BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Tú BÀI TỐN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh-2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Tú BÀI TỐN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH HAI CHIỀU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh-2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Vì vậy, trước tiên xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Anh Tuấn, người trực tiếp hướng dẫn tơi, tận tình giới thiệu nhiều tài liệu hữu ích cho việc nghiên cứu đề tài tơi suốt q trình thực hiện, giúp tơi khắc phục thiếu sót khuyết điểm Trong suốt trình thực luận văn từ tháng đến tháng năm 2012, tơi tích cực nghiên cứu tìm hiểu tài liệu nhà tốn học ngồi nước Tuy nhiên, để luận văn hồn thành khơng thể khơng kể đến vai trị to lớn trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh nói chung khoa Tốn - Tin trường nói riêng Trong suốt hai năm sau đại học trường, thầy khoa Tốn - Tin trang bị đầy đủ kiến thức vững để tiếp tục cho bậc học cao hơn, đồng thời ứng dụng kiến thức học vào việc nghiên cứu đề tài Chính vậy, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, phịng sau đại học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, thầy Khoa Tốn – Tin trường ln ln quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu thực đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Sau tơi xin cảm ơn tất bạn bè, người thân gia đình ln ln quan tâm động viên để tơi hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Nguyễn Ngọc Tú MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TỐN BIÊN TỔNG QT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 10 1.1 Giới thiệu toán 10 1.2 Định lý tồn nghiệm cho toán (1.1), (1.2) 10 1.3 Tính xấp xỉ nghiệm toán (1.1), (1.2) 14 Chương BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH HAI CHIỀU 21 2.1 Giới thiệu toán 21 2.2 Các định lý tồn nghiệm cho toán (2.1), (2.2) 21 2.3 Các kết áp dụng cho hệ phương trình vi phân đối số chậm đối số lệch 53 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 CÁC KÝ HIỆU • I = [ a; b ] ,  = [ −∞; +∞ ] , • x ∈ , [ x ]+ = x+ x •  n không gian véc tơ cột n chiều x = ( xi )i =1 với xi ∈  ( i = 1, , n ) = + , [ x ]− = [0; +∞ ] x− x n n chuẩn x = ∑ xi i =1 ã nìn l khụng gian ma trận cấp n × n : X = ( xik )i ,k =1 với xi ∈  ( i = 1, , n ) n n chuẩn X = ∑ xik i , k =1 • • {( x ) ∈  : x ≥ (=i 1, , n )}  = {( x ) ∈  : x ≥ ( i, = k 1, , n )} n = + n i i =1 n×n + n i n ik i , k =1 nìn ik ã Nu x, y n X , Y ∈  n×n thì: x ≤ y ⇔ y − x ∈  n+ ; X ≤ Y ⇔ Y − X ∈  n+×n • Nếu = x • n n X ( xik )i ,k =1 ∈  n×n thì: ( xi )i =1 ∈  n= x = ( xi ) , X = ( xik i =1 n ) n i , k =1 C ([ a; b ] ;  ) : không gian Banach hàm liên tục u : [ a; b ] →  với chuẩn { } = u C max u ( t ) : t ∈ [ a; b ] {u ∈ C ([ a; b];  ) : u (t ) ≥ 0, ∀t ∈ [ a; b]} • C ([ a; b ] ;  + )= • C I ,  n không gian véc tơ hàm liên tục x : I →  n với chuẩn ( ) { = x C max x ( t ) : t ∈ I Nếu = x • } ( xi )i =1 ∈ C ( I ;  n ) n ( x C = xi ) n C i =1 C ([ a; b ] ;  ) tập hợp hàm liên tục tuyệt đối u : [ a; b ] →  với chuẩn: b = x C x ( a ) + ∫ x′ ( t ) dt a • C loc ([ a; b ] ;  ) tập hợp hàm u : [ a; b ] →  cho u ∈ C ([α ; β ] ;  ) với α , β ∈ ( a; b ) • L ([ a; b ] ;  ) : khơng gian Banach hàm khả tích Lơbe h : [ a; b ] →  b trang bị chuẩn h L = ∫ h ( s ) ds a • ( ) L [ a; b ] ;  n : không gian Banach hàm khả tích Lơbe h : [ a; b ] →  n b trang bị chuẩn h L = ∫ h ( s ) ds a {h ∈ L ([ a; b];  ) : h (t ) ≥ 0, ∀t ∈ [ a; b]} • L ([ a; b ] ; + )= ã Là I ,  n , ≤ µ < +∞ không gian hàm véc tơ x : I →  n khả ( ) tích với lũy thừa bậc µ , với chuẩn x Nếu x = ã ( xi )i =1 Là ( I ;  n ) n { Lµ ) n i =1 C } ≤1 ( ) ( ) n tập tốn tử tuyến tính bị chặn l : C [ a; b ] ;  n → L [ a; b ] ;  n với ab { chuẩn: l sup l ( x ) L : x = ã x Là = xi ab l tập hợp tốn tử tuyến tính bị chặn l : C ([ a; b ] ;  ) → L ([ a; b ] ;  ) với chuẩn: l sup l ( x ) L : x = • ( Lµ b µ µ =  ∫ x ( t ) dt  a  C } ≤1 ab tập hợp toán tử bị chặn mạnh l ∈ ab , cho: l ( u )( t ) ≤ η ( t ) u C , với t ∈ [ a; b ] , u ∈ C ([ a; b ] ;  ) , η ∈ L ([ a; b ] ;  + ) • ab lớp hàm tuyến tính khơng giảm , tốn tử l ∈ ab biến tập C ([ a; b ] ;  + ) thành tập L ([ a; b ] ;  + ) , l ∈ ab gọi khơng tăng −l ∈ ab • l ∈ ab gọi toán tử a-Volterra với b0 ∈ [ a; b ] ∀t ∈ [ a; b0 ] z ∈ C ([ a; b ] ;  ) thỏa mãn: z ( t ) = với t ∈ [ a; b0 ] ⇒ l ( z )( t ) = • l ab0 gọi thu hẹp toán tử l vào không gian C ([ a; b0 ] ;  ) , đó: l ∈ ab b0 ∈ [ a; b ] , l ab0 : C ([ a; b0 ] ;  ) → L ([ a; b0 ] ;  ) xác định bởi:  z ( t ) , t ∈ [ a; b ] l ab0 ( z )( t ) = l ( z )( t ) với t ∈ [ a; b0 ] , z ∈ C ([ a; b0 ] ;  ) , z ( t ) =   z ( b0 ) , t ∈ [b0 ; b ] • ˆab2 ( a ) tập hợp gồm phần tử cặp ( p, g ) ∈ ab × ab cho: Với u, v tùy ý thuộc C ([ a; b ] ;  ) thỏa mãn: ' ' u (t ) ≥ p (v)(t ), v (t ) ≥ g (u )(t ) với t ∈ [a;b] thì: u(t ) ≥ với t ∈ [a;b]  v( a ) ≥ u ( a ) ≥ 0, MỞ ĐẦU Trong tốn học, phương trình vi phân chun ngành phát triển, có tầm quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế lĩnh vực khoa học kỹ thuật, kinh tế Lý thuyết toán biên cho hệ phương trình vi phân đời từ kỷ thứ XVIII Đến nay, môn phát triển mạnh mẽ nhờ ứng dụng khoa học sống học, khí, vật lý, nông nghiệp, sinh học,… Trong năm từ 1995 đến 2003, I Kiguradze B Puza nghiên cứu tốn biên tổng qt cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với điều kiện biên tổng quát Trong đó, điều kiện biên có dạng cụ thể điều kiện biên dạng tuần hoàn, nhiều điểm, hay Cauchy chưa xem xét Do đó, việc xem xét tốn biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với điều kiện biên cụ thể cần nghiên cứu Đây lý mà tơi chọn đề tài “ Bài tốn dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều” Mục đích luận văn nghiên cứu điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều sau: = x1' ( t ) l1 ( x2 )( t ) + q1 ( t )= ; x2' ( t ) l2 ( x1 )( t ) + q2 ( t ) Với điều kiện đầu: x1 ( a ) = c1 ; x2 ( a ) = c2 Trong l1 , l2 : C ([ a, b ] ;  ) → L ([ a, b ] ;  ) tốn tử tuyến tính bị chặn, q1 , q2 ∈ L ([ a, b ] ;  ) c1 , c2 ∈  Luận văn tài liệu tham khảo cho quan tâm đến việc nghiên cứu tồn nghiệm toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều áp dụng kết để tồn nghiệm cho hệ phương trình vi phân hai chiều đối số chậm đối số lệch Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương 1: Tính giải toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Trong chương ta thiết lập điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên tổng qt cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Sau nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm toán Chương 2: Bài toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều Trong chương ta áp dụng kết chương để xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều Sau đó, áp dụng kết cho hệ phương trình vi phân hai chiều đối số chậm đối số lệch Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TỐN BIÊN TỔNG QT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Giới thiệu tốn Trên đoạn I = [ a; b ] , ta xét hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính: dx ( t ) = p ( x )( t ) + q ( t ) dt (1.1) Với điều kiện: l ( x ) = c0 (1.2) Trong đó: p : C ( I ;  n ) → L ( I ;  n ) l : C ( I ;  n ) →  n tốn tử tuyến tính bị chặn, q ∈ L ( I ;  n ) , c0 ∈  n Nghiệm toán (1.1), (1.2) véc tơ hàm liên tục tuyệt đối x ∈ C ( I ,  n ) thỏa mãn (1.1) hầu khắp nơi I thỏa mãn điều kiện (1.2) Các kết chương trích từ tài liệu [2], [3] 1.2 Định lý tồn nghiệm cho toán (1.1), (1.2) Cùng với toán (1.1), (1.2) ta xét toán tương ứng: dx ( t ) dt = p ( x )( t ) (1.1 ) Với điều kiện: l ( x) = (1.2 ) Trong đó, p : C ( I ;  n ) → L ( I ;  n ) l : C ( I ;  n ) →  n tốn tử tuyến tính bị chặn, q ∈ L ( I ;  n ) Khi ta có kết sau: Định lý 1.1 Bài tốn (1.1), (1.2) có nghiệm toán tương ứng (1.1 ), (1.2 ) có nghiệm tầm thường Để chứng minh định lý 1.1 ta cần số kết sau từ [6] Bổ đề 1.2 [6, định lý IV.8.6] Không gian Banach L ( I ;  ) hoàn toàn yếu b b a a = ∫ h3−k ,m ( s ) β1 (τ 3−k ( s ) ) ds + ∫ h3−k ,1−m ( s ) χ ( lk ,1−m ( β ) ) (τ 3−k ( s ) ) ds =  τ 3−k ( s )  h s β τ s ds h s l β ξ d ξ ds = = +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k m k k m k m − , − − ,1 − ,1 − ∫a ∫a  ∫a    b b  τ 3−k ( s )  h s β τ s ds h s h ξ β τ ξ d ξ = +   ds ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k 3− k ∫a 3−k ,m ∫a 3−k ,1−m  ∫a k ,1−m    b b ≤ β1 ( b ) h3− k ,m b  τ 3−k ( s )  + β a h s h ξ d ξ   ds = ( ) ( ) ( ) k m k m − ,1 − ,1 − ∫a L  ∫a    = ρb β ( b ) h3− k ,m  τ 3−k ( s )  + h s h ξ d ξ   ds ( ) ( ) ∫a 3−k ,1−m  ∫a k ,1−m L    b Suy ra:  τ 3−k ( s )  + h s h ξ d ξ   ds ( ) ( ) ∫a 3−k ,1−m  ∫a k ,1−m L    b φ ≤ ρb β ( b ) h3− k ,m Trường hợp (i): hk ,1− m = h3− k ,m = , ω2 = +∞ Ta có: φ = , nên φ < β ( b ) Vậy bất đẳng thức (2.7) nghiêm ngặt Trường hợp (ii): hk ,1− m = h3− k ,m ≠ , ω2 = h3− k ,m −1 L Từ (2.96) suy ra: φ ≤ ρb β ( b ) h3− k ,m L < ω2 β ( b ) h3− = k ,m L h3− k ,m −1 L β ( b ) h3− = β2 (b ) k ,m L Suy bất đẳng thức (2.7) Trường hợp (iii): hk ,1− m ≠ , h3− k ,m ≠ , hk ,1− m < ω2 ≤ h3− k ,m L −1 L ; Từ (2.84), (2.91), (2.96) suy ra: ( φ ≤ ρb β ( b ) h3− k ,m L + − ω2 h3− k ,m ≤ ρb β ( b ) h3− k ,m ( + − ρb h3− k ,m L L ) L  b α +α ω  ≤ ds exp  − ∫  a ( b − s )λ    )  b α +α ρ  b ≤ ds exp  − ∫  a ( b − s )λ    (2.96) + − ρb h3− k ,m L )β Trường hợp (iv): hk ,1− m ≠ , h3− k ,m = , hk ,1− m L < ω2 < +∞ ; ≤ ρb β ( b ) h3− k ,m L ( β ( b ) , (2.7) thỏa (b ) = Từ (2.85), (2.91), (2.96) suy ra: φ ≤ ρb β ( b ) h3− k ,m  τ 3−k ( s )  + h s h ξ d ξ   ds ( ) ( ) ∫a 3−k ,1−m  ∫a k ,1−m L    b  b α +α ω   b α +α ρ  b    ≤ β2 (b ) , ds ds exp < exp  − ∫ ≤ −  a ( b − s )λ   ∫a ( b − s )λ      Vậy (2.7) nghiêm ngặt Do đó, tất điều kiện định lý 2.1 thỏa Theo định lý 2.1, tốn (2.77), (2.2) có nghiệm Hệ 2.13 chứng minh Nếu hàm h1 h2 khơng đổi dấu, đối số lệch τ τ đối số chậm, từ định lý 2.6, ta suy hệ sau: Hệ 2.15 Cho k ∈ {1, 2} , m ∈ {0,1} thỏa mãn: ( −1) m hk ( t ) ≥ 0, ( −1) hk ( t ) (τ k ( t ) − t ) ≥ ; 1− m h3− k ( t ) ≥ , với t ∈ [ a; b ] h3− k ( t ) (τ 3− k ( t ) − t ) ≤ , với t ∈ [ a; b ] (2.97) (2.98) Giả sử tồn số α1 , α , α ∈  + cho ba số số dương, λ ∈ [ 0;1] ν ∈ [ 0; λ ] cho: +∞ ∫ (b − a ) ds > α1 + α s + α s 1− λ (b − t ) 1− λ λ +ν hk ( t ) ≤ α1 , với t ∈ [ a; b ] α ( b − t ) hk ( t ) ( t − τ k ( t ) ) ≤ α + ν (b − t ) λ −ν (2.99) ν (b − t ) 1− λ , với t ∈ [ a; b ] t   α2 ν  h3− k ( t ) ≤ α + σ 3− k ( t ) ∫  + λ   (b − s ) τ 3−k ( t )  b − s    ds  , với t ∈ [ a; b ]     (2.100) (2.101) (2.102) Trong đó: σ 3− k ( t ) = (1 + sgn ( t − τ 3− k ( t ) ) ) , với t ∈ [ a; b ] Khi đó, tốn (2.77), (2.2) sau có nghiệm = x1' ( t ) h1 ( t ) x2 (τ ( t ) ) + q1 ( t ) = x2' ( t ) h2 ( t ) x1 (τ ( t ) ) + q2 ( t ) = x1 ( a ) c= x2 ( a ) c2 1; Chứng minh Cho li ∈ ab ( i = 1, ) định nghĩa (2.93): li ( z )( t ) = hi ( t ) z (τ i ( t ) ) , với t ∈ [ a; b ] , z ∈ C ([ a; b ] ;  ) Ta có: ( −1) m lk ( z )( t ) = ( −1) hk ( t ) z (τ k ( t ) ) ; ( −1) 1− m m Từ (2.97) suy ra: ( −1) m lk L ([ a; b ] ;  + ) Do ( −1) lk , ( −1) ( −1) 1− m 1− m m l3− k ( z )( t ) = ( −1) h3−k ( t ) z (τ 3−k ( t ) ) , 1− m l3− k biến tập C ([ a; b ] ;  + ) thành tập l3− k ∈ ab Mặt khác, l3− k toán tử a- Volterra, thật vậy: Với b0 ∈ [ a; b ] z ∈ C ([ a; b ] ;  ) thỏa mãn z ( t ) = với t ∈ [ a; b0 ] , ta có: l3− k ( z )( t ) = h3− k ( t ) z (τ 3− k ( t ) ) = 0, ∀t ∈ [ a; b0 ] , Từ (2.98) suy : τ 3− k ( t ) ≤ t , với t ∈ [ a; b ] , Suy ra: τ 3− k ( t ) ∈ [ a; b0 ] ∀t ∈ [ a; b0 ] , đó: z (τ 3− k ( t ) ) = 0, ∀t ∈ [ a; b0 ] Từ (2.99) suy tồn ρ a , ρb ∈ [ 0, +∞ ] cho: (b − a ) ds ρ a < ρb ∫ = 1− λ ρ a α1 + α s + α s 1− λ ρb Do đó, theo bổ đề 2.14, ta tìm hàm ω1 , ω2 ∈ C ([ a; b ] ;  ) thỏa mãn: = ω1′ ( t ) α2 (b − t ) λ ω1 ( t ) + α1 (b − t ) λ ω2 ( t ) , với t ∈ [ a; b ] (2.103) ω2′ ( t ) = − α3 (b − t ) λ ω1 ( t ) , với t ∈ [ a; b ] (2.104) Và ωi ( t ) > với t ∈ [ a; b ] , ( i = 1, ) Đặt: γ ( t ) = ω1 ( t ) (b − t ) ν , với t ∈ [ a; b ] ; γ ( t ) = ω2 ( t ) , với t ∈ [ a; b ] Ta có γ ∈ Cloc ([ a; b ] ;  ) ; γ ∈ C ([ a; b ] ;  ) Và γ i ( t ) > , với t ∈ [ a; b ] , ( i = 1, ) , điều kiện (2.36) định lý 2.6 thỏa Sử dụng (2.103) (2.104) ta có:  ω1 ( t ) ′  γ 1′ ( t ) = =  ν  ( b − t )  (b − t ) ν ω1′ ( t ) +ν ( b − t ) ν −1 (b − t ) ω1′ ( t ) ν ω t =ν = + ν ν +1 ( ) (b − t ) (b − t ) (b − t )  v α2  = +  ( b − t ) ( b − t )λ  ω1 ( t ) 2ν  α  α1 ν  + t t ω ω ω (t ) + ( ) ( ) λ λ  (b − t )  ( b − t )ν +1 − b t ( )    α1  γ1 (t ) + γ t với t ∈ [ a; b ] λ +ν ( )  b t − ( )  α3 α3  γ 2′ ( t ) = − − ω2′ ( t ) = ω1 ( t ) = γ t λ λ −ν ( ) (b − t ) γ 2′ ( t ) ≤ , với t ∈ [ a; b ] Do đó: γ 1′ ( t ) ≥ 0, (b − t ) (2.105) (2.106) (2.107) λ −ν −1  ′ −α 3γ 1′ ( t )( b − t )λ −ν − ( λ −ν )( b − t ) α 3γ ( t ) α3 − γ 2′′ ( t ) = γ (t )  = ≤ với 2( λ −ν )  ( b − t )λ −ν  − b t ( )   t ∈ [ a; b ] Suy γ 2′ liên tục không tăng khoảng ( a; b ) , γ hàm không giảm [ a; b ] Xác định tập A3− k công thức (2.95): A3− k = {t ∈ [ a; b] : h3−k ( t ) ≠ 0} Từ (2.105),(2.106), (2.107) (2.36), (2.98), tính tốn trực tiếp, ta có: τ k (t )  γ (τ k ( t ) ) − γ ( t ) = ∫ γ 2′ ( s ) ds t Hay: γ (τ k ( t ) ) = γ ( t ) + τ k (t ) ∫ γ 2′ ( s ) ds ≤ γ ( t ) + γ 2′ ( t ) (τ k ( t ) − t ) , với t ∈ [ a; b ] t t  γ ( t ) − γ (τ 3− k ( t ) ) = ∫ γ 1′ ( s ) ds τ 3−k ( t ) Hay: −γ (τ 3− k ( t ) ) = −γ ( t ) + t ∫ τ 3−k ( t ) γ 1′ ( s ) ds  v α2 = −γ ( t ) + ∫  + λ  (b − s ) τ 3−k ( t )  ( b − s ) t ≥ −γ ( t ) + γ (τ 3− k ( t ) ) t  α1  γ ( s ) ds + ∫ γ s ds ≥ λ +ν ( )  b s − ( ) t τ ( ) 3−k   v α2  + λ ∫  (b − s ) τ 3−k ( t )  ( b − s ) t   ds , với t ∈ A3− k   Do đó, từ hai mối quan hệ vừa tìm với (2.36), (2.97), (2.98), (2.100), (2.101), (2.102), (2.105), (2.106) ta có:  ( −1) hk ( t ) γ (τ k ( t ) ) ≤ m α3 (b − t )  v α2 ≤ +  ( b − t ) ( b − t )λ   ( −1) h3− k ( t ) γ (τ 3− k ( t ) ) ≥ − hk ( t ) ( t − τ k ( t ) ) γ ( t ) + hk ( t ) γ ( t ) ≤ λ −ν  α1  γ1 (t ) + γ t = γ 1′ ( t ) , với t ∈ [ a; b ] λ +ν ( )  b t − ( )  h3− k ( t ) m ≥−  ν α2 + 1+ ∫   b − s ( b − s )λ τ 3−k ( t )  t α3 (b − t ) λ −ν m γ1 (t ) ≥ γ ( t ) =γ 2′ ( t ) , với t ∈ A3− k Hai mối quan hệ với (2.107): γ 1′ ( t ) ≥ 0, γ 1′ ( t ) ≥ ( −1) hk ( t ) γ (τ k ( t ) ) ;   ds   γ 2′ ( t ) ≤ , với t ∈ [ a; b ] , suy ra: γ 2′ ( t ) ≤ ( −1) h3− k ( t ) γ (τ 3− k ( t ) ) , với t ∈ [ a; b ] , m đó, γ , γ thỏa điều kiện (2.37), (2.38) định lý 2.6 Do đó, tất điều kiện định lý 2.6 thỏa mãn Theo định lý 2.6, tốn (2.77), (2.2) có nghiệm Hệ 2.15 chứng minh Hệ 2.16 Cho h1 ( t ) ≥ , h2 ( t ) ≤ với t ∈ [ a; b ] Giả sử tồn số α , β ∈  + , λ ∈ [ 0;1] ν ∈ [ 0, λ ] cho: +∞ ∫ (b − a ) ds > 1− λ α + βs 1− λ , điều kiện sau thỏa: Hoặc: Hoặc: h1 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≤ 0, h2 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≥ , với t ∈ [ a; b ] , (b − t ) (b − t ) λ −ν h1 ( t ) ≤ β , λ +ν h2 ( t ) ≤ α , với t ∈ [ a; b ] h1 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≥ 0, h2 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≤ , với t ∈ [ a; b ] , (b − t ) (b − t ) λ +ν h1 ( t ) ≤ α , λ −ν h2 ( t ) ≤ β , với t ∈ [ a; b ] Khi tốn (2.77),(2.2) sau có nghiệm = x1′ ( t ) h1 ( t ) x2 (τ ( t ) ) + q1 ( t ) = x2′ ( t ) h2 ( t ) x1 (τ ( t ) ) + q2 ( t ) = x1 ( a ) c= x2 ( a ) c2 1; Chứng minh Hệ 2.16 suy từ hệ 2.15 với= α1 α= , α 0,= α β , k = , m = ( k = , m = ) Thật vậy: Ta kiểm tra điều kiện hệ 2.15 thỏa với= α1 α= , α 0,= α β , k = , m = ( k = , m = ) Vì : h1 ( t ) ≥ , h2 ( t ) ≤ với t ∈ [ a; b ] nên: ( −1) h2 ( t ) ≥ , ( −1) h1 ( t ) ≥ với t ∈ [ a; b ] , suy (2.97) thỏa với k = , m = ( k = , m = ) Trường hợp 1: h1 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≤ 0, Và ( b − t ) λ −ν h1 ( t ) ≤ β , h2 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≥ , với t ∈ [ a; b ] , (b − t ) Vì: h1 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≤ 0, h2 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≥ ,với k = λ +ν h2 ( t ) ≤ α , với t ∈ [ a; b ] t ∈ [ a; b ] nên (2.98) thỏa với Vì tồn số α , β ∈  + , λ ∈ [ 0;1] ν ∈ [ 0, λ ] cho: +∞ ∫ (b − a ) ds > α + βs 1− λ 1− λ Vì : ( b − t ) nên (2.99) thỏa với= α1 α= , α 0,= α3 β h2 ( t ) ≤ α nên (2.100) thỏa với k = , α1 = α λ +ν Vì : h2 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≥ nên h2 ( t ) ( t − τ ( t ) ) ≤ Suy ra: (2.101) thỏa với = k 2, = α 0,= α3 β Vì : ( b − t ) λ −ν h1 ( t ) ≤ β nên (2.102) thỏa với k = , α = β Suy tất điều kiện hệ 2.15 thỏa với= α1 α= , α 0,= α β , k = 2, m =1  Trường hợp 2: h1 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≥ 0, (b − t ) λ +ν Vì : h1 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≥ 0, h1 ( t ) ≤ α , h2 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≤ , với t ∈ [ a; b ] , (b − t ) λ −ν h2 ( t ) ≤ β , với t ∈ [ a; b ] h2 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≤ , với t ∈ [ a; b ] nên (2.98) thỏa với k = Tồn số α , β ∈  + , λ ∈ [ 0;1] ν ∈ [ 0, λ ] cho: +∞ ∫ (b − a ) ds > α + βs 1− λ 1− λ , (2.99) thỏa với= α1 α= , α 0,= α3 β Vì : ( b − t ) λ +ν h1 ( t ) ≤ α nên (2.100) thỏa với = k 1,= α1 α Vì : h1 ( t ) ≥ ; h1 ( t ) (τ ( t ) − t ) ≥ nên h1 ( t ) ( t − τ ( t ) ) ≤ , suy (2.101) thỏa với = k 1, = α 0,= α3 β Vì : ( b − t ) λ −ν h2 ( t ) ≤ β nên (2.102) thỏa với k = , α = β Vậy tất điều kiện hệ 2.15 thỏa với= α1 α= , α 0,= α3 β , k = , m = Theo hệ 2.15, tốn (2.77), (2.2) có nghiệm Hệ 2.16 chứng minh Để minh họa cho định lý 2.7 2.8 , ta xét hệ phương trình vi phân: = x1′ ( t ) f ( t ) x2 ( µ ( t ) ) + q1 ( t ) , x2′ ( t ) = h0 ( t ) x1 (τ ( t ) ) − h1 ( t ) x1 (τ ( t ) ) + q2 ( t ) (2.108) Trong đó: f , h0 , h1 ∈ L ([ a; b ] ;  + ) , µ ,τ ,τ : [ a; b ] → [ a; b ] hàm đo được, q1 , q2 ∈ L ([ a; b ] ;  ) Hệ 2.17 Cho: PG0 < (2.109) PG1 < + − PG0 (2.110) Trong đó: b = P b f ( s ) ds; G ∫ h ( s ) ds , với i = 0,1 ∫= i a i (2.111) a Khi đó, tốn (2.108), (2.2) có nghiệm Chứng minh Đặt l1 ∈ ab xác định sau: l1 ( z )( t ) = f ( t ) z ( µ ( t ) ) , với t ∈ [ a; b ] , z ∈ C ([ a; b ] ;  ) (2.112) Và = l2 l2,0 − l2,1 , đó: l2,i ( z )( t ) = hi ( t ) z (τ i ( t ) ) , với t ∈ [ a; b ] , z ∈ C ([ a; b ] ;  ) , i = 0,1 (2.113) Khi đó, l1 , l2,0 , l2,1 ∈ ab Vì f , h0 , h1 ∈ L ([ a; b ] ;  + ) , µ ,τ ,τ : [ a; b ] → [ a; b ] hàm đo nên l1 , l2,0 , l2,1 biến tập C ([ a; b ] ;  + ) thành tập L ([ a; b ] ;  + ) Ta có: l1 (1) ≡ f , l2,0 (1) ≡ h0 , l2,1 (1) = h1 Do đó, từ (2.109) (2.110) suy hệ 2.17 có từ định lý 2.7 với k = 2,m = Thật vậy, ta kiểm tra giả thiết định lý 2.7 với k = , m = Ta có: l1 , l2,0 , l2,1 ∈ ab , = l2 l2,0 − l2,1 Vì: PG0 < nên: b b a a ∫ f ( s ) ds.∫ h ( s ) ds < Vì l1 (1) ≡ f , l2,0 (1) ≡ h0 nên: b b a a ∫ l1 (1)( s ) ds.∫ l2,0 (1)( s ) ds < Suy (2.46) thỏa với k = , m = Vì PG1 < + − PG0 nên: b b a a ∫ f ( s ) ds.∫ h ( s ) ds < + b b a a − ∫ f ( s ) ds.∫ h0 ( s ) ds Vì l1 (1) ≡ f , l2,0 (1) ≡ h0 nên: b b ∫ l (1)( s ) ds.∫ l (1)( s ) ds < + a 2,1 a b b a a − ∫ l1 (1)( s ) ds.∫ l2,0 (1)( s ) ds Suy ra: (2.47) với k = , m = Vậy tất giả thiết định lý 2.7 thỏa với k = , m = nên tốn (2.108), (2.2) có nghiệm Hệ 2.17 chứng minh Hệ 2.18 Cho µ ( t ) ≤ t , τ ( t ) ≤ t , với t ∈ [ a; b ] (2.114) Và cho hàm f , µ , h0 ,τ thỏa mãn điều kiện: τ (t ) ∫ (a) t e ω ( s )ds ≤ , với t ∈ [ a; b ] , Trong đó: ω ( t ) = max { f ( t ) , h0 ( t )} , với t ∈ [ a; b ]  τ0 (s)  b  (b) ∫ cosh  ∫ ω (ξ ) dξ  h0 ( s ) σ ( s )  ∫ f (ξ ) dξ  ds < ,  s  a s    b  τ0 (s)  b  sinh ω ξ d ξ h s σ s f ξ d ξ   ds < ( ) ( ) ( ) ( )   ∫a  ∫s  ∫s     b (2.115) Trong đó, ω định nghĩa (2.115) σ ( t ) = (1 + sgn (τ ( t ) − t ) ) , với t ∈ [ a; b ] ; τ 0* (c) ∫ a  µ(s)  f ( s )  ∫ h0 (ξ ) d ξ  ds <  a     τ0 (s)  ξ ξ h s f d   ds < , ( ) ( ) ∫a  ∫a    µ* Trong đó: = τ 0* ess sup {τ ( t ) : t ∈ [ a; b ]} ; = µ * ess sup {µ ( t ) : t ∈ [ a; b ]} Hơn nữa, giả sử hàm f , µ , h1 ,τ thỏa mãn điều kiện sau với γ * = : b (A) ∫ a  µ(s)  f ( s )  ∫ h1 (ξ ) d ξ  ds ≤ γ * ;  a    (B) Tồn số α1 , α ∈  + α > , λ ∈ [ 0;1] , ν ∈ [ 0; λ ] cho điều kiện sau thỏa: +∞ ∫ (b − t ) λ −ν (b − a ) ds > 1− λ α1 + α s + α s 1− λ t   α2 ν  f (t ) ≤ α3 + σ (t ) ∫  + λ   (b − s ) µ (t )  b − s (b − t ) λ +ν    ds  , với t ∈ [ a; b ] ,     h1 ( t ) ≤ γ *α1 ,với t ∈ [ a; b ] ,  α ( b − t ) h1 ( t ) ( t − τ ( t ) ) ≤ γ *  α + ν ,   ν (b − t ) 1− λ   , với t ∈ [ a; b ]   Trong đó: σ ( t ) = (1 + sgn ( t − µ ( t ) ) ) , với t ∈ [ a; b ] Khi đó, tốn (2.108), (2.2) sau có nghiệm = x1' ( t ) f ( t ) x2 ( µ ( t ) ) + q1 ( t ) , x2' ( t ) = h0 ( t ) x1 (τ ( t ) ) − h1 ( t ) x1 (τ ( t ) ) + q2 ( t ) = x1 ( a ) c= x2 ( a ) c2 1; Để chứng minh hệ 2.18 ta sử dụng thêm kết sau từ [10]: Mệnh đề 2.19 ([10, hệ 4.31]) Cho hk ∈ L ([ a; b ] ;  + ) τ k : [ a; b ] → [ a; b ] hàm đo ( k = 1, ) cho: τ k (t ) ∫ ω ( s ) ds ≤ e với t ∈ [ a; b ] , ( k = 1, ) , t Trong đó: ω ( t ) = max {h1 ( t ) , h2 ( t )} với t ∈ [ a; b ] Khi đó: ( l1 , l2 ) ∈ ˆab2 ( a ) , với lk ( z )( t ) = hk ( t ) z (τ k ( t ) ) , t ∈ [ a; b ] , z ∈ C ([ a; b ] ;  ) , ( k = 1, ) Mệnh đề 2.20 ([10, định lý 5.28]): Cho hk ∈ L ([ a; b ] ;  + ) , τ k : [ a; b ] → [ a; b ] hàm đo ( k = 1, ) , cho max {λ1 , λ2 } < , đó: λk  τk (s)  b  cosh ω ξ d ξ h s σ s h ξ d ξ   ds + ( ) ( ) ( ) ( )  k k ∫a  ∫s  ∫s 3− k     b b  τ 3−k ( s )  b  + ∫ sinh  ∫ ω (ξ ) d ξ  h3− k ( s ) σ 3− k ( s )  ∫ hk (ξ ) d ξ  ds với k = 1, ;  s  a s    Hàm ω định nghĩa bởi: ω ( t ) = max {h1 ( t ) , h2 ( t )} với t ∈ [ a; b ] ; σ k (t ) = (1 + sgn (τ k ( t ) − t ) ) với t ∈ [ a; b] Khi ( l1 , l2 ) ∈ ˆab2 ( a ) , l1 , l2 định nghĩa bởi: lk ( z )( t ) = hk ( t ) z (τ k ( t ) ) với t ∈ [ a; b ] , z ∈ C ([ a; b ] ;  ) , ( k = 1, ) Mệnh đề 2.21.([10, định lý 5.34]): Cho hk ∈ L ([ a; b ] ;  + ) , τ k : [ a; b ] → [ a; b ] hàm đo ( k = 1, ) cho: hk ( t ) (τ k ( t ) − t ) ≤ với t ∈ [ a; b ] , k = 1, Giả sử tồn số α1 , α ∈  + , α > 0, λ ∈ [ 0;1] ,ν ∈ [ 0; λ ] cho: +∞ ∫ (b − a ) ds > α1 + α s + α s 1− λ 1− λ , (b − t ) λ −ν t   α2 ν h1 ( t ) ≤ α 1 + σ ( t ) ∫  + λ   (b − s ) τ1 ( t )  b − s (b − t ) λ +ν    ds  với t ∈ [ a; b ] ,    h2 ( t ) ≤ α1 với t ∈ [ a; b ] , α ( b − t ) h2 ( t ) ( t − τ ( t ) ) ≤ α + ν ν (b − t ) 1− λ với t ∈ [ a; b ] , Trong đó: σ ( t ) = (1 + sgn ( t − τ ( t ) ) ) với t ∈ [ a; b ] Khi ( l1 , l2 ) ∈ ˆab2 ( a ) , với l1 , l2 định nghĩa bởi: lk ( z )( t ) = ( −1) k +1 hk ( t ) z (τ k ( t ) ) với t ∈ [ a; b ] , z ∈ C ([ a; b ] ;  ) , ( k = 1, ) Chứng minh hệ 2.18 Cho toán tử l1 ∈ ab định nghĩa (2.112): l1 ( z )( t ) = f ( t ) z ( µ ( t ) ) , với t ∈ [ a; b ] , z ∈ C ([ a; b ] ;  ) Và cho: = l2 l2,0 − l2,1 , đó, l2,0 , l2,1 định nghĩa (2.113): l2,i ( z )( t ) = hi ( t ) z (τ i ( t ) ) , với t ∈ [ a; b ] , z ∈ C ([ a; b ] ;  ) , i = 0,1 Ta có l1 , l2,0 , l2,1 ∈ ab Theo điều kiện (a) (hoặc (b), (c)) hệ quả, từ mệnh đề 2.19 ( mệnh đề 2.20, mệnh đề 2.9) ta suy rằng: ( l , l ) ∈ ˆ ( a ) 2,0 ab Mặt khác, theo điều kiện (A) (hoặc (B)) hệ quả, với γ * = , theo mệnh đề 2.10     (hoặc mệnh đề 2.21), ta có:  l1 , − l2,1  ∈ ˆab2 ( a ) Suy giả thiết hệ 2.11 thỏa với= k 1,= m Vậy tốn (2.108), (2.2) có nghiệm Hệ 2.18 chứng minh KẾT LUẬN Mục đích luận văn nghiên cứu việc tồn nghiệm toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều Nội dung luận văn gồm hai chương: Trong chương 1, luận văn xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán (1.1), (1.2) p toán tử tuyến tính bị chặn Kết chương định lý 1.1 Đặc biệt chương này, luận văn xem xét tính xấp xỉ nghiệm tốn biên tổng qt cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính mà kết định lý 1.7 Chương luận văn áp dụng kết chương để trình bày tính giải tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều Kết định lý 2.1, định lý 2.6, định lý 2.7, định lý 2.8 Sau đó, áp dụng kết để điều kiện đủ cho tồn nghiệm hệ phương trình vi phân hai chiều đối số chậm đối số lệch, mà kết hệ 2.13, 2.15, 2.18 Do thời gian hạn chế nên luận văn chưa xem xét tính xấp xỉ nghiệm tốn dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều Vì vậy, tương lai, điều kiện cho phép, tơi tiếp tục nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm toán áp dụng kết cho hệ phương trình vi phân hai chiều đối số chậm đối số lệch Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Vì mong quan tâm đóng góp ý kiến thầy trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh tất bạn để luận văn hồn thiện Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Tiếng Anh I Kiguradze and B Puza, On boundary value problems for systems of linear functional- differential equations Czechoslovak Math J 47(122) (1997), No 2, 341-373 R Hakl, A Lomtatidze, I P Stavroulakis, On a boundary value problem for scalar linear functional differential equations Abstr Appl Anal 2004, No 1, 45-47 J Sremr, On the Cauchy type problem for systems of functional differential equations Nonlinear Anal (to appear) J Hale, Theory of functional differential equations Springer- Verlag, New York- Heidelberg, 1997 N.Dunford and J.T.Schwarzt: Linear Operators.I.General Theory, Pure and applied Mathematics, vol 17, Interscience Publishers, Newyork, 1958 W Walter, Differential and integral inequalities Springer- Verlag, New York- Berlin, 1970 J Sremr, On systems of linear functional differential inequalities Georgian Math J 13(2006), No 3, 539-572 J Sremr, Weak theorems on differential inequalities for two dimentional functional differential systems Port Math (to appear) 10 J Srem, On the initial value problem for two dimentional linear functional differential problem Memoirs on differential equation and mathematical physics, volume 50, 2010, 1-127 ... phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều Sau đó, áp dụng kết cho hệ phương trình vi phân hai chiều đối số chậm đối số lệch Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TỐN BIÊN TỔNG QT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH... đó, vi? ??c xem xét tốn biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với điều kiện biên cụ thể cần nghiên cứu Đây lý mà tơi chọn đề tài “ Bài toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến. .. nghiệm toán Chương 2: Bài tốn dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều Trong chương ta áp dụng kết chương để xây dựng điều kiện đủ cho vi? ??c tồn nghiệm tốn dạng Cauchy cho hệ