SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG THPT SỐ BÁT XÁT **** ****  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ BIỂU THỨC ĐA BIẾN Họ tên tác giả: Nguyễn Minh Thu Chức vụ: Giáo viên Tổ chuyên môn: Toán – lí - Tin – Công nghệ Đơn vị công tác: Trường THPT số Bát Xát Bát Xát, Ngày 7- – 2014 MỤC LỤC PHẦN MỘT: ĐẶT VẤN ĐỀ PHẦN HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chương I: Cơ sở lí luận A Kiến thức Các định nghĩa Định nghhĩa Định nghhĩa Sáng kiến kinh nghiệm Trang 4 4 4 Nguyễn Minh Thu Định nghhĩa Các tính chất Tính chất Tính chất Tính chất Tính chất Tính chất B Một số dạng toán thường gặp Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình, hệ bất phương trình Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Chương II: Kết điều tra khảo sát thực tiễn Điều tra qua học sinh Điều tra qua khảo sát tài liệu Chương III: Giải pháp Bài toán 1: ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình Bài toán 2: ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình Bài toán 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình, hệ bất phương trình Bài toán 4: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số PHẦN BA: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT PT Phương trình BPT Bất phương trình HPT Hệ phương trình HBPT Hệ bất phương trình BĐT Bất đẳng thức GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 4 4 4 4 6 7 7 8 12 14 18 23 29 30 Như ta biết, chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức toán tìm giá trị lớn nhất, nhở hàm số chiếm lượng lớn chương trình phổ thông Tuy nhiên số tập có lượng lớn tập mà ta không Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu thể giải phương pháp thông thường (trong phân phối chương trình) giải gặp nhiều khó khăn, phức tạp Giữa PT; BPT; HPT; HBPT; GTLN, GTNN hàm số hàm số có mối liên quan chặt chẽ Khi định nghĩa PT; BPT, ta dựa khái niệm hàm số Vậy ta biết sử dụng hàm số để giải tập toán đơn giản Tuy nhiên sử dụng hàm số để giải ứng dụng tính đơn điệu để giải tập toán nói chung lớn – hành trang cần thiết học sinh chuẩn bị ôn thi đại học học sinh giỏi Hơn giúp em phát huy tối đa tính sáng tạo việc tìm lời giải nhanh nhất, xác Chính chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “ Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số” Đây l vấn đề nhiều người đề cập đến, trình bồi dưỡng cho học sinh thấy chuyên đề trước chưa thống kê đầy đủ hết mảng kiến thức ứng dụng tính đơn điệu (hay gọi tắt phương pháp hàm số) xuyên suốt đề thi đại học Trong phạm vi đề tài xin nêu số toán số toán chương trình đề thi mà đáp án giải phương pháp Tác giả mong muốn thầy cô giáo em học sinh với sáng kiến có thêm tài liệu hành trang ôn thi cuối cấp Trong trình biên soạn đề tài không tránh khỏi thiếu sót Mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn Tôi xin chân thành cảm ơn! PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Một số định nghĩa Định nghĩa Hàm số y = f(x) xác định đoạn [a;b] gọi đồng biến (tăng) đoạn ấy, với x1 < x2 thuộc đoạn [a ;b] ta có f(x 1) < f(x2) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu Điều kiện để y = f(x) đồng biến [a ;b] f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a ;b] Đồng thời dấu ''='' đạt số điểm riêng biệt Định nghĩa Hàm số y = f(x) xác định đoạn [a;b] gọi nghịch biến (giảm) đoạn ấy, với x < x2 thuộc đoạn [a ;b] ta có f(x1) > f(x2) Điều kiện để y = f(x) nghịch biến [a ;b] f’(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a ;b] Đồng thời dấu ''='' đạt số điểm riêng biệt Định nghĩa Hàm số y = f(x) tăng giảm đoạn [a;b] gọi đơn điệu đoạn Một số tính chất Tính chất 1: Cho phương trình: f(x) = g(x) xác định D Nếu hai hàm số f(x) g(x) hàm số đơn điệu, hàm lại hàm đơn điệu ngược với hàm phương trình có nghiệm nghiệm Tính chất 2: Cho phương trình f(x) = m xác định D Điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm m thuộc miền giá trị hàm số f(x) Tính chất 3: Cho phương trình f(x) = m xác định D Nếu f(x) hàm số liên tục đơn điệu D phương trình có không nghiệm Tính chất 4: Cho bất phương trình: f(x) > m (hay f(x) < m ) i) Nếu f(x) hàm đơn điệu tăng D tồn x ∈ D có f(x0) = m tập nghiệm bất PT là: T = D ∩ (x0 ; + ∞ ) ( T = D ∩ (- ∞ ; x0 )) ii) Nếu f(x) hàm đơn điệu giảm D tồn x ∈ D cho có f(x0) = m tập nghiệm bất PT là:T = D ∩ (- ∞ ; x0 ) (T = D ∩ (x0 ; + ∞ ) ) Tính chất 5: Cho hàm số f(x) xác định D f (x ) f(x) ≥ m , ∀ x ∈ D ⇔ m ≤ D max f ( x ) f(x) ≥ m có nghiệm x ∈ D ⇔ m ≤ max f ( x ) f(x) ≤ m có nghiệm x ∈ D ⇔ m ≥ f ( x ) f(x) ≤ m , ∀ x ∈ D ⇔ m ≥ D D D Nếu f(x) hàm số đơn điệu tăng D tồn u, v ∈ D Khi đó: f (u) > f ( v ) ⇒ u > v , f(u) = f(v) ⇒ u = v Nếu f(x) hàm số đơn điệu giảm D tồn u, v ∈ D Khi đó: f (u) > f ( v ) ⇒ u < v , f(u) = f(v) ⇒ u = v B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình Phương pháp : Dạng 1: Phương trình cho biến đổi dạng f (x) = g(x) (hoặc f (u) = g(u) ) u = u ( x) Bước 1: Biến đổi phương trình cho dạng f (x) = g(x) (hoặc f (u) = g(u) ) Bước 2: Xét hai hàm số y = f (x); y = g (x) D * Tính y1' , xét dấu y1' , kết luận tính đơn điệu hàm số y1 = f ( x ) D * Tính y2' , xét dấu y2' ,kết luận tính đơn điệu hàm số y2 = g ( x) D * Kết luận hai hàm số y = f (x); y = g (x) đơn điệu ngược nhau, hai hàm số hàm số * Tìm x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) (hoặc tìm u0 cho f (u0 ) = g (u0 ) ) Bước 3: Kết luận: * Phương trình cho có nghiệm x = x0 (hoặc u = u0 giải phương trình u = u0 ) * Kết luận nghiệm phương trình cho Dạng 2: PT cho biến đổi dạng f (u) = f ( v ) v = v ( x) u = u ( x) , Bước 1: Biến đổi phương trình dạng f (u) = f ( v ) Bước 2: Xét hàm số y = f (x) D * Tính y ' , xét dấu y' * Kết luận hàm số y = f (x) hàm số đơn điệu D Bước 3: Kết luận: * Phương trình cho có nghiệm u = v , giải PT : u = v * Kết luận nghiệm phương trình cho Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải bất phương trình Phương pháp : Dạng 1: BPT biến đổi dạng f (x) > g(x) (hoặc f (u) > g(u) ) u = u ( x) Bước 1: Biến đổi BPT cho dạng f (x) > g(x) (hoặc f (u) > g(u) ) Bước 2: Xét hai hàm số y1 = f (x); y = g (x) D * Tính y1' , xét dấu y1' , kết luận tính đơn điệu hàm số y1 = f ( x ) D Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu * Tính y2' ,xét dấu y2' , kết luận tính đơn điệu hàm số y2 = g ( x) D * Tìm x0 cho f (x0 ) = g(x0 ) (hoặc tìm u0 cho f (u ) = g (u ) ) * Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc hàm hằng) f (x) > g(x) ⇔ x > x , x ∈ D (hoặc f (u) > g(u) ⇔ u > u , x ∈ D ) * Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc hàm hằng) f (x) > g(x) ⇔ x < x , x ∈ D (hoặc f (u) > g(u) ⇔ u < u , x ∈ D ) Bước 3: Kết luận nghiệm bất phương trình cho Dạng 2: BPT biến đổi dạng f (u) > f ( v ) u = u ( x) , v = v( x) Bước 1: Biến đổi bất phương trình dạng f (u) > f ( v ) Bước 2: Xét hàm số y = f (x) D * Tính y ' , xét dấu y' Kết luận hàm số y = f (x) đơn điệu D * Nếu f(x) đơn điệu tăng thì: f (u) > f ( v ) ⇔ u > v, x ∈ D Nếu f(x) đơn điệu giảm thì: f (u) > f ( v ) ⇔ u < v, x ∈ D Bước 3: Kết luận nghiệm bất phương trình cho Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình, hệ bất phương trình (dựa vào hai toán giải phương trình bất phương trình hệ kết hợp với hệ đơn giản hơn) Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để biện luận phương trình *) Chú ý: Phương pháp chung dạng tập - Với PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng tính