Bài tập giới hạn hàm số Giới hạn hàm phân thức hữu tỉ - Nếu tử mẫu số có nghiệm x  a ta đơn giản tử mẫu cho x  a - Một số đẳng thức thường dùng: a  b   a  b a  b a3  b3   a  ba  ab  b  a  b3  a  ba  ab  b  a n  bn   a  ba n1  a n2b   ab n2  b n1  a n  b n  a  b a n1  a n2b  a n3b   ab n2  b n1  với n lẻ Tính giới hạn: x 11x  21 a lim x  x  x  14 b.lim x 1    e.lim   x1 1  x 1 x   a b   f lim   ; a, b   a  x 1 1 x 1 x b  x  x  x  3x  x  x  x 1  x n 1 x n1 1  x nk 1 1 g lim x1  x 1 x2 1  x k 1  xn  a n   na n1  x  a x4  2x2  c.lim x 1 x  x  x m 1 ; m, n   d lim n x 1 x 1 h.lim ,n    x  a xa Giải:  x  72 x  3 x 11x  21 x  17  lim  lim  x x  x  14 x   x   x  2 x7 x  a.lim  x 1  x  x  2 x  x  x  3x  x2  x   lim  lim 2 b.lim x 1 x 1 x1 x  x  x 1 x 1  x 1  x  1  x 1 x3  x  3x  3 x4  2x2   lim  8 c.lim x 1 x  x  x 1  x 1 x  2 d lim x 1 2 x m1  x m   x    1  x 1 x  x   x 1 x 1 m m so hang  lim  lim n1  n n  n n   x1 x x 1 x1  x 1 x  x   x  1  x    x   1 n m m1 m2 n so hang   x 1 x  2  x  x2 e.lim    lim  lim  1  x1  1 x 1 x  x1 1 x 1  x  x  x1 1 x 1  x  x  f Phân tích: Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức  a b  a b      1 x a 1 x b 1 x 1  x  x   x a1  x  x   x b1   a 1  x   xb1   b 1  x   x a1  1 x 1  x   x a1 1  x   xb1  Khi thay x  vào đa thức f  x   a 1  x   x b1   b 1  x   x a1  x  nghiệm Dùng sơ đồ Hoocne ta phân tích : f  x    x 1  a  x b2  x b3   b  2 x  b 1  b  x a2  x a3   a 1 Vậy :   b2 b3 a2 a3 a  x  x   b  2 x  b 1  b  x  x   a 1 a b     x a  xb 1 x   x a1 1  x   xb1  a 1     b 1  b 1    a 1  a b     lim   a b x1 1  x a.b 1 x  b b 1 a a 1  b a b 2   ab g Ta có phân tích: x n 1   x 1 x n1  x n2   1 a x n1 1   x 1 x n2  x n3  1 x nk 1 1   x 1 x nk  x nk 1  1   x n 1 x n1 1  x nk 1 1   x 1  x n1  1 x n2  1  x nk  1 k x 1 x 1   x 1 x  1 x 1   x 1 x  x 1 x k 1   x 1 x k 1  x k 2   1   x 1 x 1  x k 1   x 1  x  1 x  x 1  x k 1  x k 2  1 Vậy: k  x 1  x n1  1 x n2  1  x nk  1  x n 1 x n1 1  x nk 1 1 lim  lim k x1 x 1  x 1 x 1  x k 1  x 1  x  1 x  x  1  x k 1  x k 2  1 k Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức  x n1  1 xn2  1  xnk  1 n.n 1 n  k 1  x1 1.2 k  x  1 x  x  1  x k 1  x k 2   1  lim  n. n 1 n  k  1  n  n 1 n  k  1n  k ! k! k ! n  k ! h Đặt x  a  t  x  t  a; t  0, x  a , ta có:  Cnk  xn  a n   na n1  x  a  t  an  a n  na n1t  Cn0t n  Cn1t n1.a   Cnn2t a n2  Cnn1t.a n1  Cnn a n   a n  na n1.t  t Cn0 t n2  Cn1t n3.a   Cnn2 a n2  Vậy: lim x n  a n  na n1  x  a   x  a x a t  a   a n  na n1t n  lim t 0 t  lim Cn0t n2  Cn1t n3 a   Cnn2 a n2  t 0  Cnn2 a n2 Giới hạn biểu thức vô tỉ Tính giới hạn:  x  x 1 a lim x0 x 2  x  x   2x  x2 b lim x2 x  3x  5x 15 c lim KQ : x0  x  1 x d lim x0 e f g h i j  lim   3x   x x  x2 x   lim  lim  lim  lim x  x  x  KQ :  x   x 1 lim x  x  KQ : 1 x  x   x  x  x x  x  x x  x  x x  5x  x KQ : KQ : KQ :  2 KQ :  KQ :1 KQ :  2  k lim  x 13  x 13  x     KQ : KQ : Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức Giải:  x  x 1  lim a lim x0 x0 x x  x  x2   x  x 1  lim x 1 x  x  x 1  x  x2   x  x  lim x x  3x   x  2 x  1 b lim  x2  lim x2  x  1  x  x   x  x    3x   x  x   x  x2  1/3 2/3 2/3 x 1  x  1  x   1  x   5x  c lim  lim  x0 x0 1  x  1  x  x  1 x 1/3 15 2/3 2/3  lim 1  x   1  x   1  x    x   3 1  x  1  x  3x   x  lim d lim 1/3 2/3 2/3 x0 x xx x 1  x 1  x  1  x1  x   1  x     5  lim  1/3 2/3 2/3 x 1  x 1  x  1  x1  x  1  x    2 e lim x   x   lim  lim 0 2 x  x  x   1 x   x 1 x       x x  f lim  x  x  lim x  x3   lim 0 2/3 x  x x  x  x x 1   x3  1           5 x  x  x  lim x    1  lim x    1   x  x  x x  x   5x 5x x  x  x  lim  lim h lim x  x x  x  x x x   x x 5x 5  lim  lim  x x 5 x   x   1 x x x x  x  x  lim  lim 1 i lim x  x x  2  1 x 1  x x x     2 j lim x  x  x  lim  x   x  lim x    1   x  x   x x   x   g lim         Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức 2  1/3 1/3 1/3 1/3 k lim  x  13   x 13   lim  x  1   x  1   x  1   x 1  x   x        1/3 1/3  x  1   x  1     lim 0 1/3 2/3 2/3 x  x  1   x 1   x 1 Tính giới hạn:  3x  1 x a lim x0 1 x  1 x KQ : 6 a x  n ax 1 b lim , n   KQ : a n x0 x n  3x   x   x   x c lim x0  2x  x   x n d lim a  ax  x  a  ax  x    n  x2  x    x2  x n KQ : 2n x0 f 313 280 KQ : a a x  ax x0 e lim KQ : x n k  ax   bx lim , n, k  , a, b  x0 x KQ : ak  bn nk Giải: Ta sử dụng giới hạn : Với lim u x   x x n  lim x0  x 1  x n 1  x 1 n ; lim x x0  u  x  1 u  x 1 u  x     n 1  x x0 x u  x Hoặc thay vô bé (VCB) tương đương : (VCB  ) u  x x n  u  x    n  x 1  , x  0; , u  x  n n  lim  1  x    x, x  ; x0 ;  1  u  x     u  x , u  x    3x   x x 3 x0 x x 1 x  1 x 1 x  1 x   3x 1    x  x     lim    x 1    x  x  x   a lim  3x   x lim  lim Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức          x      x  1     lim 3x       x     3x 2 x     x  1  x  1          x x        1   6  0     1 / 1 /   x x n a  n     n   n  a a  a x  n ax  lim b lim x0 x x x a a   x x   n   n   1 1 n 1    1 a a a lim      a n     a n x x  n n n a x0     a a    3x   x   x   x c lim x0  lim   2x  x   x    x 1    x 1     x 1  x    x 1  3x 1  x  lim x 1 /   / 6  d lim a  ax  x  a  ax  x 2 2  lim a x  ax x0  a lim 3x x x x     lim x x 2x  x VCB  313 280 3   x 1 x 3 /  /  /  / 7 x 2   a   x  x   x  x  a a a a   x a  1 x a  1 x a        x  x 2 1     x  x 2 1  a a  a a          x a 1  1 x a 1 x0  x x   x x  2x        1 VCB  a a a a      a lim  a lim 3a  a x x x x  x      a 2a  2a  e lim x0    n  x2  x  x  x2  x  n 1    lim  x    x  x    1    x Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức n    x  x    n 1    lim   x VCB   lim n    x  x      1    x n    x2  x 1  n x  x 0    ax 1   bx 1  ax  k  bx  lim x0 x0 x x ax bx  VCB  k  ab  lim n x x n k n lim k Giới hạn hàm lượng giác Các giới hạn lượng giác thường dùng: Với lim u x   : x x  lim sin u x  sin x  ; lim 1 x x x u x   lim tan x  1; x  lim arctan x  1; x  lim arcsin x  1; x  lim  lim x 0 x 0 x 0 x 0  cos x  ; x 0 x  cos x  0; x 0 x lim x x lim x x lim x x lim x x lim x x tan u x  u x  1 arctan u x  1 u x  arcsin u x  u x  1  cos u x  u x     cos u x  u x  n   lim 2nx  2n  x2  x 1 x n f   x  x 1    0 Tính giới hạn: x a lim KQ : x  x arctan x b lim KQ : x  2x sin Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức x c x2  x 2 arctan x    d lim x 0 tan x  sin x x2 e lim x cot 5x x 0 f KQ : 4 lim lim 1  x  tan x 1 KQ : x KQ : KQ :   x2 KQ : x 1 sin x  sin x h lim KQ : x    x 2 cos mx  cos nx i lim KQ : n  m 2 x 0 x  3 j lim x cos  cos  KQ : x  x x   g lim  k lim x 0 l lim sin a  x   sin a  x   sin a  cos x  m lim sin x   sin x  cos x  x 0 x2 x x cos  sin 2 o lim  cos x x r lim x 0 cos x  1  tan2 x KQ : KQ : KQ : 3  x KQ : 2 cos a KQ :   sin x     p lim  x   cos x  KQ :  n lim q lim KQ :  sin a x2 cos a  x   cos a  x   cos a x 0 x    tan x   tan x sin x KQ : Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức s m cos ax  m cos bx lim x 0 x2 KQ : t cos x  cos x lim x 0 sin2 x KQ :   cos x cos 2x x 0 tan x u lim  x sin x  cos x x sin 2 v lim x 0 KQ : b2  a 2m KQ : Giải: x đại lượng bị chặn, vô bé x   Tích đại x lượng bị chặn vô bé vô bé x sin 0  lim x  x  b Chứng minh: lim arctan x  x   Ta có lim tan t   đặt x  tan t   nên t  arctan x   t a Ta có sin arctan x   lim 0 x  x  4x 2x x2  x 2  lim x  2  1.4  4 c lim x 2 arctan x    x 2 arctan x  2 Vậy: lim    1 sin x  tan x  sin x sin x  cos x  cos x   lim  lim  1.0.1  d lim 2 x 0 x 0 x 0 x x cos x x x x 5x 1  lim   e lim x cot 5x  lim x 0 x  tan 5x x  tan 5x 5 f Đặt t   x  x   t  x   t    Ta có: tan      cot     tan    x  t  tan 1  t   tan   t   cot 2  2  Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức t   t    tan g Ta có sin      sin   sin x  sin   x   sin  1  x  x t  lim t cot  lim Vậy: lim 1  x  tan x 1 t 0 t 0 2  1  x   x 1 x2 2  lim   x 1 sin x x 1 sin   x      Vậy: lim h Tương tự câu g : lim x  i sin   x  sin x  lim  2 x   x    x    x 2  cos nx  1  cos mx  cos mx  cos nx  lim x 0 x 0 x x2   2   cos nx  cos mx    n  m m  lim n  2  x 0   nx  mx   2 lim x t  x a b a b sin Ta có: cos a  cos b  2 sin 2  cos  cos  cos t  cos 3t  2 sin 2t  sin t  x x  3 cos t  cos 3t sin 2t sin t Vậy: lim x cos  cos   lim  lim x  t 0 x x  t 0 t t2  j Đổi biến: t  sin 2t sin t 4 t 0 2t t a b a b cos k Ta có: sin a  sin b  sin 2  sin a  x   sin a  x   sin a cos x  4.lim Vậy: lim sin a  x   sin a  x   sin a x 0   sin a x a b a b Ta có: cos a  cos b  cos cos 2  cos a  x   cos a  x   cos a cos x  lim x 0 l x 2 sin a 1  cos x  sin a cos x  sin a x 0 x2  lim  2 sin a Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức Vậy: lim cos a  x   cos a  x   cos a  cos x x 0 m Ta có: sin a  sin b  cos  lim x 0 cos a cos x  cos a  2 cos a  cos x a b a b sin 2 x2   x2 1 x2   x2 1 sin 2 x2   x2 1  cos sin x2   x2   sin x   sin x   cos Khi x   sin  tức vô bé cos x2   x2 1 x2   x2  đại lượng bị chặn, tích vô bé đại lượng bị chặn vô bé   Vậy: lim sin x   sin x   x  n lim x 0  cos x  1  cos x  1   cos x  1  lim      2 x 0 cos x    x x    x  x  t  x   t  2 sin a  b   sin a cos b  sin b cos a o Đổi biến: t  Ta có: cos a  b   cos a cos b  sin a sin b  t   t  x x  sin  cos     sin        2  t t  t t t  cos  sin   cos  sin   sin 2  2  2 2  t   t  x x t cos     sin    cos  sin sin     4   2  lim t  Vậy: lim  lim  t 0 t 0   cos x sin t t x 2 cos   t    2  cos    x t  x  t  3 Ta có: cos a  b   cos a cos b  sin a sin b p Đổi biến: t  x     cos x  cos t    cos t  sin t   Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức   sin x     sin t sin t 1  lim  lim  Vậy: lim   cos x t 0 t 0 t  cos t x  cos t  sin t sin t 3  t t    q Đổi biến: t  x   x  t   x   t  4    Ta có: cos x  cos t    cos t  sin t     2t    cos    2 sin 2t cos2 x  sin x cos 2x Và :  tan2 x       cos 2x cos x    sin 2t  cos 2t     Vậy: lim  x cos x  cos t  sin t   lim 1  sin 2t  t  2 sin 2t  tan x  sin t  cos t  2t sin t   cos t 2t   lim 1  sin 2t   lim   1  sin 2t  t 0 2t sin 2t t 0  t t  sin 2t  r 1 1  0.1.1  4  tan x   tan x  tan x   tan x tan x  lim x  sin x tan x sin x   tan x   tan x    lim    1 /  / 2.1   x 0   tan x  cos x  tan x lim x 0 m  cos ax     m  cos bx      cos ax  m cos bx  lim x 0 x 0 x2 x2 m  m   cos ax  1  cos ax    cos bx  1 cos bx    lim  a  b  2 x 0  cos bx   cos ax  1  ax bx      2     1 b a    a      b      m  m   2m m s t lim cos x     cos x  1 cos x  cos x  lim x 0 x 0 sin2 x sin2 x    cos x  1   cos x  1    lim    x 0  sin x sin x   lim Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức    cos x  x   cos x  1 cos x  x   lim    2 x 0  cos  x x sin x x sin x     1 / 2.1  1 / 3 1 / 2.1    cos x  cos x  cos x  cos 2x  1  cos x cos 2x  lim x 0 x 0 tan x tan x     cos x   cos 2x  1    lim   cos x  x 0  tan x tan x       cos 2x  1 cos 2x  4x    cos x x2   lim   cos x 2 2 x 0  x x x tan tan x  cos   2x        1        2     u lim  x sin x  cos x  x sin x    cos x  lim x 0 x 0 x x sin2 sin2 2      x sin x  1  cos x    lim   x 0   x x    sin sin  2  2   x   x            x sin x    sin x  cos x    1   lim    4.1    x 0   x sin x x x x 2 x 2  sin sin   2    v lim Giới hạn hàm lũy thừa Khử dạng vô định mũ:   x   e  với   lim  f x   1  x  Vô định 1 : lim  f x    x x  x x    e  với   lim  x  ln f x  Vô định 00 , 0 : lim  f x   x x  x x Các giới hạn  tính phương pháp tính giới hạn  Tính giới hạn: x 1  2x     a lim  x    2x   x KQ : e Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức x4  x  1   b lim   x   x   KQ : cot x c lim 1  tan x  x 0  d lim  tan x x 0 cot2 x  KQ : e KQ : e  cos x x  e lim  x 0   cos2x  f cot x lim sin x  x  KQ : e KQ : 1 Phóng to dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức [...]... x 2 2  sin sin   2 2    v lim 4 Giới hạn hàm lũy thừa Khử dạng vô định mũ:   x   e  với   lim  f x   1  x  Vô định 1 : lim  f x    x x 0  x x 0    e  với   lim  x  ln f x  Vô định 00 , 0 : lim  f x   x x 0  x x 0 Các giới hạn  có thể tính bằng các phương pháp tính giới hạn trên  Tính giới hạn: x 1  2x  3    a lim  x   ...  cos x x 0 m Ta có: sin a  sin b  2 cos  lim x 0 2 cos a cos x  2 cos a  2 cos a 1  cos x a b a b sin 2 2 x2  1  x2 1 x2  1  x2 1 sin 2 2 x2  1  x2 1 1  2 cos sin 2 x2  1  x2  1  sin x 2  1  sin x 2  1  2 cos Khi x   thì sin 1  0 tức là một vô cùng bé cos x2  1  x2 1 2 x2  1  x2  1 là một đại lượng bị chặn, do đó tích của một vô cùng bé và đại lượng bị chặn là... Ta có: cos a  b   cos a cos b  sin a sin b p Đổi biến: t  x     2 cos x  2 cos t    cos t  3 sin t 3   Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức   sin x    3  sin t sin t 1 1  lim  lim  Vậy: lim  1  2 cos x t 0 t 0 t 1  cos t x 1  cos t  3 sin t 3 sin t 3 3  t t    q Đổi biến: t  x   x  t   x   t  0 4 4 4    Ta có: ... cos x  1  1 cos x  1 1  1  cos x  1 1  lim      2 2 x 0 cos x  1 2  2  4 x x    x  x  t  x   t  0 2 2 2 sin a  b   sin a cos b  sin b cos a o Đổi biến: t  Ta có: cos a  b   cos a cos b  sin a sin b  t   t  x x  sin  cos     sin     4 2   4 2  2 2 1  t t 1  t t t  cos  sin   cos  sin   2 sin 2 2  2 2  ...  x  ln f x  Vô định 00 , 0 : lim  f x   x x  x x Các giới hạn  tính phương pháp tính giới hạn  Tính giới hạn: x 1  2x     a lim  x    2x   x KQ : e Phóng to...  ax  k  bx  lim x0 x0 x x ax bx  VCB  k  ab  lim n x x n k n lim k Giới hạn hàm lượng giác Các giới hạn lượng giác thường dùng: Với lim u x   : x x  lim sin u x  sin x  ;... lim t 0 t  lim Cn0t n2  Cn1t n3 a   Cnn2 a n2  t 0  Cnn2 a n2 Giới hạn biểu thức vô tỉ Tính giới hạn:  x  x 1 a lim x0 x 2  x  x   2x  x2 b lim x2 x  3x  5x 15 c lim