BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Hữu Hòa TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại Số Lý Thuyết Số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THẦY HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Phó Giáo Sư Tiến sỹ Bùi Tường Trí, giảng viên Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Tác giả xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy bước hướng dẫn tác giả tìm hiểu kiến thức kết nghiên cứu định hướng hướng dẫn tác giả tự giải vấn đề đề đề cương luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Phó Giáo Sư Tiến sỹ Mỵ Vinh Quang, Tiến sỹ Trần Huyên người thầy nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả nâng cao chuyên môn phương pháp làm việc có hiệu suốt thời gian khóa học sau đại học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Tác giả xin trân trọng cám ơn đến quý thầy cô giáo thuộc Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Tp HCM, Phòng KHCN – SĐH Trường Đại Học Sư Phạm Tp HCM tạo điều kiện tốt giúp tác giả suốt trình tham gia khóa học trường trình hoàn thành luận văn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp bạn bè khóa học động viên, cổ vũ tinh thần giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả luận văn MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 1.1 Một số kết vành giao hoán có đơn vị 1.2 Một số khái niệm không gian tôpô 15 1.3 Một số tính chất phổ nguyên tố vành giao hoán có đơn vị 17 Chương 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA PI – VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 26 2.1 Đại số tự vành giao hoán có có đơn vị K 26 2.2 Một số kết PI – đại số nguyên thủy 33 2.3 Địa phương hóa theo tâm 41 2.4 Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thật 46 Chương 3: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – VÀNH NGUYÊN TỐ VÀ NỬA NGUYÊN TỐ 51 3.1 Ứng dụng đồng thức, đa thức tâm PI – vành 51 3.2 Phổ nguyên tố PI – vành nguyên tố nguyên tố 61 3.2.1 Sự so sánh tập ideals nguyên tố vành với phổ nguyên tố vành giao hoán 61 3.2.2 Hạng ideal nguyên tố 64 3.2.3 Phổ nguyên tố bậc n vành R 66 3.2.4 Ideal tối tiểu g n ( R ) 72 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ : Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức (theo thứ tự) S : ideal sinh tập S vành R a : ideal sinh phần tử a vành R rad ( R ) : nilradical vành R Jac ( R ) : Jacobson vành R r (α) : radial ideal α Spec(R) : phổ nguyên tố vành R Spec A ( R ) : tập hợp ideal nguyên tố vành R mà chứa tập A Spec n ( R ) : phổ nguyên tố bậc n vành R Z(R ) : tâm vành R V (E) : tập tất ideal nguyên tố p vành R mà p chứa E, với E tập R deg x i f : bậc biến x i đa thức f ( x1 , , x i , , x m ) deg f : bậc đa thức f ( x1 , , x i , , x m ) htf : chiều cao đa thức f [n] : phần nguyên số thực n RS : địa phương hóa vành R tập đóng nhân S nằm tâm R Sn ( x1 , x , , x n ) : đa thức chuẩn tắc bậc n Cn ( x1 , x , , x n ) : đa thức Capelli bậc n rank ( P ) : hạng ideal nguyên tố P MỞ ĐẦU Vấn đề trọng tâm đại số giao hoán nghiên cứu ideal nguyên tố Khái niệm ideal nguyên tố tổng quát hóa khái niệm số nguyên tố số học khái niệm tập hợp điểm hình học Vấn đề tập trung ý hình học khái niệm “lân cận điểm” đại số trình địa phương hóa vành ideal nguyên tố Việc nghiên cứu phổ nguyên tố lớp vành giao hoán có đơn vị xem hoàn chỉnh Ta cố gắng nghiên cứu tập ideals nguyên tố vài lớp PI – vành (tức vành không giao hoán) mô tả số tính chất tập ideals nguyên tố lớp PI – vành Vì lẽ đó, chọn đề tài “Tập ideals nguyên tố PI – đại số” làm chủ đề cho luận văn bước đầu tìm hiểu việc nghiên cứu, phát triển hoàn chỉnh số kết mối liên hệ tập hợp ideals nguyên tố vành R với tập ideals nguyên tố vành R1 giao hoán R đặc biệt R1 tâm vành R Hướng nghiên cứu mà tiếp cận dựa kết nghiên cứu Rowen (giao ideal khác không với tâm PI – vành nguyên tố luôn khác không), từ ta nghiên cứu tập hợp ideals nguyên tố PI – vành nguyên tố thông qua việc nghiên cứu ideals nguyên tố tâm tức vành giao hoán có đơn vị Trong luận văn tập trung nghiên cứu tập ideals nguyên tố PI – vành nguyên tố nửa nguyên tố NỘI DUNG ĐỀ TÀI Luận văn chia thành chương CHƯƠNG I: Giới thiệu vành giao hoán kết phổ nguyên tố vành giao hoán có đơn vị CHƯƠNG II: Giới thiệu PI – vành không giao hoán kết PI – vành không giao hoán CHƯƠNG III: Tìm hiểu tập hợp ideals nguyên tố PI – vành nguyên tố nửa nguyên tố Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ Định nghĩa 1.1.1: Một vành giao hoán có đơn vị tập hợp R khác rỗng với hai phép toán hai ngôi, viết theo lối cộng viết theo lối nhân, thỏa mãn điều kiện sau: i) R với phép cộng nhóm abel ii) R với phép nhân nửa nhóm iii) Phép nhân có tính phân phối phép cộng, nghĩa là: Với x, y, z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x = yx + zx iv) Với x, y ∈ A xy = yx v) Tồn phần tử ∈ R cho x1 = 1x = x với x ∈ R Trong chương đề cập đến vành giao hoán có đơn vị không nói thêm vành R thường hiểu vành giao hoán có đơn vị, tức vành thỏa mãn tính chất Định nghĩa 1.1.2: Cho R vành Vành α R gọi ideal A xa ∈ α với x ∈ α,a ∈ R Nhận xét: - Giao họ không rỗng ideal vành R ideal R - Cho S tập vành R Khi có ideal vành R chứa S (chẳng hạn R) Bởi giao tất ideal R chứa S ideal R chứa S Ideal gọi ideal sinh tập S, kí hiệu: S Hiển nhiên ideal bé (theo quan hệ bao hàm) lớp ideal R chứa S Định nghĩa 1.1.3: Ideal sinh tập gồm phần tử {a} gọi ideal sinh a, kí hiệu: a Định nghĩa 1.1.4: - Một ideal p vành R gọi ideal nguyên tố p ≠ xy ∈ p x ∈ p y ∈ p - Một ideal m vành R gọi ideal tối đại m ≠ ideal α cho: m ⊂ α ⊂ (bao hàm nghiêm ngặt) Mệnh đề 1.1.5: p ideal nguyên tố vành R A m ideal tối đại vành R A m p miền nguyên trường Hệ 1.1.6: Mọi ideal tối đại ideal nguyên tố Mệnh đề 1.1.7: Cho R vành Giả sử p ideal nguyên tố α, β ideal R Khi αβ ⊂ p α ⊂ p β ⊂ p Chứng minh: Giả sử α ⊄ p β ⊄ p Khi tồn x ∈ α; y ∈β cho x ∉ p; y ∉ p ⇒ xy ∉ p (vì p ideal nguyên tố) Mặt khác xy ∈ αβ ⊂ p ⇒ xy ∈ p (vô lý) Vậy α ⊂ p β ⊂ p Mệnh đề 1.1.8: Giả sử p ideal nguyên tố α1 , α , , α n ideal R Khi đó: n - Nếu ∩α i ⊂ p tồn i cho: αi ⊂ p i = p tồn i cho: αi = p i =1 n - Nếu ∩α i =1 Chứng minh: Bằng phản chứng giả sử αi ⊂ p; ∀i = 1, n ⇒ ∃f i ∈ α i f i ∉ p với i Suy ra: n ∏ f ∉ p (vì p ideal nguyên tố) i i =1 n n n i =1 i =1 i =1 Mặt khác fi ∈ αi , ∀i = 1, n ⇒ ∏ fi ∈ ∏ αi ⊂ ∩ αi n n ∩ αi ⊂ p nên ta có: Theo giả thiết: i =1 ∏ fi ∈ p (mâu thuẫn với i =1 n ∏f ∉ p ) i i =1 Vậy tồn i cho: αi ⊆ p n Đặc biệt nếu: ∩α i = p ⇒ p ⊂ α i ; ∀i = 1, n Mặt khác kết tồn i i =1 cho: αi0 ⊆ p Vậy tồn i cho: α i0 = p Bổ đề Zorn: Cho S tập không rỗng thứ tự ≤ Nếu tập T S, toàn phần ≤ , có cận S có phần tử tối đại Định lý 1.1.9: Mọi vành R khác có ideal tối đại Hệ 1.1.10: Nếu α ≠ ideal vành R α chứa ideal tối đại R Mọi phần tử không khả nghịch vành R chứa ideal tối đại R Định nghĩa 1.1.11: Một phần tử x ∈ R gọi lũy linh có số nguyên dương n cho: x n = Hiển nhiên, x ≠ , x lũy linh x ước Tập hợp gồm phần tử lũy linh vành R ideal R gọi nilradical R, kí hiệu: rad ( R ) Khi đó: R rad ( R ) phần tử lũy linh khác Mệnh đề 1.1.12: Nilradical vành R giao ideal nguyên tố vành R Chứng minh: Gọi ℜ giao tất ideal nguyên tố R Giả sử f ∈ R phần tử lũy linh p ideal nguyên tố Khi tồn số nguyên dương n cho: f n = ∈ p ⇒ f ∈ p (vì p ideal nguyên tố) Do đó: rad ( R ) ⊂ ℜ Ngược lại: giả sử f phần tử không lũy linh, tức ∀n ∈ ℕ* : f n > Xét Σ tập hợp gồm ideal α thỏa mãn tính chất: ∀n ∈ ℕ* : f n ∉ α Hiển nhiên Σ ≠ ∅ (vì ∈ Σ ) Σ thứ tự quan hệ bao hàm Lấy T = {αi }i∈I tập Σ thứ tự toàn phần quan hệ bao hàm Đặt β = ∪ αi Khi β ideal A, vì: ∀f ,g ∈β, ∀h ∈ A , T i∈I thứ tự toàn phần quan hệ bao hàm nên tồn αi ∈ T cho f ,g ∈ α i ⊂ β ⇒ f − g ∈ αi ⊂ β;hf ∈ αi ⊂ β Vậy β ideal A Vì αi ∈ Σ, ∀i ∈ I ⇒ f n ∉ αi , ∀i ∈ I, ∀n > ⇒ f n ∉β, ∀n > Vậy β cận Σ Theo bổ đề Zorn, tập Σ có phần tử tối đại p Ta chứng minh p ideal nguyên tố Giả sử x, y ∉ p p + x ⊃ p,p + y ⊃ p (bao hàm nghiêm ngặt) không thuộc Σ Vậy tồn m, n cho: f m ∈ p + x ,f n ∈ p + y Suy ra: f m + n ∈ p + xy , nên p + xy ∉ Σ ⇒ xy ∉ p Vậy p ideal nguyên tố Do có ideal nguyên tố p cho f ∉ p ⇒ f ∉ℜ ⇒ ℜ ⊂ rad ( R ) Vậy rad ( R ) = ℜ Định nghĩa 1.1.13: Cho α ideal vành R Tập tất phần tử x ∈ R cho có n > : x n ∈ α , gọi radical ideal α , kí hiệu: r ( α ) Mệnh đề 1.1.14: r ( α ) ideal R Mệnh đề 1.1.15: Radical ideal α giao tất ideal nguyên tố mà chứa α Chứng minh: 60 thức Ta viết R1 ≤ mult K R R1 thỏa mãn đồng thức đa tuyến tính R quan hệ K – đại số Định nghĩa 3.1.19: R1 R tương đương đa tuyến tính K – đại số R1 ≤ mult K R R ≤ mult K R1 R1 R tương đương K – đại số R1 ≤ K R R ≤ K R1 Sau ví dụ mà mối quan tâm tương đương đa tuyến tính tương đương hai vành không thực phụ thuộc vào lựa chọn đặc biệt vành K, nói hai vành tương đương đa tuyến tính hay tương đương thường hiểu vành K Ví dụ 1: Vành R mở rộng tâm vành R1 R = Z ( R ) R1 , giả sử f ( x1 , , x d ) đa thức t – tuyến tính R gọi r1 , , rt , rt +1 , , rd phần tử R, αij ∈ Z ( R ) ta có: mt  m1  mt f  ∑ αi1x1 , , ∑ α it x t , rt +1 , , rd  = ∑ αi11 αit t f x i1 , , x it , rt +1 , , rd i =1  i =1  i1 , ,it ( ) T1 , ,Td tập R f ( Z ( R ) T1 × × Z ( R ) Tt × Tt +1 × × Td ) ⊆ Z ( R ) f ( T1 × × Td ) ( ) Vậy f đồng thức R1 ta có f R 1( ) × R d − t = Vậy f đồng t thức R Mặt khác R mở rộng tâm R1 Z ( R1 ) ⊆ Z ( R ) , R1 mở rộng tâm R ta có R = Z ( R ) R1 = Z ( R ) Z ( R1 ) R = Z ( R ) R Vậy R mở rộng tâm vành R Vậy mở rộng tâm tương đương đa tuyến tính Ví dụ 2: Với K vành giao hoán ta có M n ( K ) ≤ mult ℤ M n ( ℤ ) đồng thức đa tuyến tính M n ( K ) biễu diễn qua ma trận đơn vị 61 Định nghĩa 3.1.20: Vành R vành tương đương PI – vành lớp n R ≤ mult ℤ M n ( ℤ ) g n ( R ) ≠ Lưu ý 3.1.21: Với K vành giao hoán M n ( K ) PI – vành lớp n Mọi mở rộng tâm đại số có lớp PI Hơn nữa, vành R PI – vành lớp t ≤ n R ≤ mult ℤ M n ( ℤ ) Mọi vành tương đương PI – vành lớp n có g n đa thức tâm, đa tuyến tính chuẩn tắc bậc n Từ định lý 3.1.13, 3.1.15 3.1.16 ta đưa kết vành tương đương PI – vành lớp n + Định lý 3.1.22: Giả sử R vành tương đương PI – vành lớp n ∈ g n ( R ) Khi có quan hệ 1:1 từ tập ideal A Z ( R ) đến tập ideal R cho tương ứng A → AR ánh xạ ngược tương ứng A → A ∩ Z ( R ) Hơn R Z ( R ) − mod ule hữu hạn chiều g n ( R ) chứa phần tử khả nghịch R Z ( R ) − mod ule tự n chiều 3.2 PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA PI – VÀNH NGUYÊN TỐ VÀ NỮA NGUYÊN TỐ: Định lý 3.1.22 g n ( R ) “đủ rộng” vành R thuộc tập hợp PI – vành lớp n R có tính chất đẹp Chính điều mong đợi tập ideal nguyên tố không nằm g n ( R ) có tính chất đẹp tương tự vành R Trong phần nghiên cứu tập ideal nguyên tố nằm tâm R, tập ideal nguyên tố mà có liên quan đặc biệt với g n ( R ) 3.2.1 SỰ SO SÁNH TẬP CÁC IDEAL NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH BẤT KỲ VỚI PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA MỘT VÀNH CON GIAO HOÁN: Định nghĩa 3.2.1.1: Phổ nguyên tố vành R tập ideal nguyên tố vành R Kí hiệu: Spec(R) 62 Quan hệ phổ nguyên tố vành R quan hệ tập hợp { } Cho A ⊆ R , đặt: Spec A ( R ) = P ∈ Spec ( R ) A ⊆ P Phổ nguyên tố vành đóng vai trò quan trọng đại số giao hoán thấy số định lý phổ nguyên tố vành giao hoán mở rộng đến PI – vành Giờ so sánh so sánh phổ nguyên tố vành giao hoán với phổ nguyên tố vành không giao hoán Trong phần ta giả thiết R1 vành vành R Đầu tiên bắt đầu cách mở rộng ideal hữu ích R từ R1 Định nghĩa 3.2.1.2: Giả sử A ' ⊆ R B ⊲ R1 Ideal B' R ( A ', B ) – tối đại A ' ⊆ B' B' tối đại tập hợp {I ⊲ R I ∩ R1 ⊆ B} Lưu ý: Nếu A ' ⊲ R, B ⊲ R1 A '∩ R1 ⊆ B ideal ( A ', B ) – tối đại tồn theo bổ đề Zorn Hơn nữa, ( A ', B ) – tối đại ( 0, B ) – tối đại Mệnh đề 3.2.1.3: Giả sử A ' ⊆ R , B ⊲ R1 B' ideal ( A ', B ) – tối đại Khi đó, B ideal nguyên tố (tương ứng nguyên tố) R1 B' ideal nguyên tố (tương ứng nguyên tố) R Chứng minh: Giả sử B'1 , B'2 ⊆ B' mà B'1 B'2 ⊆ B' Khi đó: ( B'1 ∩ R1 )( B'2 ∩ R1 ) ⊆ B'1 B'2 ∩ R1 ⊆ B'∩ R1 ⊆ B Nếu B ideal nguyên tố (tương ứng nguyên tố) R1 với B'1 = B'2 có B1 '∩ R1 ⊆ B B2 '∩ R1 ⊆ B , B1 ' = B' B2 ' = B' ( B' ideal ( A ', B ) – tối đại) Vậy B' ideal nguyên tố (tương ứng nguyên tố) R Định nghĩa 3.2.1.4: Cho P1 , P2 hai ideal nguyên tố phổ nguyên tố vành R1 , đó: P1 ⊆ P2 Kí hiệu: • LO ( P1 ) có nghĩa là: tồn ideal nguyên tố P '1 phổ nguyên tố vành R cho: P '1 ∩ R1 = P1 63 • GU ( P1 , P2 ) có nghĩa là: với ideal nguyên tố P '1 với P '1 ∈ LO ( P1 ) tồn ideal nguyên tố P '2 phổ nguyên tố vành R cho: P '2 ∈ LO ( P2 ) mà P '1 ⊆ P '2 • INC ( P1 ) có nghĩa là: với ideal nguyên tố P '1 , P"1 với P '1 , P"1 ∈ LO ( P1 ) so sánh P '1 ⊆ P"1 Nếu LO ( P1 ) (tương ứng GU ( P1 , P2 ) , INC ( P1 ) ) đối ideal nguyên tố P '1 , P"1 phổ nguyên tố vành R1 mà P '1 ⊆ P"1 ta nói R1 ⊆ R thỏa mãn LO (tương ứng GU, INC) GU ( , P ) có nghĩa GU ( P1 , P ) với ideal nguyên tố P1 phổ nguyên tố vành R1 Lưu ý 3.2.1.5: - Nếu R mở rộng R1 P ' ideal nguyên tố (tương ứng nguyên tố) R R1 ∩ P ' ideal nguyên tố (tương ứng nguyên tố) vành R1 Đặc biệt, với P ' = R vành nguyên tố (tương ứng nguyên tố) vành R1 vành nguyên tố (nữa nguyên tố) Thật vậy: giả sử R vành nguyên tố (tương ứng nguyên tố) AB ⊆ R1 ∩ P ' với A, B ⊲ R1 Khi đó: ( RA )( RB ) ⊆ P ' RA ⊆ P ' RB ⊆ P ' A ⊆ R1 ∩ P ' B ⊆ R1 ∩ P ' hay ta có R1 vành nguyên tố (tương ứng nguyên tố) Mệnh đề 3.2.1.6: Mọi mở rộng vành R R1 thỏa mãn GU ( , P ) ideal ( 0, P ) – tối đại R mà thuộc LO ( P ) Chứng minh: ⇒) Giả sử P ' ideal ( 0, P ) – tối đại Khi P ' ∈ Spec ( R ) ta đặt P1 = P '∩ R1 ideal nguyên tố Spec ( R1 ) Do tồn P2 ' ∈ Spec ( R ) 64 cho P2 ' ∈ LO ( P ) mà P ' ⊆ P2 ' Theo cách lựa chọn P ' ta có P ' = P2 ' Vậy P ' ∈ LO ( P ) ⇐) Giả sử P1 ⊆ P hai ideal nguyên tố Spec ( R ) P1 ' ∈ LO ( P1 ) Đặt P ' ideal ( P1 ', P ) – tối đại Khi P ' ideal ( 0, P ) – tối đại Do ta có P1 ' ∈ LO ( P ) điều chứng tỏ thỏa mãn GU ( P1 , P ) Hệ 3.2.1.7: Mọi mở rộng GU ( , P ) thỏa mãn LO ( P ) GU thỏa mãn LO Chúng ta xem ideal tối đại GU Mệnh đề 3.2.1.8: Giả sử R mở rộng vành R1 thỏa mãn GU Khi tồn song ánh từ tập ideal tối đại vành R đến tập ideal tối đại vành R1 , cho quan hệ sau: P ' → P1 ∩ P ' Chứng minh: Giả sử P1 ' ideal tối đại R, đặt P1 = P1 ∩ P ' Gọi P2 ideal tối đại R1 Khi ta có: P2 ⊇ P1 Bằng cách áp dụng tính chất GU ( P1 , P1 ) cho P1 ' ta có: P1 ' ∈ LO ( P ) Do đó: P1 = P2 ideal tối đại R1 Mặt khác P ideal tối đại R1 Lấy P ' ∈ Spec ( R ) cho P ' ∈ LO ( P ) Khi ideal tối đại P" ⊇ P ' ta có P" ∈ LO ( P ) Hệ 3.2.1.9: Nếu R mở rộng R1 thỏa mãn GU Khi giao tất ideal tối đại R1 giao tất ideal tối đại R giao với R1 3.2.2 HẠNG CỦA IDEAL NGUYÊN TỐ: Giả sử P ideal nguyên tố phổ nguyên tố R Ta định nghĩa hạng ideal nguyên tố P, kí hiệu rank ( P ) quy nạp sau: Nếu P ideal tối tiểu Spec ( R ) hạng P 0; ngược lại hạng ideal nguyên tố P xác định sau: 65 { } rank ( P ) = + max rank ( Q ) Q ⊂ P,Q ∈ Spec ( R ) Nói cách khác hạng ideal nguyên tố P số nguyên dương m lớn chuỗi P0 ⊂ P1 ⊂ P2 ⊂ ⊂ Pm = P P0 , P1 , P2 , , Pm = P ∈ Spec ( R ) Hạng ideal nguyên tố P không thiết phải hữu hạn, hạng ideal nguyên tố P hữu hạn có nhiều ứng dụng hữu ích Với kí hiệu địa phương hóa xem xét vài ứng dụng ideal nguyên tố P có hạng hữu hạn Bổ đề 3.2.2.1: Giả sử S vị nhóm Z ( R ) P ∉ Spec ( R ) với P ∩ S = ∅ Nếu tồn r ∈ R , s ∈ S cho rs −1 ∈ PS r ∈ P Chứng minh: Giả sử tồn x ∈ P,s1 ∈ S cho: rs −1 = xs1−1 Khi đó: rs −1 − xs1−1 = ⇒ ∃s ∈ S : ( rs − xs1 ) s = ⇒ rss ∈ P ⇒ r ∈ P Mệnh đề 3.2.2.2: Giả sử S vị nhóm Z ( R ) Khi tồn song ánh { } tắc, tương ứng : từ P ∈ Spec ( R ) P ∩ S = ∅ đến Spec ( R S ) cho tương ứng P → PS ánh xạ ngược xác định quan hệ B → νS−1 ( B ) , với B ∈ Spec ( R S ) Đặc biệt với ideal nguyên tố P Spec ( R ) mà P ∩ S = ∅ có rank ( PS ) = rank ( P ) Chứng minh: Nếu B ∈ Spec ( R S ) hiển nhiên ta có νS−1 ( B ) ∈ Spec ( R ) νS−1 ( B ) ∩ S = ∅ Phần lại mệnh đề suy từ bổ đề 3.2.2.1 Định nghĩa: Hạng vành R, kí hiệu rank ( R ) , xác định bởi: { } rank ( R ) = max rank ( P ) P ∈ Spec ( R ) Hệ 3.2.2.3: Với S vị nhóm Z ( R ) Ta có: 66 rank ( R ) ≥ rank ( R S ) Sau số kết tương tự mở rộng tùy ý Mệnh đề 3.2.2.4: Giả sử R mở rộng R1 i Nếu mở rộng thỏa mãn INC P ∈ Spec ( R1 ) Khi với P ' ∈ Spec ( R ) P ' ∈ LO ( P ) ta có: rank ( P ') ≤ rank ( P ) ii Nếu mở rộng thỏa mãn GU rank ( P ) = k , P ∈ Spec ( R1 ) tồn P ' ∈ LO ( P ) cho rank ( P ') ≥ k iii Nếu mở rộng thỏa mãn GU INC P ∈ Spec ( R1 ) tồn P ' ∈ LO ( P ) cho rank ( P ') = rank ( P ) Chứng minh: i) Giả sử ta có: P '0 ⊂ P '1 ⊂ ⊂ P 'm = P ' Đặt Pi = P 'i ∩ R1 với i = 0,1, , m Theo tính chất mở INC ta có: P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pm = P , rank ( P ') ≤ rank ( P ) ii) Giả sử P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pk = P với P0 , P1 , , Pk = P ideal nguyên tố Spec ( R1 ) Khi ta lấy P '0 ∈ LO ( P0 ) cách áp dụng quy nạp GU ( Pi , Pi +1 ) cho P 'i ta có P 'i +1 ⊃ Pi P 'i +1 ∈ LO ( Pi +1 ) Do rank ( P ') ≥ k iii) Được suy trực tiếp từ i ii Hệ 3.2.2.5: Nếu R mở rộng R1 thỏa mãn INC GU rank ( R ) = rank ( R1 ) 3.2.3 PHỔ NGUYÊN TỐ BẬC n CỦA VÀNH R: Chúng ta làm rõ tập ideal nguyên tố cho trường hợp R PI – vành lớp n với tâm Z R1 = Z (hiển nhiên R mở rộng Z) Ta giả sử + ≠ g n ( R ) ⊲ Z 67 Định nghĩa 3.2.3.1: Phổ nguyên tố bậc n vành R, kí hiệu: Specn ( R ) { } xác định bởi: Spec n ( R ) = P ∈ Spec ( R ) g n ( R ) ⊆ P Phổ nguyên tố bậc n tâm Z, kí hiệu: Spec n ( Z ) xác định bởi: { } Spec n ( Z ) = P ∈ Spec ( Z ) g n ( R ) ⊆ P Sau mối quan hệ đẹp Spec n ( R ) Spec n ( Z ) Lưu ý 3.2.3.2: Giả sử P ∈ Spec ( Z ) , P ' ∈ Spec ( R ) P '∩ Z ⊆ P Khi P ⊆ P ' PP ⊆ P 'P (hiển nhiên từ bổ đề 3.2.2.1) Định lý 3.2.3.3: Giả sử P ∈ Specn ( Z ) Khi tồn ideal nguyên tố P ' ∈ Spec ( R ) P ' ∈ LO ( P ) ; chí P ' chứa ideal R mà có giao với tâm Z bị chứa P Do với P1 , P2 ∈ Spec n ( Z ) ta có quan hệ LO ( P1 ) ,GU ( P1 , P2 ) INC ( P1 ) từ Z đến R Chứng minh: Bổ đề 3.2.3.4: Giả sử g đa thức tâm, đa tuyến tính vành R ∈ g ( R ) R + ∈ g ( R ) Chứng minh: + Theo lưu ý 3.1.11 ta có g ( R ) ⊲ Z + Nếu g ( R ) = Z chứng minh xong + Ngược lại, gọi P ideal tối đại Z mà chứa g ( R ) Lấy B ideal tối đại R P Đặt R = R P B Do ∈ g ( R P ) R P g ( R P ) = g ( R )P ⊆ ZP nên suy g đồng thức tâm R ( ) Mặt khác ≠ g R ( ) g R + ( ) =Z R + ( ) ( ) ⊲ Z R R vành đơn nên Z R trường Do 68 ( ) ( ) = (g ( R Vậy ta có: ( ZP + B ) B ⊆ Z R = g R + P ) + ) +B B + Suy ra: 1.1−1 ∈ g ( R P ) + B k Mà 1.1−1 = ∑ ziS−1 + b với zi ∈ g ( R ) ,s ∈ S, b ∈ B i =1 k Do b = 1.1−1 − ∑ si z −1 ∈ ZP ∩ B ⊆ PP ⇒ 1.1−1 ∈ PP i =1 + Vậy ∈ g ( R ) Bổ đề 3.2.3.5: Nếu C 2n +1  X 4n + ,g n  đồng thức R + S ∩ g n ( R ) R ≠ ∅ ta có đẳng thức ZS = Z ( R S ) = g n ( R S ) có tương ứng 1:1 từ tập ideal ZS đến tập ideal R S cho tương ứng A → AR ánh xạ ngược A → A ∩ ZS , [ R S : ZS ] hữu hạn Chứng minh: Ta có R S R tương đương đa tuyến tính nên C2n +1  X 4n + ,g n  đồng thức R S g n đồng thức tâm vành R S Hơn g n đồng thức đa tuyến tính suy ra: g n ( R S ) R S = ( g n ( R ) R )S , + + ∈ g n ( R S ) R S theo mệnh đề 3.2.3.4 ∈ g ( R ) Nhưng g n ( R S ) ⊲ Z ( R S ) + ( Z ( R S ) = g n ( R S ) = g n ( R ) + ) S ⊆ ZS ⊆ Z ( R S ) + Vậy ta có: ZS = Z ( R S ) = g n ( R S ) Phần lại chứng minh suy từ định lý 3.1.14 Ta tiếp tục chứng minh định lý 3.2.1: PP tối đại ZP , theo định lý 3.2.3.5 tồn ideal tối đại P1 R P mà P1 ∈ LO ( P ) Mặt khác theo bổ đề 3.2.2.2 lưu ý 3.2.3.2 tồn P ' ∈ Spec ( R ) P ' ∈ LO ( P ) Phần lại định lý suy trực tiếp từ nhận xét sau: 69 Nếu A ⊲ R A ∩ Z ⊆ P A ⊆ P ' Thật vậy, gọi Pɶ ( A, P ) – tối đại Do Pɶ ∈ Spec ( R P ) Pɶ P ⊆ P 'P nên theo ɶ ⊇ A bổ đề 3.2.3.5 suy ra: P ' ⊇ P Trước đến hình thức cuối định lý 3.2.3.3 xét đến ideal tối đại Bổ đề 3.2.3.6: (trong kết ta không cần đòi hỏi vành R PI – vành lớp n) Giả sử R ảnh đồng cấu R cho với đa thức đa tuyến tính phù hợp, ( ) ( ) g đồng thức tâm R ∈ g R R Z = g R + ( ) =Z R Chứng minh: ( ) Theo bổ đề 3.2.3.4 ta có: ∈ g R ( ) Mặt khác g R + + ( ) ( ) ⊲ Z ( R ) nên ta có: Z R = g R + + ( ) = g (R ) ⊆ Z ⊆ Z R Do ta có đẳng thức cần chứng minh Hệ 3.2.3.7: Giả sử P ∈ Spec n ( R ) ideal tối đại vành R Khi Z ( R P ) ≈ Z Z ∩ P đẳng cấu tắc Do Z ∩ P ideal tối đại Z Chứng minh: ( ) Đặt R = R P ≠ g R + ( ) ⊲ Z R trường nên theo bổ đề 3.2.3.6 ta có: ( ) Z R = Z ≈ Z Z∩P Định lý 3.2.3.8: Giả sử P ideal tối đại Z P ∈ Specn ( Z ) Khi PR ideal tối đại R ideal thực chứa P Chứng minh: Theo định lý 3.2.3.3 tồn P ' ∈ Spec ( R ) , P ' ∈ LO ( P ) Đặt A = PR Ta có: Z ∩ A = P Đặt kí hiệu cho ảnh đồng cấu chiếu tắc R = R A 70 + Khi đó: Z ≈ Z P trường, ∈ g n ( R ) ( ) Mặt khác theo bổ đề 3.2.3.6 ta có Z R = Z trường Do theo định lý 3.1.17 R vành đơn PR tối đại Hệ 3.2.3.9: Nếu P ' ∈ Spec n ( R ) ideal tối đại R, P '∩ Z ideal tối đại Z P ' = ( P '∩ Z ) R Chứng minh: Hiển nhiên cách áp dụng hệ 3.2.3.9 vào định lý 3.2.3.8 Bây nghiên cứu tiếp định lý 3.2.1 Bổ đề 3.2.3.10: Giả sử P ∈ Spec ( Z ) P ' ( 0, P ) – tối đại (trong R) Nếu P ∈ Spec n ( R ) P ∈ Specn ( Z ) P ⊆ P ' Chứng minh: Ta có: P 'P ideal tối đại R P P 'P ∈ Specn ( R P ) Theo hệ 3.2.3.9 P 'P ∩ Z ( R P ) tối đại Z ( R P ) + ( Vậy suy ra: 1.1−1 ∈ P 'P + g ( R P ) = P '+ g ( R ) + ) P + ⇒ ∃p ∈ P ', x ∈ g ( R ) ,s ∈ Z − P : p + x = s ⇒ p = s − x ∈ P '∩ Z ⊆ P ⇒ x ∉ P (vì P ∈ Spec n ( R ) ) Bổ đề 3.2.3.10 đưa định lý 3.2.3.3 vấn đề thực mong đợi, biết P ' ∈ Spec n ( R ) P '∩ Z ∈ Spec n ( Z ) theo kết biết trước nói vắn tắt số kết cho Jacobson Lưu ý 3.2.3.11: Jac ( R ) ∩ Z ⊆ Jac ( Z ) −1 Thật z ∈ Jac ( R ) ∩ Z (1 − z ) ∈ Z , chứng tỏ Jac ( R ) ∩ Z tựa nghịch đảo Z Do z ∈ Jac ( Z ) 71 Mệnh đề 3.2.3.12: Cho R PI – vành đơn thỏa mãn đồng thức bậc d Nil ( R ) = Hơn R chứa PI – vành lớp nhỏ  d   2 ideal R có giao khác rỗng Z ( R ) giao chứa R Do đó: R ≤ M d   2 ( ℤ [ ξ ]) Lưu ý 3.2.3.13: Cho R PI – vành đơn Khi Jac ( Z ) = Jac ( R ) = Thật ta có Jac ( R ) ∩ Z = , sau áp dụng kết mệnh đề 3.2.3.12 ta có Jac ( R ) = Nói chúng trường hợp tổng quát Jac ( R ) ∩ Z ≠ Jac ( Z ) nhiên ta có điều ngược lại tức R PI – vành đơn, Jac ( R ) = Jac ( Z ) = Định lý 3.2.3.14: Nếu Jac ( R ) = Ann Z ( g n ( R ) ) = Jac ( Z ) = Chứng minh: Đặt I = g n ( R ) J = Jac ( Z ) Nếu IJ ≠ tồn ideal tối đại P ' R không chứa IJ Theo hệ 3.2.3.7 ta có: Z ∩ P ' tối đại Z IJ ⊆ J ⊆ Z ∩ P ' , trái với cách chọn P ' Do IJ = ⇒ J = Đặc biệt R vành đơn Jac ( R ) = Jac ( Z ) = Kết mở mộng đến kết tốt đẹp hợp cho R PI – vành bất kỳ, Jac ( R ) = Jac ( Z ) = Ta chứng minh kết vành đơn vị 72 3.2.4 IDEAL TỐI TIỂU ĐỐI VỚI g n ( R ) : Chúng ta tiếp tục nghiên cứu với vành R PI – vành lớp n tâm vành R Z Chúng ta muốn kết phần xa tập ideal nguyên tố chiếm phần lớn Spec n ( R ) Lưu ý 3.2.4.1: Giả sử có dãy giảm ideal nguyên tố P1 ⊃ P2 ⊃ P3 ⊃ Spec ( R ) ( ∩ P ) ∈ Spec ( R ) Do theo bổ đề Zorn Spec i i A (R ) có phần tử tối tiểu phần tử gọi A – tối tiểu nguyên tố Hơn nữa, P ∈ Spec A ( R ) P chứa A – tối tiểu nguyên tố {0} – tối tiểu nguyên tố ideal nguyên tố có hạng Định nghĩa 3.2.4.2: Cho R vành nguyên tố Khi ideal tối tiểu nguyên tố ideal nguyên tố có hạng Thật tốt ideal tối tiểu nguyên tố vành R chứa + g n ( R ) trường hợp không ta cần phải có số điều kiện sau: Định lý 3.2.4.3: Nếu P1 ⊂ P2 ∈ Spec ( Z ) P2 g n ( R ) – tối tiểu, GU ( P1 , P2 ) từ Z đến R Chứng minh: Hiển nhiên ta có P1 ∈ Spec n ( Z ) Gọi P '1 ∈ LO ( P1 ) P '2 ( P '1 , P2 ) – tối đại + Theo bổ đề 3.2.3.10 ta có P '2 ∉ Spec n ( R ) Do g n ( R ) ⊆ Z ∩ P '2 ⊆ P2 , mặt khác P2 ⊆ Z ∩ P '2 Vậy ta có: P2 = Z ∩ P '2 Hệ 3.2.4.4: Nếu P ∈ Spec ( Z ) g n ( R ) – tối tiểu, LO ( P ) từ Z đến R Mệnh đề 3.2.4.5: Nếu R vành nguyên tố ideal tối tiểu nguyên tố Z thỏa mãn LO Chứng minh: Ta có P ∈ Specn ( Z ) P g n ( R ) – tối tiểu 73 KẾT LUẬN Việc nghiên cứu phổ nguyên tố, Spec(R), vành giao hoán R có đơn vị vấn đề trung tâm đại số giao hoán Khi R vành không giao hoán việc nghiên cứu Spec(R) trở nên khó khăn nhiều Luận văn giới hạn việc nghiên cứu tập hợp ideals nguyên tố, Spec(R) số lớp PI – vành với R thuộc số lớp PI – vành đặc biệt như: PI – vành nguyên tố, PI – vành nguyên tố Ta biết R vành giao hoán có đơn vị Spec(R) có cấu trúc không gian tô pô compact Khi R không giao hoán vấn đề đặt phải tập ideals nguyên tố, Spec(R) đủ lớn, đủ nhiều Do vấn đề phải nghiên cứu tìm mối liên hệ tập hợp ideals nguyên tố vành R với tập hợp ideals nguyên tố vành R1 giao hoán R đặc biệt R1 tâm vành R Vấn đề giải thông qua mệnh đề 3.2.1.3, mệnh đề 3.2.1.6, mệnh đề 3.2.1.8, định lý 3.2.3.3, định lý 3.2.3.8 Đặc biệt trường hợp R PI – vành lớp n nguyên tố nguyên tố vấn đề giải cách đẹp rõ ràng thông qua định lý 3.2.4.3, hệ 3.2.4.4 mệnh đề 3.2.4.5 Nói chung việc nghiên cứu phổ nguyên tố vành không giao hoán hay hẹp PI – vành toán khó đại số không giao hoán Với trình độ hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến quý báu quý thầy cô bạn đồng nghiệp 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp (2005), Tô pô Đại Cương, Nhà xuất giáo dục M.F Atiyah and I.G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, The Advanced Book Program Persues Books, Cambridge, Massachusetts Nathan Jacobson (1975), PI-Algebra an Introduction, Springer-Verlag Berlin, Heidelbfrg, New York [...]... Khi đó ta kí hiệu: V = V ( α ) Phần bù của tập con đóng trong Spec(R) được gọi là tập con mở trong Spec(R) Ví dụ phổ ngun tố của vành số ngun ℤ Ta đã biết các ideal trong ℤ có dạng: nℤ, n ∈ ℤ Theo định nghĩa của ideal ngun tố và số ngun tố trong ℤ ta thấy các ideal ngun tố trong ℤ là ideal 0 và ideal pℤ , trong đó p ∈ P , với P là tập hợp các số ngun tố của ℤ Vậy Spec( ℤ ) = { p , p = 0 hoặc p... đồng nhất thức thật sự của mọi ảnh đồng cấu khác 0 Vậy ta có một định nghĩa khác của PI – đại số như sau: Định nghĩa 2.1.8: R là đại số trên K được gọi là PI – đại số nếu tồn tại một đồng nhất thức f của R sao cho Sf R = R với Sf là tập gồm các hệ số của f Định lý 2.1.9: (Amitsur) Nếu R là PI – đại số thì tồn tại số ngun dương m và n sao cho Sm2n là đồng nhất thức của R Chứng minh: Giả sử f là đồng... do m là ideal tối đại của R, nên ∃i 0 ∈ {1, , n} : m ⊃ mi0 Suy ra m = mi0 (vì mi0 là ideal tối đại của R) Vậy trong R chỉ có hữu hạn các ideal tối đại 1.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN TƠPƠ Định nghĩa 1.2.1: Cho một tập hợp X Một họ τ gọi là một tơpơ trên X nếu tỏa mãn các điều kiện: ( τ1 ) X và ∅ ( τ2 ) thuộc τ ; Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ; ( τ3 ) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là... thể và đại số trên K Khi đó ∆ chứa trường con tối đại F (trên K) và với mọi trường con F như thế thì tâm tập của trường con F trong thể ∆ là: C∆ ( F ) = {c ∈ ∆ / cf = fc,f ∈ F} = F Định nghĩa 2.2.4: Cho R là đại số trên K, đại số đối của R, kí hiệu R 0 , là đại số sao cho: R 0 = R và R 0 là K – mơ đun và phép nhân, kí hiệu a ∗ b , được định nghĩa như sau: a ∗ b = ba Mệnh đề 2.2.5: Cho R là đại số con... ngun tố của một vành R là khơng gian compact và do đó với tập con E của R ta ln có V(E) là tập compact trong Spec(R) 26 Chương 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA PI – VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 2.1 ĐẠI SỐ TỰ DO TRÊN VÀNH GIAO HỐN CĨ CĨ ĐƠN VỊ K: Định nghĩa 2.1.1: Cho K là vành giao hốn có đơn vị Ta nói R là một đại số trên vành K nếu: R là một vành và R là K – mơ đun Ngồi ra giữa phép nhân vơ hướng và phép nhân trong. .. có mặt trong g thì ∆ xxij g là tổng của các đơn thức khác nhau trong g k trong đó: x i ; x j có mặt trong g k và có tính chất nếu ta thay x j bởi x i trong g k thì g k trở thành g • Nếu f là đa thức trộn đều với deg xi f > 1 và deg x j f = 0 thì ∆ xxij f trộn đều, deg ∆ xxij f ≤ deg f ;deg xi ∆ xxij f = deg xi f − 1; ht∆ xxij f < htf và tập hợp các hệ số của ∆ xxij f là tập con của tập các hệ số của... đồng cấu khác 0 của đại số R hay nói cách khác nếu f là đồng nhất thức thật sự của đại số R thì R được gọi là PI – đại số 28 Nếu S là tập con của K khi đó SR = {∑ αi ri / αi ∈ S, ri ∈ R} là một ideal của R Giả sử f là đồng nhất thức của R Khi đó f là đồng nhất thức cho mọi ảnh đồng cấu khác 0 của R Do đó f là đồng nhất thức thật sự khi và chỉ khi Sf R ≠ 0 với Sf là tập gồm các hệ số của f Hiển nhiên... là ideal nguyên tố trong R ⇔ f là lũy linh trong R 2) X f = X ⇔ f là khả nghịch trong R 22 Giả sử f khơng khả nghịch, suy ra f thuộc một ideal tối đại nào đó mà mọi ideal tối đại cũng là ideal ngun tố nên V ( f ) ≠ ∅ , do đó X \ V ( f ) ≠ X ⇒ X f ≠ X (trái với giả thiết) Ngược lại, giả sử f là khả nghịch trong R ⇔ f = 1 ⇒ V ( f ) = V (1) ⇒ V (f ) = ∅ ⇒ Xf = X Vậy X f = X ⇔ f là khả nghịch trong R Đặc... chính quy mạnh trên đại số R nếu f là đồng nhất thức khác 0 và mọi hệ số khác 0 của f đều là phần tử đơn vị hoặc khả nghịch của K 29 Nếu f là đồng nhất thức chính quy mạnh của đại số R thì nó cũng là đồng nhất thức chính quy mạnh cho đại số con của R và ảnh đồng cấu của đại số R Định nghĩa 2.1.11: Một đơn thức x i1 x i2 x ir được gọi là có mặt trong đa thức f nếu nó có hệ số khác 0 trong biểu diễn của... G – giá trị với nghĩa là f j ( a1 ,a 2 , ,a m ) ∈ G; ∀a i ∈ A nếu f là G – giá trị Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp theo t là số các biến x i có mặt trong đa thức f mà f khơng trộn đều Nếu t = 0 thì f là đa thức trộn đều Nếu t > 0 , giả sử f khơng trộn đều theo x1 Đặt f ' = f ( 0, x 2 , , x m ) và f " = f − f ' Khi đó f ' là tổng các số hạng trong f mà x1 khơng có mặt Do đó số các biến x i trong