Bi ging th vic Ngnh: Cu ng MC LC Mụn : Sc bn vt liu F1 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Bài : hợp lực nội lực biểu đồ nội lực 1.1 hợp lực nội lực tiết diện ứng lực 1.1.1 Khỏi nim ni lc: Trong vt th, gia cỏc phn t cú cỏc lc liờn kt gi cho vt th cú mt hỡnh dỏng nht nh Khi cú nguyờn nhõn ngoi (vớ d ngoi lc) tỏc dng, vt th b bin dng, lc liờn kt thay i chng li bin dng ngoi lc gõy Lng thay i ca lc liờn kt gi l ni lc Hình 1-1 Ngoi lc tỏc ng sinh ni lc 1.1.2 Khỏi nim ng sut: Bõy gi chung quanh K (trờn mt ct thuc phn A nh Hỡnh 1-2a) ta ly mt phõn t din tớch vụ cựng F , hp lc ca ni lc tỏc dng lờn F l P Mụn : Sc bn vt liu F1 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Thng ngi ta phõn ng sut hai thnh phn: + Thnh phn vuụng gúc vi mt ct gi l ng sut phỏp, kớ hiu + Thnh phn nm mt ct gi l ng sut tip, kớ hiu 2 Nh vy: p = + (p : ln ca ng sut ti K) Trong nhiu trng hp thnh phn ng sut tip trờn mt ct cũn c phõn thnh hai thnh phn theo hai phng vuụng gúc no ú + ng sut phỏp c coi l dng nú cựng chiu vi phỏp tuyn ngoi n ca mt ct (ng sut kộo), ngc li l õm (ng sut nộn) + ng sut tip c coi l dng phỏp tuyn ngoi n ca mt ct quay mt gúc 90 cựng vi chiu kim ng h (trong mt phng ( n , )) thỡ chiu ca phỏp tuyn ú trựng vi chiu ca ng sut tip, ngc li ng sut tip c coi l õm Hình 1-2 Quy c chiu ca ng sut 1.1.3 Cỏc thnh phn ni lc: Ngi ta thng thu gn hp lc ca h ni lc v trng tõm O ca mt ct ngang S thu gn ú cho mt lc R v mt mụmen M Núi chung R v M cú phng chiu bt k khụng gian tớnh toỏn ta phõn R thnh ba thnh phn (ta thng chn Oxyz cho Ox,Oy nm mt ct ngang v Oy hng xung, Oz trựng trc thanh) Mụn : Sc bn vt liu F1 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Hình 1-3 Quy c h trc ta Oxyz + Thnh phn nm trờn trc z gi l lc dc v kớ hiu Nz + Thnh phn nm trờn trc x, y gi l cỏc lc ct v kớ hiu Qx , Qy Ta cựng phõn M ba thnh phn + Cỏc thnh phn quay quanh trc x v y gi l cỏc mụmen un v kớ hiu Mx , My + Thnh phn quay quanh trc z gi l mụmen xon v kớ hiu Mz Nz , Qx , Qy , Mx , My , Mz l sỏu thnh phn ni lc trờn mt ct ngang v chỳng c xỏc nh t iu kin cõn bng ca phn ang xột: Liờn h gia cỏc thnh phn ng sut v cỏc thnh phn ni lc: Cỏc thnh phn ni dF , zy dF Ly vi phõn lc tỏc dng trờn din tớch vụ cựng (VCB) dF ln lt l z dF , zx cỏc ni lc ny trờn ton din tớch mt ct ngang F chớnh l cỏc thnh phn ni lc Do ú: Mụn : Sc bn vt liu F1 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng 1.2 Biểu đồ nội lực 1.1.1 Phng phỏp mt ct xỏc nh ni lc trờn mt ct ngang cha im K ca vt th chu lc nh hỡnh v (Hỡnh 1.1b) ta dựng phng phỏp mt ct (ppmc) nh sau: Tng tng dựng mt phng ( ) qua K v thng gúc vi trc thanh, ct vt th hai phn (A) v (B) Xột s cõn bng ca mt phn Vớ d phn (A): Phn (A) c cõn bng l nh ni lc ca phn (B) tỏc dng lờn phn (A) Ni lc ny phõn b trờn din tớch mt ct ca phn (A) v hp lc ca chỳng cõn bng vi cỏc ngoi lc thuc phn ang xột (A) 1.2.2 Bi toỏn phng Biu ni lc: Biu ni lc: l ng biu din s bin thiờn ca ni lc dc trc Honh trng tõm mt ct ngang ly trờn trc song song vi trc thanh, tung l cỏc giỏ tr ni lc ti cỏc mt ct ngang tng ng Nh vy da vo biu ni lc ta cú th xỏc nh c mt ct ngang nguy him nht, tc l mt ct ngang cú giỏ tr ni lc ln nht Khi ngoi lc tỏc dng nm mt mt phng cha trc thanh, vớ d mt phng (yOz) thỡ hp lc ni lc cng nm mt phng ú: ta cú bi toỏn phng + Cỏc thnh phn ni lc: Ch cú ba thnh phn Nz , Mx , Qy nm mt phng yOz + Quy c du : Quy c dng ca ni lc bi toỏn phng nh trờn hỡnh v (Hỡnh 2-4b) v (Hỡnh 2-4c) Nz > Khi cú chiu hng mt ct Qy > Khi cú khuynh hng quay mt ct ang xột theo chiu kim ng h (hoc du ca Qy ging du ca ) Mx > Khi nú lm cng cỏc th v phớa y > (phớa di) v ngc li cỏc ni lc õm Hình 1-4 Quy c du ca ni lc Mụn : Sc bn vt liu F1 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Vớ d : V biu ni lc Mx, Qy ca dm chu lc nh hỡnh v (Hỡnh 2-5) Hình 1-5 S dm mỳt tha Bi gii: a) Tớnh cỏc phn lc: S dng cỏc phng trỡnh cõn bng: Z = H A =0 2l + P.3l M VB 2l = 2ql + 3ql ql VB 2l = VB = 2ql Y = P + q.2l VA VB = ql + 2ql VA 2ql = V A = ql m A = q.2l Kim tra cú c: m C = V Al + P.2l M VB l = ql + 2ql ql 2ql = b) Tớnh ni lc: S dng phng phỏp mt ct: Chn A l gc ta (0 z 3l) Trờn AC: Tng tng mt ct ngang 1-1 i qua trng tõm O (0 z l) chia dm phn v xột cõn bng phn AO: Hình 1-6 Cõn bng phn AO + Cỏc phng trỡnh cn bng: Z = N H = N = Y = qz + Q V = qz + Q Z A y Z A y ql = Q y = q(l z ) z qz m A = q.z + Q y z M x = + qz(l z ) M x = M x = qz + ql.z + Ti gc A (z=0): Mụn : Sc bn vt liu F1 Q y = ql M x = , V Mnh Thõn Bi ging th vic + Ngnh: Cu ng Q y = M x = ql Ti C (z=l): , Trờn CB: Tng tng mt ct ngang 2-2 i qua trng tõm O (l z 2l) chia dm phn v xột cõn bng phn ACO: Hình 1-7 Cõn bng phn ACO + Cỏc phng trỡnh cn bng: Z = N H = N = Y = qz + Q V = qz + Q Z A y Z A y ql = Q y = q(l z ) z qz m = q z + Q z M M = + qz (l z ) ql M x = A y x 2 M x = qz + ql.z ql 2 + M = ql x Q =0 Ti C (z=l): y , + Ti B (z=2l): Q y = ql M x = ql , Trờn BD: Tng tng mt ct ngang 3-3 i qua trng tõm O (2l z 3l) chia dm phn v xột cõn bng phn OD: Hình 1-8 Cõn bng phn OD + Cỏc phng trỡnh cn bng: Z = N = Y = P Q = Q = ql m = Q ( 3l z) + M = M Z y D y Mụn : Sc bn vt liu F1 y x x = ql (3l z ) V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng + Ti B (z=2l): Q y = ql M x = ql , + Ti D (z=3l): Q y = ql M x = , Ta v c biu mụmen Mx v lc ct Qy nh hỡnh v (Hỡnh 2-9): Hình 1-9 Biu ni lc Cỏc nhn xột : + Trờn nhng on : q = => biu Qy l ng thng song song vi trc honh => Biu Mx l ng bc q = const => Qy bc v Mx bc + Mx t cc tr ti nhng im m QY = + B lừm ca Mx hng mi tờn lc phõn b q + Ti nhng im (mt ct) cú lc trung (hoc mụmen trung ) thỡ ti nhng im tng ng trờn biu Qy (hoc Mx ) cú bc nhy v ln bc nhy bng giỏ tr ca lc trung (hoc mụmen trung) ti cỏc im y Mụn : Sc bn vt liu F1 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Bài : quan hệ mô men uốn, lực cắt tảI trọng ngang thẳng 2.1 quan hệ mô men uốn, lực cắt tảI trọng ngang thẳng 2.1.1 Quan h vi phõn gia ti trng phõn b vi lc ct v mụmen un thng: Xét đoạn vi phân dz tọa độ z, chịu tải trọng phân bố q(z) thành phần nội lực hai mặt cắt nh hình vẽ (Hình 2-1) Quy ớc: chiều dơng trục Oz hớng sang phải, q(z) > hớng lên nh hình vẽ (Hình 2-1) Hình 2-1 on vi phõn dz chu ti trng phõn b Y = Q + (Q y dQ y dz m O = q(z ) y + dQ y ) q( z )dz = (1.1) = M x + ( M x + dM x ) Q y dz q( z )( dz ) = Bỏ qua lợng VCB bậc Từ (1.1) (1.2) dM x = Qy dz (1.2) d 2M x = qz dz Kt lun : o hm ca lc ct ti mt im bng cng ti trng phõn b theo chiu di ti im ú, o hm ca mụmen un ti mt im bng lc ct ti im ú, cũn o hm bc hai ca mụmen un bng cng ti trng phõn b theo chiu di T kt lun trờn ta suy cỏc kt qu: + V mt hỡnh hc, lc ct ti mt tit din chớnh bng dc ca tip tuyn vi biu mụmen un ti ú v cng ti trng phõn b theo chiu di l Mụn : Sc bn vt liu F1 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng dc ca tip tuyn biu lc ct + Nu hm s q(z) l mt hm s i s thỡ bc ca hm s lc ct s cao hn bc ca q(z) mt bc v bc ca hm s mụmen un s cao hn bc ca hm lc ct mt bc 2.1.2 Quan h gia ti trng trung vi dc bc nhy trờn biu lc ct v biu mụmen un thng: Hình 2-2 on vi phõn dz chu ti trng trung Xột on vi phõn dz ta z, chu PO v MO, cỏc thnh phn ni lc trờn hai mt ct nh hỡnh v (Hỡnh 2-2) Quy c: chiu dng trc Oz hng sang phi, PO > hng lờn, MO > cú chiu quay theo chiu kim ng h nh hỡnh v (Hỡnh 2-2) Y = Q Q y = PO m O4 y PO + ( Q y + Q y ) = (1.3) = M x Q y dz PO dz M O + ( M x + M x ) = dz Q y dz PO M x = M O B qua cỏc lng VCB : , (1.4) Ta ó chng minh c nhn xột: Ti nhng im (mt ct) cú lc trung (hoc mụmen trung ) thỡ ti nhng im tng ng trờn biu Qy (hoc Mx ) cú bc nhy v ln bc nhy bng giỏ tr ca lc trung (hoc mụmen trung) ti cỏc im y. 2.2 Cách vẽ biểu đồ theo nhận xét Khỏi nim : Biu ni lc: l ng biu din s bin thiờn ca ni lc dc trc Honh trng tõm mt ct ngang ly trờn trc song song vi trc thanh, tung l cỏc giỏ tr ni lc ti cỏc mt ct ngang tng ng Nh vy da vo biu ni lc ta cú th xỏc Mụn : Sc bn vt liu F1 10 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Bài : ứng suất mặt cắt nghiêng, biến dạng đàn hồi toán siêu tĩnh 4.1 ứng suất mặt cắt nghiêng Gi s ti K ta tỏch vt th n hi chu lc mt phõn t cú cỏc mt song song vi cỏc mt phng ca h ta , ú mt vuụng gúc vi trc Oz l mt mt chớnh khụng cú ng sut chớnh Cũn cỏc mt l bt k nờn cú cỏc thnh phn ng sut Ta ký hiu cỏc ng sut ú nh sau: + + ng sut phỏp cú kốm theo mt ch s, ch s ny biu din phng ca phỏp tuyn ca mt ct cú ng sut tỏc dng ng sut tip ch cú hai ch s: ch s th ch phng ca phỏp tuyn ca mt ct cú ng sut tip tỏc dng, ch s th biu din phng song song vi ng sut tip Vớ d : xy l ng sut tip trờn mt ct cú phỏp tuyn x v xy // trc y Hình 4-1 ng sut phỏp v ng sut tip ca trng thỏi ng sut phng Gi s ó bit: x , y v xy , bõy gi ta thit lp cụng thc tớnh ng sut phỏp v tip trờn mt ct nghiờng bt k song song vi Oz Tng tng ct phõn t bi mt mt ct (R) cú phỏp tuyn u lm vi trc x mt gúc Mt (R) // Oz, mt ny ct phõn t hai phn (A) v (B) Gi s xột cõn bng phn (A) Gi u , uv tỏc dng trờn mt ct nghiờng ( ) Ta xột cỏc lc tỏc dng trờn cỏc mt ca phn (A) Gi cỏc cnh ln lt l dx, dy, dz, ds Trờn din tớch dy.dz cú cỏc hp lc x dydz v xy dydz Trờn din tớch dx.dz cú cỏc hp lc y Trờn din tớch dz.ds cú cỏc hp lc u dzds v uv dzds Mụn : Sc bn vt liu F1 dxdz v 19 yx dxdz V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng ds = Ngoi cũn cú: dy dx = cos sin Hình 4-2 ng sut phỏp v ng sut tip trờn mt ct m O' = xy dydz dx dy yx dzdx =0 2 xy = yx (4.1) Gi l nh lut i ng ca ng sut tip trn hai mt ct vuụng gúc U = V = u uv = = x + y x y + cos xy sin 2 x y sin + xy cos 2 (4.2) (4.3) Cụng thc (5.2) v (5.3) cho phộp xỏc nh ng sut phỏp v ng sut tip trờn cỏc mt ct nghiờng ( ) song song vi mt phng chớnh khụng cú ng sut Bõy gi ta xột ng sut trờn mt ct nghiờng ( ) vi: = + x + y x y cos xy sin 2 = + Thay : x + y x y v = + cos + xy sin 2 (4.4) u + v = x + y = const v = Ly: (5.2) + (5.4) v theo v cú: (4.5) ng thc (5.5) gi l nh lut bt bin ca ng sut phỏp trờn hai mt ctvuụng gúc Vớ d : Mt phõn t trng thỏi ng sut phng chu ng sut nh v (Hỡnh 4.3) Tớnh ng sut trờn mt ct cú phỏp tuyn u nghiờng mt gúc = 45 so vi trc x Mụn : Sc bn vt liu F1 20 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Bi gii: Hình 4-3 Bi toỏn ng sut trờn mt ct nghiờng 4.2 Thế biến dạng đàn hồi Gi s cú mt b kộo hay nộn gii hn n hi Thanh b bin dng, ú lc t vo to mt cụng, v tớch lu mt nng lng gi l th nng bin dng n hi Nh th nng ny m b lc, vt th li tr v hỡnh dng v kớch thc c Thớ d b kộo bi mt lc P, v cú bin dng l Trong quỏ trỡnh lc tng t n P, lc kộo to cụng A nú tớch lu vo di dng th nng U, tc l ta cú: U = A (4.6) Trong quỏ trỡnh kộo n giỏ tr P1 tng ng vi bin dng l1 , nu ta tng thờm dP1 thỡ bin dng tng thờm d l1 (Hỡnh 4-4) Khi ú P1 to mt cụng nguyờn t: dA = P1d l1 Trờn th, cụng nguyờn t dA Hình 4-4 biu th bng nguyờn t din tớch d Do ú cụng ton b tng ng vi lc P v bin dng l c biu th bng din tớch ca tam giỏc OAB gii hn bi ng thng OA trc honh v bng: Pl U=A= Thay: l = (4.7) N zl EF cú c: U= N z2 l EF (4.8) Suy rng cụng thc ny cho trng hp cú nhiu on cng v ni lc Mụn : Sc bn vt liu F1 21 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng khụng i, hoc trng hp cú cng v ni lc thay i liờn tc, ta cú: U= n N zi2 li i =1 EFi (4.9) l N dz U= z EF (4.10) Vớ d : Tớnh chuyn v thng ng u A ca h ABC bng cỏch ỏp dng quan h v nng lng (Hỡnh 4-5) Ni lc trờn cỏc AB v AC bng: Th nng bin dng n hi ca h thanh: N zAC a N a P 2a U = zAB + cos = + 2 EF EF EF tan cos Hình 4-5 t l chuyn v thng ng lc P thỡ cụng ca ngoi lc bng: A= P Vỡ A = U nờn ta cú: = Pa + EF tan cos 4.3 Bài toán siêu tĩnh Bi toỏn tnh nh: Khi tỡm cỏc n nh phn lc, ni lc trờn mt ct ngang Ch cn dựng cỏc phng trỡnh cõn bng tnh hc c lp thụi, thỡ ta gi ú l bi toỏn tnh nh S phng trỡnh cõn bng tnh hc c lp = s n Bi toỏn siờu tnh: l bi toỏn m nu ch dựng cỏc phng trỡnh cõn bng tnh hc c lp thỡ s khụng gii c tt c cỏc phn lc, ni lc trờn mt ct ngang, (s n ln hn s phng trỡnh cõn bng tnh hc c lp) Bc siờu tnh n = s n s - s phng trỡnh cõn bng tnh hc c lp Cỏch gii bi toỏn siờu tnh bc n: Ngoi cỏc phng trỡnh cõn bng tnh hc c lp ta phi lp thờm n phng trỡnh bin dng na Vớ d 1: Xỏc nh phn lc ti A,B (Hỡnh 4.6a) Mụn : Sc bn vt liu F1 22 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Hình 4-6 S bi toỏn siờu tnh Vớ d 2: Tỡm ng sut (1) v (2) (2 cựng vt liu v cú F1 = F2 = 12cm2) Gi s AD tuyt i cng ( Hỡnh 4.7a ) Bi gii: Hình 4-7 S bi toỏn siờu tnh Mụn : Sc bn vt liu F1 23 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Bài : Trạng tháI ứng suất 5.1 định nghĩa trạng tháI ứng suất 5.1.1 Khỏi nim trng thỏi ng sut: Trng thỏi ng sut ti mt im l trng thỏi chu lc ca im ang xột, c c trng bi hp cỏc giỏ tr ng sut phỏp v ng sut tip trờn nhng mt ct vụ cựng (VCB) khỏc i qua im ú Hình 5-1 ng sut trờn nhng mt vụ cung ang xột xỏc nh ng sut ti mt im vt th n hi, ta tỏch riờng mt hỡnh hp cú kớch thc vụ cựng VCB (gi l phõn t) bao quanh im ú Chỳ ý rng cỏc cnh ca phõn t l VCB nờn ta cú th coi phõn t l dim ang xột v ng sut trờn cỏc mt ca phõn t c xem nh ng sut trờn cỏc mt i qua im ú Trong lý thuyt n hi ngi ta ó chng minh c rng: "Ti mt im bt k thuc vt th n hi chu lc, ta luụn luụn cú th tỏch c mt phõn t cho trờn cỏc mt ca nú ch cú cỏc ng sut phỏp m khụng cú ng sut tip ( = )" Phõn t ú c coi l phõn t chớnh, cỏc mt ca phõn t gi l cỏc mt chớnh, cỏc ng sut phỏp trờn cỏc mt gi l cỏc ng sut chớnh, phng phỏp tuyn ca cỏc mt gi l phng chớnh Mt phõn t hỡnh hp cú sỏu mt, nh vy núi chung cú sỏu thnh phn ng sut chớnh Nhng iu kin cõn bng, cỏc mt i din cú cỏc thnh phn ng sut chớnh bng v tr s v ngc chiu nhau, ú ch cú ba ng sut chớnh Ta ký hiu cỏc ng sut chớnh , , (so sỏnh nh s thc) vi th t quy c Hình 5-2 ng sut chớnh Vớ d : = 2kN/cm2 ; = kN/cm2; =-10 kN/cm2 5.1.2 Phõn loi trng thỏi ng sut: Cn c vo cỏc ng sut chớnh trờn mt phõn t chớnh ta phõn ba loi trng thỏi ng sut + Trng thỏi ng sut n: Trờn phõn t chớnh ch cú mt ng sut chớnh khỏc khụng v hai ng sut chớnh khỏc bng khụng ú l trng hp chu kộo (hay nộn) ỳng tõm Mụn : Sc bn vt liu F1 24 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng + Trng thỏi ng sut Phng: Trờn phõn t chớnh ch cú hai ng sut chớnh khỏc khụng v mt ng sut chớnh bng khụng + Trng thỏi ng sut Khi: Trờn phõn t chớnh cú ba ng sut chớnh khỏc khụng Trong giỏo trỡnh sc bn vt liu ch quan tõm n trng hỏi ng sut phng T ú cú th suy trng thỏi ng sut n Cũn trng thỏi ng sut c nghiờn cu k giỏo trỡnh lý thuyt n hi Hình 5-3 Ba trng thỏi ng sut 5.2 Trạng tháI ứng suất phẳng 5.2.1 ng sut trờn mt ct nghiờng: Gi s ti K ta tỏch vt th n hi chu lc mt phõn t cú cỏc mt song song vi cỏc mt phng ca h ta , ú mt vuụng gúc vi trc Oz l mt mt chớnh khụng cú ng sut chớnh Cũn cỏc mt l bt k nờn cú cỏc thnh phn ng sut Ta ký hiu cỏc ng sut ú nh sau: + + ng sut phỏp cú kốm theo mt ch s, ch s ny biu din phng ca phỏp tuyn ca mt ct cú ng sut tỏc dng ng sut tip ch cú hai ch s: ch s th ch phng ca phỏp tuyn ca mt ct cú ng sut tip tỏc dng, ch s th biu din phng song song vi ng sut tip Vớ d : xy l ng sut tip trờn mt ct cú phỏp tuyn x v xy // trc y Hình 5-4 ng sut phỏp v ng sut tip ca trng thỏi ng sut phng Gi s ó bit: x , y v xy , bõy gi ta thit lp cụng thc tớnh ng sut phỏp v Mụn : Sc bn vt liu F1 25 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng tip trờn mt ct nghiờng bt k song song vi Oz Tng tng ct phõn t bi mt mt ct (R) cú phỏp tuyn u lm vi trc x mt gúc Mt (R) // Oz, mt ny ct phõn t hai phn (A) v (B) Gi s xột cõn bng phn (A) Gi u , uv tỏc dng trờn mt ct nghiờng ( ) Ta xột cỏc lc tỏc dng trờn cỏc mt ca phn (A) Gi cỏc cnh ln lt l dx, dy, dz, ds Trờn din tớch dy.dz cú cỏc hp lc x dydz v xy dydz Trờn din tớch dx.dz cú cỏc hp lc y Trờn din tớch dz.ds cú cỏc hp lc u dzds v uv dzds ds = Ngoi cũn cú: dxdz v yx dxdz dy dx = cos sin Hình 5-5 ng sut phỏp v ng sut tip trờn mt ct m O' = xy dydz dx dy yx dzdx =0 2 xy = yx (5.1) Gi l nh lut i ng ca ng sut tip trờn hai mt ct vuụng gúc U = V = u uv = = x + y x y + cos xy sin 2 x y sin + xy cos 2 (5.2) (5.3) Cụng thc (5.2) v (5.3) cho phộp xỏc nh ng sut phỏp v ng sut tip trờn cỏc mt ct nghiờng ( ) song song vi mt phng chớnh khụng cú ng sut Bõy gi ta xột ng sut trờn mt ct nghiờng ( ) vi: Mụn : Sc bn vt liu F1 26 = + V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng x +y x + = + Thay : x + y x v = v = y y cos xy sin cos + xy sin Ly: (5.2) + (5.4) v theo v cú: (5.4) u + v = x + y = const (5.5) ng thc (5.5) gi l nh lut bt bin ca ng sut phỏp trờn hai mt ctvuụng gúc 5.2.2 Phng chớnh v ng sut chớnh: Mt ct nghiờng ( ) l mt chớnh Gi uv = (5.6) l gúc nghiờng ca phng chớnh vi trc x, t (5.3) v (5.3) cú : uv = x y sin + xy cos = tan = tan = t: xy x y xy x y (5.7) = +k 2 ( k Z ) 01 = 02 = + 2 Hay: Nh vy t (5.7) luụn luụn tỡm c hai giỏ tr ca l 01 v 02 chờnh lch Vy luụn luụn cú hai phng chớnh thng gúc Ln lt thay 01 v 02 vo (5.2) ta s c cỏc ng sut chớnh cn tỡm Nhng ng sut chớnh cũn gi l ng sut cc tr: x y d u = sin xy cos = uv Thc vy: d uv = d u =0 d Thng trng thỏi ng sut phng ta ký hiu cỏc ng sut chớnh l: v s dng quan h lng giỏc: Mụn : Sc bn vt liu F1 27 max , V Mnh Thõn Bi ging th vic cos = Ngnh: Cu ng 1 + tan sin = , tan + tan 2 (5.8) max/ x + y x y + xy2 = Du + ng vi (5.9) max , du ng vi 5.2.3 ng sut tip cc tr d uv =0 Cho: d ta xỏc nh c l gúc ca phng cú ng sut tip cc tr: x y x y d uv =2 cos xy sin = tan = d 2 xy (5.10) S dng cụng thc (5.8) ri thay vo (5.10) ta c cỏc giỏ tr ng sut tip cc tr: max/ Hay: x y = max/ = + xy2 (5.11) max (5.12) 5.2.4 Vũng trũn Mohr trng thỏi ng sut phng ý t: (5.2) v (5.3) ta cú th vit thnh: +y u x y + uv = x + xy (5.13) Trong hỡnh hc gii tớch ta bit phng trỡnh ng trũn chớnh tc cú ta tõm I(a;b) v bỏn kớnh ng trũn l R cú dng nh sau: (x-a)2 + (y-b)2 = R2 Nu ta lp h trc ta cú hong l u v tung l uv thỡ (5.13) chớnh l x + y R= ;0 phng trỡnh ng trũn cú tõm C v bỏn kớnh x y 2 + xy2 Ta cú th kt lun: s liờn h gia ng sut phỏp v ng sut tip trờn mt ct bt k cú th biu din bng mt vũng trũn gi l vũng trũn ng sut (hay vũng Mohr) Cỏch dng vũng trũn Mohr nh sau : Xột mt phõn t trng thỏi ng sut phng, ú phng Oz l mt phng chớnh khụng cú ng sut, cũn hai phng Ox, Oy l bt k, v gi s ó bit cỏc ng Mụn : Sc bn vt liu F1 28 V Mnh Thõn Bi ging th vic sut Ngnh: Cu ng x , y v xy = yx Lp h trc ta (theo mt t l nht nh vớ d 1cm ng vi 1kN/cm2) + Trc honh song song vi Ox, biu din ng sut phỏp + Trc tung song song vi Oy, biu din ng sut tip Hình 5-6 ng sut phỏp v ng sut tip trờn mt ct + Tõm C ca vũng trũn Mohr: trờn trc honh ly A( y ;0) v B( x ;0) x + y ;0 l trung im ca on AB im C + Tỡm bỏn kớnh vũng trũn Mohr: ng vi im A ta ly D(xA; xy ) v CD l chớnh l bỏn kớnh vũng trũn Mohr x y 2 2 Ta cú: CD = AD + AC = xy ) hay D( y ; + xy2 = R2 Vi tõm C bỏn kớnh CD l lp c vũng trũn Mohr D( y ; xy ) gi l im cc ca vũng trũn Mohr Chng minh tớnh cht ca vũng trũn Mohr Ly im M trờn vũng tron Mohr v gi l gúc gia bỏn kớnh CM v CM0 thỡ ta M ( u ; uv ) im l trờn mt ct cú phỏp tuyn u xiờn gúc vi trc x Chng minh: Theo hỡnh v thỡ ta cú ta M (OT ; TM ) vi: + OT = OC + CT = OC + CM cos( + ) = OC + CM cos cos CM sin sin OT = x + y x y + cos xy sin 2 Mụn : Sc bn vt liu F1 29 (5.14) V Mnh Thõn Bi ging th vic + Ngnh: Cu ng TM = CM sin( + ) = CM sin cos + CM cos sin TM = x y sin + xy cos 2 So sỏnh (5.14 ) vi (5.2) v (5.15) vi (5.3) ta thy: (5.15) OT = u v TM = uv PCM Ni CM MDM = u // DM Hình 5-7 Xỏc nh ng sut ti im M trờn vũng trũn Mohr Chỳ ý: > quay ngc chiu kim ng h k t trc x ng dng ca vũng trũn Mohr xỏc nh phng chớnh v ng sut chớnh Ta bit rng mt chớnh l mt khụng cú ng sut tip Do ú xỏc nh phng chớnh ta ch vic tỡm trờn vũng trũn Mo nhng im cú tung bng khụng ú l hai im M1, M2, cỏc phng ny hp vi phng ngang nhng gúc v õy ta quy c chiu dng ca cỏc gúc l chiu ngc vi chiu quay ca kim ng h Giỏ tr ca cỏc ng sut chớnh cú th o trc tip trờn cỏc trc ( ; ) ú l cỏc on OM v OM ( OM = max v OM = ) Mụn : Sc bn vt liu F1 30 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Hình 5-8 Xỏc nh ng sut chớnh v phng chớnh trờn vũng trũn Mohr Nh vũng trũn Mo ta cú th rỳt cụng thc tớnh cỏc ng sut chớnh: max x + y x y = CO + CM = + x +y x y + xy2 = CO CM = 2 + xy2 2 max/ Vit gp: Du + ng vi x +y x y + xy2 = 2 max , du ng vi Nu gi 1, ln lt l gúc gia phng chớnh cú max v vi phng ngang T vũng trũn Mo ta rỳt cỏc phng chớnh: tan = tan = xy xy AD = = max y y max AM xy AD = AM y tan / = Vit gp: xy y max/ (5.15) Trờn vũng trũn Mo cũn cú im M3 v M4 l im cú tung ln nht v nht Da vũng trũn Mo ta bit cỏc ng sut tip cc tr: Mụn : Sc bn vt liu F1 31 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng max x y = CM = x y = CM = max/ Vit gp: x y = + xy2 + xy2 + xy2 Vớ d : Mt phõn t trng thỏi ng sut phng chu ng sut nh Hỡnh 5.9 a) Tớnh ng sut trờn mt ct cú phỏp tuyn u nghiờng mt gúc = 45 so vi trc x b) Tớnh cỏc ng sut chớnh c) Tỡm cỏc phng chớnh Bi gii: Cỏch 1: Tớnh theo phng phỏp th: Lp h trc // x; // y v chn t l xớch 1cm 1kN/cm2 OA = y = OB = x = Trờn trc ly A cú v B cú Trung im ca on AB l C cú OC = x + y =1 = xy = 2 v cc D( y ; ) 46 R= + ( ) = 29 Ta c vũng trũn Mohr cú tõm C(1; 0) v a) Tớnh ng sut trờn mt ct nghiờng = 45 : K t D ng thng song song vi u ct vũng trũn Mohr ti M ( u ; uv ) Hình 5-9 Vũng trũn Mo ca phõn t ó cho Mụn : Sc bn vt liu F1 32 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Ta cú: D0 M = 90 acr tan = 68011' CM u R cos(MCM ) = + 29 cos 68011' = (kN/cm2) = xM = CM + OC ) = 1+ uv ' R sin(MCM ) = 29 sin 68011' = -5 (kN/cm2) = yM = MM = MCM = 180 = 90 acr tan b) Tớnh ng sut chớnh: Ta cú: max = CM = OC + R = + 29 = 6,385 (kN/cm2) ( ) = CM = ( R OC ) = 29 = 4,385 (kN/cm2) c) Tỡm cỏc phng chớnh: Ni DM1 v DM3 ta c phng chớnh cn tỡm 01 = DAM = 90 DM A = 90 arctan AD = 90 arctan = 79 06' + 4,385 AM 02 = 01 900 = 10054' Cỏch 2: Tớnh theo phng phỏp gii tớch: a) Tớnh ng sut trờn mt ct nghiờng = 45 : u = 4+6 46 + cos 90 ( ) sin 90 = 2 (kN/cm2) uv = 46 sin 90 + ( ) cos 90 = (kN/cm2) b) Tớnh ng sut chớnh: max 4+6 = + + ( ) = 6,385 (kN/cm2) 4+6 = + ( 2) = 4.385 (kN/cm2) c) Tỡm cỏc phng chớnh: = 2.( ) acr tan = 10 054' 46 = + 90 = 10 054'+90 = 79 06' Mụn : Sc bn vt liu F1 33 V Mnh Thõn [...]... ngoi lc bng: A= P 2 Vỡ A = U nờn ta cú: = Pa 1 1 1 + 2 EF tan cos 3 4.3 Bài toán siêu tĩnh Bi toỏn tnh nh: Khi tỡm cỏc n nh phn lc, ni lc trờn mt ct ngang Ch cn dựng cỏc phng trỡnh cõn bng tnh hc c lp thụi, thỡ ta gi ú l bi toỏn tnh nh S phng trỡnh cõn bng tnh hc c lp = s n Bi toỏn siờu tnh: l bi toỏn m nu ch dựng cỏc phng trỡnh cõn bng tnh hc c lp thỡ s khụng gii c tt c cỏc phn lc, ni lc... :Dựng phng phỏp mt ct : 1-1, 2-2, 3-3 v cú xột cõn bng phn trờn cú N1, N2, N3 b) Tớnh ng sut: c) Bin dng ton phn: d) V biu bin dng (chuyn v): Biu bin dng din t s bin dng ca mt ct ngang theo v trớ ca chỳng i vi mt gc c nh no y õy gc l u ngm v tớnh t ngm ra vi cụng thc: Mụn : Sc bn vt liu F1 17 V Mnh Thõn Bi ging th vic Mụn : Sc bn vt liu F1 Ngnh: Cu ng 18 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Bài. .. trờn) Cui cựng v c biu M, N, Q nh hỡnh v (Hỡnh 2-5) Mụn : Sc bn vt liu F1 12 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Hình 2-5 Cỏc biu ni lc Mụn : Sc bn vt liu F1 13 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Bài 3 : ứng suất trên tiết diện và biến dạng của thanh 3.1 ứng suất trên tiết diện 3.1.1 Quan sỏt bin dng: K trờn b mt thanh cỏc ng song song vi trc thanh (tng trng cho cỏc th dc) v cỏc ng vuụng gúc vi... thc: Mụn : Sc bn vt liu F1 17 V Mnh Thõn Bi ging th vic Mụn : Sc bn vt liu F1 Ngnh: Cu ng 18 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Bài 4 : ứng suất trên mặt cắt nghiêng, thế năng biến dạng đàn hồi và bài toán siêu tĩnh 4.1 ứng suất trên mặt cắt nghiêng Gi s ti K ta tỏch ra khi vt th n hi chu lc mt phõn t cú cỏc mt song song vi cỏc mt phng ca h ta , trong ú mt vuụng gúc vi trc Oz l mt mt chớnh khụng... dz ) Bin dng t i: z = Theo nh lut Hooke: ( dz ) = const dz z = z E (3.2) (3.3) Vi E : hng s t l gi l mouyn n hi Khi kộo (nộn ), E tựy thuc vo mi loi vt liu v cú th nguyờn [ lc / (chiu di)2] n v thng dựng MPa, kN/cm2, N/mm2, E xỏc nh c bng thớ nghim T (3.2) v (3.3) z = E. z = const i vi mi im trờn cựng mt mt ct ngang V t (3.1) N z = z dF = z F F z = Nz F (3.4) Vi F: din tớch mt ct ngang, du... trong thanh (1) v (2) (2 thanh cựng vt liu v cú F1 = F2 = 12cm2) Gi s AD tuyt i cng ( Hỡnh 4.7a ) Bi gii: Hình 4-7 S bi toỏn siờu tnh 2 Mụn : Sc bn vt liu F1 23 V Mnh Thõn Bi ging th vic Ngnh: Cu ng Bài 5 : Trạng tháI ứng suất 5.1 các định nghĩa về trạng tháI ứng suất 5.1.1 Khỏi nim trng thỏi ng sut: Trng thỏi ng sut ti mt im l trng thỏi chu lc ca im ang xột, c c trng bi tp hp cỏc giỏ tr ng sut phỏp ... = +k 2 ( k Z ) 01 = 02 = + 2 Hay: Nh vy t (5.7) luụn luụn tỡm c hai giỏ tr ca l 01 v 02 chờnh lch Vy luụn luụn cú hai phng chớnh thng gúc Ln lt thay 01 v 02 vo (5.2) ta s c... Ngnh: Cu ng Ta cú: D0 M = 90 acr tan = 6 8011 ' CM u R cos(MCM ) = + 29 cos 6 8011 ' = (kN/cm2) = xM = CM + OC ) = 1+ uv ' R sin(MCM ) = 29 sin 6 8011 ' = -5 (kN/cm2) = yM = MM = MCM = 180... Tỡm cỏc phng chớnh: Ni DM1 v DM3 ta c phng chớnh cn tỡm 01 = DAM = 90 DM A = 90 arctan AD = 90 arctan = 79 06' + 4,385 AM 02 = 01 900 = 10054' Cỏch 2: Tớnh theo phng phỏp gii tớch: a)