Đang tải... (xem toàn văn)
trình bày phương pháp số trị trong nghiên cứu và phục vụ khí tượng thủy văn
Bộ Tài nguyên và Môi trờng Viện Khí tợng Thuỷ văn Phơng pháp số trị trong nghiên cứu và phục vụ khí tợng thuỷ văn Hµ néi, 1/2005 2 Chơng I các phơng trình cơ bản của cơ học chất lỏng 1.1 Các phơng pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng Có hai phơng pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng. Phơng pháp thứ nhất là phơng pháp Lagrange. Phơng pháp này khảo sát chuyển động của từng hạt lỏng trong không gian và theo thời gian. Phơng pháp thứ hai là phơng pháp Euler, khảo sát biến trình thời gian của các tính chất vật lý của chất lỏng tại những điểm cố định trong không gian. Trong bài giảng này, chỉ trừ khi nói rõ ràng, ta mặc nhiên thừa nhận là phơng pháp Euler sẽ đợc dùng để mô tả chuyển động của chất lỏng do tính thuận tiện của nó. Trong phơng pháp này, một hệ tọa độ cần đợc thiết lập và chuyển động của chất lỏng đối với hệ tọa độ đó sẽ đợc xem xét. Hệ tọa độ này có thể là hệ tọa độ đợc vẽ trên hình 1.4. Ngoài ra, đôi khi phơng pháp Lagrange cũng đợc sử dụng. Khi đó, nó sẽ đợc phát biểu rõ ràng. 1.2 Đạo hàm thời gian Giả thiết rằng ta dùng phơng pháp Lagrange để mô tả chuyển động của chất lỏng và khảo sát sự thay đổi của một tính chất vật lý s của một hạt lỏng chuyển động cùng với chất lỏng. Tốc độ thay đổi toàn bộ của tính chất vật lý này có thể đợc chia thành hai phần: một phần biểu thị thay đổi theo thời gian của tính chất vật lý tại vị trí cho trớc và một phần biểu thị sự thay đổi của tính chất vật lý gây ra do sự thay đổi vị trí của hạt lỏng. Nh vậy, có thể viết ph- ơng trình sau: i i x s u t s dt ds + = (1.1) ở đây, quy định Eistein về việc tổng đợc lấy theo chỉ số lặp lại trong một số hạng đơn đã đợc áp dụng. Trong phơng trình (1.1), ký hiệu dtd / biểu thị tốc độ thay đổi toàn phầncủa tính chất vật lý s của hạt lỏng và đợc coi là đạo hàm toàn phần hoặc là đạo hàm Lagrange. Ký hiệu t / biểu thị tốc độ thay đổi theo thời gian của tính chất vật lý tại một điểm cố định và đợc gọi là tốc độ thay đổi địa phơng theo thời gian của tính chất vật lý đó. 1.3 Phơng trình thể tích kiểm tra Hình1.1 chỉ ra một thể tích kiểm tra cố định trong không gian trong một hệ tọa độ cho trớc. Tại một thời gian cho trớc t nào đó, một khối chất lỏng lấp đầy thể tích kiểm tra này. Một lát sau, tại thời điểm t + t , một phần của khối chất lỏng này đã chảy ra khỏi thể tích kiểm tra và chất lỏng từ ngoài thể tích kiểm tra sẽ chảy vào trong để thay thế. 3 Hình 1.1 Thể tích kiểm tra và khối chất lỏng tại các thời điểm t và t + t . Giả thiết là B biểu thị tổng lợng của một tính chất nào đó của chất lỏng (nh khối lợng, động lợng hay nhiệt lợng v.v) chứa trong thể tích kiểm tra V . Ký hiệu b là lợng của B trên một đơn vị khối lợng (mật độ của B ) sao cho: = V bdVB (1.2) Định luật bảo toàn của tính chất vật lý yêu cầu rằng tốc độ thay đổi tổng cộng của tính chất vật lý bên trong thể tích kiểm tra bằng tốc độ thay đổi địa phơng của tính chất vật lý cộng với tốc độ của tính chất vật lý ra khỏi thể tích kiểm tra trừ đi tốc độ của tính chất vật lý đi vào trong thể tích kiểm tra. Điều này khi thể hiện bằng phơng trình thì có thể đợc viết nh sau: t BB bdV tdt dB inout t CV + = 0 lim (1.3) ở đây out B và in B lần lợt là lợng của tính chất vật lý ra khỏi và đi vào thể tích kiểm tra trong khoảng thời gian t . Hình 1.2 Một diện tích vô cùng bé trên bề mặt của thể tích kiểm tra Bởi vì tính chất B chuyển động cùng với chất lỏng, tốc độ chảy ra của B từ thể tích kiểm tra chỉ có thể là hàm số của vận tốc dòng chảy trên bề mặt thể tích kiểm tra. Nh chỉ ra trên 4 O x y z Thể tích kiểm tra hình 1.2, khối lợng chất lỏng chảy ra khỏi thể tích kiểm tra trong khoảng thời gian t qua một diện tích rất nhỏ trên bề mặt thể tích kiểm tra là ( ) tAnu với n là vector đơn vị vuông góc với phần tử bề mặt A và hớng ra ngòai. ( ) nu ký hiệu tích vô hớng của hai vector. Đại l- ợng B chảy ra khỏi phần tử bề mặt trong khoảng thời gian vô cùng bé này sẽ là ( ) tAnub . Tích phân trên toàn bộ bề mặt cho ta: ( ) dAnub t BB S inout t lim 0 = (1.4) Nh vậy, phơng trình (1.3) có thể đợc viết là: ( ) dAnubbdV tdt dB SCV + = (1.5) với S là diện tích của bề mặt thể tích kiểm tra. Nếu nh không có điểm nguồn hoặc điểm hút của tính chất vật lý ở bên trong thể tích kiểm tra thì ta sẽ có phơng trình sau: ( ) 0 =+ = dAnubbdV tdt dB SCV (1.6) Tại điểm này, ta có đợc phơng trình bảo toàn cho thể tích kiểm tra. Tuy nhiên, rất khó đánh giá từng số hạng trong phơng trình (1.6). Để có thể làm đợc điều này, nh đã chỉ ra trên Hình 1.3, thể tích kiểm tra đợc chia nhỏ thành một số vô hạn các thể tích kiểm tra vô cùng bé. Sau đó, thay vì khảo sát tốc độ chảy của tính chất vật lý ra khỏi thể tích kiểm tra, ta khảo sát tốc độ chảy của tính chất vật lý ra khỏi mỗi thể tích kiểm tra vô cùng bé. Tốc độ chảy ra khỏi một thể tích nh thế này trừ đi tốc độ chảy vào thể tích này là: ( ) ( ) Vuzyx z u y u x u yxuzxuzyu xyz z u uzxy y u uzyx x u u z y x zyx z z y y x x = + + =++ ++ ++ + (1.7) ở đây zkyjxi ++= /// với ji , và k lần lợt là các vector đơn vị theo các hớng x , y và z . Lấy tổng của tất cả tốc độ chảy ra từ mỗi thể tích kiểm tra với giới hạn là thể tích của mỗi phần tử tiến tới zero sẽ cho ta tốc độ chảy ra từ thể tích kiểm tra. Sau đó, dùng định lý phân kỳ để liên hệ giữa các tích phân thể tích và bề mặt, ta có: ( ) ( ) dVubdAnub CVS = (1.8) Nh vậy, từ các phơng trình (1.5), (1.6) và (1.8), ta có thể rút ra phơng trình sau: ( ) ( ) 0 = + dVubb t CV (1.9) 5 Hình 1.3 Các thể tích vô cùng bé bên trong thể tích kiểm tra Bởi và thể tích kiểm tra CV là tuỳ ý chọn, rõ ràng là nếu có một điểm trong không gian mà tại đó đại lợng trong ngoặc vuông bên vế trái của phơng trình (1.9) khác zero, ta có thể điều chỉnh thể tích kiểm tra sao cho nó chỉ chứa điểm này. Điều này có nghĩa là tích phân bên vế trái của phơng trình (1.9) khác zero và phơng trình này không đợc thỏa mãn đối với thể tích kiểm tra này. Nh vậy, để đảm bảo là phơng trình (1.9) đợc thỏa mãn cho toàn bộ miền tính, đại lợng trong ngoặc vuông ở vế trái của phơng trình (1.9) phải là zero tại tất cả mọi điểm trong miền nghiên cứu. Hay nói cách khác: ( ) ( ) 0 =+ ubb t (1.10) 1.4 Định luật bảo toàn vật chất và phơng trình liên tục Nếu nh đại lợng vật lý nói ở trên đợc lấy là khối lợng chất lỏng thì b trong phơng trình (1.10) bằng 1, và phơng trình bảo toàn vật chất trở thành ( ) 0 =+ u t or ( ) 0 = + i i u xt (1.11) Phơng trình (1.11) thờng đợc gọi là phơng trình liên tục của dòng chảy lỏng. 1.5 Định luật bảo toàn động lợng và phơng trình chuyển động 1.5.1 Phơng trình chuyển động của Cauchy Phơng trình chuyển động đợc rút ra bằng cách liên hệ B với động lợng của toàn hệ thống. Động lợng là một đại lợng vector, là tích của khối lợng và vận tốc. Nh vậy, b là vector vận tốc u . Từ định luật chuyển động của Newton, tốc độ thay đổi của động lợng trong một hệ với khối lợng bất biến bằng lực tác dụng: 6 F dt Bd = (1.12) ở đây F là lực tác dụng lên hệ. Nh vậy bằng cách sử dụng phơng trình (1.12), phơng trình (1.5) trở thành: ( ) ( ) dAnuudVu t F SCV + = (1.13) Trong đó F là tổng của tất cả các lực tác dụng lên chất lỏng trong thể tích kiểm tra. Ký hiệu lực tác động lên một đơn vị khối lợng lỏng (mật độ lực) là f , ta có: = CV dVfF (1.14) Dùng định lý phân kỳ và phơng trình (1.14), có thể viết phơng trình (1.13) cho mỗi thành phần trên mỗi hớng nh sau: ( ) ( ) 0 = CV ji j ii dVuu x u t f (1.15) Bởi vì thể tích kiểm tra là tuỳ ý, từ phơng trình (1.15) ta có thể rút ra phơng trình sau: ( ) ( ) iji j i fuu x u t = + (1.16) Dùng phơng trình liên tục (Eq. 1.11), ta có thể viết lại phơng trình (1.16) nh sau: i j i j i f x u u t u = + (1.17) Hình 1.4 Lực áp suất theo hớng x Phơng trình (1.17) là phơng trình Cauchy của chuyển động của chất lỏng. Số hạng đầu tiên trong vế trái của phơng rình biểu thị tốc độ thay đổi địa phơng của động lợng tại một điểm trong khi số hạng thứ hai biểu thị tốc độ thay đổi của động lợng tại điểm đó gây ra do dòng chảy (ảnh hởng của hiện tợng bình lu). Đối với một bài toán thông thờng, chỉ có áp suất, ứng suất cắt và trọng lực là cần đợc xem xét. á p suất d tác động lên một đơn vị thể tích của chất lỏng có thể tìm đợc dễ dàng bằng cách xem xét hình lập phơng vô cùng bé nh chỉ ra trên hình 1.4. Trong hình, chỉ có lực áp suất tác động lên các bề mặt vuông góc với trục x là đợc vẽ. Lực áp suất d tác động theo hớng x lên 7 một đơn vị thể tích là: x p zyx x p pzyp V = + 1 (1.18) ứ ng suất cắt tác động theo hớng x lên một thể tích vô cùng bé đợc chỉ ra trên hình 1.5. Trong hình, chỉ số thứ nhất của chỉ trục tọa độ vuông góc với bề mặt của hình lập phơng và chỉ số thứ hai chỉ ra hớng của thành phần của ứng suất. Thành phần của ứng suất tác động theo hớng vuông góc với bề mặt đợc bao hàm trong áp suất và nh vậy không đợc tính đến. Nh đã chỉ ra trong hình, lực d trên một đơn vị thể tích do ứng suất nhớt gây ra theo hớng i là: ( ) j ji zi yi xi i xzyx f = + + = (1.19) Hình 1.5 ứ ng suất cắt theo hớng x trên thể tích vô cùng bé Trọng lực theo hớng i là tích của trọng lợng của phần tử đợc xem xét nhân với cosine của góc giữa phơng thẳng đứng và hớng i . ( ) i g i x h gf = (1.20) ở đây, chiều dơng của h hớng lên phía trên. Tiếp theo, dùng các phơng trình từ (1.18) tới (1.20), phơng trình (1.17) trở thành: j ji iij i j i xx h g x p x u u t u = + (1.21) Phơng trình (1.21) chứa tensor ứng suất cắt . Để có thể viết đợc phơng trình này dới dạng áp dụng đợc, tensor này nhất định phải đợc biểu thị dới dạng những đại lợng cơ bản nh vận tốc và những đạo hàm của nó. Để có thể làm đợc việc này, ta phải xem xét xem chất lỏng chuyển động ra sao. 1.5.2 Chuyển dịch, quay và vận tốc biến dạng Hãy xem xét một điểm 0 i x trong một chất lỏng mà tại đó vận tốc là 0 u (xem Hình 1.6). Tại một điểm lân cận với tọa độ là xx i + 0 , vận tốc là uu + 0 . Giả thiết rằng u là một hàm liên tục của các biến không gian thì ta có thể khai triển Taylor hàm này tại lân cận điểm 0 i x nh sau: 8 ( ) !2 2 2 2 00 + + +=+ i i i i x x u x x u uuu (1.22) Bỏ qua các số hạng bậc hai và nhỏ hơn, từ phơng trình (1.22) ta có thể rút ra phơng trình sau: j j i i x x u u = (1.23) Hay, bằng cách cộng vào và trừ đi những số hạng giống nhau vào vế phải của phơng trình (1.23), ta có: j i j j i j i j j i i x x u x u x x u x u u + + = 2 1 2 1 (1.24) Nh vậy tensor ji xu / đã đợc chia thành một tensor bất đối xứng ij và một tensor đối xứng ij d lần lợt đợc định nghĩa nh sau: = i j j i ij x u x u 2 1 (1.25) + = i j j i ij x u x u d 2 1 (1.26) Hình 1.6 Chuyển động của những điểm lân cận Hình 1.7 Một phần tử lỏng ở vị trí ban đầu 9 Hình 1.8 Chuyển động của phần tử lỏng Hãy xem xét một phần tử lỏng hình chữ nhật với một góc nằm tại gốc tọa độ, nh trên hình 1.7. Chất lỏng chuyển động với vận tốc biến đổi trong không gian và vận tốc chuyển động của chất lỏng tại gốc tọa độ là 0 u , vận tốc tại điểm a là ( ) yyuuu a += / 0 , và vận tốc tại điểm c là ( ) xxuuu c += / 0 . Hãy xem xét hạt lỏng này sau một khoảng thời gian t, nh thấy trên hình 1.8. Điểm o chuyển động đợc một quãng đờng tu 0 , điểm a chuyển động đợc một quãng đờng tu a , v.v. Bởi vì vận tốc chuyển động tại các điểm khác nhau nói chung là khác nhau một chút, phần tử lỏng đã bị biến dạng và không còn là hình chữ nhật nữa. Để có thể thấy rõ tính chất của sự biến dạng này, trớc hết ta hãy xem xét trờng hợp: x u y u y x = và 0 = = y u x u y x (1.27) Bởi vì không có sự biến đổi vận tốc chuyển động theo hớng x dọc theo trục x , các cạnh a-b và o-c không dài ra và cũng không ngắn đi; tơng tự, các cạnh o-a và b-c cũng giữ nguyên chiều dài. Sau một khoảng thời gian t , hạt lỏng trở thành hình dạng nh trên hình 1.9. Điểm a đã chuyển động đợc một quãng đờng dài hơn một khoảng là tyyu x / theo hớng x so với điểm o, và điểm c đã chuyển động đợc một quãng đờng dài hơn một khoảng là txxu y / theo hớng y so với điểm o. Góc giữa cạnh o-a và phơng thẳng đứng là tyu x / ; góc giữa cạnh o-c và phơng nằm ngang là txu y / . Nh vậy, với những giả thiết nh trên, phần tử lỏng đã trải qua một quá trình dịch chuyển vị trí và quay. Mở rộng lý luận cho ba chiều, ta thấy rằng điều kiện cho chuyển động nh thế này là 0 ij và 0 = ij d . Xem xét tiếp tensor ij ta thấy rằng nó mô tả chuyển động quay của phần tử lỏng. 10 [...]... ẩn bậc 1 và sẽ cho một phơng trình tơng tự nh phơng trình (3.30) 3.4 Phơng pháp thể tích hữu hạn và các sơ đồ sai phân tơng ứng cho bài toán 1 chiều Ta đã nghiên cứu rất kỹ về phơng pháp sai phân hữu hạn để có đợc một khái niệm tổng thể về các sơ đồ số trị Tuy nhiên, trong thực tế, phơng pháp sai phân hữu hạn ít đợc sử dụng trong số trị cơ học chất lỏng Thông thờng, ngời ta sử dụng phơng pháp thể tích... thuận tiện, ta đã không dùng chỉ số trên để biểu thị các giá trị cha biết mà dùng chỉ số dới j Ta sẽ quy định là j biểu thị giá trị tại bớc thời gian hiện tại và j+1 biểu thị giá trị tại bớc thời gian tơng lai Ta sẽ sử dụng phơng pháp lặp để giải hệ phơng trình này Ký hiệu các giá trị với chỉ số trên n+1 là nghiệm tại bớc lặp n+1 và các giá trị có chỉ số trên n là giá trị tại bớc lặp n, ta có phơng trình... Navier-Stokes bằng phơng pháp giải tích Cần phải dùng phơng pháp số trị để tìm nghiệm của hệ phơng trình trên Thay vì tìm nghiệm liên tục theo không gian và thời gian nh phơng pháp giải tích, phơng pháp số trị tìm nghiệm tại các điểm rời rạc, đợc gọi là các điểm lới Để tìm đợc nghiệm theo dạng này, cần phải tìm các phơng trình của hệ tại các điểm lới tơng ứng Có một số phơng pháp biểu thị nh phơng pháp sai phân... phơng pháp lặp Jacobi Phơng pháp này đảm bảo hội tụ cho tất cả các giá trị r và rất thuận tiện cho việc lập chơng trình trên các máy vector và máy song song Bởi vậy, phơng pháp này là một trong những phơng pháp đợc áp dụng rộng rãi hiện nay 3.5.2 Phơng pháp lặp Gauss-Seidel Phơng pháp lặp Gauss-Seidel sử dụng công thức sau: Ti ( n +1) = b r ( ( (Ti n ) + Ti +n ) ) + i 1 1 2(r + 1) 1+ r (3.46) Phơng pháp. .. đợc phân tách thành tổng của hai thành phần: một thành phần trung bình và một thành phần nhiễu động (phân tách Reynolds) nh sau: U i = U i + ui , P = P + p (2.3) Trong đó U và P biểu thị vận tốc và áp suất trung bình (tính theo phơng pháp trung bình Reynolds) và u và p biểu thị các giá trị nhiễu động của vận tốc và áp suất Giá trị trung bình Reynolds của các thành phần nhiễu động là bằng 0 Vì vậy:... phơng pháp sai phân hữu hạn, phơng pháp thể tích hữu hạn, phơng pháp phần tử hữu hạn v.v Trong bài giảng này, ta sẽ xét chủ yếu phơng pháp sai phân hữu hạn và mở rộng tới phơng pháp thể tích hữu hạn 3.1 Lới sai phân không gian y x Một lới sai phân không gian đợc thể hiện trên hình 3.1 Trong hình, và đợc gọi là bớc lới theo các trục x và y Nói chung, bớc lới là hằng số, nhng có thể khác nhau theo các... t i n t 2 + i (3.22) Trong đó các giá trị có chỉ số n+1 chỉ các giá trị tại bớc thời gian sau (với các giá trị cha biết, hay ẩn), các giá trị có chỉ số n chỉ bớc thời gian hiện tại (đã biết), t là bớc thời gian Bố trí của lới không gian và thời gian đợc chỉ trên hình (3.3) Đồng thời, nếu ta sử dụng sai phân trung tâm để biểu thị đạo hàm không gian và dùng các giá trị tại thời điểm hiện tại để... + Sdx = 0 dx e dx w w (3.32) Hình 3.6 Thể tích kiểm tra dùng trong phơng pháp thể tích hữu hạn Trong đó chỉ số w biểu thị mặt phía bên trái (phía tây) còn chỉ số e biểu thị mặt phía bên phải (phía đông) Biểu thị các giá trị thông lợng tại các bề mặt bằng các công thức sai phân hữu hạn và và cũng làm tơng tự cho giá trị tích phân, ta có: e TP TƯW TE TP w + S x = 0 ( x ) e ( x ) w (3.33)... (2.1) Trong đó R là số Reynolds; V và L là vận tốc và kích thớc đại diện của dòng chảy; và là hệ số nhớt động học Nói chung, dòng chảy là dòng chảy rối khi có số Reynolds v ợt quá khoảng 3000 Nh vậy, hầu hết các dòng chảy trong tự nhiên là dòng chảy rối Quan sát vận tốc tức thời của dòng chảy rối tại một điểm nào đó, ta có thể thấy rằng nó thay đổi một cách rất ngẫu nhiên theo thời gian Vì vậy, việc nghiên. .. riêng bằng phơng pháp thể tích hữu hạn Bản chất của phơng pháp thể tích hữu hạn là tích phân theo không gian các phơng trình vi phân đạo hàm riêng trên một thể tích kiểm tra để tìm các phơng trình số học cho các thể tích kiểm tra Về tích phân thời gian, phơng pháp thể tích hữu hạn (và các phơng pháp khác) cũng sử dụng các sơ đồ sai phân giống hệt phơng pháp sai phân hữu hạn Trong phơng pháp thể tích hữu
