BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tô Hoàng Thật TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tô Hoàng Thật TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CÁM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Bích Huy, PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Thầy tạo cho ý thức ham học hỏi lòng say mê nghiên cứu khoa học Thầy tận tình hướng dẫn suốt trình thực luận văn Tôi xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, Ban lãnh đạo khoa Khoa Toán Tin, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tập thể quí thầy cô tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán giải tích khóa 22, thầy, cô giáo trang bị kiến thức, tạo kiện cho thời gian học tập Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng năm 2013 Học viên TÔ HOÀNG THẬT LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: luận văn cá nhân thực hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Các kết giới thiệu luận văn tìm hiểu từ giảng, sách chuyên khảo báo khoa học trình bày lại theo cách hiểu với chứng minh chi tiết Học viên TÔ HOÀNG THẬT MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ 1.1 Thứ tự sinh nón .5 1.2 Một số dạng nón tính chất chúng 1.2.1 Nón chuẩn .6 1.2.2 Nón qui 1.2.3 Nón hoàn toàn qui 1.2.4 Nón sinh 1.2.5 Nón liên hợp 10 CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH 13 2.1 Tính chất nón hàm dương 13 2.1.1 Trường hợp không gian Lp ( Ω, E ) 13 2.1.2 Không gian hàm khả tích HL 17 2.2 Tính chất thứ tự xích 20 2.2.1 Xích không gian Lp ( Ω, E ) 20 2.2.2 Xích hàm khả tích Bochner địa phương .29 2.2.3 Xích hàm khả tích HL khả tích HL địa phương 32 2.3 Tính chất đoạn cầu có thứ tự không gian hàm có thứ tự 35 CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC 38 3.1 Tính chất thứ tự xích 38 3.2 Tính chất thứ tự đoạn cầu .49 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Lí thuyết phương trình không gian có thứ tự hình thành thập niên 1940, phát triển mạnh mẽ năm 1950-1970 tiếp tục hoàn thiện ngày Lí thuyết tìm ứng dụng rộng rãi nghiên cứu phương trình vi phân, tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên, nghiên cứu mô hình kinh tế-xã hội, Lí thuyết điều khiển, tối ưu …Trong Lí thuyết phương trình không gian có thứ tự, tính chất tôpô không gian ánh xạ kết hợp với tính chất thứ tự chúng để đưa đến định lý sâu sắc tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm xây dựng nghiệm xấp xỉ cho lớp phương trình Không gian hàm liên tục không gian LP không gian sử dụng nghiên cứu phương trình vi phân tích phân Do để ứng dụng có hiệu Lí thuyết phương trình không gian có thứ tự vào nghiên cứu phương trình vi phân tích phân ta cần nghiên cứu tính chất thứ tự không gian này, bao gồm việc ứng dụng kết tổng quát không gian có thứ tự vào không gian tìm tính chất thứ tự đặc thù chúng Luận văn trình bày cách có hệ thống chi tiết tính chất thứ tự không gian hàm liên tục, LP bao gồm ứng dụng kết tổng quát không gian có thứ tự vào không gian trường hợp riêng nêu tính chất thứ tự đặc thù chúng Luận văn gồm ba chương Chương giới thiệu khái niệm kết chuẩn bị không gian Banach có thứ tự Chương trình bày tính chất thứ tự không gian hàm khả tích không gian Lp , không gian hàm khả tích địa phương, không gian hàm khả tích HL Chương trình bày tính chất thứ tự không gian hàm liên tục CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ 1.1 Thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Tập K không gian Banach thực X gọi nón nếu: a) K tập đóng, khác rỗng khác {0} b) K + K ⊂ K , λ K ⊂ K , ∀λ ≥ c) K ∩ ( − K ) ={θ } Ví dụ 1.1.2 Cho X =  n Ta= xét K {( x , , x ) : x ∈ , n i x= 1, , n} i ≥ 0, i K nón  n Nếu K nón thứ tự X sinh K định bởi: x ≤ y ⇔ y − x∈K Mỗi x ∈ K \ {θ } gọi dương Ví dụ 1.1.3 Ở ví dụ 2, thứ tự  n sinh nón K định nghĩa sau: x x1 , , xn ) , y ( y1 , , yn ) , (= x ≤ y ⇔ yi − xi ≥ 0, ∀i =1, , n Mệnh đề 1.1.4 Giả sử " ≤ " thứ tự sinh nón Khi đó: a) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z , λ x ≤ λ y, ∀z ∈ X , ∀λ ≥ ( ) b) ( xn ≤ yn , ∀n ∈ ∗ ) lim xn = x, lim yn = y ⇒ x ≤ y n→∞ n→∞ c) Nếu ( xn ) dãy tăng hội tụ tới x xn ≤ x, ∀n ∈ ∗ Chứng minh: a) x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ ( y + z ) − ( x + z ) ∈ K ⇒ x + z ≤ y + z , ∀z ∈ K x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ λ ( y − x ) ∈ K ⇒ λ y − λ x ∈ K ⇒ λ y ≤ λ x, ∀λ ≥ b) Từ xn ≤ yn ⇒ yn − xn ∈ K Do yn − xn → y − x ∈ K (do tính chất đóng K) Vậy x ≤ y c) Trước tiên ta chứng minh xn ≤ xn+ m , ∀m ∈ ∗ Thật vậy, ta có xn+ m − xn+ m−1 + xn+ m−1 − xn+ m−2 + + xn+1 − xn ∈ K () Điều dẫn đến xn+ m − xn ∈ K ⇔ xn ≤ xn+ m * Cho m → ∞ (*) áp dụng b) ta điều phải chứng minh  1.2 Một số dạng nón tính chất chúng 1.2.1 Nón chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Nón K gọi nón chuẩn tồn N > : ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ N y Mệnh đề 1.2.2 Giả sử " ≤ " thứ tự sinh nón chuẩn Khi đó: a) Nếu u ≤ v đoạn u , v = { x ∈ X : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn b) Nếu xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ∈ * = lim xn a= , lim zn a lim yn = a n→∞ n→∞ n→∞ c) Nếu ( xn ) đơn điệu có dãy hội tụ a lim xn = a Chứng minh: a) ∀x ∈ u , v ⇒ θ ≤ x − u ≤ v − u ⇒ x − u ≤ N u − v ⇒ x ≤ u + N u − v b) θ ≤ yn − xn ≤ zn − x n ⇒ yn − xn ≤ N zn − x n c) Coi ( xn ) tăng lim x nk = a Vì xn ≤ xnk (n cố định, K đủ lớn) nên xn ≤ a, ∀n ∈ * k →∞ Cho ε > , chọn k0 để xnk − a < ε N ta có: ∀n ≥ nk0 ⇒ a − xn ≤ xnk − a ⇒ a − xn ≤ N a − xnk < ε 0  Ví dụ 1.2.3 { } a) Nón K = f ∈ C ([ 0,1] ,  ) , f ≥ nón chuẩn C ([ 0,1] ,  ) b) Nón hàm không âm, có đạo hàm liên tục C1 ([ 0,1] ,  ) , không nón chuẩn C1 ([ 0,1] ,  ) Chứng minh: a) Lấy f , g ∈ K thỏa f ≤ g Suy sup f ( t ) ≤ sup g ( t ) hay f ≤ g t∈[ 0,1] t∈[ 0,1] b) Xét dãy f n= ( t ) t n , n ∈ * hàm f ( t ) = Ta có f n ≤ f , ∀n ∈ * max f n ( t ) + max f n' ( t ) = + n, f = Do không tồn fn = 0≤t ≤1 0≤t ≤1 N > cho bất đẳng thức f n ≤ N f với n ∈ *  1.2.2 Nón qui Định nghĩa 1.2.4 Nón K gọi qui dãy tăng, bị chặn hội tụ Ví dụ 1.2.5 a) Nón hàm không âm hầu khắp nơi L [ 0,1] nón qui L [ 0,1] b) Nón hàm không âm C ([ 0,1] ,  ) không nón qui Chứng minh: a) Giả sử ( f n ) dãy tăng, bị chặn g L [ 0,1] Ta coi f n ( t ) , g ( t ) hữu hạn t ∈ [ 0,1] Bằng cách xét dãy f n − f1 cần, ta coi f n ≥ Lấy t ∈ [ 0,1] tùy ý ≤ f1 ( t ) ≤ ≤ f n ( t ) ≤ ≤ g ( t ) Do ( f n ( t ) ) dãy số tăng, bị chặn nên hội tụ Lập hàm f : [ 0,1] →  định f ( t ) = lim f n ( t ) Vì n→∞ ( fn ) dãy hàm đo được, không âm hầu khắp nơi, bị chặn g f ( t ) = lim f n ( t ) nên f hàm đo n→∞ được, không âm hầu khắp nơi, bị chặn g ∈ L [ 0,1] nên f ∈ L [ 0,1] Ta chứng minh f n → f L [ 0,1] Ta có f n ( t ) − f ( t ) → L [ 0,1] f n ( t ) − f ( t ) ≤ g ( t ) Do theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có lim n→∞ ∫ [0,1] fn − f d µ = Suy lim f n − f = n→∞ Vậy nón hàm không âm hầu khắp nơi L [ 0,1] nón qui b) Xét dãy ( f n ) C ([ 0,1] ,  ) , với f n ( t ) = − t n , ∀t ∈ [ 0,1] Ta có ( f n ) dãy hàm tăng, bị chặn C ([ 0,1] ,  ) = f ( t ) lim f n ( t ) , t ∈ [ 0,1] với hàm f : [ 0,1] → [ 0,1] định bởi: n→∞ 0 t = f0 ( t ) =  1 ≤ t < Ta có f ∉ C ([ 0,1] ,  ) nên dãy ( f n ) không hội tụ C ([ 0,1] ,  ) Vậy nón hàm không âm C ([ 0,1] ,  ) không nón qui  Mệnh đề 1.2.6 Nón qui nón chuẩn Chứng minh: Giả sử K nón qui không nón chuẩn Khi ∀n ∈ * , ∃xn , yn : θ ≤ xn ≤ yn , xn > n yn Đặt un = ∞ Vì ∑ n =1 xn = , xn yn θ ≤ un ≤ , u= 1, < n xn n ∞ < ∞ nên tồn v = ∑ n =1 Dãy sn = u1 + + un tăng, bị chặn (bởi v) nên hội tụ Suy lim un = θ , điều dẫn đến mâu thuẫn  1.2.3 Nón hoàn toàn qui Định nghĩa 1.2.7 Nón K gọi hoàn toàn qui dãy tăng E mà bị chặn theo chuẩn hội tụ Mệnh đề 1.2.8 CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC Các kết mục 3.1 sau tham khảo [1, tr.429-432] [3, tr.478484] 3.1 Tính chất thứ tự xích Trong phần ta nghiên cứu tồn cận bé cận lớn xích không gian C ( X , Lp ( Ω, E ) ) , X không gian tôpô, ( Ω, A, µ ) không gian độ đo E không gian Banach có thứ tự, thứ tự C ( X , Lp ( Ω, E ) ) định nghĩa bởi: x ≤ y ⇔ x ( t ) ≤ y ( t ) , ∀t ∈ X (1) Ta nói tập C C ( X , Lp ( Ω, E ) ) liên tục đồng bậc với t ∈ X với ε > tồn lân cận U t cho u ( s ) − u ( t ) p ≤ ε , ∀u ∈ C s ∈U Bổ đề 3.1.1 Cho nón E qui (tương ứng hoàn toàn qui) µ ( Ω ) < ∞ Khi xích bị chặn thứ tự điểm (tương ứng bị chặn điểm) liên tục đồng bậc C ( X , L∞ ( Ω, E ) ) có cận bé cận lớn C ( X , L∞ ( Ω, E ) ) Chứng minh: Cho C xích bị chặn điểm liên tục đồng bậc C ( X , L∞ ( Ω, E ) ) Theo bổ đề 2.2.1 với t ∈ X tồn x* ( t ) = sup x ( t ) x∈C L∞ ( Ω, E ) ⊂ Lp ( Ω, E ) , ∀p ∈ [1, ∞ ) Ta chứng minh hàm x* : X → L∞ ( Ω, E ) liên tục Cho t ∈ X ε > Vì C liên tục đồng bậc nên có lân cận U t cho: x ( s ) − x (t ) ∞ ≤ ε với s ∈U x ∈ C 38 Cho x ∈ L∞ ( Ω, E ) Vì x ( t ) ≤ x ∞ với hầu khắp nơi t ∈ Ω nên x p ≤ µ (Ω) p x ∞ với p ∈ [1, ∞ ) , suy với ≤ p < ∞ , x ( s ) − x ( t ) p ≤ µ ( Ω ) p ε với s ∈U Theo bổ đề 2.2.1 mệnh đề 2.2.2 suy p x ( s ) − x ( t ) ≤ µ ( Ω ) ε với s ∈U ∗ ∗ (a) p Vì x* ( s ) − x* ( t ) ∈ L∞ ( Ω, E ) µ ( Ω ) < ∞ , nên theo bổ đề 27 ta có: x* ( s ) − x* ( t ) = lim x* ( s ) − x* ( t ) , ∞ p →∞ p kết hợp với (a) suy ra: x* ( s ) − x* ( t ) ∞ ≤ ε với s ∈U Do x* liên tục t ∈ X , x* ∈ C ( X , L∞ ( Ω, E ) ) Theo định nghĩa x* x* cận bé C C ( X , L∞ ( Ω, E ) ) Theo chứng minh inf C = − sup(−C ) , suy tồn inf C C ( X , L∞ ( Ω, E ) )  Mệnh đề 3.1.2 ( Cho ( Ω, A, µ ) không gian độ đo σ -hữu hạn E = E , ) không gian Banach có thứ tự với nón qui (tương ứng hoàn toàn qui) Nếu xích C C ( X , L∞ ( Ω, E ) ) bị chặn thứ tự điểm (tương ứng bị chặn điểm) liên tục đồng bậc tồn supC inf C C ( X , L∞ ( Ω, E ) ) Chứng minh: Giả sử Ω = ∞ A , n An ⊂ An+1 , µ ( An ) < ∞, ∀n ∈  Theo mệnh đề 2.2.2 suy n =0 tồn x* ( t ) = sup x ( t ) L∞ ( Ω, E ) với t ∈ X Để chứng minh x∈C 39 x* = sup C , ta chứng minh x* liên tục Cho t ∈ X ε > Vì C liên tục đồng bậc nên có lân cận U t cho x ( s ) − x (t ) ∞ ≤ ε với s ∈U x ∈ C Suy x ( s )( w ) − x ( t )( w ) ≤ ε với hầu khắp nơi w∈ Ω với s ∈U , x ∈ C Kí hiệu n ∞ chuẩn L∞ ( An , E ) , ta có: x ( s ) | An − x ( t ) | An n ∞ ≤ ε với s ∈U x ∈ C Vì= x* ( t ) | An sup x ( t ) | An , ∀n ∈ , t ∈ X Theo bổ đề 3.1.1, ta có: x∈C x* ( s ) | An − x* ( t ) | An n ∞ ≤ ε , ∀n ∈ , t ∈ X Do x* ( s )( w ) − x* ( t )( w ) ≤ ε với hầu khắp nơi w ∈ An , s ∈U n ∈  ∞ Vì Ω = An , ta có n =0 x* ( s ) − x* ( t ) ∞ ≤ ε với s ∈U Suy x* liên tục t Vậy x* ∈ C ( X , L∞ ( Ω, E ) ) , x* = sup C C ( X , L∞ ( Ω, E ) ) Chứng minh tồn inf C tương tự Ví dụ ta xét số ứng dụng mệnh đề 3.1.2 Kí hiệu l p ( E ) với ≤ p < ∞ không gian tất dãy x = ( xn )n=0 phần ∞ ( tử không gian Banach E = E , ) cho  = x p  ∑ xn  n =0 ∞ p p   < ∞  Cho tập  với độ đo µ σ -hữu hạn Lp ( , E ) đồng với l p ( E ) với ≤ p < ∞ Với p > l p ( E ) phản xạ E phản xạ 40 Nếu l ∞ ( E ) tập tất dãy bị chặn x = ( xn )n=0 E x ∞ = sup xn ∞ n∈ L∞ ( , E ) = l ∞ ( E ) Nếu E có thứ tự K nón E thứ tự Lp ( , E ) sinh Lp ( , K ) định nghĩa l p ( E ) bởi: (x ) ∞ ≤(y ) ∞ n n 0= n n = yn − xn ∈ K với n ∈  Cho E không gian định chuẩn có thứ tự với nón qui (tương ứng hoàn toàn qui) ≤ p ≤ ∞ Nếu xích C C ( X , l p ( E ) ) bị chặn thứ tự điểm (tương ứng bị chặn điểm) liên tục đồng bậc tồn supC inf C C ( X , l p ( E ) ) Mệnh đề 3.1.3 Cho E không gian Banach có thứ tự với nón K X không gian tôpô Một xích C liên tục đồng bậc C ( X , B ( Ω, E ) ) có cận bé cận lớn trường hợp sau: a) C bị chặn thứ tự điểm K qui b) C bị chặn điểm K hoàn toàn qui c) C bị chặn điểm E phản xạ Chứng minh: a) Cho C xích bị chặn thứ tự điểm liên tục đồng bậc C ( X , B ( Ω, E ) ) Cho t ∈ X , tồn a, b ∈ B ( Ω, E ) cho a ( w ) ≤ x ( t )( w ) ≤ b ( w ) , ∀x ∈ C , w ∈ Ω Nếu K qui tồn z ( t )( w ) = sup x ( t )( w ) (a) x∈C a ( w ) ≤ z ( t )( w ) ≤ b ( w ) , ∀ w ∈ Ω Điều tính chuẩn K suy z ( t ) ∈ B ( Ω, E ) Cho ε > Vì C liên tục đồng bậc nên có lân cận U t cho x ( s ) − x ( t ) ≤ ε , ∀x ∈ C , s ∈U (b) 41 Theo định nghĩa , điều tương đương với x ( s )( w ) − x ( t )( w ) ≤ ε , ∀x ∈ C , s ∈U , w ∈ Ω (c) Nếu s ∈U , w ∈ Ω cố định, theo (a) tồn dãy tăng ( xn )n = ∞ ( yn )n 0= ∞ C cho xn ( t )( w ) → z ( t )( w ) y n ( s )( w ) → z ( s )( w ) Kí hiệu zn max { xn , yn } , n ∈  Ta thu dãy tăng ( zn )n=0 C Vì = ∞ x0 ( t )( w ) ≤ xn ( t )( w ) ≤ zn ( t )( w ) ≤ z ( t )( w ) (d) y0 ( s )( w ) ≤ yn ( s )( w ) ≤ zn ( s )( w ) ≤ z ( s )( w ) , với n ∈  , suy zn ( t )( w ) → z ( t )( w ) zn ( s )( w ) → z ( s )( w ) Điều (c) ta có: z ( s )( w ) − z ( t )( w ) ≤ ε , s ∈U , w ∈ Ω , z liên tục t Vì t ∈ X tùy ý nên z ∈ C ( X , B ( Ω, E ) ) Điều (a) suy z = sup C b) Cho C xích bị chặn điểm liên tục đồng bậc C ( X , B ( Ω, E ) ) Cho t ∈ X , tồn số số dương M ( t ) cho x ( t )( w ) ≤ M ( t ) , ∀x ∈ C w ∈ Ω (e) Nếu K hoàn toàn qui, với t ∈ X cố định, tồn ánh xạ z ( t ) : Ω → E thỏa mãn (a) với w∈ Ω cố định tồn dãy tăng ( xn ) C cho xn ( t )( w ) → z ( t )( w ) Suy z ( t ) ∈ B ( Ω, E ) Chứng minh tương tự a) ta chứng minh z ∈ C ( X , B ( Ω, E ) ) z = sup C c) Giả sử E phản xạ Cho C xích bị chặn điểm liên tục đồng bậc C ( X , B ( Ω, E ) ) Cho t∈X cố định, chọn M(t) > thỏa mãn x ( t )( w ) ≤ M ( t ) , ∀x ∈ C w ∈ Ω Khi tồn ánh xạ z ( t ) : Ω → E cho z ( t )( w ) = sup x ( t )( w ) , ∀w ∈ Ω x∈C Cho ε > , C liên tục đồng bậc nên có lân cận U t cho 42 x ( s ) − x ( t ) ≤ ε , ∀x ∈ C , s ∈U ⇒ x ( s )( w ) − x ( t )( w ) ≤ ε , ∀x ∈ C , s ∈U , w ∈ Ω Nếu s ∈U , w ∈ Ω cố định, tồn dãy tăng ( xn ) ( yn ) C cho xn ( t )( w ) hội tụ yếu tới z ( t )( w ) yn ( s )( w ) hội tụ yếu tới z ( s )( w ) Khi đó: z ( t )( w ) ≤ liminf xn ( w ) ≤ M ( t ) n→∞ z ( s )( w ) ≤ liminf yn ( w ) ≤ M ( s ) n→∞ Do z ( t ) , z ( s ) ∈ B ( Ω, E= ) Kí hiệu zn max { xn , yn } , n ∈  , ta thu dãy tăng ( zn ) C Vì x0 ( t )( w ) ≤ xn ( t )( w ) ≤ zn ( t )( w ) ≤ z ( t )( w ) y0 ( s )( w ) ≤ yn ( s )( w ) ≤ zn ( s )( w ) ≤ z ( s )( w ) , với n ∈  Suy zn ( t )( w ) hội tụ yếu tới z ( t )( w ) zn ( s )( w ) hội tụ yếu tới z ( s )( w ) Do z ( s )( w ) − z ( t )( w ) ≤ liminf zn ( s )( w ) − zn ( t )( w ) ≤ ε , ∀s ∈U , w ∈ Ω , n→∞ z liên tục t ∈ X Vậy z ∈ C ( X , B ( Ω, E ) ) theo định nghĩa z suy z = sup C Sự tồn inf C chứng minh tương tự  Sau ta xét tồn cận nhỏ xích thứ tự tốt không gian C ( X , E ) hàm liên tục u : X → E , với X không gian tôpô E không gian định chuẩn có thứ tự Định nghĩa thứ tự C ( X , E ) u ≤ v ⇔ u ( t ) ≤ v ( t ) , ∀t ∈ X Ta nói tập C C ( X , E ) liên tục đồng bậc với t ∈ X với ε > tồn lân cận U t cho u ( s ) − u ( t ) ≤ ε , ∀u ∈ C s ∈U 43 Mệnh đề 3.1.4 Cho E không gian định chuẩn có thứ tự, X không gian tôpô cho C tập liên tục đồng bậc thứ tự tốt C ( X , E ) mà dãy tăng có giới hạn yếu điểm Khi tồn v = supC C ( X , E ) Chứng minh: Theo giả thiết C suy với t ∈ X , tập {u ( t )}u∈C tập thứ tự tốt E mà dãy tăng có giới hạn yếu, theo bổ đề 2.2.4 suy tồn v ( t ) = sup {u ( t )}u∈C E với t ∈ X Ta chứng minh hàm v : X → E cận bé C C ( X , E ) , cần chứng minh v liên tục Cho t ∈ X ε > Theo giả thiết C liên tục đồng bậc nên có lân cận U t cho u ( s ) − u ( t ) ≤ ε , ∀u ∈ C s ∈U Cho s ∈U cố định Theo bổ đề 2.2.4 tồn dãy tăng ( )n=0 C cho ∞ (v ( s )) n (u (t )) n ∞ n =0 ∞ n =0 hội tụ yếu E tới v ( s ) dãy tăng ( un )n=0 C cho ∞ hội tụ yếu E tới v ( t ) Kí hiệu zn max {vn , un } , n ∈  , ta thu dãy tăng ( zn )n=0 C = ∞ Theo giả thiết ( zn )n=0 hội tụ yếu điểm, dó ( zn ( s ) )n=0 hội tụ yếu E tới ∞ ∞ v ( s ) , ( zn ( t ) )n=0 hội tụ yếu E tới v ( t ) ∞ Do ( zn ( s ) − zn ( t ) )n=0 hội tụ yếu E tới v ( s ) − v ( t ) , ∞ v ( s ) − v ( t ) ≤ liminf zn ( s ) − zn ( t ) ≤ ε với s ∈U n→∞ Do v liên tục t Vậy v ∈ C ( X , E ) , v cận bé C C ( X , E )  Nếu X không gian tôpô tách được, ta có kết sau: Mệnh đề 3.1.5 44 Cho E không gian định chuẩn có thứ tự, X không gian tôpô tách cho C tập liên tục đồng bậc thứ tự tốt C ( X , E ) , mà dãy tăng có giới hạn yếu điểm Khi tồn v = sup C có dãy tăng ( un ) C cho un ( t ) hội tụ yếu tới v ( t ) với t ∈ X Chứng minh: Cho D = ( t j ) j∈ tập trù mật X Suy từ mệnh đề 44 tồn v = sup C C ( X , E ) thỏa mãn v ( t ) sup {u ( t )}u∈C , ∀t ∈ D Hơn nữa, theo mệnh đề = 3.1.4 suy tập C  {v} liên tục đồng bậc với j ∈  , có dãy ( ukj ) ∞ k =0 C hội tụ yếu tới v ( t j ) Kí hiệu = un max {ukj : ≤ j , k ≤ n} , n ∈  Ta thu dãy ( un ) tăng, chứa C un ( t ) hội tụ yếu tới v ( t ) với t∈D Ta chứng minh hội tụ t thuộc phần bù D Cho t ∈ X \ D, ε > f ∈ E ' Chọn lân cận U t cho u ( s ) − u (t ) ≤ ε 1+ f , ∀u ∈ C  {v} s ∈ U (1) Vì D tập trù mật X, ta chọn s (1) cho s ∈U  D Dãy ( u ( t ) ) có giới hạn yếu z theo giả thiết n Ta chúng minh z = v ( t ) Vì un ( t ) hội tụ yếu tới z un ( s ) hội tụ yếu tới v ( s ) nên có n ∈  cho f ( un ( t ) ) − f ( z ) ≤ ε f ( un ( s ) ) − f ( v ( s ) ) ≤ ε (2) Áp dụng (1) (2) ta được: f ( z − v ( t ) ) = f ( z ) − f ( v ( t ) ) ≤ f ( z ) − f ( un ( t ) ) + f un ( t ) − un ( s ) + f ( un ( s ) ) − f ( v ( s ) ) + f v ( s ) − v ( t ) ≤ ε , ∀f ∈ E ' ∀ε > 45 Do z = v ( t ) Vậy ( un ( t ) ) hội tụ yếu tới v ( t ) t ∈ X \ D  Nhận xét : Những kết mệnh đề 3.1.4 3.1.5 hội tụ yếu thay hội tụ mạnh Kế tiếp ta xét không gian tôpô có thứ tự X có tính chất sau: (C) Mỗi xích C khác rỗng, thứ tự tốt X mà dãy tăng hội tụ chứa dãy tăng hội tụ tới supC xích D khác rỗng, đảo thứ tự tốt X mà dãy giảm hội tụ chứa dãy giảm hội tụ tới inf D Ví dụ không gian tôpô có thứ tự sau có tính chất (C): Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai xích X tách được, có tính chất (C) Mỗi không gian metric có thứ tự có tính chất (C) Mỗi tập khác rỗng X không gian định chuẩn có thứ tự E với tôpô sinh chuẩn (tương ứng tôpô yếu) có tính chất (C) Kế tiếp xét trường hợp X tập không gian C (Y , Z ) hàm liên tục x : Y → Z , với Y không gian tôpô Z không gian tôpô có thứ tự Trong phần sau, ta giả sử C (Y , Z ) tất tập thứ tự điểm tôpô hội tụ điểm Bổ đề 3.1.6 Cho Y không gian tôpô tách Z không gian Hausdorff có thứ tự có tính chất (C) Khi tập khác rỗng X C (Y , Z ) không gian tôpô có thứ tự có tính chất (C) Chứng minh: Cho W xích thứ tự tốt tập khác rỗng X C (Y , Z ) giả sử dãy tăng W hội tụ điểm tới ánh xạ X Với s ∈ Y , tập W ( s ) = { x ( s )}x∈W xích thứ tự tốt Z 46 Nếu A tập khác rỗng W ( s ) tập B = { x ∈W : x ( s ) ∈ A} khác rỗng, có phần tử nhỏ y Vậy y ( s ) = A thứ tự điểm C (Y , Z ) Vì Y tách nên chứa tập đếm trù mật {s }, ≤ j < m ≤ ∞ = D ( ) Cho s ∈ D cố định cho znk ( ) W ( s ) Nếu znk ( ) Mặt khác, znk ∞ k = k0 ∞ k =0 ∞ j dãy dãy tăng ( zn )n=0 ∞ k =0 ( ) dãy với k0 ∈  znk giới hạn znk ( ) có dãy tăng ngặt znk i ∞ i =0 ∞ k =0 Vì phần tử dãy thuộc W ( s ) W thứ tự tốt với tương ứng thứ tự điểm C (Y , Z ) nên tồn dãy tăng ( xi )i =0 W cho ∞ { } xi ( s ) = znk với i ∈  (lấy xi =min x ∈W : x ( s ) =znk ) Vì ( xi )i =0 hội tụ i ( ) điểm nên ( xi ( s ) )i =0 = znk ∞ i ∞ i =0 i ∞ hội tụ Vì dãy ( zn )n=0 có dãy hội tụ nên ( zn )n=0 hội tụ ∞ ∞ Theo chứng minh dãy tăng ( zn )n=0 W ( s ) hội tụ s ∈ D Vì W ( s ) ∞ xích thứ tự tốt Z có tính chất (C) nên với s j ∈ D tồn dãy ( tăng xkj ( s j ) ) ∞ k =0 W ( s j ) cho lim xkj ( s j ) = supW ( s j ) (1) k →∞ Kí hiệu = xn max { xkj : ≤ j , k ≤ n} , n ∈  (2) Ta thu ( xn )n=0 dãy tăng W ( s ) , theo giả thiết hội tụ điểm ∞ tới ánh xạ X Kí hiệu = x ( s ) lim xn ( s ) , s ∈ Y n→∞ 47 (3) Từ (1), (2) (3) suy = x ( s j ) supW ( s j ) , ∀s j ∈ D (4) Ta chứng minh x = supW Cho s ∈ Y \ D , theo chứng minh tồn dãy tăng ( yn )n=0 W cho ∞ lim yn ( s ) = supW ( s ) (5) n→∞ Kí hiệu zn max { xn , yn } , n ∈  , ta thu dãy tăng ( zn )n=0 W = ∞ Kí hiệu z = lim zn , theo giả thiết z liên tục, từ (4) (5) suy n→∞ z ( s j= ) supW ( s j ) , s j ∈ D z ( s =) supW ( s ) (6) Do x z liên tục, nên theo (4) (6) hạn chế chúng lên tập trù mật D Y Vì Z không gian Hausdorff nên z = x Hơn nữa, = x ( s ) lim= xn ( s ) supW ( s ) , ∀s ∈ Y \ D n→∞ Theo (3) (4) = x ( s ) lim= xn ( s ) supW ( s ) , ∀s ∈ D n→∞ Suy x cận bé điểm W Hiển nhiên x = supW với tương ứng thứ tự điểm X Ngoài x giới hạn điểm dãy tăng ( xn )n=0 W ∞ Chứng minh xích W X đảo thứ tự tốt mà dãy giảm hội tụ điểm X chứa dãy giảm mà hội tụ điểm tới infW X đối ngẫu chứng minh  Kế tiếp, giả sử Y không gian tôpô, Z = ( Z , d ) không gian metric Ta nói tập W C (Y , Z ) liên tục đồng bậc với t ∈ Y với ε > tồn lân cận U t cho d ( x ( s ) , x ( t ) ) ≤ ε , ∀x ∈W s ∈ U Bổ đề 3.1.7 48 Cho Y không gian tôpô Z = ( Z , d ) không gian metric có thứ tự Nếu dãy đơn điệu điểm liên tục đồng bậc hàm từ Y tới Z có giới hạn điểm hàm giới hạn liên tục Nếu Y không gian metric compact hội tụ Các kết mục 3.2 sau tham khảo [1, tr.433-435] 3.2 Tính chất thứ tự đoạn cầu Theo chứng minh mệnh đề 3.1.4, 3.1.5 nhận xét cho ta kết sau: Mệnh đề 3.2.1 Cho E không gian định chuẩn có thứ tự, với nón thứ tự qui X không gian tôpô có thứ tự Giả sử u , u đoạn thứ tự không gian có thứ tự điểm C ( X , E ) hàm liên tục từ X tới E Khi tồn supW inf W thuộc u , u với W xích liên tục đồng bậc u , u Hơn nữa, X tách tồn dãy tăng W mà hội tụ điểm tới supW dãy giảm W mà hội tụ điểm tới inf W Mệnh đề 3.2.2 Cho X không gian tôpô, E không gian định chuẩn có thứ tự có tính chất (E0)-(E2) giả sử thứ tự C ( X , E ) thứ tự điểm Cho c ∈ C ( X , E ) h : X →  + , kí hiệu B ( c, h )= {u ∈ C ( X , E ) : u ( t ) − c ( t ) ≤ h ( t ) , ∀t ∈ X } Khi ta có khẳng định sau: a) sup {c, u} ∈ B ( c, h ) inf {c, u} ∈ B ( c, h ) , ∀u ∈ B ( c, h ) b) Nếu X tách supW ∈ B ( c, h ) inf W ∈ B ( c, h ) với xích W liên tục đồng bậc B ( c, h ) Chứng minh: a) Theo tính chất (E2) suy với v ∈ C ( X , E ) , ánh xạ: v + = t  v ( t ) liên tục + Mặt khác, theo tính chất (E1), ta có: 49 v + ( t ) ≤ v ( t ) với t ∈ X , sup {c, u}( t ) − c ( t ) =inf {c, u}( t ) − c ( t ) =( u − c ) ( t ) ≤ u ( t ) − c ( t ) ≤ h ( t ) với + u ∈ B ( c, h ) t ∈ X b) Cho W xích liên tục đồng bậc B ( c, h ) cho C xích thứ tự tốt đuôi W Theo mệnh đề 3.1.5 tồn dãy tăng ( un ) C hội tụ yếu điểm tới = u sup = C supW Vì ( un ) dãy B ( c, h ) , ta suy ra: u ( t ) − c ( t ) ≤ liminf un ( t ) − c ( t ) ≤ h ( t ) , ∀t ∈U n→∞ Vậy = u supW ∈ B ( c, h ) Chứng minh inf W ∈ B ( c, h ) tương tự  50 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận văn này, trình bày số kết không gian Banach có thứ tự Nghiên cứu số tính chất nón hàm dương, tính chất thứ tự xích, tìm điều kiện cho tồn cận bé cận lớn xích không gian Lp ( Ω, E ) , không gian hàm liên tục, không gian hàm khả tích Bochner địa phương, không gian hàm khả tích HL khả tích HL địa phương Qua trình làm luận văn hiểu sâu kiến thức học chương trình Cao học Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến thấy mối liên hệ hữu chúng Bước đầu biết vận dụng chúng để học tập vấn đề làm quen với nghiên cứu khoa học Tôi hy vọng học tập nghiên cứu thêm đề tài 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO S.Carl, S.Heikkila (2010), Fixed Point Theory in Ordered Sets and Applications, Spinger K Deimling (1984), Nonlinear Functional Analysis, Springer S Heikkila, V.Lakshmikantham (1994), Monotone Iterative Techniques for Discontinous Nonlinear Differential Equations, Mareel Dekker Inc, NewYork 52 [...]... khắp nơi t ∈ Ω , do đó x ∈ Lp ( Ω, K )  Nếu E là không gian Banach có thứ tự, K là nón của E Khi đó Lp ( Ω, E ) là không gian Banach có thứ tự và thứ tự trong Lp ( Ω, E ) sinh bởi Lp ( Ω, K ) Thứ tự “ ≤ ” có thể được định nghĩa như sau: x ≤ y ⇔ x ( t ) ≤ y ( t ) với hầu khắp nơi t ∈ Ω Mệnh đề 2.1.3 Cho E là không gian Banach có thứ tự, K là nón của E và p ∈ [1, ∞ ) Nếu K là nón chuẩn, chính qui... ) và u* ∈ w− , w+ 2.2.3 Xích của những hàm khả tích HL và khả tích HL địa phương Trước tiên ta nghiên cứu những không gian có thứ tự từng điểm hầu khắp nơi HL ([ a, b ] , E ) của những hàm khả tích HL từ [ a, b ] tới không gian Banach có thứ tự E với nón chính qui Mệnh đề 2.2.11 Cho C là tập khác rỗng của những hàm đo được mạnh từ [ a, b ] tới không gian Banach có thứ tự E với nón chính qui Giả sử... chất của nón các hàm dương 2.1.1 Trường hợp không gian Lp ( Ω, E ) ( Cho ( Ω, A, µ ) là không gian độ đo, E = E , ) là không gian Banach và 1 ≤ p < ∞ Định nghĩa Lp ( Ω, E ) là không gian những hàm µ -đo được x : Ω → E sao cho t  x (t ) p là µ -khả tích , nghĩa là x ∈ Lp ( Ω ) Lp ( Ω, E ) là không gian vectơ với phép toán thông thường về cộng hàm và nhân hàm với số và là không gian Banach với chuẩn... không gian có thứ tự từng điểm hầu khắp nơi L1loc ( Ω, E ) , với E là không gian Banach có thứ tự Bồ đề 2.2.8 Giả sử C là tập con khác rỗng của Lp ( Ω, E ) , 1 ≤ p < ∞ , với Ω là không gian độ đo và E là không gian Banach có thứ tự với nón chính qui Nếu C là được sắp thứ tự tốt với tương ứng thứ tự từng điểm hầu khắp nơi và nếu tồn tại hàm u± ∈ Lp ( Ω, E ) sao cho u− ( t ) ≤ u ( t ) ≤ u+ ( t ) với mọi... tr.421-428] và [3, tr.469477] 2.2 Tính chất thứ tự của một xích 2.2.1 Xích trong không gian Lp ( Ω, E ) Bổ đề 2.2.1 Nếu 0 < µ ( Ω ) < ∞ thì L∞ ( Ω, E ) ⊂ Lp ( Ω, E ) ⊂ L1 ( Ω, E ) với mọi p ∈ (1, ∞ ) và x ∞ = lim x p →∞ p với mọi x ∈ L∞ ( Ω, E ) (1) Hơn nữa, nếu E là không gian Banach có thứ tự và nếu nón của E là chính qui (tương ứng hoàn toàn chính qui) thì mỗi xích bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) trong... 2.2.4 Cho C là tập con được sắp thứ tự tốt của không gian định chuẩn có thứ tự E và giả sử mỗi dãy tăng của C có giới hạn yếu (tương ứng mạnh) trong E Khi đó C chứa dãy tăng mà hội tụ yếu (tương ứng mạnh) tới supC Bồ đề 2.2.5 24 Cho không gian Banach có thứ tự E mà mỗi dãy tăng và bị chặn có giới hạn yếu và p ∈ [1, ∞ ) , giả sử C là xích bị chặn và được sắp thứ tự tốt của Lp ( Ω, E ) Nếu µ ( Ω ) ... bị không gian Banach có thứ tự Chương trình bày tính chất thứ tự không gian hàm khả tích không gian Lp , không gian hàm khả tích địa phương, không gian hàm khả tích HL Chương trình bày tính chất. .. tính chất thứ tự không gian này, bao gồm việc ứng dụng kết tổng quát không gian có thứ tự vào không gian tìm tính chất thứ tự đặc thù chúng Luận văn trình bày cách có hệ thống chi tiết tính chất. .. tự b)  Các kết mục 2.3 sau tham khảo [1, tr.433-435] 2.3 Tính chất đoạn cầu có thứ tự không gian hàm có thứ tự Trước tiên ta xét tồn cận bé cận lớn xích không gian hàm có thứ tự mà giá trị không