TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN - CÔNG NGHỆ NGUYỄN CHÍNH TÂM BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Phú Thọ - 2010 BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Dùng cho sinh viên ngành Toán) NGUYỄN CHÍNH TÂM 10/10/2010 Mục lục Chương Không gian véc tơ 1.1 Khái niệm không gian véc tơ 1.2 Độc lập tuyến tính Hệ sinh 1.3 Cơ sở, chiều hạng hệ véc tơ Chương Ma trận 2.1 Các phép toán ma trận 2.2 Ma trận nghịch đảo 2.3 Hạng ma trận 2.4 Ma trận đa thức 10 12 2.5 Một số tập tổng hợp ma trận 14 Chương Định thức 3.1 Các phương pháp tính định thức 18 18 3.2 Một số tính chất định thức 21 3.3 Một số tập tổng hợp định thức 24 Chương Hệ phương trình tuyến tính 31 Chương Ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng véc tơ riêng 34 Tài liệu tham khảo 40 Chương Không gian véc tơ 1.1 Khái niệm không gian véc tơ Bài 1.1 Phương trình tuyến tính ẩn n trường K biểu thức có dạng α1 v1 + α2 v2 + + αn = β , α1 , α2 , , αn , β ∈ K Nếu β = gọi phương trình tuyến tính Chứng minh rằng: (i) Tập hợp nghiệm hệ (hữu hạn vô hạn) phương trình tuyến tính n ẩn trường K lập thành không gian véc tơ K (ii) Tập hợp nghiệm hệ (hữu hạn vô hạn) phương trình tuyến tính không n ẩn trường K không lập thành không gian véc tơ K Bài 1.2 Xét xem tập hợp số tập hợp sau với phép cộng phép nhân (với số) thông thường lập thành không gian véc tơ R : a) Tập dãy số thực hội tụ b) Tập dãy số thực phân kì c) Tập dãy số thực bị chặn p d) Tập dãy số thực thỏa mãn ∑∞ n=1 |an | hội tụ, p số thực khác Bài 1.3 Cho a < b hai số thực Xét xem tập hợp số tập hợp sau với phép cộng phép nhân (với số) thông thường lập thành không gian véc tơ R: a) Tập L[a, b] hàm thực khả tích [a, b] b) Tập Cn (a, b) hàm thực có đạo hàm cấp n liên tục khoảng (a, b) c) Tập C∞ (a, b) hàm thực khả vi vô hạn lần d) Tập hàm thực đoạn [a, b] e) Tập hàm không bị chặn đoạn [a, b] f) Tập hàm thực f thỏa mãn f (a) = g) Tập hàm thực f thỏa mãn f (a) = −1 h) Tập hàm thực đơn điệu tăng [a, b] Bài 1.4 Xét xem tập hợp số tập hợp sau với phép cộng phép nhân (với số) thông thường lập thành không gian véc tơ trường K: Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) a) Tập hợp ma trận trường K với n dòng, m cột b) Tập hợp ma trận vuông đối xứng trường K c) Tập hợp ma trận vuông trường K giao hoán với họ ma trận cho trước d) Tập hợp ma trận vuông trường K với đường chéo e) Tập hợp ma trận (vuông) đường chéo K f) Tập hợp ma trận vuông trường K với định thức Bài 1.5 Cho U không gian V Chứng tỏ hiệu tập hợp V \U không không gian V Bài 1.6 Cho Vi , i ∈ I họ không gian V Kí hiệu ∑i∈I Vi tập hợp phần tử có dạng xi1 + · · · + xin , i1 , , in (n thay đổi) xi j ∈ Vi j với j = 1, , n Chứng tỏ tập lập thành không gian V (được gọi tổng không gian con) Bài 1.7 Cho K trường vô hạn V1 ,V2 , ,Vn không gian V Chứng minh V1 ∪V2 Vn không gian có không gian Vi chứa tất không gian lại Khi trường K hữu hạn sao? Bài 1.8 Cho X họ không gian V thỏa mãn: V1 ,V2 ∈ X tồn V3 ∈ X chứa V1 ,V2 Chứng tỏ hợp không gian X lập thành không gian V Bài 1.9 Một số phức gọi số đại số nghiệm đa thức với hệ số hữu tỉ Chứng minh tập số đại số lập thành không gian véc tơ Q Bài 1.10 Cho K trường vô hạn Chứng tỏ không gian véc tơ không tầm thường K có vô số phần tử Bài 1.11 Chứng tỏ tập Q định nghĩa vô hạn cấu trúc không gian véc tơ Q, xác định cấu trúc không gian véc tơ R Bài 1.12 Cho U V1 ,V2 không gian V Chứng tỏ (U ∩V1 ) + (U ∩V2 ) ⊆ U ∩ (V1 +V2 ) Tìm ví dụ để có bao hàm thức thực Bài 1.13 Cho U không gian V Chứng tỏ tồn không gian W cho V = U +W U ∩W = Bài 1.14 Cho I1 , , Ir iđêan khác iđêan cực đại vành đa thức K [x1 , , xn ] trường vô hạn K Chứng tỏ tồn dạng tuyến tính không nằm ∪ri=1 Ii 1.2 Độc lập tuyến tính Hệ sinh Bài 1.15 Chứng tỏ a) Không gian C [a, b] , a < b, không hữu hạn sinh b) Không gian đa thức n ≥ biến không hữu hạn sinh Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 1.16 Chứng tỏ hệ véc tơ sau độc lập tuyến tính không gian hàm liên tục C [0, 1] a) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x, b) ex , e2x , e3x , Bài 1.17 Chứng tỏ hệ véc tơ xα1 , , xαn , α1 , , αn số thực khác nhau, độc lập tuyến tính không gian hàm liên tục C [0, 1] Bài 1.18 Trong không gian véc tơ Rn , xét hệ véc tơ v1 = (v11 , , v1n ) , , v p = v p1 , , v pn , p ≤ n, có tính chất |vii | > ∑ vi j j=i Chứng tỏ hệ độc lập tuyến tính Bài 1.19 Chứng minh hệ sinh V tìm tập hệ sinh tối tiểu Bài 1.20 Chứng minh hệ sinh không gian hữu hạn sinh chứa hệ sinh hữu hạn Bài 1.21 Tìm ví dụ chứng tỏ tính chất độc lập tuyến tính trở thành hệ sinh phụ thuộc vào đặc số trường Bài 1.22 Cho K trường có đặc số khác Chứng minh tập hợp ei + e j , ≤ i = j ≤ n hệ sinh K n (n ≥ 3) Khi đặc số sao? 1.3 Cơ sở, chiều hạng hệ véc tơ Bài 1.23 Tìm sở số chiều không gian V Rn gồm véc tơ thỏa mãn a) x1 + x2 + · · · + xn = b) x1 + 2x2 + · · · + nxn = Bài 1.24 Tìm sở chiều tập ma trận vuông a) đối xứng cấp n b) phản đối xứng cấp n Bài 1.25 Tìm tọa độ đa thức f (x) bậc n sở 1, x − 1, (x − 1)2 , , (x − 1)n không gian đa thức R có bậc không n Bài 1.26 Giả sử đặc số trường K khác n ≥ Tìm điều kiện để e1 + e2 , e2 + e3 , , en + e1 lập thành sở K n Khi đặc số K sao? Cho A vành (hoặc trường) E = {n ∈ N∗ : n1 = } Nếu E = ∅ ta nói A có đặc số 0, A A E = ∅ phần tử nhỏ E gọi đặc số A Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 1.27 Chứng minh V không gian chiều vô hạn với n tìm hệ n véc tơ độc lập tuyến tính Bài 1.28 Cho V không gian chiều vô hạn Hãy xây dựng dãy tăng thực dãy giảm thực gồm vô hạn không gian V Bài 1.29 Cho dimV = n Chứng tỏ dãy lồng không gian khác V có độ dài tối đa n Hơn dãy bổ sung thành dãy có độ dài n Bài 1.30 Chứng minh dimQ R = ∞ Bài 1.31 Nghiệm đa thức với hệ số hữu tỉ gọi số đại số Chứng minh tổng tích hai số đại số lại số đại số Chương Ma trận 2.1 Các phép toán ma trận Bài 2.1 Giả sử A ma trận vuông cấp n thỏa mãn (XA)2 = với X ma trận vuông cấp n Chứng minh A = Bài 2.2 Cho A B ma trận vuông cấp n cho tồn α, β ∈ K − {0} thỏa mãn AB + αA + β B = Chứng minh AB = BA Bài 2.3 Giải −1 a) X − 2X = −2 b) X − 3X = −2 phương trình sau với ẩn X ∈ M2 (R) −2 −2 Bài 2.4 Giải hệ phương trình sau với ẩn X,Y ∈ M2 (R) XY X = I2 Y XY = I2 Bài 2.5 Cho E tập hợp ma trận vuông cấp trường C có dạng   a b b c b a c b   b c a b c b b a a) Chứng minh E đại số kết hợp, có đơn vị M4 (C) dim(E) = b) Giải phương trình X = I4 với ẩn X ∈ E Bài 2.6 Cho a, b ∈ C k ∈ N∗ Tính Ak  a b A=  với A ma trận vuông cấp n có dạng  b ··· b a · · · b   b b ··· a Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 2.7 Tìm tất ma trận A = a b ∈ M2 (K) cho với ∀k ∈ N∗ ta có c d Ak = ak bk ck d k Bài 2.8 a) Chứng minh ma trận vuông cấp n giao hoán với ma trận đường chéo cấp ma trận đường chéo b)Chứng minh ma trận vuông A cấp n ≥ giao hoán với tất ma trận vuông cấp ma trận vô hướng, tức ma trận có dạng aI, a ∈ K I ma trận đơn vị cấp n Bài 2.9 Vết ma trận vuông A tổng phần tử đường chéo A kí hiệu tr(A) Chứng minh A, B hai ma trận vuông cấp AB BA có vết Bài 2.10 Tồn hay không ma trận A, B trường có đặc số thỏa mãn đẳng thức AB − BA = I Nếu trường có đặc số khác sao? Bài 2.11 Một ma trận vuông gọi ma trận đối xứng (phản đối xứng) j = a ji (ai j = −a ji ) với i, j a) Chứng minh trường sở có đặc số khác tập ma trận đối xứng tập ma trận lập thành không gian bù không gian véc tơ ma trận vuông cấp Nếu trường có đặc số sao? b) Chứng tỏ tích hai ma trận đối xứng (hoặc phản đối xứng) ma trận đối xứng chúng giao hoán với Bài 2.12 Cho A, B hai ma trận phản đối xứng cấp Chứng tỏ AB phản đối xứng AB = −BA Tìm ví dụ hai ma trận phản đối xứng khác thỏa mãn điều kiện Bài 2.13 Ma trận vuông A gọi ma trận lũy linh bậc k k ≥ để Ak−1 = Ak = a) Chứng tỏ A, B hai ma trận lũy linh tích tổng chúng hai ma trận lũy linh b) Chứng tỏ ma trận tam giác ma trận lũy linh phần tử đường chéo Bài 2.14 Cho A1 , A2 , , An ma trận vuông cấp n có tất phần tử đường chéo Chứng tỏ A1 A2 An = 2.2 Ma trận nghịch đảo Bài 2.15 Chứng minh A ma trận lũy linh bậc k I + A I − A ma trận khả nghịch Hãy tìm ma trận nghịch đảo (I + A)−1 (I − A)−1 Áp dụng kết tìm ma trận nghịch đảo ma trận:   0 B = a 0 c b 1 Cho A vành (hoặc trường) E = {n ∈ N∗ : n1 = } Nếu E = ∅ ta nói A có đặc số 0, A A E = ∅ phần tử nhỏ E gọi đặc số A Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 2.16 Nếu A, B hai ma trận vuông cấp thỏa mãn AB = BA tồn hai số nguyên dương r, s thỏa mãn Ar = Bs = ma trận In + A + B khả nghịch Bài 2.17 Tìm ma trận nghịch a)  0  0    0 đảo ma trận vuông cấp n 0  ··· n−1 n · · · n − n − 1  · · · n − n − 2    ···  ··· 0 b) 1  1    1 1 ··· ··· ··· 1 ···  1  1   c)   n  n −      ··· n−1 n · · · n − n − 1  · · · n − n − 2    ···  ··· n n d) a a+h a + 2h a + (n − 1)h a a+h  a + (n − 2)h a + (n − 1)h a     a + 2h a + 3h a + 4h a+h a + 2h a + 3h  Bài 2.18 Với λ = A ma trận  λ 0  0 A=   0 ··· ··· ··· ··· ···  a + (n − 2)h a + (n − 1)h a + (n − 3)h a + (n − 2)h  a + (n − 4)h a + (n − 3)h    a a+h  a + (n − 1)h a vuông cấp n có dạng  ··· 0 λ ··· 0  λ ··· 0    0 ··· λ 1 0 ··· λ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A? Bài 2.19 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận vuông cấp n (nếu có) Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 3.60 Cho số thực λ1 , λ2 , , λn đôi khác khác giá trị 0, −1, −2, , −n + ma trận   1 · · · λ2 λn  λ11  1 · · ·  λ1 +1  λ +1 λ +1 n A=    ···   ··· 1 λ +n−1 λ +n−1 · · · λn +n−1 Chứng minh detA = Bài 3.61 Cho A ∈ Mn (R) thỏa mãn A + At = Chứng minh det In + αA2 ≥ 0, ∀α ∈ R Bài 3.62 Cho A ∈ M4 (R) thỏa mãn A3 = I4 Tính det (A + I4 ) Bài 3.63 Với p ∈ N x ∈ R, đặt 1 ϕ p (x) = 0 ··· ··· ··· ··· 0 0 0 x x2 x3 x4 C1p C2p C3p · · · C pp−1 x p p−1 C1p+1 C2p+1 C3p+1 · · · C p+1 x p+1 a) Tính ϕ p (x + 1) − ϕ p (x) b) Chứng minh với ∀n ∈ N∗ ta có ϕ p (n + 1) = (p + 1)! ∑nk=1 k p c) Từ suy giá trị ∑nk=1 k, ∑nk=1 k2 , ∑nk=1 k3 với n ∈ N∗ Bài 3.64 Tính detA với A ma trận A = j j = (−1)|i− j| ij ∈ Mn (Z) xác định i = j i = j Bài 3.65 Cho n = 2k + 1, k ∈ N∗ ma trận A = j   2 j =  0 ij ∈ Mn (Z) xác định i = j i − j ≡ ±2 (mod n) với giá trị khác i, j Tính detA? Bài 3.66 Tính định thức ma trận a) A = j , j = i chia hết j j = ngược lại b) B = bi j , bi j số ước chung i j 26 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 3.67 Cho A, B ∈ Mn (R) thỏa mãn A2011 = AB = 2010A + 2009B Chứng minh a) B2011 = b) det (A + 2009B) = Bài 3.68 Cho A ∈ GLn (R), giả sử P1 (x) , P2 (x) , , Pn (x) hệ n đa thức biến x thỏa mãn đẳng thức     x P1 (x) x2  P2 (x)    A   =   xn Pn (x) Chứng minh tìm n số thực a1 , a2 , , an ∈ [2010, 2011] cho det (Pi (ai ))n = Bài 3.69 Cho 2011 đa thức fi (x) = a0i + a1i x + · · · + a2009 x2009 với i ∈ {1, 2, , 2011} ma trận vuông cấp 2011   f1 (1) f1 (2) · · · f1 (2011)  f2 (1) f2 (2) · · · f2 (2011)   A=   f2011 (1) f2011 (2) · · · f2011 (2011) Tính detA? Bài 3.70 Cho A = j ma trận vuông cấp 2011 có j = max {i, j} Tính detA? Bài 3.71 Cho ma trận  1 1 1 −1 −1  A= 1 −1 −1 −1 −1  Tính det A2011 − A Bài 3.72 Cho A ma trận thực, vuông cấp n cho A−1 = 2011A Tính det A2011 − A Bài 3.73 Cho A, B ∈ M2012 (R) thỏa mãn detA = det (A + B) = det (A + 2B) = · · · = det (A + 2012B) = a) Chứng minh det (xA + yB) = với x, y ∈ R b) Tìm ví dụ chứng tỏ kết luận không có detA = det (A + B) = det (A + 2B) = · · · = det (A + 2011B) = Bài 3.74 Cho A, B ∈ Mn (R) với rankB = Chứng minh det (A − B) det (A + B) ≤ det A2 Bài 3.75 Cho A, B ma trận thực vuông cấp n Chứng minh det(In − AB) = det(In − BA) 27 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 3.76 Cho A ma trận thực cấp (n + 1) × n B ma trận thực cấp n × (n + 1) Chứng minh det(AB − In+1 ) + det(BA − In ) = Bài 3.77 Định thức phụ hợp D định thức D định thức nhận từ D cách thay phần tử phần bù đại số Chứng minh D = Dn−1 Bài 3.78 Ma trận phụ hợp A ma trận vuông A ma trận nhận từ A cách thay phần tử phần bù đại số Tìm rankA qua rankA Bài 3.79 Chứng minh tổng phần bù đại số phần tử ma trận A = j định thức ··· · · · a2n − a1n · · · a3n − a1n ··· · · · ann − a1n 1 a21 − a11 a22 − a12 a31 − a11 a32 − a12 an1 − a11 an2 − a12 Bài 3.80 Cho A = j ma trận vuông cấp n B = a pq ma trận vuông cấp m Tích Kronecker hai ma trận ma trận vuông cấp nm định nghĩa dạng ma trận khối sau   Ab11 Ab12 · · · Ab1m  Ab21 Ab22 · · · Ab2m  A×B =     Abm1 Abm2 · · · Abmm Chứng minh |A × B| = |A|m |B|n Bài 3.81 Chứng minh kn kn−1 kn−2 sn−1 (k) = n! k2 k Cnn−2 Cnn−3 n−2 n−3 Cn−1 Cn−1 n−3 Cn−2 0 0 · · · Cn1 · · · Cn−1 · · · Cn−2 · · · C21 ··· sn (k) = 1n + 2n + · · · + (k − 1)n x ta Bài 3.82 Khai triển hàm số ln(1 + x) x = + a1 x + a2 x2 + · · · ln(1 + x) Chứng minh an = 1 n+1 n 1 n−1 28 ··· ··· ··· · · · 21 1 1 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 3.83 Chứng minh an = 1! 2! 3! 1! 2! 1! (n)! (n−1)! Bài 3.84 Khai triển hàm số ··· ··· ··· 0 = n! (n−2)! ··· 1! 1 x ta ex − x = + b1 x + b2 x2 + · · · ex − Ta đặt b2n = (−1)n−1 Bn (2n)! , Bn gọi số Bernoulli thứ n Chứng minh Bn = (−1)n−1 (2n)! 2! 3! 4! 2! 3! 2! (2n+1)! (2n)! ··· ··· ··· 0 (2n−1)! ··· 2! Bài 3.85 Chứng minh s − a1 s − a2 s − an s − a1 · · s − a2 s − a3 · · · s − an · · · s − an−1 = (−1)n−1 (n − 1) ··· · · · · s − a1 a1 a2 an a1 · · a2 a3 · · · an · · · an−1 ··· · · · · a1 s = a1 + · · · + an Bài 3.86 Cho đa thức P (x) = x(x + 1) (x + n) Tính định thức sau P(x) P(x + 1) P (x + 1) P (x) · · (n) (n) P (x) P (x + 1) (n+1) P (x) P(n+1) (x + 1) ··· P(x + n) ··· P (x + n) ··· · (n) · · · P (x + n) · · · P(n+1) (x + n) Bài 3.87 Cho đa thức P (x) = (x − a1 )(x − a2 ) (x − an ) Tính định thức sau P(x) x − a1 a1 a21 · n−2 a1 P(x) x − a2 a2 a22 · n−2 a2 29 ··· ··· ··· ··· ··· ··· P(x) x − an an a2n · n−2 an Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 3.88 Cho A ma trận vuông cấp n, vết ma trận A tổng phần tử đường chéo A kí hiệu tr(A) Chứng minh tr(A) 0 tr(A ) tr(A) tr(A3 ) tr(A2 ) tr(A) |A| = · · · · n! n−1 n−2 n−3 tr(A ) tr(A ) tr(A ) tr(An−4 ) tr(An ) tr(An−1 ) tr(An−2 ) tr(An−3 ) 30 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· · · · · · tr(A) n − · · · tr(A2 ) tr(A) Chương Hệ phương trình tuyến tính Bài 4.1 Xét hệ phương trình tuyến tính n ẩn m phương trình với ma trận liên kết A b ∈ K m Kí hiệu ϕ ánh xạ tuyến tính từ K n vào K m với ma trận biểu diễn A theo cặp sở tự nhiên Chứng tỏ a) i ∈ K n nghiệm hệ phương trình tuyến tính liên kết u ∈ Kerϕ b) Hệ phương trình cho có nghiệm b ∈ Imϕ Bài 4.2 Chứng minh hệ phương trình tuyến tính với m phương trình rankA = m có nghiệm Đó có phải điều kiện cần để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm thay đổi tùy ý hệ số tự không? Bài 4.3 Chứng tỏ hệ phương trình tuyến tính với số ẩn nhiều số phương trình (trên trường vô hạn) vô nghiệm có vô số nghiệm Bài 4.4 Cho hệ phương trình tuyến tính thuền có hạng ma trận liên kết nhỏ số biến đơn vị Chứng minh hai nghiệm tùy ý tỉ lệ với (tức véc tơ nghiệm bội véc tơ nghiệm kia) Bài 4.5 Cho V không gian K n Chứng minh tồn hệ phương trình tuyến tính nhận V làm tập nghiệm Số phương trình tối thiểu tập bao nhiêu? Bài 4.6 Cho hệ véc tơ v1 , v2 , , ∈ km Chứng tỏ hệ véc tơ độc lập tuyến tính hệ phương trình tuyến tính n với ma trận liên kết gồm cột véc tơ vi có nghiệm tầm thường Bài 4.7 Cho x1 , x2 , , xn+1 ∈ K n + phần tử khác Chứng minh tồn đa thức f ∈ K[t] bậc n cho f (xi ) = βi , i ∈ {1, 2, , n + 1}, với β1 , β2 , , βn+1 ∈ K Nói cách khác đa thức bậc n xác định giá trị n + điểm Từ suy n+1 f (t) = (x − x1 ) · · · (x − xi−1 ) (x − xi+1 ) · · · (x − xn+1 ) ∑ (xi − x1) · · · (xi − xi−1) (xi − xi+1) · · · (xi − xn+1) βi i=1 Bài 4.8 Cho L mở rộng trường K Chứng minh hệ phương trình có hệ số K có nghiệm L có nghiệm K 31 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 4.9 Cho a1 , a2 , , am ∈ Rn xem Rn không gian Ơclit Hãy đặc trưng véc tơ x ∈ Rn trực giao với tất véc tơ Từ tính dimV ⊥ , V không gian sinh a1 , a2 , , am Bài 4.10 Cho a ∈ Mm×n (K) Chứng minh hệ phương trình Ax = b có nghiệm nghiệm v hệ phương trình tuyến tính At y = có tính chất v1 b1 + · · · + vm bm = Bài 4.11 Giả sử A ma trận vuông cấp n không suy biến Chứng minh A khả nghịch tìm công thức A−1 Bài 4.12 Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b, A ∈ Mn (Z) b ∈ Zn Chứng minh |A| = ±1 hệ phương trình có nghiệm nguyên Ngược lại, với b ∈ Zn hệ phương trình tương ứng có nghiệm nguyên A ∈ Mn (Z) Bài 4.13 Chứng minh hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn ta xay dựng nghiệm sau: ứng với biến thứ i ta gán cho giá trị định thức nhận từ ma trận liên kết cách bỏ cột thứ i, lấy với dấu đan (tức nhân với (−1)i ) Hơn nữa, nghiệm không tầm thường nghiệm khác nghiệm bội nghiệm Bài 4.14 Cho hệ phương trình   ∗x + ∗y + ∗z = ∗x + ∗y + ∗z =  ∗x + ∗y + ∗z = Hai người điền hế số vào chỗ đánh dấu ∗ Chứng minh người đầu làm cho hệ phương trình có nghiệm tầm thường Người thứ hai có đạt điều không? Đối với hệ phương trình tuyến tính n ẩn, n phương trình sao? Bài 4.15 Cho n = 2k + 1, với k ∈ N ma trận A = (ai j ) ∈ Mn (R) thỏa mãn aii = λ j = −a ji , ∀i = j Với x ∈ Rn b ∈ Rn , tìm điều kiện λ để hệ phương trình Ax = b có nghiệm Bài 4.16 Cho A = (ai j ) ∈ Mn (K) cho detA = Gọi Ai j phần phụ đại số phần tử j Giả sử A11 = 0, tìm hệ nghiệm hệ phương trình sau n ∑ Ai j x j = (i ∈ {1, 2, , n}) j=1 32 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Giải hệ phương trình sau  x1 + x2 + · · · + xn =1      =b a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 2 Bài 4.17 a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b2    ·····················    n−1 n−1 n−1 a1 x1 + an−1 x2 + · · · + an xn = b  x  x1 + x2!2 + · · · + n−1 + xn!n = xn   (n − 1)!    x1 + x2 + · · · + xn−1 + x = xn−1 n n! Bài 4.18 2! 3!  ·································    x   xn!1 + x2 + · · · + n−1 + xn = x1 (n − 2)! (n − 1)!  x1 + 2x2 + 3x3 + · · · + (n − 1) xn−1 + nxn      x2 + 2x3 + 3x4 + · · · + (n − 1) xn + nx1 Bài 4.19 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·    xn−1 + 2xn + 3x1 + · · · + (n − 1) xn−3 + nxn−2    xn + 2x1 + 3x2 + · · · + (n − 1) xn−2 + nxn−1  x1 − x2 − x3 − · · · − xn = 2a      = 4a −x1 + 3x2 − x3 − · · · − xn Bài 4.20 −x1 − x2 + 7x3 − · · · − xn = 8a   · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·    −x1 − x2 − x3 − · · · + (2n − 1) xn = 2n a  n xn + a1 xn−1 + a21 xn−2 + · · · + an−1  x1 + a1 =   x + a x n−1 n n n−1 + a2 xn−2 + · · · + a2 x1 + a2 = Bài 4.21  ··········································    n xn + an xn−1 + a2n xn−2 + · · · + an−1 n x1 + an = a1 , a2 , , an số thực (hoặc phức) đôi =1 =2 = n−1 =n khác Bài 4.22 Cho , bi , i ∈ {1, 2, , n} 2n số thực cho trước đôi khác Giải tính tổng nghiệm hệ phương trình  x + a x−2 b + · · · + a x−n b =   a − b n 1    x1 + x2 + · · · + xn = a2 − b1 a2 − b2 a2 − bn  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·····     x1 + x2 + · · · + xn = an − b1 an − b2 an − bn 33 Chương Ánh xạ tuyến tính Giá trị riêng véc tơ riêng Bài 5.1 Cho ϕ, ψ : V → U hai ánh xạ tuyến tính tùy ý Chứng tỏ a) Nếu p : U → V toàn ánh (cố định) ϕ = ψ hai toán tử tuyến tính ϕ p ψ p U b) Nếu q : U → V đơn ánh ϕ = ψ hai toán tử tuyến tính qϕ qψ V Bài 5.2 Chứng minh véc tơ khác véc tơ riêng toán tử tuyến tính ϕ ϕ = αid Bài 5.3 Cho vi1 , , vimi véc tơ độc lập tuyến tính véc tơ riêng toán tử tuyến tính ϕ ứng với giá trị riêng λi , i = 1, , r Giả sử λ1 , , λr đôi khác Chứng minh hệ véc tơ ri=1 {vi1 , , vimi } độc lập tuyến tính Từ suy điều kiện cần đủ để ϕ chéo hóa m1 +· · ·+mr = n (n = dimV ) Bài 5.4 Ma trận A có phần tử a1 , , an−1 nằm đường chéo đường chéo tất phần tử lại Tìm điều kiện cần đủ để A chéo hóa Bài 5.5 Cho ϕ, ψ hai toán tử tuyến tính V Chứng minh ϕψ ψϕ có giá trị riêng Bài 5.6 Giả sử ϕ khả nghịch Chứng tỏ λ giá trị riêng ϕ λ −1 giá trị riêng ϕ −1 Hơn nữa, v véc tơ riêng ϕ véc tơ riêng ϕ −1 ứng với λ −1 Bài 5.7 Chứng tỏ toán tử tuyến tính không gian véc tơ chiều lẻ R có véc tơ riêng Bài 5.8 Chứng tỏ toán tử tuyến tính không gian véc tơ chiều hữu hạn C có véc tơ riêng Điều có không dimV = ∞? Bài 5.9 Cho f (t) ∈ K [t] A ma trận vuông có giá trị riêng λ Chứng minh ma trận đa thức f (A) có giá trị riêng f (λ ) Bài 5.10 Cho λ giá trị riêng toán tử tuyến tính ϕ không gian véc tơ hữu hạn chiều Giả sử (t − λ )r lũy thừa lớn t − λ chia hết fϕ (t) Chứng minh chiều không gian riêng ứng với λ không vượt qua r 34 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 5.11 Xác định tất ma trận vuông cấp chéo hóa a) R a) C Bài 5.12 Cho ϕ, ψ hai toán tử tuyến tính V giao hoán với Chứng tỏ v véc tơ riêng ϕ ứng với giá trị riêng λ ψ(v) = ψ(v) véc tơ riêng ϕ Bài 5.13 Chứng tỏ hai ma trận vuông A At có chung giá trị riêng Tìm ví dụ chứng tỏ chúng không chung véc tơ riêng Bài 5.14 Cho A ma trận vuông cấp n v1 , v2 , , ∈ K n véc tơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng λ1 , λ2 , , λn Cho P ma trận có cột véc tơ v1 , v2 , , Chứng minh P−1 AP ma trận đường chéo diag(λ1 , λ2 , , λn ) Bài 5.15 Cho ϕ toán tử tuyến tính không gian véc tơ chiều n có n giá trị riêng khác Chứng minh toán tử tuyến tính ψ giao hoán với ϕ véc tơ riêng ϕ véc tơ riêng ψ Bài 5.16 Cho A B hai ma trận vuông cấp Chứng minh AB BA có đa thức đặc trưng Bài 5.17 Cho ma trận ··· ··· ··· ··· 0  A=  0   0    0 0 Chứng minh A chéo hóa tìm ma trận P khả nghịch để P−1 AP ma trận đường chéo Bài 5.18 Tìm điều kiện cần đủ để ma trận A có phần tử đường chéo phụ a1 , , an phần tử khác chéo hóa C Bài 5.19 Tìm giá trị riêng ma trận At A, A = (a1 , , an ) Bài 5.20 Cho λ nghiệm đa thức đặc trưng ma trận vuông A cấp n với số bội p Đăt r = rank (A − λ In ) Chứng minh ≤ n−r ≤ p Bài 5.21 Tìm giá trị riêng ma trận  a1 a2 a3  an a1 a2  a an a1 A=  n−1  a2 a3 a4 35 chu trình sau C  · · · an · · · an−1   · · · an−2    ··· a1 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 5.22 Chứng minh toán tử tuyến tính ϕ không gian véc tơ chiều n K ⊆ C lũy linh (tức ϕ k = với k > đó) đa thức đặc trưng (−t)n Bài 5.23 Chứng minh hệ số đa thức đặc trưng fA (t) ma trận vuông A tính sau fA (t) = |A − tIn | = (−t)n + c1 (−t)n−1 + c2 (−t)n−2 + · · · + cn ck tổng định thức cấp k ma trận A Bài 5.24 Tìm đa thức cực tiểu a) ϕ(x, y, z) = (x, x + 2y + z, −x + z) b) ϕ(x, y, z) = (4x − 2y + 2z, −5x + 7y − 5z, −6x + 6y − 4z) Bài 5.25 Tìm đa thức đặc trưng đa thức cực tiểu có ma trận biểu diễn    0 0 0 0 0     B= A= 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 toán tử tuyến tính 0 0 0  0  0  2 Bài 5.26 Cho f , g ∈ K [t] m, d tương ứng bội chung nhỏ ước chung lớn hai đa thức Chứng minh rằng1 H(d) = H( f ) ∩ H(g), H(m) = H( f ) ∪ H(g) Bài 5.27 Tìm đa thức cực tiểu ma trận  a b1 · · · 0 a b2 · · ·  A= · · · ··· 0 0 · · · 0 ···  0 0   · ·   a bn−1  a b1 , , bn−1 khác Bài 5.28 Tìm đa thức cực tiểu ma trận đường chéo khối A =diag(A1 , , Ar ) với a) Ai = Imi , i = 1, 2, , r, a1 , , ar đôi khác m1 , , mr ≥ b) Ai ma trận vuông cấp mi có phần tử nằm đường chéo , phần tử nằm đường chéo thứ hai phía đường chéo 1, lại 0, a1 , , ar đôi khác m1 , , mr ≥ Bài 5.29 Chứng minh tập giá trị riêng toán tử tuyến tính ϕ tập nghiệm đa thức cực tiểu Bài 5.30 Chứng tỏ ma trận vuông A At có đa thức cực tiểu H( f ) = Ker f (ϕ), f (t) = a + a t + · · · + a t m ∈ K [t] ϕ toán tử tuyến tính không gian véc tơ m hữu hạn chiều V K 36 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 5.31 Giả sử f ∈ K [t] đa thức đơn, bất khả quy f (ϕ) = Chứng tỏ f đa thức cực tiểu ϕ Bài 5.32 Chứng minh đa thức đặc trưng fϕ chia hết gϕ , n chiều không gian.Có thể giảm n thành số nhỏ không? Từ suy gϕ phải chứa tất đa thức bất khả quy fϕ Bài 5.33 Cho deggϕ = m Chứng tỏ ϕ khả nghịch ϕ −1 đa thức bậc m − ϕ Bài 5.34 Chứng minh toán tử tuyến tính không gian véc tơ hữu hạn chiều chéo hóa K đa thức cực tiểu phân tích thành tích đa thức tuyến tính đơn khác nhau, tức có dạng gϕ = (t − α1 ) (t − α2 ) · · · (t − αr ) α1 , α2 , , αr ∈ K đôi khác Bài 5.35 Chứng minh toán tử tuyến tính tuần hoàn (tức ϕ k =id với k > 0) không gian véc tơ hữu hạn chiều chéo hóa C Bài 5.36 Cho đặc số trường Tìm đa thức cực tiểu ma trận vuông A cấp 3, mà trước phân tích đa thức đặc trưng thành tích nhân tử bất khả quy Bài 5.37 Tìm thuật toán xác định đa thức cực tiểu ma trận vuông A cấp n tùy ý mà trước phân tích đa thức đặc trưng thành nhân tử bất khả quy Bài 5.38 Cho f (t) ước có bậc đa thức cực tiểu ma trận A Chứng minh f (A) có định thức Bài 5.39 Cho p(t) đa thức bất khả quy cho |p(A)| = Chứng minh p(t) ước đa thức cực tiểu A Bài 5.40 Cho đa thức P(x) = x4 −5x3 +11x2 −12x+6 Biết phương trình P(x) = có nghiệm − i Chứng minh A ma trận vuông cấp n thỏa mãn P(A) = A giá trị riêng số thực Bài 5.41 Cho ma trận A λ1 , λ2 giá trị riêng phân biệt Giả sử α1 , α2 hai véc tơ riêng ứng với λ1 , λ2 Hỏi α1 + α2 có véc tơ riêng A không? Bài 5.42 Cho ma trận   x1 + x2 1 x2 + x3  A= 1 x3 + x1 x1 , x2 , x3 nghiệm đa thức f (x) = x3 + ax + 2012 a) Tính detA b) Tồn hay không giá trị a để ma trận A có giá trị riêng 2012? Cho toán tử tuyến tính ϕ không gian véc tơ V Đa thức cực tiểu ϕ đa thức chuẩn (tức có hệ số đầu 1) g ∈ K [t] có bậc nhỏ cho g (ϕ) = Đa thức cực tiểu kí hiệu gϕ 37 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 5.43 Cho ma trận   −2 A=  −4 a) Chứng minh A chéo hóa chéo hóa A b) B = 16 A Chứng minh với n ∈ N ta có (B + I3 )n = (2n − 1) B + I3 Bài 5.44 Cho f : V → V toán tử tuyến tính không gian véc tơ n chiều V Giả sử tồn véc tơ v1 , v2 , , khác véc tơ V thỏa mãn điều kiện f (v1 ) = v1 + v2 , f (v2 ) = v2 + v3 , , f (vn−1 ) = vn−1 + , f (vn ) = Chứng minh f đẳng cấu tuyến tính Bài 5.45 Cho A ∈ M3 (R) cho A3 + A = dạng với ma trận  0 B = 0 0 −1 Bài 5.46 Tính A = Chứng minh A đồng  1 2012  −15 1 −5  −4 Bài 5.47 Cho {un }n∈N , {vn }n∈N , {wn }n∈N dãy số thực xác định bởi: u0 = 0, v0 = w0 = 22 ∀n ∈ N   4un+1 = 2un + + wn 3vn+1 = un + + wn  4w n+1 = un + + 2wn Tính un , , wn nghiên cứu hội tụ dãy Bài 5.48 Cho ma trận   −5 A = 5 −7 3 −9 Tính f (A), biết f (x) = 2011x2011 − 2010x2010 + · · · + x Bài 5.49 Cho n ∈ N∗ , A ∈ Mn (C) cho A4 = 7A3 − 12A2 Chứng minh tr(A) ∈ N tr(A) ≤ 4n Bài 5.50 Cho ma trận   1 A = 0 1  0 −1 38 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) W = {X ∈ M3 (R) : AX = XA}, U = {p(A) : p(x) ∈ R [x]} a) Chứng minh U,W không gian véc tơ M3 (R) U ⊂ W b) Chứng minh dimW = dimU = Từ suy B ∈ M3 (R) AB = BA tồn p(x) ∈ R [x] cho B = p(A) Bài 5.51 Cho ma trận   1 1 1 −1 −1  A= 1 −1 −1 −1 −1 Tìm ma trận B vuông cấp cho B2012 = A Bài 5.52 Cho ma trận A ∈ Mn (R) với rankA = Chứng minh det(In + A) = + tr(A) Bài 5.53 Cho ma trận A ∈ Mn (C) có tr(Ak ) = 0, ∀k ∈ {1, 2, , n} Chứng minh A ma trận lũy linh Bài 5.54 Chứng minh hai ma trận vuông cấp đồng dạng với chúng có đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng Nếu trùng đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng có không? Bài 5.55 Hai ma trận vuông cấp có đồng dạng với không chúng có đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng Bài 5.56 Chứng minh ma trận vuông A At đồng dạng với Bài 5.57 Cho λ nghiệm bội k đa thức đặc trưng ma trận vuông A Chứng minh với đa thức g ∈ K [t], g(λ ) nghiệm bội k đa thức đặc trưng g(A) 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, (2007) [2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, (2006) [3] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, (2001) [4] Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, (2001) 40 [...]... hệ phương trình tuyến tính với m phương trình và rankA = m luôn có nghiệm Đó có phải và điều kiện cần để mọi hệ phương trình tuyến tính như vậy luôn có nghiệm khi thay đổi tùy ý các hệ số tự do không? Bài 4.3 Chứng tỏ rằng một hệ phương trình tuyến tính với số ẩn nhiều hơn số phương trình (trên trường vô hạn) thì hoặc vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm Bài 4.4 Cho hệ phương trình tuyến tính thuền nhất... dòng có cùng chỉ số 12 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 2.56 Tính 2012 1 −2 1 A = −1 1 0 −2 0 1 a) 2012 4 3 −3 B = 2 3 −2 4 4 −3   b) Bài 2.57 Không dùng định lí Cayley-Hamilton chứng tỏ rằng với mọi ma trận vuông A đều tồn tại đa thức f (x) khác 0 làm nghiệm Bài 2.58 Cho A = a b c d là ma trận trên C và f (x) là một đa thức tùy ý Tính f (A) Bài 2.59 Cho... trái được gọi là định thức chu trình Bài 3.32 Tính định thức phản chu trình sau đây a1 a2 a3 −an a1 a2 −an−1 −an a1 −a2 −a3 −a4 · · · an · · · an−1 · · · an−2 · · · a1 Bài 3.33 Tính định thức a1 a2 a3 an z a1 a2 an−1 z an z a1 a2 z a 3 z a 4 z 22 · · · an · · · an−1 · · · an−2 · · · a1 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 3.34 Cho sk = x1k + x2k + · · ·... (k − 1)n x ta được Bài 3.82 Khai triển hàm số ln(1 + x) x = 1 + a1 x + a2 x2 + · · · ln(1 + x) Chứng minh rằng an = 1 2 1 3 1 4 1 1 n+1 1 n 0 1 1 2 1 3 1 2 1 n−1 28 ··· 0 ··· 0 ··· 0 · · · 21 1 1 1 1 1 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 3.83 Chứng minh rằng an = 1 1! 1 2! 1 3! 1 1! 1 2! 1 1! 1 (n)! 1 (n−1)! Bài 3.84 Khai triển hàm số ··· ··· ··· 0 0... a1 bn Bài 3.27 Tính định thức (a0 + b0 )n (a0 + b1 )n (a1 + b0 )n (a1 + b1 )n (an + b0 )n (an + b1 )n 21 · · · (a0 + bn )n · · · (a1 + bn )n · · · (an + bn )n Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 3.28 Tính định thức (a1 + b1 )−1 (a1 + b2 )−1 (a2 + b1 )−1 (a2 + b2 )−1 −1 (an + b1 ) (an + b2 )−1 · · · (a1 + bn )−1 · · · (a2 + bn )−1 · · · (an + bn )−1 Bài. .. ··· b b b · b b b b · a (mỗi dòng gồm p số a và n − p số b) Cmp Cmp+1 p p+1 Cm+1 Cm+1 Bài 3.44 p p+1 Cm+n Cm+n · · · Cmp+n p+n · · · Cm+1 p+n · · · Cm+n 1 0 0 0 1 C11 0 0 Bài 3.45 1 C21 C22 0 · · · · 1 2 1 Cn Cn Cn3 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· · n−1 · · · Cn x0 x1 x2 · xn 3.3 Một số bài tập tổng hợp về định thức Bài 3.46 Chứng minh rằng tổng các phần bù đại số của các phần tử trong một định thức không... b) Cho ví dụ về A, B ∈ GL2 (R) sao cho AB + BA = 0 24 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 3.51 Kí hiệu SLn (K) = {A ∈ Mn (K) : detA = 1} Chứng minh rằng a) SLn (K) là nhóm con của GLn (K) đối với phép nhân Nhóm con đó được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt b) ∀A ∈ GLn (C) , ∃ α ∈ C∗ và ∃ B ∈ SLn (C) sao cho A = αB Bài 3.52 Giả sử n ∈ N − {0, 1} Tìm tất cả các ma trận... c   d a −b −c b a Tính det (A − λ I4 ) 25 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 3.60 Cho các số thực λ1 , λ2 , , λn đôi một khác nhau và khác các giá trị 0, −1, −2, , −n + 1 và ma trận   1 1 1 · · · λ2 λn  λ11  1 1 · · ·  λ1 +1  λ +1 λ +1 n 2 A=    ···   ··· 1 1 1 λ +n−1 λ +n−1 · · · λn +n−1 1 2 Chứng minh rằng detA = 0 Bài 3.61 Cho A ∈ Mn (R)... 0 Bài 3.74 Cho A, B ∈ Mn (R) với rankB = 1 Chứng minh rằng det (A − B) det (A + B) ≤ det A2 Bài 3.75 Cho A, B là các ma trận thực vuông cùng cấp n Chứng minh rằng det(In − AB) = det(In − BA) 27 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 3.76 Cho A là ma trận thực cấp (n + 1) × n và B là ma trận thực cấp n × (n + 1) Chứng minh rằng det(AB − In+1 ) + det(BA − In ) = 0 Bài. .. vuông Chứng minh rằng 0 C đa thức tối tiểu gA là bội chung nhỏ nhất của các đa thức tối tiểu gB và gC Bài 2.65 Cho A = 13 Bài tập Đại số tuyến tính Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889) Bài 2.66 Chứng tỏ rằng một ma trận vuông là khả nghịch khi và chỉ khi đa thức tối tiểu của nó có hệ số tự do khác 0 Bài 2.67 a) Cho A là ma trận vuông và f (x) là đa thức tùy ý Chứng minh rằng f (A)t = f (At ) Nói