Đề thi và đáp án giải tích 1 2007 2008 đại học cần thơ

4 513 3
Đề thi và đáp án giải tích 1 2007 2008 đại học cần thơ

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

ĐÁP ÁN HKI NĂM 2008 – 2009 MÔN: GIẢI TÍCH I - TTK LỚP: TUD K.34   − cot x ÷ x  Câu Tính giới hạn: lim  x →0 Giải tan x − x tan x − x x   − cot x = lim = lim ÷ x →0 2 x →0 x tan x x4 tan x x  Ta có, lim  x →0 x2 x2 Mặt khác, A = lim = lim cos x = x →0 tan x x →0 sin x Và tan x ( tan x + 1) − x tan x − x tan x + tan x − x B = lim = lim = lim x →0 x →0 x4 x3 x →0 x3 3tan x ( tan x + 1) + tan x + − 1 tan x = lim = lim 3tan x + ) = = ( 2 x →0 3x x →0 x   − cot x ÷ = A.B = x  Vậy lim  x →0 Câu Chứng minh phương trình: ( x − a ) ( x − b) +x= a+b có nghiệm ( a, b ) Giải Ta có, ( x − a ) ( x − b) Đặt f ( x ) = ( x − a ) 2 a+b a+b 2 ⇔ ( x − a) ( x − b) + x − =0 2 +x= ( x − b) +x− a+b Khi đó, f ( x ) hàm liên tục [ a, b ] Ta có, a +b a −b   f ( a ) = a − =   f ( b) = b − a + b = − a − b  2 Do đó, f ( a ) f ( b ) ( a − b) =− < Suy ra, phương trình f ( x ) = có nghiệm ( a, b ) Suy điều phải chứng minh Trang ĐÁP ÁN HKI NĂM 2008 – 2009 MÔN: GIẢI TÍCH I - TTK LỚP: TUD K.34 kx x ≥ Câu Chứng minh: hàm số f ( x ) =  khả vi x = k = l lx x < Giải  f ( ∆x ) − f ( ) k ∆x = lim+ = k = f +' ( )  xlim + →0 x → ∆x ∆x Ta có,   lim f ( ∆x ) − f ( ) = lim l ∆x = l = f ' ( ) −  x→0− x →0− ∆x ∆x ' ' Ta có, f ( x ) khả vi x = f + ( ) = f − ( ) ⇔ k = l Ta có đpcm Câu Một dụng cụ lược cà phê hình nón có chiều cao đường kính đáy 6cm Cà phê chảy từ dụng cụ vào bình chứa hình trụ (có bán kính đáy 6cm) với tốc độ 10cm3/phút Giả sử mực cà phê dụng cụ lược mức 5cm Khi mực cà phê bình chứa dụng cụ lược thay đổi theo tốc độ tương ứng nào? Giải Gọi V ( t ) , r ( t ) , h ( t ) thể tích, bán kính bề mặt chiều cao mực cà phê dụng cụ lược Khi đó, h ( t ) = 2r ( t ) ⇒ r ( t ) = h( t) Và 1 V ( t ) = π r ( t ) h ( t ) = π h3 ( t ) 12 V ' ( t0 ) = −10 ( cm3 / phút ) ' Tại thời điểm t0 xét ta có,  Ta tính h ( t0 ) h ( t0 ) = 5cm Ta có, V ( t ) = π h ( t ) h ' ( t ) ⇒ V ( t0 ) = π h ( t0 ) h ' ( t0 ) 4 Do đó, −10 = π 25.h' ( t0 ) ⇒ h' ( t0 ) = − ( cm/phút ) 5π Gọi, V1 ( t ) , h1 ( t ) thể tích mực cà phê bình chứa Suy ra, V1 ( t ) = 36π h1 ( t ) ' ' Vì cà phê chảy từ dụng cụ lược sang bình chứa nên V1 ( t ) = −V ( t ) Trang ĐÁP ÁN HKI NĂM 2008 – 2009 MÔN: GIẢI TÍCH I - TTK LỚP: TUD K.34 ( ) ' ' Tại thời điểm t0 xét ta có, V1 ( t0 ) = 10 cm / phút Ta tính h1 ( t0 ) Ta có, V1' ( t ) = 36π h1' ( t ) ⇒ V1' ( t0 ) = 36π h1' ( t0 ) ⇒ h1' ( t0 ) = ( cm/phút ) 18π Vậy, chiều cao mực cà phê dụng cụ lược giảm với tốc độ đó, chiều cao mực cà phê bình chứa lại tăng với tốc độ ( cm/phút ) , 5π ( cm/phút ) 18π Câu Tìm khối lượng kim loại hình tròn bán kính a chứng minh, mật độ điểm ( x, y ) δ = k ( 2a + x ) ( g/cm ) Giải Đặt tròn vào hệ trục Khi đó, phương trình đường tròn là: x + y = a Xét dải hẹp vị trí x trục Ox có bề dày dx chiều dài a − x Yếu tố diện tích cản dải là: dA = a − x dx Yếu tố khối lượng: dm = 2k ( 2a + x ) a − x dx Suy ra, khối lượng bản: a m = 2k ∫ ( 2a + x ) a − x dx −a a a  2 = 2k  ∫ 2a a − x dx + ∫ x a − x dx  −a −a  a x a2 x Ta có, ∫ 2a a − x dx = 2a  a − x + arcsin ÷ = π a a  −a 2 −a a 2 a Và ∫x −a a − x dx = x a − x hàm số lẻ Do đó, m = 2kπ a ( g ) Vậy khối lượng m = 2kπ a ( g ) Trang ĐÁP ÁN HKI NĂM 2008 – 2009 MÔN: GIẢI TÍCH I - TTK LỚP: TUD K.34 Câu Cho miền phẳng D nằm trục Ox đường y = + x2 a Tính diện tích miền D b Chứng minh thể tích vật thể tạo thành quay miền D quanh trục Oy không định Giải a Vì D miền đối xứng qua trục Oy nên diện tích miền D: +∞ S =2∫ b dx = lim ( arctan x ) = lim arctan b = π ( dvdt ) b →+∞ b →+∞ 1+ x b Vì D miền đối xứng qua trục Oy nên cần quay nửa miền D với (x>0) quanh Oy vật thể Do đó, thể tích vật tính theo công thức: V = 2π +∞ b xdx = π lim ln + x = 2π lim ln ( + b ) = +∞ ( ) ∫0 + x b →+∞ b →+∞ Suy ra, thể tích vật thể không xác định (đpcm) Trang ... chứa nên V1 ( t ) = −V ( t ) Trang ĐÁP ÁN HKI NĂM 2008 – 2009 MÔN: GIẢI TÍCH I - TTK LỚP: TUD K.34 ( ) ' ' Tại thời điểm t0 xét ta có, V1 ( t0 ) = 10 cm / phút Ta tính h1 ( t0 ) Ta có, V1' ( t... h ( t ) thể tích, bán kính bề mặt chiều cao mực cà phê dụng cụ lược Khi đó, h ( t ) = 2r ( t ) ⇒ r ( t ) = h( t) Và 1 V ( t ) = π r ( t ) h ( t ) = π h3 ( t ) 12 V ' ( t0 ) = 10 ( cm3 / phút... h ( t0 ) h ' ( t0 ) 4 Do đó, 10 = π 25.h' ( t0 ) ⇒ h' ( t0 ) = − ( cm/phút ) 5π Gọi, V1 ( t ) , h1 ( t ) thể tích mực cà phê bình chứa Suy ra, V1 ( t ) = 36π h1 ( t ) ' ' Vì cà phê chảy từ

Ngày đăng: 07/12/2015, 09:19

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan