BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Hương VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Thanh Hương VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MODULE TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Để thực tốt luận văn này, cố gắng nỗ lực thân, nhận quan tâm, giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè gia đình Nhân đây, xin gởi lời cảm ơn Trước hết, xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Toán - Tin trường Đại Học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh truyền thụ kiến thức bổ ích, làm tảng cho trình nghiên cứu luận văn Và hết, xin gởi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người tận tình hướng dẫn, dạy bảo phương pháp nghiên cứu khoa học, tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian xem xét, chỉnh sửa đưa nhận xét quý báu để luận văn hoàn thiện Bên cạnh dạy thầy cô, nhận quan tâm gia đình bạn bè Xin chân thành cảm ơn người Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 01 năm 2014 Trần Thị Thanh Hương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU .1 DANH MỤC HÌNH VẼ DANH MỤC BIỂU ĐỒ LỜI NÓI ĐẦU Chương - KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành 1.2 Các định nghĩa, tính chất môđun 1.3 Radical vành 14 Chương - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO 20 HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 20 2.1 Sự tồn hạng môđun tự vô hạn sinh vành không giao hoán 20 2.2 Điều kiện tồn hạng môđun tự hữu hạn sinh vành không giao hoán 21 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 BẢNG KÝ HIỆU MR R - môđun phải M J ( R ) rad R Căn Jacobson HomR ( M , N ) Nhóm R - đồng cấu từ M đến N End R ( M ) Vành R - tự đồng cấu M U ( R) Nhóm phần tử khả nghịch vành R diag A Chéo ma trận A A Lực lượng tập hợp A a.c.c Điều kiện dây chuyền tăng d.c.c Điều kiện dây chuyền giảm det A Định thức ma trận A L(M ) Độ dài dãy hợp thành lR ( M ) Độ dài môđun M DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 : Sơ đồ giao hoán 14 Hình 2.1: Sơ đồ giao hoán 31 DANH MỤC BIỂU ĐỒ BIỂU ĐỒ TÓM TẮT MỐI LIÊN HỆ CỦA LỚP CÁC VÀNH CÓ IBN 44 LỜI NÓI ĐẦU Cấu trúc module (môđun) xuất hầu hết hết lý thuyết toán học đại, có khả thống cách chất cấu trúc vành, iđêan, nhóm Abel, không gian vectơ Tính linh hoạt phổ quát cấu trúc môđun mang lại ứng dụng to lớn Thông qua lý thuyết môđun, có dịp soi sáng, củng cố lý thuyết không gian vectơ nhiều lý thuyết toán học khác Một lớp môđun có cấu trúc gần giống với cấu trúc không gian vectơ lớp môđun tự Trước hết, ta nhớ lại R - môđun M gọi tự M có sở Các cách mô tả môđun tự thú vị có nhiều tính chất quan trọng Một tính chất quan trọng khái niệm hạng tồn hạng Ta biết hai sở R - môđun tự hữu hạn sinh M vành giao hoán có đơn vị có số phần tử số phần tử ta gọi hạng M Như vậy, vành giao hoán khái niệm hạng cho lớp môđun tự hữu hạn sinh tồn Nhưng vành không giao hoán khái niệm hạng cho lớp môđun tự hữu hạn sinh có tồn không? Câu trả lời không? Vậy với điều kiện môđun tự hữu hạn sinh vành không giao hoán có khái niệm hạng Đây lý chọn đề tài “ Về tồn hạng Module tự hữu hạn sinh vành không giao hoán” để nghiên cứu tìm hiểu Chương - KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương nêu số định nghĩa tính chất đại số không giao hoán Quy ước chương: không nói thêm môđun M R - môđun phải, R vành không giao hoán 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán thường ký hiệu “ +” (đọc phép cộng) “.” (đọc phép nhân) Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: (1) R, + ( ) R, ( 3) nhóm giao hoán nửa nhóm Phép nhân phân phối với phép cộng tức với phần tử tùy ý x, y, z ∈ R ta có x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x =yx + zx Nếu phép nhân giao hoán ta gọi R vành giao hoán, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị Định nghĩa 1.1.2 Một phận A khác rỗng vành R với hai phép toán vành R cảm sinh A thành vành ta nói A vành vành R Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành, vành A R gọi iđêan trái (iđêan phải) vành R thỏa mãn điều kiện: ∈ A ( ar ∈ A ) ; ∀a ∈ A, ∀r ∈ R Vành A R gọi iđêan vành R A vừa iđêan trái vừa iđêan phải vành R Định nghĩa 1.1.4 Một ánh xạ từ vành R đến vành R′ gọi đồng cấu (vành) f bảo toàn phép toán Tức là, với x, y ∈ R ta có f ( x + y= ) f ( x) + f ( y) f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) Một đồng cấu f từ vành R đến vành R gọi tự đồng cấu vành R Một đồng cấu đơn ánh đơn cấu, toàn ánh toàn cấu, song ánh đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu f từ vành R đến vành R′ ta viết R ≅ R′ ta nói R R′ đẳng cấu Định nghĩa 1.1.5 Cho R vành có đơn vị Nếu phần tử khác R khả nghịch R gọi thể hay vành chia 1.2 Các định nghĩa, tính chất môđun Định nghĩa 1.2.1 Cho R vành tùy ý M nhóm cộng aben M gọi R môđun phải có ánh xạ f : M × R → M ( m, r )  f ( m, r ) = mr cho ∀m, m1 , m2 ∈ M ∀a, b ∈ R thì: (1) m ( a + b ) = ma + mb ( ) ( m1 + m2 ) a =m1a + m2 a ( 3) ( ma ) b = m ( ab ) Chú ý: Ta dùng kí hiệu M R để M R - môđun phải, tương tự ta kí hiệu R M để M R - môđun trái, M vừa R - môđun phải vừa R - môđun trái gọi song môđun kí hiệu R MR 32 trình I − AB = ∑ U k ( I − Yk X k ) Vk X k , Yk ∈ M mk ( R ) thỏa X k Yk = I r k =1 U k , Vk có cấp tương ứng n × mk mk × n Cho X diag = = ( X , , X r ) ; Y diag (Y1 , , Yr ) = U = (V1 , ,Vr ) (U , ,U r ) ; V t V ma trận với cột V1 , ,Vr , ta không chuyển vị Vi Khi đó, ta có XY = I I − AB = U ( I − YX )V Không tính tổng quát ta giả thiết m := m1 + + mr ≥ n Sau cộng hàng vào U cột vào V Ta giả thiết xa U , V ∈ M m ( R ) với I m − A′B′ = U ( I − YX )V , A′ diag = = ( A, I m−n ) ; B′ diag ( B, I m−n ) Bây cho