BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Trọng TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Trọng TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Lê Hoàn Hóa Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC T T BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG T T PHẦN MỞ ĐẦU T T CHƯƠNG 1: TÍNH KHÁC RỖNG CỦA TẬP NGHIỆM 13 T T 1.1.Giới thiệu toán 13 T T 1.2 Một số khái niệm mệnh đề quan trọng 16 T T 1.3 Tính khác rỗng tập nghiệm 33 T T CHƯƠNG TÍNH T T Rδ T CỦA TẬP NGHIỆM 34 T 2.1 Khái niệm tính chất tập co rút tuyệt đối, tập acyclic tập Rδ 34 T T T T 2.2.Hệ ngược giới hạn ngược ([12]) 35 T T 2.2.1.Định nghĩa hệ ngược 35 T T 2.2.2.Giới hạn ngược 36 T T 2.3 Tính Rδ tập nghiệm .36 T T T T CHƯƠNG TÍNH CONTINUUM CỦA TẬP NGHIỆM 56 T T 3.1.Bậc tôpô trường compact 56 T T 3.2.Tính continuum tập nghiệm .57 T T CHƯƠNG MỘT DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH T T (T ) 66 KẾT LUẬN 69 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 T T BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG  Tập hợp số tự nhiên {1, 2, } + Tập hợp   {0} σ Tập hợp số tự nhiên lớn σ  Tập hợp số thực  Tập hợp số thực không âm + σ Tập hợp số thực lớn σ Ω Bao đóng Ω ∂Ω Biên Ω conv ( Ω ) Bao lồi đóng Ω A× B Tích Descartes hai tập hợp A B ∏ Xα Tích Descartes họ ( X α )α∈I (X, • n) Không gian Frechet X với họ nửa chuẩn ( E, • ) Không gian Banach E với chuẩn • • Chuẩn không gian Banach X α∈I X { • n }n X* Không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục X C ( Ω, E ) Không gian hàm liên tục u : Ω → E C1 ( Ω, E ) Không gian hàm khả vi liên tục u : Ω → E Cr Không gian hàm liên tục u : [ − r ,0] → E Cσ Không gian hàm liên tục u : [ − r , σ ] → E f : X → Y, f A Ánh xạ thu hẹp ánh xạ f tập A ⊂ X L1 ( Ω ) Không gian hàm khả tích u : Ω →  L ( E, F ) Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục A : E → F { Xα ,παβ , Ω} Hệ ngược { } lim ← X α Giới hạn ngược hệ ngược X α , π αβ , Ω f g Hợp thành hai ánh xạ f g D ⊂ E, i : D → E Ánh xạ nhúng định i ( u ) = u I : X → X ,IX : X → X Ánh xạ đồng X B ( x, r ) Quả cầu mở tâm x bán kính r B ( x, r ) Quả cầu đóng tâm x bán kính r deg ( f , D, p ) Bậc tôpô trường compact f tập D p ■ Kết thúc chứng minh PHẦN MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình lĩnh vực rộng lớn toán học nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong lớp phương trình vi tích phân đóng vai trò quan trọng Các kết lĩnh vực tìm nhiều ứng dụng vật lý, hóa học, sinh học việc nghiên cứu mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học Khi khảo sát phương trình, trước tiên ta muốn nghiên cứu tồn nghiệm Khi phương trình có nghiệm câu hỏi tự nhiên đặt là: liệu nghiệm có hay không trường hợp phương trình có nhiều nghiệm tập nghiệm có tính chất gì? Năm 1890, Peano chứng minh toán Cauchy T   x′ ( t ) = g ( t , x ( t ) )    x ( ) = x0 n (với t ∈ [ 0, a ] ⊂  g : [ 0, a ] ×  → n hàm liên tục) có nghiệm địa phương tính nghiệm không đảm bảo Nhận xét thúc đẩy việc nghiên cứu cấu T trúc tập nghiệm T T S trường hợp T3 T3 T3 T T T T toán Cauchy Một điểm đáng lưu ý Peano rằng, T3 n = 1, tất tập= S (t ) T3 T3 { x ( t ) : x ∈ S } continuum (tức compact liên thông khác rỗng) tôpô thông thường  , với t thuộc lân cận t0 Năm 1923, Kneser tổng quát kết cho trường hợp n Năm 1928, T T3 Hukuhara chứng minh S T3 continuum thay  n không gian Banach thực tùy ý Do tính chất continuum gọi tính chất Hukuhara-Kneser Một tính chất đặc biệt T S tìm thấy năm 1942 Aronszajn Trong [1] Aronszajn cải thiện kết Kneser cách chứng minh tập nghiệm T T T T T T S toán Cauchy chí Rδ tập- trường hợp đặc biệt tập continuum Điều dẫn đến S acyclic, nghĩa tính Lipschitz vế phải g S có nhiều phần tử theo quan điểm tôpô đại số tương đương với điểm, theo nghĩa có nhóm đồng điều giống không gian điểm Do đó, số tác giả gọi tính chất Rδ tính chất Aronszajn Cũng theo hướng nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm, năm 1986 báo [2] T F.S.De Blasi J.Myjak chứng minh tính Rδ tập nghiệm toán Darboux   z xy = f ( x, y, z )  = ( x ) ; z ( 0, y ) ψ ( y )   z ( x,0 ) φ= với I = [ 0,1] ; φ ,ψ : I →  d hàm liên tục tuyệt đối cho trước thỏa φ ( ) = ψ ( ) ánh T d xạ f : Q ×  → d (trong ( i ) f (.,., z ) Q= I × I ) đo với thỏa mãn điều kiện sau z∈ d ; T ( ii ) f ( x, y,.) liên tục với hầu hết ( x, y ) ∈ Q ; T ( iii ) Tồn hàm khả tích α : Q → [0, ∞ ) thỏa mãn f ( x, y, z ) ≤ α ( x, y ) với T ( x, y , z ) ∈ Q ×  d T Gần đây, năm 2005 [10] A.Dutkiewicz S.Szufla xem xét phương trình tích phân t x ( t ) = ∫ K ( t , s ) f ( s, x ( s ) )ds ( *) với giả thiết sau: T Giả sử D = [ 0, a ] đoạn compact T  , ( E, • ) không gian Banach đầy đủ yếu theo dãy B = { x ∈ E : x ≤ b} Ta xét họ B T gồm tất tập bị chặn khác rỗng E Với T T nghĩa β= ( A) inf {ε > : tồn tập compact yếu K A ∈B ta định T T } thỏa mãn A ⊂ K + ε B ( 0,1) (trong B ( 0,1) =∈ { x E : x ≤ 1} ) T (i ) f : D× B → E ( ii ) K ( t , s ) = liên tục yếu thỏa f ( t , x ) ≤ M với ( t , x ) ∈ D × B ; H (t, s ) ( t − s )r , < r 0  s  1−r ∫ s  g ( s )  ds = ∞   β ( f ( J × X ) ) ≤ g ( β ( X ) ) với (δ >0 cho trước) cho X ⊂ B Hai tác giả gọi nghiệm yếu phương trình tích phân (*) hàm liên tục yếu T t x:J → B thỏa x ( t ) = ∫ K ( t , s ) f ( s, x ( s ) )ds Khi đó, A.Dutkiewicz S.Szufla chứng minh tập nghiệm yếu phương trình tích phân (*) continuum không gian hàm liên tục yếu Cw ( J , E ) Một số kết tính chất tập nghiệm tìm thấy tài liệu [1]-[7], [10], T [12], [14], [15], [18], [21], [23]-[25], [28], [29] Riêng kết tính Rδ tập nghiệm đề cập [3], [6], [14], [15], [21], [25], [28], [29] Tổng quan số kết tính chất tập nghiệm tìm thấy [14] Như phát họa số nét sơ lược hướng nghiên cứu cấu trúc tập T nghiệm phương trình vi tích phân nhằm nói lên vị trí, nguồn gốc phát sinh vấn đề nghiên cứu đề tài Bây trình bày phương pháp hữu hiệu thường sử dụng việc nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm phương trình Rõ ràng việc mô tả cấu trúc tập điểm bất động toán tử không gian vectơ T T T T T T T T T T dẫn đến kết tương ứng cho tập nghiệm phương trình Lý cho nhận T xét việc tìm nghiệm phương trình không gian vectơ quy việc tìm điểm bất động toán tử thích hợp Chẳng hạn X vectơ, f toán tử x0 nghiệm X y phần tử cố định X không gian phương trình f ( x ) = y x0 điểm bất động toán tử T định T ( x= ) f ( x) + x − y Vì lý mà lý thuyết điểm bất động xem công cụ hữu hiệu T mục tiêu nghiên cứu định lượng định tính nhiều lớp phương trình vi tích phân Và vậy, phát triển kết cấu trúc tập điểm bất động loại toán tử không gian vectơ thúc đẩy mạnh mẽ tiến việc nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm lớp phương trình tương ứng Năm 1955, Krasnosel’skii đưa định lý tồn điểm bất động toán tử T có dạng tổng ánh xạ co U ánh xạ hoàn toàn liên tục C Kết thúc đẩy trình nghiên cứu tồn nghiệm loại phương trình vi tích phân mà nghiệm phương trình điểm bất động toán tử thỏa điều kiện Định lý Krasnosel’skii Nhiều tác giả tìm cách mở rộng Định lý cách thay đổi “kiểu co” toán T tử co U cho U có điểm bất động Mỗi lần vậy, tác giả lại kết hợp với toán tử hoàn toàn liên tục C để từ mở rộng Định lý điểm bất động Krasnosel’skii ứng với toán tử co Cũng theo dòng chảy này, năm 1994 [17] L.H.Hoa K.Schmitt đề nghị T Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy Một điểm thú vị tồn điểm bất động tàng ẩn chứng minh hai tác giả thấy tồn tập lồi đóng bị chặn khác rỗng cho điểm bất D động thuộc D Đối với mục tiêu nghiên cứu tính continuum tính Rδ tập điểm bất động T toán tử F kiện tồn tập bị chặn M chứa tập điểm bất động T T F thật có ý nghĩa Lý thông thường kết tính continuum tính Rδ tập điểm bất động toán tử F đòi hỏi F phải ánh xạ compact Nhưng cách hạn chế ta cần tính hoàn toàn liên tục F F tập M để thu tính continuum tính Rδ tập điểm bất động Xuất phát từ ý tưởng đó, luận văn tiến hành nghiên cứu cấu T trúc tập nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic t  ) A ( t ) u ( t ) + L ( t )  t u + V ( t , u ( t ) ,  t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  su ) ds + k ( t ), t ≥ u′ ( t = (T )    0u= ϕ ∈ Cr Công cụ sử dụng Định lý điểm bất động toán tử dạng Krasnosel’skii không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy, Định lý tính continuum T T tính Rδ giới hạn ngược, Định lý tính continuum tính Rδ tập điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục Trong [20], [21] đòi hỏi tính hoàn toàn liên tục T tính khác rỗng tính Rδ tập nghiệm phương trình f để thu t  ) A ( t ) u ( t ) + L ( t )  t u + V ( t , u ( t ) ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  su ) ds + k ( t ), t ≥ u′ ( t =    0u= ϕ ∈ Cr Trong luận văn mở rộng kết [20] Bằng cách thay tính hoàn T toàn liên tục tính chất nhẹ - tính chất L1 − Caratheodory , không thu tính khác rỗng mà thu tính continuum tập nghiệm Kết cấu luận văn bao gồm phần mở đầu bốn chương T Chương Tính khác rỗng tập nghiệm T Chương Tính Rδ tập nghiệm T T Chương Tính continuum tập nghiệm T T Chương Một dạng tổng quát phương trình (T ) Kết thúc luận văn vài kết luận danh mục tài liệu tham khảo Sau phần giới thiệu cho chương Mở đầu Chương 1, đưa định nghĩa không gian hàm ký hiệu T cần thiết giới thiệu phương trình mà luận văn nghiên cứu giả thiết kèm theo Sau đưa khái niệm thiết yếu chứng minh số mệnh đề quan T trọng Trong đó, Định lý 1.2.10 Định lý 1.2.12 chiếm giữ vị trí đặc biệt luận văn Chúng kết thúc Chương định lý khác rỗng tập nghiệm T Chương mở đầu việc trình bày khái niệm tập co rút tuyệt đối, tập acyclic, T tập Rδ , hệ ngược, giới hạn ngược số tính chất liên quan Chúng đưa nhận xét trích dẫn [28] việc tập Rδ T acyclic continuum tập continuum không Rδ Điều cho thấy tính Rδ phân biệt thật mạnh tính continuum Sử dụng kết Gabor đưa hệ tính Rδ tập điểm T bất động – Hệ 2.3.2 Hệ giúp ta khẳng định toán tử T tục xác định tập bị chặn khác rỗng không gian Banach thiết hệ tập điểm bất động T hoàn toàn liên T thỏa giả Rδ Hệ 2.3.2 có hình thức tương đồng với Định lý Krasnosel’skii-Perov Giả T T thiết hệ thay đổi đôi chút so với Định lý Krasnosel’skii-Perov Sửa đổi Bước Xây dựng dãy toán tử compact Tn : D → X thỏa mãn lim Tn ( x ) = T ( x ) n→∞ theo x D Ta định nghĩa dãy ánh xạ liên tục rn : [ 0, a ] → [ 0, a ] sau  0  rn ( t ) =  t − a  n  a , t ∈ 0,   n a  ,t ∈  , a n  Bây ta định nghĩa dãy ánh xạ (Tn )n với Tn : D → X sau Tn ( x )( t ) = T ( x ) ( rn ( t ) ) với x ∈ D , t ∈ [ 0, a ] Ta chứng minh Tn liên tục với n∈ n∈ Ta có Tn ( x )( t ) − Tn ( y= )( t ) T ( x ) ( rn ( t ) ) − T ( y ) ( rn ( t ) ) ≤ T ( x ) − T ( y ) với t ∈ [ 0, a ] ; x, y ∈ D Từ Tn ( x ) − Tn ( y ) ≤ T ( x ) − T ( y ) Vậy từ tính liên tục Vì rn ( t ) − t ≤ a n T ta thấy Tn liên tục với t ∈ [ 0, a ] lim Tn ( x ) = T ( x ) theo x n→∞ D T Thật vậy, lấy ε toán tử compact nên ta có >0 ( ) T D compact tương đối nên ( ) theo Mệnh đề 1.2.11 ta thấy T D đẳng liên tục [ 0, a ] Do tồn δ >0 cho với x ∈ D t1 , t2 ∈ [ 0, a ] thỏa mãn t1 − t2 < δ T ( x )( t1 ) − T ( x )( t2 ) < ε Chọn n0 ∈  cho a a < δ với n ≥ n0 Lại rn ( t ) − t ≤ với t ∈ [ 0, a ] n n nên rn ( t ) − t < δ với t ∈ [ 0, a ] , n ≥ n0 ε Do Tn ( x )( t ) − T ( x )( t= ) T ( x ) ( rn ( t ) ) − T ( x )( t ) < với x ∈ D , t ∈ [0, a ] n ≥ n0 Vậy Tn ( x ) − T ( x ) < ε với n ≥ n0 x ∈ D Do lim Tn ( x ) = T ( x ) n→∞ theo x D Tiếp theo ta chứng minh Tn toán tử compact Thật vậy, T ( ) toán tử compact nên T D compact tương đối ( ) {T ( x )( t ) : x ∈ D} compact tương t ∈ [0, a] Do= Tn ( D ) ( t ) : {T ( x ) ( rn ( t ) ) : x ∈ D} compact tương t ∈ [ 0, a ] Do T ( D ) đẳng liên tục [ 0, a ] nên với ε > , tồn δ > Vậy= T D (t ) : cho T ( x )( t1 ) − T ( x )( t2 ) < ε với x ∈ D t1 , t2 ∈ [ 0, a ] thỏa mãn t1 − t2 < δ Vì tính liên tục rn [ 0, a ] nên tồn δ1 > cho rn ( t1 ) − rn ( t2 ) < δ với t1 , t2 ∈ [ 0, a ] thỏa mãn t1 − t2 < δ1 Do với x∈D t1 , t2 ∈ [ 0, a ] thỏa mãn t1 − t2 < δ1 ta có Tn ( x )( t1 ) − Tn ( x )( t2 )= T ( x ) ( rn ( t1 ) ) − T ( x ) ( rn ( t2 ) ) < ε ( ) Vậy Tn D đẳng liên tục [ 0, a ] ( ) Theo Mệnh đề 1.2.11 ta có Tn D compact tương đối Vậy Tn toán tử compact Bước Chứng minh I − Tn đơn ánh với n∈ Đặt f n : D → X định f n ( x )= x − Tn ( x ) Lấy n∈ cố định lại Ta chứng minh f n đơn ánh Giả sử x, y ∈ D f n ( x ) = f n ( y ) Khi x −= y Tn ( x ) − Tn ( y ) Từ x ( t ) −= y ( t ) T ( x ) ( rn ( t ) ) − T ( y ) ( rn ( t ) ) với t ∈ [ 0, a ]  a Theo giả thiết ( ii ) , với t ∈ 0,  ta có  n x ( t ) − y ( t ) = T ( x ) ( rn ( t ) ) − T ( y ) ( rn ( t ) ) = T ( x )( ) − T ( y )( ) = x0 − x0 =  a Vậy x ( t ) = y ( t ) với t ∈ 0,   n  ka  Lấy = k 1, n − Ta chứng minh x ( t ) = y ( t ) với t ∈ 0,   n  ( k + 1) a  x ( t ) = y ( t ) với t ∈ 0,  n   ( 20 )  ka  Thật theo giả thiết ( iii ) ta có T ( x )( t ) = T ( y )( t ) với t ∈ 0,   n  ( k + 1) a   ka  Ta thấy rn ( t ) ∈ 0,  t ∈ 0,  n   n   ( k + 1) a  Do T ( x ) ( rn ( t ) ) = T ( y ) ( rn ( t ) ) với t ∈ 0,  n    ( k + 1) a  Vậy x ( t ) −= y ( t ) T ( x ) ( rn ( t ) ) − T ( y ) ( r=  n ( t ) ) với t ∈  0, n    a Như ( 20 ) Mà x ( t ) = y ( t ) với t ∈ 0,  nên từ ( 20 ) ta có x ( t ) = y ( t )  n với t ∈ [ 0, a ] Vậy x = y Do f n đơn ánh với n∈ Áp dụng Mệnh đề 3.2.1 ta có S ■ continuum Để chứng minh tính continuum tập nghiệm, lần lại sử dụng đến kỹ thuật giới hạn ngược Mệnh đề 3.2.3 ([12]) Cho {X p n ,π n ,  } hệ ngược Nếu X n continuum giới hạn ngược lim← X n continuum Hệ 3.2.4 Cho tập đóng khác rỗng M ⊂ X = C (  + , E ) Với Nếu M n continuum với n∈ M {x [ đặt M n n∈ ,= 0,n ] } : x∈M continuum Chứng minh Theo Mệnh đề 3.2.3 ta có lim← M n continuum Lại theo Định lý 2.3.4 ta có đẳng cự đồng phôi với lim← M n Vậy M continuum M ■ Định lý 3.2.5 Nếu điều kiện (T 1) , (T ) , (T 3) , (T ) thỏa mãn tập nghiệm phương trình (T ) continuum Chứng minh S ( ) Ta nhớ lại ζ :  + × X → Η định ζ ( t , u ) = t , u ( t ) ,  t ( u ) , định G:X → X s  V ( u )( t ) = ∫ g s,  s u ds + ϕ ( ) , G ( u )( t ) = ∫  ∫ f ( s, ζ (τ , u ) )dτ  ds với   00  t Σ V:X →X ( ( )) t tập điểm bất động V + G Theo Hệ 1.3.3 ta thấy Đặt Σ n = {u [ 0,n ] Σ S t ≥ tập nghiệm phương trình (T ) khác rỗng Bây ta chứng minh Σ continuum } : u ∈ Σ Ta chứng minh Σ n continuum Để đỡ nặng nề mặt ký hiệu ta đặt ζ :  + × X n → Η định ( ( )) ζ ( t , u ) = t , u ( t ) ,  t u Đặt U : X n → X n , C : X n → X n định s  U ( u )( t ) = ∫ g s,  s u ds + ϕ ( ) , C ( u )( t ) = ∫  ∫ f ( s, ζ (τ , u ) )dτ  ds   00  ( t ( )) t = Ta nhắc lại λ q 2ncn ) (= ,p T= ( I − U )−1 C động U q!  q −1  2ncn , β = (1 − λ )−1  ∑ pi  > ; z0 điểm bất  i =0  Ta có U zqm ( z0 ) − z0 ≤β z n n với z ∈ X n , m ∈  ( 21) Hơn T hoàn toàn liên tục, Σ n tập điểm bất động T Tồn R1 > cho x − z0 n ≥ R1 C ( x ) < n Hơn tồn R2 > cho x − z0 n x − z0 n 2β C ( x ) n < R2 với x ∈ X n ≤ R1 Chọn R3 > β + R1 + β R2 Lấy R ∈ ( R3 , R3 ) ( ) Bổ đề T B ( z0 , R ) ⊂ B ( z0 , R ) Σ n ⊂ B ( z0 , R ) Chứng minh Bổ đề Từ ( 21) ta có U Cqmx ( z0 ) − z0 ( ) Lấy x ∈ B ( z0 , R ) m∈ n ≤ β C ( x) n U +C với x ∈ X n , m ∈  , ta xét hai trường hợp ( 22 ) thỏa mãn Trường hợp x − z0 n ≤ R1 Theo ( 22 ) ta có U Cqm( x ) ( z0 ) − z0 ≤ β C ( x) n n ≤ β R2 < R3 Điều cho ta U Cqm( x ) ( z0 ) ∈ B ( z0 , R3 ) Trường hợp R1 < x − z0 n ≤ R Cũng theo ( 22 ) ta có U Cqm( x ) ( z0 ) − z0 n ≤ β C ( x) n ≤ β x − z0 2β n ≤ R < R3 Điều cho ta U Cqm( x ) ( z0 ) ∈ B ( z0 , R3 ) Kết hợp hai trường hợp ta có U Cqm( x ) ( z0 ) ∈ B ( z0 , R3 ) với x ∈ B ( z0 , R ) m∈ Mặt khác, theo Chú ý 1.2.8 ta có lim U Cqm( x ) ( z0= ) ( I − U )−1 ( C ( x ) ) với x ∈ X n m→∞ Lại B ( z0 , R3 ) đóng nên ( I − U ) −1 ( C ( x ) ) ∈ B ( z0 , R3 ) với ( x ∈ B ( z0 , R ) ) Như T ( B ( z0 , R ) ) = ( I − U )−1 C ( B ( z0 , R ) ) ⊂ B ( z0 , R3 ) ⊂ B ( z0 , R ) Chứng minh tương tự Định lý 2.3.13 ta có Σ n ⊂ B ( z0 , R1 ) ⊂ B ( z0 , R ) Lấy u ∈ X n , ta đặt = y T ( u= ) = y ( I − U )−1 C ( u ) Khi ■ U ( y ) + C (u ) Vậy với t ∈ [ 0, n ] ta có t ts  +  y (t ) = g s , y ds f s , ζ τ , u d τ   ds + ϕ ( ) ( ) ( ) s ∫ ∫ ∫  00  ( ( )) Do T ( u )( = ) y= ( ) ϕ ( ) với t ∈ [0, n] u ∈ X n ( 23) Bổ đề Với ε ∈ ( 0, n ] ; u , v ∈ X n thỏa u ( t ) = v ( t ) với t ∈ [ 0, ε ] T ( u )( t ) = T ( v )( t ) với t ∈ [ 0, ε ] Chứng minh Bổ đề Lấy ε ∈ ( 0, n ] u , v ∈ X n thỏa u ( t ) = v ( t ) với t ∈ [ 0, ε ] Ta chứng minh U Cm( u ) ( z0 ) ( t ) = U Cm( v ) ( z0 ) ( t ) với t ∈ [ 0, ε ] , m ∈  Ta chứng minh ( 24 ) quy nạp theo m ( 24 ) Với m = 1, () u ( t ) = v ( t ) với t ∈ [ 0, ε ] nên theo Định lý 2.3.12 ta có u ( t ) = v ( t ) ()  t u =  t v với t ∈ [ 0, ε ] Vậy với t ∈ [ 0, ε ] ta có s  =  τ τ τ f s u u d , , ,   ds ( ) τ ∫ ∫  00  t C ( u )( t ) ( ( )) s  =  τ τ τ f s v v d , , ,   ds C ( v )( t ) ( ) τ ∫ ∫  00  ( t ( )) Do với t ∈ [ 0, ε ] ta có U C ( u ) ( z0 ) ( t ) = U ( z0 ) ( t ) + C ( u )( t ) = U ( z0 ) ( t ) + C ( v )( t ) = U C ( v ) ( z0 ) ( t ) Vậy ( 24 ) với m = Giả sử ( 24 ) với nghĩa m=k U Ck ( u ) ( z0 ) ( t ) = U Ck ( v ) ( z0 ) ( t ) với t ∈ [ 0, ε ] ) ) ( ( Theo Định lý 2.3.12 ta có  t U Ck ( u ) ( z0 ) =  t U Ck ( v ) ( z0 ) với t ∈ [ 0, ε ] Do với t ∈ [ 0, ε ] ta có ( ) = U U Ck ( u ) ( z0 ) ( t ) ∫ g ( s,  s (U C(u ) ( z0 ) ) ) ds + ϕ ( ) t k t = ∫ g ( s,  s (U C( v= ) ( z0 ) ) ) ds + ϕ ( ) k ( ) U U Ck ( v ) ( z0 ) ( t ) Vậy với t ∈ [ 0, ε ] ta có ( ) ( ) k k = U Ck +( u1) ( z0 ) ( t ) U C ( u= ) U C ( u ) ( z0 ) ( t ) U U C ( u ) ( z0 ) ( t ) + C ( u ) (t ) ( ) ( ) = U U Ck ( v ) ( z0 ) ( t ) + C= ( v ) (t ) U C ( v ) U Ck ( v ) ( z0 ) ( t ) = U Ck +( v1) ( z0 ) ( t ) Vậy ( 24 ) với m= k + Do theo quy nạp ta thấy ( 24 ) Mặt khác ta có lim U Cqk( x ) ( z0 ) = T ( x ) với x ∈ X n k →∞ Do lim U Cqk( x ) ( z0 ) ( t ) = T ( x )( t ) với x ∈ X n t ∈ [ 0, n ] k →∞ Vậy từ ( 24 ) ta có T ( u )( t ) = T ( v )( t ) với t ∈ [ 0, ε ] ■ Bằng cách đặt T = T B 0, R Từ ( 23) , Bổ đề Bổ đề ta thấy T thỏa tất điều kiện ( ) Định lý 3.2.2 Hơn Σ n tập điểm bất động T nên Σ n continuum Vậy theo Hệ 3.2.4 ta có Σ continuum ■ CHƯƠNG MỘT DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH (T ) Trong chương trình bày tính continuum tính Rδ tập nghiệm T dạng phương trình tổng quát phương trình (T ) Với ký hiệu giới thiệu Chương xét phương trình vi tích phân T T Volterra đối số lệch phi tuyến t  h ( t , u ( t ) ,  t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  s u ) ds, t ≥ u′ ( t ) =    0u= ϕ ∈ Cr f (E) h thỏa điều kiện sau : ( E.1) h :  + × F → E liên tục có tính chất: Với n∈ , tồn kn > cho h ( t , z ) − h ( t , v ) ≤ kn z − v với z , v ∈ F t ∈ [ 0, n ] ( E.2 ) L1 − Caratheodory, hàm f :∆× F → E ( E.2.1) Với x∈F hàm τ  f (τ , x ) Borel đo được; ( E.2.2 ) Với hầu hết τ ∈ ∆ ( E.2.3) Với ( hC ∈ L1 [ 0, n ] n∈ ) tập compact K C nghĩa hàm x  f (τ , x ) liên tục; , với số E C > 0, tồn hàm không âm cho f ( t , s, x ) ∈ hC ( t , s ) K C với x∈F thỏa x ≤ C với hầu hết ( t , s ) ∈ ∆ n ( E 2) f : ∆ × F → E hoàn toàn liên tục ( E.3) lim x →∞ f ( t , s, x ) x = theo ( t , s ) tập bị chặn ∆ Ta ý phương trình (T ) ta đặt h :  + × F → E h ( t , x, y ) = A ( t ) x + L ( t ) y + V ( t , x, y ) + k ( t ) phương trình (T ) dạng đặc biệt phương trình ( E ) Điều suy từ định lư sau Định lý 4.1 Đặt h :  + × F → E h ( t , x, y ) = A ( t ) x + L ( t ) y + V ( t , x, y ) + k ( t ) Giả sử (T 1) (T ) thỏa mãn Khi h thỏa điều kiện ( E.1) Chứng minh ( t , x, y ) ∈  + × F Thật vậy, ta chứng minh h liên tục Lấy {( tn , xn , yn )}n ⊂  + × F thỏa lim ( tn , xn , yn ) = ( t , x, y ) n→∞ Vì t  A ( t ) , t  L ( t ) liên tục nên lim A ( tn ) = A ( t ) lim L ( tn ) = L ( t ) n→∞ n→∞ Do tồn n∈ M >0 A ( tn ) cho L( E , E ) L ( tn ) ≤ M L ( Cr , E ) ≤ M với Do V k liên tục nên lim V ( tn , xn , yn ) = V ( t , x, y ) lim k ( tn ) = k ( t ) n→∞ n→∞ Ta lại có A ( tn ) xn − A ( t ) x + L ( tn ) yn − L ( t ) y h ( tn , xn , yn ) − h ( t , x, y )= + V ( tn , xn , yn ) − V ( t , x, y ) + k ( tn ) − k ( t ) ≤ A ( tn ) L( E , E ) + L ( tn ) xn − x + A ( tn ) − A ( t ) L ( Cr , E ) L( E , E ) yn − y + L ( t n ) − L ( t ) x L ( Cr , E ) + V ( tn , xn , yn ) − V ( t , x, y ) + k ( tn ) − k ( t ) ≤ M xn − x + A ( tn ) − A ( t ) L( E , E ) + M yn − y + L ( t n ) − L ( t ) x L( Cr , E ) y0 + V ( tn , xn , yn ) − V ( t , x, y ) + k ( tn ) − k ( t ) Do lim h ( tn , xn , yn ) = h ( t , x, y ) Vậy h liên tục n→∞ Vì t  A ( t ) , t  L ( t ) ω liên tục nên tồn kn max A ( t ) L E , E + max L ( t ) L C , E + max ω ( t ) + = ( ) t∈[0,n] ( r ) t∈[0,n] t∈[ 0,n ] Với ( x, y ) , ( u , v ) ∈ F t ∈ [ 0, n ] ta có ,v) h ( t , x, y ) − h ( t , u= A ( t )( x − u ) + L ( t )( y − v ) + V ( t , x, y ) − V ( t , u , v ) ≤ A(t ) L( E , E ) ( x − u + L (t ) + ω (t ) x − u + y − v ) L ( Cr , E ) y−v0 y0 ≤ k n ( x, y ) − ( u , v ) ■ Bây ta đặt s  P ( u )( t ) = ∫ h (ζ ( s, u ) ) ds + ϕ ( ) , G ( u )( t ) = ∫  ∫ f ( s, ζ (σ , u ) )dσ  ds   00  t t Chứng minh tương tự Định lý 1.2.10 ta có định lý sau Định lý 4.2 Giả sử điều kiện Pz ( u ) − Pz ( v ) j j n ( E.1) j 3nkn ) ( ≤ j! thỏa mãn Khi với u −v n n∈ z, u, v ∈ X ta có với j ∈  Và hoàn toàn tương tự trình chứng minh tính continuum tính Rδ tập T nghiệm phương trình (T ) ta thu tính continuum tính Rδ tập nghiệm T T phương trình ( E ) Từ ta có hai định lý sau Định lý 4.3 Nếu điều kiện ( E.1) , ( E.2 ) , ( E.3) thỏa mãn tập nghiệm phương trình ( E ) continuum Định lý 4.4 ( )  , ( E.3) thỏa mãn tập nghiệm phương Nếu điều kiện ( E.1) , E trình ( E ) Rδ KẾT LUẬN Trong luận văn, sử dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với lý luận T T tính continuum tính Rδ tập điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục để chứng minh tính continuum tính Rδ tập nghiệm dạng phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic Đồng thời, thu tính continuum tính Rδ tập nghiệm dạng phương trình tổng quát phương trình Những kết thu luận văn bao gồm 1) Mở rộng kết [20] việc thay tính hoàn toàn liên tục tính chất T L1 − Caratheodory 2) Chứng minh tính continuum tính Rδ tập nghiệm phương trình vi tích phân T T Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic t  ) A ( t ) u ( t ) + L ( t )  t u + V ( t , u ( t ) ,  t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  su ) ds + k ( t ), t ≥ u′ ( t = (T )    0u= ϕ ∈ Cr 3)Đưa chứng minh cho tính continuum tính Rδ tập nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến t  h ( t , u ( t ) ,  t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  s u ) ds, t ≥ u′ ( t ) =    0u= ϕ ∈ Cr (E) Trên sở kết thu luận văn, xin đề nghị hướng T nghiên cứu nối tiếp luận văn sau 1) Xém xét giảm nhẹ điều kiện áp đặt lên phương trình vi tích phân Volterra T T đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic (T ) phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch T T phi tuyến ( E ) để thu tính continuum tính Rδ tập nghiệm T 2) Nghiên cứu phụ thuộc liên tục nghiệm hai phương trình theo điều T kiện đầu 3) Xem xét tồn nghiệm tuần hoàn tính chất tập nghiệm tuần hoàn T hai phương trình Cuối cùng, đầu tư công sức, tuân thủ nghiêm ngặt yêu cầu, cố gắng giải triệt để mục tiêu đặt với hạn chế lực thân, phức tạp đề tài nhiều lý khách quan chủ quan nên luận văn khỏi thiếu sót Nhưng theo phương châm “Cuộc chiến tệ chiến không dám đương đầu”, cố gắng hoàn thành luận văn cách tốt phạm vi lực hạn chế thân Một lần tác giả xin chân thành cảm ơn thầy phản biện đọc kỹ luận văn giúp tác giả nhiều ý kiến quý báu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P.N.Aronszajn (1942), “Lecorrespondant topologique de l’unicité dans la theorie des equations différentielles”, Annals of Mathematics, Vol.43, No.4, pp.730-78 [2] F.S.De Blasi, J.Myjak (1986), “On the structure of the set of solutions of the Darboux T problem for Hyperbolic equations”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Vol 29, pp.7-14 [3] D.Bugajewska (2000), “On the structure of solution sets of differential equations in T Banach spaces”, Math.Slovaca, Vol.50, No.4, pp.463-471 [4] D.Bugajewski (2001), “On the Volterra integral equation and axiomatic measures of T weak noncompactness”, Mathematica Bohemica, Vol.126, No.1, pp.183 – 190 [5] Cardinali, Rubbioni (2006), “Mild solutions for impulsive semilinear evolution T T differential inclusions ”, Journal of Appliced Functional Analysis, Vol.1, No.3, pp.303T T 325 [6] M.Cichon, I.Kubiaczyk (1999), “Some remarks on the structure of the solution set for T differential inclusions in Banach spaces”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.233, pp.597-606 [7] M.Cichon, I.Kubiaczyk (2001), “Kneser-type theorem for the Darboux problem in T T Banach spaces”, Comment.Math.Univ.Carolin, Vol.42, No.2, pp.267-279 T T [8] K.Deimling (1985), Nonlinear functional analysis, Springer, New York [9] K.Deimling (1992), Multivalued differential equations, Walter de Gruyter, Berlin T NewJork [10] A.Dutkiewicz, S.Szufla (2005), “Kneser’s problem for weak solutions of an integral T equation with weakly singular kernel”, Publications de L’institut Mathématique, Vol 77,No.91, pp.87-92 [11] D.M.Duc (2005), Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh T 12] G.Gabor (1999), “On the acyclicity of fixed point sets of multivalued maps”, Topological Methods in Nonlinear Analysis, Vol.14,pp.327-343 [13] L.Gasinski, N.S.Papageorgiou (2005), Nonlinear analysis, Chapman & Hall/CRC [14] L.Gorniewicz (2000), “Topological structure of solution sets: current results”, Archivum Mathematicum, Vol.36, No.5, pp.343-382 [15] L.Gorniewicz (2005), “Solving equations by topological methods”, Opuscula Mathematica, Vol.25, No.2, pp.195-225 [16] M.L.Heard (1981), “An abstract semilinear Hyperbolic Volterra integrodifferential equation”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.80, pp.175 – 202 [17] L.H.Hoa, K.Schmitt (1994), “Fixed point theorems of Krasnosel’skii type in locally convex space and applications to integral equation”, Results in Mathematics, Vol.25,pp.291-313 [18] L.H.Hoa, L.T.P.Ngoc (2006), “The connectivity and compactness of solution set of an integral equation and weak solution set of an initial – boundary value problem”, Demonstratio Mathematica, Vol.XXXIX, No.2, pp.357-375 [19] L.H.Hoa (2000), Định lý điểm bất động ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp sở, Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh [20] L.H.Hoa, N.N.Trong, L.T.K.Anh (2010), “Nghiệm mạnh phương trình vi tích phân với đối số lệch”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TP HCM, (24), tr.104-114 [21] L.H.Hoa, N.N.Trong (2011), “Tính Rδ tập nghiệm mạnh phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TP HCM, (27), tr.1-14 [22] M.Kamenskii,V.Obukhovskii, P.Zecca (2001), Condensing Multivalued maps and T semilinear differential inclusions in Banach spaces, Walter de Gruyter, Berlin NewJork [23] N.Kikuchi, S.Nakagiri (1974), “Kneser’s property of solutions of non-linear integral equations”, Funkcialaj Ekvacioj, Vol.17, pp.57-66 [24] I.Kubiaczyk, S.Szufla (1982), “Kneser’s theorem for weak solutions of ordinary differential equations in Banach spaces”, Publications de L’institut Mathématique, Vol T 32,No.46, pp.99-103 [25] Z.Kubacek (1993), “On the structure of fixed point sets of some compact maps in the Frechet space”, Mathematica Bohemica, Vol.118, No.4, pp.343-358 [26] R.Nagel, E.Sinestrari (1996), “Nonlinear Hyperbolic Volterra integrodifferential equations”, Nolinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Vol.27, No.2, pp.167 – 186 [27] L.T.P.Ngoc, N.T.Long (2006), “On a fixed point theorem of Krasnosel’skii type and application to integral equation”, Fixed point theory and applications, Vol.2006, pp.124 [28] J.J.Nieto (1988), “Aronszajn’s theorem for some nonlinear Dirichlet problems with T unbounded nonlinearities”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Vol 31, pp.345-351 [29] X.Zheng, X.Yang (2008), “The structure of weak Pareto solution sets in piecewise T T linear multiobjective optimization in normed spaces”, Science in China series A: T Mathematics, Vol.51, No.7, pp.1243-1 T [...]... dụng cho vi c chứng minh tính Rδ tập nghiệm phương trình (T ) vào phương trình tích phân ( 4 ) thì ta cũng nhận được tính Rδ của tập nghiệm phương trình ( 4 ) Chú ý là trong [18] hai tác giả chỉ chứng minh tập nghiệm của phương trình ( 4 ) là continuum Mục đầu tiên của chương này được dành để giới thiệu các khái niệm về tập co rút tuyệt đối, tập acyclic và tập Rδ 2.1 Khái niệm và tính chất của tập co... xét phương trình vi tích phân Volterra phi T 0 tuyến loại Hyperbolic có dạng  (t ) u (t ) u′ ( t ) + A =   u ( 0 ) = u0 t ∫ g ( t , s, u ( s ) ) ds + f ( t ) , t ≥ 0 0 Và năm 1996, trong [26] R.Nagel và E.Sinestrari đã nghiên cứu phương trình vi tích T 0 phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic t   u′ ( t ) = Au ( t ) + ∫ K ( t , s, u ( s ) ) ds + f ( t ) , t ≥ t0  t0   u ( t0 ) = u0 Các loại. .. thì tập nghiệm S của phương trình (Tσ ) khác rỗng Vì phương trình (T ) chính là phương trình (T0 ) nên ta có ngay hai hệ quả sau Hệ quả 1.3.3 Nếu các điều kiện (T 1) , (T 2 ) , (T 3) , (T 4 ) được thỏa mãn thì tập nghiệm S của phương trình (T ) khác rỗng ( ) Hệ quả 1.3.4 Nếu các điều kiện (T 1) , (T 2 ) , T.3 , (T 4 ) được thỏa mãn thì tập nghiệm S của phương trình (T ) khác rỗng CHƯƠNG 2 TÍNH Rδ CỦA... t ) , t ≥ t0  t0   u ( t0 ) = u0 Các loại phương trình trên phát sinh một cách tự nhiên trong vi c nghiên cứu sự đàn T 0 hồi của các vật rắn Trong luận văn này chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có cả sự xuất hiện đối số lệch 1.1.Giới thiệu bài toán Cho r > 0 Đặt  = + Ta ký hiệu • là chuẩn của không gian Banach E ∆ {( t , s ) ∈  [0,... continuum của tập điểm bất động – Định lý 3.2.2 Sau đó chúng tôi áp dụng định lý này cùng kỹ thuật giới hạn ngược vào vi c chứng minh tập nghiệm của phương trình (T ) là continuum - điều này được thể hiện trong Định lý 3.2.5 Định lý 3.2.2 và Định lý 3.2.5 là hai kết quả chính của chương Trong chương 4, chúng tôi đưa ra chứng minh cho tính continuum và tính Rδ của tập T 0 nghiệm một dạng phương trình vi tích. .. chúng tôi nghiên cứu phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic t  ) A ( t ) u ( t ) + L ( t )  t u + V ( t , u ( t ) ,  t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  su ) ds + k ( t ), t ≥ 0 trong u′ ( t = (T )  0   0u= ϕ ∈ Cr đó { A ( t )}t ≥0 là họ toán tử tuyến tính liên tục từ liên tục từ Cr vào E E vào và k :  + → E là ánh xạ liên tục Ta đưa ra một số điều kiện sau E... continuum và tính Rδ của tập T 0 nghiệm một dạng phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến mà phương trình (T ) chỉ là một trường hợp đặc biệt của phương trình này Trong luận văn, ký hiệu ■ được dùng để kết thúc một chứng minh Về mặt hình thức T 0 T 0 chúng tôi đánh số các Mệnh đề, Định lý, Định nghĩa, Chú ý, Hệ quả bằng thứ tự của chương, mục và tiểu mục mà chúng có mặt (ví dụ Định lý 1.2.12... Rδ CỦA TẬP NGHIỆM Năm 2006, trong [18] hai tác giả L.H.Hoa và L.T.P.Ngoc đã thu được tính continuum của tập nghiệm phương trình tích phân t t 0 0 x (t ) = ∫ f ( s, x ( s ) ) ds + ∫ g ( t , s, x ( s ) ) ds, t ≥ 0 ( 4) Để nhận được điều này hai tác giả đã sử dụng Định lý Krasnosel’skii-Perov về tính continuum của tập điểm bất động toán tử hoàn toàn liên tục xác định trên tập con đóng bị chặn của không... , s ∈ [σ , d ] u (s) =  , s ∈ [ − r , σ ]  ϕ ( s ) T 0 u : [ − r , ∞ ) → E là nghiệm của phương trình (Tσ ) nếu u σ ,∞ ) ∈ C1 ([σ , ∞ ) , E ) và u [ thỏa phương trình (Tσ ) , ở đây C1 ([σ , ∞ ) , E ) là không gian các hàm khả vi liên tục u : [σ , ∞ ) → E Ta thấy phương trình (Tσ ) tương đương với phương trình tích phân sau t t s   = + , u t g s u ds    ∫ f ( s,τ , u (τ ) , τ u ) dτ  ds... 1.3 Tính khác rỗng của tập nghiệm Năm 2010, trong [20] chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình t  ′  u t A t u t L t u V t u t , = + + + () () () t  ( ) ( ( ) ) ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  su ) ds + k ( t ), t ≥ 0  0   0u= ϕ ∈ Cr Trong chương này chúng tôi mở rộng kết quả của [20], thay vì yêu cầu f hoàn toàn liên tục, chúng tôi vẫn thu được tính khác rỗng của tập nghiệm với giả thiết ... PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Trọng TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... chứng minh cho tính continuum tính Rδ tập T nghiệm dạng phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến mà phương trình (T ) trường hợp đặc biệt phương trình Trong luận văn, ký hiệu ■ dùng... F tập M để thu tính continuum tính Rδ tập điểm bất động Xuất phát từ ý tưởng đó, luận văn tiến hành nghiên cứu cấu T trúc tập nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại