nh x bc Brouwer khụng gian Banach Trường đại học sư phạm hà nội Khoa TOáN ********** INH TH KIM THOA NH X BC BROWER TRONG KHễNG GIAN BANACH khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành:Gii tớch Hà Nội - 2012 inh Th Kim Thoa K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Lời cảm ơn! Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa toán, tổ giải tích giúp đỡ em thời gian vừa qua Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo-Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người tận tình hướng dẫn bảo em trình học tập hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 13 tháng năm 2012 Sinh viên Đinh Thị Kim Thoa inh Th Kim Thoa K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp kết em thời gian thực tập nghiên cứu vừa qua hướng dẫn thầy giáo-Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Em xin cam đoan đề tài ánh xạ bậc Brouwer không gian Banach không trùng với đề tài khác Hà Nội, ngày 13 tháng năm 2012 Sinh viên Đinh Thị Kim Thoa inh Th Kim Thoa K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Mục lục Trang Mở đầu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Banach 1.1.3 Phiếm h m 1.1.4 Phép đồng phôi 1.1.5 Phủ tập hợp, tập compact 1.1.6 Hàm giải tích phức 1.1.7 Tích phân phức 1.1.8 Đồng luân 1.2 Một số kết 10 1.2.1 Định lí Stokes 10 1.2.2 Công thức tích phân Cauchy 10 1.3 Phép tính vi phân 10 1.3.1 Khái niệm ánh xạ khả vi 10 1.3.2 Đạo hàm riêng 11 1.3.3 Quy tắc dây xích 12 1.3.4 Hàm ngược hàm ẩn 12 Chương 2: Phép tính vi-tích phân không gian Banach 13 2.1 Đạo hàm tích phân không gian Banach 13 inh Th Kim Thoa K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach 2.1.1 Đạo hàm không gian Banach 13 2.1.2 Tích phân không gian Banach 17 2.2 Các nguyên lí co rút 18 2.2.1 Định nghĩa ánh xạ co 18 2.2.2 Nguyên lí ánh xạ co 18 2.2.3 Nguyên lí ánh xạ co 19 2.2.4 Hàm ẩn hàm ngược 21 2.3 Phương trình vi phân thường 22 Chương 3: ánh xạ bậc Brouwer 25 3.1 Lời giới thiệu 25 3.2 Định nghĩa ánh xạ bậc công thức định thức 27 3.2.1 Kí hiệu 27 3.2.2 Định nghĩa ánh xạ bậc 27 3.2.3 Tính chất bậc 28 3.2.4 Bậc ma trận không suy biến 31 3.2.5 Công thức định thức 31 3.3 Sự mở rộng công thức định thức 33 3.3.1 Bước 1: Thừa nhận giá trị tới hạn 34 3.3.2 Bước 2: Thừa nhận hàm liên tục 38 3.4 Định lí điểm bất động Brouwer 41 3.5 Định lí điểm bất động Kakutani 44 3.6 Các tính chất khác bậc 45 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 inh Th Kim Thoa K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Mở đầu Lí chọn đề tài Lí thuyết điểm bất động phần quan trọng môn giải tích hàm phi tuyến Những định lí điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến Nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) Nguyên lí ánh xạ co Banach(1922) Lí thuyết gắn với tên tuổi nhiều nhà toán học lớn như: Brouwer, Banach, Kakutani Bậc Brouwer khái niệm mới, đề cập đến bậc ánh xạ không gian hữu hạn chiều Đặc biệt, định lí điểm bất động Brouwer tiếng hệ đơn giản tính chất bậc Nhiều ứng dụng dẫn đến toán tìm tất không điểm ánh xạ , không gian Banach ánh xạ bậc tính chất công cụ giúp ta giải toán Không chúng giúp ta xây dựng mở rộng công thức định thức Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, nhờ hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo-Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, mạnh dạn chọn đề tài ánh xạ bậc Brouwer không gian Banach Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù môn Nghiên cứu: khái niệm bậc, tính chất hệ Phương pháp nghiên cứu inh Th Kim Thoa K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach - Phương pháp nghiên cứu giải tích hàm - Phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, khóa luận gồm chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Giải tích không gian Banach Chương 3: ánh xạ bậc Brouwer inh Th Kim Thoa K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa chuẩn không gian định chuẩn Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính từ vào tập số thực trường , kí hiệu ( ) với ánh xạ đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: (i) ; (ii) ; (iii) Số ; gọi chuẩn vector Ta kí hiệu không gian định chuẩn Hội tụ theo chuẩn Dãy điểm Kí hiệu không gian định chuẩn gọi hội tụ tới điểm hay Dãy Cho không gian định chuẩn , dãy điểm gọi dãy inh Th Kim Thoa K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach 1.1.2 Không gian Banach Không gian định chuẩn gọi không gian Banach dãy hội tụ(trong ) 1.1.3 Phiếm hàm * Trong không gian vector , phiếm hàm ánh xạ gọi tuyến tính thỏa mãn điều kiện: (i) (ii) Khi ta nói phiếm hàm tuyến tính 1.1.4 Phép đồng phôi * Cho hai không gian định chuẩn tục ánh xạ không gian toán tử Nếu toán tử (tuyến tính) liên lên không gian có toán tử ngược gọi phép đồng phôi (tuyến tính) từ không gian liên tục lên không gian * Hai không gian định chuẩn gọi đồng phôi (tuyến tính) tồn phép đồng phôi (tuyến tính) từ không gian lên không gian 1.1.5 Phủ tập hợp, tập compact Giả sử họ tập tập hợp , gọi phủ Giả sử tập không gian topo Phủ tập gọi mở tất tập mở Tập gọi tập compact phủ mở có phủ hữu hạn phủ 1.1.6 Hàm giải tích phức inh Th Kim Thoa K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Hàm xác định miền tồn để tích điểm thuộc với giá trị gọi giải tích -khả vi Nếu giải gọi giải tích miền 1.1.7 Tích phân phức Cho đường cong mặt phẳng xác định không khép kín hàm với điểm đầu A điểm cuối B Chia điểm chia thành phần nhỏ lập tổng tích phân (1.1) điểm đường cong nằm Nếu max , tồn giới hạn họ tổng (1) giới hạn gọi tích phân hàm theo đường cong Kí hiệu: Nếu đường cong khép kín (không tự cắt) trước hết định hướng chiều dương sau chọn tùy ý hai điểm khác A B thuộc chiều từ A đến B chiều với Khi với hàm theo cho ta có (Nếu vế phải tồn tại) Nếu đường cong kín tự cắt ta phân số hữu hạn đường cong khép kín xác định phần đường cong khép kín không tự cắt 1.1.8 Đồng luân Trong toán học topo, hai ánh xạ liên tục từ không gian topo vào không gian topo khác gọi đồng luân với ánh xạ biến đổi liên tục thành ánh xạ Một phép biến đổi gọi phép biến đổi đồng luân hai ánh xạ inh Th Kim Thoa 10 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach = (3.20) Bây ta chứng minh: Bổ đề 3.8 Giả sử Khi hình cầu chứa số xác định Chứng minh: Cố định tâm xét chứa hình cầu lớn Chọn xét : (3.21) với phù hợp thỏa mãn Bây quan sát , (3.22) , áp dụng bổ đề trước để viết lại tích phân tích phân triệt tiêu lân cận trơn để ta áp nhỏ (ví Vì hàm lấy nên không hạn chế để giả thiết dụng định đủ (3.23) lí Stokes giá dụ Khi ta có với điều kiện ) Ta có kết inh Th Kim Thoa 38 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach , (3.24) giá trị quy với Chú ý 3.9 Ta ý gần khác nhờ Kronecker Với biên đủ trơn ta có (3.25) với Rõ ràng ta có (3.26) Vì , hàm lấy tích phân viết lại kéo mặt tắc phần tử Điều trùng với giá trị biên xấp xỉ cho hàm phức (chú ý hàm giải tích bảo toàn định hướng) 3.3.2 Bước : Thừa nhận hàm liên tục Bước cuối khử điều kiện Như trước ta muốn bậc số hình cầu chứa đặt Ví dụ : cố định Chọn thỏa cho mãn Khi Nếu ta liên tục số địa phương không đổi (vì liên thông) Do ta định nghĩa: , inh Th Kim Thoa với (3.27) 39 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Còn phải số địa phương Bổ đề 3.10 Giả sử , với cho có với Chứng minh: Nếu với Do ta loại trừ trường hợp này.Với trường hợp lại ta sử dụng cách thông thường xét trước sau lấy xấp xỉ điểm quy Giả sử cho Theo định lí hàm ẩn ta tìm lân cận rời cho tồn nghiệm với ta giả thiết dấu Rút gọn cần thiết, không đổi Cuối cùng, cho Khi với đại lượng ta tìm Ta phải xét trường hợp Chọn giá trị quy thỏa Khi ta tìm với suy mãn cho Đặt ta với , Tất với nghĩa thỏa mãn yêu cầu Bây ta kết thúc chứng minh định lí ta: Định lí 3.11 Có bậc deg thỏa mãn (D1)-(D4) Hơn nữa, số phận cho ta có : inh Th Kim Thoa 40 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach (3.28) trong phận cho , nói Chứng minh: Phần xét đến trước ta cho thấy deg định nghĩa tốt số địa phương chứng minh cách xây dựng Khi liên tục tất yếu không đổi phận rời rạc (D2) rõ ràng (D1) thỏa mãn cố định với Tương tự lấy (D3) theo xây dụng ta yêu cầu Khi (D3) thỏa mãn cố định với theo xây dung Cuối cùng, (D4) kết tính liên tục tuyệt đối Để kết thúc mục ta đưa ví dụ minh họa đơn giản sử dụng bậc Brouwer Ví dụ: Tìm không điểm (3.29) Biểu diễn phần tuyến tính Khi ta có Do (3.30) thỏa với mãn Suy (3.31) inh Th Kim Thoa 41 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Hơn ta thấy có nghiệm Nghiệm nằm đường tròn suy Tiếp đến ta chứng minh kết sau bao hàm định lí cầu lông (con nhím) Định lí 3.12 Giả sử tồn chứa gốc tọa độ và liên tục Nếu cho lẻ Chứng minh: Theo định lí 3.15 ta giả thiết ta có Nếu lẻ nên phải có không điểm Mặt khác, ta áp dụng chứng minh tương tự với Đặc biệt kết có nghĩa trường vectơ tiếp xúc liên tục mặt cầu (với lẻ Hay với với ) phải triệt tiêu bạn chải cách trơn tru nhím mà không để lại chỗ hói làm nên đường Tuy nhiên ta chải tóc trơn tru hình xuyến từ phản ứng hạt nhân có hình xuyến Hệ đơn giản khác trường vector mà điểm hướng (hoặc vào trong) mặt cầu phải triệt tiêu mặt cầu Định lí 3.13 Giả sử liên tục thỏa mãn triệt tiêu inh Th Kim Thoa (3.32) 42 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Chứng minh: Nếu không triệt tiêu điểm phải triệt tiêu Mà (3.33) dương theo giả thiết suy (3.33) mâu thuẫn 3.4 Định lí điểm bất động Brouwer Bây ta định lí điểm bất động Brouwer tiếng hệ đơn giản tính chất bậc Định lí 3.14 (Điểm bất động Brouwer) Cho không gian đồng phôi lên tập lồi, compact có điểm bất động Chứng minh: Rõ ràng ta giả thiết phép đồng phôi bảo toàn điểm bất động Giả sử Nếu có điểm bất động biên thành Mặt khác ) ta hoàn thỏa mãn Và yêu cầu sau từ Bây cho lồi Khi theo định lí 3.15 ta tìm ánh xạ co liên tục (tức với ) xét Theo phân tính trước ta có điểm bất động Chú ý tập lồi, compact không gian Banach hữu hạn chiều (thực phức) đẳng cấu lên tập lồi, compact phép biến đổi tuyến tính bảo toàn hai tính chất Ngoài ý tất giả thiết cần thiết inh Th Kim Thoa 43 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Ví dụ: ánh xạ điểm bất động ( đồng phôi lên tập bị chặn không đồng phôi lên tập compact) Điều cho ánh xạ ( đơn liên với không đồng phôi lên tập lồi) Còn phải chứng minh kết từ tính chất topo cần thiết chứng minh định lí điểm bất động Brouwer Định lí 3.15 Cho Khi không gian Banach tập đóng có mở rộng liên tục cho Chứng minh: Xét phủ mở Chọn phân hoạch (hữu hạn địa phương) phần tử đơn vị phụ thuộc vào phủ đặt với (3.34) thỏa mãn Theo xây dựng liên tục trừ biên chọn cho với Giả sử cách xây dụng Ngoài Cố định với , , Ta Theo phải gần với với , gần với ta có , (3.35) inh Th Kim Thoa 44 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Vì phân hoạch phần tử đơn vị phụ thuộc vào phủ ta tìm cho Đưa chúng lại với ta có (3.36) Theo cách chọn ta có : với , Chứng minh tương tự với Do ta hoàn thành không gian metric Cuối ta ý định lí điểm bất động Brouwer tương đương với ánh xạ co liên tục (với từ hình cầu đơn vị tới mặt cầu đơn vị Ngoài ra, ánh xạ co, , có điểm bất động theo định lí Brouwer Nhưng điều Ngược lại, hàm liên tục điểm bất động ta định nghĩa ánh xạ co , chọn cho đường nối (tức nằm giao với mặt cầu đơn vị Sử dụng tương đương này, định lí điểm bất động Brouwer suy cách dễ dàng cách nhóm đồng điều hình cầu đơn vị biên (mặt cầu đơn vị) khác 3.5 Định lí điểm bất động Kakutani Kí hiệu tập tất tập lồi khác rỗng Định lí 3.16 (Kakutani) Giả sử tập lồi, compact inh Th Kim Thoa 45 Nếu tập: K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach (3.37) đóng có điểm cho Chứng minh: Mục đích ta áp dụng định lí Brouwer, ta cần hàm liên quan đến Với mục đích thích hợp để giả thiết đơn hình , đỉnh Nếu ta chọn (3.38) ta đặt , tọa độ trọng tâm (3.39) (tức ) Theo xây dựng, Nhưng và có điểm bất động không giúp ta nhiều trừ đỉnh Do ta chọn hàm tốt sau: xét phân nhỏ trọng tâm thứ đỉnh chia nhỏ chọn phần tử nghĩa mở rộng trước Do với Bây định vào phần đơn có điểm bất động , đơn hình (3.40) Vì ta giả thiết dãy số hội tụ tới sau vượt qua dãy Vì đơn hình rút vào điểm, nghĩa theo giả thiết tính đóng (3.40) cho ta (3.41) lồi yêu cầu bất động Nếu đơn hình không đơn hình, ta chọn đơn hình chứa tiếp tục chứng minh định lí Brouwer inh Th Kim Thoa 46 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Nếu chứa cách xác điểm với định lí Kakutani quay định lí Brouwer 3.6 Các tính chất khác bậc Ta chứng minh vài tính chất phụ ánh xạ bậc Trước tiên liên quan đến bậc với bậc ta xét Theo phép nhúng tắc không gian Định lí 3.18 ( Tính chất rút gọn) Cho thì: , hình chiếu (3.50) Chứng minh: Chọn đủ gần cho Suy Cho Hơn (3.51) cho thấy Cho với Theo định lí 3.2, thành phần liên thông thành phần viết Ta kí hiệu Định lí 3.19 ( Công thức tích) inh Th Kim Thoa 47 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Cho tập mở bị chặn, Nếu thành phần liên thông , (3.52) cho số hạng khác rỗng tổng hữu hạn Chứng minh: Vì compact, ta tìm Hơn nữa, đóng, hữu hạn thành phần compact phủ Đặc biệt, trường hợp khác có : Do hữu hạn số hạng tổng khác rỗng Ta bắt đầu tính trường hợp Vì đòi hỏi phép tính trực tiếp sử dụng phủ : (3.53) Hơn nữa, công thức giữ với với xây dựng bậc Brouwer Hơn nữa, trường hợp inh Th Kim Thoa (3.54) 48 theo cách cần phải nghiên cứu cẩn K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach thận tập phụ thuộc vào Để khắc phục vấn đề ta đưa vào tập Nhận xét phải hợp số tập Chọn (3.55) cho định nghĩa với cho phù hợp Khi ta có theo định lí 3.1(iii) Hơn (3.56) Kết luận Trên toàn nội dung khóa luận ánh xạ bậc Brouwer không gian Banach mà em trình bày inh Th Kim Thoa 49 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Khóa luận đạt mục đích nghiên cứu nghiên cứu khái niệm ánh xạ bậc, xây dựng mở rộng công thức định thức, định lí điểm bất động Brouwer, định lí điểm bất động Kakutani Quá trình hoàn thành khóa luận giúp em có thêm kiến thức, kinh nghiệm Do lần đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, thời gian khả thân hạn chế nên khóa luận tốt nghiệp em không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô Em xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo 1) Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB khoa học kĩ thuật Hà Nội 2) Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (1997), Hàm biến phức, NXB đại học quốc gia inh Th Kim Thoa 50 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach 3) Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2001), Giáo trình giải tích- tập 1- Phép tính vi phân hàm biến nhiều biến, NXB đại học quốc gia Hà Nội 4) Đỗ Hồng Tân (2001), Các định lí điểm bất động, NXB đại học quốc gia 5) Gerald Teschl (2010), Nonlinear Functional Analysis, http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ inh Th Kim Thoa 51 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach inh Th Kim Thoa 52 K34- CN Toỏn [...]... nghĩa ánh xạ co Định nghĩa Một điểm bất động của ánh xạ sao cho hằng số co inh Th Kim Thoa Hơn nữa , là một phần tử được gọi là một ánh xạ co nếu có một sao cho : 19 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach (2.19) Chú ý rằng một ánh xạ co là liên tục Ta cũng nhắc lại kí hiệu 2.2.2 Nguyên lí ánh xạ co Định lí 2.4 (Nguyên lí ánh xạ co) Cho là một tập con đóng của không gian Banach một ánh xạ. .. tính giải tích trong lên không gian Banach tổng quát 2.1 Đạo hàm và tích phân trong không gian Banach 2.1.1 Đạo hàm trong không gian Banach a) Khái niệm ánh xạ khả vi Cho hai không gian Banach số liên tục từ chặn) Cho vào và , kí hiệu và là tập hợp các hàm là tập các hàm tuyến tính (bị là một tập con mở của Khi đó hàm khả vi tại được gọi là nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính sao cho (2.1) trong đó ( l... khi lấy giới hạn trong (2.22) Tiếp đến ta muốn nghiên cứu điểm cố định của các ánh xạ co biến đổi phụ thuộc tham số Định nghĩa Cho co đều nếu có mở, xét ánh xạ được gọi là (2.24) sao cho 2.2.3 Nguyên lí ánh xạ co đều inh Th Kim Thoa 20 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach Định lí 2.5 (Nguyên lí ánh xạ co đều) Cho là các tập con mở của không gian Banach Cho là một ánh xạ co đều và kí... x bc Brouwer trong khụng gian Banach cần tìm của bài toán ban đầu Chương 3 ánh xạ bậc Brouwer 3.1 Lời giới thiệu Nhiều ứng dụng dẫn đến bài toán tìm tất cả các không điểm của ánh xạ , trong đó là không gian Banach (thực) nào đó Nghĩa là ta quan tâm đến nghiệm của phương trình (3.1) Trong hầu hết các trường hợp, đây là đòi hỏi quá nhiều vì xác định không điểm một cách giải tích nói chung là không. ..nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục pô vào không gian tô pô từ không gian tô được định nghĩa là ánh xạ liên tục H : X 0,1 Y từ tích của không gian cho với mọi điểm và với đoạn đơn vị [0,1] vào sao ta có H x,0 f x và H x,1 g x thuộc Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của một "biến đổi liên tục" ánh xạ như là "thời gian" , khi đó mô tả... và được ánh xạ mỗi cho Ngoài ra chú ý rằng với ta có thể định dạng cực Nếu bởi sử dụng đối xứng nó có thể được xây dựng lại từ dạng cực của nó sử dụng Tuy nhiên, đạo hàm cấp của (2.12) là đối xứng vì , (2.13) trong đó không quan tâm đến thứ tự lấy đạo hàm riêng 2.1.2 Tích phân trong không gian Banach Ta sẽ chỉ xét trường hợp ánh xạ đoạn compact và Định nghĩa Hàm , trong đó là không gian Banach được... CN Toỏn nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach 1.3 Phép tính vi phân trên 1.3.1 Khái niệm về ánh xạ khả vi Định nghĩa Hàm được gọi là khả vi tại điểm nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính sao cho hay là trong đó là vô cùng bé khi khi ánh xạ tuyến tính tại điểm được gọi là đạo ánh hay đạo hàm của hàm vector và thường được kí hiệu là Nếu , tức là khả vi tại mọi điểm hay thì ta nói khả vi trong 1.3.2 Đạo... Toỏn nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach và được gọi là ma trận Jacobi của ánh xạ Định thức của ma trận tại được gọi là Jacobian của ánh xạ tại Kí hiệu 1.3.3 Quy tắc dây xích Định lí 1.4 Giả sử là một tập mở trong là tập mở chứa khả vi tại khả vi tại khả vi tại Khi đó ánh xạ và 1.3.4 Hàm ngược và hàm ẩn Định lí 1.5 (Hàm ngược) Cho mở Giả sử và Khi đó tồn tại một tập mở sao cho ánh xạ với mọi... Để thấy điều này ta dùng ánh xạ tuyến tính : , trong đó (2.34) Vì : , Ta suy ra và do đó Trường hợp liên tục Bây giờ nhận xét thu được từ quy nạp (2.35) Bây giờ ta tiến đến kết quả sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu trong không gian Banach Định lí 2.9 Cho Banach và là một khoảng mở, là một tập con mở của không gian là tập con mở của không gian Banach khác Giả sử thì bài... lập thành một không gian tuyến tính và có thể được trang bị chuẩn sup Không gian Banach tương ứng thu được sau khi mở rộng được gọi là tập các hàm điều chỉnh Nhận xét Thật , trong đó trưng Vì là liên tục đều ta suy ra Với vậy, xét và dãy là hàm đặc hội tụ đều đến ta có thể định nghĩa một ánh xạ tuyến tính với inh Th Kim Thoa 18 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer trong khụng gian Banach , trong đó (2.14) ... Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach 1.1.2 Không gian Banach Không gian định chuẩn gọi không gian Banach dãy hội tụ (trong ) 1.1.3 Phiếm hàm * Trong không gian vector , phiếm hàm ánh xạ gọi tuyến... động Brouwer (1912) Nguyên lí ánh xạ co Banach( 1922) Lí thuyết gắn với tên tuổi nhiều nhà toán học lớn như: Brouwer, Banach, Kakutani Bậc Brouwer khái niệm mới, đề cập đến bậc ánh xạ không gian. .. luân hai ánh xạ inh Th Kim Thoa 10 K34- CN Toỏn nh x bc Brouwer khụng gian Banach Một biến đổi đồng luân hai ánh xạ liên tục pô vào không gian tô pô từ không gian tô định nghĩa ánh xạ liên tục