Mục lục trang Mở đầu .3 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến 1.1.1 Bài toán 1.1.2 Hàm Lagrange tiêu chuẩn tối ưu 1.2 Các phương pháp tiếp cận giải toán quy hoạch phi tuyến 1.2.1 Phương pháp Gradien 10 1.2.2 Phương pháp nhân tử Lagrange 10 1.3 Một số khái niệm sở lý thuyết xác suất 11 1.3.1 Các khái niệm 11 1.3.2 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên 13 1.4 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn 15 1.4.1 Bài toán 15 1.4.2 Giai đoạn thứ 16 1.4.3 Giai đoạn thứ hai 16 Chương Một lớp toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên thuật toán giải 18 2.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên 18 2.1.1 Bài toán thực tế 18 2.1.2 Mô hình tổng quát toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn (2SSN LP ) 19 2.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có chuyển đổi 21 2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn có chuyển đổi 21 2.2.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có chuyển đổi 26 2.3 Một lớp toán với hàm mục tiêu bậc hai phần, ràng buộc tuyến tính 29 2.3.1 Bài toán 30 2.3.2 Các giả thiết định nghĩa 31 2.4 Thuật toán ví dụ 33 2.4.1 Thuật toán 33 2.4.2 Ví dụ 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Bài toán quy hoạch phi tuyến (Nonlinear Programming Programs) có nhiều ứng dụng lĩnh vực tự nhiên xã hội Cho tới nay, chưa có phương pháp tổng quát, hữu hiệu giải toán quy hoạch phi tuyến Tuy nhiên, góc độ lý luận, với giả thiết khác nhau, có nhiều công trình nghiên cứu Khi điều khiển tối ưu hệ thống (hệ thống tự nhiên xã hội), thông tin thường phụ thuộc vào nhiễu, không xác định đầy đủ Điều dẫn tới toán quy hoạch phi tuyến phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên Bài toán quy hoạch phi tuyến với tham gia yếu tố ngẫu nhiên gọi toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên (Stochastic Nonlinear Programming Programs) Việc nghiên cứu toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên gặp nhiều khó khăn Các công trình nghiên cứu có kết có tính định hướng tiếp cận theo giả thiết khác nhau, theo lớp toán khác Trong sách Quy hoạch toán học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2005, tác giả Bùi Minh Trí trình bày cách tổng quan toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên số hướng tiếp cận giải Khi tiếp cận với sách Optimization Theory II, Spring, 2007, Chapter [4], nhận kết nghiên cứu chi tiết Vì lẽ đó, phạm vi luận văn tốt nghiệp cao học, cố gắng nghiên cứu thuật toán giải cho lớp toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên Đó lý lựa chọn đề tài "Tiếp cận giải lớp toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên" Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu đề tài là: Trình bày cách hệ thống khái niệm kiến thức sở nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu nội dung có liên quan luận văn Trên sở nghiên cứu lớp toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên tổng quát Từ xét toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên bậc hai nêu thuật toán giải Luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày nội dung: Bài toán quy hoạch phi tuyến; phương pháp tiếp cận giải toán quy hoạch phi tuyến; số khái niệm sở lý thuyết xác suất Chương Một lớp toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên thuật toán giải Trong chương này, trình bày nội dung luận văn Để có mô hình toán quy hoạch phi tuyến, trước hết nghiên cứu mô hình thực tế Từ nghiên cứu toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có chuyển đổi Cuối cùng, xét lớp toán đặc biệt để tìm cách giải Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo Bộ môn Xác suất Thống kê Toán ứng dụng, Khoa Toán, Phòng Sau Đại học, Trường Đại học Vinh Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn Trường THPT Phan Đăng Lưu (Nghệ An) Trường Phổ thông Dân tộc Nội trú - THPT số Nghệ An giúp đỡ, tạo điều kiện cho học tập, công tác thời gian qua Cũng này, cho phép nói lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực luận văn Vinh, tháng 10 năm 2013 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến 1.1.1 Bài toán 1.1.1.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến tổng quát Bài toán quy hoạch phi tuyến có dạng min{f0 (x)} (1.1.1) fi (x) ≤ 0, i = 1, m (1.1.2) x ∈ X ⊂ Rn , (1.1.3) với điều kiện X = {(x1 , x2 , , xn ) | xi ≥ 0, i = 1, n }, hàm f0 (x), fi (x), (i = 1, n), đơn trị, khả vi hàm phi tuyến Hàm f0 (x) gọi hàm mục tiêu, điều kiện (1.1.2), (1.1.3) gọi điều kiện buộc Điểm x = (x1 , x2 , , xn ) thoả mãn điều kiện buộc (1.1.2), (1.1.3) gọi phương án, ký hiệu tập phương án M Phương án x∗ làm cực tiểu hàm mục tiêu f0 (x) gọi phương án tối ưu (hoặc nghiệm) toán Điều có nghĩa x∗ phương án tối ưu toán (1.1.1)(1.1.3) f0 (x∗ ) = minx∈M f0 (x), f0 (x∗ ) ≤ f0 (x), ∀x ∈ M Điểm x(0) gọi điểm cực tiểu địa phương hàm f0 (x) tồn lân cận W0 cho f0 (x(0) ) ≤ f0 (x), ∀x ∈ M ∩ W0 1.1.1.2 Bài toán quy hoạch lồi phần Bây xét quy hoạch phi tuyến đặc biệt, toán quy hoạch lồi phần Cho K phức hợp hữu hạn tập lồi đóng Một phức hợp lồi đóng hữu hạn phần tử K, gọi tế bào K, giao hai tế bào rỗng Xét toán quy hoạch lồi phần (P.C.P ) (Piecewise Convex Program) (P.C.P ) f0 (x) : x ∈ M , (1.1.4) f hàm lồi Rn , M tập lồi đóng miền xác định f , có tập điểm khác rỗng Cụ thể M xác định điều kiện M := x ∈ Rn : fi (x) ≤ 0, i = 1, m (1.1.5) hàm f0 (x), fi (x) đơn trị, khả vi, liên tục lồi Các điều kiện (1.1.5) gọi thoả mãn điều kiện quy tồn điểm x ∈ M thoả mãn fi (x) < 0, i = 1, , m Giả sử K phức hợp lồi đóng hữu hạn cho: (a) Các tế bào Ck , n-chiều K phủ M , (b) Hoặc f đồng −∞, tế bào Ck phức hợp tồn hàm lồi fk (x), xác định M liên tục, khả vi tập mở chứa Ck thỏa mãn: (i) f (x) = fk (x), ∀x ∈ Ck , (ii) ∇fk (x) ∈ ∂f (x), ∀x ∈ Ck , ∂f (x) vi phân f theo x ∇fk (x) vectơ đạo hàm riêng fk (x) theo x Chúng ta giả thiết f không đồng −∞ Chúng ta thấy f (x) có max fk (x) M , chẳng hạn hàm số k sau đây:  f1 (x) = x, ≤ x ≤ 2, f (x) = f (x) = (x − 1)2 , x ≥ 2 Rõ ràng hàm số lồi khúc (2 khúc) M = R+ , f2 (x) > f1 (x) = f (x) [0; 1/2] 1.1.1.3 Thuật toán giải toán (P.C.P ) Từ việc nghiên cứu toán quy hoạch lồi phần, tác giả F V Louveaux [5] đưa thuật toán giải toán (P.C.P ) sau: Thuật toán (P.C.P ) Bước chuẩn bị Chọn x0 ∈ M Đặt M1 := M, k := 1, chuyển sang bước Bước Xác định Ck cho xk−1 ∈ Ck ∩ intMk = ∅ Bước Xác định xk ∈ arg min{fk (x) : x ∈ Mk }, wk ∈ arg min{fk (x) : x ∈ Ck } Nếu wt điểm tới hạn tia hướng giảm fk (.) tới −∞ toán (P.C.P ) ban đầu bị chặn, chuyển tới bước Ngược lại, chuyển sang bước Bước Nếu ∇fk (wk ).(xk − wk ) = 0, chuyển sang bước Ngược lại, gán Mk+1 := Mk ∩ {x : ∇fk (wk ).(x − wk ) ≤ 0}, k := k + 1, trở lại bước Bước Thuật toán kết thúc: wk phương án tối ưu 1.1.1.4 Định lý [5] Thuật toán 1.1.1.3 nhận phương án tối ưu sau nhiều m bước, m số hữu hạn tế bào phức hợp K 1.1.2 Hàm Lagrange tiêu chuẩn tối ưu Để tiếp cận nghiên cứu quy hoạch phi tuyến, mục này, trình bày khái niệm hàm Lagrange toán quy hoạch phi tuyến tiêu chuẩn tối ưu phương án Các khái niệm Xét toán quy hoạch phi tuyến min{f0 (x)} (1.1.6) fi (x) ≤ 0, i = 1, m (1.1.7) x ∈ X ⊂ Rn , (1.1.8) với điều kiện X = {(x1 , x2 , , xn ) : xi ≥ 0, i = 1, n }, hàm f0 (x), fi (x) đơn trị, khả vi, liên tục hàm phi tuyến Từ toán (1.1.6)-(1.1.8), ta đặt m L(x, y) = f0 (x) + yi fi (x) i=1 x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , ym ) Hàm L(x, y) gọi hàm Lagrange toán cho Các giá trị yi , i = 1, 2, , m gọi nhân tử Lagrange Ký hiệu ∇f vectơ đạo hàm riêng hàm f (x), nghĩa ∇f = (fx1 , fx2 , , fxn ); ∇f ∗ = ∇f (x∗ ), B ∗ = {i : fi (x∗ ) = 0} Tại phương án x∗ , ta ký hiệu Rn1 = {z ∈ Rn : z, ∇fi∗ ≥ 0, i ∈ B ∗ ; z, ∇f0∗ ≥ 0} Rn2 = {z ∈ Rn : z, ∇fi∗ ≥ 0, i ∈ B ∗ ; z, ∇f0∗ < 0} Rn3 = {z ∈ Rn : ∃i ∈ B ∗ , z, ∇fi∗ < 0} Điểm (x∗ , y ∗ ) thoả mãn điều kiện L(x∗ , y) ≤ L(x∗ , y ∗ ) ≤ L(x, y ∗ ) (1.1.9) gọi điểm yên ngựa hàm Lagrange L(x, y) Một số tính chất toán 1.1.2.1 Định lý Nếu hàm số f0 , fi , i = 1, 2, , m hàm lồi, X tập lồi toán (1.1.6) − (1.1.8) tồn điểm yên ngựa 1.1.2.2 Định lý (về tồn nhân tử Lagrange) Cho phương án x∗ Nếu tập Rn2 = ∅ tồn vectơ y ∗ ≥ thoả mãn điều kiện fi (x∗ ) ≥ 0; yi∗ fi (x∗ ) = 0, i = 1, m; ∇L(x∗ , y ∗ ) = (1.1.9) Bây ta xét dạng đặc biệt toán (1.1.6)-(1.1.8) min{f0 (x)} (1.1.10) fi (x) = bi , i = 1, m; m < n (1.1.11) x ∈ X ⊂ Rn , (1.1.12) với điều kiện X = {(x1 , x2 , , xn ) : xi ≥ 0, i = 1, n }, hàm f0 (x), fi (x) đơn trị, liên tục, có đạo hàm bậc hàm phi tuyến 1.1.2.3 Định lý Nếu phương án x∗ tồn y ∗ ≥ cho ∇x L(x∗ , y ∗ ) = 0, ∇fi (x∗ )T ∇2xx L(x∗ , y ∗ )∇fi (x∗ ) > x∗ phương án tối ưu địa phương toán (1.1.10) − (1.1.12) 1.2 Các phương pháp tiếp cận giải toán quy hoạch phi tuyến Việc tiếp cận giải toán quy hoạch phi tuyến có nhiều phương pháp khác Trong mục này, kể đến số phương pháp điển hình phục vụ cho việc nghiên cứu đề tài 10 1.2.1 Phương pháp Gradien Ta biết vectơ Gradien (đạo hàm riêng) điểm x(0) hướng tăng đối Gradien hướng giảm hàm mục tiêu từ điểm Từ ta có thuật toán sau: Thuật toán Bước xuất phát Chọn phương án x(0) Bước k, k = 1, Ta có x(k) , (k ≥ 0) k.1 Dịch chuyển từ x(k) theo hướng −∇f0 (x(k) ) tới điểm x(k) +λ[−∇f (x(k) )] làm biến đổi hàm f0 số gia ∆f0 = −f0 [x(k) − λ∇f0 (x(k) )] + f0 (x(k) ) Giá trị λ xác định cho số gia ∆f0 đạt lớn nhất, nghiệm phương trình d∆f0 = ≈ −∇f0 [x(k) − λ∇f0 (x(k) ](−∇f0 (x(k) ) = dλ (1.2.1) Từ (1.2.1), ta tìm λ∗ Nếu λ∗ có d2 ∆f0 dλ2 < ta có điểm cực đại hàm ∆f0 Đặt x(k+1) = x(k) + λ∗ − ∇f0 (x(k) ) k.2 Kiểm tra x(k+1) ∈ M ? Nếu không, giảm bớt λ để điểm thuộc M Nếu ngược lại, sang bước k.3 k.3 Kiểm tra ∇f0 (x(k+1) ) = 0? Nếu có dừng Điểm x(k+1) phương án tối ưu Ngược lại, gán k := k + 1, trở lại bước k 1.2.2 Phương pháp nhân tử Lagrange Sử dụng tính chất hàm Lagrange, người ta nêu thuật toán sau giải toán quy hoạch lồi 28 Chứng minh Giả sử y (i) , ≤ i ≤ 2, nghiệm (2.2.11) tương ứng với x(i) , ≤ i ≤ Chúng ta nhận thấy với λ ∈ [0; 1] y = λy (1) + (1 − λ)y (2) (2.2.14) nghiệm (2.2.11) x = λx(1) + (1 − λ)x(2) Do giả thiết f (., ω) hàm lồi với ω, nên suy điều phải chứng minh 2.2.2.3 Định lý (Tính nửa liên tục hàm chuyển đổi) Nếu tập phương án giai đoạn hai K2 (ω) giới nội với ω hàm chuyển đổi Q(., ω) nửa liên tục với ω Chứng minh Chúng ta thấy với x ∈ Rn1 ω Q(x, ω) ≤ lim inf Q(x, ω) x→x (2.2.15) Giả sử {xγ }γ∈N dãy Rn1 cho xγ → x γ → ∞ Không tính tổng quát, giả sử Q(xγ , ω) < ∞, γ ∈ N (vì không, tìm thấy tập N có tính chất đó) Theo giả thiết cho, tìm thấy y γ , γ ∈ N cho t2i (xγ , ω) + gi2 y γ (ω), ω ≤ 0, ≤ i ≤ m2 , t2i (xγ , ω) + gi2 y γ (ω), ω = 0, m2 + ≤ i ≤ m2 Theo giả thiết tính bị chặn liên tục hàm cho ta thấy dãy y γ (ω) γ∈N bị chặn Từ tồn y(ω) dãy N ⊂ N cho y γ (ω) → y(ω) γ ∈ N → ∞ t2i (x, ω) + gi2 y(ω), ω ≤ 0, ≤ i ≤ m2 , t2i (x, ω) + gi2 y(ω), ω = 0, m2 + ≤ i ≤ m2 Do đó, x phương án, đồng thời Q(x, ω) ≤ f (x, ω) = lim f (xγ , ω) = lim Q(xγ , ω) γ→∞ Đó điều phải chứng minh γ→∞ 29 2.2.2.4 Hệ Tập phương án K2 tập lồi đóng Đồng thời hàm kỳ vọng chuyển đổi Q(x) hàm lồi, nửa liên tục theo biến x Chứng minh Suy trực tiếp từ giả thiết kết nêu 2.2.2.5 Định lý (Điều kiện tối ưu) Giả sử tồn x ∈ ri dom f (x) ri dom Q(x) , (2.2.16) ri(A) ký hiệu cho phần tương đối tập hợp A Đồng thời giả sử gi1 (x) < 0, ≤ i ≤ m1 , gi1 (x) = 0, m1 + ≤ i ≤ m1 Khi x∗ ∈ Rn1 phương án tối ưu toán (2.2.10) x∗ ∈ K1 tồn nhân tử µ∗i ≥ 0, ≤ i ≤ m1 λ∗i , m1 + ≤ i ≤ m1 cho m1 ∗ ∗ m1 µ∗i ∂gi1 (x∗ ) ∈ ∂f (x ) + ∂Q(x ) + i=1 λ∗i ∂gi1 (x∗ ), + (2.2.17) i=m1 +1 µ∗i ∂gi1 (x∗ ) = 0, ≤ i ≤ m1 (2.2.18) Chứng minh Xem [4] Chương 2.2.2.6 Chú ý Theo Định lý 2.2.1.5, mục 2.2.1 ta có ∂Q(x) = Eξ ∂Q x, ξ(ω) + N (K2 , x), (2.2.19) N (K2 , x) nón chuẩn Do vậy, K1 ⊂ K2 ∂Q(x) = Eξ ∂Q x, ξ(ω) 2.3 Một lớp toán với hàm mục tiêu bậc hai, ràng buộc tuyến tính Một trường hợp đặc biệt toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn toán với hàm mục tiêu bậc hai, ràng buộc tuyến 30 tính Do tính đặc biệt nên tính chất nêu mục 2.2 thể đơn giản Vì vậy, mục trình khai thác số tính chất để dẫn tới trình bày thuật toán giải 2.3.1 Bài toán Trong mục này, nêu toán với giả thiết khái niệm ban đầu Xét toán tối ưu bậc hai z(x) = cT x + xT Cx (2.3.1) với điều kiện Ax = b x ≥ Tương tự mục 1.4 2.2, ta có toán quy hoạch bậc hai phần ngẫu nhiên hai giai đoạn z(x) =cT x + xT Cx+ + Eξ min(q T (ω)y(ω) + y T (ω)D(ω)y(ω))    Ax = b    với điều kiện T (ω)x + W y(ω) = h(ω)      x ≥ 0, y(ω) ≥ 0, (2.3.2) , A ∈ Rm1 ×n1 , C ∈ Rn1 ×n1 , W ∈ Rm2 ×n2 ma trận không đổi c ∈ Rn1 vectơ không đổi Ngoài ra, D ∈ Rn2 ×n2 , T ∈ Rm2 ×n1 ma trận ngẫu nhiên q ∈ Rn2 , h ∈ Rm2 vectơ ngẫu nhiên Với thể cho ξ(ω), hàm chuyển đổi xác định Q x, ξ(ω) := q T (ω)y(ω) + y T (ω)D(ω)y(ω)) : (2.3.3) T (ω)x + W y(ω) = h(ω), y(ω) ≥ 0, , 31 nhận giá trị ±∞ toán không bị chặn không khả thi Hàm kỳ vọng chuyển đổi cho Q(x) := Eξ Q(x, ξ) (2.3.4) Chúng ta sử dụng quy ước +∞ + (−∞) = +∞ Tập phương án giai đoạn thứ giai đoạn thứ hai K1 , K2 xác định mục trước nêu 2.3.2 Các giả thiết định nghĩa 2.3.2.1 Các giả thiết Chúng ta đưa giả thiết sau cho toán quy hoạch bậc hai ngẫu nhiên hai giai đoạn: A3: • Vectơ ngẫu nhiên ξ có phân phối rời rạc A4: • Ma trạn C nửa xác định dương ma trận D(ω) nửa xác định dương với ω • Ma trạn W ma trận đầy đủ Chúng ta nhận xét giả thiết (A3) kéo theo tính phân tích tập phương án giai đoạn hai K2 , giả thiết (A4) đảm bảo tính lồi hàm chuyển đổi Một đặc điểm quan trọng toán hàm chuyển đổi Q(x) hàm bậc hai phần Điều cho thấy tập phương án giai đoạn hai K2 phân thành tập lồi đa diện, ta gọi tế bào mà Q(x) bậc hai tế bào Ví dụ Ta xét toán quy hoạch bậc hai ngẫu nhiên hai giai đoạn sau 1 z(x) = 2x1 +3x2 +Eξ min{−6, 5y1 −7y2 + y12 +y1 y2 + y22 } 2 (2.3.5) 32    3x1 + 2x2 ≤ 15       x1 + 2x2 ≤    với điều kiện y1 ≤ x1 , y2 ≤ x2      y1 ≤ ξ1 , y2 ≤ ξ2       x + x ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ Chúng ta giả thiết ξ1 ∈ {2; 4; 6}; ξ2 ∈ {1; 3; 5} biến ngẫu nhiên độc lập với xác suất 1/3 cho biến Bài toán giải thích toán danh mục đầu tư làm giảm thiểu giá trị phạt bậc hai theo độ lệch bình phương giá trị Trong giai đoạn hai toán, giá trị nhỏ xi , i = 1, 2, tối ưu tập tế bào, nghĩa tương ứng phải yi = xi , i = 1, Thật vậy, cho (x1 , x2 ) ∈ C1 := (x1 , x2 ) : ≤ x1 ≤ 2, ≤ x2 ≤ , phương án tối ưu giai đoạn hai yi = xi , i = 1, với giá trị ξ Từ cho ta 1 Q(x) = Q(x, ω) = −6, 5x1 − 7x2 + x21 + x1 x2 + x22 , (x1 , x2 ) ∈ C1 2 2.3.2.2 Định nghĩa Ta gọi phức hợp tập lồi đóng K tập hợp hữu hạn tập đóng Cν , ≤ ν ≤ m, cho int(Cν1 ∩ Cν2 ) = ∅, ν1 = ν2 Tập Cν gọi tế bào K Bài toán quy hoạch z(x) : x ∈ M , (2.3.6), z : Rn → R hàm lồi, M tập lồi đóng dom(z), int(M ) = ∅ Bài toán (2.3.6) gọi toán quy hoạch lồi phần 33 Cho toán quy hoạch lồi phần K phức hợp lồi đóng hữu hạn tế bào Cν , ≤ ν ≤ m cho m M⊆ Cν , (2.3.7) ν=1 đồng thời z ≡ −∞ với tế bào Cν , ≤ ν ≤ m, tồn hàm lồi zν : M → R có vi phân liên tục tập mở Cν thỏa mãn z(x) =zν (x), x ∈ Cν , ≤ ν ≤ m, (2.3.8) ∇zν (x) ∈ ∂z(x), ≤ ν ≤ m Hàm số z : M → R gọi hàm bậc hai phần tế bào Cν , ≤ ν ≤ m hàm zν dạng toàn phương Ví dụ Cả hai hàm Q(x) z(x) cho sau toàn phương phần 1 Q(x) = − 6, 5x1 − 7x2 + x21 + x1 x2 + x22 , (x1 , x2 ) ∈ C1 , 2 1 z(x) = − 4, 5x1 − 4x2 + x21 + x1 x2 + x22 , (x1 , x2 ) ∈ C1 2 2.4 Thuật toán ví dụ Trên sở tính chất nêu mục 2.2 2.3, chuyển toán quy hoạch phi tuyến phần ngẫu nhiên hai giai đoạn (nói riêng toán quy hoạch bậc hai phần ngẫu nhiên hai giai đoạn) toán quy hoạch lồi phần (P CP ) 2.4.1 Thuật toán Sử dụng thuật toán (P CP ) mục 1.1.1 (Chương 1) giải toán quy hoạch lồi phần, có thuật toán (P QP ) sau giải toán quy hoạch bậc hai phần ngẫu nhiên hai giai đoạn Thuật toán (P QP ) Bước chuẩn bị Tính toán xác định phân hoạch không gian trạng thái M theo (2.3.7) để tế bào Cν , ≤ ν ≤ m Đặt M1 := M chọn x0 ∈ S1 34 Bước k (Thực vòng lặp theo k ≥ 1) Bước k.1 (Xác định tế bào tại): Xác định Ck cho xk−1 ∈ Ck xác định dạng bậc hai zk (.) Ck theo (2.3.8) Bước k.2 (Giải cực tiểu toán con): Tính xk = arg zk (x), (2.4.1) wk = arg zk (x) (2.4.2) x∈Mk x∈Ck Nếu wk điểm giới hạn tia zk (.) dần tới vô thuật toán dừng lại Trả lời: toán (P QP ) không bị chặn Ngược lại, chuyển sang bước k.3 Bước k.3 (Kiểm tra điều kiện tối ưu): Kiểm tra T ∇zk (wk ) (xk − wk ) = (2.4.3) Nếu (2.4.3) thỏa mãn thuật toán dừng lại Trả lời wk phương án tối ưu toán (P QP ) Ngược lại, chuyển bước k.4 Bước k.4 (Cập nhật không gian trạng thái): Gán Mk+1 := Mk ∩ x : T T ∇zk (wk ) x ≤ ∇zk (wk ) wk (2.4.4) Gán k := k + 1, trở lại bước k.1 2.4.1.1 Định lý (Tính hữu hạn thuật toán (P QP )) Nếu giả thiết (A3), (A4) thực thuật toán (P QP ) sau hữu hạn bước lặp cho phương án tối ưu toán bậc hai phần ngẫu nhiên hai giai đoạn Chứng minh Theo Định lý 2.2.2.1, 2.2.2.2 hệ 2.2.2.3 cho thấy (P QP ) toán quy hoạch lồi phần theo biến x Do đó, việc chứng minh Định lý 2.4.1.1 chứng minh Định lý 1.1.1.4, Chương Việc chứng minh thể qua phần 35 (a) Tính tối ưu: Nếu thuật toán dừng lại cho ta phương án tối ưu Trước hết, wk điểm tới hạn tia mà theo zk (.) tiến tới −∞ toán (P QP ) không bị chặn Vì z(x) = zk (x) với x ∈ Ck Nếu không, hàm z(.) = zk (.) hữu hạn Ck Do M tập miền xác định z(.) Bây chứng minh xk ∈ Ck xk ∈ arg z(x) : x ∈ M Theo đinh nghĩa xk nghiệm toán quy hoạch lồi mà hàm mục tiêu có vi phân liên tục điểm thuộc Ck , đặc biệt xk thuộc Ck Trong trường hợp ta có ∇zk (xk ).(x − xk ) ≥ với x ∈ Mk Sử dụng ∇zk (xk ) ∈ ∂z(xk ) với xk ∈ Ck , theo tính chất hàm lồi ta có z(x) ≥ z(xk ) + ∇zk (xk ).(x − xk ), ∀x ∈ Rn1 (2.4.5) Kết hợp bất đẳng thức có xk ∈ arg z(x) : x ∈ Mk Bây bước k.3 có ∇zk (xk ).(xk − wk ) = đúng, gradient đẳng thức lấy với hàm lồi z(x), thực wk , ta có z k (wk ) + ∇zk (wk ).(xk − wk ) = zk (wk ) Điều nói lên wk ∈ arg zk (x) : x ∈ Mk Chúng ta cần phải chứng minh điều kiện ∇zk (wk ).(x − wk ) ≤ bước k.3 xảy phương án tối ưu toán gốc Sử dụng bất đẳng thức (2.4.5) hàm z(.) ∇zk (xk ) lấy xk = wk , ta nhận z(x) ≥ z(wk ) + ∇zk (wk ).