BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Đinh Quang Đức VỀ TÍNH COFINITE CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Đinh Quang Đức VỀ TÍNH COFINITE CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI NÓI ĐẦU Mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng nhà toán học Herzog đưa năm 1974 Cho R vành Noether, giao hoán có đơn vị ≠ 0, I ideal R; M N Rmô đun, đó: H i I ( M , N ) = lim Ext R ( M / I n M , N ) i → n gọi mô đun đối đồng điều địa phương thứ i N ứng với M Đây tổng quát hóa mô đun đối đồng điều địa phương Grothendieck Bên cạnh khái niệm mô đun cofinite Hartshone đưa nhằm giải vấn đề Grothendieck đặt trước năm 1962: “Khi mô đun Hom A (A/I, Hi I (M)) hữu hạn sinh với ideal I A với mô đun hữu hạn sinh R R P R P R M?” Sau đó, vấn đề mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng mô đun cofinite nhà toán học nghiên cứu phát triển: Suzuki, Yassemi, Zamani, Gu, Hartshone, K-I Kawasaki, K-I Yoshida, Nguyễn Tự Cường, Trần Tuấn Nam, Hiện nay, trở thành đề tài hấp dẫn nhà toán học Nhiều tính chất mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng tìm nhiều tính chất mà nhà toán học chưa khám phá hết Trong đó, tính cofinite mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng vấn đề hấp dẫn Luận văn giới thiệu số tính chất môđun đối đồng điều địa phương suy rộng, phần sau giới thiệu tính cofinite Cuối cùng, Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Trần Tuấn Nam, người trực tiếp tận tình giúp đỡ hướng dẫn luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Văn Tấn, TS Phan Dân, Tổ Toán, Trường Đại học Giao thông Vận tải Tp Hồ Chí Minh động viên, tạo điều kiện thuận lợi mặt suốt trình học tập làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích giúp làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn lớp, bạn đồng nghiệp Lãnh đạo Trường Đại học Giao thông Vận tải Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện mặt để tác giả hoàn thành tốt chương trình học Vì kiến thức thân nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong bảo Quý Thầy, Cô góp ý chân thành bạn Thành phố Hồ Chí Minh tháng 08 năm 2011 Đinh Quang Đức Mục Lục Mục Lục Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Giới hạn thuận, giới hạn ngược, Ideal nguyên tố liên kết giá Số chiều – chiều cao – dãy phần tử quy – độ sâu Chiều nội xạ - chiều xạ ảnh – bao nội xạ 10 Mô đun đối đồng điều địa phương – biến đổi ideal 11 Phức Koszul – dãy phổ 14 Chương 19 Tính cofinite mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng 20 § Mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng 20 § Tính cofinite mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng 38 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 5T T 5T 5T 5T T 5T T 5T T 5T T 5T 5T 5T T 5T T 5T T 5T 5T 5T T T 5T Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Giới hạn thuận, giới hạn ngược, Ideal nguyên tố liên kết giá Giới hạn thuận Tập thứ tự phận thở với i, j ∈ I tồn k ∈ I cho i ≤ k j ≤ k gọi tập định hướng Cho tập định hướng I , Ω phạm trù môđun vành R, ( M i )i∈I họ R – môđun Với cặp i, j ∈ I cho i ≤ j , giả sử có đồng cấu R – môđun ϕ ij : M i → M j thỏa: ϕii = id ϕki = ϕkjϕ ij với i ≤ j ≤ k Họ R – môđun M i đồng cấu ϕ ij gọi thuận tập định hướng I R R Cho hệ thuận đồng cấu (ϕ ij ) Xét phạm trù mà vật cặp ( M , ϕ i ) với ϕ i : M i → M cho sơ đồ sau giao hoán ϕ ij M i → M j ϕi ] [ ϕj M Vật khởi đầu phạm trù gọi giới hạn thuận họ đông cấu (ϕ ij ) Kí hiệu: C = lim uuur M i i∈I Tính phổ dụng giới hạn thuận tính phổ dụng vật khởi đầu Giới hạn ngược Trong phạm trù R – môđun, cho họ R – môđun ( M i )i∈I tập định hướng I Với cặp i, j ∈ I cho j ≤ i , giả sử có đồng cấu R – môđun ϕi j : M j → M i thỏa: ϕii = id ϕkj = ϕki ϕi j với j ≤ i, k ≤ i Trong phạm trù mà vật cặp ( M , ϕi ) với ϕi : M → M i cho sơ đồ sau giao hoán M ϕj [ ] ϕi ϕ ij M i → M j Vật tận phạm trù gọi giới hạn ngược hệ Kí hiệu: C = lim suuu M i i∈I Tính phổ dụng giới hạn ngược tính phổ dụng vật tận Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành, M R – môđun, idean nguyên tố P gọi idean nguyên tố liên kết M tồn x ∈ M , x ≠ : P = ann ( x ) Tập idean nguyên tố liên kết M ký hiệu Ass ( M ) { } P ∈ Spec ( R ) M P ≠ Giá môđun M, ký hiệu Supp ( M ) = { } Đặt V ( I ) = P ∈ Spec ( R ) I ⊂ P ≠ Nếu M R – môđun hữu hạn sinh Supp ( M ) = V ( ann ( M ) ) Nếu R vành Noether I idean R Supp ( A / I ) = V ( I ) Mệnh đề 1.1.2 Cho R vành Noether, M R – môđun hữu hạn sinh, I idean R Khi Supp ( M ) ⊂ V ( I ) tồn số nguyên k cho I k M = Mệnh đề 1.1.3 Cho M,N R – môđun hữu hạn sinh Khi đó, Supp ( M ⊗ R N ) = Supp ( M ) I Supp ( N ) Hệ 1.1 Cho M R – môđun hữu hạn sinh, I idean R., Supp ( M / IM = = ) V ( I ) I V ( annM ) V ( I + annM ) Mệnh đề 1.1.5 Cho R vành Noether, M R – môđun khác • Phần tử tối đại F = {ann ( x ) x ∈ M } idean nguyên tố liên kết M hay Ass ( M ) ≠ • Tập ước không M hợp idean nguyên tố liên kết M Mệnh đề 1.1.6 Cho R vành Noether, M R – môđun hữu hạn sinh, N R – môđun Khi đó, Ass ( HomR ( M , N ) ) = Ass ( N ) I Supp ( M ) Mệnh đề 1.1.7 Cho M , N , P R – môđun Nếu dãy 0→M →N →P→0 khớp • Ass ( N ) ⊂ Ass ( M ) I Ass ( P ) • Supp ( N ) = Supp ( M ) I Supp ( P ) Mệnh đề 1.1.8 Cho R vành Noether, M R – môđun hữu hạn sinh Khi đó, ta có: • Ass ( M ) tập hữu hạn • Ass ( M ) ⊂ Supp ( M ) • Phần tử tối tiểu Ass ( M ) Supp ( M ) giống Số chiều – chiều cao – dãy phần tử quy – độ sâu Một dãy môđun M dãy ( M i )0≤i ≤ n môđun M thỏa mãn M = M ⊃ M ⊃ ⊃ M n = Chiều dài dãy n Một chuỗi hợp thành M dãy tối đại môđun M tức thêm vào môđun Điều tương đương với việc nói môđun M i / M i +1 đơn Độ dài chuỗi hợp thành M đại lượng không đổi ký hiệu l ( M ) gọi độ dài môđun M Mệnh đề 1.2.1 Cho R vành Noether, M R – môđun hữu hạn sinh Khi điều sau tương đương: i l ( M ) < +∞ ii Mọi idean nguyên tố thuộc Ass ( M ) idean tối đại R iii Mọi idean nguyên tố thuộc Supp ( M ) idean tối đại R Hệ 1.2.2 Cho R vành Noether, M R – môđun hữu hạn sinh, N R – môđun Nếu l ( M ) < +∞ l ( HomR ( M , N ) ) < +∞ Do đó, N R – môđun Artin HomR ( M , N ) R – môđun Artin Mệnh đề 1.2.3 Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành độ dài n Khi dãy môđun M mở rộng thành chuỗi hợp thành Mệnh đề 1.2.4 M chuỗi hợp thành M vừa dãy điều kiện tăng vừa dãy điều kiện giảm Mệnh đề 1.2.5 Cho dãy khớp ngắn → M ' → M → M '' → , ta có l ( M ') − l ( M ) + l ( M '') = Định nghĩa 1.2.6 Số chiều vành R, ký hiệu dim R , chiều dài lớn n dãy P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pn idean nguyên tố R Nếu có dãy vô hạn idean nguyên tố ta ký hiệu dim R = +∞ Định nghĩa 1.2.7 Cho R vành khác 0, P idean nguyên tố R Chiều cao idean nguyên tố P độ dài lớn dãy idean nguyên tố P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pn , ký hiệu Từ định nghĩa ta thấy htP = P idean nguyên tố tối tiểu vành R Nếu I idean R, ta định nghĩa chiều cao I chiều cao nhỏ idean nguyên tố chứa I, = htI inf {htP P ∈ V ( I )} Số chiều R định nghĩa = dim R sup {htP P ∈ Spec ( R )} gọi số chiều krull R Số chiều R – môđun M, ký hiệu dim M = dim ( P / annM ) M ≠ ta ký hiệu dim M = −1 M = Mệnh đề 1.2.8 Cho R vành Noether, M ≠ R – môđun hữu hạn sinh Khi điều sau tương đương: i M có độ dài hữu hạn ii Vành R / annM Artin iii dim M = Mệnh đề 1.2.9 Cho R vành Noether Khi điều sau tương đương: i M vành Artin ii Mọi idean thuộc Spec ( R ) idean tối đại R iii Mọi idean thuộc Supp ( M ) idean tối đại R Định nghĩa 1.2.10 Cho M R – môđun Một phần tử r ∈ R gọi M – quy rx ≠ 0, ∀x ∈ M , x ≠ Một dãy phần tử a1 , a2 , , an R M – dãy (hay M – dãy quy) thỏa mãn hai điều kiện sau: i a1 M – quy, a2 M / a1M – quy, a3 M / ( a1a2 ) M – quy,…, an M / ( a1a2 an −1 ) M – quy ii M / ( a1a2 an −1an ) M ≠ Chú ý hoán vị csac vị trí của M – dãy chưa M – dãy Định nghĩa 2.2.11 Cho M môđun hữu hạn sinh khác vành Noether địa phương ( R, m ) , chiều sâu M R độ dài lớn M – dãy m, kí hiệu depthR M hay depthM Chiều nội xạ - chiều xạ ảnh – bao nội xạ Chiều nội xạ - chiều xạ ảnh Nếu M R – môđun mà có phép giải xạ ảnh P • với Pn = n > d Pd ≠ với cách chọn phép giải xạ ảnh M Khi ta nói M có chiều xạ ảnh d, kí hiệu PdM = d Nếu số d thoả mãn điều kiện ta viết PdM = ∞ Nếu M R – môđun mà có phép giải nội xạ I • với I n = n > d I d ≠ cách chọn phép giải nội xạ M Khi ta nói M có chiều nội xạ d, kí hiệu IdM = d Nếu số d thoả mãn điều kiện ta viết IdM = ∞ Rõ ràng M môđun xạ ảnh PdM = , N môđun nội xạ IdM = Bao nội xạ Cho M môđun R – môđun L i Ta nói L mở rộng cốt yếu M B I M ≠ với B môđun L Hay ta có thễ nói cách khác: L mở rộng cốt yếu M với m ∈ M tồn r ∈ R cho ≠ rm ∈ L ii Ta nói L bao nội xạ M L nội xạ củng mở rộng cốt yếu M iii M nội xạ mở rộng cốt yếu M iv Nếu L bao nội xạ M, g : M → K đơn cấu R – môđun từ M vào R – môđun nội xạ có đồng cấu g ' : L → K cho biểu đồ giao hoán ⊆ → M  →L g↓ [ K g' Vì Kerg 'I= M Kerg = L bao nội xạ M nên Kerg ' = Do đơn cấu v Mỗi R – môđun có bao nội xạ sai khác đẳng cấu Kí hiệu E ( M ) bao nội xạ M Ta giả sử N I – không xoắn, có x không ước không N Theo giả thiết ( : H ( M , N ) ) , tồn k > cho I⊂ i I I k H It −1 ( M , N ) = ⇒ x k H It −1 ( M , N ) = xk Ta có dãy khớp → N → N → N → với N = N / x k N cảm sinh dãy khớp H t −2 I xk f (M , N )→ H (M , N )→ H t −2 I t −1 I (M , N ) → H t −1 I xk ( M , N ) → H It −1 ( M , N ) ( : H ( M , N )) ⇒ H ( M , N ) hữu hạn sinh Suy I ⊂ t −2 I t −2 I Mà x k H It −1 ( M , N ) = từ dãy khớp phía H It −1 ( M , N ) ảnh đông cấu ( ) H It − M , N Như vậy, H It −1 ( M , N ) hữu hạn sinh Do ta có điều phải chứng minh  Mệnh đề 2.1.34 Cho M, N R – môđun hữu hạn sinh, m idean tối đại R Khi H mi ( M , N ) môđun Artin với i ≥ Chứng minh Xét → N → E • phép giải nội xạ môđun N ( )) ( Khi ta có H mi ( M , N ) ≅ H i HomR M , Γ m ( E • ) Thành phần thứ k phép giải nội xạ kí hiệu E k ( Vì môđun thương môđun Artin môđun Artin nên cần chứng minh HomR M , Γ m ( E k ) ) Artin với k ≥ Với P ∈ Spec ( R ) , ta có ( HomR M , Γ m ( E ( R / P ) ) ) m≠O , 0 =   HomR M , Γ m ( E ( R / m ) ) ( ) (Vì E ( R / m ) m – xoắn) Do ( ( ( E ( R / m))) HomR M , Γ m HomR M , Γ m ( E k ) ) tổng trực tiếp µ k ( m, N ) Với µ k ( m, N ) = dim R / m ( Ext Rk ( R / m, N ) )m số Bass N tương ứng với idean m số hữu hạn ( ) Do E ( R / m ) R – môđun Artin nên HomR M , Γ m ( E ( R / m ) ) R – môđun Artin Vậy ta có điều phải chứng minh  § Tính cofinite mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng Cho α idean vành giao hoán Noetherian R M N hai R – môđun hữu T T T 3 0T T T T T T T T T T T T T T T hạn sinh với pdM Bây giả sử H ( X ) = với ≤ i < t Vì Γ a (Y ) = , ta có Γ a ( E (Y ) ) = Do ( ) ( ) HomR R , Y ⊆ HomR R , E (Y ) = a a Theo đẳng cấu dãy khớp trên, ta có R-đẳng cấu: ( ) ( ) Ext Ri −1 R , L ≅ Ext Ri R , Y , H −1 ( L ) ≅ H (Y ) , ∀i a a i H a ( L ) = 0, ∀i :0 ≤ i < t − ( ) Vì Ext Ri R a , L = 0, ∀i :0 ≤ i < t − Theo giả thiết qui nạp L từ đẳng cấu suy ( ) Ext Ri R , Y = 0, ∀i :0 ≤ i < t a ( ) Ngược lại, chứng minh ta thấy Ext Ri R a , Y = 0, ∀i :0 ≤ i < t H (Y ) = 0, ∀i :0 ≤ i < t Mệnh đề 2.2.5 Cho M R-môđun hữu hạn sinh, X R-môđun t ∈  + Nếu R-môđun X thỏa điều kiện tương định lí 2.2.4 với t ta có i) H ( M , X ) = 0, ∀i :0 ≤ i < t ii) H at ( M , X ) ≅ HomR ( M , H at ( X ) ) ( ) ( iii) Ext Rt R a , X ≅ HomR R a , H at ( X ) ) Chứng minh Trước tiên ta nhắc lại Da ( X ) = lim HomR ( a n , X ) iđêan biến đổi X U → n Ta chứng minh qui nạp theo t •t=1 Theo bổ đề 2.1(i), Γ a ( X ) = suy Γ a ( M , X ) = Ta có Γ a ( Da ( X ) )= H a1 ( Da ( X ) )= Do Γ a ( M , Da ( X ) )= H a1 ( M , Da ( X ) )= (theo bổ đề 2.1(ii)) ( ) ( ) ( ) R R , D ( X ) Ext Hom = = ,D X (theo định lí 2.2.4) Và dãy khớp R R a a a a( ) → X → Da ( X ) → H a1 ( X ) → cho ta đẳng cấu: ( ) Ext1R R , X ≅ HomR R , H a1 ( X ) H a1 ( M , X ) ≅ Γia ( M , H a1 ( X ) ) a a Đẳng cấu cuối cho ta khẳng định mệnh đề với t = • Lấy R-môđun Y t > Giả sử mệnh đề với t – R-môđun X Giả sử H (Y ) = 0, ∀i :0 ≤ i < t Vì Γ a (Y ) = , ta có Γ a ( E (Y ) ) = Xét dãy khớp → Y → E (Y ) → L → định lí tác động hàm tử ( ) HomR R , − , Γ a ( M , − ) , Γ a ( − ) vào dãy khớp ta đẳng cấu: a Ext Ri −1 R , L ≅ Ext Ri R , Y , H −1 ( M , L ) ≅ H ( M , Y ) H −1 ( L ) ≅ H (Y ) , ∀i > a a Giả thiết Y đẳng cấu sau chứng tỏ H ( L ) = 0, ∀i :0 ≤ i < t − Vì ( ( ) ) ( ) ( ) H at −1 ( M , L ) ≅ HomR ( M , H at −1 ( L ) ) , Ext Rt −1 R , L ≅ HomR R , H at −1 ( L ) H ( M , L ) = 0, ∀i :0 ≤ i < t − a a giả thiết qui nạp L Từ đẳng cấu trên, ta có H at ( M , Y ) ≅ HomR ( M , H at (Y ) ) , ( ) ( Ext Rt R , Y ≅ HomR R , H at −1 (Y ) a a i H a ( M , Y ) = 0, ∀i :0 ≤ i < t ) Hệ 2.2.6 Cho M, N R-môđun hữu hạn khác X R-môđun bất kỳ, t ∈  + Khi i) a) Ext1R R a , Da ( X ) ≅ H a1 ( M , Da ( X ) ) = b) Ext R2 ( ) ( R a , D ( X )) ≅ Hom ( R a , H a R a ( X )) H a2 ( M , Da ( X ) ) ≅ HomR ( M , H a2 ( X ) ) ( )   R c) Ext1R  R a , X  ≅ HomR a , H a ( X ) = Γ X ( ) a     H a1  M , X  ≅ HomR ( M , H a ( X ) ) Γ X ( ) a   i ii) Nếu H a ( X ) = 0, ∀i :0 ≤ i < t H ( M , X ) = 0, ∀i :0 ≤ i < t Trong trường hợp này, H at ( M , X ) ≠ ⇔ Supp ( M ) ∩ Ass ( H at ( X ) ) ≠ iii) Nếu iđêan tối tiểu M ⊂ Supp ( M ) t = grade ( M, N ) H Mt ( M , N ) ≠ iv) Nếu ( R, M ) vành địa phương t = depth ( N ) H Mt ( M , N ) ≠ Bổ đề 2.2.7 Giả sử P R-môđun xạ ảnh hữu hạn X R-môđun Khi H ( P, X ) ≅ HomR ( P, H ( X ) ) , ∀i ≥ Chứng minh Ta chứng minh bổ đề cách sử dụng phương pháp mệnh đề 2.3 Nó hệ dãy U = E2i j Ext1R ( P, H aj ( X ) ) ⇒ H + j ( P, X ) i * Với R-môđun X, ta ký hiệu • cd ( a, X ) số chiều đối đồng điều X a (là số tự nhiên lớn i mà H ( X ) ≠ • pd(X) số chiều xạ ảnh X • dim(X) số chiều Krull X Mệnh đề sau tính Artin tương tự Ext mệnh đề đối đồng điều địa phương gốc Mệnh đề 2.2.8 Cho X R-môđun t ∈  + Các phát biểu sau tương đương: i) H ( X ) Artin với ≤ i < t ( ) ii) Ext Ri R a , X Artin với ≤ i < t Chứng minh Qui nạp theo t: Xét : X a = : Γ ( X ) a áp dụng định lí Melkersson, ta có kết với t = U a Lấy Y R-môđun t > Giả sử kết với t – R-môđun X E(N) , với E ( N ) bao nội xạ N Đặt N Y= ,L = N Γ a (Y ) Vì Γ a ( N ) = nên Γ a ( E ( N ) ) = ( ) Xét dãy khớp → N → E ( N ) → L → Tác động hàm tử HomR R a , − Γ a ( − ) vào dãy khớp, ta đẳng cấu: ( ) ( ) Ext Ri −1 R , L ≅ Ext Ri R , N , H −1 ( L ) ≅ H ( N ) , ∀i > a a i Giả sử H a (Y ) Artin với ≤ i < t − Từ đẳng cấu thứ hai, ta có H ( L ) Artin với ≤ i < t − ( ) Vì vậy, theo giả thiết qui nạp L, Ext Ri R a , L Artin với ≤ i < t − , theo đẳng cấu ( ) ta Ext Ri R a , N Artin với ≤ i < t ( Dãy khớp → Γ a (Y ) → Y → N → liên hợp với tính Artin Γ a (Y ) Ext Ri R a , Y ) Artin với ≤ i < t Ngược lại, chứng minh trên, ta thấy Ext Ri R a , Y Artin với ≤ i < t H (Y ) Artin ( ) với ≤ i < t − Mệnh đề 2.2.9 Cho M R-môđun hữu hạn với pd ( M ) < ∞ , X R-môđun bất kỳ, t ∈  + Nếu R-môđun X thỏa điều kiện tương đương mệnh đề 2.2.8 với t H ( M , X ) Artin với ≤ i < t Chứng minh Qui nạp theo pd ( M ) : U • Nếu pd ( M ) = M ⊕ M ' ≅ R n , với M’ R-môđun n ∈  + Thế thì, theo bổ đề 2.5 H ( M , X ) ⊕ H ( M ' , X ) ≅ HomR ( M , H ( X ) ) ⊕ HomR ( M ' , H ( X ) ) ≅ HomR ( R n , H ( X ) ) ≅ H ( X ) n • Giả sử pd ( M ) > mệnh đề cho R-môđun T mà pd (T ) < pd ( M ) Lấy dãy khớp → T → F → M → , F tự T R-môđun, ta dãy khớp dài → H −1 (T , X ) → H ( M , X ) → H ( F , X ) → Theo giả thiết qui nạp, H −1 (T , X ) H ( F , X ) Artin Do đó, H ( M , X ) Artin Mệnh đề 2.2.10 Cho M R-môđun hữu hạn với pd ( M ) < ∞ X R-môđun Thế thì, với i > pd ( M ) + cd ( a, X ) , H ( M , X ) = H apd ( M ) + cd ( a , X ) ( M , X ) ≅ ExtRpd ( M ) ( M , H acd ( a , X ) ( X ) ) Mệnh đề chứng minh cách xét dãy (*) sử dụng phương pháp mệnh đề 2.3 dựa vào việc qui nạp theo cd ( a, X ) Kết cofinite T Định nghĩa 2.1.11 Cho M R – môđun Idean suy rộng Các hàm tử biến đổi idean suy rộng T 3T tương ứng với idean α R định nghĩa lim→ HomR (α n M ,.) Dα ( M ,.) =  n R i Dα ( M ,.) ký hiệu hàm tử thứ i – phải xuất phát từ Dα ( M ,.) Dễ dàng kiểm tra ( ) lim→ Ext Ri α n M , Do đó, với việc dãy khớp dài Ext tạo có đẳng cấu tự nhiên R i Dα ( M ,.) ≅  n từ dãy khớp ngắn  →α n M  → M  → M / α n M  →0 ta suy bổ đề Bổ đề 2.2.12 Cho M R – môđun Với R – môđun N nào, ta có dãy khớp sau: 3T 3T  → H α0 ( M , N )  → HomR ( M , N )  → Dα ( M , N )  → H α1 ( M , N )  →  → H αi ( M , N )  → Ext Ri ( M , N )  → R i Dα ( M , N )  → H αi +1 ( M , N )  → Hơn nữa, M có hữu hạn thứ nguyên xạ ảnh, tồn đẳng cấu H αi +1 ( M , N ) ≅ R i Dα ( M , N ) với i ≥ pdM + Cho α idean R M R – môđun Ta nói M α – cofinite SuppR M ⊆ V (α ) T 3 T Ext Ri ( R / α , M ) hữu hạn sinh với i ≥ 2T Bổ đề 2.2.13 Cho M N hai R – môđun α idean R Nếu M hữu hạn sinh, 3T 0T 0T 0T 0T SuppR H αi ( M , N ) ⊆ V (α ) với i ≥ Chứng minh T T Lấy ρ idean nguyên tố R Ta có T ( ) Ext Ri ( M / α n M , N ) ≅ Ext Ri ρ M ρ / (α n Rρ ) M ρ , N ρ ρ với i ≥ Mặt khác, tích tensor bảo toàn giới hạn trực tiếp Do đó, ( ) H αi ( M , N ) ρ ≅ Rρ ⊗ R lim Ext Ri ( M / α n M , N ) ρ ≅ lim Ext Ri ρ M ρ / (α n Rρ ) M ρ , N ρ ≅  → n  → n ≅ H αi Rρ ( M ρ , N ρ ) Điều chứng tỏ SuppR H αi ( M , N ) ⊆ V (α ) 2T  Bổ đề 2.2.14 i) Nếu M R – môđun hữu hạn sinh thỏa SuppR H αi ( M , N ) ⊆ V (α ) M α – cofinite T T T 3 T ii) Cho  → L  → M  → N  → dãy khớp R – môđun Trong đó, hai L, M , N α – cofinite, lại α – cofinite 3T 2T T T Chứng minh i) Vì M R – môđun hữu hạn sinh nên Ext Ri ( R / α , M ) hữu hạn sinh i ≥ Do đó, M α – T T T cofinite T ii) Đây định nghĩa tốt suy dễ dàng, việc xét dãy khớp dài T → Ext Ri ( R / α , L ) → Ext Ri ( R / α , M ) → Ext Ri ( R / α , N ) → Ext Ri +1 ( R / α , L ) →  Bổ đề 2.2.15 Cho α = Ra idean R M, N hai R – môđun hữu hạn sinh HomR ( M , N )α T 2T T T T T T 3 T ký hiệu cho địa phương HomR ( M , N ) tương ứng với tập bội đóng {a i : i ≥ 0} R Khi đó, i) Có đẳng cấu Dα ( M , N ) ≅ HomR ( M , N )α T 2T ii) H αi ( M , N ) α – cofinite 2T 2T T Chứng minh i) Nếu a lũy linh Dα ( M , N ) HomR ( M , N )α bị triệt tiêu Do đó, ta thừa nhận 2T 2T a không lũy linh Với i, j ∈ ¥ , j > i, xét ánh xạ π ij : HomR ( a i M , N ) → HomR ( a j M , N ) xác định π ij ( f ) = f a M , j với f ∈ HomR ( a i M , N ) Cũng, ánh xạ tự nhiên HomR ( a i M , N ) → Dα ( M , N ) ký hiệu π i Nhắc lại, ta định nghĩa Dα ( M , N ) giới hạn trực ( tiếp hệ trực tiếp HomR ( a i M , N ) , π ij Bây 2T giờ, định ) i , j∈¥ ψ i : HomR ( a i M , N ) → HomR ( M , N )α , ψ i ( f ) = f λi / a i , nghĩa 2T λi : M → a i M định λi ( m ) = a i m, với m ∈ M Rõ ràng, {ψ i }i∈¥ họ trực tiếp Thừa nhận, ψ : Da ( M , N ) → HomR ( M , N )α đông cấu gây {ψ i }i∈¥ Do đó, với g ∈ Da ( M , N ) , ta có, i ∈ ¥ , f ∈ HomR ( a i M , N ) thỏa mãn π i ( f ) = g Ta ψ đẳng cấu Đầu T tiên, Giả sử, ψ (= g ) 0, g ∈ Da ( M , N ) Lúc đó, tồn i ∈ ¥ f ∈ HomR ( a i M , N ) thỏa mãn 2T g = π i ( f ) Do đó, ψ= f= λi / a i ( g ) ψ= i( f ) Do đó, tồn t ∈ ¥ thỏa mãn a t ( f λi ) = Thiết lập j = i + t Khi đó, thỏa mãn π ij ( f ) = g π= j ( π ij ( f ) ) Kế tiếp, ta ψ toàn ánh Lấy x1 ,K , xt hệ sinh M Lấy l ∈ HomR ( M , N )α Khi đó, có h ∈ HomR ( M , N ) c ∈ ¥ thỏa mãn l = h / a c Vì N R – môđun Noetherian nên tồn T moojy số tự nhiên e≥c thỏa mãn 0T (0 : N a e ) = ( :N a e+ j ) T với j ≥ Định nghĩa T f ∈ HomR ( a e M , N ) f ( a e x ) = a e−c h ( x ) với x ∈ M Nếu a e x = a e x ' với x x ' M, h ( x − x ') ∈ ( :N a e ) Do đó, a e −c h ( x ) = a e −c h ( x ') Vì f định nghĩa tốt Thiết lập T g = π e ( f ) Khi đó, ψ ( g ) = ψ e ( f ) = f λ2 e / a e == h / a c = l hay ψ toàn ánh ii) Lấy π ij : Dα ( M , N ) → HomR ( a j M , N ) Ta có biểu đồ giao hoán với dòng α khớp 0→ H α0 ( M , N ) f → HR (M , N ) → Da ( M , N ) → H α1 ( M , N ) g → Extα1 ( M , N ) ↓ψ ↓ id → Γ a ( HomR ( M , N ) ) → HomR ( M , N ) → HomR ( M , N )α → H α1 ( HomR ( M , N ) ) → h Gọi K hạt nhân ánh xạ g Ta có K ≅ co ker f H α1 ( HomR ( M , N ) ) ≅ co ker h Ánh xạ ψ sinh đẳng cấu ψ *: co ker f → co ker h , xác định ψ * ( x + imf ) = ψ ( x ) + imh, với x + imf ∈ co ker f Do đó, thỏa mãn K ≅ H α1 ( HomR ( M , N ) ) Vì , K α – cofinite Bây giờ, T 3 T xét dãy khớp → K → H α1 ( M , N ) → img → Vì Ext 1R ( M , N ) hữu hạn sinh, nên img α – cofinite Do đó, H α1 ( M , N ) α – cofinite 2T T T T T 3 T Bổ đề 2.2.16 Cho α idean R N hai R – môđun α – cofinite Giả sử cho bât kỳ R – môđun hữu T T 0T T T 3 T T hạn sinh M với pdM < ∞ , HomR ( M , N )α (tương ứng M ⊗ R N ) α – cofinite Khi Extαi ( M , N ) 2T T T (tương ứng Tori R ( M ⊗ R N ) ) α – cofinite cho tất R – môđun hữu hạn sinh M với pdM < ∞ 2T 2T T với i ≥ Chứng minh Ta chứng minh tính α – cofinite Ext Ri ( M , N ) , i ≥ chứng minh phần 3T 2T T T khác tương tự Dùng quy nạp theo t = pdM Tất nhiên định lý với t = Bây giờ, giả sử t > xét dãy khớp → K → Rn → M → Từ dãy trên, ta có dãy khớp → HomR ( M , N ) → HomR ( R n , N ) → HomR ( K , N ) → Ext1R ( M , N ) → đẳng cấu Ext Ri +1 ( M , N ) ≅ Ext Ri ( K , N ) với i ≥ Theo giả thiết quy nạp, ta có Ext Ri ( M , N ) T α – cofinite với i ≥ Để ý pdK < t Bằng cách sử dụng dãy khớp trên, ta kiểm tra dễ 2T 2T dàng Ext1R ( M , N ) α – cofinite 2T 2T Bổ đề 2.2.17 Cho α idean R M N hai R – môđun hữu hạn sinh với pdM < ∞ Nếu T T 0T T i α ideal T ii R địa phương hoàn toàn α ideal nguyên tố với dim R T α =1 Ext Rp ( M , H αq ( N ) ) α – cofinite với p, q ≥ 2T 2T 2T Chứng minh T Đầu tiên, giả sử α ideal Theo [9, định lý 11.38], có dãy phổ Grothendieck T = E2p ,q Ext Rp ( M , H αq ( N ) ) ⇒ H Rp + q ( M , N ) p Ta có E2p ,q = với q ≠ 0,1 , theo [3, định lý 3.3.1], H αq ( N ) = với q > Vì E2p ,0 = hữu hạn sinh SuppR E2p ,0 ⊂ V (α ) , theo 2.4 (i), E2p ,0 α – cofinite Do đó, cần chứng minh T T T T E2p ,1 α – cofinite với p ≥ Ta có dãy khớp 2T T T g f → E21,0 → H α1 ( M , N ) → E20,1 → E22,0 → H α2 ( M , N ) Do H α1 ( M , N ) α – cofinite Do đó, img α – cofinite Từ dãy khớp 3T 2T T T T → img → E20,1 → ker f → Ta chứng minh E20,1 α – cofinite Để ý ker f R – môđun hữu hạn sinh Định lý 2.2.16 suy 2T 2T 2T T E2p ,1 α – cofinite với p ≥ H αi ( N ) α – cofinite T T T T T Bây giờ, giả sử R địa phương hoàn toàn α ideal nguyên tố với dim R T Trong α =1 2.2.16, thật đủ đển chứng minh HomR ( M , H αq ( N ) ) H αi ( N ) α – cofinite với R – môđun hữu T T T hạn sinh M với pdM < ∞ Dùng quy nạp theo t = pdM Tất nhiên định lý với t = Bây giờ, giả 2T sử t > xét dãy khớp → K → Rn → M → Nó thỏa mãn pdK ≤ t − Dãy khớp ngắn làm dãy sau khớp 2T → HomR ( M , H αq ( N ) ) → HomR ( R n , H αq ( N ) ) → HomR ( K , H αq ( N ) ) → VÌ phạm trù R – môđun α – cofinite aben, thỏa ker f ≅ HomR ( M , H αq ( N ) ) T 3 T H αi ( N ) α – cofinite Vậy định lý T T Định lý 2.2.18 Cho α idean vành R M N hai R – môđun hữu hạn sinh với pdM < ∞ Khi T T 2T 2T đó, H αp ( M , N ) α – cofinite với p ≥ 2T 2T Chứng minh T 2T T T Ta có dãy phổ Grothendieck T = E2p ,q Ext Rp ( M , H αq ( N ) ) ⇒ H Rp + q ( M , N ) p Điều dẫn tới dãy khớp [11, Ex 5.2.2] Để ý E2p ,q = với q ≠ 0,1 f g d → E2p ,0 → H αp ( M , N ) → E2p −1,1 → E2p +1,0 → H αp +1 ( M , N ) → Bây giờ, imf thương E2p ,0 hữu hạn sinh Vì imf α – cofinite, theo 2.3, 2.4(i) T 3 T Tương tự, kerg α – cofinite Bằng việc xem xét dãy khớp ngắn 2T 2T → Im d → E2p −1,1 → ker g → Ta suy Imd α – cofinite Để ý E2p −1,1 α – cofinite nên từ dãy khớp 3T 2T T 3 T T → Im f → H αp ( M , N ) → Im d → suy H αp ( M , N ) α – cofinite với p ≥ T 2T 2T Định lý 2.2.19 T Cho p ký hiệu ideal nguyên tố vành địa phương ( R, m ) với dim R T p = , M N hai R – môđun hữu hạn sinh với pdM < ∞ Khi đó, H ip ( M , N ) p – cofinite với i ≥ T Chứng minh Tồn dãy phổ Grothendieck T p ,q E= Ext Rp ( M , H αq ( N ) ) ⇒ H Rp + q ( M , = N ) En p Theo 2.2.17, E2p ,q p – cofinite với p, q Xét dãy 2T p −2 ,q +1 2T 2T d d → E2p − 2,q +1  → E2p ,q   → E2p + 2,q −1 → p ,q T T T T T Ta suy Im d 2p − 2,q +1 kerd 2p ,q p – cofinite Do đó, E3p ,q = kerd 2p ,q / Im d 2p − 2,q +1 p – cofinite, 2T T T T T T T lập luân ta có Erp ,q = kerd rp−,1q / Im d rp−−12,q +1 p – cofinite với r > E∞p ,q p – cofinite với 2T T T T T T T T p, q ≥ Tồn E n = E0n ⊇ ⊇ E pn ⊇ ⊇ Enn ⊇ Enn+1 = 0, thỏa mãn E pn / E pn+1 ≅ E∞p ,n − p Do đó, Enn p – cofinite Bằng việc lập lại dãy khớp ngắn 2T 2T T T 2T → E pn+1 → E pn → E∞p ,n − p → ta E n p – cofinite 2T T T T 2T Kết luận Trong luận văn này, tác giả trình bày kết chủ yếu sau: • Một số mệnh đề tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương suy rộng • Tính hữu hạn sinh, tính Artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng • Một số định lý liên quan đến số chiều vành thương vành Noether, tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Vì thời gian khả hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Kính mong thầy cô bạn đồng nghiệp góp ý dẫn thêm Tài liệu tham khảo [1] Bourbaki, Commutative Algebra, Hermann, Publishers in Arts anh Scinece, 1972 [2] C Huneke, J.Koh, Cofiniteness and vanishing of local homology modules, Math Proc Cambridge Philos.Soc 110 (1991) 421 – 429 [3] D.Delfino, On the Cofiniteness of local homology modules, Math Proc Cambridge Philos.Soc 115 (1994) 79 – 84 [4] D G Northcott, Introduction to homology algebra, Cambridge University, 1996 [5] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press 1986 [6] H Matsumura, Commutative Algebra – second Edition, The Ben – jamin/ Cumming Publishing Company, Inc 1980 [7] K-I Yoshida, Cofiniteness of local homology modules for ideals of dimension one, Nagoya Math J 147 (1997) 179 – 191 [8] Nguyen Tu Cuong, Tran Tuan Nam, A local homology theory for linear compact modules, Journal of Algebra 319 (2008) 4712 – 4737 [9] T Marley, J Vassilev, Cofiniteness anh associated primes of local homology modules, J Algebra 256 (2002) 180 – 193 [...]... )iƠ H qu, v mi u Ơ v mi A mụun thỡ: ( u H Ii ( M ) lim uuuuur H n i K ( a , M ) uƠ Chng 2 ) Tớnh cofinite ca mụ un i ng iu a phng suy rng Đ 1 Mụ un i ng iu a phng suy rng Phn u chng 2 núi v mụun i ng iu a phng suy rng Mụun i ng iu a phng suy rng c Herzog a ra nm 1974 ú l s m rng ca mụun i ng iu a phng suy rng ca Grothendieck Nú cú mt s thớnh cht nh tớnh trit tiờu, tớnh hu hn sinh, xỏc nh tớnh hu hn,... M , J ( N ) ) suy ra iu phi chng minh ii Ta cú khp 0 N J L 0 vi J l mụun ni x p dng hm t I ( ) v I ( M , ) vo ta cú 0 I ( N ) I ( J ) I ( L ) H I1 ( N ) 0 v 0 I ( M , N ) I ( M , J ) I ( M , L ) H I1 ( M , N ) 0 l cỏc dóy khp Theo gi thit suy ra I ( J ) I ( L) v do ú I ( M , J ) = HomR ( M , J ( J ) ) HomR ( M , J ( L ) ) = I ( M , L ) T dóy khp th hai suy ra iu phi chng... 1.5.10 Cho G : Q B v F : B C l cỏc hm t trong ú F khp trỏi sao cho E l ni x trong Q suy ra GE l F khụng tun hon phi Vi A l mụun trong Q , cú mt dóy ph gúc phn t th ba sao cho = E2p ,q ( R F ) ( R G ( A) ) R ( FG )( A) p q n p nh lớ 1.5.11 Cho G : Q B v F : B C l cỏc hm t trong ú F khp phi sao cho P l x nh trong Q suy ra GP l F khụng tun hon trỏi Vi A l mụun trong Q , cú mt dóy ph gúc phn t th nht... l mt iờan ca R, M v N l cỏc R mụun Khi ú, vi mi s t nhiờn i, H Ii ( M , N ) lim Ext Ri ( M / I n M , N ) n gi l mụun i ng iu a phng suy rng ca mụun N tng ng vi M Ta cú H Ii ( N ) = H Ii ( R, N ) vi N l R mụun Tỏc gi gii thiu mt s tớnh cht ca mụun i ng iu a phng suy rng Mnh 2.1.1 H I0 ( M , N ) H I0 ( Hom ( M , N ) ) Hom ( M , H I0 ( N ) ) Chng minh H I0 ( M , N ) lim Ext R0 ( M / I n M , N... B v F : B C l cỏc hm t trong ú F phn bin, khp trỏi sao cho P l x nh trong Q suy ra GP l F khụng tun hon phi Vi A l mụun trong Q , cú mt dóy ph gúc phn t th ba sao cho = E2p ,q ( R F ) ( L G ( A) ) R ( FG )( A) p n q p nh lớ 1.5.13 Cho G : Q B v F : B C l cỏc hm t trong ú F phn bin, khp trỏi sao cho P l ni x trong Q suy ra GP l F khụng tun hon phi Vi A l mụun trong Q , cú mt dóy ph gúc phn t... 0 Theo gi thit ta suy ra H Ii ( L ) = 0 vi 0 i < t 1 Ta s chng minh H I0 ( L ) = 0 Gi s I ( E ( N ) ) 0 , do E ( N ) l m rng ct yu ca N v I ( E ( N ) ) E ( N ) nờn I ( E ( N ) ) I N 0 sr I ( N ) 0 mõu thun vi gi thit Nh vy 0 I ( E ( N )) = 0 Do ú H I0 ( L ) H I1 ( N ) = Nh vy ta cú H Ii ( L ) = 0 vi 0 i < t 1 Theo gi thit qui np ta cú H i ( M , L ) = 0 vi 0 i < t 1 Suy ra H i ( M ,... sinh do ú H It ( M , N ) l R mụun hu hn sinh Do tớnh hu hn ca H It ( M , N ) nờn ta cú h qu v Ass v tớnh I - cofinite nh sau: H qu 2.1.25 Cho M, N l cỏc R mụun hu hn sinh Nu H It ( M , R / P ) l R mụun hu hn sinh vi mi P Supp ( N ) thỡ Ass ( H It ( M , N ) ) l tp hu hn v H It ( M , N ) l I cofinite Mnh 2.1.26 Cho M, N l cỏc R mụun hu hn sinh Nu H It ( M , R / P ) l R mụun Artin vi mi P Supp (... ) = N (tng hu hn) vi mi n 0 Do ú Ext n ( M , N ) hu hn sinh ta cú vi n 0 H qu 2.1.12 Nu M, N l cỏc R mụun hu hn sinh v N l I xon Khi ú Ass ( H Ii ( M , N ) ) l hu hn Thờm na H Ii ( M , N ) l I cofinite vi mi i 0 Chng minh Do N l I xon nờn H Ii ( M , N ) Ext Rn ( M , N ) vi mi i 0 (mnh 2.1.9 ) Vy H Ii ( M , N ) hu hn sinh vi mi i 0 Do ú ta cú iu phi chng minh Mnh 2.1.13 Cho M l mt R... +i 2 v Eii , j = 0 vi mi j < 0, do ú ker dti+,t2i Eti+,t2i Eti+,t3i Ei ,t i , i t M Ei ,t i ker dti+,t2i ker d 2i ,t i E2i ,t i , i t Nh vy vi mi i t ta cú: 0 i +1 H t i H t Ei ,t i 0 suy ra Ass ( H It ( M , N ) ) Ass ( E0,t ) U Ass ( 1 H t ) ( Ass ( E0,t ) U Ass ( E1,t 1 ) U Ass ( 2 H t ) ) Ass ( E0,t ) U Ass ( E1,t 1 ) U Ass ( 2 H t ) Ass ( E0,t ) U U Ass ( Et ,0 ) ( U AssR... hu hn sinh v I l iờan tho I ann ( H Ii ( N ) ) vi mi i t vi t l mt s nguyờn dng bt kỡ Khi ú Ass ( H It ( M , N ) ) l hu hn Chng minh Ta cú I ann ( H Ii ( N ) ) vi mi i t Do ú H Ii ( N ) hu hn sinh Suy ra Ext Ri ( M , H It i ( N ) ) hu hn sinh (do H Ii ( N ) l I xon) Nh vy ( Ass ( H It ( M , N ) ) U AssR Ext Ri ( M , H It i ( N ) ) t i =0 hu hn ) Vi M, N l cỏc R mụun, ta cú Supp ( Ext Ri ( M