BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN THỊ THÙY LINH TÍNH ARTIN CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN THỊ THÙY LINH TÍNH ARTIN CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Tuấn Nam Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011 Mục lục Lời nói đầu Lời Cảm Ơn Danh mục kí hiệu Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.Giới hạn ngược 1.2 Tô pô đầy đủ 1.3 A – đại số 10 1.4 Các khái niệm iđêan 10 1.5 Hom, Ext, Tenxơ Tor 11 1.6 Các khái niệm vành 13 1.7 Các khái niệm môđun 13 1.8 Đối ngẫu Matlis 20 1.9 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 22 Chương 26 TÍNH ARTIN CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC 26 2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC 26 2.1.1 Đa thức Hilbert 35 2.2 TÍNH ARTIN CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC 41 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Lời nói đầu Cho R = ⊕ n ≥0 R n ,n ∈ N vành Noether với vành địa phương (R ,m ) gọi M R- môđun phân bậc hữu hạn sinh Môđun đối đồng điều địa phương phân bậc H iR + (M) thành phần phân bậc chúng có liên quan mật thiết đến cụm đối đồng điều sơ đồ xạ ảnh Do thật quan trọng cho việc nghiên cứu tính Artin môđun phân bậc Brodmann, Fumasoli Tajarod [BFT] chứng minh vành địa phương R có dim R ≤ , với i với tất ideal m - nguyên sơ q , R – môđun phân bậc H iR + (M) q H iR + (M),(0 :Hi R+ (M) q ) Artin , chiều dài thành phần phân bậc môđun hình thành đa thức Tiếp theo, tác giả [BRS] chứng minh bậc đa thức không phụ thuộc vào việc chọn q Trường hợp dim R = , vấn đề chuyển sang tình khác Ở đây, R – môđun phân bậc H iR + (M) m H iR + (M),(0 :Hi R+ (M) m ) nhìn chung không cần Artin ([BFT], ví dụ 4.1, 4.2) Hơn nữa, số hàm không cần đa thức, điều chứng minh ví dụ Katzman Sharp Đặt g= g(M) số nguyên lớn cho R - môđun H iR + (M) n có độ dài vô hạn với vô hạn số nguyên n Tác giả [BRS] chứng minh i ≤ g , Γ m0 (H iR + (M)) Artin Đặt c = c(M) số nguyên i lớn cho H iR + (M) ≠ Rotthaus Sega [RS] chứng minh H cR + (M) m H cR + (M) Artin Chúng ta ứng dụng kết với số nguyên a lớn cho H aR + (M) không Artin Đặt a = a R + (M) số nguyên lớn cho H aR + (M) không Artin Chúng ta chứng minh H iR + (M) m H iR + (M) Artin ∀i ≥ a Ta có đa thức P ∈ Q[x] có bậc bé a cho Luận văn thạc sĩ Toán học Trang Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều…  length R (H aR + (M) n m H aR + (M) = P(n), ∀n  n) Tiếp theo ta suy luận H iR + (M) q H iR + (M) Artin với ideal m nguyên sơ q , độ dài thành phần phân bậc môđun phân bậc hình thành đa thức bậc không phụ thuộc vào q Với ideal phân bậc a R R – môđun phân bậc N, ta gọi N I – cofinite Supp(N) ⊂ V(I) Ext iR (R I, N) phân bậc hữu hạn sinh ∀i ≥ Ta định nghĩa s = c I (N) số nguyên cho môđun đối đồng điều địa phương H sI (N) không I – cofinite Chúng ta chứng minh ∀i ≤ s =c R + (M) môđun phân bậc Γ m0 (H iR + (M)) Artin tồn đa *  : thức P ∈ Q[x] có bậc dim R ( D(0 Γ m0 (Hs + (M)) m )) cho R  length(Γ m0 (H sR + (M))) = P(n), ∀n  Nội dung luận văn chia làm hai chương cụ thể sau: Chương 1: Kiến thức sở Trong chương này, nhắc lại khái niệm số mệnh đề sử dụng chương Chưng 2: Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương phân bậc Chương gồm ba phần: Phần một: Môđun đối đồng điều địa phương phân bậc Định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương phân bậc thành phần phân bậc chúng Trình bày tính chất thành phần phân bậc môđun đối đồng điều địa phương phân bậc Mệnh đề 2.1.1 Trình bày số nội dung cần thiết để sử dụng phần hai, cụ thể Mệnh đề 2.1.1, Định lí 2.1.1, Bổ đề 2.1.1, Bổ đề 2.1.2, Định lí 2.1.2, Hệ 2.1.1, Mệnh đề 2.1.2, Định lí 1.3 Phần hai: Đa thức Hilbert Luận văn thạc sĩ Toán học Trang Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Định nghĩa đa thức Hilbert, đồng thời đưa mối liên hệ đa thức với độ dài thành phần phân bậc môđun Artin đối đồng điều địa phương phân bậc cụ thể Định lí 2.2.1, Định lí định nghĩa 2.2.2, Mệnh đề 2.2.1 Phần ba: Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương phân bậc Bổ đề 2.3.1 Cho x ∈ M phần tử không ước M, ta có a R + (M xM) ≤ a R + (M) Với a I (M) = sup {i | H iI (M) không Artin} Định lí 2.3.1 Cho a = a R + (M) Khi H iR + (M) m H iR + (M) Artin với i≥a Mệnh đề 2.3.1 Cho a = a R + (M) m ∉ Att R (H aR + (M) m H aR + (M)) Khi tồn phần tử x ∈ R1 cho a R + (M xM)= a − Định lí 2.3.2 Đặt a = a R + (M) Khi tồn đa thức P ∈ Q[x] có bậc  bé a cho length R (H aR + (M) n m H aR + (M) = P(n), ∀n  n) Hệ 2.3.1 Cho a = a R + (M) q ideal m - nguyên sơ R Khi H aR + (M) q H iR + (M) Artin tồn đa thức P ∈ Q[x] cho deg P = deg P length R (H aR + (M) n q H aR + (M)= P(n), ∀n  n )) Định lí 2.3.3 Đặt s = c R + (M) với i > i < s Khi Γ m0 (H iR + (M)) Artin Hệ 3.2 Cho s < ∞ Khi ta có điều kiện sau: a) Tồn đa thức P ∈ Q[x] cho  length R (Γ m0 (H sR + (M) n ) = P(n), ∀n  Luận văn thạc sĩ Toán học Trang Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… b) Nếu q ideal m - nguyên sơ R , tồn đa thức P ∈ Q[x] cho  :  dim ( * D(0 deg(P) = deg(P) =  Γ R length R ((0 :Hs R+ (M) n m0 (HsR + (M)) m0 ) q= P(n), ∀n  )) { Đặt q(M) := sup i | H iR + (M) không Artin } Nếu H iR + (M) Artin với i, ta quy ước q(M) = −∞ Định lí 2.3.4 Giả sử R vành địa phương với ideal tối đại m * q(M) M R – môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi H q(M) R + (M) m H R + (M) môđun Artin Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn tận tình thầy Trần Tuấn Nam Mặt dù thân có nhiều cố gắng với số lượng thời gian kiến thức có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung quý Thầy Cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Trần Thị Thùy Linh Luận văn thạc sĩ Toán học Trang Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Lời Cảm Ơn Luận Văn hoàn thành nhờ hướng dẫn tận tình thầy TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Toán Tin, lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Cuối cùng,tôi xin chân thành cảm ơn tận tâm nhiệt tình PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao Học chuyên ngành Đại Số Lí Thuyết Số khóa 20 Trần Thị Thùy Linh Luận văn thạc sĩ Toán học Trang Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Danh mục kí hiệu BẢNG KÍ HIỆU lim  A i : Giới hạn ngược họ R – môđun A i i∈I  : Đầy đủ vành R R I : Radical iđêan I V(I): Tập tất iđêan nguyên tố R I Ass R (M) : Tập tất iđêan nguyên tố liên kết với R – môđun M Ann R (M) : Linh hóa tử R – môđun M Supp R (M) : Giá R – môđun M Att R (M) : Tập tất iđêan nguyên tố liên kết với R – môđun M Hom R (X,Y) : Tập tất R – đồng cấu từ môđun X vào Y Ext n (C,A) : Mở rộng bậc n môđun A C X ⊗ Y : Tích tenxơ môđun X Y TornR (A,B) : Tích xoắn n – chiều R môđun A B length R M : Độ dài R – môđun M ht R M : Độ cao R – môđun M depth R (M) : Độ sâu R – môđun M E(M) : Bao nội xạ R – môđun M * E(M) : Bao nội xạ R – môđun phân bậc M D(M) : Đối ngẫu Matlis R – môđun M * D(M) : Đối ngẫu Matlis R – môđun phân bậc M Luận văn thạc sĩ Toán học Trang Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Γ I (M) : Hàm tử I – xoắn R – môđun M H iR (M) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i R – môđun M ( Môđun đối đồng điều địa phương phân bậc thứ i R – môđun phân bậc M) ε (R) : Phạm trù R – môđun R – đồng cấu ε (R ′) : Phạm trù R’ – môđun R’ – đồng cấu ε (R) : Phạm trù R – môđun phân bậc R – đồng cấu * Luận văn thạc sĩ Toán học Trang Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều…  0T T q T = T q R   Vì T m 0T = T m R 0 T , nên thay R R , *  * D đo giả sử R đầy đủ đồng D Vì q m - nguyên sơ, nên có n ∈ N : m 0n ⊆ q Vì * D hàm tử phản biến khớp, toàn cấu R – môđun phân bậc T m n0 T → T q 0T → T m 0T suy đơn cấu R – mô đun phân bậc * D(T m 0T) → * D(T q 0T) → * D(T m n0 T) Ta chứng minh Supp( * D(T m n0 T)) ⊆ Supp( * D(T m 0T)) Chứng minh quy nạp theo n Khi n = , hiển nhiên Khi n > , đặt µ := dim R (α ) m0 (m 0n −1 m 0n ) Xét dãy khớp → (R m ) ⊕µ → R m n0 → R m n0 −1 → Do ta có dãy khớp R – môđun phân bậc → T m n0 −1T → T m n0 T → U → Với U môđun phân bậc (R m ) biểu đồ sau với dòng cột khớp ⊕µ Tác động hàm tử * D ta nhận 0 → * D(U) → * D(T m n0 T) → * D(T m n0 −1 T) * D(R m ) Luận văn thạc sĩ Toán học ⊕µ Trang 40 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Suy ra: Supp( * D(T m n0 T)) ⊆ Supp * D(R m ) ∪ Supp( * D(T m n0 −1 T)) Theo giả thiết quy nạp ta điều phải chứng minh 2.2 TÍNH ARTIN CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC Cho R = ⊕ n ≥0 R n ,n ∈ N vành Noether với vành địa phương (R ,m ) gọi M R- môđun phân bậc hữu hạn sinh Cho a số nguyên lớn cho H aR + (M) không Artin Chúng ta chứng minh H iR + (M) m H iR + (M) Artin ∀i ≥ a tồn đa thức P ∈ Q[x] có bậc  bé a cho length R (H aR + (M) n m H aR + (M)= P(n), ∀n ≤ n) Gọi s số nguyên cho môđun đối đồng điều địa phương H sR + (M) không R + - cofinite Chúng ta chứng minh ∀i ≤ s môđun phân bậc Γ m0 (H iR + (M)) Artin Cho R = ⊕ n ≥0 R n vành Noether với vành địa phương (R ,m ) Vì R vành Noether có hữu hạn phần tử l1 ,l2 ,l3 , lr ∈ R1 cho R = R [l1 ,l2 ,l3 , lr ] Đặt R + = ⊕ n >0 R n ideal R đặt m =: m ⊕ R + ideal tối đại phân bậc R Mặt khác gọi q ⊆ R ideal m - nguyên sơ Cuối đặt M = ⊕ n∈Z M n R – môđun phân bậc hữu hạn sinh Đặt * E := * E R (R m) hình bao nội xạ* R – môđun phân bậc R m , đặt E := E R (R m ) hình bao nội xạ R - môđun R m Ngoài , với R – môđun phân bậc T = ⊕ n∈Z Tn R - môđun U, đặt * D(T) := * Hom R (T, * E) * D0 (U) := Hom R (U,E ) gọi đối ngẫu Matlis T đối ngẫu Matlis* U Gọi A R – môđun Artin phân bậc  đầy đủ R với tô pô m - adic Dễ nhận thấy, R  - môđun A R 0 môđun Artin với length = length R (A n ), ∀n ∈ Z Thật độ dài R (A n )  - môđun A đa thức (như thành phần phân bậc R  - môđun A có đa thức tương tự R) Chúng ta gọi đối ngẫu Matlis* R  (A)  - môđun A * D R Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 41 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Môđun H iR + (M) thành phần phân bậc chúng có liên quan mật thiết đến cụm đối đồng điều sơ đồ xạ ảnh Do đó, thật quan trọng với việc nghiên cứu tính Artin môđun phân bậc Brodmann, Fumasoli Tajarod [BFT] chứng minh vành địa phương R có dim R ≤ , với i với tất ideal m - nguyên sơ q , R – môđun phân bậc H iR + (M) q H iR + (M),(0 :Hi R+ (M) q ) Artin , chiều dài thành phần phân bậc môđun hình thành đa thức Tiếp theo, tác giả [BRS] chứng minh bậc đa thức không phụ thuộc vào việc chọn q Trường hợp dim R = , vấn đề chuyển sang tình khác Ở đây, R – môđun phân bậc H iR + (M) m H iR + (M),(0 :Hi (M) m ) nhìn chung không cần Artin ([BFT], ví R+ dụ 4.1, 4.2) Hơn nữa, số hàm không cần đa thức trường hợp này, chứng minh ví dụ Katzman Sharp Đặt g= g(M) số nguyên lớn cho R - môđun H iR + (M) n có độ dài vô hạn với vô hạn số nguyên n Tác giả [BRS] chứng minh i ≤ g , Γ m0 (H iR + (M)) Artin Đặt c = c(M) số nguyên i lớn cho H iR + (M) ≠ Rotthaus Sega [RS] chứng minh H cR + (M) m H cR + (M) Artin Chúng ta ứng dụng kết với số nguyên a lớn cho H aR + (M) không Artin Đặt a = a R + (M) số nguyên lớn cho H aR + (M) không Artin Chúng ta chứng minh H iR + (M) m H iR + (M) Artin ∀i ≥ a Ta có đa thức P ∈ Q[x] có bậc bé a cho  length (H a (M) m H a (M) = ) P(n), ∀n  Tiếp theo ta suy luận R0 R+ n R+ n H iR + (M) q H iR + (M) Artin với ideal m - nguyên sơ q , độ dài thành phần phân bậc môđun phân bậc hình thành đa thức bậc không phụ thuộc vào q Với ideal phân bậc a R R – môđun phân bậc N, ta gọi N I – cofinite Supp(N) ⊂ V(I) Ext iR (R I, N) phân bậc hữu hạn sinh ∀i ≥ Ta định nghĩa s = c I (N) số nguyên cho môđun đối đồng điều địa phương H sI (N) không I– cofinite Chúng ta chứng minh Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 42 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… ∀i ≤ s =c R + (M) môđun phân bậc Γ m0 (H iR + (M)) Artin tồn đa *  : thức P ∈ Q[x] có bậc dim R ( D(0 Γ m0 (Hs + (M)) m )) cho R  length(Γ m0 (H sR + (M))) = P(n), ∀n  Định nghĩa 2.3.1 Với ideal phân bậc I R – môđun phân bậc hữu hạn sinh M ta gọi a I (M) = sup {i | H iI (M) không Artin} Từ định nghĩa ta có Bổ đề sau: Bổ đề 2.3.1 Cho x ∈ M phần tử không ước M, ta có a R + (M xM) ≤ a R + (M) Chứng minh: Đặt deg x = d Vì x không ước M nên tồn x dãy khớp → M(−d)  → M → M xM → R – môđun Tác động hàm tử H iR + (−) vào ta dãy khớp x H iR + (M) → H iR + (M xM)  → H iR++1 (M)(−d) → H iR++1 (M) Nếu a R + (M) = t, với i > t R – môđun H iR + (M) Artin, H iR + (M xM) Artin Nhận xét a) Ảnh đồng cấu vành Noether địa phương điều phẳng trung thành Do đó, R '0 môđun phẳng R m '0 = m R '0 , R '0 môđun phẳng trung thành R Hơn nữa, ( R '0 ,m '0 ) R - đại số địa phương phẳng trung thành A R – môđun Artin phân bậc ' ' ' A= : R '0 ⊗R A môđun Artin phân bậc R= : R ⊗R R b) Với (R '0 ,m '0 ) R - đại số địa phương phẳng trung thành Khi = a R + (M) a (R ' ⊗ + R R )+ (R '+ ⊗R M) Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 43 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Định lí 2.3.1 Cho a = a R + (M) Khi H iR + (M) m H iR + (M) Artin với i≥a Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo d = dim R Khi i > a , H iR + (M) Artin, theo Định lí 2.1.3 H iR + (M) m H iR + (M) Artin Khi i = a Nếu d = , Định lí theo Định lí 2.1.3 Giả sử Định lí với giái trị nhỏ d, ta chứng minh Định lí với d ' Gọi x phần tử tùy ý, đặt R= : R [x]m0 R 0[x] ' ' ' ,m= = : R '0 ⊗R R : m R ,R ' M= : R '0 ⊗R M Khi theo tính chất thay đổi phẳng môđun đối đồng điều địa phương R '0 ⊗R H aR + (M) m H aR + (M) ≅ H aR ' (M) m '0 H aR ' (M ' ) + + Vì R '0 R - đại số địa phương phẳng trung thành ( ý trên), suy H aR ' (M) m '0 H aR ' (M ' ) Artin Do đó, thay tương ứng R M R ' + + M ' nên giả sử R m trường thặng dư vô hạn Từ dãy khớp: → Γ m0 (M) → M → M Γ m0 (M) → Tác động hàm tử H iR + (−) vào ta dãy khớp: α β γ H iR + (Γ m0 (M))  → H iR + (M)  → H iR + (M Γ m0 (M))  → H iR++1 (Γ m0 (M)) Ta có H iR + (Γ m0 (M)) Artin với i (Bổ đề 2.1.1) Đặt = u im = α , v im= β , W imγ từ Bổ đề 1.5.1 ta có ToriR (R m , U) ToriR (R m , W) Artin với i Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 44 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Để H iR + (M Γ m0 (M)) m H iR + (M Γ m0 (M)) Artin Tức V m V Artin kết luận H iR + (M) m H iR + (M) Artin Khi dễ dàng chứng minh a = a R + (M Γ m0 (M)) Do giả sử Γ m0 (M) = Γ m0R (M) = R + (M) Gọi x không ước không M hệ thống tham số m , ta có dãy khớp R – môđun : x0 → M  → M → M x 0M → Tác động hàm tử H aR + (−) vào ta được: x0 δ H aR + (M)  → H aR + (M) → H aR + (M x M)  → H aR++1 (M) Đặt= ker δ X,im = δ Y Vì H aR++1 (M) Artin, nên R – môđun phân bậc Y Artin, theo Bổ đề 1.5.1 H aR + (M x M) m H aR + (M x M) Artin X m X Artin Mặt khác tác động hàm tử R m ⊗R ta dãy khớp: id R x0 0 R0 → R m ⊗R H aR + (M) → X m X R m ⊗R H aR + (M)  Vì x ∈ m nên ánh xạ id R m ⊗ m ⊗R x không Do H aR + (M) m H aR + (M) ≅ X m X Trở lại vấn đề trên, để H aR + (M) m H aR + (M) Artin lhi chi H aR + (M x M) m H aR + (M x M) Artin Đặt R R= = m x R Dùng Định lí độc lập với môđun đối x R ,m đồng điều địa phương phân bậc ta H aR + (M x M) ≅ H a(R ⊗ R0 R )+ (M x M) Ở vành địa phương vành phân bậc R ⊗R R (R ,m ) dim R 0= d − Khi a H aR + (M x M) m H aR + (M x M) ≅ H (R 0⊗ + R0 R ) (M x M) m H a(R ⊗ R0 R )+ (M x M) Theo Bổ đề 2.3.1 theo giả thiết qui nạp ta điều phải chứng minh Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 45 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Mệnh đề 3.1 Cho a = a R + (M) m ∉ Att R (H aR + (M) m H aR + (M)) Khi tồn phần tử x ∈ R1 cho a R + (M xM)= a − Chứng minh Với R – môđun phân bậc hữu hạn sinh M với số nguyên dương i ta có đẳng cấu H aR + (M) ≅ H aR + (M Γ R + (M)) Do giả sử Γ R + (M) = Theo Định lí 2.3.1, H iR + (M) m H iR + (M) Artin, tập hợp ideal nguyên tố gắn kết hữu hạn, đặt: = P Att R (H iR + (M) m H iR + (M)) ∪ Ass R (M) \ Var(R + ) Ta chứng minh R1 ⊄ ∪p∈P p Giả sử ngược lại, tồn p ∈ Att R (H aR + (M) m H aR + (M)) cho R1 ⊆ p suy R + ⊆ p Mặt khác, Att R (H aR + (M) m H aR + (M)) ⊆ Var(m R) Lấy p = m (mâu thuẩn) Vậy R1 ⊄ ∪p∈P p Lấy x ∈ R1 \ ∪p∈P p Xét dãy khớp: → M(−1) → M → M xM → Tác động hàm tử H aR + (−) vào ta dãy khớp: x H aR + (M)(−1)  → H aR + (M) → H aR + (M xM) → H aR++1 (M)(−1) Đặt i = a Vì m ∉ Att R (H aR + (M) m H aR + (M)) nên ideal nguyên tố Att R (H aR + (M) m H aR + (M)) thuộc P Dùng phép chứng minh tương tự [BFT, Bổ đề 3.2], suy co ker x = , H aR + (M xM) nhúng môđun Artin H aR++1 (M) Suy a R + (M xM) ≤ a R + (M) − Với i > a R + (M xM) , môđun phân bậc H iR + (M xM) Artin (0 :Hi R + (M xM) x) Artin Ngoài H iR++1 (M) môđun x – xoắn , theo Bổ đề Melkers-son ta điều phải chứng minh Định lí 2.3.2 Đặt a = a R + (M) Khi tồn đa thức P ∈ Q[x] có bậc  bé a cho length R (H aR + (M) n m H aR + (M) = P(n), ∀n  n) Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 46 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Chứng minh Với R – môđun M với R - đại số phẳng địa phương (R '0 ,m '0 ) ta có length = length R ' (R '0 ⊗R M) , giả sử R m hữu hạn R (M) Γ R + (M) = Vì H (M) m H aR + (M) Artin, tồn đa thức a R+  P(n), ∀n  P ∈ Q[x] cho length R (H aR + (M) n m H aR + (M)= n )) Ta chứng minh deg P < a Vì H aR + (M) m H aR + (M) Artin, nên có khai triển thứ hai phân bậc Đặt H aR + (M) m H aR + (M) = S1 + + St khai triển thứ hai phân bậc bé với p j = (0 :R S j ),1 ≤ j ≤ t Đặt p t = m Vì St R – môđun phân bậc có độ dài hữu hạn nên tập trung nhiều bậc hữu hạn Nếu gọi = d begSt − với begSt bậc bắt đầu St , H aR + (M) n m H aR + (M) = S1 (n) + + St −1 (n), ∀n < d Do n  = length (S1 + + St −1 ) , ∀n  length R (H aR + (M) n m H aR + (M) n= ) P(n) R0 n Ta có m ∉ Att R (H aR + (M) m H aR + (M)) Ta chứng minh deg P < a qui nạp theo a Từ Mệnh đề 2.3.1, tồn x ∈ R1 cho a R + (M xM)= a − x không ước không M Theo cách chứng minh [BFT, Bổ đề 3.2], ∀n  tồn dãy khớp R môđun x H aR−+1 (M xM) n +1 → H aR + (M) n  → H aR + (M) n +1 → Tác động hàm tử R m ⊗R vào ta dãy khớp: H aR−+1 (M xM) n +1 m H aR−+1 (M xM) n +1 → H aR + (M) n m H aR + (M) n x  → H aR + (M) n +1 m H aR + (M) n +1 → (*) Nếu a = 1, ta có dãy khớp sau: Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 47 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Γ R + (M xM) n +1 m 0Γ R + (M xM) n +1 → H1R + (M) n m H1R + (M) n x  → H1R + (M) n +1 m H1R + (M) n +1 → Lưu ý Γ R + (M xM) m 0Γ R + (M xM) Artin hữu hạn sinh, length R (Γ R + (M xM) m 0Γ R + (M xM)) = 0, ∀n  Do  + 1) ≤ P(n)   + 1) + length (Γ (M xM) m Γ (M xM)) = P(n ≤ P(n R0 R+ R+  + 1) ≤ P(n  + 1), ∀n  P(n Suy deg P < Nếu a > 1, giả sử kết với giá trị bé a Xét dãy khớp (*) Vì H aR−+1 (M xM) m H aR−+1 (M xM) Artin, giả thuyết qui nạp có đa thức Q ∈ Q[x] có bậc bé a − cho length R (H aR−+1 (M xM) n m H aR−+1 (M xM) = Q(n), ∀n  n ))   + 1) + Q(n + 1) deg P < a Suy P(n) ≤ P(n (đpcm) Hệ 2.3.1 Cho a = a R + (M) q ideal m - nguyên sơ R Khi H aR + (M) q H iR + (M) Artin tồn đa thức P ∈ Q[x] cho deg P = deg P length R (H aR + (M) n q H aR + (M)= P(n), ∀n  n )) Chứng minh Phép chứng minh tính Artin H aR + (M) q H iR + (M) tương tự Hệ 2.2.1 deg P = deg P Mệnh đề 2.2.1 Định nghĩa 2.3.2 Cho M R – môđun phân bậc hữu hạn sinh I ideal phân bậc R Ta gọi M I – cofinite Supp(M) ⊂ V(I) Ext iR (R / I,M) phân bậc hữu hạn sinh ∀i ≥ Với s số nguyên dương = s c= inf {i | H iI (M) không I - cofinite } I (M) Ngoài ra, không tồn số nguyên thỏa yêu cầu, ta định nghĩa c I (M) = −∞ Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 48 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Định lí 2.3.3 Đặt s = c R + (M) với i > i < s Khi Γ m0 (H iR + (M)) Artin Chứng minh Ta chứng minh trường hợp i = s Trường hợp i ≤ s chứng minh tương tự Vì M R – môđun phân bậc hữu hạn sinh, theo [DY, Định lí 2.1], Hom R (R R + ,H sR + (M)) R – môđun phân bậc hữu hạn sinh Suy Γ m0 (Hom R (R R + ,H sR + (M))) ≅ Γ m0 (0 :Hs R+ Vì Hom R (R R + ,H sR + (M) (0 :Γ m0 (M) (HsR + (M)) R + )) =(0 :Γ m0 (HsR + (M)) R+) R + ) Artin, mặt khác Γ m0 (H sR + (M)) môđun R + - xoắn, theo Bổ đề Melkersson ta điều phải chứng minh Hệ 2.3.2 Cho s < ∞ Khi ta có điều kiện sau: c) Tồn đa thức P ∈ Q[x] cho  length R (Γ m0 (H sR + (M) n ) = P(n), ∀n  d) Nếu q ideal m - nguyên sơ R , tồn đa thức P ∈ Q[x] cho  :  dim ( * D(0 deg(P) = deg(P) =  Γ R length R ((0 :Hs R+ (M) n m0 (HsR + (M)) m0 ) q= P(n), ∀n  )) Để chứng minh Hệ ta cần có nhận xét sau: Cho A R – môđun Artin phân bậc I ⊂ m iđêan Khi deg(P (0: I) ) = deg(P A ) A Chứng minh Hệ a) Vì Γ m0 (H sR + (M)) Artin nên ta điều phải chứng minh b) Từ nhận xét ta có điều phải chứng minh với A = Γ m0 (H sR + (M)) { Định nghĩa 2.3.3 Đặt q(M) := sup i | H iR + (M) không Artin Luận văn thạc sĩ Toán học } Trang 49 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Nếu H iR + (M) Artin với i, ta quy ước q(M) = −∞ Định lí 2.3.4 Giả sử R vành địa phương với iđêan tối đại m * q(M) M R – môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi H q(M) R + (M) m H R + (M) môđun Artin * Với m= m0 + R + Chứng minh: Đặt n(M) =: cd(M) − q(M) với { cd(M) :=∈ sup i Z | H iR + (M) ≠ } Chứng minh quy nạp theo n(M) Khi n(M) = Định lí theo Định lí 2.1.5 trường hợp * q(M) q(M) q(M) H q(M) R + (M) m H R + (M) ảnh đẳng cấu H R + (M) m H R + (M) Giả sử định lí với n(M)= n > Ta có cd(M) > Giả sử q(M) > Khi q(M) = q(M Γ R + (M)),cd(M) = cd(M Γ R + (M)) n(M) = n(M Γ R + (M)) Do giả sử M môđun R + - không xoắn tồn x ∈ R không ước không M cd(M) = cd(M) − x Từ dãy khớp ngắn → M[−1]  → M → M xM → suy dãy khớp dài x q(M) q(M) +1 → H q(M) → H q(M) (M[−1]) → R + (M[ −1])  R + (M) → H R + (M xM) → H R + q(M) q(M) Và → H q(M) R + (M) xH R + (M) → H R + (M xM) → (0 :H q ( M ) +1 (M) x)[ −1] → R+ Từ ta dãy khớp * q(M) Tor1R (R m* ,(0 :Hq ( M ) +1 (M) x))[−1] → H q(M) R + (M) m H R + (M) R+ →H q(M) R+ * (M xM) m*H q(M) R + (M xM) → (0 :H q ( M ) +1 (M) x) m (0 :H q ( M ) +1 (M) x)[ −1] R+ R+ Lưu ý thành phần đầu cuối dãy khớp môđun Artin Nếu q(M) * q(M) H q(M) R + (M xM) Artin H R + (M xM) m H R + (M xM) Artin * q(M) H q(M) R + (M) m H R + (M) môđun Artin Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 50 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Giả sử H q(M) R + (M xM) không môđun Artin Suy q(M xM) = q(M) , n(M xM) = cd(M xM) − q(M xM) = n(M) − Theo giả thuyết quy nạp * q(M) q(M) * q(M) H q(M) R + (M xM) m H R + (M xM) Artin suy H R + (M) m H R + (M) môđun Artin (đpcm) Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 51 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Kết luận Trong luận văn này, trình bày số kết chủ yếu sau: Định nghĩa đưa số tính chất môđun đối đồng điều địa phương phân bậc Trình bày phần kiến thức tính Artin môđun đối đồng điều địa phương phân bậc Tiếp theo, thể phần mối liên hệ môđun Artin đối đồng điều địa phương phân bậc tồn đa thức Hilbert vối bậc đa thức Định nghĩa môđun cofinite thể phần mối liên hệ tính cofinite tính Artin môđun đối đồng điều địa phương phân bậc Vì thời gian khả có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót số vấn đề chưa làm sang tỏ mong ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung quý Thầy Cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 52 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… Tài liệu tham khảo [BS] M.Brodmann and R Y.Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications Cambridge Studies in Advanced Mathematics 60, Cambridge University press (1998).MR1613627 (99h:13020) [BFT] M Brodmann, S Fumasoli and R Tajarod, Local cohomoloy over homogeneous rings with one-dimensional base ring, Proceedings of the AMS 131 (2003), 2977 – 2985.MR1993202 (2004f:13021) [BRS] M Brodmann, F Rohrer and R Sazeedeh, Multiplicities of graded components of local cohomology modules Jounal of Pure and Applied Agebra 197 (1005), 249-278 MR2123988 (2006c: 13023) [BH] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings.Cambridge Studies in Advanced Mathematics 39, Revised edition, Cambridge University press (1998) [DY] M T Dibaei and S Yassemi, Associated Primes and cofinitrness of local cohomology modules Manuscripta Math 117(2005), 199-205 MR2150481 (2006f:13015) [K] D Kirby, Artinian modules and Hilbert polynomials Quarterly Jounal Mathematics Oxford (2) 24 (1973), 47-57 MR0316446 (47:4993) [KS] M Katzman and R Y Sharp, Some properties of top graded local cohomology modules Jounal of Algebra 259 (1003), 599-612 MR1955534 (2004a:13011) [RS] C Rotthaus and L M Sega, Some properties of graded local cohomology modules Journal of Algebra (2004) MR2102081 (2005h:13029) [Br] M Brodmann, Asymptotic behavior of cohomology: Tameness, Supports and Associated Primes, to appear in Contemporary Mathematics: Proceedings of the international conference in Mathematics, Bangalore India, December, 2003 [DY3] M T Dibaei and S Yassemia, Associated primes of the local cohomology modules with respect to an ideal., manuscriptamath 117 (2005), 199-205 Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 53 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều… [B-He] Brodmanm, M., Hellus, , Cohomological petterns of coherent over pro-jiective schemes, to appear in Journal of pure and Applied Algebra Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 54 [...]... Linh Tính Artinh của môđun đối đồng điều Chương 2 TÍNH ARTIN CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC 2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC Định nghĩa 2.1.1 Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị, I là ideal khác không của R, M là R -môđun Nếu R là vành địa phương phân bậc, I là ideal phân bậc của R và M là R – môđun phân bậc thì R – môđun H iI (M), ∀i ≥ 0 được gọi là môđun đối đồng điều địa. .. nghĩa 1.9.5 Với mỗi i ≥ 0 , môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M trên I là: HiI (M)=: FiΓ I (M) khi đó FiΓ I được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương HiI Tính chất của môđun đối đồng điều địa phương: ii) Để tìm HiI (M) ta tiến hành các bước sau: Với M là R -môđun bất kỳ Chọn phép giải nội xạ của môđun M d −1 B* : 0 → B0 → B1  → → Bi → Bi +1 → d0 di Vì ta có R -đồng cấu α : M → B0 nên ta... (Định lí đối ngẫu địa phương phân bậc) Giả sử (R, m) là vành phân bậc địa phương với ht m = n Giả sử thêm có một vành Noether giao hoán phân bậc địa phương Gorenstien (R ' ,m ' ) và một toàn cấu vành f : R ' → R Đặt ht m ' = n ' Gọi * D là hàm tử * Hom R (., * E(R m)) từ *ε (R) vào chính nó Gọi M là R – môđun phân bậc, N ' là R ' - môđun phân bậc, với j ≥ 0 Khi đó M được xem là R ' - môđun phân bậc. .. phạm trù các R – môđun và R – đồng cấu ( tương ứng là phạm trù các R ' - môđun và R ' - đồng cấu) Định nghĩa 2.1.3 Cho R là vành phân bậc, R ' là vành phân bậc giao hoán Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 26 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh của môđun đối đồng điều Gọi T : ε (R) → ε (R ' ) là hàm tử hiệp biến nếu i) Với M là một R – môđun phân bậc, thì R ' - môđun T(M) cũng là môđun phân bậc, và ii) Với... Linh Tính Artinh của môđun đối đồng điều Trong đó các đồng cấu δ n = (−1) n +1∂*n +1; ∀n ≥ 0 Với mọi số tự nhiên n, nhóm đối đồng điều thứ n của phức này H n (Hom(X,A)) = ker δ n / imδ n −1 gọi là mở rộng bậc n của môđun A bởi C, kí hiệu Ext n (C,A) n = Ext n (C,A) H= (Hom(X,A)) ker δ n / imδ n −1 Định nghĩa 1.5.3 Cho X R và R Y là các môđun phải và trái trên cùng vành hệ tử R Tích Tenxơ của các môđun. .. m C là R – môđun phân bậc hữ hạn sinh C là môđun chính tắc trên R khi có đẳng cấu thuần nhất: Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 17 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh của môđun đối đồng điều 0 Ext iR (R m,C) ≅  R m i≠n i=n Hệ quả 1.7.1 Cho (R ,m) là vành phân bậc địa phương Gorenstien Khi đó tồn tại a ∈ Z sao cho R(a) là môđun chính tắc trên R Định nghĩa 1.7.8 Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao... > 0 R – môđun H iR + (Γ m0R (M)) là môđun Artin Chứng minh Vì Γ m0R (M) là m 0 R - môđun xoắn hữu hạn sinh, nên tồn tại m ∈ N sao cho m 0 m Γ m0R (M) = 0 Do đó Γ m0R (M) là R m 0 m R - môđun phân bậc Luận văn thạc sĩ Toán học Trang 28 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh của môđun đối đồng điều ∀i > 0 , theo định lí phân bậc độc lập tồn tại đẳng cấu các R – môđun phân bậc H iR + (Γ m0R (M)) ≅ H i(R mm R... được gọi là môđun đối đồng điều địa phương phân bậc thứ i của M trên I Mệnh đề 2.1.1 Giả sử R = ⊕ n ≥0 R n ,n ∈ N là vành phân bậc; M là R – môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó ∀i ≥ 0 và n ∈ Z , R 0 - môđun H iR + (M) n là hữu hạn sinh Định nghĩa 2.1.2 Khi R = ⊕ n ≥0 R n ,n ∈ N là vành phân bậc sao cho R 0 là vành Artin, M là R – môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó R 0 - môđun H iR + (M) n có độ dài hữu... Thùy Linh Tính Artinh của môđun đối đồng điều ii) N là R – môđun hữu hạn sinh, đồng cấu tự nhiên Γ N :N → DD(N) là đẳng cấu và D(N) là Artin iii) N là R – môđun Artin, đồng cấu tự nhiên Γ N :N → DD(N) là đẳng cấu và D(N) là Noether Mệnh đề 1.8.4 Giả sử (R, m) là vành Noehter giao hoán địa phương (không  là ideal tối đại của cần đầy đủ), kí hiệu = E E(R = ),D Hom R (−,E) và m m  Khi đó R – môđun có... lại sự phân bậc ở i) trên Γ aR′ (M′) |R Tương ứng với sự phân bậc này, (H iaR ′ (.|R ))i≥0 cũng có tính chất thu hẹp Vì H iaR ′ (I′) |R = 0, ∀i ∈ N với I' là R ' - môđun phân bậc nội xạ, nên theo [BS, 12.3.1] sự phân bậc này trùng khớp với sự phân bậc trong i) Nên ta có điều phải chứng minh Lưu ý 2.1.1 Nếu dim R 0 = 0 , R 0 là Artin thì H iR + (M) là môđun Artin ∀i > 0 Bổ đề 2.1.1 ∀i > 0 R – môđun ... 2: Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương phân bậc Chương gồm ba phần: Phần một: Môđun đối đồng điều địa phương phân bậc Định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương phân bậc thành phần phân bậc. .. Trang 25 Trần Thị Thùy Linh Tính Artinh môđun đối đồng điều Chương TÍNH ARTIN CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC 2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC Định nghĩa 2.1.1 Cho R... Artinh môđun đối đồng điều Γ I (M) : Hàm tử I – xoắn R – môđun M H iR (M) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i R – môđun M ( Môđun đối đồng điều địa phương phân bậc thứ i R – môđun phân bậc M)