Một vài tính chất định tính của hàm đa trị và ứng dụng

94 473 0
Một vài tính chất định tính của hàm đa trị và ứng dụng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Trn Quc Ton LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Trn Quc Ton Chuyờn ngnh : Toỏn Gii tớch Mó s : 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS TS NGUYN èNH HUY Thnh ph H Chớ Minh 2013 LI CM N Tụi xin gi li cm n chõn thnh nht, sõu sc nht n cỏc Thy, Cụ Khoa Toỏn Tin, lónh o v cỏc chuyờn viờn Phũng Sau i hc Trng i hc S phm thnh ph H Chớ Minh ó giỳp tụi hon thnh chng trỡnh hc v lun ny c bit, tụi xin by t lũng bit n sõu sc n PGS TS Nguyn ỡnh Huy, thy ó tn tỡnh hng dn tụi nghiờn cu khoa hc núi chung v giỳp tụi hon thnh lun ny núi riờng Cui cựng, tụi xin cm n gia ỡnh tụi, bn bố v ng nghip ó luụn ng h, giỳp , to mi iu kin thun li cho tụi sut thi gian hc v thc hin lun ny Trn Quc Ton MC LC LI CM N MC LC BNG K HIU M U Chng 1: HM A TR V TNH LIấN TC CA HM A TR 1.1 Gii hn ca dóy hp 1.2 nh x a tr 1.3 Tớnh liờn tc ca ỏnh x a tr 10 Chng 2: KHONG CCH HAUSDORFF V CI U HAUSDORFF 15 2.1 Khụng gian cỏc úng ca mt khụng gian mờtric .15 2.2 Trng hp ca khụng gian u, cỏi u Hausdorff .20 2.3 Khụng gian cỏc li úng ca khụng gian li a phng 22 2.4 Tớnh liờn tc ca hm a tr li 27 Chng 3: TNH O C CA HM A TR .32 Kin thc chun b 32 3.1 Hm a tr o c nhn giỏ tr l compact ca khụng gian kh li metric húa c 34 3.2 nh lý hm chn Hm a tr o c vi giỏ tr l y ca mt khụng gian metric kh li 36 3.3 Hm a tr o c li compact 41 3.4 nh lý chiu nh lý hm chn Von Neumann - Aumann 42 3.5 Tớnh o c khụng gian Suslin li a phng 49 3.6 nh lý hm n Nhng tớnh cht n nh ca hm a tr o c 53 Chng 4: NGUYấN HM CA HM A TR 57 4.1 Nguyờn hm ca hm a tr .57 4.2 Phộp ly o hm ca hm a tr cú bin phõn b chn 61 4.3 nh lý v tớnh compact ca nghim phng trỡnh vi phõn a tr .64 4.4 nh lý s tn ti nghim ca phng trỡnh vi phõn a tr 67 4.5 S tn ti nghim ca mt lp bao hm thc vi phõn cú chm .80 KT LUN .87 BNG K HIU : T 2X Hm a tr t T vo X dom Min hu hiu ca Gr() th ca range Min nh ca (U ) Nghch nh ca U (U ) Nhõn ca U nh x a tr ngc ca d ( x, y ) Khong cỏch gia x v y d ( x, A) Khong cỏch t x n A e( A, B ) dụi ca A trờn B h( A, B ) Khong cỏch Hausdorff ca A v B ( X ) Tp tt c cỏc ca X f ( X ) Tp tt c cỏc úng ca X tb ( X ) Tp tt c cỏc úng hon ton b chn ca X k (X ) Tp tt c cỏc compact ca X B X ( x, r ) Qu cu tõm x bỏn kớnh r > B = BX (0,1) Qu cu tõm bỏn kớnh bng BX ( A, ) -lõn cn ca khụng rng A X* Khụng gian i ngu ca khụng gian vector topo X int A Phn ca A A Bao úng ca A Ao Tp cc ca A coA Bao li ca A coA Bao li úng ca A ( A) Hm cc ca A * ( A) Hm ta ca A n.l.t.t Na liờn tc trờn n.l.t.d Na liờn tc di h.k.n Hu khp ni ( X ) Nhúm Borel nh nht cha tt c cỏc m ca khụng gian topo X Nhúm nh nht cha tt c cỏc A ì B ( A , B ) prT : T ì U T nh x chiu lờn T s -trng trờn T sinh bi nhng Suslin ca T à -y ca vi l o dng trờn (T , ) = vi mi o dng b chn trờn (T , ) A (.) Hm c trng ca A C X ([a; b]) Khụng gian cỏc hm liờn tc t [a;b] vo X L1X ([a; b]) Khụng gian lp cỏc hm kh tớch t [a;b] vo X M U Lí DO CHN TI Gii tớch a tr l mt hng nghiờn cu tng i mi Toỏn hc, c nh hỡnh khong na u ca th k 20 i tng ca Gii tớch a tr l cỏc ỏnh x a tr m lý thuyt ca nú c trỡnh by mt cỏch tng i cú h thng u tiờn khụng gian topo ca Claude Berge (1963) Vai trũ ca Gii tớch a tr Toỏn hc v cỏc ng dng toỏn hc ngy cng c cụng nhn rng rói c bit, Gii tớch a tr cú nhiu ng dng lý thuyt ti u v lý thuyt bao hm thc vi phõn Trong quỏ trỡnh hc tỡm hiu tri thc toỏn hc ca mỡnh, tụi nhn thy Gii tớch a tr l mt ti khỏ hp dn Di s hng dn ca PGS TS Nguyn ỡnh Huy, tụi chn thc hin ti: Mt vi tớnh cht nh tớnh ca hm a tr v ng dng MC CH NGHIấN CU Trong lun ny, chỳng tụi kho sỏt mt s nh ngha v khong cỏch Hausdorff, tớnh liờn tc v tớnh o c ca hm a tr v cỏc ng dng ca chỳng phng trỡnh vi phõn a tr I TNG, PHM VI NGHIấN CU i tng nghiờn cu ca lun l khoaỷng caựch Hausdorff, mt vi tớnh cht nh tớnh ca hm a tr v mt s ng dng ca chỳng Phm vi nghiờn cu l gii tớch hm, lý thuyt o PHNG PHP NGHIấN CU Nghiờn cu mang tớnh lớ thuyt: tỡm hiu, phõn tớch cỏc ti liu tham kho, tng hp cỏc ni dung cú liờn quan n ti nghiờn cu v trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu c (vi cỏc chng minh chi tit) theo mt mch thng nht p dng cỏc kt qu v phng phỏp lp lun ca Tụpụ i cng, Gii tớch hm, Lý thuyt o CU TRC CA TI Lun c trỡnh by gm phn: phn m u, phn ni dung v phn kt lun Phn m u nờu rừ lý chn ti, xỏc nh rừ i tng nghiờn cu phm vi nghiờn cu ca ti, phng phỏp nghiờn cu v cu trỳc ca ti Phn ni dung gm chng Chng 1: Chng ny gii thiu cỏc khỏi nim v mt s nh lớ c bn v hm a tr v tớnh liờn tc ca hm a tr Chng 2: Chng ny trỡnh by v khong cỏch Hausdorff v cỏi u Hausdorff Chng 3: Chng ny trỡnh by v tớnh o c ca ỏnh x a tr Chng 4: Trỡnh by v nguyờn hm ca hm a tr v phng trỡnh vi phõn a tr Phn kt lun trỡnh by túm gn nhng kt qu ó nghiờn cu c, nhng hn ch cũn tn ti, ng thi nờu nhng hng nghiờn cu tip theo Chng 1: HM A TR V TNH LIấN TC CA HM A TR 1.1 Gii hn ca dóy hp nh ngha 1.1 Gi s X l khụng gian metric v ( K n ) l dóy cỏc ca X Khi ú ta nh ngha a) Gii hn trờn ca dóy ( K n ) l lim sup K n = {x X / lim inf d ( x, K n ) = 0} n n b) Gii hn di ca dóy ( K n ) l lim inf K n = {x X / lim d ( x, K n ) = 0} n n c) Ta núi dóy ( K n ) cú gii hn l K , kớ hiu: lim K n = K , nu n lim sup K n lim inf K n K = = n n nh lý 1.2 Gi s X l khụng gian metric, ( K n ) l dóy cỏc ca X Khi ú: ((ii)) lim sup K n l tp hp tt c cỏc im t ca mi dóy ( xn ) , xn K n , n cú th lp v lim inf K n l hp tt c cỏc gii hn ca nhng dóy ú n ((iiii)) lim= sup K n = K m B( K m , ) n m n n >0 n m n ((iiiiii)) lim inf K n = B ( K m , ) n >0 n m n Chng minh (i) Ta cú {x X / x =lim xnk , xn K n } = {x X / lim d ( x, xnk ) =0, xn K n } k k = {x X / lim inf d ( x, xn ) = 0, xn K n } n = {x X / lim inf d ( x, K n ) = 0} = lim sup K n n n (ii) Nu x lim sup K n thỡ hin nhiờn x K m n m n n Gi s x K m , ta xõy dng dóy X nh sau n m n Cho trc > Vi n = , x K m nờn tn ti cho d ( x, y1 ) < 21 m t n1 = min{m / y1 K m } v xn1 = y1 Do x K m nờn tn ti y2 K m cho d ( x, y2 ) < 22 m n1 +1 m n1 +1 t n2 = min{m / y2 K m , m > n1} v xn1 = y2 Gi s ta ó cú xnk , ú x K m nờn tn ti yk +1 K m cho d ( x, yk +1 ) < k m nk +1 m nk +1 t nk +1 = min{m / yk +1 K m , m > nk } v xnk +1 = yk +1 Nh vy ta cú th xõy dng c dóy ( xnk ) , ú xnk K nk , m lim xnk = x k Do ú x lim sup K n (do (i)) n Bõy gi ta chng minh lim sup K n = B ( K m , ) >0 n m n n Ta cú lim sup K n = {x X / x = lim xnk , xn K n } k n = {x X / > 0, n , m , m n : d ( x, K m ) < } = {x X / > 0, n , m , m n : x B( K m , )} = B( K m , ) >0 n m n (iii) Ta cú lim inf K n = {x X / x = lim xn , xn K n } n n = {x X / > 0, n : m n, d ( x, K m ) < } = {x X / > 0, n : m n, x B ( K m , )} 74 2) Cho hai nghim z1 X r1 v z2 X r2 ; ta chng t rng hm = t z (t ) sup{z1 (t ), z2 (t )}, t [0; T ] l nghim ca (t ) = h(t , (t )) Xột m O= {t [0; T ] z1 (t ) > z2 (t )} Khi ú O l hp m c ca cỏc thnh phn liờn thụng; gi s O = I n n nh ngha z1 (t ) t I o yo (t ) = z2 (t ) t I o v, vi n z1 (t ) t I n yn (t ) = yn1 (t ) t I n Khi ú dóy ( yn ) l nghim ca (t ) = h(t , (t )) , vỡ vy, gii hn tng im ca yn l nghim ca (t ) = h(t , (t )) 3) Ly (tn ) l dóy trự mt [0; T ] Vi mi p , tn ti nghim z n , p cho zn , p (tn ) sup{z (tn ) z X r } p Ta dóy ( zn , p ) bi ( n ) Do 2), hm yn = sup i cha X r v ( yn ) l 0i n dóy tng thỡ nú hi t tng im n z thuc X r Hn na, ta cú = z (tn ) sup{z (tn ) x X r } vi mi n cho z tha tớnh cht ó yờu cu Mnh 4.12 Vi gi thit v nhng kớ hiu mnh 4.11, gi s rng x h(t , x) tng vi mi t [0; T ] c nh Nu u [0; T ] tha t u (t ) r + h( x, u ( s ))ds t [0; T ] Khi ú ta cú: u (t ) z (t ) t [0; T ] Chng minh Vi mi n 1, t 75 n t X n ={z [0; T ] z (t ) = r + + h( s, z ( s ))ds, t [0; T ]} Do mnh 4.11, tn ti zn X n cho zn (t ) z (t ) t [0; T ], z X n Hn na, hm sup( zn , zn+1 ) l nghim ca (t ) = h(t , (t )) nh ta ó chng minh mnh 4.11; iu ny suy zn +1 zn v z zn vi mi n Vỡ vy, gii hn tng im z ca dóy ( zn ) l nghim ca (t ) = h(t , (t )) bi bc th nht chng minh mnh 4.11 Vi mi n c nh t = to sup{t [0; T ] s t u ( s ) zn ( s )} Khi x h(t , x) l tng, thỡ ta cú to u (to ) r + h( s, u ( s ))ds < r + to + h( s, zn ( s ))ds n Do u v zn liờn tc, bt ng thc to < T khụng th xy Vỡ vy ta cú u zn vi mi n , ú u z Bõy gi ta phỏt biu tng quỏt nh lý s tn ti trng hp E l khụng gian Banach kh ly Ta kớ hiu E l khụng gian vector E c trang b topo ( E , E * ) nh lý 4.13 Cho E l khụng gian Banach kh ly v F l hm a tr o c t [0; T ] ì E nhn giỏ tr compact li khỏc rng E cho (i) Vi mi x E v x* E * , * ( x* , F (., x) o c trờn [0; T ] (ii) Vi mi t [0; T ] v mi x* E * , * ( x* , F (t ,.) na liờn tc trờn trờn E (iii) Tn ti mt ( E , E * ) compact li cõn bng K v hm kh tớch dng g xỏc nh trờn [0; T ] cho: vi mi t [0; T ] v mi x E , F (t , x) g (t ) (1 + x )K 76 Gi s A l ỏnh x liờn tc t [0; T ] lờn khụng gian Banach ( E , E ) tt c cỏc ỏnh x tuyn tớnh liờn tc t E lờn E Khi ú, vi mi E , S tt c cỏc nghim ca phng trỡnh vi phõn a tr X (t ) A(t ) X (t ) + F (t , X (t )) X (0) = (1) l compact khỏc rng khụng gian E [0; T ] Hn th, thu hp ca hm a tr S n mi compact ca E l na liờn tc trờn Chng minh Khụng mt tng quỏt gi thuyt rng K cha qu cu n v ca E Cho nờn, nu X l nghim ca phng trỡnh vi phõn a tr X (t ) A(t ) X (t ) + F (t , X (t )) X (0) = (1) Ta cú X (t ) A(t ) X (t ) + g (t ) ( X (t ) + 1) (2) Khi ú ta cú t X (t ) X (0) + X ( s ) ds (3) T (2) v (3) suy X (t ) X (0) + A( s ) X ( s ) + g ( s ) ( t X ( s ) + 1) ds (4) Ly s a cho X (0) a Thỡ, b ca Gronwall, ta cú X (t ) (a + 1) exp ( t A(s) + g ( s ) ds ) Cho hm a tr = (t ) g (t )( z (t ) + 1) K , t [0; T ] ú z (t ) = (a + 1) exp ( t A(s) + g ( s ) ds ) (5) 77 Vỡ g kh tớch, h qu V.4, thng S vi quan h tng ng bng h.k.n ca tt c hm chn o c ca l ( L1E [0; T ], LE* [0; T ]) S compact li khỏc rng Hn na, nu X l mt nghim ca (1), thỡ t X (t ) A(t ) X (t ) cha X tha bt ng thc (5) Gi s R l gii thc liờn kt vi ỏnh x A , ngha l, R l ỏnh x liờn tc t [0; T ] lờn ( E , E ) cho R(t ) = A(t ) R (t ) R (0) = E ú E l ỏnh x ng nht E Gi s M l compact E Ta cú th gi thit rng M , a v t t X = { X :[0; T ] E X (t ) = R(t ) + R(t ) R ( s ) f ( s )ds, M , f } Khi ú, X l ng liờn tc ca E [0; T ] , vỡ vy, X l ng liờn tc ca E [0; T ] Bõy gi, ta chng minh X l compact tng i ca E [0; T ] Do nh lý Ascoli, ch cn chng t, vi mi t [0; T ] , = X (t ) { X (t ) X X } t l compact E Chỳ ý ỏnh x tuyn tớnh f R ( s ) f ( s )ds t L1E [0; T ] lờn E l liờn tc vi mi t [0; T ] c nh Bõy gi, X (t ) l compact ca E vỡ t = (t ) { R ( s ) f ( s ) f } l li v ( E , E * ) compact, bi vỡ (t ) l nh ca S to bi ỏnh x tuyn tớnh t liờn tc yu f R ( s ) f ( s )ds t L1E [0; T ] lờn E ; cui cựng X (t ) = X (t ) R(t )( M ) + R(t )( (t )) ( E , E * ) compact vỡ ta cú 78 Bng lý l ó c s dng chng minh nh lớ 4.7, X metric húa c Bõy gi, chỳng ta cú th s dng nhng lp lun tng t ó c s dng chng minh nh lớ 4.7 hon thnh chng minh Trc ht, chỳ ý rng hm vect t t [0; T ] R ( s ) f ( s )ds ( f ) l kh vi hu khp ni v o hm ca nú thỡ bng R (t ) f (t ) hu khp ni theo mt kt qu ni ting ([10], [15]) vỡ th hm vect t t R (t ) + R ( s ) f ( s )ds l kh vi hu khp ni v o hm ca nú thỡ bng: t R(t ) + R ( s ) f ( s )ds + R(t ) R (t ) f (t ) o t = A(t ) R (t ) + R (t ) R ( s ) f ( s )ds + f (t ) o (6) vỡ ỏnh x (U , x) Ux t ( ( E , E ) ì E ) vo E l song tuyn tớnh v liờn tc Vi mi f , nh Y f E [0; T ] bi t Y= R (t ) + R (t ) R ( s ) f ( s )ds f (t ) (7) v kớ hiu (t ) l tt c cỏc hm chn o c ca hm a tr t F (t , Y f (t )) Khi ú, (t ) khỏc rng (theo h qu 4.5) v li Hn na, nu f (t ) , thỡ Y f l nghim ca (1) Tht vy, o hm Y f ca Y f xỏc nh (7) thỡ bng vi AY f + f hu khp ni nh chỳng ta ó tớnh cụng thc (6), vỡ vy (t ) A(t )Y f (t ) + f (t ) A(t )Y f (t ) + F (t , Y f (t )) h.k.n Y f= Do ú ta s ỏp dng nh lý im bt ng Kakutani Ky Fan cho hm a tr thu c nghim ca (1) Th nht, nu l hm chn o c ca t F (t , Y f (t )) , thỡ ta cú Y f (t ) A(t ) Y f (t ) + f (t ) g Y f (t ) + g (t ) ( z (t ) + 1) 79 Y f (t ) a + A( s ) Y f ( s ) + g ( s ) ( z ( s ) + 1) ds t T ú vỡ vy Y f (t ) z (t ) v (t ) (t ) mnh 12 iu ny suy f S thỡ ( f ) S Bõy gi ta chng minh th ca hm a tr compact ( S ) Chỳ ý rng, S l khụng gian kh metric compact i vi topo ( L1E [0; T ], LE [0; T ]) L1E [0; T ] l khụng gian Banach kh ly Cho ( n , f n ) * s l dóy cha th ca hi t ( S ) n ( , f ) Ta cn chng t ( f ) t Vỡ ỏnh x tuyn tớnh f R ( s ) f ( s )ds t L1E [0; T ] lờn E l liờn tc yu vi mi t [0; T ] c nh, nờn lim Y fn (t ) = Y f (t ) i vi topo yu ( E , E * ) n nh vy ta cú th ỏp dng nh lý úng 4.4 Do ú (t ) F (t , Y f (t )) h.k.n iu ny suy na liờn tc trờn v nhn ớt nht mt im bt ng f (ngha l f ( f ) ) hon thnh chng minh, ta phi chng t th ca hm a tr S l compact M ì X Cho ( n , X n ) l dóy cha th ca S , hi t n ( , X ) M ì X Do cỏch xỏc nh ca X n , ta cú t X= R (t ) + R (t ) R ( s ) f n ( s )ds n (t ) vi f n S v f n (t ) F (t , X n (t )) h.k.n Vỡ S kh metric compact i vi topo yu ( L1E , LE* ) ta cú th gi s ( f n ) hi t n f S i vi topo ny s Do ú ta cú X (0) = t R(t ) + t R ( s ) f ( s) ds X ( t ) R ( t ) R ( s ) f ( s ) ds lim = + = n n n p dng nh lý úng 4.4 suy f (t ) F (t , X (t )) h.k.n Vỡ vy, X l nghim ca 80 X (t ) A(t ) X (t ) + F (t , X (t )) X (0) = v ( , X ) cha th ca S iu ny hon thnh chng minh 4.5 S tn ti nghim ca mt lp bao hm thc vi phõn cú chm Trong sut phn ny, cho c nh T > v h , I c kớ hiu cho khong úng [ h,T ] , U l qu cu úng ca mt khụng gian thc kh li phn x X , v G :[0,T ] ì U X l hm a tr nhn giỏ tr li úng vi phn khụng rng Ta gi s G liờn tc i vi khong cỏch Hausdorff H liờn kt vi chun X v G ([0,T ] ì U ) l b chn Ta kớ hiu ExtrG (t , x) l hp tt c nhng im cc tr ca G (t , x) Gi s o l mt hm C X ([ h,0]) cho o ( ) int U [h,0] v gi s r :[0,T ] [0, h] l hm liờn tc Ta t t r (t ) = (t ) v x( (t )) = (T r x)(t ) Xột bao hm thc vi phõn di õy vi v phi cú chm x (t ) ExtrG (t ,(T r x)(t )), t [0,T ] o = [h,0] x ( ) ( ), (1) Ta núi hm x(.) xỏc nh trờn [ h,To ] (0 < To T ) l ngim ca (1) trờn [h,To ] nu nú liờn tc trờn [h,To ] , liờn tc tuyt i trờn [0,To ] v tha bao hm thc (1) nh lý 4.14 Vi nhng gi thit nh trờn i vi X v G , bao hm thc (1) cú ớt nht mt nghim xỏc nh trờn mt khong [ h,To ] vi < To T Chng minh Ta s s dng nhng kớ hiu sau õy: int A (tng ng A ): phn (tng ng bao úng) ca A topo nh chun ca X B ( x, ) : qu cu tõm x , bỏn kớnh > B = B (0,1) 81 B ((t , x), ) : qu cu tõm (t , x) ì X , bỏn kớnh > , ú ì X c trang b vi chun (t , x) = max{ t , x } , dng song tuyn tớnh t s ghộp ụi gia X v topo X * cựa nú Gr(G ) : th ca G , ngha l, Gr= (G ) {(t , x; u ) [0,T ] ì U ì X / u G (t , x)} C X ([ h,T ]) : khụng gian cỏc hm liờn tc t [ h,T ] vo X L1X ([ h,T ]) : khụng gian lp tng ng cỏc hm kh tớch t [ h,T ] vo X A (.) : hm c trng ca mt o c A Ta xột bao hm thc vi phõn di õy r x (t ) G (t ,(T x)(t )), t [0,T ] o [h,0] = x( ) ( ), (2) D thy, tn ti To > cho bao hm thc vi phõn (2) cú mt nghim x1 (.) trờn [ h,To ] vi o hm khụng i x1 (.) v hn na x1 (t ) = a int G (t ,(T r x)(t )) t [0,To ] Tht vy, th nht ta t x= o ( s ) s [ h,0] v ly a int G (0, o (r (0))) t [0,To ] (s) Xột hai trng hp sau i) r (0) > Tn ti To > cho t r (t ) < v a int G (t , o ( (t ))) t [0,To ] Vi mi t , ta t = x1 (t ) o (0) + at Rừ rng, x1 (0) = o (0) v x1 (t ) = a int G (t ,(T r x1 )(t )) t [0,To ] ii) r (0) = Ta ly a int G (0, o (0)) Rừ rng, tn ti To > cho a int G (t , o (0) + a (t )) t [0,To ] t = x1 (t ) o (0) + at D thy x1 (t ) = a int G (t ,(T r x1 )(t )) t [0,To ] 82 Hn th na, gi s SG v SG kớ hiu ln lt cho tt c cỏc nghim ca (1) v (2) trờn [ h,To ] , v SG l hp tt c cỏc nghim x(.) ca (2) trờn [ h,To ] vi nhng tớnh cht di õy x (t ) nhn giỏ tr khụng i liờn tc tng mnh trờn [0,To ] x (t ) int G (t ,(T r x)(t )) t [0,To ] Nh ó trỡnh by trờn, x1 (.) SG , vy SG Bng cỏch s dng tng t nh chng minh [1] cú th chng t rng SG l úng khụng gian Banach C X [h,To ] v vỡ vy bao úng SGo ca SG C X [h,To ] l khỏc rng y , cha SG Di õy, SG v SGo c trang b metric ca C X [h,To ] ó c bit (xem [3]) tn ti mt hm : Gr(G ) [0, +) tha nhng tớnh cht di õy i) b chn trờn Gr(G ) v na liờn tc trờn trờn [0,T ] ì U ì X , v vi mi (t , x) [0,T ] ì U thỡ (t , x;.) l hm lừm trờn X ii) (t , x; u ) = nu v ch nu u ExtrG (t , x) To Xột hm J [ x(.), u (.)] = (t ,(T r x)(t ); u (t ))dt trờn C X [h,To ] ì L1X [ h,T o ] Vi mi > ta t {x(.) SGo / J [ x(.), x (.)] < } = B p S 1/= SGo SG p =1 Chng minh ca b ny ging nh chng minh ca b [3] chng minh kt qu chớnh, chỡ cn chng t S 1/ p (do b 1) p =1 83 Ta s chng minh mi S 1/ p l m v trự mt SGo Khi SGo l khụng gian metric y khỏc rng, thỡ kt lun ca nh lý c suy t nh lý phm trự ca Baire B Cho bt k > , S l m SGo Chng minh ca b ny ging nh chng minh ca b [3] , I1 [t , t ] [0,T ] , x(.) SGo vi x (t ) = a t I1 (a l B Cho > 0= hng) Khi ú, tn ti * > , c1 > cho vi mi (0, * ] , v to I1 tha [to , to + c1 ] I1 , mi hm liờn tc tuyt i y (.) trờn [0, to ] vi y= ( ) o ( ) [ h,0] cho a) y (.) l hng tng mnh trờn [0, to ] v y (t ) int G (t ,(T r y )(t )) t [0, to ] b) y (to ) = x(to ) y (t ) x(t ) t [0, to ] c) to d) (t ,(T r y )(t ); y (t ))dt < to To Cú th m rng n mt hm liờn tc tuyt i vo [ h, to ] vi to= to + c1 cho tt c cỏc tớnh cht a), b), c) ,d) i vi to lõn cn ca to ỳng Chng minh = t c max{1, sup[ v / v G ([0,T ] ì U )], sup[ (t , x; u ) / (t , x; u ) Gr(G )]} Ta ly (0,min{1, To (1 + c) (3) }) T tớnh b chn ca G ([0,T ] ì U ) v b chn trờn ca suy l c < + Theo nh lý li ca Krein Milmann, vi mi s I1 tn ti s > 0, is > v bis ExtrG ( s,(T r x)( s )) , i = 1, , ns , cho ns B (a,2 s ) G ( s,(T r x)( s )) , is = v i =1 84 ns a is bis i =1 s (4) s Khi ( s,(T r x)( s ); b= 0= (i 1, , ns ) thỡ tn ti s (0,1) cho i ) ( s,(T r x)( s ); cis ) < / , ú cis = (1 s )bis + s (i = 1, , ns ) Hn na, gi s s > cho vi mi (t , z ) B (( s, x( ( s ))), s ) (i = 1, , ns ) thỡ B ( a , s ) G ( x, z ) B (cis , s s ) G ( x, z ) (5) (t , z; cis ) < / Gi s {( si si / 4; si + si / 4)}ik=1 l ph hu hn ca ph m {( s s / 4; s + s / 4)}sI1 ca I1 t o = min{ si / 4} 1i k (6) Vi mi o > , tn ti oo > cho t [0, To ] v vi mi hm y (.) trờn y ( ) o ( ) ( [h, to ]) , y (t ) c (t [0, to ]) ta cú [h, to ] m = t , s to , t s < oo (T r y )(t ) (T r y )( s ) < o Tht vy, cho trc o > , gi s ó chn c o vi bt k t1 , t2 [ h,0] , t t1 t2 < o suy o (t1 ) o (t2 ) < o / t o = min{ o, o / 4c} D thy t1 , t2 [ h,0] tha t1 t2 < o ta cú y (t1 ) (t2 ) < o / Bõy gi, ly oo > cho: (t ) ( s ) < o v (T r y )(t ) (T r y )( s ) < o / < t , s < to : t s < oo Hn na, t * = min{ o , oo } v c1 = ú l (0, * ] v l = c1 Khi= 1+ D thy * min{ si / 4} Cho 1i k 6c (1 + ) (i 1, , k ) Do ú, tn < si /= 6c ti j {1, 2, , k} cho [to , to + l ] [ s j j / 2, s j + j / 2] , ú j = s j 85 n gin ta vit , s ln lt thay cho j , s j t = ti ti + is / 6c = (i 1, 2, , ns + 1) vi nss +1 = v i =[ti , ti ] , ta d thy tns +1= to + l v vỡ ns +1 vy [to , to + l ] = i i =1 Vi mi to [0, To ] cho [to , to + l ] I1 v mi hm liờn tc tuyt i y (.) trờn [0, to ] tha a, b, c, d) t : ns Cnss +1= a + (a is cis ) i =1 v t = y (t ) x(to ) + u ( )d vi mi t [to , to + l ] (7) to ns +1 u (t ) = cis i (t ) ú (8) i =1 to +1 to +1 to to u ( )d = Ta cú x ( )d (9) Do vy, y (t ) x(t ) < vi mi t [ h, to + l ] Tht vy, vi t to bt ng thc l hin nhiờn, nu t [to , to + l ] ta cú ) y (t ) x(t= t to +1 to t (u ( ) x ( )) d= (u ( ) x ( )) d l / 2c < Vỡ vy ta cú c) trờn [ h, to ] T (6) suy (T r y )(t ) (T r x)( s ) (T r y )(t ) (T r y )( s ) + (T r y )( s ) (T r x)( s ) o + < o < Vỡ vy B (cis , s s ) G (t ,(T r y )(t )), B (a, s ) G (t ,(T r y )(t )) , ú a) ỳng trờn [ h, to ] 86 Hn na, b) c suy t (9) v c) Cui cựng, ta cú to to (t ,(T y )(t ); y (t ))dt = (t ,(T y)(t ); y (t ))dt + r r 0 to To + l < (to + c1 ) To to +1 (t ,(T r y )(t ); y (t ))dt to t =o To Vỡ vy, d) cng ỳng trờn [ h, to ] v chng minh ca b nh ú hon tt Suy trc tip t b rng vi mi > , S trự mt SGo Nh ó núi trờn, iu ny hon tt vic chng minh nh lý 4.14 87 KT LUN Lun xem xột mt s tớnh cht tụpụ ca hm a tr v ng dng phng trỡnh vi phõn a tr C th l tỡm hiu v khong cỏch Hausdorff, tớnh o c v liờn tc ca hm a tri Cỏc kt qu ny dựng gii quyt nguyờn hm v phng trỡnh vi phõn a tr Cỏc kt qu trỡnh by Lun ny khụng mi, tt c u c phỏt biu v chng minh hoc nh hng mt s ti liu tham kho iu m Lun ó thc hin c l trỡnh by v chng minh mt cỏch chi tit hn, ng thi, dng c mt s kt qu mt s ti liu tham kho vi s giỳp v gúp ý ca Thy hng dn Qua Lun ny, bn thõn tụi ó hc c rt nhiu iu b ớch v cụng tỏc nghiờn cu khoa hc v hiu c sõu sc nhng kin thc m bn thõn ó c lónh nhn t tt c Quý Thy Cụ tham gia ging dy lp Cao hc Gii tớch khúa 21 ó truyn th sut quỏ trỡnh hc Nhng hn ch v hng m ca ti Mc dự, bn thõn ó c gng rt nhiu hc v nghiờn cu, nhng thi gian hn ch v kin thc bn thõn cũn gii hn, tỏc gi Lun cha a c nhiu ng dng ca hm a tr v õy cng l hn ch ca Lun Vn ny cú th núi va l hn ch va l hng nghiờn cu tip theo cho lun ny 88 TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Nguyn ụng Yờn (2007), Giỏo trỡnh Gii tớch a tr, NXB Khoa hc T nhiờn v Cụng ngh Ting Anh [2] C Castaing, M.Valadier (1977), Convex Analysis and Measurale Multifunctions, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [3] Charalambos D.Aliprantis, Kim C.Border (2005), Infinite Dimensional Analysis, Springer [4] Nguyn ỡnh Huy (1990), Existence of solutions for a class of differential Inclusions with memory, Institute of Mathematics National Center for Scientific Research Ha Noi [...]... xạ đa trị Cho hai tập hợp bất kỳ X và Y Một ánh xạ Γ từ tập X vào tập hợp tất cả các tập con của Y được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với mỗi x ∈ X thì Γ( x) là một tập con (có thể rỗng) của Y Định nghĩa 1.5 Giả sử Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y Khi đó ta có các định nghĩa sau: Đồ thị của Γ , kí hiệu Gr(Γ) , được xác định bởi Gr( = Γ) {( x, y ) ∈ X × Y / y ∈ Γ( x)} Miền hữu hiệu của. .. topo, và G (Γ) là tập lồi trong không gian tích X × Y , thì Γ được gọi là ánh xạ đa trị lồi d) Nếu Y là không gian vector topo, và Γ( x) là tập lồi trong Y , thì Γ được gọi là ánh xạ có giá trị lồi Định nghĩa 1.7 Giả sử Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y , Ω là ánh xạ đa trị từ Y vào Z Ánh xạ đa trị Ω  Γ từ X vào Z xác định bởi x) (Ω  Γ)(=  Ω( y ), ∀x ∈ X y∈Γ ( x ) được gọi là ánh xạ tích (hợp) của Γ và. .. Γ và Ω Ánh xạ đa trị ΩΓ từ X vào Z xác định bởi (ΩΓ)(= x)  Ω( y ), ∀x ∈ X y∈Γ ( y ) được gọi là ánh xạ tích vuông của Γ và Ω 10 1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị Cho Γ là ánh xạ đa trị từ không gian topo T vào không gian topo E Định nghĩa 1.8 Ánh xạ đa trị Γ được nói là nửa liên tục trên (n.l.t.t.) tại to ∈ domΓ nếu mọi tập mở U trong E chứa Γ(to ) , tồn tại một lân cận mở V của to sao cho... compact Chứng minh Suy ra từ các định lý 2.3, 5 và 13 Ta nhắc lại: Định nghĩa Giả sử E là không gian vector lồi địa phương Hausdorff và A là một tập con của E Hàm tựa của A là hàm xác định trên E * bởi x*  δ * ( x* A) = sup〈 x* , x〉 x∈A Định lý 2.16 Có một tương ứng 1-1 giữa các tập lồi đóng khác rỗng với các hàm σ ( E * , E ) n.l.t.d tuyến tính dưới trên E * (với giá trị trong (−∞, +∞] ) Tương ứng 1-1... và {K / K ∩ V ≠ ∅} Thật vậy  là hợp của một họ  của giao hữu hạn của các tập {K / K ⊂ U } và {K / K ∩ V ≠ ∅} (định lý 2.6) Nhưng vì k ( X ) khả li (định lý 2.8) nên  cũng là hợp của một họ con đếm được của  2.2 Trường hợp của không gian đều, cái đều Hausdorff Trong phần này X là không gian đều Hausdorff, cấu trúc đều được xác định bởi họ lọc của các nửa khoảng cách (di ) i∈I Khi đó hàm ei và. .. tập con của Y đều xác định được một phép toán tương ứng đối với các hàm đa trị theo công thức sau (Γ1 ∗ Γ 2 )( x) = Γ1 ( x) ∗ Γ 2 ( x) Định nghĩa 1.6 Giả sử X , Y là các không gian topo, và Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y a) Nếu đồ thị Gr(Γ) là tập đóng trong không gian topo tích X × Y , thì Γ được gọi là ánh xạ đa trị đóng b) Nếu Γ( x) là tập đóng với mọi x ∈ X , thì Γ được gọi là ánh xạ có giá trị đóng... nửa liên tục trên tại to khi và chỉ khi nhân của mỗi tập mở U chứa Γ(to ) là một lân cận của to Suy ra Γ nửa liên tục trên trên T khi và chỉ khi nhân của mọi tập mở là một tập mở (ii) Γ nửa liên tục dưới tại to khi và chỉ khi nghịch ảnh của mỗi tập mở U , mà Γ(to ) ∩ U ≠ ∅ , là một lân cận của to Suy ra Γ nửa liên tục dưới trên T khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở là một tập mở (iii) Giả sử domΓ... tục của hàm đa trị lồi Định lý 2.20 Giả sử T là không gian topo, E là không gian lồi địa phương Hausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con khác rỗng của E Giả sử Γ(to ) compact yếu và lồi Khi đó Γ là nửa liên tục trên (n.l.t.t.) yếu tại to nếu và chỉ nếu những hàm vô hướng δ * ( x* Γ(.)) là n.l.t.t tại to Chú ý Ta nói rằng Γ là n.l.t.t tại to nếu mọi tập mở U chứa Γ(to ) , tồn tại một lân... là ánh xạ A  δ * ( A) 24 Chứng minh Hàm tựa δ * ( A) là tuyến tinh dưới, σ ( E * , E ) n.l.t.d., và > −∞ , khi A ≠ ∅ Hơn nữa A đóng và lồi, δ * ( A) mô tả đặc điểm của A , bởi định lý Hanh – Banach Cuối cùng mỗi hàm ϕ tuyến tính dưới σ ( E * , E ) n.l.t.d là hàm tựa của tập = A {x / ∀x* ∈ E * , 〈 x* , x〉 ≤ ϕ ( x* )} Điều này là hệ quả của định lý I.4: như ϕ là tuyến tính dưới = 2ϕ * ( x) sup{ 2... ei ( A, B ) = 0 và nếu a ∈ A , ta có ∀i, di (a, B ) = 0 Khi đó mọi di -quả cầu bán kính dương và tâm a có phần chung với B Do đó mọi lân cận của a có phần chung với B Vì vậy a ∈ B 2) Tính chất cuối cùng được suy ra từ tương ứng d  h là tăng Chúng ta xem xét một định nghĩa khác về cấu trúc đồng đều trong f ( X ) Giả sử  là cơ sở lân cận của cấu trúc đồng đều của X Nếu W ∈  ta định  bởi nghĩa

Ngày đăng: 02/12/2015, 08:32

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • BÌA

  • LỜI CẢM ƠN

  • MỤC LỤC

  • BẢNG KÍ HIỆU

  • MỞ ĐẦU

  • Chương 1: HÀM ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM ĐA TRỊ

    • 1.1. Giới hạn của dãy tập hợp

    • 1.2. Ánh xạ đa trị

    • 1.3. Tính liên tục của ánh xạ đa trị

    • Chương 2: KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF VÀ CÁI ĐỀU HAUSDORFF

      • 2.1. Không gian các tập đóng của một không gian mêtric

      • 2.2. Trường hợp của không gian đều, cái đều Hausdorff

      • 2.3. Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương

      • 2.4. Tính liên tục của hàm đa trị lồi

      • Chương 3: TÍNH ĐO ĐƯỢC CỦA HÀM ĐA TRỊ

        • 3.1. Hàm đa trị đo được nhận giá trị là tập con compact của không gian khả li metric hóa được

        • 3.2. Định lý hàm chọn. Hàm đa trị đo được với giá trị là tập con đầy đủ của một không gian metric khả li

        • 3.3. Hàm đa trị đo được lồi compact

        • 3.4. Định lý chiếu. Định lý hàm chọn Von Neumann - Aumann

        • 3.5. Tính đo được trong không gian Suslin lồi địa phương

        • 3.6. Định lý hàm ẩn. Những tính chất ổn định của hàm đa trị đo được

        • Chương 4: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ĐA TRỊ VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐA TRỊ

          • 4.1. Nguyên hàm của hàm đa trị

          • 4.2. Phép lấy đạo hàm của hàm đa trị có biến phân bị chặn

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan