I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC -* - HONG VN ễNG VNH, TRNG BC HAI V NG DNG LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn - 2015 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC -* - HONG VN ễNG VNH, TRNG BC HAI V NG DNG Chuyờn ngnh: Phng phỏp Toỏn s cp Mó s: 60 46 01 13 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS Lấ TH THANH NHN Thỏi Nguyờn - 2015 Mục lục Mục lục Lời nói đầu Kiến thức mở rộng vành tr-ờng 1.1 Kiến thức 1.2 Mở rộng vành tr-ờng Vành tr-ờng bậc hai 13 2.1 Tr-ờng bậc hai 13 2.2 Vành bậc hai vành số nguyên đại số 21 Một số ứng dụng giải toán sơ cấp 31 3.1 Sử dụng tr-ờng bậc hai 31 3.2 Sử dụng chuẩn vành bậc hai 32 3.3 Sử dụng phân tích vành bậc hai 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu Tr-ờng Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, đ-ợc nhận đề tài nghiên cứu \Vành, tr-ờng bậc hai ứng dụng" d-ới h-ớng dẫn PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Đến nay, luận văn đ-ợc hoàn thành Có đ-ợc kết dạy bảo h-ớng dẫn tận tình nghiêm khắc Cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Cô gia đình! Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Khoa Toán - Tin Tr-ờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập Tr-ờng thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện thày cô giáo, cán thuộc Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin để lại lòng ấn t-ợng tốt đẹp Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Quảng Ninh, đặc biệt Trung tâm HN&GDTX tỉnh - nơi công tác tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp thành viên lớp cao học Toán K7Q (Khóa 2013-2015) quan tâm, tạo điều kiện, cổ vũ động viên để hoàn thành nhiệm vụ Lời nói đầu Trong lý thuyết số đại số, tr-ờng bậc hai đ-ợc hiểu tr-ờng tr-ờng số phức C đồng thời mở rộng bậc hai tr-ờng số hữu tỷ Q (tức Q-không gian véc tơ chiều 2) Nh- vậy, K tr-ờng bậc hai tồn hệ {1 , } K (gọi sở K) cho phần tử K biểu diễn đ-ợc cách dạng a + b với a, b Q Với suy nghĩ t-ơng tự, ng-ời ta giới thiệu khái niệm vành bậc hai, vành C đồng thời mở rộng bậc hai vành số nguyên Z Cụ thể, D vành bậc hai tồn hệ {, } D (gọi sở D) cho phần tử D biểu diễn đ-ợc cách dạng a + b với a, b Z Các vành tr-ờng bậc hai đ-ợc quan tâm nghiên cứu cách sâu sắc với nhiều ứng dụng quan trọng toán sơ cấp Chẳng hạn, dùng vành tr-ờng bậc hai để chứng minh dựng th-ớc kẻ compa số thực 2, \cầu ph-ơng hình tròn" (dựng hình vuông có diện tích diện tích hình tròn cho tr-ớc) Mục tiêu luận văn nghiên cứu tr-ờng bậc hai vành bậc hai Mục tiêu làm rõ cấu trúc vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai, loại vành bậc hai đặc biệt Chẳng hạn, iđêan có hệ sinh gồm hai phần tử, phần tử có phân tích thành nhân tử bất khả quy Chúng số lớp vành bậc hai có phân tích Mục tiêu thứ ba luận văn áp dụng kết vành tr-ờng bậc hai để giải số dạng toán sơ cấp Luận văn đ-ợc viết chủ yếu dựa theo tài liệu sau Daniel A Marcus, Number Fields, Springer New York, 1977 J Rotman, Galois theory, Second edition, Springer, 1998 David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests, GNU Free Documentation License, October, 2007 Victor V Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition) Phần mở rộng vành tr-ờng đ-ợc tham khảo từ tài liệu Khái niệm số kết vành tr-ờng bậc hai đ-ợc tham khảo từ tài liệu Phần ứng dụng giải toán sơ cấp Ch-ơng đ-ợc tham khảo từ tài liệu 3, tài