Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán và đáp án

11 531 3
Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán và đáp án

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: TOÁN CHUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ***** Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax3 + x2 + ax + = 0, a tham số a) Giải phương trình với a = b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh a2 > Câu 2.(4,0 điểm) a) Giải phương trình: x + + - x − (x + 3)(6 - x) = x + y + z b) Giải hệ phương trình:  =1  2x + 2y - 2xy + z = Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất số nguyên x, y, z thỏa mãn : 3x2 + 6y2 +2z2 + 3y2z2 -18x = Câu 4.(3,0 điểm) a) Cho x, y, z, a, b, c số dương Chứng minh rằng: abc + xyz ≤ (a + x)(b + y)(c + z) b) Từ suy : 3+ 3 + 3− 3 ≤ 23 Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA hình vuông a) Chứng minh SABCD ≤ AC (MN + NP + PQ + QM) b) Xác định vị trí M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS OA OB hai bán kính thay đổi vuông góc với Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M Ax By Họ tên thí sinh:……………………………………….Số báo danh:…………… Chữ kí giám thị 1:………………………Chữ kí giám thị 2:….…………………… SỞ GD & ĐT PHÚ YÊN KỲ THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC 2009 -2010 MÔN : TOÁN (Hệ số 2) - ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang I- Hướng dẫn chung: 1- Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống thực Hội đồng chấm thi 3- Điểm toàn thi không làm tròn số II- Đáp án thang điểm: CÂU ĐÁP ÁN Điểm Câu Ta có phương trình : x + ax +x + ax + = (1) 1a (2) Khi a =1 , (1) ⇔ x +x +x +x+1= (2,0đ) Dễ thấy x = nghiệm 1 + x + +1= (3) x x 1 1 2 Đặt t = x+ ⇒ t = x+ = x + ≥ x + = t -2 x x x x Chia vế (2) cho x2 ta được: x + Phương trình (3) viết lại : t + t - = Giải (3) ta hai nghiệm t1 = −1 + −1 − t = không thỏa 2 0,50 0,50 0,50 điều kiện |t|≥ 2.Vậy với a = 1, phương trình cho vô nghiệm 0,50 Câu1b Vì x = nghiệm (1) nên ta chia vế cho x ta 1  x + +a  x + ÷+1= (2,0đ) có phương trình : x x  Đặt t = x + 0,50 , phương trình : t2 + at - = (4) x Do phương trình cho có nghiệm nên (4) có nghiệm |t| ≥ Từ (4) 1- t suy a = t (1 - t )2 > ⇔ t (t - 4) + > (5) Từ : a >2 ⇔ t 0,50 0,50 0,50 Vì |t| ≥ nên t2 >0 t2 – ≥ , (5) đúng, suy a2 > Câu 2a (2,0đ) x + + - x - (x + 3)(6 - x) = (1)  x+3 ≥ ⇔ -3 ≤ x ≤ 6-x ≥ Điều kiện :  u = x + , u , v ≥ ⇒ u + v =   v = - x Đặt : Phương trình có trở thành hệ : Suy : u + v (u + v) - 2uv = =9 ⇔   = + uv  u + v - uv = u + v  uv = u = ⇔ (3+uv)2-2uv = ⇔   uv = -4 v =  x+3 =  x = -3 ⇔ ⇔ x =  6-x = 0,50 0,50 0,50 0,50 Vậy phương trình có nghiệm x =-3 , x = Câu 2b (2,0đ) Ta có hệ phương trình :  x+y+z=1  x+y = 1-z ⇔   2  2x+2y-2xy+z =1 2xy = z +2(x+y)-1 x + y = - z ⇔ 2 2xy = z - 2z + = (1- z) ⇔ 2xy = (x + y) ⇔ x + y2 = ⇔ x = y = ⇒ z = Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1) 0,50 0,50 0,50 0,50 Câu (3,0đ) Ta có : 3x2 + 6y2 + 2z2 +3y2z2 -18x = (1) ⇔ 3(x-3) + 6y + 2z + 3y z = 33 (2) Suy : z2 M 2z2 ≤ 33 Hay |z| ≤ Vì z nguyên suy z = |z| = a) z = , (2) ⇔ (x-3)2 + 2y2 = 11 (3) Từ (3) suy 2y2 ≤ 11 ⇒ |y| ≤ Với y = , (3) số nguyên x thỏa mãn Với |y| = 1, từ (3) suy x ∈ { ; 6} b) |z| = 3, (2) ⇔ (x-3)2 + 11 y2 = (4) Từ (4) ⇒ 11y2 ≤ ⇒ y = 0, (4) số nguyên x thỏa mãn 0,50 0,50 0,50 0,50 Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên (x ;y ;z) (0;1;0) ; (0 ;-1;0) ; (6 ;1 ;0) (6 ;-1 ;0) 0,50 0,50 Câu 4a (2,0đ) abc + xyz ≤ (a+x)(b+y)(c+z) (1) Lập phương vế (1) ta : 0,50 abc + xyz + 3 (abc) xyz + 3 abc(xyz) ≤ (a+x)(b+y)(c+z) ⇔ abc + xyz+ 3 (abc) xyz + 3 abc(xyz) ≤ abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz ⇔ 3 (abc) xyz + 3 abc(xyz) ≤ (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc) (2) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : (abz+ayc+ xbc) ≥ 3 (abc) xyz (3) (ayz+xbz+ xyc) ≥ 3 abc(xyz) (4) Cộng hai bất đẳng thức (3) (4) ta bất đẳng thức (2), (1) chứng minh Câu4b Áp dụng BĐT (1) với a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = - 3, y = 1, z = Ta có : abc = + 3 , xyz = 3- 3 , a+ x = 6, b + y = 2, c + z = (1,0đ) Từ : 3+ 3 + 3- 3 ≤ 6.2.2 = 3 (đpcm) Câu 5a (2,0) Gọi I, J, K trung điểm QN, MN, PQ Khi : MN BJ = (trung tuyến ∆ vuông MBN) PQ Tương tự DK = QM IJ = (IJ đtb ∆ MNQ) PN Tương tự IK = M A 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 B J Q I N 0,50 C 0,50 K D P Vì BD ≤ BJ + JI + IK + KD Dođó: SABCD = AC AC AC BD ≤ (BJ+JI + IK+KD) = (MN+NP+PQ+QM) 2 0,50 0,50 Câu5b Chu vi tứ giác MNPQ : (1,0) MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ = 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt) Dấu xảy đường gấp khúc trùng với BD, tức MQ //NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cạnh huyền tam giác vuông cân nhau), lúc MNPQ hình chữ nhật 0,50 0,50 Câu Kí hiệu hình vẽ (3,0đ) Phần thuận : · · AOB =AMB = 900 (giả thiết) y ⇒ tứ giác AOBM nội tiếp · · ⇒ AMO = ABO = 450 (vì ∆AOB H P Q vuông cân O) x Suy M nằm đường M' A M thẳng qua O tạo với đường B' PQ góc 450 Trường hợp B vị trí B’ M’ O nằm đường thẳng qua O tạo với PS góc 450 B Giới hạn : K R *) Khi A ≡ H M ≡ Q, A ≡ K MS≡ S *) Trường hợp B vị trí B’: A ≡ H M’ ≡ P, A ≡ K M’ ≡ R Phần đảo: Lấy M đường chéo SQ (hoặc M’ PR), qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) A Kẻ bán kính OB ⊥ OA · · Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì AMO = ABO = 450 ) · · Suy : AMB = AOB = 900 Mà AM//PQ , PQ ⊥PS ⇒ MB//PS Kết luận:Quỹ tích giao điểm M đường chéo hình vuông PQRS 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009-2010 MÔN TOÁN CHUYÊN Bài 1.(2điểm) a/Cho k số nguyên dương CMR: b/ Chứng minh rằng: 1 < 2( − ) (k + 1) k k k +1 1 1 88 + + +L+ < 2010 2009 45 Bài (2.5 điểm) Cho phương trình ẩn x: x + (m − 1)x − = (1) (m tham số) a Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x = + b Tìm m để (1) có nghiệm x1 , x cho biểu thức: A = (x12 − 9)(x 22 − 4) có giá trị lớn Bài (2 điểm) 2   x + y − xy = a Giải hệ phương trình sau :  3 =9  x + y b Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x + 2x + 3x + = y3 Bài 4.(3 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a M điểm di động đoạn OB (M không trùng với O; B) Vẽ đường tròn tâm I qua M tiếp xúc với BC B, vẽ đường tròn tâm J qua M tiếp xúc với CD D Đường tròn (I) đường tròn (J) cắt điểm thứ hai N a Chứng minh điểm A, N, B, C, D thuộc đường tròn Từ suy điểm C, M, N thẳng hàng b Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn HẾT -Họ tên thí sinh:……………………………………….Số báo danh:…………… Chữ kí giám thị 1:………………………Chữ kí giám thị 2:….…………………… KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009-2010 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUYÊN CÂU Bài Ý NỘI DUNG a Cho k số nguyên dương CMR: ĐIỂM (2điểm) 1 < 2( − ) (k + 1) k k k +1 b Chứng minh rằng: a (1.0đ) Bđt ⇔ 1 1 88 + + +L+ < 2010 2009 45 k +1 − k < (k + 1) k k k + 0.25 ⇔ 2k + − k(k + 1) > 0.25 ⇔ ( k + − k )2 > 0.25 Luôn với k nguyên dương ⇒ b 1 < 2( − ) (k +1) k k k +1 0.25 Áp dụng kết câu a ta có: (1.0đ) 0.25 VT = + + +L+ 2010 2009   1     < 2 − − − ÷+  ÷+ L +  ÷ 2  3 2010    2009 0.25 Bài (2.5 điểm)   = 1 − ÷ 2010   0.25  88  < 1 − ÷ = = VP (đpcm)  45  45 0.25 Cho phương trình ẩn x: x + (m − 1)x − = (1) (m tham số) a.Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x = + b Tìm m để (1) có nghiệm x1 , x cho biểu thức: A = (x12 − 9)(x 22 − 4) max a (1,5đ) b (1,0đ) ( ) ( ) Pt (1) có nghiệm x = + ⇔ + + ( m − 1) + − = 0.5 Tìm m = − KL 1.0 Tính ∆ = ( m − 1) + 24 > ∀m suy pt (1) có nghiệm phân biệt x1 , x A = ( x1x + ) − ( 2x1 + 3x ) 0.5 2 Theo ĐL Vi-et ta có x1x = −6 ⇒ A = − ( 2x1 + 3x ) ≤  2x1 + 3x =  x1 =  x1 = −3    ⇔  x = −2 ∨  x = Max A =  x1x = −6 x + x = − m m = m = 2    0.25 0.25 KL : Vậy m = ; m = giá trị cần tìm Bài (2 điểm)  x + y − xy =  a Giải hệ phương trình sau :  3 =9  x + y b Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x + 2x + 3x + = y a (1.0đ) Hệ phương trình cho =3  x + y − xy =3 x + y ⇔ ⇔  2 (x + y) − 3xy = (x + y)(x + y − xy) = x + y = ⇔  xy = x = x = ⇔   y = y = 0.5 0.5 b (1.0đ) 3  Ta có y − x = 2x + 3x + =  x + ÷ + > 4  3 ⇒x  16  3 ⇒ y< x+2 0.25 (2) Bài (3 điểm) Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + 0.25 Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; x = từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán (1 ; 2), (-1 ; 0) 0.25 Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a M điểm di động đoạn OB (M không trùng với O; B) Vẽ đường tròn tâm I qua M tiếp xúc với BC B, vẽ đường tròn tâm J qua M tiếp xúc với CD D Đường tròn (I) đường tròn (J) cắt điểm thứ hai N c Chứng minh điểm A, N, B, C, D thuộc đường tròn Từ suy điểm C, M, N thẳng hàng d Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn N I A B K H J M O D C a 2.0đ ∠MNB = ∠MBC ( Cùng chắn cung BM) ∠MND = ∠MDC ( Cùng chắn cung DM) ∠BND = ∠MNB + ∠MND = ∠MBC + ∠MDC = 90o 1.5 Do điểm A, B, C, D, M thuộc đường tròn Suy NC phân giác góc BND ( cung BC = cung BD) Mặt khác, theo CM ta có NM phân giác góc BND Nên M, N, C thẳng hàng b 1.0đ 0.5 Gọi H, K hình chiếu N AC BD ⇒ NHOK hình chữ nhật Ta có : NA.NC = NH.AC = NH.a NB.ND = NK.BD = NK.a 0.5 Suy NH + NK a4 2 NA.NB.NC.ND = 2a NH.NK ≤ 2a = a NO = 2 2 Dấu xảy NH = NK = Bài (0.5 điểm) a (2 − 2)a ⇔ OM = 2 0.5 Cho góc xOy 120o , tia phân giác Oz góc xOy lấy điểm A cho độ dài đoạn thẳng OA số nguyên lớn Chứng minh tồn ba đường thẳng phân biệt qua A cắt hai tia Ox, Oy B C cho độ dài đoạn thẳng OB OC số nguyên dương O B C A y x z 10 • Chỉ đường thẳng d1 qua A vuông góc với OA thỏa mãn toán • Đặt OA = a > (a nguyên) Trên tia Ox lấy điểm B cho OB = a + nguyên dương Đường thẳng d qua A, B cắt tia Oy C Chứng minh 1 + = OB OC OA 1 ⇒ + = ⇒ OC = a(a + 1) số nguyên dương a + OC a 0.5 Suy d đường thẳng cần tìm • Tương tự lấy B Ox cho OB = a(a + 1), Ta tìm đường thẳng d • Chứng minh d1 , d , d phân biệt ĐPCM Hướng dẫn chung Trên bước giải khung điểm cho câu Yêu cầu học sinh phải trình bầy, lập luận biến đổi hợp lý, chặt chẽ cho điểm tối đa Bài phải có hình vẽ phù hợp với lời giải toán cho điểm.( không cho điểm hình vẽ ) Những cách giải khác cho điểm tối đa Chấm điểm phần, điểm toàn tổng điểm thành phần( không làm tròn) 11 [...]... được đường thẳng d 3 • Chứng minh d1 , d 2 , d 3 phân biệt ĐPCM Hướng dẫn chung 1 Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm cho từng câu Yêu cầu học sinh phải trình bầy, lập luận và biến đổi hợp lý, chặt chẽ mới cho điểm tối đa 2 Bài 4 phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải bài toán mới cho điểm.( không cho điểm hình vẽ ) 3 Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa 4 Chấm điểm từng phần,...• Chỉ ra đường thẳng d1 đi qua A và vuông góc với OA thỏa mãn bài toán • Đặt OA = a > 1 (a nguyên) Trên tia Ox lấy điểm B sao cho OB = a + 1 nguyên dương Đường thẳng d 2 đi qua A, B cắt tia Oy tại C Chứng minh được 1 1 1 + = OB OC OA 1 1 1 ⇒ + = ⇒ OC ... kí giám thị 2:….…………………… KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009-2 010 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUYÊN CÂU Bài Ý NỘI DUNG a... 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009-2 010 MÔN TOÁN CHUYÊN Bài 1.(2điểm) a/Cho k số nguyên dương CMR: b/ Chứng... THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC 2009 -2 010 MÔN : TOÁN (Hệ số 2) - ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang I- Hướng dẫn chung: 1- Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp

Ngày đăng: 16/12/2015, 10:03

Từ khóa liên quan

Mục lục

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan