người ta nói: Phép dời hình phép biến hình bảo toàn khoảng cách hai điểm b) Tính chất phép dời hình: Định lí: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm ấy, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường tròn thành đường tròn có bán kính, biến góc thành góc BÀI CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1) Phép tịnh tiến: a) Định nghĩa: Phép tịnh tiến utheo u phép biến hình biến điểm M thành uuur vectơ u r ’ điểm M cho MN = u + Kí hiệu: Tu, vectơ tịnh tiến b) Định lí 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N thành hai điểm M’ N’ M’N’ = MN c) Định lí 2: Phép tịnh tiến biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng không làm thay đổi d) Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường tròn thành đường tròn có bán kính, biến góc thành góc e) Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến: u r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ Biết tọa u u r ’ ’ ’ độ u (a; b) Giả sử điểm M(x; y) biến thành điểm M (x ; y ) Khi ta  x' = x + a  có:   y ' = y + b 2) Phép đối xứng trục: a) Định nghĩa: Phép đối xứng qua đường thẳng a phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a + Kí hiệu: Phép đối xứng qua đường thẳng a thường kí hiệu Đa a trục phép đối xứng hay trục đối xứng b) Phép đối xứng trục phép dời hình c) Biểu thức tọa độ phép đối xứng qua trục Ox: Phép đối xứng trục Ox biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’; y’)  x' = x    y ' = − y d) Trục đối xứng hình: Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H phép đối xứng trục Đd bieens H thành nó, tức Đd(H) = H’ 3) Phép quay: a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lượng giác ϕ không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM = OM’ (OM, OM’) = ϕ gọi phép quay tâm O góc quay ϕ Q + Kí hiệu:  O,ϕ ÷   b) Định lí: Phép quay phép dời hình 4) Phép đối xứng tâm: a) Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O phép biến hình biến điểm uuuuu r uuuuur' r ’ M thành điểm M đối xứng với điểm M qua O, có nghĩa OM + OM = + Kí hiệu: Phép đối xứng qua điểm O thường kí hiệu ĐO Phép đối xứng qua điểm goi phép đối xứng tâm O tâm đối xứng b) Biểu thức toạ độ : Trong hệ tọa độ Oxy cho I(a; b) Nếu phép đối xứng tâm x' = 2a − x ’ ’ ’ ĐI biến điểm M(x; y) thành điểm M (x ; y ) thì: y' = 2b − y c) Tâm đối xứng hình: Điểm O gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm ĐO biến hình H thành nó, tức ĐO(H) = H’ BÀI TOÁN 1: XÁC ĐỊNH CÁC PHÉP DỜI HÌNH TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM, CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP DỜI HÌNH Việc xác định phép dờ hình, dung ảnh điểm (của hình) qua phép dời hình có vai trò quan trọng việc giảI nhiều bào toán phép biến hình Do vậy, ta cần lưu ý: - Nếu đường thẳng d trung trực đoạn MM’ M’ ảnh M phép đối xứng trục; đồng thời ta có M M’ ảnh phép đối xứng trục d - Nếu điểm I trung điểm đoạn thẳng MM’ hai điểm M M’ ảnh phép đối xứng tâm I - Nếu cho trước hai điểm A B B ảnh A phép tịnh tiến theo uuur ABCD hình bình hành C ảnh D phéptịnh tiến AB Nếu uuur theo AB - Nếu OA = OB B ảnh A phép quay tâm O, góc quay AOB theo hướng từ A đến B - Nếu phép dời hình f biến hai điểm phân biệt A B đường thẳng d thành hai điểm phân biệt A’ B’ đường thẳng d’ d’ ảnh d phép dời hình f d’ = f(d) - Ngoài tính chất chung phép dời hình, cần ý thêm phép tịnh tiến phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đưởng thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng cho - Đói với đường tròn có bán kính việc xác định phép dời hình biến hình thành hình đước đưa việc xác định phép biến hình tâm đường tròn thành tâm đường tròn Ví dụ 1: Cho góc nhọn xOy, với xOy = α , < α < 900 điểm M thuộc miền góc Gọi M1, M2 theo theo thứ tự ảnh M qua phép đối xứng trục Ox, Oy a) Chứng mih M1 M2 ảnh phép đối xứng trục d trục d đI qua điểm cố định b) CMR M2 ảnh M1 phép quay mà ta cần xác định tâm góc quay c) Xét trường hợp α = 900 Giải: a) M M1 đối xứng qua Ox cho ta : OM1 = OM (1) M M2 đối xứng qua Oy cho ta: OM2 = OM (2) Từ (1) (2) suy ra: OM1 = OM2 (3) Từ (3) suy tam giác M1OM2 cân Đường thẳng d đI qua O vuông góc với M1M2 trung trực phép đối xứng biến điểm M1 thành M2 (hoặc biến M2 thành M1) b) Do tính chất phép đối xứng trục, ta có: O1 = O2 O2 = O3, nên O1 + O2 + O3 + O4 = 2(O1 + O2) Suy M1OM2 = α Từ (3) (4) suy M2 ảnh M1 phép quay tâm O góc quay có độ lớn 2α c) Khi α = 900 , ba điểm M1, O, M2 thẳng hàng Như M1 M2 ảnh phép đỗi xứng tâm O hay quaygiác tâmABC O, góc quay Bài 2: phép Cho tam Gọi M, 180 N P theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC, BC, D điểm đỗi xứng P qua M E điểm đỗi xứng P qua N Hãy xác định phép dời hình biến điểm D thành điểm E? Giải: Ta có: MB = MA, MP = MD nên tứ giác ADBP hình bình hành Suy ra: DA = BP DA // BP Tương tự ta có: EA = CP EA // CP Từ kết ta suy DA = EA (1) DA EA qua A song song với BC, theo tiên đề Ơclit điểm D, A, E thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy A trung điểm đoạn thẳng DE Vậy ĐA(D) = E uuur uuur Ta có DE = BC DE // BC hay DE = BC Vậy TuBCuur ( D ) = E ( uuuu r uuuu r ) Theo kết câu 1) ta có: AD = AE AD, AE = 180 Vậy Q( A;180 ) ( D ) = E Bài 3: Cho hình vuông ABCD số uuuu r vàuumột u r uu ur thựcuukur≠ Xét hai điểm M, N thoả mãn hệ thức vectơ: AM = k AB ; BN = k BC a) Xác định phép biến hình f biến điểm N thành điểm M b) Xác định điểm ảnh f(A), f(B), f(C), f(D) phép biến hình đay c) Chứng minh AD ⊥ DM Giải: uuuu r uuu r uuuu r uuu r a) Do AM = k AB ⇒ AM = k AB uuur uuur uuur uuur BN = k BC ⇒ BN = k BC uuur uuur uuuu r uuur Vì AB = BC nên AM = BN ⇒ AM = BN ∆OAM = ∆OBN (c.g.c) nên OM = ON AOM = BON Suy MON = 900 b) Ta có: f(A) = D, f(B) = D, f(C) = B, f(D) = C c) Phép quay f biến: N thành M, A thành D Nên phép quay này, DM ảnh AN Vậy AD ⊥ DM Chú uuur ý:uCó uu r thể uuurgiải câu c) sau: AN u uuur= AB uuur+ BN uuuu r DM = DA + AM uuur uuuur Từ chứng minh tích vô hướng AN DM = BÀI TOÁN SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Phương pháp: Ta sử dụng tính chất phép dời hình để giải nhiều toán chứng minh tính chất hình học, chẳng hạn: - Để chứng minh (hai đoạn thẳng, hai góc, hai tam giác, hai đường tròn,…) ta cần rõ chúng ảnh phép dời hình - Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng ảnh ba đường thẳng qua phép dời hình - Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng ảnh ba đường thẳng đồng quy phép dời hình - Để chứng minh hai đoạn thẳng song song, ta chứng minh chúng ảnh qua phép đối xứng tâm qua phép tịnh tiến - Để chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc, ta chứng minh chúng ảnh hai đường thẳng vuông góc qua phép dời hình - Để chứng minh điểm J trung điểm doạn thẳng CD, ta chứng minh J ảnh trung điểm đoạn thẳng AB phép dời hình biến Ab thành CD Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi A’ điểm đối xứng đỉnh A phép đối xứng qua đường trung trực cạnh BC Chứng minh điểm A’ nằm đường tròn (O) Giải: Đường trung trực cạnh BC qua tâm O đường tròn (O; r) Phép O →O đối xứng trục mà trục đường trung trực BC cho ta nên A → A' OA → OA' ' Do OA = OA’ = r, suy A ∈ ( O; r ) Bài toán 5: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Am Từ B kẻ đường thẳng song song với AM, cắt đường thẳng Ac D Từ C kẻ đường thẳng song song với AM, cắt đường thẳng AB E Chứng minh rằng: hai tam giác ADE ABC Giải: Ta thấy tam giác BAD CAE cân A Kẻ đường phân giác HK góc A phép đối xứng qua trục HK, ta có: A → A , B → D , C → E , nên ∆ABC → ∆ADE Suy ∆ABC = ∆ADE Bài toán 6: Cho tam giác ABC, A’, B’ theo thứ tự trung điểm cạnh BC, CA D điểm đối xứng B’ qua A’ a) Chứng minh BD // AC; b) Tại hai đường thẳng AA’ BD cắt Goi E giao điểm AA’ BD Chứng minh A’ trung điểm đoạn thẳng AE c) Chứng minh CE // AB D trung điểm doạn thẳng BE Giải: a) Xét phép đối xứng tâm A’, ta có: ĐA’(B’) = D, ĐA’(C) = B, ⇒ B ' C → DB Suy B’C // DB hay AC // BD b) Cũng phép đối xứng tâm A’ AA ' → AA ' CA → BD Mà AA’ CA hai đường thẳng cắt nên ảnh chúng qua phép đối xứng tâm A’ AA’ BD phảI cắt từ suy E điểm đối xứng A qua tâm A’ nên A’E = A’A d) Cũng phép đỗi xứng tâm A’ thì: A → E , B → C Do AB → EC Suy AB // EC Trong câu b) ta chứng minh BE ảnh AC phép đối xứng tâm A’ Trong phép đối xứng này, ảnh B’ D mà B’ trung điểm AC D phải trung điểm BE Bài toán 7: Cho tam giác ABC, vẽ phía tam giác ta dung tam giác ABD, ACE, BCF a) Chứng minh BE = CD = AF b) Gọi I, J theo thứ tụ trung điểm đoạn thẳng BE, CD Chứng minh tam giác AIJ tam giác c) Chứng minh ba đường thẳng BE, CD, AF đồng quy d) Dựng tam giác BKC (K khác F) Chứng minh tứ giác AEKD hình bình hành Giải: a) Vì AD = AB, DAB = 600, AC = AE, CAE = 60 Thực phép quay tâm A, góc quay 600 thì: D → B , C → E , CD → EB Suy CD = EB Tương tự chứng minh BE = AF Suy điều phải chứng minh b) Trong Q( A,60 ) ( J ) = I nên AI = AJ JAI = 600 Suy tam giác ABC c) Gọi M giao điểm AF BE Ta chứng minh CD qua M Thật vậy, BE ta lấy điểm M’ cho MM’ = AM Vì BE ảnh AF phép quay tâm C, góc quay 600 nên ta có AMM’ = 600 Điều co nghĩa Q( A,60 ) ( M ) = M ' Như vậy, thực phép quay tâm A, góc quay 600, ta có: D → B , C → E , M → M ' Do phép quay bảo toàn tính thẳng hàng nên từ thẳng hàng ba điểm B, M’, E ta suy ba điểm D, M, C thẳng hàng hay CD đI qua M d) Thực phép quay tâm B, góc quay 600 theo chiều dương mặt phẳng, ta có: C → K , A → D , nên CA → KD Suy CA = KD mà CA = AE nên KA = EA (1) Chứng minh tương tự, ta có: EK = AD (2) Từ (1) (2) suy tứ giác AEKD hình bình hành BÀI TOÁN SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Phương pháp: Để tìm tập hợp điểm M’, ta M’ ảnh M phép dời hình f mà tập hợp điểm M’ hình (H’), ảnh hình (H) phép dời hình f Bài toán 8: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định Tìm tập hợp trực tâm H tam giác đỉnh A di chuyển đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải: a) Sử dụng phép đối xứng trục: Gọi H’ giao điểm AH với đường ngoại tiếp tam giác ABC µ (cùng phụ với B) Ta có: µA1 = C µ µ A = C (cùng chắn cung BH’) µ =C µ Suy C Từ suy H ảnh H’ qua phép đối xứng trục BC Khi A di chuyển đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H’ di chuyển đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy tập hợp điểm H đường tròn (O’), ảnh đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng trục BC b) Sử dụng phép đối xứng tâm: Gọi ĐO(A) = A’ Dễ thấy A’B // CH A’C // BH Suy tứ giác A’BHC hình bình hành, H A’ đối xứng qua trung điểm I BC Khi A di chuyển đường tròn (O) A’ di chuyển đường tròn (O) H di chuyển đường tròn ảnh đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm I, trung điểm cạnh BC c) Sử dụng phép tịnh tiến Gọi ĐO(A) = A’, I trung điểm BC Dễ thấy tứ giác A’BHC hình bình hành nên I trung điểm AH Kết hợp với O trung điểm AA’ tam OI đường trung bình uuurgiácuAA’H ur nên OI // AH OI = AH/2 Suy AH = 2OI uur Đẳng thức chứng tỏ H ảnh A phép tịnh tiến theo vectơ 2OI Vậy A di chuyển đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H di chuyển uur đường tròn (O’), ảnh đường tròn (O) qau phép tịnh tiến theo vectơ 2OI Dễ thấy OO’ = 2OI BÀI TOÁN SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DUNG HÌNH Phương pháp: Việc dựng hình thường quy việc dung điểm, chẳng hạn để dung tam giác, đa giác ta cần duwngj đỉnh nó, việc dung đường ròn thường việc dung xác định tâm Trong hình học, điểm xác định hai điều kiện, vậy, ta thường vào điều kiện điểm cần dung để xem xét ảnh điểm điểm cho giả thiết, phép dời hình f thông thường ta sử dụng phương pháp dung hình quỹ tích để xác định điểm cần dung Bài 9: Cho hai đường tròn (O) , (O’) đường thẳng d Tìm đường thẳng d điểm cho tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đường tròn (O) (O’) nhân đường thẳng d làm phân giác Giải: Gọi M điểm thuộc đường thẳng d mà từ ta vẽ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) đường thẳng MA, MB tạo thành góc nhận d làm phân giác Dễ thấy MA MB đối xứng với qua đường thẳng d Do vậy, thực phép đối xứng trục đường thẳng d MB → MA Trong phép đối xứng này, đường tròn (O) biến thành đường tròn (O1) điểm B thành điểm B’ AB tiếp tuyến chung hai đường tròn (O’) (O1) Từ ta có cách dựng sau: - Dựng đường tròn (O1) ảnh đường tròn (O) phép đối xứng trục d - Dựng tiếp tuyến chung B’A hai đường tròn (O’) (O1) Khi M giao điểm B’A d Số điểm M cần tìm phụ thuộc vào số giao điểm đường tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O1) với đường thẳng d Bài 10: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A va B Hãy dung qua A cát tuyến d, cắt đường tròn (O) (O’) theo thứ tự điểm M, N cho: A trung điểm MN Giải: Do AM = AN nên ĐA(N) = M Như vậy, điểm M thoả mãn hai điều kiện: - M thuộc đường tròn (O’), - M thuộc đường tròn (O1), ảnh đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm A Từ đó, ta suy cách dung: - Dựng đường tròn (O1) đối xứng với đường tròn (O) qua tâm A - Dựng giao điểm M hai đường tròn (O1) (O’) - Kẻ đường thẳng AM, đường thẳng cắt đường tròn (O) N Ta co AM = AN cát tuyến AMN cát tuyến cần dựng BÀI PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG Phép vị tự: a Định nghĩa: Cho điểm I cố định số k ≠ uu Phép uu r biến uuurhình biến điểm M mặt phẳng thành điểm M’ cho IM ' = k IM Gọi phép vị tự tâm I, tỉ số k, kí hiệu V(O,k) Từ định nghĩa ta suy ra: - Phép vị tự hoàn toàn xác định biết tâm vị tự tỉ số vị tự - Trong phép vị tự tâm I biến điểm M thành điểm M’ ba điểm M, M’ I thẳng hàng k > 0: M, M’ phía I; k < 0: I nằm hai điểm M M’ Khi k = 1, phép vịuutự biến uu r V(I,1)uu ur điểm thành chình (phép đồng nhất) Khi k = -1, ta có IM ' = − IM , I trung điểm đoạn thẳng MM’, phép vị tự V(I,-1) phép đối xứng tâm I b Tính chất phép vị tự: Tính chất 1: Phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tuỳ ý theo thứ tự thành M’, uuuuuu r uuuu r N’ M ' N ' = k MN M ' N ' = k MN Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hang bảo toàn thứ tự điểm b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R c Tâm vị tự hình: Với hai đường tròn có phép vị tự biến đường tròn thành đường tron Phép đồng dạng: a) Định nghĩa: Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), với hai điểm M, N ảnh M’, N’ tương ưúng có M’N’ = k MN b) Nhận xét: - Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số - Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số k c) Tính chất: Phép đồng dạng tỉ số k: - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm - Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng - Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc - Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R d) Khái niệm hình đồng dạng: Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình BÀI TOÁN 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG Phương pháp: tương tự phép dời hình, phép vị tự phép đồng dạng ta có loại tập: a) Xác định phép vị tự biến hình (H) thành hình (H’) Trong loại này, ta cần xác định hai yếu tố tâm tỉ số vị tujw Đối với phép đồng dạng tâm tỉ số đồng dạng ta cần xác định thêm góc đồng dạng b) Sử dụng phép vị tự phép đồng dạng vào việc giảI tập: + Chứng minh tính chất hình học; + Tìm tập hợp điểm; + Dựng hình Bài 11: ... = BÀI TOÁN SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Phương pháp: Ta sử dụng tính chất phép dời hình để giải nhiều toán chứng minh tính chất hình học, chẳng hạn: - Để chứng... niệm hình đồng dạng: Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình BÀI TOÁN 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG Phương pháp: tương tự phép dời hình, phép vị tự phép. .. AEKD hình bình hành BÀI TOÁN SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Phương pháp: Để tìm tập hợp điểm M’, ta M’ ảnh M phép dời hình f mà tập hợp điểm M’ hình (H’), ảnh hình (H) phép dời hình