PHỤ LỤC Trang Sự cần thiết, mục đích việc thực sáng kiến kinh nghiệm…… .2 Phạm vi triển khai thực hiện…………………………………………… Mô tả sáng kiến………………………………………………………… 3.1 Đặt vấn đề……………………………………………………………… 3.2 Giải vấn đề……………………………………………………… Kết hiệu mang lại……………………………………………18 Đánh giá phạm vi ảnh hưởng sáng kiến………………………….18 Kiến nghị, đề xuất……………………………………………………….19 Tài liệu tham khảo……………………………………………………….20 SỬ DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP Tác giả: Phạm Hà Định Giáo viên THPT chuyên Lê Quý Đôn 1.S c n thi t mục ch củ vi c th c hi n sáng i n: - hiệm vụ chủ yếu trư ng T PT chuy n Qu Đôn đào tạo h c sinh m i nh n đào tạo ngu n nh n lực c chất lư ng cao cho t nh nhà Đ ng trư c nhiệm vụ đ , đ i h i ngư i giáo vi n phải đ i m i phư ng pháp ạy h c, nh m đáp ng y u cầu việc ạy h c - Trong chư ng tr nh toán T PT, s tiết ph n ph i chư ng tr nh để giảng ạy ài toán đại s t h p khai thác nhị th c iu-t n M t s phư ng pháp giải ài toán đư c đề c p sách giáo khoa c ng ch m c đ đ n giản, chưa đáp ng đư c m c đ ài toán đề thi tuyển sinh đại h c thi ch n h c sinh gi i cấp h m gi p h c sinh v n ụng đư c đạo hàm tích ph n để giải ài toán đại s t h p, chu n ị t t cho k thi tuyển sinh đại h c ch n h c sinh gi i cấp, ch n đề tài “ Sử ụng đạo hàm tích ph n để giải ài toán đại s t h p ” v i mong mu n gi p em h c sinh c đư c m t hệ th ng phư ng pháp “đủ mạnh” giải ài toán tr n tích l y th m phư ng pháp giải ạng toán khác đ ng th i tăng khả tư uy logic rèn luyện tính sáng tạo cho em Gi p em c tác phong đ c l p giải toán.Đ ng trư c m t ài toán c thể chủ đ ng, linh hoạt, iết đặt c u h i t m c u trả l i thích h p để giải ài toán m t cách tr n vẹn Phạm vi tri n h i th c hi n: - Đ i tư ng nghi n c u + Mục ti u, n i ung chư ng tr nh n ng cao Toán chuy n T PT + Sách giáo khoa nâng cao chuyên Toán + Các ài toán chư ng tr nh thi đại h c h c sinh gi i c T PT + M c đ nh n th c h c sinh trư ng T PT chuy n Qu Đôn - Phạm vi nghi n c u + Chư ng tr nh n ng cao chuy n toán T PT + Các chuy n đề thi đại h c h c sinh gi i qu c gia c sinh trư ng T PT chuy n + Qu Đôn - Tiến hành thực nghiệm tr n l p 12C4, 12C3 Mô tả sáng i n: Đ tv n Đạo hàm tích ph n m t công cụ hữu hiệu để giải m t s toán đại s t h p đặc iệt ài toán khai thác nhị th c iu-t n Giải quy t v n Cơ sở a) u n th c ti n : Nhị thức Niu-tơn Cho n s nguy n ng, a hai s thực n (a  b)n  Cn0 a n  Cn1a n1b  Cn2a n2b   Cnnb n   Cnk a nk b k k 0 Nh n xét:  Trong khai triển (a  b)n có n  s hạng  T ng s m a s hạng khai triển ng n  Các hệ s s hạng c tính chất đ i x ng Cnk  Cnnk k  , k  n  ếu xếp theo l y thừa giảm ần a th s hạng t ng quát th k  khai triển Cnk a nk bk Chú ý: 1) (a  b)n  Cn0a n  Cn1a n1b  Cn2a n2b2  Cn3a n3b3   (1)n Cnnbn 2) 2n  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn 3)  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   (1)n Cnn 4) C20n  C22n  C24n   C22nn  C21n  C23n  C25n   C22nn1 5) C20n1  C21n1  C22n1   C2nn1  C2nn11  C2nn21  C2nn31   C22nn11 Ta g i hàm s y  ( x  1)n y  ( x  1)n hàm đa th c c ản b) Cơ sở th c ti n – Th c trạng ối tượng nghiên cứu Mặc dù toán đại s t h p nhị th c iu-t n toán quen thu c đ i v i h c sinh T PT, ạng c ản mà em đư c h c, em c n l ng t ng chưa c hư ng giải đ i v i nhiều ài toán tính t ng, ch ng minh đẳng th c giải phư ng tr nh c li n quan đến khai triển nhị th c iu-t n Kh khăn đ i v i em h c sinh đ ng trư c m t ài toán phải lựa ch n đư c phư ng pháp giải hiệu Khả hệ th ng, t ng h p, s u chuỗi kiến th c phư ng pháp em h c sinh c n nhiều hạn chế Trong trình giảng dạy thực tế ph n loại ạng ài đại s t h p v i ấu hiệu để c thể ch n đư c phư ng pháp phù h p hiệu giúp em xác định đư c hư ng giải toán đại s t h p, đặc iệt ài toán c li n quan đến nhị th c iu-t n 3.2.2 Giải pháp th c hi n: Sử dụng ạo hàm giải toán ại số tổ hợp: Các d u hi u nh n bi t sử dụng phương pháp ạo hàm ếu t ng ãy t h p, s hạng ch a nh n tử 1;2;3;4; ; n; nh n tử 1.2 ;2.3 ;3.4 ; ;(n  1)n ; nh n tử đư c xếp theo th tự tăng giảm theo m t quy lu t đ , ta nghĩ t i việc sử ụng đạo hàm Khi đ , ta thực c sau Bước 1: T m hàm ( nhị th c iu-t n) thích h p Bước đạo hàm hai vế ( vế chưa khai triển nhị th c iu-t n vế khai triển) Bước 3: Cho x nh n giá trị thích h p ẫn đến kết lu n S u ây số v dụ minh họ : V dụ Tính t ng sau a) S1  Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn b) S2  Cn1  2Cn2  3Cn3  4Cn4   k (1)k 1 Cnk   n(1)n1 Cnn Phân tích Ta thấy s hạng t ng S1 c ạng kCnk Để c đư c s hạng ta c thể thực phép toán đạo hàm (Cnk x k )'  kCnk x k 1 r i thay giá trị x  hư v y ta cần c m t t ng Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3   Cnn x n , đ ta xuất phát từ nhị th c iu-t n (1  x)n Lời giải Khai triển nhị th c iu-t n (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  Cn3 x3   Cnk x k   Cnn x n (1) đạo hàm hai vế (1) ta đư c n(1  x)n1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x   kCnk x k 1   nCnn x n1 (2) Thay x  vào hai vế (2) ta đư c S1  Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn  n.2n1 V y S1  n.2n1 Thay x  1 vào hai vế (2) ta đư c S2  Cn1  2Cn2  3Cn3  4Cn4   k (1)k 1 Cnk   n(1)n1Cnn  V dụ Tính t ng sau S  Cn1 3n1  2Cn2 3n2  3Cn3 3n3   kCnk 3nk   nCnn Phân tích Quan sát t ng tr n, ta thấy s hạng t ng c ng xuất ấu hiệu phép toán lấy đạo hàm tư ng tự ví ụ 1, s hạng c nh n tử kCnk goài c n ch a nh n tử l y thừa V y ta ch n m t nhị th c iu-t n phù h p Lời giải Khai triển nhị th c iu-t n (3  x)n  Cn0 3n  Cn1 3n1 x  Cn2 3n2 x2  Cn3 3n3 x3   Cnk 3nk x k   Cnn x n (1) đạo hàm hai vế (1) ta đư c n(3  x)n1  Cn1 3n1  2Cn2 3n2 x  3Cn3 3n3 x   kCnk 3nk x k 1   nCnn x n1 (2) Thay x  vào hai vế (2) ta đư c S  Cn1 3n1  2Cn2 3n2  3Cn3 3n3   kCnk 3nk   nCnn  n.4 n 1 ếu thay x  1 ta c thể tính đư c t ng đan ấu T  Cn1 3n1  2Cn2 3n2  3Cn3 3n3  4Cn4 3n4   k (1) k 1 Cnk 3nk   n(1) n1 Cnn  n.2n1 V dụ Tính t ng sau S  Cn0  2Cn1  3Cn2  4Cn3   (k  1)Cnk   (n  1)Cnn Phân tích Trong ví ụ ví ụ 2, th t ng S cần tính không ch a s hạng Cn0 o thực phép toán đạo hàm th s hạng ị triệt ti u Mặt khác s hạng t ng S c x th m ạng (k  1)Cnk hư v y ta cần tăng c c s hạng khai triển nhị th c iu-t n (1  x)n Lời giải Khai triển nhị th c iu-t n (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  Cn3 x3   Cnk x k   Cnn x n (1) h n hai vế (1) v i x ta đư c x(1  x)n  Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x3  Cn3 x   Cnk x k 1   Cnn x n1 (2) đạo hàm hai vế (2) ta đư c (1  x)n  nx(1  x)n1  Cn0  2Cn1 x  3Cn2 x   (k  1)Cnk x k   (n  1)Cnn x n Thay x  vào hai vế (3) ta đư c (3) S  Cn0  2Cn1  3Cn2  4Cn3   (k  1)Cnk   (n  1)Cnn  2n  n2n1 V y S  2n1 (n  2) V dụ Tính t ng sau S  C21n  3C23n  5C25n  7C27n   (2n  1)C22nn1 Phân tích Ta thấy t ng cần tính s hạng c ạng kC2kn ấu hiệu để c thể sử ụng phép toán đạo hàm Mặt khác s hạng ch xuất C2kn v i k lẻ V y ta cần triệt ti u s hạng ch a C2kn v i k chẵn khai triển nhị th c iu-t n thích h p Lời giải Khai triển nhị th c iu-t n sau (1  x)2 n  C20n  C21n x  C22n x  C23n x3   C2kn x k   C22nn1x n1  C22nn x n (1) (1  x)2 n  C20n  C21n x  C22n x2  C23n x3   (1)k C2kn x k   C22nn1x n1  C22nn x n Trừ vế v i vế (1) (2) ta đư c (2) (1  x)2 n  (1  x)2 n  2(C21n x  C23n x3  C25n x5   C22nn1 x2 n1 ) (3) Đạo hàm hai vế (3) ta đư c 2n(1  x)2 n1  2n(1  x)2 n1  2(C21n  3C23n x  5C25n x   (2n  1)C22nn1x n2 ) (4) Thay x  vào hai vế (4) ta đư c S  C21n  3C23n  5C25n  7C27n   (2n  1)C22nn1  n.22 n1 Tư ng tự t ng ch g m s hạng C2kn v i k chẵn th ta c ng vế v i vế (1) (2) Nh xét Khi ài toán cho mà s hạng t ng quát kCnk mà (k  1)kCnk k (k  1)Cnk th ta nghĩ t i việc lấy đạo hàm đến cấp hai hàm đa th c c ản Th m chí s hạng t ng quát c ạng (k  2)(k  1)kCnk (k  1)k (k  1)Cnk th ta lấy đạo hàm đến cấp a tùy trư ng h p ta c thể phải tăng c x cho phù h p V dụ Tính t ng sau a) S1  1.2Cn2  2.3Cn3  3.4Cn4   (k  1)kCnk  (n  1)nCnn b) S2  1.2Cn1  2.3Cn2  3.4Cn3   (k  1)kCnk 1  n(n  1)Cnn Phân tích: Mỗi s hạng t ng S1 c ạng (k  1)kCnk , đ kết phép lấy đạo hàm đến cấp hai Cnk x k x  Lời giải Khai triển nhị th c iu-t n (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  Cn3 x3   Cnk x k   Cnn x n (1) đạo hàm hai vế (1) ta đư c n(1  x)n1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x   kCnk x k 1   nCnn x n1 (2) tiếp đạo hàm hai vế (2) ta đư c (n  1)n(1  x) n2  1.2Cn2 x  2.3Cn3x   ( k 1) kC nk x k 2   ( n 1) nC nnx n 2 (3) Thay x  vào hai vế (3) ta đư c S1  1.2Cn2  2.3Cn3  3.4Cn4   (k  1)kCnk  (n  1)nCnn  (n  1)n.2n2 Tư ng tự để tính t ng S ta c ng thực lấy đạo hàm đến cấp hai, trư c thực lấy đạo hàm cấp hai, ta tăng c x s hạng l n c h n hai vế (2) v i x ta đư c nx2 (1  x)n1  Cn1 x2  2Cn2 x3  3Cn3 x   kCnk x k 1   nCnn x n1 (4) Đạo hàm hai vế (4) ta đư c n  x(1  x) n1  (n  1) x (1  x) n2   1.2Cn1 x  2.3Cn2 x  3.4Cn3 x3   k (k  1)Cnk x k   n(n  1)Cnn x n (5) Thay x  vào hai vế (5) ta đư c S2  1.2Cn1  2.3Cn2  3.4Cn3   (k  1)kCnk 1  n(n  1)Cnn  2n2 (n2  3n) V dụ Ch ng minh r ng n   ta có: 12 Cn1  22 Cn2  32 Cn3   n2Cnn  n(n  1)2n2 Phân tích Để tính t ng vế trái đẳng th c tr n, tư ng tự ví ụ ta c ng thực lấy đạo hàm đến cấp hai c ng đ y c x l n h p l để c đư c t ng cần tính Lời giải Khai triển nhị th c iu-t n (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  Cn3 x3   Cnk x k   Cnn x n (1) đạo hàm hai vế (1) ta đư c n(1  x)n1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x   kCnk x k 1   nCnn x n1 (2) h n hai vế (2) v i x ta đư c nx(1  x)n1  Cn1 x  2Cn2 x  3Cn3 x3   kCnk x k   nCnn x n (3) Đạo hàm hai vế (3) ta đư c n(1  x)n1  (n  1)n.x(1  x)n2  12 Cn1  22 Cn2 x  32 Cn3 x   n2Cnn x n1 (4) Thay x  vào hai vế (4) ta đư c 12 Cn1  22 Cn2  32 Cn3   n2Cnn  n(n  1)2n2 (Đpcm) V dụ Tìm n   th a mãn: C21n1  2.2C22n1  3.22 C23n1  4.23 C24n1   k.(2)k 1 C2kn1   (2n  1)22 n C22nn11  2005 Phân tích Để tính t ng vế trái đẳng th c tr n ta thấy s hạng t ng c ng xuất thừa s kC2kn1 Đ y ấu hiệu để sử ụng phép toán đạo hàm Lời giải Khai triển nhị th c iu-t n (1  x)2 n1  C20n1  C21n1 x  C22n1 x  C23n1 x3   C2kn1 x k   C22nn11x n1 (1) đạo hàm hai vế (1) ta đư c (2n  1)(1  x)2 n  C21n1  2C22n1 x  3C23n1 x2   kC2kn1 x k 1   (2n  1)C22nn11 x n Thay x  2 vào hai vế (2) ta đư c (2) C21n1  2.2C22n1  3.22 C23n1  4.23 C24n1   k.(2)k 1 C2kn1   (2n  1)22 n C22nn11  2n  Từ giả thiết ta suy 2n   2005  n  1002 n 2  V dụ T m hệ s x khai triển nhị th c iu-t n  x   , x   iết r ng n s tự nhi n th a mãn 1.2n1 Cn1  2.2n2 Cn2  3.2n3 Cn3   k.2nk Cnk   nCnn  12.3n1 Phân tích Trư c hết ta t m n th a mãn giả thiết Ta tính t ng vế trái đẳng th c tr n Ta thấy xuất nh n tử 1, 2, 3, …, k, …, n s hạng t ng, đ ấu hiệu sử ụng phép toán đạo hàm để tính t ng Lời giải Khai triển nhị th c iu-t n (2  x)n  Cn0 2n  Cn1 2n1 x  Cn2 2n2 x2  Cn3 2n3 x3   Cnk 2nk x k   Cnn x n (1) Đạo hàm hai vế (1) ta đư c n(2  x)n1  Cn1 2n1  2Cn2 2n2 x  3Cn3 2n3 x   kCnk 2nk x k 1   nCnn x n1 (2) Thay x  ta đư c 1.2n1 Cn1  2.2n2 Cn2  3.2n3 Cn3   k.2nk Cnk   nCnn  n.3n1 Từ giả thiết ta c n.3n1  12.3n1  n  12 12 12  2 k 12  k  2  Xét khai triển nhị th c  x     C12 ( x )     C12k (2)k x365 k x  k 0   x  k 0 12 k S hạng ch a x tư ng ng v i k th a mãn 36  5k   k  V y hệ s x khai triển tr n 26 C126 Sử dụng t ch phân giải toán tổ hợp: Các d u hi u nh n bi t sử dụng phương pháp t ch phân t nh tổng: ếu t ng ãy t h p, s hạng ch a ph n s 1 1 1; ; ; ; ; ; mẫu s đư c xếp theo th tự tăng giảm theo m t n quy lu t đ , ta nghĩ đến việc sử ụng tích ph n Khi đ ta thực c sau Bước T m hàm để tính tích ph n v i c n thích h p Bước Tính tích ph n hai vế vế chưa khai triển nhị th c iut n vế khai triển Bước Cho hai kết Ch ng kết lu n Khi hệ s t ng c ạng bk  a k , ta ch n c n từ a đến , t c b  f ( x)dx a 1 1 Cnk   Cnn Tính t ng sau S  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   k 1 n 1 V dụ Phân tích: Mỗi s hạng t ng tr n c ạng Cnk , đ kết k 1 1 1 Cnk x k 1  Cnk V y để tính t ng S ta phép toán tích phân:  C x dx  k 1 k 1 0 k n k ch n nhị th c (1  x)n lấy tích ph n từ đến Lời giải: Ta có (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3   Cnk x k   Cnn x n 1 0 (1) Suy  (1  x) n dx   (Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnk x k   Cnn x n )dx 1 (1  x) n1 1 1      Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnk x k 1   Cnn x n1  n 1  k 1 n 1 0  2n1   1 1    Cn  Cn  Cn  Cn   Cnk   Cnn  n 1  k 1 n 1  2n1  V y S n 1 Tư g tự ế t h tổ g đa dấ 1 (1) k k (1) n n S1  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn   Cn ta cần tính tích ph n k 1 n 1 (1  x) n1 (1  x ) dx    0 n 1 n 1 n 10 1 (1) k k (1) n n Suy S1  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn   Cn  k 1 n 1 n 1 22  1 23  2k 1  k 2n1  n Tính t ng S  C  Cn  Cn   Cn   Cn k 1 n 1 V dụ n Phân tích: Các s hạng t ng c ch a ph n s , mẫu s đư c xếp theo th tự tăng m t đ n vị, ta nghĩ đến việc sử ụng tích ph n B y gi ta suy nghĩ hàm lấy tích ph n c n tích ph n V s hạng cu i c hệ s 2n 1  nên ta iết c n từ đến t ng không đan ấu n n ta sử ụng n 1  (1  x) dx n Lời giải Ta có (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3   Cnk x k   Cnn x n 2 1 Suy  (1  x) n dx   (Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnk x k   Cnn x n )dx 2 (1  x) n1 1 1      Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x   Cnk x k 1   Cnn x n1  n 1  k 1 n 1 1 3n1  2n1  22  1 23  2k 1  k 2n1  n     Cn  Cn  Cn   Cn   Cn  n 1 k 1 n 1   3n1  2n1 V y S n 1 V dụ Cho n * Ch ng minh r ng 1 1 2Cn0  Cn1 22  Cn2 23  Cn3 24   (1) n Cnn 2n1  1  (1) n  n 1 n 1 Phân tích Vế trái c ch a ph n s , ta nghĩ đến việc sử ụng tích ph n V s hạng cu i c hệ s 2n 1 n n ta iết c n tích ph n từ đến t ng n 1 đan ấu n n ta sử ụng  (1  x) n dx Lời giải Khai triển (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3   (1)k Cnk x k   (1)n Cnn x n 11 Suy  (1  x) n 1  n (1  x ) dx    1  (1) n  (1) 0   n 1  n 1  2  (C n  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   (1) k Cnk x k   (1) n Cnn x n )dx 1 1    Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x   (1) k Cnk x k 1   (1) n Cnn x n 1  k 1 n 1  0 1 1  Cn0  Cn1 22  Cn2 23   (1) k Cnk 2k 1   (1) n Cnn 2n 1 (2) k 1 n 1 Từ (1) (2) suy 1 1 2Cn0  Cn1 22  Cn2 23  Cn3 24   (1) n Cnn 2n1  1  (1) n  n 1 n 1 V dụ Cho n * Ch ng minh r ng 1 n1 22 n  C2 n  C2 n  C2 n  C2 n  2n 2n  Phân tích Các s hạng t ng vế trái xuất ấu hiệu phép tính tích ph n, ch ch a C2kn v i k lẻ V y ta xét khai triển để triệt ti u C2kn v i k chẵn Lời giải Xét khai triển (1  x)2 n  C20n  C21n x  C22n x  C23n x3   C2kn x k   C22nn x n (1) (1  x)2 n  C20n  C21n x  C22n x  C23n x3   (1) k C2kn x k   C22nn x n (2) Trừ vế v i vế (1) (2) ta đư c (1  x) n  (1  x) n  2(C21n x  C23n x3   C22nn1 x n1 )  Suy ra: (1  x) n  (1  x) n  C21n x  C23n x3   C22nn1 x n1 (1  x) n  (1  x) n dx   (C21n x  C23n x   C22nn 1 x n 1 )dx 0 1  (1  x) n 1  (1  x) n 1   1     C2 n x  C2 n x   C22nn1 x n   2(2n  1) 2n 0  0 2 1 n 1 22 n   C2 n  C2 n   C2 n  2n 2n  12 h n xét P( x)  1 ếu phải tính t ng C20n  C22n  C24n  C22nn ta xét 2n  (1  x)2 n  (1  x) n  C20n  C22n x  C24n x   C22nn x n Sau đ tính tích ph n  P( x)dx  22 n 2n  1 22 n 2n Ta đư c C  C2 n  C2 n  C2 n  2n  2n  2n Bài t p tương t : 2 22 n1 2n Cho n * Ch ng minh r ng 2C  C2 n  C2 n  C2 n  2n  2n  2n 2 1   C22nn   C20n  C22n  C24n  C22nn  Ta có: 2C20n  C22n  C24n  2n  2n    Từ kết ví ụ ta c điều phải ch ng minh Cho n * Ch ng minh r ng 1 1 1 2n1  Cn  Cn  Cn   Cnk   Cnn  3(k  1) 3(n  1) 3(n  1) Ta có: 1 1 1 Cn  Cn  Cn   Cnk   Cnn 3(k  1) 3(n  1) 1 1 1    Cn0  Cn1  Cn2   Cnk   Cnn  3 k 1 n 1  Áp ụng kết ví ụ ta c điều phải ch ng minh 3.Ch ng minh r ng 1 1 (1) k (1) n n k Cn  Cn  Cn  Cn   Cn   Cn  2(k  1) 2(n  1) 2(n  1) Nh xét Khi ài toán cho mà s hạng t ng quát Cnk th ta phải nh n th m x vào hàm đa th c c k2 13 Cnk mà k 1 ản trư c tính tích phân, c n Cnk th ta phải nh n th m x vào hàm đa th c c k 3 ản trư c tính tích ph n,… 1 1 V dụ Tính t ng S  Cn0  Cn1  Cn2   Cnk   Cnn k 2 n2 Phân tích Các s hạng t ng c ch a ph n s , ta nghĩ đến việc sử ụng tích ph n V s hạng c ạng Cnk , n n ta phải nhân thêm x vào k2 ản trư c tính tích ph n Khi đ ta sử ụng  x(1  x) n dx hàm s c Lời giải Xét x(1  x)n  x(Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3   Cnn x n ) 2n 1  2n 1   (1  x) n  (1  x) n 1  0 x(1  x) dx  0 (1  x) dx  0 (1  x) dx   n   n    n   n   0 1 n n 1 n n2n1   (n  1)(n  2) 1 0 2 3 n n 2 3 n n 1  x(Cn  Cn x  Cn x  Cn x   Cn x )dx   (Cn x  Cn x  Cn x  Cn x   Cn x )dx 1 1 1    Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n   n2 2 0 1 1  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn n2 1 1 1 n2n1  k n Cn   Cn  Suy S  Cn  Cn  Cn   k 2 n2 (n  1)(n  2) Tư g tự ta t h tổ g đa dấ : 1 (1) k k (1) n n S1  Cn0  Cn1  Cn2   Cn   Cn k 2 n2 B ng cách sử ụng tích ph n  x(1  x) dx n Đặt u   x  du  dx Đ i c n x   u  1; x   u  14 Khi đ u n  1  u n1 x (1  x ) dx  (1  u ) u du   0 0  n  n    n   n   (n  1)(n  2)  0 1 n n 1 1 (1) k k (1) n n Suy S1  Cn  Cn  Cn   Cn   Cn  k 2 n2 (n  1)(n  2) V dụ Cho n * Ch ng minh r ng 1 2 3 k n (n  1)2n  Cn  Cn  Cn   Cnk   Cnn  k 1 n 1 n 1 Phân tích Vế trái c ch a ph n s , ta nghĩ đến việc sử ụng tích ph n B ng cách ph n tích s hạng t ng quát k  k  Cnk  1   Cn , cho ta t ng k 1  k 1 1 1  (Cn1  Cn2  Cn3   Cnn )   Cn1  Cn2  Cn3   Cnn  Từ đ ta sử ụng n 1  2   (1  x) n dx n Lời giải Cách 1: Xét s hạng t ng quát vế trái k  k  Cnk  1   Cn v i k 1  k 1 k  0,1,2, , n Do đ 1 2 3 k n Cn  Cn  Cn   Cnk   Cnn  k 1 n 1 1 1  Cnn  = (Cn1  Cn2  Cn3   Cnn )   C1n  Cn2  Cn3   n 1  2 2n1  ( n  1)2 n 1  =   (1  x) dx   n 1 n 1 n n n Cách 2: Xét (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3   Cnn x n (1) đạo hàm hai vế (1) ta đư c n(1  x)n1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x   nCnn x n1 (2) Nh n hai vế (2) v i x ta đư c nx(1  x)n1  Cn1 x  2Cn2 x  3Cn3 x3   nCnn x n Ta có 15 (3) 1 0 n 1 n n 1  nx(1  x) dx  n  (1  x)  (1  x) dx n (n  1)2n   (1  x) n1 (1  x) n  n 1 n  n   (2  1)  (2  1)  n  n  n 1  n 1   C x  2C n n n x  3Cn3 x3   nCnn x n dx  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn n 1 Từ (3) suy 1 2 3 k n (n  1)2n  Cn  Cn  Cn   Cnk   Cnn  k 1 n 1 n 1 V dụ Cho n * Ch ng minh r ng 1 1 (1)n n n Cn  Cn  Cn   (1) Cn  n 1 n n 1 n 1 Phân tích Các s hạng vế trái ch a ph n s v i mẫu giảm ần t ng đan ấu, n n ta sử ụng  ( x  1) dx n Lời giải Ta có ( x  1)n  Cn0 xn  Cn1 x n1  Cn2 x n2  Cn3 x n3   (1)k Cnk x nk  Cnn (1)n ( x  1)n1 (1) n  Khi đ  ( x  1) dx  n 1 n 1 n  C n x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n 2  Cn3 x n 3   (1) k Cnk x n k  Cnn (1) n dx 1 1    Cn0 x n 1  Cn1 x n  Cn2 x n 1  Cn3 x n 2   Cnn (1) n x  n n 1 n2 n 1 0 1 1  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn (1) n n 1 n n 1 n2 V y ta c 1 1 (1)n n n Cn  Cn  Cn   (1) Cn  n 1 n n 1 n 1 Bài t p tương t : 2014  C2015  C2015   C2015 Tính t ng S  C2015 2015 Cho n * Ch ng minh r ng 16 (1) 1 3n1  2Cn0  Cn1 22  Cn2 23   Cnn 2n1  n 1 n 1 1 1 Tính t ng S  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn n3 Tính t ng 1 1 Cn0  Cn1  Cn2   Cnk   Cnn n 1 n n 1 n  k 1 Tìm n * th a mãn C21n1 22 n  2C22n1 3.22 n1  3C23n1 3222 n2  4C24n1 3322 n3   (2n  1)C22nn11 32 n  2009 Tính t ng S  Cn0  32  1 33  3k 1  k 3n1  n Cn  Cn   Cn   Cn k 1 n 1 Cho n * Ch ng minh r ng a) 1.Cn0  2.Cn1  3.Cn2   (n  1)Cnn  (n  2).2n1 b) 2.1.Cn2  3.2.Cn3   n(n  1)Cnn  n(n  1).2n2 c) C101  2.9.C102  3.92.C103   9.98.C109  10.99.C1010  1010 T m s nguy n ng n cho 0 1 1 32012  n n Cn  Cn   Cn  n 1 4024 26 25 24 23 22 21 20 Tính t ng T  C6  C6  C6  C6  C6  C6  C6 n 1 1 1 1 10 Tính t ng S  1.  Cn1    Cn2   n   Cnn 2 2  2 1  1 11 Tính t ng S  Cn1  Cn2   (1) n1.Cnn  1     n  n 12 Tính t ng S  1.Cn0 2.Cn1 3.Cn2 (n  1).Cnn     , iết Cn0  Cn1  Cn2  211 1 1 A1 A2 A3 An1 1 1  Cnn  HD : Phân tích S  (Cn0  Cn1  Cn2   Cnn )   Cn1  Cn2   n 1  2 K t hi u m ng ại Qua thực tế áp ụng nh n thấy em h c sinh iết v n dụng m t cách linh hoạt phư ng pháp đạo hàm tích phân vào ài toán cụ thể t 17 h ng thú v i phư ng pháp Không em biết áp dụng v i nhiều kiểu khác cho làm kết h p v i ạng ài t p khác +) Bảng t ng h p điểm ài kiểm tra đ i ch ng (ĐC) tr nh thực nghiệm (T ) Loại Phương i m tr án Số ạt i m trung bình (0  10) Tổng 2 >2 3,5 5 6,5 < 3,5 [...]... …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 20 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐIỆN BIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN SỬ DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP Tác giả: Phạm Thị Hà Định Đơn vị công tác: Tổ Toán –Tin Đi n Biên tháng 4 năm 0 5 21 ...  Cnn  HD : Phân tích S  (Cn0  Cn1  Cn2   Cnn )   Cn1  Cn2   3 n 1  2 4 K t quả hi u quả m ng ại Qua thực tế áp ụng tôi nh n thấy các em h c sinh đã iết v n dụng m t cách linh hoạt phư ng pháp đạo hàm và tích phân vào từng ài toán cụ thể và t 17 ra h ng thú v i phư ng pháp này Không những thế các em còn biết áp dụng v i nhiều kiểu bài khác nhau khi cho làm kết h p v i các ạng ài t p...   Cn   Cn 2 3 k 1 n 1 V dụ 0 n Phân tích: Các s hạng trong t ng c ch a các ph n s , mẫu s đư c xếp theo th tự tăng đều m t đ n vị, ta nghĩ ngay đến việc sử ụng tích ph n B y gi ta suy nghĩ hàm lấy tích ph n và các c n tích ph n V s hạng cu i cùng c hệ s 2n 1  1 nên ta iết c n từ 1 đến 2 và t ng không đan ấu n n ta sử ụng n 1 2  (1  x) dx n 1 Lời giải Ta có (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2... ài toán cho mà s hạng t ng quát không phải là 1 Cnk th ta phải nh n th m x vào hàm đa th c c k2 13 1 Cnk mà là k 1 ản trư c khi tính tích phân, c n nếu là 1 Cnk th ta phải nh n th m x 2 vào hàm đa th c c k 3 ản trư c khi tính tích ph n,… 1 1 1 1 1 V dụ 5 Tính t ng S  Cn0  Cn1  Cn2   Cnk   Cnn 2 3 4 k 2 n2 Phân tích Các s hạng trong t ng c ch a các ph n s , ta nghĩ đến việc sử ụng tích. .. l p 12 6 Ki n nghị xu t: Đề tài n n đư c nh n r ng trong các trư ng T PT trong t nh để g p phần n ng cao chất lư ng ạy và h c môn Toán / 18 Tài i u th m hảo 1.Tài liệu giáo khoa theo chư ng tr nh n ng cao và sách giáo khoa chuy n toán 2.Tạp chí toán h c và tu i trẻ 3 .Các ài thi Olympic toán T PT Việt am và các đề thi đại h c 4.Mạng Internet 19 ĐÁNH GIÁ NHẬN XẾT CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH... Cn  Cn  Cn   Cnk   Cnn  2 3 4 k 1 n 1 n 1 Phân tích Vế trái c ch a các ph n s , ta nghĩ đến việc sử ụng tích ph n B ng cách ph n tích s hạng t ng quát k 1  k  Cnk  1   Cn , cho ta t ng k 1  k 1 1 1 1 1  (Cn1  Cn2  Cn3   Cnn )   Cn1  Cn2  Cn3   Cnn  Từ đ ta sử ụng 3 4 n 1  2 1 2   (1  x) n dx n 0 Lời giải Cách 1: Xét s hạng t ng quát ở vế trái k 1  k  Cnk... (1) và (2) suy ra 1 1 1 1 1 2Cn0  Cn1 22  Cn2 23  Cn3 24   (1) n Cnn 2n1  1  (1) n  2 3 4 n 1 n 1 V dụ 4 Cho n * Ch ng minh r ng 1 1 1 3 1 5 1 2 n1 22 n  1 C2 n  C2 n  C2 n  C2 n  2 4 6 2n 2n  1 Phân tích Các s hạng trong t ng vế trái xuất hiện ấu hiệu của phép tính tích ph n, nhưng ch ch a các C2kn v i k lẻ V y ta xét các khai triển để triệt ti u các C2kn v i k chẵn Lời giải. .. nh của các l p trong T cao h n điểm ĐC + Điểm khá, gi i trong T tăng ần qua các ài kiểm tra Ch ng t khả năng tư uy của các em đư c n ng ần qua việc rèn luyện và hệ th ng các phư ng pháp giải quyết vấn đề cho các em h c sinh 5 Đánh giá v phạm vi ảnh hưởng củ sáng i n Đề tài đư c triển khai n ng cao chất lư ng h c t p của h c sinh l p 11 và l p 12 6 Ki n nghị xu t: Đề tài n n đư c nh n r ng trong các trư... ng 1 1 1 1 1 2Cn0  Cn1 22  Cn2 23  Cn3 24   (1) n Cnn 2n1  1  (1) n  2 3 4 n 1 n 1 Phân tích Vế trái c ch a các ph n s , ta nghĩ ngay đến việc sử ụng tích ph n V s hạng cu i cùng c hệ s 2n 1 n n ta iết c n tích ph n từ 0 đến 2 và t ng n 1 2 đan ấu n n ta sử ụng  (1  x) n dx 0 Lời giải Khai triển (1  x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  Cn3 x3   (1)k Cnk x k   (1)n Cnn x n 11... các ạng ài t p khác +) Bảng t ng h p điểm các ài kiểm tra đ i ch ng (ĐC) và trong quá tr nh thực nghiệm (T ) Loại bài Phương i m tr án Số bài ạt i m trung bình (0  10) Tổng bài 0 2 >2 3,5 5 6,5 < 3,5 ... 20 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐIỆN BIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN SỬ DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP Tác giả: Phạm Thị Hà Định Đơn vị công tác: Tổ Toán –Tin Đi n... hư ng giải toán đại s t h p, đặc iệt ài toán c li n quan đến nhị th c iu-t n 3.2.2 Giải pháp th c hi n: Sử dụng ạo hàm giải toán ại số tổ hợp: Các d u hi u nh n bi t sử dụng phương pháp ạo hàm. ..SỬ DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP Tác giả: Phạm Hà Định Giáo viên THPT chuyên Lê Quý Đôn 1.S c n