˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆ P BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v`a H`ınh ho.c gia’i t´ıch ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆI NHA H` a Nˆ o.i – 2006 Mu.c lu.c `au oi dˆ L` o.i n´ Sˆ o´ ph´ u.c - i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 1.1 D u.c 1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c ˜e n h`ınh ho.c Mˆod un v`a acgumen 1.3 Biˆe’u diˆ ˜e n sˆo´ ph´ 1.4 Biˆe’u diˆ u.c du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac - a th´ D u.c v` a h` am h˜ u.u ty’ - a th´ 2.1 D u.c - a th´ 2.1.1 D u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´ u.c C - a th´ 2.1.2 D u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c R 2.2 Phˆan th´ u.c h˜ u.u ty’ - i.nh th´ Ma trˆ a.n D u.c 3.1 Ma trˆa.n - i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n 3.1.1 D 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi ma trˆa.n - inh th´ 3.2 D u.c 3.2.1 Nghi.ch thˆe´ - i.nh th´ 3.2.2 D u.c 3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´ u.c ma trˆa.n 6 13 23 44 44 45 46 55 66 67 67 69 71 72 85 85 85 88 MU C LU C 3.3 3.4 3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´ u.c Ha.ng cu’a ma trˆa.n - i.nh ngh˜ıa 3.3.1 D 3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n Ma trˆa.n nghi.ch da’o - i.nh ngh˜ıa 3.4.1 D 3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o e´n t´ınh Hˆ e phu.o.ng tr`ınh tuyˆ 4.1 Hˆe n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´ u.c 4.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n 4.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer 4.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss 4.2 Hˆe t` uy y ´ c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh `an nhˆa´t 4.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆ kh´ac 89 109 109 109 118 118 119 132 132 133 134 134 143 165 n Khˆ ong gian Euclide R - i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆ `eu v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co 5.1 D `e vecto ba’n vˆ - ˆo’i co so’ 5.2 Co so’ D 5.3 Khˆong gian vecto Euclid Co so’ tru c chuˆa’n 5.4 Ph´ep biˆe´n d ˆo’i tuyˆe´n t´ınh - inh ngh˜ıa 5.4.1 D 5.4.2 Ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt 5.4.3 C´ac ph´ep to´an 5.4.4 Vecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng Da.ng to` an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng d ˆ e’ v` a m˘ a.t bˆ a.c hai 6.1 Da.ng to`an phu.o.ng 6.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange 6.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi 177 177 188 201 213 213 213 215 216 o.ng nhˆ a.n da.ng du.` 236 236 237 241 MU C LU C 6.2 6.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´n dˆo’i tru c giao 244 - u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t D `e da.ng ch´ınh t˘´ac 263 bˆa.c hai vˆ `au L` o.i n´ oi dˆ Gi´ao tr`ınh B` tˆ a.p to´ an cao cˆ a´p n`ay du.o c biˆen soa.n theo Chu.o.ng tr`ınh To´ an cao cˆ a´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu nhiˆen cu’a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i v`a d˜a du.o c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆong qua v`a ban h`anh Mu.c d´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´ up d˜o sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu nhiˆen n˘a´m v˜ u.ng v`a vˆa.n du.ng du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an cao cˆa´p Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´t di.nh to`an bˆo cˆa´u tr´ uc cu’a gi´ao tr`ınh Trong `au tiˆen ch´ mˆo˜ i mu.c, dˆ y thuyˆe´t ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´t nh˜ u.ng co so’ l´ `an thiˆe´t Tiˆe´p d´o, phˆ `an C´ v`a liˆe.t kˆe nh˜ u ng cˆong th´ u c cˆ ac v´ı du ch´ ung tˆoi quan tˆam d˘a.c biˆe.t t´o.i viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜ u b˘a`ng c´ach `an B` vˆa.n du.ng c´ac kiˆe´n th´ u.c l´ y thuyˆe´t d˜a tr`ınh b`ay Sau c` ung, l`a phˆ ’ `e tˆ a.p O dˆay, c´ac b`ai tˆa.p du o c gˆo.p th`anh t` u ng nh´om theo t` u ng chu’ dˆ `an vˆ `e dˆo kh´o v`a mˆ˜o i nh´om dˆ `eu u tu t˘ang dˆ v`a du.o c s˘´ap xˆe´p theo th´ `e phu.o.ng ph´ap gia’i Ch´ c´o nh˜ u.ng chı’ dˆa˜ n vˆ ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.c `an C´ l`am quen v´o i l`o i gia’i chi tiˆe´t phˆ ac v´ı du s˜e gi´ up ngu.`o.i ho.c n˘a´m du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co ba’n Gi´ao tr`ınh B` tˆ a.p n`ay c´o thˆe’ su’ du.ng du.´o.i su hu.´o.ng dˆ˜a n cu’a `eu c´o d´ap sˆo´, mˆo.t gi´ao viˆen ho˘a.c tu m`ınh nghiˆen c´ u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.p dˆ `an C´ sˆo´ c´o chı’ dˆa˜ n v`a tru ´o c gia’i c´ac b`ai tˆa.p n`ay d˜a c´o phˆ ac v´ı du `e m˘a.t phu.o.ng ph´ap gia’i to´an tr`ınh b`ay nh˜ u.ng chı’ dˆa˜ n vˆ `ay gi´ao: TS Lˆe D`ınh T´ac gia’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’m o.n c´ac thˆ ˜e n Minh Tuˆa´n d˜a do.c k˜ Ph` ung v`a PGS TS Nguyˆ y ba’n tha’o v`a d´ong y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´ u.c Co so’ l´ `eu y `e cˆa´u tr´ g´op nhiˆ ´ kiˆe´n qu´ y b´au vˆ uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op y ´ cho t´ac `e nh˜ gia’ vˆ u ng thiˆe´u s´ot cu’a ba’n tha’o gi´ao tr`ınh `an dˆ `au, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot Ch´ M´o.i xuˆa´t ba’n lˆ ung tˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o c ba.n do.c vui l`ong chı’ ba’o cho nh˜ u.ng thiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o c ho`an thiˆe.n ho.n H` a Nˆ o.i, M` ua thu 2004 T´ ac gia’ Chu.o.ng Sˆ o´ ph´ u.c 1.1 1.2 1.3 1.4 1.1 - i.nh ngh˜ıa sˆ D o´ ph´ u.c o´ cu’a sˆ o´ ph´ u.c Da.ng d a.i sˆ ˜ a acgumen 13 Biˆ e’u diˆ e n h`ınh ho.c Mˆ od un v` ˜ o.i da.ng lu.o ng gi´ ac 23 Biˆ e’u diˆ e n sˆ o´ ph´ u.c du.´ - i.nh ngh˜ıa sˆ D o´ ph´ u.c u tu (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´ Mˆo˜ i c˘a.p sˆo´ thu c c´o th´ ph´ u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe b˘`ang nhau, ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan du.o c du.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay: (I) Quan hˆe b˘a`ng  a = a , (a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒ b1 = b2 (II) Ph´ep cˆo.ng - inh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 1.1 D u.c def (a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1 (III) Ph´ep nhˆan def (a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ) Tˆa.p ho p sˆo´ ph´ u.c du.o c k´ y hiˆe.u l`a C Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan (III) C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho p, liˆen hˆe v´o.i bo’.i `an tu’ = (0, 0) dˆ `eu c´o phˆ `an tu’ nghi.ch da’o luˆa.t phˆan bˆo´ v`a mo.i phˆ `an Tˆa.p ho p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ ph´ u.c) v´o.i phˆ ´ du.ng quy `an tu’ n vi l`a c˘a.p (1; 0) Ap tu’ khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆ t˘´ac (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0) Nˆe´u k´ y hiˆe.u i = (0, 1) th`ı i2 = −1 Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta c´o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) `e m˘a.t da.i sˆo´ c´ac c˘a.p da.ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.t T` u d´o vˆ v´o.i sˆo´ thu c R: v`ı ch´ ung du.o c cˆo.ng v`a nhˆan nhu nh˜ u.ng sˆo´ thu c Do `ong nhˆa´t c´ac c˘a.p da.ng (a; 0) v´o.i sˆo´ thu c a: vˆa.y ta c´o thˆe’ dˆ (a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R D˘a.c biˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´ u.c z = (a, b): `an thu c a = Re z, sˆo´ thu c b go.i l`a phˆ `an 1+ Sˆo´ thu c a du.o c go.i l`a phˆ a’o v`a k´ y hiˆe.u l`a b = Im z 2+ Sˆo´ ph´ u.c z u.c z = (a, −b) go.i l`a sˆo´ ph´ u.c liˆen ho p v´o.i sˆo´ ph´ ´t cu’a t` def l` a c´ ach viˆe´t t˘ a u tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa) u.c Chu.o.ng Sˆo´ ph´ 1.2 Da.ng da.i sˆ o´ cu’a sˆ o´ ph´ u.c `eu c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng Mo.i sˆo´ ph´ u.c z = (a; b) ∈ C dˆ z = a + ib (1.1) Thˆa.t vˆa.y, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib u (1.1) Biˆe’u th´ u.c (1.1) go.i l`a da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c z = (a, b) T` v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´ u.c liˆen ho p ta c´o z = a − ib u.c du.o c thu c Du.´o.i da.ng da.i sˆo´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.p ho p sˆo´ ph´ hiˆe.n theo c´ac quy t˘´ac sau Gia’ su’ z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 Khi d´o (I) Ph´ep cˆo.ng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ) (II) Ph´ep nhˆan: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ) (III) Ph´ep chia: z2 a1 a2 + b1b2 a1b2 − a2 b1 = +i · 2 z1 a1 + b1 a1 + b21 ´ V´I DU CAC V´ı du 1+ T´ınh in T` u d´o ch´ u.ng minh r˘`ang a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1 2+ T`ım sˆo´ nguyˆen n nˆe´u: a) (1 + i)n = (1 − i)n ; 1−i n 1+i n + √ = b) √ 2 Gia’i 1+ Ta c´o i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`a `au l˘a.p la.i Ta kh´ai qu´at h´oa Gia’ su’ n ∈ Z v`a gi´a tri l˜ uy th` u.a b˘a´t dˆ n = 4k + r, r ∈ Z, r Khi d´o in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir 1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c (v`ı i4 = i) T` u d´o, theo kˆe´t qua’ trˆen ta c´o in =       i nˆe´u n = 4k, nˆe´u n = 4k + 1, (1.2)   −1 nˆe´u n = 4k + 2,     −i nˆe´u n = 4k + ˜e d`ang suy a) v`a b) T` u (1.2) dˆ u.c (1 + i)n = (1 − i)n suy u hˆe th´ 2+ a) T` 1+i 1−i n = 1+i 1+i n = i nˆen = in = ⇒ n = 4k, k ∈ Z Nhu.ng 1−i 1−i 1+i n 1−i n 1+i b) T` u d˘a’ng th´ u.c √ + √ = suy r˘`ang 1−i 2 v`a d´o in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z n = −1 V´ı du Ch´ u.ng minh r˘a`ng nˆe´u n l`a bˆo.i cu’a th`ı √ √ −1 − i n −1 + i n + =2 2 v`a nˆe´u n khˆong chia hˆe´t cho th`ı √ −1 + i n √ −1 − i + n = −1 Gia’i 1+ Nˆe´u n = 3m th`ı √ √ −1 − i 3 m −1 + i 3 m + S= √ √ √ √ −1 + 3i + − 3i m −1 − 3i + + 3i = + 8 m m = + = m 262 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to`   y2  x1 = √ y1 +  14 14 ⇒ ϕ(·) = 12y12 − 2y22 ) (DS   y1 − √ y2  x2 = 14 14 √ 30 2x21 − 5x1x2 + 3x22 √   x1 = y1 + y2  3√ ⇒ ϕ(·) = 7y12 − 2y22 ) (DS  y1 + y2 x2 = − 3 31 ϕ(x1, x2) = 4x1 x2  1  x1 = √ y1 − √ y2 2 2 (DS 1  ⇒ ϕ(y1, y2 ) = 2y1 − 2y2 ) x2 = √ y1 + √ y2  2 2 32 3x1 + 6x1x2 + 3x2  1 x1 = √ y1 − √ y2,  2 ⇒ ϕ(·) = 6y12) (DS 1  x2 = √ y1 + √ y2  2 2 33 6x1 + 5x2 + 7x3 − 4x1 x2 + 4x1 x3  2  x1 = y1 − y2 + y3,    3   2 (DS x2 = − y1 + y2 + y3 , ⇒ ϕ(·) = 9y12 + 6y22 + 3y32 ) 3     2  x3 = y1 + y2 − y3  3 √ 34 2x21 + x22 + 3x23 − 2x2x3 (DS x1 = y1, x2 = √ y2 + ϕ(·) = 2y12 + 5y22 − y32) y3 , x = − y2 + √ y3 ; 3 35 2x21 + 5x22 + 2x23 − 4x1 x2 − 2x1 x3 + 4x2x3 1 (DS x1 = √ y1 + √ y2 + √ y3 , x2 = − √ y2 + √ y3, 6 1 x3 = √ y1 − √ y2 − √ y3; ϕ(·) = y12 + 7y22 + y32) - u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t bˆa.c hai vˆ `e 6.2 D ´ da.ng ch´ınh t˘ac 263 6.2 - u.a phu.o.ng tr`ınh tˆ D o’ng qu´ at cu’a `e da.ng o.ng bˆ a.c hai v` a m˘ a.t bˆ a.c hai vˆ du.` ´ ch´ınh t˘ ac 1◦ X´et phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai a11x2 + 2a12xy + a22y + 2a13x + 2a23y + a33 = (6.20) `au tiˆen Tˆo’ng cu’a ba sˆo´ ha.ng dˆ ϕ(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y (6.21) l`a da.ng to`an phu.o.ng cu’a c´ac biˆe´n x v`a y v`a du.o c go.i l`a da.ng to` an phu o ng u ´ ng v´ o i phu o ng tr`ınh (6.20) Ma trˆa.n cu’a da.ng to`an phu o ng n`ay c´o da.ng A= a11 a12 a12 a22 1+ Nˆe´u detA > th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng da.ng eliptic 2+ Nˆe´u detA < th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng da.ng hypecbolic 3+ Nˆe´u detA = th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng da.ng parabolic Trong tru.`o.ng ho p detA = th`ı (6.20) x´ac di.nh du.`o.ng c´o tˆam diˆe’m Nˆe´u detA = th`ı (6.20) l`a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng khˆong c´o tˆam diˆe’m Hu.´o.ng cu’a c´ac vecto riˆeng tru c giao cu’a ma trˆa.n da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh (6.20) go.i l`a hu.´ o.ng ch´ınh cu’a du.`o.ng x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh (6.20) `on ta.i hˆe to.a dˆo Dˆec´ac vuˆong g´oc m`a u.ng minh r˘`ang tˆ Ngu.`o.i ta ch´ d´o phu o ng tr`ınh tˆo’ng qu´at (6.20) cu’a du.`o.ng bˆa.c hai c´o da.ng ch´ınh t˘´ac Dˆe’ t`ım hˆe to.a dˆo d´o ta tiˆe´n h`anh nhu sau 264 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` ´.ng 1+ T`ım ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u `e da.ng ch´ınh t˘´ac v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho vˆ + Du a theo ph´ep biˆe´n dˆo’i n`ay ta t`ım c´ac hu.´o.ng ch´ınh cu’a du.`o.ng, t´ u.c l`a t`ım c´ac vecto riˆeng tru c chuˆa’n E1 v`a E2 cu’a ma trˆa.n da.ng to`an phu.o.ng (6.21) 3+ T`ım phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng d˜a cho hˆe to.a dˆo OE1 E2 4+ Trong phu.o.ng tr`ınh thu du.o c ta bˆo’ sung dˆe’ thu du.o c b`ınh `oi t`ım c´ac to.a dˆo cu’a diˆe’m O l`a gˆo´c cu’a hˆe to.a dˆo cˆ `an phu.o.ng du’ rˆ t`ım Trong hˆe to.a dˆo t`ım du o c O E1 E2 phu o ng tr`ınh cu’a du `o ng d˜a cho c´o da.ng ch´ınh t˘´ac 2◦ X´et phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a m˘a.t bˆa.c hai a11x2 + a22y + a33z + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + bx + by + ez + f = 0, (6.22) d´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t hˆe sˆo´ aij = 0, i = 1, 3, j = 1, `au cu’a phu.o.ng tr`ınh Tˆo’ng cu’a s´au sˆo´ ha.ng dˆ ϕ(x, y, z) = a11x2 + a12y + a33z + 2a12 xy + 2a13xz + 2a23yz (6.23) an phu.o.ng l`a da.ng to`an phu.o.ng ba biˆe´n x, y, z v`a du.o c go.i l`a da.ng to` tu.o.ng u ´.ng v´ o.i phu.o.ng tr`ınh (6.22) Ma trˆa.n cu’a da.ng l`a   a11 a12 a13   A = a12 a22 a23 a13 a23 a33 `on ta.i ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a Trong mu.c tru.´o.c d˜a ch´ u.ng to’ tˆ `e da.ng ch´ınh t˘´ac Do vˆa.y viˆe.c kha’o s´at v`a da.ng to`an phu.o.ng (6.23) vˆ du ng m˘a.t bˆa.c hai x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh (6.22) du.o c tiˆe´n h`anh tu.o.ng tu nhu 1◦ ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ ´ V´I DU CAC V´ı du Du.a phu.o.ng tr`ınh √ 17x2 + 12xy + 8y + 20 5x + 20 = `e da.ng ch´ınh t˘´ac v`a du ng du.`o.ng x´ac di.nh bo’.i phu.o.ng tr`ınh d´o vˆ Gia’i 1+ Da.ng to`an phu.o.ng ϕ(x, y) = 17x2 + 12xy + 8y ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o ma trˆa.n tu.o.ng u A= 17 N´o c´o c´ac sˆo´ d˘a.c tru.ng l`a λ1 = 20, λ2 = Ta t`ım to.a dˆo c´ac vecto riˆeng cu’a A b˘a`ng c´ach gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh (17 − λi )ξ1 + 6ξ2 = 0, 6ξ1 + (8 − λi )ξ2 = `an lu.o t v´o.i λ1 = 20 v`a λ2 = lˆ V´o.i λ1 = 20 ta c´o −3ξ1 + 6ξ2 = 6ξ1 − 12ξ2 = ⇒ ξ1 = 2ξ2 ´.ng v´o.i λ1 = 20 c´o da.ng Do d´o vecto riˆeng u u(2α, α), α∈R v`a sau chuˆa’n h´oa ta du.o c E1 = √ , √ 5 265 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 266 V´o.i λ2 = ta c´o 12ξ1 + 6ξ2 = 0, 6ξ1 + 3ξ2 = → ξ2 = −2ξ1 ´.ng v´o.i λ2 = c´o da.ng Do d´o vecto riˆeng tu.o.ng u v(β, −2β) v`a sau chuˆa’n h´oa ta thu du.o c vecto riˆeng chuˆa’n cu’a ma trˆa.n A: E2 = −√ ,√ 5 `e co so’ m´o.i (ma trˆa.n cu’a ph´ep biˆe´n T` u d´o thu du.o c ma trˆa.n chuyˆe’n vˆ dˆo’i tru c giao) c´o da.ng   √ −√  5  T =   √ √ 5 `an t`ım c´o da.ng v`a vˆa.y ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao cˆ   x = √ x − √ y ,  5  y = √ x + √ y   5 (6.24) `e da.ng ch´ınh t˘´ac N´o du.a da.ng to`an phu.o.ng ϕ vˆ 2 ϕ1 = 20x + 5y 2+ C´ac vecto co so’ E1 v`a E2 thu du.o c t` u c´ac vecto co so’ e1 , e2 u.c b˘`ang ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.o c cho bo’.i cˆong th´   E1 = √ e1 + √ e2,   5 (6.25)  E2 = − √ e1 + √ e2.  5 ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 267 3+ Thay (6.24) v`ao phu.o.ng tr`ınh d˜a cho ta thu du.o c phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng hˆe to.a dˆo OE1 E2 : 2 20x + 5y + 40x − 20y + 20 = v`a t` u d´o (x + 1)2 (y − 2)2 + =1 (6.26) −→ 4+ Thu c hiˆe.n ph´ep d`o.i hˆe to.a dˆo OE1 E2 theo vecto OO = −E1 +2E2 ta thu du.o c hˆe to.a dˆo O E1 E2 v`a hˆe d´o phu.o.ng tr`ınh (6.26) c´o da.ng x y + = 1 (6.27) Nhu vˆa.y phu.o.ng tr`ınh d˜a cho x´ac di.nh elip (h`ınh 6.1) H`ınh 6.1 T` u l`o.i gia’i v`a h`ınh v˜e tr`ınh b`ay suy c´ach du ng elip (6.27) `au tiˆen du ng hˆe to.a dˆo OE1 E2 (thay cho E1 v`a E2 c´o thˆe’ hˆe O E1 E2 Dˆ −→ −→ du ng c´ac vecto OM1 = 2e1 + e2, OM2 = −e1 + 2e2); tiˆe´p dˆe´n thu c −→ hiˆe.n ph´ep ti.nh tiˆe´n song song hˆe d´o mˆo.t vecto OO = −e1 + 2e2 dˆe´n O Sau c` ung l`a du ng elip (6.27) an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 268 V´ı du Du.a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng cong x2 − 2xy + y − 10x − 6y + 25 = `e da.ng ch´ınh t˘´ac v`a du ng du.`o.ng cong d´o vˆ ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho Gia’i Da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u ϕ(x, y) = x2 − 2xy + y c´o ma trˆa.n l`a A= −1 −1 Lˆa.p phu.o.ng tr`ınh d˘a.c tru.ng − λ −1 = hay l`a λ2 − 2λ = −1 − λ T` u d´o λ1 = 2, λ2 = Ta t`ım to.a dˆo cu’a c´ac vecto riˆeng cu’a A b˘a`ng c´ach gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh (1 − λi )ξ1 − ξ2 = 0, −ξ1 + (1 − λi )ξ2 = `an lu.o t v´o.i λ1 = v`a λ2 = lˆ V´o.i λ1 = ta c´o −ξ1 − ξ2 = 0, −ξ1 − ξ2 = ⇒ ξ1 = −ξ2 ´.ng v´o.i λ1 = du.o c x´ac di.nh bo’.i vecto v`a d´o hu.´o.ng ch´ınh tu.o.ng u riˆeng u = (α, −α), α∈R ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 269 v`a sau chuˆa’n h´oa ta c´o 1 E1 = √ , − √ 2 Tu.o.ng tu v´o.i λ2 = ta c´o ξ1 − ξ2 = 0, −ξ1 + ξ2 = ⇒ ξ1 = ξ2 v`a hu.´o.ng ch´ınh u ´.ng v´o.i λ2 = x´ac di.nh bo’.i vecto riˆeng v(β, β), β∈R v`a chuˆa’n h´oa ta du.o c 1 E2 = √ , √ 2 u co so’ e1, e2 dˆe´n co so’ tru c chuˆa’n E1 , E2, Nhu vˆa.y ta d˜a chuyˆe’n t` d´o E1 = √ e1 − E2 = √ e1 + bo’.i ma trˆa.n chuyˆe’n √ e2, √ e2   1 √ √  2   T =  √ −√ 2 ´.ng v`a ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao tu.o.ng u  1 √ √ x = x + y,   2 (6.28) 1  y = − √ x + √ y  2 Dˆe’ t`ım da.ng cu’a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng d˜a cho hˆe to.a dˆo OE1 E2 ta thay (6.28) v`ao phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at d˜a cho v`a thu du.o c 16 2x − √ x − √ y + 25 = 2 (6.29) an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 270 hay l`a x −√ 2 √ √ =4 y − Sau ep ti.nh tiˆe´n song song c´ac tru.c to.a dˆo dˆe´n gˆo´c m´o.i O = √ ph´√ , , phu.o.ng tr`ınh (6.29) hˆe to.a dˆo O XY c´o da.ng ch´ınh 2 √ t˘a´c X = 2Y Su s˘a´p xˆe´p cu’a parabon du.o c chı’ trˆen h`ınh 6.2 ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ H`ınh 6.2 V´ı du Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a m˘a.t bˆa.c hai √ √ 9x2 + 20y + 20z − 40yz − 36x − 2y + 2z + = `e da.ng ch´ınh t˘´ac v`a du ng m˘a.t d´o vˆ Gia’i Da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o da.ng ϕ(x, y, z) = 9x2 + 20y + 20z − 40yz v´o.i ma trˆa.n  0   A = 0 20 −20 −20 20  Ma trˆa.n n`ay c´o ba sˆo´ d˘a.c tru.ng l`a λ1 = 9, λ2 = 40, λ3 = Do d´o da.ng ch´ınh t˘´ac cu’a da.ng to`an phu.o.ng ϕ(·) l`a 2 ϕ1 (·) = 9x + 40y `an t`ım ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng Ta cˆ `e da.ng ch´ınh t˘´ac To.a dˆo cu’a c´ac vecto u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho vˆ 271 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 272 u hˆe phu.o.ng tr`ınh riˆeng du.o c t`ım t` (9 − λi )ξ1 + · ξ2 + · ξ3 = 0, · ξ1 + (20 − λi )ξ2 − 20ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 + (20 − λi )ξ3 = v´o.i λ1 = 9, λ2 = 40, λ3 = a) V´o.i λ1 = ta c´o · ξ1 + · ξ2 + · ξ3 = 0, · ξ1 + 11ξ2 − 20ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 + 11ξ3 = ´.ng v´o.i λ1 = l`a T` u d´o thu du.o c vecto riˆeng u u(α, 0, 0), α ∈ R, α = v`a sau chuˆa’n h´oa ta du.o c E1 = (1, 0, 0) b) V´o.i λ2 = 40 ta c´o 31ξ1 + · ξ2 + · ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 − 20ξ3 = 0, · ξ1 − 20ξ2 − 20ξ3 = ´.ng v´o.i λ2 = 40: v`a t` u d´o thu du.o c vecto riˆeng u v(0, β, −β), β ∈ R, β = v`a sau chuˆa’n h´oa ta du.o c −1 E2 = 0, √ , √ 2 ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ 273 ´.ng l`a c) V´o.i λ3 = ta c´o vecto riˆeng tu.o.ng u w(0, γ, γ), γ ∈ R, γ = v`a sau chuˆa’n h´oa ta c´o 1 E3 = 0, √ , √ 2 Ma trˆa.n chuyˆe’n t` u co so’ e1, e2, e3 dˆe´n co so’ tru c chuˆa’n E1 , E2 , E3 c´o da.ng   0    0 √1 √  T = 2     √ −√ 2 Nhu vˆa.y ph´ep biˆe´n dˆo’i tru c giao du.a da.ng to`an phu.o.ng tu.o.ng `e da.ng ch´ınh t˘´ac c´o da.ng u ´.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh d˜a cho vˆ   x =x,     1 y = √ y +√ z, (6.30) 2   1  z = − √ y + √ z   2 Ph´ep biˆe´n dˆo’i n`ay biˆe´n c´ac vecto co so’ e1 , e2, e3 th`anh   E1 = e1,     1 E2 = √ e2 − √ e3, 2   1  E3 = √ e2 + √ e3   2 (6.31) Dˆe’ t`ım phu.o.ng tr`ınh cu’a du.`o.ng d˜a cho hˆe to.a dˆo m´o.i OE1 E2 E3 ta thˆe´ (6.30) v`ao phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at d˜a cho v`a thu du.o c 2 9x + 40y − 36x − 8y + = an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 274 hay l`a (x − 2)2 (y − 0, 1)2 + = 3, 0, 81 Tiˆe´p theo ta thu c hiˆe.n ph´ep ti.nh tiˆe´n song song hˆe to.a dˆo OE1 E2 E3 −→ mˆo.t vecto OO = 2E1 + 0, 1E2 v`a thu du.o c hˆe O E1 E2 E3 , hˆe d´o phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o da.ng x y + = 1, a2 b a= 3, 6, b = 0, Phu.o.ng tr`ınh n`ay (v`a d´o phu.o.ng tr`ınh d˜a cho) x´ac di.nh m˘a.t tru eliptic v´o.i du.`o.ng sinh E3 Du ng m˘a.t tru eliptic: c` ung v´o.i hˆe to.a dˆo Oe1 e2e3 ta du ng hˆe to.a dˆo O E1 E2 E3 , d´o thay cho viˆe.c du ng c´ac vecto (6.31) ta c´o thˆe’ du ng c´ac vecto −→ OM1 = e1, −→ OM2 = e2 − e3, −→ OM3 = e2 + e3 Su s˘´ap xˆe´p cu’a m˘a.t d˜a cho du.o c chı’ r˜o trˆen h`ınh 6.3 H`ınh 6.3 ´ `e da.ng ch´ınh t˘ o’ng qu´ at vˆ ac 6.2 Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆ ` TA ˆP BAI `e da.ng ch´ınh Du.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a c´ac du.`o.ng bˆa.c hai vˆ t˘´ac v`a nhˆa.n da.ng ch´ ung 3x2 − 2xy + 3y + 2x − 4y + = 32 16 x + y = 1) (DS Du.`o.ng elip, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac 3 2 x + 2xy − y − 6x + 4y − = √ √ (DS Du.`o.ng hypecbˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac 2y − 2x = 1) x2 − 2xy + y + 4x − 6y + = √ (DS Du.`o.ng parabˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac 2y − 2x = 0) 2x2 − 4xy − y + = x2 y2 (DS Du `o ng hypecbˆon, phu o ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac − = 1) ( 8/3)2 5x2 + 4xy + 5y − = (DS Du.`o.ng elip, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac x2 y2 √ + √ = 1) (3/ 7)2 ( 3)2 11x2 + 24xy + 4y − 15 = x2 y2 (DS Du.`o.ng hypecbˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac √ − √ = 1) ( 3/2)2 ( 3)2 2x2 + 4xy + 5y − 24 = x2 y2 (DS Du.`o.ng elip, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac √ + = 1) ( 24)2 x2 − 8xy + 7y − 36 = x2 y2 (DS Du.`o.ng hypecbˆon, phu.o.ng tr`ınh ch´ınh t˘´ac − = 1) `e da.ng ch´ınh Du a phu o ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a c´ac m˘a.t bˆa.c hai vˆ t˘a´c v`a nhˆa.n da.ng ch´ ung 275 276 an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng Chu.o.ng Da.ng to` 6x2 − 2y + 6z + 4xz + 8x − 4y − 8z + = `ang; (DS Du.`o.ng paraboloid mˆo.t tˆ x2 ( 5/4)2 + y2 ( 5/8)2 z2 − ( 5/2)2 10 4x2 + 3y + 2z + 4xy − 4yz + 4x − 2y − 4z − = x2 y2 = 1) (DS M˘a.t tru eliptic; √ + ( 2)2 11 x2 + 2y − 3z + 2x + 8y + 18z − 54 = x2 y2 Z + − = 1) 36 18 12 12 2x2 + y − 4xy − 4yz = `ang; (DS Hypecboloid 1-tˆ x2 y2 +z = ) (DS M˘a.t n´on, 13 2x2 + 2y + 3z + 4xy + 2xz + 2yz − 4x + 6y − 2z + = √ (DS M˘a.t parabˆoloid eliptic, 2x + 5y − 2z = 0) 14 2x2 + 2y + 3z − 2xz − 2yz − 16 = x2 y2 z2 (DS M˘a.t elipxoid, + √ + = 1) (2 2)2 = 1) [...]... Chu.o.ng 1 Sˆo´ ph´ 10 2+ Nˆe´u n = 3m + 1 th`ı √ √ 1 + i 3 3 m 1 + i 3 + S= 2 2 √ √ 1 + i 3 1 − i 3 + = 1 = 2 2 √ 1 − i 3 2 3 m √ 1 i 3 2 ung c´o S = 1 Tu.o.ng tu nˆe´u n = 3m + 2 ta c˜ V´ı du 3 T´ınh biˆe’u th´ u.c 1+ i σ = 1+ 2 1+ i 1+ 2 1+ i 1+ 2 2 22 1+ i ··· 1 + 2 2n 1+ i Gia’i Nhˆan v`a chia biˆe’u th´ u.c d˜a cho v´o.i 1 − ta c´o 2 1 σ= 1 + i 2n 2 1+ i 1 2 2 1 + i 2n +1 2 · 1+ i 1 2 1 = `an... |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|; (iii) |z1 + z2| |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | |z1| − |z2 Gia’i (i) Ta c´o |z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ) V`ı −|z1z2 | Re(z1 z 2) |z1 + z2|2 |z1z2| nˆen |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2 ⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2 | (ii) V`ı |z2 | = | − z2| nˆen |z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2| ´ du.ng (ii) cho z1... dˆ |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2) Gia’i th´ıch y ´ ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a hˆe th´ u.c d˜a ch´ u.ng minh Gia’i Gia’ su’ z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 Khi d´o z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2), z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ), |z1 + z2|2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2)2 , |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 T` u d´o thu du.o c |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x 21 + y1 )2 + 2(x22 + y22 ) = 2(|z1 |2... (1. 11) du.o c go.i l`a da.ng m˜ u cu’a sˆ o´ ph´ u.c C˜ ung nhu dˆo´i v´o.i da.ng lu.o ng gi´ac ta c´o: 1/ nˆe´u z1 = r1 ei 1 , z2 = r2 eiϕ2 th`ı z1z2 = r1 r2 ei( 1+ ϕ2 ) , r1 z1/z2 = ei( 1 −ϕ2 ) , r2 (1. 12) (1. 13) 2/ nˆe´u z = reiϕ th`ı z n = rn einϕ , √ √ ϕ+2kπ n z = n rei n , (1. 