Chương 3: KHÔNG GIAN VECTƠ Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 28 tháng 10 năm 2013 1 Vectơ n-chiều Khơng gian vectơ Tích vơ hướng Các khái niệm Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa Liên hệ tổ hợp tuyến tính với HPT tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính Hạng hệ vectơ Định nghĩa Tính chất Tìm hạng hệ vectơ hạng ma trận Không gian Định nghĩa Cơ sở số chiều không gian Không gian sinh Không gian nghiệm HPT tuyến tính Tọa độ không gian n-chiều Tọa độ vectơ sở Công thức đổi tọa độ sở Vectơ n-chiều Định nghĩa Một vectơ n-chiều x n số thực có thứ tự x = (x1 , x2 , , xn ), xi ∈ R Vectơ khơng kí hiệu = (0, 0, , 0) Định nghĩa Cho vectơ x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) x = y ⇔ xi = yi , ∀i ∈ {1, , n} x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) kx = (kx1 , kx2 , , kxn ) ; k ∈ R Tổng quát, ta có: ax + by = (ax1 + by1 , ax2 + by2 , , axn + byn ) Ví dụ: Cho vectơ x = (1, −2, 2), y = (−1, −3, 1), ta có: x + y = (0, −5, 3), −2x = (−2, 4, −4) 2x − 3y = (2, −4, 4) + (3, 9, −3) = (5, 5, 1) Vectơ n-chiều Tính chất (1) x+y =y+x Tính chất (2) x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z) Tính chất (3) x+0=x Tính chất (4) x + (−x) = Vectơ n-chiều Tính chất (5) k(lx) = (kl)x Tính chất (6) (k + l)x = kx + lx Tính chất (7) k(x + y) = kx + ky Tính chất (8) 1.x = x Không gian vectơ Định nghĩa (Không gian vectơ n-chiều) Tập hợp vectơ n-chiều xây dựng R trang bị phép toán gọi không gian vectơ Rn Định nghĩa (Không gian Euclide n-chiều) Không gian Euclide Rn không gian vectơ Rn trang bị thêm tích vơ hướng vectơ x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) định nghĩa: x.y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Khơng gian vectơ Tích vơ hướng Với vectơ x, y, z ∈ Rn , ta có Tính chất (1) x.y = y.x Tính chất (2) x x ≥ x x = ⇔ x = Tính chất (3) (x + y).z = x.z + y.z Tính chất (4) x.(ky) = (kx).y = k(x.y) Không gian vectơ Các khái niệm Trong Rn cho x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ta có Định nghĩa Độ dài x: ||x|| = √ x.x = x21 + x22 + · · · + x2n Định nghĩa Khoảng cách x, y: ||x − y|| = (x − y).(x − y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 Định nghĩa Góc x y, kí hiệu (x,y): cos(x, y) = x.y ||x||||y|| Không gian vectơ Các khái niệm Định nghĩa (Tính trực giao) x, y trực giao ⇔ x.y = Hệ vectơ {u1 , u2 , , um } hệ trực giao ⇔ ui uj = 0, ∀i j ∈ {1, , m} Ví dụ: Trong R3 cho x = (3, −1, 2), y = (1, 1, m) Xác định m để x trực giao với y Giải x trực giao với y ⇔ x.y = ⇔ − + 2m = ⇔ m = −1 Định nghĩa (Tính trực chuẩn) Hệ vectơ {u1 , u2 , , um } hệ trực chuẩn ⇔ ui uj = ∧ ||ui || = 1, ∀i j ∈ {1, , m} Ví dụ: Trong R3 cho hệ vectơ {x = (1, 0, 0), y = (0, 1, 0), z = (0, 0, 1)} Nhận thấy x.y = x.z = y.z = ||x|| = ||y|| = ||z|| = Vậy: Hệ {x, y, z} hệ trực chuẩn Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa Trong Rn cho hệ vectơ H = {a1 , a2 , , am } Định nghĩa Vectơ b gọi tổ hợp tuyến tính hệ H ⇔ Tồn xj ∈ R, j = 1, m cho b = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am Ví dụ: Trong R2 cho hệ vectơ H = {a1 = (1, 1), a2 = (1, 0)} Vectơ b=(2,3) có phải tổ hợp tuyến tính H hay khơng? Biểu diễn b theo H Giải Giả sử b = x1 a1 + x2 a2 , xi ∈ R ⇔ (2, 3) = x1 (1, 1) + x2 (1, 0) ⇔ (2, 3) = (x1 , x1 ) + (x2 , 0) ⇔ (2, 3) = (x1 + x2 , x1 ) x1 + x2 = x1 = ⇔ ⇔ ⇔ b = 3a1 − a2 x1 = x2 = −1 Vậy b tổ hợp tuyến tính H 10 Hạng hệ vectơ Tìm hạng hệ vectơ hạng ma trận Định lý   a11  a  21 Cho A =    am1 Khi hạng a12 a22 a1n a2n         am2 amn A hạng hệ vectơ dòng/cột A Nghĩa gọi D = {(a11 , a12 , , a1n ), (a21 , a22 , , a2n ), , (am1 , am2 , , amn )} C = {(a11 , a21 , , am1 ), (a12 , a22 , , am2 ), , (a1n , a2n , , amn )} rankA=rankD=rankC Vì vậy, ta cần tìm hạng hệ vec tơ ta tìm hạng ma trận dịng/cột lập từ vectơ Ví dụ: Trong R4 cho H = {u = (1, −2, 1, 0), v = (2, 3, 2, −1), w = (3, 1, 3, −1)} Tìm rankH Giải Ta có       −2   −2   −2   −1   −1   −1  A =   −→   = B  −→        −1 0 0 3 −1 19 Hạng hệ vectơ Tìm hạng hệ vectơ hạng ma trận Tính chất (1) Hạng hệ số vectơ hệ ⇔ Hệ độc lập tuyến tính Hạng hệ nhỏ số vectơ hệ ⇔ Hệ phụ thuộc tuyến tính Tính chất (2) Cho hệ H có số vectơ số chiều (m=n): rankH = n ⇔ detA rankH < n ⇔ detA = 20 Không gian Định nghĩa Định nghĩa Xét L ⊆ Rn L không gian Rn  L ∅    ⇔  ∀x, y ∈ L ⇒ x + y ∈ L   ∀x ∈ L, k ∈ R ⇒ kx ∈ L 0∈L ⇔ ∀x, y ∈ L, k ∈ R ⇒ x + ky ∈ L Lưu ý: Nếu L khơng gian Rn ∈ L Do đó, L L khơng phải khơng gian Rn Ví dụ: Cho biết tập sau không gian R2 L1 = {x ∈ R2 : x = (a, + 3a), a ∈ R} L2 = {x ∈ R2 : x = (a, 3a), a ∈ R} Giải Nhận thấy = (0, 0) L1 Do L1 khơng phải khơng gian R2 Ta có = (0, 0) ∈ L2 ∀x, y ∈ L2 , k ∈ R Giả sử x = (a, 3a), y = (b, 3b) ta có x + ky = (a + kb, 3a + 3kb) ∈ L2 ⇒ L2 không gian R2 Không gian Cơ sở số chiều không gian Định nghĩa Hệ H = {a1 , a2 , , am } sở không gian L Rn H hệ độc lập tuyến tính ⇔ Mọi vectơ L tổ hợp tuyến tính H Lưu ý: Số vectơ sở L không vượt n Số vectơ sở L Định nghĩa Số vectơ sở không gian L gọi số chiều L, kí hiệu dimL Tính chất (1) Nếu dimL = r hệ có r vectơ độc lập tuyến tính L sở L 22 Không gian Cơ sở số chiều không gian Tính chất (2) Trong Rn , hệ có n vectơ độc lập tuyến tính sở Rn Hệ En = {e1 , e2 , , en } với e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), ., en = (0, 0, , 1) gọi sở tắc Rn Tính chất (3) Mọi vectơ L tổ hợp tuyến tính qua vectơ sở L Ví dụ: L2 = {x ∈ R2 : x = (a, 3a), a ∈ R} không gian R2 Ta có ∀x ∈ L2 : x = (a, 3a) = a(1, 3) Vậy vectơ x ∈ L2 tổ hợp tuyến tính hệ {(1,3)} độc lập tuyến tính nên {(1,3)} sở L2 dimL2 = Ví dụ:Cho biết L = {x ∈ R2 : x = (a + b, 2a − b), a, b ∈ R} khơng gian R2 Tìm sở L xác định dimL Ta có ∀x ∈ L : x = (a + b, 2a − b) = a(1, 2) + b(1, −1) suy vectơ x ∈ L tổ hợp tuyến tính hệ {(1,2),(1,-1)} độc lập tuyến tính Vậy {(1,2),(1,-1)} sở L dimL = 23 Không gian Không gian sinh Định nghĩa (Không gian sinh) Trong Rn cho hệ H = {a1 , a2 , , am } Không gian sinh H, kí hiệu Span(H): SpanH = {x ∈ Rn : x = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am , xi ∈ R} Định lý SpanH không gian Rn có dim(SpanH) = rankH Bài tốn 1: Trong Rn cho hệ H = {a1 , a2 , , am } Hãy tìm sở số chiều SpanH Phương pháp giải Lập ma trận A có hệ vectơ dịng H Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng biến đổi A dạng bậc thang theo dòng B Hệ vectơ dịng khác khơng B sở SpanH 24 Không gian Không gian sinh Ví dụ: Trong R4 cho hệ H = {a1 = (−2, 4, −2, −4), a2 = (2, −5, −3, 1), a3 = (−1, 3, 4, 1)} Hãy tìm sở số chiều SpanH       a3   −1  a   −5 −3  Xét A =   =       a1 −2 −2 −4          −1  −1  −1   −5 −3      −→   −→   −→        −1 −5 −3 −1 −5 −3 0 0 Vậy: Một sở SpanH {(−1, 3, 4, 1), (0, 1, 5, 3)} dimSpanH=2 25 Khơng gian Khơng gian sinh Bài tốn 2: Trong Rn cho hệ H = {a1 , a2 , , am } Tìm điều kiện để x ∈ SpanH Phương pháp giải x ∈ SpanH ⇔ x tổ hợp tuyến tính H Nếu ta có F = {b1 , b2 , , bk } sở SpanH, x ∈ SpanH ⇔ x tổ hợp tuyến tính F Ví dụ: Trong R3 cho hệ H = {a1 = (1, 2, −4), a2 = (2, −1, 1), a3 = (−3, −1, 3)} Hãy tìm m để b = (−1, 3, m) ∈ SpanH   −3 −1     Xét A = a1 a2 a3 b = (A|B) =  −1 −1    −4 m     −1  −1   −3  −3  −5   −1  −→   −→      −9 m − −9 m −   −1   −3   −→  −1    0 m+5 Ta có rankA = Nên b ∈ SpanH ⇔ rankA = ⇔ m + = ⇔ m = −5 26 Không gian Không gian nghiệm HPT tuyến tính Cho hpttt AX = Không gian nghiệm hệ L = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : AX = 0} Định lý rankA = r ⇔ dimL = n − r Định nghĩa Mỗi sở không gian nghiệm L gọi hệ nghiệm hệ Không gian Khơng gian nghiệm HPT tuyến tính Ví dụ: Tìm nghiệm tổng qt hệ nghiệm hệ   x1 + 2x2 − x3 + x4 =    2x1 + 4x2 − 3x3 =     x1 + 2x2 + x3 + 5x4 =      −1   −1      Ta có A =  −3  −→  0 −1 −2  −→ 0     0 0 x1 + 2x2 + 3x4 = x1 = −2x2 − 3x4 Hệ ⇔ ⇔ x3 + 2x4 = x3 = −2x4 Nghiệm tổng quát hệ (−2a − 3b, a, −2b, b), a, b ∈ R Không gian nghiệm L = {x = (−2a − 3b, a, −2b, b), a, b ∈ R} = {x = a(−2, 1, 0, 0) + b(−3, 0, −2, 1), a, b ∈ R} ⇒ L = Span{(−2, 1, 0, 0), (−3, 0, −2, 1)} Vậy hệ nghiệm hệ {(−2, 1, 0, 0), (−3, 0, −2, 1)} −1 1 −→ Tọa độ không gian n-chiều Tọa độ vectơ sở Định nghĩa Cho H = {a1 , a2 , , an } sở Rn (x1 , x2 , , xn ) gọi tọa độ x ∈ Rn sở H ⇔ x = x1 a1 + x2 a2 + + xn an Kí hiệu: x|H = (x1 , x2 , , xn )   x    x2    Ta kí hiệu (x|H ) = x1 x2 xn (x|H )T =       xn Trong Rn : x = (x1 , x2 , , xn ) = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en ⇒ x|En = (x1 , x2 , , xn ) 29 Tọa độ không gian n-chiều Tọa độ vectơ sở Ví dụ: a Chứng tỏ H = {a1 = (1, 2, 1), a2 = (1, 3, 1), a3 = (2, 3, −1)} sở R3 b Cho x = (−2, 1, 7) Tìm x|H Giải      a1        a Xét A =  a2  =       −1 a3 ⇒ |A| = = − + + − + − = −3 −1 Vậy: H hệ độc lập tuyến tính⇒ đpcm   x1 + x2 + 2x3 = −2    2x b Giả sử x = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 Từ ta hệ  + 3x2 + 3x3 =    x1 + x2 − x3 = Giải hệ ta (x1 , x2 , x3 ) = (2, 2, −3) Vậy x|H = (2, 2, −3) 30 Tọa độ không gian n-chiều Công thức đổi tọa độ sở Định nghĩa (Ma trận chuyển) Cho A = {a1 , a2 , , an } B = {b1 , b2 , , bn } hai sở Rn Ma trận chuyển sở từ A sang B kí hiệu PB A , ma trận thỏa T n (x|A )T = PB (x| ) , ∀x ∈ R B A Định lý (Cách xác định ma trận chuyển) Giả sử bi |A = (b1i , b2i , , bni ) Khi PB A = (b1 |A b2 |A · · · bn |A ) Tính chất Nếu P ma trận chuyển sở từ A sang B P khả nghịch P−1 ma trận chuyển sở từ B sang A Tọa độ không gian n-chiều Công thức đổi tọa độ sở Ví dụ: Cho E3 , A = {a1 = (1, 1, −1), a2 = (0, 1, 2), a3 = (0, 0, 1)} B = {b1 = (1, −1, 1), b2 = (2, 3, 1), b3 = (1, 2, 1)} sở R3 a Tìm ma trận chuyển sở từ E3 sang A ngược lại b Tìm ma trận chuyển sở từ A sang B c Cho biết x|B = (−2, 1, 3) Hãy xác định x|A x|E3 Giải a Ta có a1 |E3 = (1, 1, −1), a2 |E3 = (0, 1, 2), a3 |E3 = (0, 0, 1)    0  A Nên PE3 =  1  = P   −1   0      E3 Từ ta PA = P−1 =  −1    −2 Tọa độ không gian n-chiều Công thức đổi tọa độ sở   x1 =    x + x b Giả sử b1 = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 ⇔  = −1    −x1 + 2x2 + x3 =   x1 =    x = −2 ⇒ b1 |A = (1, −2, 6) ⇔     x3 = Tương tự ta b2 |A = (2, 1, 1), b3 |A = (1, 1, 0)      −2 1  Vậy ma trận chuyển sở từ A sang B PB  c Ta có  A =  x|B = (−2, 1, 3) Mà (x|A )T = PB (x| )T    A  B     −2    T ⇒ (x|A ) =  −2 1    =         −11 Vậy x|A = (3, 8, −11)       0        T  1    =  11 Tương tự ta (x|E3 )T = PA      E3 (x|A ) =  −11 −1 Vậy x|E3 = (3, 11, 2)      ... hợp tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính- độc lập tuyến tính Tính chất (1) Hệ có chứa vectơ khơng hệ phụ thuộc tuyến tính Tính chất (2) Hệ có chứa vectơ tỉ lệ hệ phụ thuộc tuyến tính Tính chất (3) ... chất (3) Một hệ có số vectơ nhiều số chiều ln hệ phụ thuộc tuyến tính Tính chất (4) Hệ vectơ có hệ phụ thuộc tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Hệ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính 16 Hạng hệ... tuyến tính? ?? đpcm   x1 + x2 + 2x3 = −2    2x b Giả sử x = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 Từ ta hệ  + 3x2 + 3x3 =    x1 + x2 − x3 = Giải hệ ta (x1 , x2 , x3 ) = (2, 2, ? ?3) Vậy x|H = (2, 2, ? ?3) 30