chất tính đơn điệu hàm số để giải - Với PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số vế, đưa phương trình, bất phương trình dạng: f(x) = m f(x) > m ( f(x) < m; f(x) ≤ m; f(x) ≥ m ) Sau sử dụng tính chất tính đơn điệu hàm số để giải Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để tìm gía trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số DẠNG Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số (a, b) • Để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) ( a; b ) : + Bước 1: Tính đạo hàm hàm số y’ = f’(x) + Bước 2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên x y' b x0 a - + y x y' y b x0 a + GTLN GTNN Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu Trong x0 f’(x0) không xác định DẠNG Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số [a,b] • Để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) [a; b]: Bước 1: Tìm gía trị xi ∈ [ a; b] (i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm không xác định Bước 2: Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( x n ), f (b) Bước 3: GTLN = max{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( x n ), f (b) } GTNN = min{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( x n ), f (b) } CHƯƠNG II: KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TIỄN Điều tra học sinh Qua khảo sát thực tiễn ( cụ thể qua học sinh lớp 12A1; 12A6 trường thpt số Bát Xát ) thấy em học sinh ban đầu gặp nhiều khó khăn thông thường không thích phương pháp học sinh tiếp cận phương pháp ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số em chưa biết cách xây dựng hàm số thích hợp để nghiên cứu tính đồng biến nghịch biến tập xác định Hơn nhiều trường hợp phát hàm số từ đầu, trường hợp khác cần có khôn khéo để phát chúng nên em thấy “ không tự nhiên” lời giải điều quan trọng việc nhẩm nghiệm để tìm nghiệm vấn đề nan giải học sinh Sau thời gian em nắm toán khảo sát hàm số, qua đợt ôn thi học sinh giỏi ôn thi đại học vừa qua thấy em tiếp thu cảm thấy húng thú việc tìm lời giải phương pháp ứng dụng tính đơn điệu vào giải toán Điều tra, khảo sát tài liệu Những toán thường gặp chương trình phổ thông + Giải phương trình vô tỷ, phương trình mũ, lôga, phương trình chứa tham số + Giải bất phương trình vô tỷ, phương trình mũ, lôga, bất phương trình chứa tham số + Hệ phương trình + Hệ bất phương trình + Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, chứng minh bất đẳng thức Qua việc khảo sát điều tra thấy việc đưa phương pháp ứng dụng tính đơn điệu để giải toán cần thiết để giải toán giải PT, BPT, HPT, HBPT, GTLN, GTNN – dạng toán dễ dàng bắt gặp kì thi tốt nghiệp, đại học học sinh giỏi (đặc biệt kì thi đại học học sinh giỏi) Tôi không tham vọng học sinh áp dụng thành thạo với phương pháp để triệt để dạng toán mà hi vọng em có thêm công cụ hữu hiệu để giải toán vừa sức với thân Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu Do thời gian hạn chế trình bày dạng toán số ví dụ điển hình đưa cách tư để ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải toán PT, BPT, HPT, HBPT, Tìm GTLN, GTNN chưa thống kê đưa hết ví dụ toán ứng dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức; tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu khoảng, đoạn nửa khoảng hay toán tương giao hai đường câu hỏi phụ toán khảo sat hàm số CHƯƠNG III: GIẢI PHÁP Bài toán Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x + + x + + x − = (1) Giải: Điều kiện xác định: ∀x ∈ [ ; + ∞ ) Xét hàm số: f (x) = x + + x + + x − 1 + + > 0, ∀x > 2 x +1 x + x − Do hàm số f ( x) đồng biến (2; + ∞ ), phương trình f(x) = có nghiệm nghiệm Mặt khác ta có: f(3) = Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: - Ta dễ dàng tính nhẩm đánh giá đạo hàm vế phải phương trình (1) dương Do ta giải toán theo phương pháp hàm số - Nếu không sử dụng phương pháp hàm số để giải toán theo phương pháp bình phương hai vế toán trở nên phức tạp nhiều Ví dụ 2: Giải phương trình sau: Đạo hàm : f '( x) = x − 2x + − x − 6x + 11 = - x − x − (2) Giải: Điều kiện: ≤ x ≤ (2) ⇔ ( x − 1) + + x − = (3 − x) + + − x t + + t ,với t ∈  0;  Xét hàm số: f(t) = f’(t) = t t2 + + t ( > 0, t ∈ 0; ) Hàm số f (t ) đồng biến  0;  , (2) f ( x − 1) = f (3 − x) ⇒ x − = − x ⇔ x = (tm đk) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: t + + t , với t ∈  0;  kết tương tự Do việc chọn hàm số để giải toán tùy thuộc vào đối tượng học sinh Điều học sinh thấy không tự nhiên đay biết để chuyến vế biến đổi PT? Mấu chốt toán hai vế phải ta tìm cách biến đổi biểu thức vế trái để biểu thức giống biểu thức bên vế phải - Chú ý áp dụng tính chất f(u)=f(v) ⇒ u = v phải sử dụng dấu suy không sử dụng dấu tương đương - Bài toán giải phương pháp tương đương cách nhân liên hợp hai hai vế, đưa phương trình tích, gặp khó khăn chứng minh phương trình vô tỷ lại vô nghiệm - Ta chọn hàm số f(t) = Ví dụ 3: Giải phương trình: x + x − = Giải Điều kiện x ≥ x = không nghiệm phương trình Đặt f ( x) = x + x −1 với x > 1 ⇒ f '( x) = x + > 0, x > x −1 ⇒ f(x) hàm số đồng biến (1; + ∞ ) nên PT f(x) = có nghiệm có nghiệm x > Mặt khác: f (2) = nên x = nghiệm phương trình x + + x + 7x + = Ví dụ 4: Giải phương trình: Giải: Điều kiện phương trình − 41 + 41 ≤x≤ 2 (*) (1) ⇔ x + + x + x + − = Xét x + > 0, ∀x ∈ (*) g ( x) = x + + x + x + − ⇒ g '( x) = + x + x + 7x + 1+  − 41 + 41  ⇒ g(x) hàm số đồng biến  ;  2   Mặt khác: g(1) = Vậy: x = nghiệm phương trình Thật vậy: Khi x > g(x) > g(1) = nên phương trình vô nghiệm Khi x < g(x) < g(1) = nên phương trình vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình: Sáng kiến kinh nghiệm x + + x + = x + + x2 (5) Nguyễn Minh Thu Giải: Phương trình (1) viết lại x +1+1 + x +1 = 2x2 +1 + 2x2 1 1 3 + >0 Xét f (t ) = t + + t ⇒ f '(t ) = (t + 1)2 3 t ⇒ hàm số đồng biến R x =1 2 Mặt khác: (2) ⇔ f ( x + 1) = f (2 x ) ⇒ x + = x ⇔  x=−  Ví dụ 6: Giải phương trình: e x −5 − e x −1 = 1 − 2x − x − Giải: 2 x − ≠  x ≠ / ⇔ Điều kiện:  x − ≠  x ≠ Viết lại phương trình dạng : e t Xét hàm số: f (t ) = e − x −5 − 1 = e x −1 − 2x − x −1 (1) với t > t , ∀t > t2 ⇒ Hàm số f (t) đồng biến khoảng (0; +∞) Khi đó: phương trình (1) ⇔ f ( x − ) = f ( x − 1) ⇒ x − = x − f '(t ) = et + 2x − = x − x = ⇔ ⇔ 2x − = − x +  x = Vậy phương trình có hai nghiệm x=2 x=4 Ví dụ 7: Giải phương trình: 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) (7) Giải: Với phương trình ta chưa thể có hàm số giống ví dụ mà ta phải biến đổi để tìm hàm số mà ta muốn xét TXĐ: D = ¡ log ( x − x + 5) = Trên D PT (7) ⇔ ( x − x + > e > ) x2 − x + log 2t = Đặt t = x − x + với t > e, phương trình trở thành: t log t Xét hàm số: f (t ) = , với t > e t Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu 10 Giải (4.1): Ta đoán x=1 nghiệm (4.1), mặt khác dễ nhận thấy phương trình (4.1) có vế trái hàm số đồng biến, vế phải hàm số nghịch biến Vậy x=1 nghiệm PT (4.1), Vậy hệ cho có nghiệm x=y=1  x − − y = − x Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau  ( x − 1) = y (I) Giải x −1 ≥ x ≥ ⇔ y ≥ y ≥ Điều kiện:   x − − ( x − 1) = − x Ta có (I) ⇔  ( x − 1) = y Từ phương trình : x − − ( x − 1) = − x ⇔ x − = − x + x − x + (I’) Ta thấy hàm số f ( x) = x − hàm đồng biến [ 1; +∞ ) Xét hàm số g ( x) = − x + x − x + với miền xác định D = [ 1; +∞ ) Ta thấy g / ( x) = −3x + x − < ∀x ∈ D nên hàm số nghich biến D Từ (I’) ta thấy x = nghiệm phương trình nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( 1;0 ) Nhận xét: Ví dụ giúp cho học sinh khỏi nhầm lẫn giải hệ lúc đưa dạng f(u) = f(v) ⇒ u = v để  x − 3x − 9x + 22 = y + y − y  Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:  (I)  x + y − x − y = (ĐH 2012A) Giải:  x − 3x − 9x + 22 = y + y − y  2 Hệ (I) ⇔  1  1  x − ÷ +  y + ÷ =     1 Đặt: u = x − ; v = y + 2 45  3 45 u − u − u = (v + 1) − (v + 1) − v 4 hệ thành  2 u + v = 2 2 1  1 1 1     x − ÷ +  y + ÷ = nên  x − ÷ = −  y + ÷ ⇒ x − ≤ , 2  2 2 2    45 Xét hàm số: f (t ) = t − t − t , ∀ t ≤ Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu 16 45 < 0, ∀∈ [-1;1] , Hàm số f(t) nghịch biến [-1; 1], v = ⇒ f (u ) = f ( v + 1) ⇒ u = v + ⇒ (v + 1) + v = ⇒   v = −1 Với v=0 ta có u = Với v = -1 ta có u = 3 1 1 3 Hệ có nghiệm là:  ; − ÷;  ; − ÷ 2 2 2 2 Nhận xét: Ví dụ khó nhiều,yêu cầu học sinh phải tư cao hàm số thấy từ đề mà phải biến đổi thông qua phép đặt ẩn phụ Và miền xác định phải nhận xét từ phương trình thứ hai Do cần nhấn mạnh cho học sinh sau xác định hàm số cần tìm miền xác định hàm có f '(t ) = 3t − 3t −  x + 3x − + ln ( x − x + 1) = y  Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau:  y + y − + ln ( y − y + 1) = z (5)   z + 3z − + ln ( z − z + 1) = x (hệ hoán vị vòng quanh) Giải Xét hàm số f (t ) = t + 3t − + ln ( t − t + 1)  f ( x) = y  Lúc hệ có dạng:  f ( y ) = z Miền xác định: D = R  f ( z) = x  2t − / > ∀x ∈ R nên hàm số đồng biến D Ta thấy f ( x) = 3t + + t2 − t +1 Ta giả sử ( x; y; z ) nghiệm hệ x = max { x, y, z} ta suy ra: y = f ( x) ≥ f ( y ) = z ⇒ z = f ( y ) ≥ f ( z ) = x Vậy x ≥ y ≥ z ≥ x ⇔ x = y = z Thay vào hệ ta có: x + 3x − + ln ( x − x + 1) = x ⇔ x + x − + ln ( x − x + 1) = (5.1) Ta thấy x = nghiệm phương trình Vậy hệ có nghiệm ( 1;1;1) log 22 x − log x < (6.1)  Ví dụ 8: Giải hệ bất phương trình sau:  x3  − 3x + x + > (6.2) 3 Giải: Giải (6.1): x > x > x > ⇔ ⇔ ⇔ 1< x < (6.1) ⇔  < log x < < x < log x − 2log x <    2 Giải (6 2): xét hàm số : f ( x) = Sáng kiến kinh nghiệm x3 − 3x + 5x + (1;4) Nguyễn Minh Thu 17 Có f '( x) = x − x + , f '( x) = ⇔ x = 1; x = ⇒ f '( x) < 0, ∀x ∈ (1;4) 7 x3 Mặt khác f (4) = , f ( x) > f (4) = > ⇒ − x + x + > 0, ∀∈ (1;4) 3 Vậy nghiệm hệ < x < Nhận xét: Đối với giải hệ bất phương trình có ẩn số ta dùng phương pháp hàm số để giải phương trình hay bất phương trình hệ kết hợp tập nghiệm tìm để đưa kết luận nghiệm cho hệ bất phương trình BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải hệ phương trình sau  x − − y = − x  ( x − 1) = y ( x + 1) x + ( y − 3) − y =   x + y + − x =  + x + x = + y   + y + y = + x  2x − y = y − x  2  x + xy + y = 12 Tìm số x ∈ ( 0; π ) ,y ∈ ( 0; π ) thoả cot x - cot y = x - y 5 x + y = 2π mãn hệ :   + x + x + = + y +   + y + y + = + x +  x − − y = − x  ( x − 1) = y xy = yx  2  x + y = 25 sin x − y = sin y − x  2 x + y = π  x, y >   x − x + 6.log ( − y ) = x   10  y − y + 6.log ( − z ) = y   z − z + 6.log ( − x ) = z Bài toán 4: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình sau: x − 4x + = x +m (1) Giải: Điều kiện: ∀x ∈ ( − ∞ ;1] ∪ [ 3; + ∞ ) , kí hiệu D = ( − ∞ ;1] ∪ [ 3; + ∞ ) Trên D; (1) ⇔ Xét hàm số f(x) = Sáng kiến kinh nghiệm x =m x x − 4x + − với x ∈ D x − 4x + − Nguyễn Minh Thu 18 x−2 Ta có: f’(x) = − x − 4x + x−2 Trên D ta có: f’(x) > ⇔ f’(x) < ⇔ − > ⇔ x > 3; x − 4x + x−2 − ; Hệ (II) có nghiệm ⇔ m < − 28 27 m > Vậy hệ cho có nghiệm ⇔  28 m 0) x −1 x − +1 với x ∈ D x −1 5−x−2 x−3 , x − 3( x − 1) f’(x) = ⇔ 5−x−2 x−3 = ⇔ x = 7-2 x − 3( x − 1) Ta có bảng biến thiên: X -∞ f’(x) + 7-2 - +∞ - 1+ f(x) 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có: a Bất phương trình có nghiệm ⇔ m ≤ max f ( x ) D ⇔ m ≤ 1+ f (x) ⇔ m ≤ b Bất phương trình nghiệm ∀ x ∈ [ ; ] ⇔ m ≤ [ 3; ] BÀI TÂP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: Sáng kiến kinh nghiệm x −1 + x +1 ≤ m2 +1 Nguyễn Minh Thu 22 Bài 2: Cho phương trình: ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3) x +1 =m x −3 a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm c Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ ; + ∞ ) d Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ ; ] log ( x − x + m) > −3 Bài 3: Cho bất phương trình: Tìm m để bất phương trình có nghiệm mà nghiệm bất phương trình không thuộc tập xác định hàm số: y = log x ( x + 1) log x +1 x −   x + y =1 Bài 4: Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm x x + y y = − 3m   Bài toán 5: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức tìm max, hàm số Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: y = ln x đoạn [1; e3 ] x Giải: (2 − ln x)ln x x x =1 (2 − ln x)ln x =0⇔  y’= ⇔ x x = e có y(0) = y( e ) = y( e3 ) = e e y = y(1) = y = y (e ) =   Vậy : Max  e 1; e  1; e     Xét đoạn [1; e3 ] ta có: y’ = 3   Ví dụ 2: Cho x, y số thực thay đổi, Tìm GTNN biểu thức A = ( x −1)2 + y + ( x + 1) + y + y − Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét điểm M(x -1, -y) N(x+ 1, y) Vì OM + ON ≥ MN nên ( x −1) + y + ( x +1) + y ≥ + y = 1+ y Vậy A ≥ 1+ y + y − Đặt f(y) = 1+ y + y − 2y −1 + Với y ≤ ta có f(y) = 1+ y + – y ⇒ f’(y) = y +1 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu 23  y≥0 ⇔ f’(y) = ⇔ 2y = 1+ y ⇔  y = 4 y =1+ y Bảng biến thiên y −∞ f’(y) +∞ - + f(y) 2+ f ( y ) = f ( ) = + Vậy :  −∞ ;2    + Với y ≥ ta có f(y) = 1+ y + y – ≥ > + (2) Từ (1) (2) ta có: A ≥ + với số thực x, y Vậy GTNN A + x = y = Nhận xét: - Cái hay ta phát biểu thức giống với độ dai hai cạnh tam giác Do áp dụng BĐT tam giác đưa toán hàm số đơn giản có ẩn - Để tìm max, hàm đa biến ta cần phải tìm cách biến đổi biểu thức đặt ẩn phụ để thành biểu thức đơn giản có biến Tuy nhiên toán ta cần xác định lại miền xác định mà ta tìm GTLN, GTNN toán đơn giản hóa Sau đay vài toán Ví dụ 3: Với x, y ≠ 0, Tìm GTNN biểu thức: x4 y4  x2 y2  x y P = + −  + ÷+ + y x y x  y x Giải: Ta viết lại biểu thức P dạng:  x2 y   x2 P =  + ÷ − 2− + x  y y x y Đặt t = y + x , ta có t = y2   x ÷+  + x2   y y x ÷ =  + x y x y ÷ − 5 + x y y  x ÷ + + x  y y ÷+ x x y + ≥ toán cho trở thành toán tìm y x giá trị nhỏ hàm số f(t) = t4 – 5t2 + t + miền t ≥ Ta có f’(t) = 4t3 – 10t + = 2t(2t2 - 5) + 1, t ≥ Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu 24 Với t ≥ 2t2 – ≥ 3, nên f’(t) ≥ 13 Với t ≤ -2 2t2 – ≥ 3, nên f’(t) ≤ -11 Bảng biến thiên: x f’ f -∞ -2 +∞ - +∞ + -2 +∞ f (t ) = f (−2) = − Từ bảng biến thiên suy ra: t ≥2 x y minP = -2 + = -2 ⇔ (x + y)2 = ⇔ x = -y với x, y ≠ y x Ví dụ 4: Cho x, y số thực thoả mãn x + y + xy = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P = x + y − 3x − y Giải: x + y + xy = ⇔ ( x + y )2 − = xy 2 Vì xy ≤ ( x + y ) ⇒ ( x + y )2 − ≤ ( x + y ) ⇒ ( x + y ) ≤ 4 Đặt x+y = t ⇒ t ∈ [ − 2; 2] Ta có P = x + y − x − y = ( x + y )3 − xy ( x + y ) − 3x − y = t − 3(t − 3)t − 3t = −2t + 6t Xét f (t ) = −2t + 6t với t ∈ [ − 2; 2] ⇒ f '(t ) = −6t + 6; f '(t ) = ⇔ t = ±1 Bảng biến thiên T -2 f’(t) -1 + - f(t) -4 -4 Từ bảng biến thiên suy  x + y =  x = −1; y =  t =  xy = −2  ⇔ ⇔  x = 2; y = −1 Vậy maxP =4 ⇔    x + y = −2  t = −2  x = y = −1    xy = Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu 25   x + y = −1  x = 1; y = −2  t = −1   xy = −2 ⇔ ⇔  x = −2; y = Min P = -4 ⇔   t = x + y =    x = y =    xy = 2 Ví dụ 5: Với số thực x, y thỏa điều kiện ( x + y ) = xy + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = Giải: x4 + y4 xy + ( ) Đặt t = xy ta có xy + = ( x + y ) − xy ≥ −4 xy ⇒ xy ≥ − ( ) xy + = ( x − y ) + xy ≥ xy ⇒ xy ≤ x Suy P = ( Xét hàm số: f(t) = = f '(t ) = + y2 ) 1 với − ≤ t ≤ 3 − 2x2 y 2 xy + −7t + 2t + 1 , với − ≤ t ≤ ( 2t + 1) ( −t − t ( 2t + 1) ) t = f’(t) = ⇔  t = −1(loai ) Ta có: f(0) = 1 24 −40 ; f( − ) = ; f( ) = 5   −40 f ( t ) = f ; Suy ra:  ÷ =  1 3  − ;    24 m1ax f ( t ) = f − ÷ = 1   5  − ;   2+ 2− x + y = ;y = x =  −40 6 ⇔ Vậy: minP =   2− 2+  xy = ;y =  x = 6    5− −5 − x+ y= ;y = x =   24 10 10 ⇔ maxP =   −5 − 5−  xy = − x = ; y =   10 10  Ví dụ 6: Cho x,y dương thỏa x + y =  Tìm GTNN biểu thức P =  x +  Sáng kiến kinh nghiệm   ÷ y + ÷ y2 ÷ x   Nguyễn Minh Thu 26 Ta biến đổi P = + ( xy ) + ( xy )  x, y > nên = x + y ≥ xy ⇒ < xy ≤ x + y = 1 Đặt t = ( xy ) , điều kiện t < t ≤ 16 Khi biểu thức P = f ( t ) = + t + t  1 t −1 f ' ( t ) = ; ta thấy f ' ( t ) < với t ∈  0;  ,  16  t Do   1  16  suy hàm số f(t) nghịch biến nửa khoảng  0;   289 nên min1 f ( t ) = f  ÷ = t∈(0; ]  16  16 16 Suy giá trị nhỏ biểu thức P là:  + 15 − 15 ;y = x + y =  x = 289  8 minP =  ⇔ xy = 16  − 15 + 15  16 ;y = x = 8  2 Ví dụ 7: Cho x, y số thực thỏa mãn x + y − xy = Tìm GTLN, GTNN F = x + y − x y − xy Giải: 3 Ta có F = ( x + y ) − 3x y ( x + y ) − x y − xy = −2 ( xy ) − ( xy ) + xy + Đặt xy = t Ta có f ( t ) = −2t − 2t + 2t + x + y − xy = ⇔ ( x + y ) − 3xy = ⇒ xy ≥ −1   x + y − xy = ⇔ ( x − y ) + xy = ⇒ xy ≤ suy t ∈ − ;1     Ta tìm max, f(t)  − ;1 f ' ( t ) = −6t − 4t +      t = ∈  − ;1   f '( t ) = ⇔     t = −1 ∉  − ;1      37  −1  Ta có f  ÷ = , f ( 1) = −1, f  ÷ =  3   27 1 1 37 37 + ,y= − nên Max f (t ) = t = ; suy maxP = x = 6 27 27 Minf ( t ) = − x = y = t = ; suy minP = -1 Sáng kiến kinh nghiệm 27 Nguyễn Minh Thu 27 Nhận xét: Ta ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức (giống ví dụ 5(tr 9) sách giáo khoa giải tích 12 bản) Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau: a Chứng minh : ln(1+x) > x − x2 b Chứng minh : ln(1+ + x ) < ∀x>0 + ln x , ∀x>0 x c Chứng minh : logx(x+1) > logx+1(x+2) , ∀x > Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi Tìm GTNN biểu thức x  y  z  P = x  + ÷+ y  + ÷+ z  + ÷ (ĐH - 2007B)  xz   yx   yz  Bài 2: Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn ( x + y ) + 4xy ≥ Tìm GTNN 4 2 2 biểu thức: A = ( x + y + x y ) − ( x + y ) + (ĐH - 2009B) Bài 3: Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm GTLN, GTNN 2 biểu thức: S = ( x + y ) ( y + 3x ) + 25xy (ĐH – 2009D) Bài 4: Tìm GTLN hàm số: B = − x + 4x + 21 − − x + 3x + 10 (ĐH – 2010D) Bài 5: Cho x, y, z ba số thực không âm thỏa mãn x + y +z = Tìm GTLN, biểu thức: M = ( x y + z y + x z ) + ( xy + zy + xz ) + x + y + z (ĐH – 2010B) Bài 6: Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [ 1;4] x ≥ y; x ≥ z Tìm GTLN, x y z + + biểu thức: P = (ĐH – 2011A) 2x + y y + z z + x Bài 7: Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn: ( x + y ) + xy = ( x + y )( xy + 2) Tìm GTNN biểu thức:  x3 y   x y  P =  + ÷−  + ÷ (ĐH – 2011B) x  y x  y 2 Bài 8: Cho x, y, z ba số thực thỏa mãn x + y +z = x + y + z = 5 Tìm GTLN, biểu thức: M = x + y + z (ĐH – 2012B) PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ I - KẾT LUẬN: Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu 28 Tính đơn điệu hàm số có nhiều ứng dụng ứng dụng sử dụng việc giải phương trình bất phương trình toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, biểu thức đa biến Đề tài nêu phương pháp chung cho dạng minh họa toán cụ thể, đồng thời đưa cho dạng số tập với mức độ khác giúp học sinh dễ dàng tư theo cấp độ Học sinh nắm vững phương pháp ứng dụng tính đơn điệu hàm số tự tin hơn, linh hoạt gặp toán khó dạng nêu Tuy vậy, nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan khách quan nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót, hạn chế định Tác giả mong đóng góp quí báu quí đông nghiệp để đề tài trở nên hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn ! II - KIẾN NGHỊ: Như trình bày PT, HPT, BPT, HBPT có mối liện hệ mật thiết với hàm số Khi định nghĩa PT, BPT, ta dựa khái niệm hàm số, ta biết sử dụng hàm số để giải tập toán đơn giản Đặc biệt, đạo hàm công cụ hữu ích, sắc bén Chính lẽ đó, hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ bé vào việc giải dạng toán nêu trên; tài liệu tham khảo cho em học sinh trình học toán ôn thi vào trường Đại học, Cao đẳng ôn thi học sinh giỏi Tài liệu tham khảo: Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu 29 [1] Lê Hồng Đức Phương pháp giải toán Hàm số Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội – 2010 [2] Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Tạ Mân, Đào Tam, Lê Thống Nhất Các giảng luyện thi môn toán – Tập Nhà xuất Giáo dục - `1996 [3] Đề thi đại học năm Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu 30 [...]... 3: Cho b t phương trình: 2 T m m để b t phương trình trên có nghiệm mà mọi nghiệm của b t phương trình đó đều không thuộc t p xác định của hàm số: y = log x ( x 3 + 1) log x +1 x − 2   x + y =1 Bài 4: T m m để hệ phương trình  có nghiệm x x + y y = 1 − 3m   Bài toán 5: Ứng dụng t nh đơn điệu của hàm số để chứng minh b t đẳng thức và t m max, min của hàm số Ví dụ 1: T m GTLN, GTNN của hàm số sau:... ba số thực thỏa mãn x + y +z = 0 và x + y + z = 1 5 5 5 T m GTLN, của biểu thức: M = x + y + z (ĐH – 2012B) PHẦN 3: K T LUẬN - KIẾN NGHỊ I - K T LUẬN: Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Minh Thu 28 T nh đơn điệu của hàm số có r t nhiều ứng dụng và m t trong các ứng dụng đó là sử dụng trong việc giải phương trình và b t phương trình và bài toán t m giá trị lớn nh t, giá trị nhỏ nh t của hàm số, biểu thức... 1 ≥ ( x + 1) ( 3 − x ) Bài toán 3: Ứng dụng t nh đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình, hệ b t phương trình 1  1 x − x = y − y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  2 y = x3 + 1  Giải: Điều kiện xác định của hệ phương trình x ≠ 0, y ≠ 0 1 t X t hàm số f (t ) = t − ⇒ f ' (t ) = 1 + 1 > 0, t ≠ 0 t2 ⇒ f (t) là hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞;0 ) và ( 0; +∞ ) 1 1 M t khác: x − x = y − y ⇔ f (... = > 0 ⇒ − 3 x 2 + 5 x + 9 > 0, ∀∈ (1;4) 3 3 3 Vậy nghiệm của hệ là 1 < x < 4 Nhận x t: Đối với giải hệ b t phương trình có 1 ẩn số ta có thể dùng phương pháp hàm số để giải t ng phương trình hay b t phương trình của hệ rồi k t hợp các t p nghiệm t m được để đưa ra k t luận về nghiệm cho hệ b t phương trình BÀI T P ÁP DỤNG Giải các hệ phương trình sau  x − 1 − y = 1 − x 3 1  4 ( x − 1) = y (... của phương pháp này là việc t m điều kiện đơn giản còn trong m t số bài t p giải bằng phương pháp đ t ẩn phụ, ta phải t m điều kiện của ẩn phụ Tuy nhiên, việc t m điều kiện đó gặp không t khó khăn Ta x t ví dụ sau: Ví dụ 4: Cho b t phương trình: x −3 ≤ m + 1 mx - (4.1) (m - tham số) a T m m để b t phương trình có nghiệm b T m m để b t phương trình nghiệm đúng ∀ x ∈ [ 3; 7 ] Giải: Điều kiện: 3 ≤ x ... dụng t nh đơn điệu để giải hệ phương trình, hệ b t phương trình Ứng dụng t nh đơn điệu để giải phương trình, b t phương trình, hệ phương trình, hệ b t phương trình có chứa tham số T m giá trị... Các t nh ch t T nh ch t T nh ch t T nh ch t T nh ch t T nh ch t B M t số dạng toán thường gặp Ứng dụng t nh đơn điệu để giải phương trình Ứng dụng t nh đơn điệu để giải b t phương trình Ứng dụng. .. Bài toán 2: ứng dụng t nh đơn điệu để giải b t phương trình Bài toán 3: Ứng dụng t nh đơn điệu để giải hệ phương trình, hệ b t phương trình Bài toán 4: Ứng dụng t nh đơn điệu để giải phương trình,