(x − wk ), ∀x ∈ Rn1 (2.4.5) Do điều kiện z(x) ≤ z(wk ) nên ta có ∇zk (wk ).(x − wk ) ≤ Điều chứng tỏ wk phương án tối ưu Chúng ta chứng minh xong phần (a) 36 (b) Về thuộc tính tập Mk+1 : Giả sử ∇zk (wk ).(xk − wk ) < Khi có (i) Ck ∩ intMk+1 = ∅, (ii) intMk+1 = ∅, (iii) Mk+1 ⊆ ∪m i=k+1 Ci (xin nhắc lại m số tế bào phức hợp K) tế bào dán nhãn theo cách lần dán lặp thứ k Trong trường hợp tồn số k cho xk ∈ Ck Ck ∩ intMk+1 = ∅ Thật vậy, ta xem xét trường hợp: (i) Một điểm y thuộc intMk+1 ∇zk (wk ).(y − wk ) < Mặt khác, wk nghiệm quy hoạch lồi với hàm mục tiêu có vi phân liên tục Ck nên wk ∈ argmin zk (x) : x ∈ Ck ∇zk (wk ).(y − wk ) ≥ 0, ∀y ∈ Ck Điều chứng tỏ y không thuộc Ck , tức Ck ∩ intMk+1 = ∅ (ii) Theo giả thiết ∇zk (wk ).(xk − wk ) < 0, xk ∈ intCk , xk+1 ∈ intCk Nếu xk điểm biên Ck tồn điểm Ck lân cận mở xk điểm thuộc Ck+1 (do tính liên tục của điểm trong) (iii) Theo định nghĩa M1 = M ⊆ ∪m i=1 Ci Giả thiết mối quan hệ Mk = M ⊆ ∪m i=1 Ci với k, đồng thời tế bào {Ci ∩ Mi , i = k, , m} lồi Giả sử Hk nửa không gian xác định ∇zk (wk ).(x − wk ) ≤ Khi Mk+1 = Mk ∩ Hk = Mk ∩ Ck ∩ Hk ∪ Hk ∩ ∪m i=k+1 (Ci ∩ Mi ) Quan hệ Ck ∩ intMk+1 = ∅ (i) Do int Mk ∩ Ck ∩ Hk = ∅) Từ suy Mk+1 hợp hai tập, viết Mk+1 = A ∪ B, (với A = (Mk ∩ Ck ∩ Hk ); B = (Hk ∩ ∪m i=k+1 (Ci ∩ Mi )), intA = ∅, intB = ∅ A ∪ B lồi Từ người ta (xem [7]) A ⊆ clB 37 (bao đóng B) Bây xét tập B, cụ thể B = (Hk ∩ ∪m i=k+1 (Ci ∩ Mi ), tập đóng Mk+1 ≡ B Cũng vậy, ta có m Mk+1 = ∪m i=k+1 Ci ∩ Mk+1 ), tương đương Mk+1 ⊆ ∪i=k+1 Ci Ngoài ra, tập {Ci ∩ Mi , i = k + 1, , m} tập lồi x ∈ Mk+1 tồn số k cho x ∈ Ck Ck ∩ intMk = ∅ (c) Sự kết thúc hữu hạn: (Thuật toán (P QP ) sau nhiều m bước kết thúc) Như hệ trực tiếp phần (iii) (b), mối quan hệ Mm ⊆ Cm bước thứ m−1 Theo đó, nghiệm xm ∈ arg zm (x) : x ∈ Mm thuộc Cm Do sau nhiều m bước phương án tối ưu toán quy hoạch lồi bậc hai phần Định lý chứng minh xong 2.4.2 Ví dụ Chúng ta trở lại ví dụ (2.3.5) mục 2.3.2 Giải toán cho: 1 z(x) = 2x1 +3x2 +Eξ min{−6, 5y1 −7y2 + y12 +y1 y2 + y22 } 2    3x1 + 2x2 ≤ 15       x1 + 2x2 ≤    với điều kiện y1 ≤ x1 , y2 ≤ x2      y1 ≤ ξ1 , y2 ≤ ξ2       x + x ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ (2.3.5) Chúng ta giả thiết ξ1 ∈ {2; 4; 6}; ξ2 ∈ {1; 3; 5} biến ngẫu nhiên độc lập với xác suất 1/3 cho biến Bước chuẩn bị Chúng ta chọn tế bào Cν , ≤ ν ≤ 6, Hình 2.1 38 Ta có M = x ∈ R2 : 3x1 + 2x2 ≤ 15; x1 + 2x2 ≤ 8; x1 , x2 ≥ Đặt M1 = M , chọn x0 = (0, 0)T , lấy k = Bước lặp Tế bào C1 chứa x0 C1 = x ∈ R2 : ≤ x1 ≤ 2; ≤ x2 ≤ Hàm bậc hai z1 C1 (xem ví dụ mục 2.3, trang 33) 1 z1 (x) = −4, 5x1 − 4x2 + x21 + x1 x2 + x22 2 Giải toán (2.4.1) (2.4.2) thuật toán Frank-Wolfe nghiệm x1 = (4, 5; 0, 0)T , w1 = (2; 1)T ∈ C1 Từ ta có T ∇z1 (w1 ) = (−1, 5; −1, 0)T ; ∇z1 (w1 ) (x1 − w1 ) = −2, 75 < 0, 39 M2 = M1 ∩ {x ∈ R2 : −1, 5x1 − x2 ≤ −4} Bước lặp Tế bào C2 chứa x1 C2 = x ∈ R2 : ≤ x1 ≤ 6; ≤ x2 ≤ 1; x1 + x2 ≤ 6, Hàm bậc hai z2 C2 (tính toán ví dụ mục 2.3, trang 33) 29 1 1 z2 (x) = − − x1 − 2x2 + x21 + x1 x2 + x22 6 Giải toán (2.4.1) (2.4.2) thuật toán Frank-Wolfe nghiệm 22 43 x = ; 19 19 T , w = 4; T ∈ C2 Từ ta có ∇z2 (w2 ) = 25 ;0 18 T T ; ∇z2 (w2 ) (x2 − w2 ) < M3 = M2 ∩ x ∈ R2 : 100 25 x1 ≤ 18 18 Bước lặp Tế bào C3 chứa x2 C3 = x ∈ R2 : ≤ x1 ≤ 2; ≤ x2 ≤ Hàm bậc hai z3 C3 (tính toán ví dụ mục 2.3, trang 33) 13 25 z3 (x) = − − x1 − x2 + 2x1 x2 + x22 6 3 Giải toán (2.4.1) (2.4.2) thuật toán Frank-Wolfe nghiệm x3 = (4; 0)T , w3 = w1 = (2; 1)T ∈ C3 Từ ta có T ∇z3 (w3 ) (x3 − w3 ) < M4 = M ∩ x ∈ R2 : − x + x ≤ − 3 40 Bước lặp Tế bào C4 chứa x3 