C = A′X + U ( I − YX ) , D = YB′ + ( I − YX )V tất ma trận có cấp m × m Khi X ( I − YX ) = XI − XYX = X − X = ( I − YX ) Y = Y − YXY = Y − Y = ( I − YX ) Ta có = I − 2YX + YXYX = I − 2YX + YX = I − YX CD=  A′X + U ( I − YX )  YB′ + ( I − YX )V  = A′XYB′ + A′X ( I − YX )V + U ( I − YX ) YB′ + U ( I − YX ) V = A′B′ + + + U ( I − YX )V = A′B′ + I − A′B=′ I Mặt khác (1) CY =  A′X + U ( I − YX )  Y = A′XY + U ( I − YX ) Y = A′XY , 33 XD= X YB′ + ( I − YX )V = XYB′ + X ( I − YX )V= B′ X ( I − DC ) Y = XY − ( XD )( CY ) = XY − B′A′XY = I m − B′A′ (2) Vì Từ (1) (2) ta suy I m − B′A′ ∈ M m ( u ) ( ) Đặt biệt, I n − BA ∈ M n ( u ) BA ∈ M n R Vậy R ổn định hữu hạn * Chứng minh ý hiển nhiên ta áp dụng tính chất phổ dụng R Hệ 2.2.16 Cho vành R , ta có R = tồn C , D ∈ M m ( R ) , vectơ hàng x có cấp × m vectơ cột y có cấp m × thỏa CD = I x ( I − DC ) y = Chứng minh ⇒) Nếu R = ta áp dụng chứng minh 2.2.15 với A= B= cho n = ( A, B ∈ M1 ( R ) ) Ta tìm ma trận X , Y , C , D ∈ M m ( R ) thỏa CD = I X ( I − DC ) Y = diag (1,0, ,0 ) Lấy x hàng X y cột Y ta có x ( I − DC ) y = ⇐) Nếu x, y, C , D tồn với tính chất cho trước CD = I x ( I − DC ) y = rõ ràng phần tử I − DC sinh iđêan đơn vị R ta có u = R suy ra= R R= u Ta xét lớp thứ hai lớp vành có IBN ta gọi lớp vành thỏa điều kiện hạng điều kiện mạnh hạng Trong nghiên cứu không gian vectơ trường (hay tổng quát vành chia) ta gặp hai tính chất sau Với không gian vectơ n - chiều V ta có ( A) Bất kì hệ sinh V có lực lượng lớn n 34 ( B) Bất kì hệ vectơ độc lập tuyến tính V có lực lượng nhỏ n Trên vành R bất kì, câu hỏi tương tự đặt cho môđun tự với hạng hữu hạn R ta đến định nghĩa sau: Định nghĩa 2.2.17 (1) (R ) n R Vành R thỏa điều kiện hạng với n < ∞ , hệ sinh có lực lượng lớn n Điều tương đương với, có toàn cấu môđun tự phải α : R k → R n k ≥ n ( 2) Vành R thỏa điều kiện mạnh hạng với n < ∞ , hệ phần tử độc lập tuyến tính (R ) n R có lực lượng nhỏ n Điều tương đương với, có đơn cấu môđun tự phải β : R m → R n m ≤ n Mệnh đề 2.2.18 Nếu vành R thỏa điều kiện mạnh hạng R thỏa điều kiện hạng Chứng minh Giả sử R thỏa điều kiện mạnh hạng xét toàn cấu α : R k → R n Theo tính chất phổ dụng môđun tự R n α phải chẻ ra, ta đơn cấu β : R n → R k với α ⋅ β = I R n Mà R thỏa điều kiện mạnh hạng suy k ≥ n Vậy R thỏa điều kiện hạng Một cách tổng quát, điều kiện mạnh hạng thực mạnh điều kiện hạng ta thấy ví dụ phần sau Trong phần này, ta tập trung ý vào điều kiện hạng thấy phần Mệnh đề 2.2.19 Cho vành R ≠ Vành R ổn định hữu hạn suy vành R thỏa điều kiện hạng suy vành R có IBN 35 Chứng minh * Vành R thỏa điều kiện hạng suy vành R có IBN Giả sử R thỏa điều kiện hạng Với số tự nhiên n, m , R n ≅ R m theo điều kiện hạng ta có R n → R m toàn cấu nên n ≥ m R m → R n toàn cấu nên m ≥ n Suy n = m Vậy R có IBN * Vành R ổn định hữu hạn suy vành R thỏa điều kiện hạng Giả sử R không thỏa điều kiện hạng tồn toàn cấu α : R k → R n với k < n < ∞ chẻ β : R n → R k Do ta có đẳng cấu R k ≅ R n ⊕ kerα ( ) Mà n > k suy R k ≅ R n ⊕ kerα ≅ R k ⊕ R n−k ⊕ kerα R n−k ⊕ ker α ≠ Thật vậy, giả sử R n−k ⊕ kerα = ta có  R n−k + kerα =  R n−k =  R = (!) ⇒ ⇒  n−k α đơn cấu (!) kerα =  R ∩ kerα = Theo mệnh đề 2.2.7 R không ổn định hữu hạn (mâu thuẫn) Vậy R thỏa điều kiện hạng Theo 2.2.12 2.2.13 2.2.19 vành giao hoán khác không vành Noether phải khác không thỏa điều kiện hạng Tuy nhiên, trường hợp tổng quát kéo theo ngược lại mệnh đề 2.2.19 Ta thấy ví dụ phần sau Mệnh đề 2.2.20 Cho f : R → S đồng cấu vành Nếu S thỏa điều kiện hạng R thỏa điều kiện hạng Chứng minh Cho α : R k → R n toàn cấu R - môđun tự Lấy tensơ α với R S ta toàn cấu α ⊗ R S : R k ⊗ R S → R n ⊗ R S Mà R k ⊗ R S ≅ S k ; R n ⊗ R S ≅ S n 36 Do ta có toàn cấu α ⊗ R S : S k → S n S - môđun tự Mà S thỏa điều kiện hạng nên k ≥ n Vậy R thỏa điều kiện hạng Mệnh đề 2.2.21 Vành R không thỏa điều kiện hạng với số nguyên n > k ≥ , tồn ma trận A có cấp n × k ma trận B có cấp k × n R thỏa AB = I n Chứng minh ⇒ ) Vành R không thỏa điều kiện hạng ta tìm toàn cấu α : R k → R n R - môđun với k < n Cố định đồng cấu chẻ β : R n → R k cho α Ta tìm ma trận A, B biểu diễn α , β thỏa αβ = I R n tức ma trận A có kích thước n × k ma trận B có kích thước k × n thỏa AB = I n ⇐ ) Nếu tồn ma trận A có cấp n × k ma trận B có cấp k × n R thỏa AB = I n tồn α : R k → R n xác định phép nhân trái ma trận A với vectơ cột R k toàn cấu Mà n > k ≥ suy R không thỏa điều kiện hạng Ví dụ 2.2.22 (Xây dựng vành R có IBN không thỏa điều kiện hạng) Cho R đại số trường số hữu tỷ Q sinh phần tử a, b, c, d có quan hệ ac = 1, bd = 1, bc = ad = a  Tồn ma = trận A =  ;B b  Khi = AB [c d] a  [c d ] b  =    ac ad  bc= bd   1  = 0    I2 Theo 2.2.21 R không thỏa điều kiện hạng Tuy nhiên, vành R có IBN Thật vậy, theo tiêu chuẩn nhận biết vành có IBN có nhóm cộng Abel ( A, + ) , đồng cấu T từ ( R, + ) vào ( A, + ) thỏa 37 T ( cd= ) T ( dc ) ∀c, d ∈ R T (1) có cấp vô hạn ( A, + ) ta dễ dàng kiểm tra vành R có IBN Vì vậy, vành R xây dựng có IBN không thỏa điều kiện hạng Mối quan hệ điều kiện hạng ổn định hữu hạn thấy định lý theo sau Ở đây, với vành R, R kí hiệu ảnh đồng cấu lớn R ổn định hữu hạn theo 2.2.15 Định lý 2.2.23 Cho vành R Các phát biểu sau tương đương: (1) R thỏa điều kiện hạng ( 2) R ≠ ( 3) R có ảnh đồng cấu khác ổn định hữu hạn ( 4) R có đồng cấu vào vành ổn định hữu hạn khác ( 5) Cho m ≥ C , D ∈ M m ( R ) với CD = I , ta có x ( I − DC ) y ≠ với vectơ hàng x có cấp × m vectơ cột y có cấp m × Chứng minh Theo 2.2.16 ta có ( ) ⇔ ( 5) , thỏa để ta chứng minh ( ) ⇒ ( 3) ⇒ ( ) ⇒ (1) ⇒ ( 5) ( ) ⇒ ( 3) Ta có f : R → R đồng cấu vành Mà R ≠ theo 2.2.15 R ổn định hữu hạn Vậy R ổn định hữu hạn theo 2.2.9 ( 3) ⇒ ( ) Ta có f : R → R đồng cấu vành Mà R ≠ theo 2.2.15 R ổn định hữu hạn 38 ( ) ⇒ (1) Ta có f : R → R đồng cấu vành Mà R ≠ theo 2.2.15 R ổn định hữu hạn Mặt khác, theo 2.2.19 R thỏa điều kiện hạng Vậy R thỏa điều kiện hạng theo 2.2.20 (1) ⇒ ( 5) Giả sử với m ≥ tồn ma trận x, y , C , D sau: C , D ∈ M m ( R ) vectơ hàng x có cấp × m , vectơ cột y có cấp m × thỏa CD = I x ( I − DC ) y = C    x ( I − DC )  ( D   ( I − DC ) y ) CD  =   x ( I − DC ) D  CD =   C ( I − DC ) y   x ( I − DC ) y   x ( I − DC ) y  Theo 2.2.15 C ( I − DC ) = ( I − DC ) D = Do C    x ( I − DC )  ( D   I − DC ) y ) (= C   ma trận   D  x ( I − DC )  (  CD  I m+1 =  x ( I − DC ) y    ( I − DC ) y ) có cấp tương ứng ( m + 1) × m m × ( m + 1) Theo 2.2.21 R không thỏa điều kiện hạng Vậy vành R thỏa điều kiện hạng với m ≥ 1, C , D ∈ M m ( R ) CD = I ta có x ( I − DC ) y ≠ vectơ hàng x có cấp × m vectơ cột y có cấp m × Hệ 2.2.24 Vành đơn R thỏa điều kiện hạng R ổn định hữu hạn 39 Chứng minh ⇒ ) Nếu R thỏa điều kiện hạng R ≠ theo 2.2.23 Nhưng ánh xạ chiếu f : R → R đẳng cấu suy R ≅ R Mà theo 2.2.15 R ổn định hữu hạn nên R ổn định hữu hạn ⇐ ) R ổn định hữu hạn suy R thỏa điều kiện hạng Do R vành đơn nên R ≠ Mà R ổn định hữu hạn nên theo 2.2.19 R thỏa điều kiện hạng Định nghĩa 2.2.25 (Sự mô tả khác điều kiện mạnh hạng) Ta tìm cách xây dựng khác lớp vành thỏa mãn điều kiện mạnh hạng thông qua ngôn ngữ hệ phương trình tuyến tính với hệ số R Ta viết R n = n ⊕ e R {e , e , , e } sở R i =1 i n n Xét m vectơ {u1 , u2 , , um } ⊆ R n với ( m > n ) Khi u1= e1a11 + e2 a12 + + en an1 ………………………… với aij ∈ R ;1 ≤ i ≤ n ; ≤ j ≤ m um= e1a1m + e2 a2 m + + en anm Vì m > n nên tồn x j không đồng thời cho u1 x1 + + um xm = (∀m > n)  e1 ( a11 x1 + a12 x2 + + a1m xm ) =  ⇔  e ( a x + a x + + a x ) = n2 nm m  n n1 Vì {e1 , e2 , , en } sở R n nên ta có hệ  a11 x1 + a12 x2 + + a1m xm =   a x + a x + + a x = n2 nm m  n1 Khi m > n hệ 2.2.26 có nghiệm không tầm thường (2.2.26) 40 Mệnh đề 2.2.27 Vành R thỏa điều kiện mạnh hạng hệ n phương trình tuyến tính R hệ 2.2.26 với m > n ẩn có nghiệm không tầm thường R Theo 2.2.18 điều kiện mạnh hạng kéo theo điều kiện hạng ví dụ sau chứng tỏ trường hợp tổng quát điều kiện không tương đương Ví dụ 2.2.28 (Về vành R thỏa điều kiện hạng không thỏa điều kiện mạnh hạng) Cho R đại số tự k X sinh trường k tập hợp X với X ≥ Khi ta có đồng cấu vành f : R → k theo 2.2.20 R thỏa điều kiện hạng Nhưng x ≠ y X với R - môđun quy phải R phần tử ∞ = {u j x j y : < j < ∞} độc lập tuyến tính phải Nếu ∑ u j f j ( X ) = đơn thức j =0 bắt đầu với x j y xuất số hạng u j f j ( X ) , f j ( X ) = Do đó, ∞ R chứa môđun tự ⊕ u j R có hạng vô hạn đếm Đặc biệt, R không j =0 thỏa điều kiện mạnh hạng Mệnh đề 2.2.29 Tích trực tiếp R= A × B thỏa điều kiện mạnh hạng A B thỏa điều kiện mạnh hạng Chứng minh ⇒ ) R thỏa điều kiện mạnh hạng suy A B thỏa điều kiện mạnh hạng Giả sử A B không thỏa điều kiện mạnh hạng Suy tồn phép nhúng f : Am+1 → Am với số tự nhiên m phép nhúng β : B n+1 → B n với số tự nhiên n Nếu m > n , cộng hai bên β : B n+1 → B n với B m−n ta ϕ : B m+1 → B m phép 41 nhúng nên suy m = n Bằng cách lấy tích ta phép nhúng γ : R m+1 = Am+1 × B m+1 → R m = Am × B m Mà R thỏa điều kiện mạnh hạng suy m + ≤ m (vô lý) Vậy A B thỏa điều kiện mạnh hạng ⇐ ) Giả sử A thỏa điều kiện mạnh hạng Xét hệ n phương trình tuyến tính R với m > n ẩn  a11 x1 + a12 x2 + + a1m xm =   a x + a x + + a x = n2 nm m  n1 (a ij ∈R ) Ta lấy nghiệm không tầm thường A nghiệm tầm thường B suy R có nghiệm không tầm thường Vậy R thỏa điều kiện mạnh hạng Chú ý: Sự ổn định hữu hạn điều kiện mạnh hạng tính chất độc lập với Đầu tiên, với đại số tự R = Q x, y ổn định hữu hạn theo 2.2.11 không thỏa điều kiện mạnh hạng theo 2.2.28 Hai là, cho A vành thỏa điều kiện mạnh hạng B vành không ổn định hữu hạn R= A × B thỏa điều kiện mạnh hạng theo 2.2.29 không ổn định hữu hạn theo 2.2.10 Ta kết thúc phần cách tìm vài lớp vành thỏa điều kiện mạnh hạng sau Định lý 2.2.30 Bất kì vành Noether phải R ≠ thỏa điều kiện mạnh hạng Chứng minh Trước hết ta xét bổ đề sau Bổ đề 2.2.31 Cho A, B môđun phải vành R , B ≠ Nếu A ⊕ B nhúng A A không môđun Noether 42 Chứng minh Giả thiết A có môđun A1 ⊕ B1 A1 ≅ A B1 ≅ B Điều kéo theo rằng: A ⊕ B nhúng A1 , A1 chứa môđun A2 ⊕ B2 A2 ≅ A B2 ≅ B Lặp lại trình này, ta nhận tổng trực tiếp vô hạn B1 ⊕ B2 ⊕ A , Bi ≅ B ≠ Vậy A không môđun Noether Chứng minh 2.2.30 ( ) Cho R ≠ vành Noether phải với n bất kì, A = R n môđun ( ) môđun hữu hạn sinh vành Noether phải R ) Do đó, với Noether (do R n môđun B ≠ R A ⊕ B nhúng A theo 2.2.31 Đặc biệt, m với m > n , R= R n ⊕ R m−n nhúng R n Vậy R thỏa điều kiện mạnh hạng Khi đó, vành Artin phải vành Noether phải theo định lý Hopkins Levitzki Do đó, vành Artin phải thỏa điều kiện mạnh hạng Hệ 2.2.32 (Hệ 2.2.30) Bất kì vành giao hoán R ≠ thỏa điều kiện mạnh hạng Chứng minh Xét hệ n phương trình tuyến tính với m > n ẩn  a11 x1 + a12 x2 + + a1m xm =   a x + a x + + a x = n2 nm m  n1 (a ij ∈R ) (*) Gọi R0 vành sinh Z.1 aij Theo định lý Hilbert R0 vành Noether Suy R0 thỏa điều kiện mạnh hạng Theo (2.2.27) hệ (*) có 43 nghiệm không tầm thường R0 Do đó, hệ (*) có nghiệm không tầm thường R Vậy R thỏa điều kiện mạnh hạng 44 BIỂU ĐỒ TÓM TẮT MỐI LIÊN HỆ CỦA LỚP CÁC VÀNH CÓ IBN Chú giải: Trong sơ đồ thì: • Vành R có IBN không thỏa điều kiện hạng theo ví dụ 2.2.22 • Vành R thỏa điều kiện mạnh hạng không thỏa điều kiện hạng theo ví dụ 2.2.28 • Vành R có IBN không ổn định hữu hạn theo phần ngược lại mệnh đề 2.2.8 45 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày vấn đề sau đây: • Sự tồn hạng môđun tự vô hạn sinh vành không giao hoán • Định nghĩa hạng (IBN) môđun tự hữu hạn sinh vành R • Đưa ví dụ chứng tỏ tồn môđun tự hữu hạn sinh vành không giao hoán có hai sở khác số phần tử khác tức khái niệm hạng • Điều kiện tồn hạng môđun tự hữu hạn sinh vành không giao hoán • Nghiên cứu lớp vành R khác như: vành R ổn định ổn định, vành R thỏa điều kiện hạng, vành R thỏa điều kiện mạnh hạng tất lớp vành có IBN, nhằm điều kiện đủ để vành R có IBN • Biểu đồ tóm tắt mối liên hệ lớp vành có IBN quan hệ bao hàm thực lớp 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nxb Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Hoàng Xuân Sính (2000), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Dương Quốc Việt (2010), Cơ sở lý thuyết Module, Nxb Đại học Sư phạm Tiếng Anh I N Herstein (1968), Noncommutative Rings, Published and Distributed by The Mathematical Association of America T Y Lam (1991), A First Course In Noncommutative Rings , Springer Verlag, NewYork T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Springer [...]... rằng tồn tại môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán có hai cơ sở khác nhau nhưng số phần tử khác nhau tức là không có khái niệm hạng, các điều kiện về sự tồn tại hạng của các môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán và đưa ra được biểu đồ tóm tắt mối tương quan chính giữa các điều kiện 2.1 Sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô hạn sinh trên các vành không giao hoán. .. k xi : i ∈ I Các phần tử của R là các đa thức không giao hoán các biến { xi } với hệ số thuộc k Hệ quả 1.3.15 Mọi k - vành tự = do R k xi : i ∈ I đều có thể nhúng vào một vành chia 20 Chương 2 - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này, ta nghiên cứu về sự tồn tại hạng đối với các môđun tự do vô hạn sinh trên các vành không giao hoán, đưa ra được... 0 1  2  g2  Vậy R không có IBN Như vậy, tồn tại môđun tự do với hai cơ sở có số phần tử khác nhau Đây là ví dụ chứng tỏ rằng tồn tại môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán có hai cơ sở khác nhau nhưng số phần tử khác nhau tức là không có khái niệm hạng Vậy với điều kiện nào của vành không giao hoán thì tồn tại khái niệm hạng của lớp các môđun tự do hữu hạn sinh và luận văn sẽ đi... ví dụ sau này 2.2 Điều kiện về sự tồn tại hạng của các môđun tự do hữu hạn sinh trên các vành không giao hoán Định nghĩa 2.2.1 Vành R được gọi là có hạng (sau này ta cũng gọi là có IBN) nếu với bất kì số tự nhiên n, m, R n ≅ R m thì n = m Điều này có nghĩa là bất kì hai cơ sở trên một R môđun M tự do hữu hạn sinh có cùng số phần tử Số chung này được định nghĩa là hạng của M Ta biết rằng, bất kì đồng... n Định lý 2.2.2 Giả sử vành R giao hoán Khi đó các cơ sở của cùng một R - môđun tự do hữu hạn sinh M có cùng số phần tử Chứng minh Ta biết rằng mỗi cơ sở của một môđun tự do là một hệ sinh cực tiểu của nó Vì thế các cơ sở của R - môđun tự do hữu hạn sinh M đều có hữu hạn phần tử Giả sử X 1 = {e1 , e2 , , en } , X 2 = { f1 , f 2 , , f m } là hai cơ sở hữu hạn khác nhau bất kì của M Ta chứng minh n... gọi là hệ sinh của M hay M được sinh bởi X Khi X là một tập hữu hạn thì X được gọi là hệ sinh hữu hạn của M và M được gọi là môđun hữu hạn sinh Hệ sinh X của M được gọi là một hệ sinh cực tiểu nếu X không chứa thực sự một hệ sinh nào của M Nếu M có hệ sinh chỉ bao gồm một phần tử thì M được gọi là môđun xyclic hay là môđun đơn sinh Môđun không có hệ sinh nào hữu hạn được gọi là môđun vô hạn sinh Định... với vành Noether phải R , bất kì môđun M hữu hạn sinh là Hopfian Áp dụng điều này với môđun tự do R n ( R n là môđun tự do hữu hạn sinh trên vành Noether phải R ) suy ra R n là môđun Hopfian Do đó, toàn cấu 31 ϕ : R n → R n là đẳng cấu Theo 2.2.7 thì R là ổn định hữu hạn Vậy vành Noether R là ổn định hữu hạn Bắt đầu từ vành R tùy ý, ta xây dựng vành R = R u ổn định hữu hạn như sau Cho u là iđêan của. .. Hệ quả 2.2.10 Vành tích trực tiếp S = ∏ Ri là ổn định hữu hạn nếu và chỉ nếu mỗi vành thành i∈I phần Ri là ổn định hữu hạn Hệ quả 2.2.11 Cho k là một vành chia bất kì thì vành k tự = do R k xi : i ∈ I là ổn định hữu hạn 30 Thật vậy, ta biết rằng vành R có thể được nhúng vào trong một vành chia S Mà vành chia S là ổn định hữu hạn suy ra vành R là ổn định hữu hạn Mệnh đề 2.2.12 Vành giao hoán R bất kì... nhỏ nhất i∈I chứa X của M và môđun con này cũng là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của X ) Bây giờ ta nhận thấy rằng với mỗi i ∈ I toàn cấu R - môđun ϕi : R → Rxi a  axi 9 là một đẳng cấu do tính độc lập của xi Vậy = M ⊕ Rx i∈I i ≅ R( I ) Định nghĩa 1.2.6 M là R - môđun tự do hữu hạn sinh nếu M là R - môđun tự do với cơ sở X n hữu hạn R - môđun tự do hữu hạn sinh M thì đẳng cấu... ma trận cấp n × m qua các cơ sở tự nhiên trên R m và R n Do đó, ta có thể sắp xếp lại định nghĩa 2.2.1 trên các số hạng ma trận như sau: với bất kì số tự nhiên n, m, R n ≅ R m nếu tồn tại các ma trận A, B trên R có cấp lần lượt là m × n và n × m sao cho AB = I m và 22 BA = I n thì n = m Vì vậy, vành R không có IBN nếu và chỉ nếu tồn tại các số tự nhiên n ≠ m và ma trận A, B trên R có cấp lần lượt ... SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 20 2.1 Sự tồn hạng môđun tự vô hạn sinh vành không giao hoán 20 2.2 Điều kiện tồn hạng môđun tự hữu hạn sinh vành không giao hoán ... hạng cho lớp môđun tự hữu hạn sinh có tồn không? Câu trả lời không? Vậy với điều kiện môđun tự hữu hạn sinh vành không giao hoán có khái niệm hạng Đây lý chọn đề tài “ Về tồn hạng Module tự hữu. .. - vành tự = R k xi : i ∈ I nhúng vào vành chia 20 Chương - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này, ta nghiên cứu tồn hạng môđun tự vô hạn