14) k = 0, n − 1 ´ V´I DU CAC ˜e n c´ac sˆo´ ph´ V´ı du 1 Biˆe’u diˆ u c sau dˆay du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac √ √ 1) 1. .. diˆe’m z1, z2 v`a z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng tr`on do.n vi Ta t`ım dˆo d`ai cu’a c´ac ca.nh tam gi´ac 1+ T`ım dˆo d`ai |z1 − z2| Ta c´o |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 = x 21 + y12 + x22 + y22 − (2x1 x2 + 2y1 y2) = 2(x 21 + y12) + 2(x22 + y22 ) − [(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2] = 2|z1 |2 + 2|z2 |2 − 2|z1 + z2 |2 Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v`a |z1 + z2| = |z3| Do d´o |z1 − z2|2 = 2|z1 |2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 +... 2i) 3 z 1 V´ı du 6 Gia’ su’ z = a + ib, z = 1 Ch´ l`a u.ng minh r˘`ang w = z +1 `an a’o khi v`a chı’ khi a2 + b2 = 1 sˆo´ thuˆ Gia’i Ta c´o w= (a − 1) + ib a2 + b2 − 1 2b = +i · 2 2 (a + 1) + ib (a + 1) + b (a + 1) 2 + b2 `an a’o khi v`a chı’ khi T` u d´o suy r˘`ang w thuˆ a2 + b2 − 1 = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1 (a + 1) 2 + b2 ` TA ˆP BAI T´ınh (1 + i)8 − 1 · 1 (1 − i)8 + 1 (DS 15 ) 17 2 (1 + 2i)3 + (1 − 2i)3... 1) Gia’i phu.o.ng tr`ınh 1+ Chia hai vˆe´ cu’a phu.o.ng tr`ınh cho (x − 1) n ta du.o c x +1 x 1 n =1 √ 2kπ x +1 2kπ n = 1 = cos + i sin = εk , x 1 n n k = 0, 1, , n − 1 ˜e n sˆo´ ph´ 1. 4 Biˆe’u diˆ u.c du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac T` u d´o suy r˘a`ng x + 1 = εk (x − 1) ⇒ x(εk − 1) = 1 + εk Khi k = 0 ⇒ ε0 = 1 Do d´o v´o.i k = 0 phu.o.ng tr`ınh vˆo nghiˆe.m V´o.i k = 1, n − 1 ta c´o (εk + 1) (εk − 1) ... b2 = 4, (1. 3) 2ab = −3 (1. 4) 3 T` u (1. 4) ta c´o b = − Thˆe´ v`ao (1. 3) ta thu du.o c 2a 4u2 − 16 u − 9 = 0, u = a2 √ 8 + 10 18 9 8 + 10 0 = = = , u1 = 4 4 4 2 ⇐⇒ √ 8 − 10 1 8 − 10 0 u2 = = =− · 4 4 2 V`ı a ∈ R nˆen u 0⇒u= 9 v`a do vˆa.y 2 3 1 a = ±√ ⇒ b = ∓√ · 2 2 T` u d´o ta thu du.o c 1 3 w1,2 = ± √ − √ i 2 2 ˜e n sˆo´ ph´ V´ı du 5 Biˆe’u diˆ u.c √ √ 5 + 12 i − 5 − 12 i √ z=√ 5 + 12 i + 5 − 12 i √ √ `eu... = (z1 + z2 ) − z2 v`a thu du.o c (iii) Ap |z1| |z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2| u.c Chu.o.ng 1 Sˆo´ ph´ 16 (iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2| Nhˆ a.n x´et C´ac bˆa´t d˘a’ng th´ u.c (iii) v`a (iv) c`on c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng (iii)∗ |z1 + z2 | |z1| − |z2| ; (iv)∗ |z1 − z2 | |z1| − |z2| Thˆa.t vˆa.y ta c´o |z1 + z2| |z1| − |z2| v`a |z1 + z2| |z2| − |z1 | C´ac... Ta cˆ 1+ i 2 2n +1 = 1+ i 2 2 2n i = 2 2n n i2 1 = 2n = 2n · 2 2 Do d´o 1 1 2 1 − 2n n 1+ i 2 2 2 × σ= = 1+ i 1 i 1+ i 1 2 1 = 1 − 2n (1 + i) 2 √ ˜e n sˆo´ ph´ V´ı du 4 Biˆe’u diˆ u.c 4 − 3i du.´o.i da.ng da.i sˆo´ `an t`ım sˆo´ ph´ Gia’i Theo di.nh ngh˜ıa ta cˆ u.c w sao cho w2 = 4 − 3i Nˆe´u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı 1 4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi 1. 2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c 11 T` u ... 89 10 9 10 9 10 9 11 8 11 8 11 9 13 2 13 2 13 3 13 4 13 4 14 3 16 5 n Khˆ ong gian Euclide R - i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆ `eu v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co 5 .1 D `e vecto ... cho v´o.i − ta c´o 1 σ= + i 2n 1+ i 1 2 + i 2n +1 · 1+ i 1 1 = `an t´ınh Ta cˆ 1+ i 2n +1 = 1+ i 2 2n i = 2n n i2 = 2n = 2n · 2 Do d´o 1 − 2n n 1+ i 2 × σ= = 1+ i 1 i 1+ i 1 = − 2n (1 + i) √ ˜e n sˆo´... (a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒ b1 = b2 (II) Ph´ep cˆo.ng - inh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 1. 1 D u.c def (a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ) .1 (III) Ph´ep nhˆan def (a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1