liệu toán sơ cấp PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Luận văn chia làm ch-ơng Ch-ơng trình bày kiến thức vành, tr-ờng, đồng cấu, mở rộng tr-ờng, sở bậc mở rộng vành tr-ờng, số đại số, số nguyên đại số Trong Ch-ơng 2, cấu trúc tr-ờng bậc hai, vành bậc hai, vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai, iđêan vành bậc hai, phân tích vành bậc hai Ch-ơng trình bày ứng dụng vành tr-ờng bậc hai việc giải toán sơ cấp Ch-ơng chia làm tiết nhỏ Tiết 3.1 toán giải đ-ợc cách sử dụng tr-ờng bậc hai Tiết 3.2 toán sử dụng chuẩn vành bậc hai Tiết 3.3 dành để trình bày toán sử dụng phân tích vành bậc hai Ch-ơng Kiến thức mở rộng vành tr-ờng 1.1 Kiến thức Để bắt đầu nhắc lại định nghĩa sau 1.1.1 Định nghĩa Một vành tập V với phép toán + (phép cộng) (phép nhân) thỏa mãn điều kiện sau: (i) Phép cộng kết hợp: x, y, z V ta có (x + y) + z = x + (y + z) (ii) Có phần tử không: V cho x V ta có + x = x + = x (iii) Có phần tử đối: x V, x V cho x + (x) = (x) + x = (iv) Phép cộng giao hoán: x, y V ta có x + y = y + x (v) Phép nhân kết hợp: x, y, z V ta có (xy)z = x(yz) (vi) Có phần tử đơn vị: V cho 1.x = x.1 = x, x V (vii) Tính phân phối: x, y, z V cho x(y + z) = xy + xz Vnh V gọi vành giao hoán phép nhân có tính giao hoán, tức ab = ba với a, b V Cho V vành Một tập A V đ-ợc gọi vành V phép toán vành V đóng A (tức a + b, ab A với a, b A) A với hai phép toán cảm sinh vành 1.1.2 Ví dụ (i) Tập hợp số nguyên Z với phép cộng phép nhân thông th-ờng vành giao hoán, gọi vành số nguyên T-ơng tự ta có vành số hữu tỷ Q, vành số thực R, vành số phức C (ii) Tập Zn = { x | x Z} số nguyên modulo n vành với phép cộng phép nhân nh- sau: x + y = x + y x y = xy với x, y Zn Vành Zm đ-ợc gọi vành số nguyên modulo m hay vành lớp thặng d- theo môđun m (iii) Cho V vành giao hoán Kí hiệu V [x] tập đa thức biến x với hệ số V Mỗi phần tử V [x] đ-ợc viết d-ới dạng f (x) = anxn + + a1 x + a0 với V, i Ta viết f (x) d-ới dạng f (x) = xi , = với i > n Khi V [x] vành với phép cộng f (x) + g(x) = ck = i+j=k (ai + bi )xi phép nhân f (x)g(x) = bj với f (x) = xi g(x) = c k xk , bi xi Vành V [x] đ-ợc gọi vành đa thức biến x với hệ số V 1.1.3 Định nghĩa Cho V vành Tập I V đ-ợc gọi iđêan V điều kiện sau thỏa mãn (i) Phép cộng đóng I, tức x + y I, x, y I (ii) I chứa phần tử không: I (iii) Có phần tử đối: x I với x I (iv) ax, xa I với a I, x V 1.1.4 Ví dụ (i) = {0} iđêan bé V iđêan lớn V (ii) I iđêan vành Z I có dạng nZ với n N Cho V vành Phần tử a V đ-ợc gọi phần tử khả nghịch tồn b V cho ab = Chú ý I iđêan V phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (i) I = V ; (ii) I chứa phần tử khả nghịch; (iii) I chứa phần tử đơn vị 1.1.5 Định nghĩa Cho I iđêan vành V Với x V, đặt x + I = {x + a | a I} Ta gọi x + I lớp ghép trái I ứng với x Chú ý x + I = y + I x y I Đặt V /I = {x + I | x V } tập lớp ghép trái I Khi V /I vành với phép cộng (x + I) + (y + I) = (x + y) + I phép nhân (x + I)(y + I) = xy + I Vành V /I đ-ợc gọi vành th-ơng V ứng với I Chẳng hạn, vành th-ơng Z/mZ vành Z theo iđêan mZ vành Zm số nguyên modulo m 1.1.6 Định nghĩa Một ánh xạ f từ vành V vào vành V đ-ợc gọi đồng cấu vành f bảo toàn phép toán, nghĩa f (x + y) = f (x) + f (y) f (xy) = f (x)f (y) với x, y V Một đồng cấu từ vành V vào V đ-ợc gọi tự đồng cấu V Một đồng cấu đồng thời đơn ánh (toàn ánh, song ánh) đ-ợc gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) Nếu f tự đồng cấu song ánh ta nói f tự đẳng cấu 1.1.7 Ví dụ (i) Giả sử A vành vành V Khi ánh xạ nhúng iA : A V xác định iA (x) = x đơn cấu, gọi đơn cấu tắc hay đơn cấu nhúng (ii) Giả sử I iđêan vành V Khi ánh xạ p : A V /I xác định bởi: p(x) = x + I toàn cấu, gọi toàn cấu tắc hay phép chiếu tự nhiên 1.1.8 Định nghĩa (i) Cho V vành giao hoán Phần tử a V đ-ợc gọi -ớc không a = tồn b V, b = cho ab = (ii) Một vành giao hoán khác {0} -ớc không đ-ợc gọi miền nguyên (ii) Một tr-ờng vành giao hoán khác phần tử khác khả nghịch Cho K tr-ờng T tập khác rỗng K ổn định với hai phép toán K Ta nói T tr-ờng K T với hai phép toán cảm sinh từ K tr-ờng Z miền nguyên, Q, R, C tr-ờng Chú ý tr-ờng miền nguyên, miền nguyên hữu hạn tr-ờng Tuy nhiên miền nguyên vô hạn không thiết tr-ờng, chẳng hạn nh- miền nguyên Z Chú ý tr-ờng có hai iđêan {0} Tổng quát hơn, V = {0} vành giao hoán phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (i) V tr-ờng; (ii) V có hai iđêan {0} V (iii) Mọi đồng cấu từ V đến vành giao hoán khác {0} đơn cấu 1.2 Mở rộng vành tr-ờng 1.2.1 Định nghĩa (i) Cho F tr-ờng K tr-ờng chứa F Khi F K đ-ợc gọi mở rộng tr-ờng ta nói K mở rộng tr-ờng F Mở rộng tr-ờng F K đ-ợc kí hiệu K/F (ii) Cho A vành V vành chứa A Khi A V đ-ợc gọi mở rộng vành ta nói V mở rộng vành A Mở rộng vành A V đ-ợc kí hiệu V /A Chú ý A vành vành V A = V A không iđêan V Vì không sợ nhầm lẫn kí hiệu mở rộng vành V /A với kí hiệu cho vành th-ơng V 1.2.2 Ví dụ (i) Q C, Q R, R C mở rộng tr-ờng (ii) Z Q, Z R, R C mở rộng vành 28 Chứng minh Cho S phần tử khác không khả nghịch Ta chứng minh định lí quy nạp theo |N ()| Nếu |N ()| = có chuẩn số nguyên tố, theo Bổ đề 2.2.10 ta suy bất khả quy Vì = phân tích bất khả quy Giả sử |N ()| = n phần tử có chuẩn từ tới n có có phân tích bất khả quy Nếu bất khả quy = phân tích bất khả quy Nếu không bất khả quy = với không khả nghịch Do N () = N () = Suy |N ()| |N ()| nhỏ |N ()| Theo giả thiết quy nạp, = u1 ur = v1 vs phân tích bất khả quy Vì = u1 ur v1 vs phân tích bất khả quy Chú ý phân tích bất khả quy vành bậc hai không Chẳng hạn, với S = Z[ 5], ta có = (1 + 5)(1 5) = ì hai phân tích bất khả quy Cuối cùng, chứng minh vành bậc hai Z[i] thỏa mãn phân tích Tr-ớc hết ta cần bổ đề sau 2.2.14 Bổ đề Cho = a + bi v = c + di hai phần tử Z[i] Khi tồn , Z[i] cho = + , N () < N () Chứng minh Trong tr-ờng bậc hai Q[i] ta có (a + bi)(c di) = =a +bi c2 + d2 với a , b Q Chọn A, B Z cho |a A| 1/2 |b B| 1/2 Đặt = A + Bi Khi phần tử vành bậc hai Z[i] Đặt = / = Vì , , Z[i] nên ta suy Z[i] Hơn 29 nữa, = + Ta có N () = N ()N (/ ) = N () (a A)2 + (b B)2 N () (1/2)2 + (1/2)2 = N ()/2 < N () Tiếp theo ta iđêan Z[i] sinh phần tử 2.2.15 Hệ Nếu I i đêan Z[i] tồn u Z[i] cho I = (u) = {uv | v Z[i]} Chứng minh Nếu I = {0} I = (0) Giả sử I = {0} Chọn u I phần tử khác có chuẩn bé Khi (u) I Cho I Theo Bổ đề 2.2.14, tồn , Z[i] cho = u +, N () < N (u) Ta có = u I Theo cách chọn u ta suy = Suy = u (u) Vậy I = (u) 2.2.16 Mệnh đề Trong vành Z[i], phần tử khác không khả nghịch phân tích đ-ợc thành tích nhân tử bất khả quy phân tích theo nghĩa = p1 pn = q1 qm hai phân tích bất khả quy n = m sau phép hoán vị tập {1, , n} ta có pi = q(i) ui với ui khả nghịch Chứng minh Theo Định lí 2.2.13, ta cần chứng minh tính Cho Z[i] với = p1 pn = q1 qm hai phân tích bất khả quy Khi p1 |q1 qm Giả sử p1 không -ớc qj với j Đặt Ij = {p1 + qj | , Z[i]} Khi Ij iđêan Z[i] Theo Hệ 2.2.15, tồn j Z[i] cho Ij = (j ) Vì p1 = p1 + qj nên p1 Ij Do p1 bội j T-ơng 30 tự, qj bội j Vì p1 bất khả quy nên j phần tử khả nghịch Z[i] bội p1 Nếu j bội p1 qj bội p1 , vô lí Do j khả nghịch, tức tồn j / Z[i] cho j j = Suy (j ) = Ij Do = p1 j + qj j với j , j Z[i] Nhân vế với vế đẳng thức ta đ-ợc = p1 + q1 qm với , Z[i] Do p1 |q1 qm nên p1 -ớc vế phải, p1 -ớc Điều vô lí Do p1 -ớc qj1 Do qj1 bất khả quy nên p1 bội qj1 Vì p1 = u1 qj1 với u1 khả nghịch Không tính tổng quát ta giả thiết j1 = Giản -ớc hai vế đẳng thức p1 pn = q1 qm cho p1 ta đ-ợc p2 pn = q1 q3 qm , q2 = q2u1 Tiếp tục lập luận ta suy pk = uk qjk với k, uk khả nghịch 2.2.17 Chú ý Vành số nguyên đại số Z[] tr-ờng bậc hai Q( m) với m = 0, -ớc ph-ơng, có phân tích tồn thuật toán nh- bổ đề 2.2.14 (thuật toán Euclid) Ngoài vành Z[i], ta + chứng minh đ-ợc vành bậc hai Z[ 2] Z[] với = tồn thuật toán nh- nên vành bậc hai có phân tích Ch-ơng Một số ứng dụng giải toán sơ cấp 3.1 Sử dụng tr-ờng bậc hai 3.1.1 Bài toán Cho m số nguyên khác 0, khác -ớc ph-ơng Cho k Z = a + b m với a, b Q Giả sử nghiệm đa thức có hệ số nguyên với hệ số cao Chứng minh (i) Tồn hai số nguyên c, d Z cho = c + d, 1+ m = m = (ii) Nếu = k(m + n) với m, n Z k -ớc chung c d Chứng minh (i) Trong tr-ờng bậc hai K = Q[ m], từ giả thiết ta thấy số nguyên đại số Vì theo Bổ đề 2.2.5, tồn c, d Z 1+ m cho = c + d, = m = Gọi S vành số nguyên bậc hai K Theo Hệ 2.2.5, S = Z[] mở rộng bậc hai Z với {1, } sở mở rộng Vì số nguyên c, d tồn (ii) Ta có = c + d = k(m + n) với m, n Z Suy c km + (d kn) = Do c = km d = kn Vì k -ớc chung c d 31 32 3.1.2 Bài toán Cho m < số nguyên -ớc ph-ơng Kí hiệu S tập số phức có dạng = a + b m với a, b Q cho nghiệm đa thức có hệ số nguyên với hệ số cao Kí hiệu T tập số phức S cho tồn S thỏa mãn = Chứng minh (i) T tập hữu hạn; (ii) Nếu m = T = {1, i}; (iii) Nếu m = T = {1, , } với = (1 + 3)/2; (iv) Nếu m = m = T = {1, 1} Chứng minh Cho T Khi tồn S cho = Suy N () = N ()N () = Vì m < nên N () N () số nguyên d-ơng Suy N () = Ta xét hai tr-ờng hợp Nếu m 1(mod 4) theo Bổ đề 2.2.5 ta có = a+b m với a, b Z Do N () = a2 mb2 = Nếu m < rõ ràng a = b = Suy = Nếu m = a = b = a = b = Suy {1, i} a+b m Nếu m 1(mod 4) theo Bổ đề 2.2.5 ta có = với a, b Z a2 b2 m a b(mod 2) Trong tr-ờng hợp ta có N () = = Suy a2 b2 m = Nếu m từ ph-ơng trình suy a = b = Do = Giả sử m > Vì m 1(mod 4) nên m = Suy a2 + 3b2 = Từ ta có = 1, , với = (1 + 3)/2 3.2 Sử dụng chuẩn vành bậc hai 3.2.1 Bài toán Chứng minh ph-ơng trình x2 7y = có vô hạn nghiệm nguyên x, y 33 Chứng minh Với số tự nhiên n > 0, đặt + = an + bn n Tr-ớc hết ta khẳng định n = m (an , bn ) = (am , bm ) Thật vậy, giả sử tồn n < m cho an = am bn = bm Khi ta có 8+3 n = an + bn = am + bm = + Suy amn + bmn = + mn m = 8+3 n 8+3 mn = Suy bmn = 0, điều vô lí Do khẳng định đ-ợc chứng minh Trong vành bậc hai Z[ 7], chuẩn tích hữu hạn phần tử tích chuẩn nên ta có a2n 7b2n = N (an + bn 7) = N + n n = + = n Đặt an + bn + = xn + yn Khi ta dễ kiểm tra đ-ợc n = m (xn , yn ) = (xm , ym ) Hơn ta có xn + yn = (3an + 7bn ) + (an + 3bn ) Suy x2n 7yn2 = (a2n 7b2n )(32 7.12 ) = với n Do (xn , yn ) nghiệm nguyên ph-ơng trình x2 7y = với n Khi cho n chạy tập số nguyên d-ơng ta thu đ-ợc vô hạn nghiệm nguyên (xn , yn) ph-ơng trình 3.2.2 Bài toán Cho n số tự nhiên Chứng minh tồn hai số nguyên lẻ x y cho 4n+1 = 15x2 + y Chứng minh Xét vành bậc hai Z[ 15] = {r + is 15 | r, s Z} Chuẩn z = r + is 15 N (z) = r + 15s2 = (r + is 15)(r is 15) Ta chứng minh quy nạp theo n tồn hai số nguyên lẻ x y cho 4n+1 = 15x2 +y Cho n = Ta có 42 = 16 = 1+15 = 12 +15.12 Nh- vậy, kết với n = Giả thiết kết cho n, tức 34 có hai số nguyên lẻ x, y cho 4n+1 = y + 15x2 Ta cần chứng minh kết với n + Đặt z1 z2 = (y + ix 15)(1 + i 15) = (y + x 16x) + i(x + y) 15 = (y + ix 15)(1 i 15) = (y x + 16x) + i(x y) 15 Vì x, y số lẻ nên x = 2k + 1, y = 2h + với k, h Z Suy x + y = 2(k + h + 1), y x = 2(h k) (x + y) (y x) = 4k + Do hai số x+y y x có số chia hết cho Nếu x+y chia yx x y yx hết cho số nguyên lẻ Đặt z3 = + 8x + i 15 2 N (y + ix 15)N (1 i 15) Khi N (z3 ) = = 4n+1 = 4n+2 Chú ý xy yx + 8x số nguyên lẻ số nguyên lẻ Do cặp số 2 yx xy nguyên + 8x thỏa mãn yêu cầu T-ơng tự, y x chia 2 y+x x + y x+y hết cho số lẻ Đặt z4 = 8x + i 15 Khi 2 N (y + ix 15)N (1 + i 15) N (z4 ) = = 4n+1 = 4n+2 Do cặp số x+y x+y 8x thỏa mãn yêu cầu nguyên lẻ 2 3.2.3 Bài toán Cho n số tự nhiên Chứng minh tồn hai số nguyên lẻ x y cho 4.5n = 19x2 + y Chứng minh Xét vành giao hoán Z[ 19] = {r + is 19|r, s Z} Chuẩn z = r + is 19 N (z) = r + 19s2 = (r + is 19)(r is 19) Hiển nhiên N (z1 z2 ) = N (z1 )N (z2 ) Ta có vài số cụ thể: 4.5 = 20 = 19.12 + 12, 4.52 = 100 = 19.12 + 92, 4.53 = 108 = 11.32 + 32 Bằng ph-ơng pháp quy nạp theo n để ra, với số nguyên n nguyên lẻ x y để 4.5n = 19x2 + y Với n = có 4.5 = 19.12 + 12 có hai số 35 Giả sử có hai số nguyên lẻ x, y để 19x2 + y = 4.5n với số nguyên n Với số nguyên n + ta xét z1 = (y + ix 19)(1 + i 19) = (y + x 20x) + i(x + y) 19 z2 = (y + ix 19)(1 i 19) = (y x + 20x) + i(x y) 19 Vì x, y số lẻ nên x = 2k + 1, y = 2h + Khi x + y = 2(k + h + 1), y x = 2(h k) (x + y) (y x) = 4k + Do hai số x + y y x có số chia hết cho yx yx Nếu x + y chia hết cho số lẻ Khi z3 = ( + 10x) + x y N (y + ix 19)N (1 i 19) i = 4.5n = 4.5n+1 11 với N (z3 ) = y+x x+y số lẻ Khi z4 = ( 10x) + Nếu y x chia hết cho x + y N (y + ix 19)N (1 + i 19) i = 4.5n = 4.5n+1 19 với N (z4 ) = Tóm lại, chứng minh xong toán 3.2.4 Bài toán Chứng minh tồn hai số nguyên x y thỏa x lẻ y lẻ n lẻ mãn 15n = x2 10y , x lẻ y chẵn n chẵn Chứng minh Xét vành giao hoán Z[ 10] = {r + s 10|r, s Z} Đồng cấu f : Z[ 10] Z[ 10], r + s 10 r s 10, đẳng cấu Do nh- mà (a + b 10)(c + d 10) = u + v 10 tác động f lên hai vế đ-ợc (a b 10)(c d 10) = u v 10 Sử dụng kết này, với z = a + b 10 đặt N (z) = a2 10b2 có N (z1 z2 ) = N (z1 )N (z2) Với n = có 15 = 52 10.12 152 = 352 10.102 Giả sử số nguyên n hai số nguyên a, b để 15n = a2 10.b2 , a b lẻ n lẻ; a lẻ b chẵn n chẵn Với n + ta xét: (i) Nếu n lẻ có số a lẻ số b lẻ để a2 10b2 = 15n Khi n + số chẵn 15n+1 = (5a + 10b)2 10(a + 5b)2 với 5a + 10b lẻ 36 a + 5b chẵn (ii) Nếu n chẵn có số a lẻ số b chẵn để a2 10b2 = 15n Khi n + số lẻ 15n+1 = (5a + 10b)2 10(a + 5b)2 với 5a + 10b lẻ a + 5b lẻ Tóm lại ta có điều cần chứng minh 3.3 Sử dụng phân tích vành bậc hai Trong tiết này, sử dụng phân tích vành bậc hai Z[i] Z[ 2] để giải số toán sơ cấp 3.3.1 Bài toán Cho p số nguyên tố Giả sử p = a2 + b2 = c2 + d2 với a, b, c, d N Chứng minh (a, b) = (c, d) (a, b) = (d, c) Nói cách khác, số nguyên tố có nhiều phân tích thành tổng bình ph-ơng hai số tự nhiên (nếu không kể đến thứ tự hạng tử) Chứng minh Cho p = a2 + b2 = c2 + d2 với a, b, c, d N Khi đó, vành bậc hai Z[i] ta có p = (a + bi)(a bi) Vì a + bi a bi có chuẩn p p số nguyên tố nên theo Bổ đề 2.2.10 ta suy a + bi a bi phần tử bất khả quy Z[i] T-ơng tự, vành Z[i] ta có p = (c + di)(c di) Hơn nữa, c + di c di phần tử bất khả quy Z[i] Theo Mệnh đề 2.2.16, phần tử khác không khả nghịch Z[i] phân tích đ-ợc cách (nếu không kể đến thứ tự nhân tử -ớc đơn vị) thành tích nhân tử bất khả quy Do ta có a + bi = u(c + di) a + bi = u(c di) với u Z[i] phần tử khả nghịch Xét tr-ờng hợp a + bi = u(c + di) Theo 3.1.2 phần tử khả nghịch vành Z[i] 1, i Nếu u = 1, a = c b = d Nếu u = a = c b = d (loại a, b, c, d > 0) Nếu 37 u = i, a = d b = c (loại a, b, c, d 0) Nếu u = i, a = d b = c (loại a, b, c, d 0) Vì (a, b) = (c, d) T-ơng tự, a + bi = u(c di) ta suy (a, b) = (d, c) 3.3.2 Bài toán Chứng minh ph-ơng trình y = x3 có nghiệm nguyên (x, y) = (1, 0) Chứng minh Dễ dàng kiểm tra cặp (x, y) = (1, 0) thỏa mãn ph-ơng trình y = x3 Ta nghiệm Viết ph-ơng trình d-ới dạng x3 = y + Trong vành Z[i] ta có x3 = (y i)(y + i) Trong vành Z[i], ta khẳng định y +i y i nguyên tố Thật Z[i] -ớc chung y +i y i -ớc 2i = (y +i)(y i) Vì 2i = (1 + i)2 nên từ phân tích vành Z[i] (xem Mệnh đề 2.2.16) ta có {u, u(1 + i), u(1 + i)2 }, u phần tử khả nghịch Nếu phần tử khả nghịch chia hết cho + i, + i -ớc x3 Lấy chuẩn hai vế ta đ-ợc 2|x6 Suy x số chẵn Vì y + = x3 0(mod 4) Do y 1(mod 4) Điều vô lý Vậy y + i y i nguyên tố nhau, khẳng định đ-ợc chứng minh Vì x3 = y + = (y + i)(y i) nên nhân tử y + i y i phải lũy thừa bậc Do y + i = (m + ni)3 với m, n Z Khai triển đồng phần thực, phần ảo ta đ-ợc y = m3 3mn2 = m(m2 3n2 ); = 3m2 n n3 = n(3m2 n2 ) Ph-ơng trình bên phải cho ta n = Nếu n = 3m2 = 1, suy 3m2 = 2, ph-ơng trình nghiệm nguyên Nếu n = 1, 3m2 = 1, suy m = Do y = Vì x3 = y + = Suy x = 38 3.3.3 Bài toán Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình y = x2 + Lời giải Ta có y = x2 + Nếu x số chẵn, y chẵn, = x3 y mod (Vô lý) Vì x số lẻ Trong Z[ 2], ta có y = (x + i 2)(x i 2) Tiếp theo ta chứng minh (x + i 2) (x i 2) nguyên tố vành Z[ 2] Giả sử c + d -ớc chung (x + i 2) (x i 2) Khi c + d 2|(x + i + x i 2) = 2x c + d 2|(x + i x + i 2) = 2i Lấy chuẩn vế ta đ-ợc, (c2 + 2d2 )|4x2 (c2 + 2d2 )|8 Z Nếu (c2 + 2d2 ) không chia hết 4, (c2 + 2d2 )|y (từ gcd(x, y) = 1), suy (c2 + 2d2 ) số lẻ (từ y lẻ) nh-ng điều suy (c2 + 2d2 ) không chia hết Vì vậy, (c2 + 2d2 )|4 nên (c2 + 2d2 ) = 1, Nếu (c2 + 2d2 ) = c + d khả nghịch Nếu (c2 + 2d2 ) = c = d = nh-ng không -ớc (x + i 2) x số lẻ Nếu (c2 + 2d2 ) = d = c = nh-ng không -ớc (x + i 2) x số lẻ Vì (x + i 2) (x i 2) nguyên tố vành Z[ 2] Mặt khác Z[ 2] vành có phân tích Vì tích (x + i 2) (x i 2) y nên (x + i 2) (x i 2) lũy thừa bậc phần tử Z[ 2] Do x + i = (a + bi 2)3 = a3 6ab2 + (3a2 b 2b3 )i 39 Vì ta có x = a3 6ab2 , = 3a2b 2b3 = b(3a2 2b2 ) Từ ph-ơng trình bên phải ta có b = 3a2 2b2 = 3a2 = Suy a = Vậyx = Thay vào ph-ơng trình ban đầu ta đ-ợc y = 27 Suy y = Vì ph-ơng trình có nghiệm nguyên (x, y) = (5, 3) (x, y) = (5, 3) 3.3.4 Bài toán Trong vành Z[i], phân tích số sau thành tích thừa số bất khả quy (i) + i (ii) 244 + 158i Lời giải (i) Ta có N (3 + i) = (3 + i)(3 i) = 10 = 2.5 Trong Z[i], ta có = (1 + i)(1 i) = (2 i)(2 + i) Tất số bất khả quy N (1 i) = 2; N (2 i) = 2, nguyên tố Z Ta kiểm tra số đâu -ớc + i Tr-ớc hết ta kiểm tra số + i, có: + i (3 + i)(1 i) = = i Z[i] + i (1 + i)(1 i) Vậy + i = (2 i)(1 + i) phân tích thành nhân tử bất khả quy + i Z[i] (ii) Ta có 244 + 158i = 2(122 + 79i) = (1 i)(1 + i) với ivà + i bất khả quy Z[i] N (1 i) = nguyên tố Z Tiếp theo ta phân tích 122 + 79i thành thừa số bất khả quy Ta có N (122 + 79i) = 1222 + 792 = 53 132 = (2 + i)3(2 i)3 (3 + 2i)2 (3 2i)2 Từ ta kiểm tra nhân tử bên vế phải, nhân tử -ớc 122 + 79i Ta bắt đầu kiểm tra + i có chia hết 122 + 79i: 122 + 79i (122 + 79i)(2 i) 323 + 36i = = / Z[i] 2+i (2 + i)(2 i) 40 Vậy + i không chia hết 122 + 79i T-ơng tự nh- ta kiểm tra đ-ợc i 2i chia hết 122 + 79i, (2 i)3 (3 2i)2 chia hết 122 + 79i Kiểm tra lại ta đ-ợc 122 + 79i = (1)(2 i)3 (3 2i)2 = i2 (2 i)3 (3 2i)2 = (2 i)3 (2 + 3i)2 Vậy ta có phân tích 244 + 158i thành tích thừa số bất khả quy 244 + 158i = (1 i)(1 + i)(2 i)3(2 + 3i)2 41 Kết luận Trong luận văn này, hoàn thành số nội dung sau - Giới thiệu khái niệm mở rộng tr-ờng, bậc mở rộng tr-ờng, số đại số, số nguyên đại số, mở rộng vành, bậc mở rộng vành - Làm rõ đ-ợc cấu trúc tr-ờng bậc hai số vành bậc hai; Mô tả cấu trúc vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai - Chứng minh điều kiện bất khả quy phần tử vành bậc hai, chứng minh iđêan vành bậc hai có hệ sinh gồm phần tử - Chứng minh phân tích bất khả quy vành bậc hai; Chứng minh tính phân tích bất khả quy số vành bậc hai nh vành vành Z[i], Z[ 2] - Giải số dạng toán sơ cấp thông qua kiến thức tr-ờng, chuẩn vành bậc hai, phân tích số vành bậc hai Luận văn đ-ợc viết sở tham khảo tài liệu sau: Daniel A Marcus, Number Fields, Springer New York, 1977 Victor V Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition) J Rotman, Galois theory, Second edition, Springer, 1998 David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests, GNU Free Documentation License, October, 2007 Đồng thời, số toán sơ cấp đ-ợc tham khảo từ tài liệu (ch-a xuất bản) viết PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Tài liệu tham khảo [1] Daniel A Marcus, Number Fields, Springer New York, 1977 [2] Victor V Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition) [3] J Rotman, Galois theory, Second edition, Springer, 1998 [4] David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests, GNU Free Documentation License, October, 2007 42 [...]... 2np, điều này vô lí Ch-ơng 2 Vành và tr-ờng bậc hai Mục tiêu của ch-ơng này là nghiên cứu các tr-ờng bậc hai và các vành bậc hai Ta hiểu các tr-ờng bậc hai (các vành bậc hai) t-ơng ứng là các tr-ờng con của C chứa Q (vành con của C chứa Z) sao cho nó là mở rộng tr-ờng bậc hai của Q (mở rộng vành bậc hai của Z) 2.1 Tr-ờng bậc hai Tr-ớc khi định nghĩa khái niệm tr-ờng bậc hai, chú ý rằng Q là tr-ờng con... (thuật toán Euclid) Ngoài vành Z[i], ta 1 + 3 có thể chứng minh đ-ợc vành bậc hai Z[ 2] và Z[] với = 2 cũng tồn tại thuật toán nh- trên nên các vành bậc hai trên đều có sự phân tích duy nhất Ch-ơng 3 Một số ứng dụng giải toán sơ cấp 3.1 Sử dụng tr-ờng bậc hai 3.1.1 Bài toán Cho m là một số nguyên khác 0, khác 1 và không có -ớc chính ph-ơng Cho k Z và = a + b m với a, b Q Giả sử là nghiệm của một... biệt, vành các số nguyên đại số của một tr-ờng bậc hai là một vành bậc hai Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.9 và Mệnh đề 2.2.4, ta chỉ cần chứng minh S = Z[] là một vành bậc hai Nếu = m thì rõ ràng {1, m} là một cơ sở của mở rộng vành S/Z, do đó S là vành bậc hai Giả sử 1+ m = Cho a + b = c + d S với a, b, c, d Z Khi đó 2 b d (b d) m bd (a c) + + = 0 Do m = 0 Suy / Q nên ta có 2 2 2 ra b = d và. .. tr-ờng bậc hai đều có dạng Q[ m] với m là số nguyên không chính ph-ơng và m = 0, m = 1 Ta gọi Q[ m] là tr-ờng bậc hai ứng với m Kết quả sau đây chỉ ra rằng với hai số nguyên phân biệt không có -ớc chính ph-ơng, các tr-ờng bậc hai t-ơng ứng với chúng là phân biệt 2.1.4 Mệnh đề Nếu m, n Z là hai số nguyên phân biệt không có -ớc chính ph-ơng và m, n = 0, m, n = 1 thì các tr-ờng bậc hai Q[ m] và Q[... Z và A B(mod 2) Suy ra S Vậy S là một vành con của K Vành S xác định nh- trong mệnh đề trên đ-ợc gọi là vành các số nguyên đại số của tr-ờng bậc hai K Kết quả sau đây mô tả cấu trúc của vành các số nguyên đại số của một tr-ờng bậc hai Từ Mệnh đề 2.1.9 và Mẹnh đề 2.2.4 ta có tính chất sau 2.2.5 Hệ quả Cho K = Q[ m] là tr-ờng bậc hai Đặt m nếu m 1(mod 4), = 1+ m nếu m 1(mod 4) 2 Khi đó vành... đại số của một tr-ờng bậc hai là một vành bậc hai Hơn nữa, mỗi phần tử của tr-ờng bậc hai đều biểu diễn đ-ợc thành th-ơng của hai số nguyên đại số Sau đó chúng ta mô tả cấu trúc của các iđêan, xác định các phần tử khả nghịch và nghiên cứu sự phân tích thành nhân tử bất khả quy trong vành các số nguyên đại số Cho V là vành con của C Khi đó V chứa Z Thật vậy, do V là vành nên 0 V và 1 V Suy ra n = 1... hai số nguyên phân biệt không có -ớc chính ph-ơng thì các vành bậc hai Z[ m] và Z[ m ] là phân biệt 2.2.2 Mệnh đề Nếu m, n Z là hai số nguyên phân biệt không có -ớc chính ph-ơng và m, n = 0, m, n = 1 thì các vành bậc hai Z[ m] và Z[ n] không đẳng cấu với nhau Chứng minh Cho m, n Z là hai số nguyên phân biệt không có -ớc chính ph-ơng và m, n = 0, m, n = 1 Giả sử Z[ m] = Z[ n], tức là tồn tại... chứng minh vành bậc hai Z[i] thỏa mãn sự phân tích duy nhất Tr-ớc hết ta cần bổ đề sau 2.2.14 Bổ đề Cho = a + bi v = c + di là hai phần tử trong Z[i] Khi đó tồn tại , Z[i] sao cho = + , trong đó N () < N () Chứng minh Trong tr-ờng bậc hai Q[i] ta có (a + bi)(c di) = =a +bi c2 + d2 với a , b Q Chọn A, B Z sao cho |a A| 1/2 và |b B| 1/2 Đặt = A + Bi Khi đó là một phần tử của vành bậc hai. .. r() + T r() Chứng minh Đặt = a + b m và = c + d m Khi đó = (ac + bdm) + (ad + bc) m; + = (a + c) + (b + d) m Do đó N () = (ac + bdm)2 m(ad + bc)2 = (a2 mb2 )(c2 md2 ) = N ()N () T r( + ) = 2(a + c) = 2a + 2c = T r() + T r() 21 2.2 Vành bậc hai và vành các số nguyên đại số Trong tiết này, tr-ớc hết chúng ta nghiên cứu khái niệm và một số tính chất đơn giản của vành bậc hai Tiếp theo, chúng... nguyên (xn , yn) của ph-ơng trình 3.2.2 Bài toán Cho n 1 là một số tự nhiên Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên lẻ x và y sao cho 4n+1 = 15x2 + y 2 Chứng minh Xét vành bậc hai Z[ 15] = {r + is 15 | r, s Z} Chuẩn của z = r + is 15 là N (z) = r 2 + 15s2 = (r + is 15)(r is 15) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng luôn tồn tại hai số nguyên lẻ x và y sao cho 4n+1 = 15x2 +y 2 Cho n = 1 Ta có ... cấu trúc tr-ờng bậc hai, vành bậc hai, vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai, iđêan vành bậc hai, phân tích vành bậc hai Ch-ơng trình bày ứng dụng vành tr-ờng bậc hai việc giải toán sơ cấp Ch-ơng... Ch-ơng Vành tr-ờng bậc hai Mục tiêu ch-ơng nghiên cứu tr-ờng bậc hai vành bậc hai Ta hiểu tr-ờng bậc hai (các vành bậc hai) t-ơng ứng tr-ờng C chứa Q (vành C chứa Z) cho mở rộng tr-ờng bậc hai Q... cấu trúc tr-ờng bậc hai số vành bậc hai; Mô tả cấu trúc vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai - Chứng minh điều kiện bất khả quy phần tử vành bậc hai, chứng minh iđêan vành bậc hai có hệ sinh gồm