C4 = x ∈ R2 : ≤ x1 ≤ 4; ≤ x2 ≤ Hàm bậc hai z4 C4 (tính toán ví dụ mục 2.3, trang 33) z4 (x) = − 11 10 − x1 − x2 + x21 + x1 x2 + x22 3 3 3 Giải toán (2.4.1) (2.4.2) thuật toán Frank-Wolfe nghiệm x4 ≈ (2, 18; 1, 81)T , w4 = (2, 5; 1, 0)T ∈ C4 Từ ta có T ∇z4 (w4 ) (x4 − w4 ) < 2 M5 = M4 ∩ x ∈ R2 : − x ≤ − 3 Bước lặp Tế bào C5 chứa x4 C5 = x ∈ R2 : ≤ x1 ≤ 4; ≤ x2 ≤ Hàm bậc hai z5 C5 (tính toán ví dụ mục 2.3, trang 33) z5 (x) = − 101 19 11 1 − x1 − x2 + x21 + x1 x2 + x22 18 9 Giải toán (2.4.1) (2.4.2) thuật toán Frank-Wolfe nghiệm x5 = w5 = (2, 5; 1, 0)T ∈ C5 Từ ta có T ∇z5 (w5 ) (x5 − w5 ) ≥ Vậy ta x5 = (2, 5; 1, 0)T ∈ C5 phương án tối ưu cần tìm toán 41 Kết luận Luận văn có số đóng góp sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm kiến thức sở Cụ thể nội dung trình bày: Bài toán quy hoạch phi tuyến; phương pháp tiếp cận giải quy hoạch phi tuyến; số khái niệm sở lý thuyết xác suất Trình bày nội dung toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên Phát biểu chứng minh số tính chất quan trọng lớp toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên có chuyển đổi Nghiên cứu tính chất toán túi ngẫu nhiên phi tuyến bậc hai với ràng buộc tuyến tính Từ nêu thuật toán giải toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên bậc hai Đưa ví dụ số nhằm minh họa cho thuật toán Khi có điều kiện cho phép, cố gắng tiếp tục nghiên cứu: ◦ Dựa thuật toán nêu, nghiên cứu giải toán sản xuất đặt mục 2.1 ◦ Xây dựng thêm mô hình ứng dụng toán thực tế khác 42 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Xuân Sinh (2005), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho Cao học chuyên ngành Xác suất Thống kê toán học, Đại học Vinh [3] Bùi Minh Trí (2005), Quy hoạch toán học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, (Chương 9) [4] R H W Hoppe (2007), Optimization Theory II, Spring, (Chapter 1: Stochastic Linear and Nonlinear Programming, pp 36-47), http://www.math.uh.edu [5] F V Louveaux (1978), Piecewise convex programs, Math Programming, 15, 53-62 [6] A Shapiro, D Dentcheva and A Ruszczy´ nski (2010), Lectures on Stochastic Programming: Modeling and Theory, Mathematical Programming Society Philadelphia [7] D Walkup and R J B Wets (1969), Stochastic Programs with recourse II: On the continuity the Objective, SIAM J Appl Math., 17, 98-103 [...]... y   T (ω)x + W y(ω) = h(ω) với điều kiện  y(ω) ≥ 0 (1.4.3) 18 Chương 2 Một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên và thuật toán giải 2.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên 2.1.1 Bài toán thực tế Trong mục này, chúng tôi nêu một ví dụ thực tế dẫn đến mô hình bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên Trên cánh đồng, một Cơ sở nông nghiệp có thể gieo trồng 3 loại cây Khoai, Ngô, Đậu theo công... + g 2 y(ω), ω = 0, m + 1 ≤ i ≤ m 2 2 i i 2.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi Để thuận lợi, trước khi trình bày bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi, chúng ta trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi 2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi cố định 2.2.1.1... Thuật toán và ví dụ Trên cơ sở các tính chất đã nêu trong mục 2.2 và 2.3, chúng tôi đã chuyển bài toán quy hoạch phi tuyến từng phần ngẫu nhiên hai giai đoạn (nói riêng bài toán quy hoạch bậc hai từng phần ngẫu nhiên hai giai đoạn) về bài toán quy hoạch lồi từng phần (P CP ) 2.4.1 Thuật toán Sử dụng thuật toán (P CP ) mục 1.1.1 (Chương 1) giải bài toán quy hoạch lồi từng phần, chúng ta có được thuật toán. .. bài toán quy hoạch tuyến tính dạng ổn định, có thể giải bằng các thuật toán quen thuộc đã biết để tìm ra phương án tối ưu Trong trường hợp các dữ liệu của T, h phụ thuộc các biến ngẫu nhiên, ta có bài toán quy hoạch ngẫu nhiên Lúc này bài toán (1.2.1) được gọi là bài toán giai đoạn một (giai đoạn thứ nhất) Biến x trong bài toán giai đoạn một gọi là biến giai đoạn một Phương án tối ưu tìm được của bài. .. trên là một ví dụ cho lớp bài toán quy hoạch phi tuyến (ở đây hàm mục tiêu là phi tuyến) max cT x + xT Cx}, với điều kiện   Ax ≤ b  x ∈ {0, 1}n Mô hình toán học nêu trên có thể viết tổng quát khi A = (aij ) ma trận cỡ m × n, b = (bi ) cỡ m × 1, C = (cij ) ma trận vuông đối xứng cấp n, c = (cj ) ma trận cỡ n × 1, x = (xj ) cỡ n × 1 2.1.2 Mô hình tổng quát bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai... cân bằng trong các điều biện buộc của bài toán mà gi1 có ảnh hưởng từ ω Giả sử các hàm số đã cho là liên tục, đo được theo x, ω Để xác lập tập phương án mới người ta đưa vào "biến phạt" y(ω) với hệ số phạt phi tuyến liên tục nào đó Tương tự như bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn, ta có mô hình tổng quát của bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên giai đoạn thứ hai là: min z = f... ∂Q(x) = Eξ ∂Q x, ξ(ω) 2.3 Một lớp bài toán với hàm mục tiêu bậc hai, ràng buộc tuyến tính Một trường hợp đặc biệt của bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn đó là bài toán với hàm mục tiêu bậc hai, ràng buộc tuyến 30 tính Do tính đặc biệt của nó nên các tính chất đã nêu trong mục 2.2 sẽ được thể hiện đơn giản hơn Vì vậy, trong mục này chúng tôi sẽ trình khai thác một số tính chất của nó... chỉ khi y T v ≤ 0 với mọi y sao cho Q(x + y) < ∞ Đối chiếu với sự xác định của K2 , ta suy ra điều phải chứng minh 2.2.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi 2.2.2.1 Đặt bài toán Như đã nêu trong mục 2.1.2, ta có bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên hai giai đoạn có sự chuyển đổi là: min z = f 1 (x) + Q(x) (2.2.10)   g 1 (x) ≤ 0, 1 ≤ i ≤ m1 , i với điều kiện ... EX.EY Một số tính chất của phương sai Giả sử X, Y là đại lượng ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P); a ∈ R Khi đó ta có a) DX = EX 2 − (EX)2 b) DX ≥ 0 c) DX = 0 khi và chỉ khi X = EX = hằng số h.c.c d) D(aX) = a2 DX c) Nếu X, Y độc lập thì D(X ± Y ) = DX + DY 15 1.4 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên, thông thường có thể xẩy ra một. .. Định nghĩa Ta gọi một phức hợp tập lồi đóng K là một tập hợp hữu hạn của các tập con đóng Cν , 1 ≤ ν ≤ m, sao cho int(Cν1 ∩ Cν2 ) = ∅, ν1 = ν2 Tập Cν như vậy gọi là tế bào của K Bài toán quy hoạch min z(x) : x ∈ M , (2.3.6), trong đó z : Rn → R là hàm lồi, M là tập con lồi đóng của dom(z), int(M ) = ∅ Bài toán (2.3.6) được gọi là bài toán quy hoạch lồi từng phần 33 Cho bài toán quy hoạch lồi từng phần ... dung: Bài toán quy hoạch phi tuyến; phương pháp tiếp cận giải toán quy hoạch phi tuyến; số khái niệm sở lý thuyết xác suất Chương Một lớp toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên thuật toán giải Trong... Chương Một lớp toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên thuật toán giải 2.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên 2.1.1 Bài toán thực tế Trong mục này, nêu ví dụ thực tế dẫn đến mô hình toán quy hoạch. .. cao học, cố gắng nghiên cứu thuật toán giải cho lớp toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên Đó lý lựa chọn đề tài "Tiếp cận giải lớp toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên" Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu