Phần B : Giải vấn đề I- Những vấn đề số phơng Định nghĩa : * Số phơng: Là số viết đợc dới dạng bình phơng số tự nhiên khác VD: Có = 32 , 25 =52 Các số 25 bình phơng số tự nhiên nên 25 đợc gọi số phơng Một số tính chất: * Tính chất : Số phơng tận 0;1;5 ;6 ;9 , tận số 2; 3; 7;8 * Tính chất : Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Chứng minh: Giả sử A = m2 m = ax.by.cz a,b,c số nguyên tố khác nhau, x,y,z số dơng Thế thì: A = m2 = (ax.by.cz)2 = a2x.b2y.c2z Từ tính chất ta suy ra: Số phơng chia hết cho chia hết cho Số phơng chia hết cho chia hết cho Số phơng chia hết cho chia hết cho 25 Số phơng chia hết cho chia hết cho 16 Tổng quát: Nếu số phơng A chia hết cho p2k+ A chia hết cho p2k+2 (p số nguyên tố k N) * Tính chất : Số lợng ớc số phơng số lẻ Đảo lại, số có số lợng ớc số lẻ số số phơng Chứng minh: Thật : - Nếu A = => A số phơng có ớc - Nếu A > => A có dạng phân tích thừa số nguyên tố - A = ax.by.czthì số lợng ớc A (x+1).(y+1).(z +1) a, Nếu A số phơng =>x,y,zlà số chẵn =>x+1; y+1 ; z+1;là số lẻ => (x+1); (y+1) ; (z+1);là số lẻ Vậy số lợng ớc A số lẻ b, Nếu A có số lợng ớc số lẻ tức (x+1); (y+1) ; (z+1);là số lẻ => x+1; y+1 ; z+1;là số lẻ =>x, y,z số chẵn Ta đặt x= 2m, y= 2n; z = 2p ( với m;n;p N) Khi A= a2m b2nc2p= (am.bn.cp)2 nên A số phơng * Tính chất : Một số phơng có tận số hàng chục Chứng minh: Giả sử A = a52 =(10a+ 5)2 = 100a2 +100a +25 Vì chữ số hàng chục 100a2 +100a chữ số nên chữ số hàng chục A * Tính chất : Một số phơng có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Chứng minh: Giả sử A = a2 số phơng có chữ số tận chữ số hàng đơn vị a Nếu hai chữ số tận số a b4 Khi b42 = (10b+4)2 = 100b2 +80b +16 Vì chữ số hàng chục 100b2 +80b chữ số chẵn nên chữ số hàng chục b42 số lẻ Vậy số hàng chục A số lẻ Nếu hai chữ số tận a b6 ta chứng minh tơng tự * Tính chất 6: Số phơng chia cho d Chứng minh: Ta xét trờng hợp sau: - Nếu A = (3k)2 =9k2M3 - Nếu A = (3k +1)2=9k2 +6k + chia cho d - Nếu A = (3k +2)2=9k2 +12k + chia cho d * Tính chất 7: Một số phơng chia cho d Chứng minh: Thật vậy: Nếu A = (2k)2 = 4k2 M4 Nếu A = (2k +1)2 =4k2 + 4k + 1chia cho d Nh theo tính chất ta thấy: Một số phơng chẵn chia hết cho Một số phơng lẻ chia cho d Mặt khác ta có (2k+1)2 = 4k2 +4k +1 = 4k(k+1) +1 Mà tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết 4k(k +1) M8 Do ta có nhận xét sau: Một số phơng lẻ chia cho d Tơng tự nh tính chất ta chứng minh đợc số phơng chia cho d d d * Tính chất 8: Giữa hai số phơng liên tiếp số phơng Thật vậy: Nếu n số tự nhiên có số tự nhiên k thỏa mãn n < k 2< (n+1)2 => n< k k2 = (n+1)2 * Tính chất : Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố a, b số phơng a, b số phơng * Tính chất 10: Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích số phơng hai số số II Một số dạng số phơng Chứng minh số số phơng Để chứng minh số A số phơng, tùy toán ta lựa chọn phơng pháp cho phù hợp Sau hai phơng pháp thờng dùng 1.1 Vận dụng định nghĩa số phơng Theo phơng pháp ta tìm cách biến đổi A thành bình phơng số tự nhiên ( số nguyên) * Bài toán 1: Cho a = 1115 b = 1119 n chữ số n chữ số Chứng minh : ab +4 số phơng Giải: Ta có b = 1119 = 1115 +4 = a +4 n chữ số n chữ số ab +4 = a.(a+4) +4 = a2 +4a +4 = (a+2)2 = 11172 n chữ số Vậy ab + số phơng * Bài toán 2: Chứng minh : Tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phơng Giải : Thật , ta gọi tích số tự nhiên liên tiếp có dạng: n(n+1)(n+2)(n+3) Khi A = n (n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n2 +3n +2)(n2+3n) +1 = (n+3n)2 +2(n2 +3n)+1 = (n2+ 3n +1)2 Vậy A số phơng * Bài toán 3: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số Chứng minh : A-B số phơng Giải: 100 chữ số 100 Ta có A = 111 = 99 = 10 9 100 chữ số 50 Tơng tự B = 222 = 2(10 1) 50 chữ số 2 100 50 100 50 50 =>A B = 10 2(10 1) = 10 2.10 + = 10 = (33 3) 9 50 chữ số Cách 2: B = 222 = 2.111 50 chữ số 50 chữ số A = 111 = 111 000+ 111 100 chữ số 50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số = 111.1050+111 50 chữ số 50 chữ số Đặt C = 111 =>9C = 999 +1 50 chữ số 50 chữ số =>9C +1 = 999 +1 50 chữ số 50 =>9C+1=10 Khi : A = C (9C +1) +C =9C2 +2C B = 2C A B = 9C2 +2C -2C = 9C2 =(3C)2 = (333)2 50 chữ số Nhận xét: Nh giải toán số phơng mà tồn số có nhiều chữ số giống ta đặt C = 111 ý : n chữ số 10n = 999 +1 = 9C +1 Sau ta thay vào biểu thức n chữ số Từ toán ta chứng minh toán tổng quát sau: * Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên A gồm 2k chữ số số tự nhiên B gồm k chữ số Chứng minh : A-B số phơng * Bài tập áp dụng: 1, Cho hai số tự nhiên A B số A gồm 2m chữ số 1, số B gồm m chữ số Chứng minh : A +B +1 số phơng 2, CMR : an+ an+1 số phơng với an = +2 +3++n 3, CMR: 1+ 3+ 5+ 7+ + n số phơng(n lẻ) 4, Chứng minh số say số phơng a, A = 444 x 888 (n ) n chữ số (n-1) chữ số b, B = 111 888 +1 (n N) 2n chữ số1 n chữ số 5, Cho số tự nhiên A = 444 ; B = 222 ; C = 888 2n chữ số (n+1) chữ số n chữ số CMR : A +B +C + số phơng 6, Cho a = 111 ; b = 1000 11 ( n 2) n chữ số (n-2)chữ số CMR : ab +4 số phơng 1.2 Dựa vào tính chất đặc biệt (Tính chất này) Ta chứng minh tính chất đặc biệt : Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố ab số phơng a b số phơng Chứng minh: Giả sử (a,b) = a.b = c2( c N) Khi ta chứng minh : a b số phơng Gọi d = (a,c) a = a1.d ; c =c1.d ;(a1 ;c1) = Mà a.b =c2 a1.d.b =(c1.d)2 a1.b = c12.d (*) Từ (*) suy ; +, a1.b Mc12 => b Mc12 (1) (a1 ;c1) =1 +, c12.d M b => c12 M b (2) (a,c) =d mà (a;b) =1 nên (d;b) =1 Từ (1) (2) => b =c Khi a= c ữ = d c1 Nh tính chất đợc chứng minh Sau số toán ta áp dụng tính chất * Bài toán: Chứng minh : Nếu x, y số tự nhiên thỏa mãn x2 +x = 2y2 +y : A, x-y x+ y +1 số phơng B, x- y 2x +2y +1 số phơng Giải : A, Ta có x2 +x = 2y2+y x2 y2 +x y = y2 (x y)(x+y+1)=y2 (1) Nh để chứng minh : x y x +y +1 số phơng áp dụng tính chất đặc biệt ta chứng minh : (x-y: x+ y +1) = Thật , gọi d = (x-y; x +y+ 1) x- y Md x + y+1 ) ( x+ y+1) (x y) Md 2y +1Md Mặt khác từ (1) ta có y2 Md=> y Md(3) Từ (2) (3) suy Md hay d = Vậy (x-y;x+y+1) = thỏa mãn (1), theo tính chất suy x- y x +y +1 số phơng b, Từ giả thiết ta có x2 +x = 2y2 +y 2(x2 y2) +x y = x2 (x y) (2x +2y +1) =x2 Chứng minh tơng tự phần a ta đợc (x y; 2x +2y +1) = áp dụng tính chất suy x y 2x +2y +1 số phơng Theo cách chứng minh toán ta áp dụng để chứng minh cho toán sau: 1.Chứng minh rằng: Nếu x y số tự nhiên thỏa mãn 2x2 +x = 3y2+ y thì: a, x y 2x +2y +1 số phơng b, x y 3x +3y +1 số phơng Chứng minh : Nếu x, y số tự nhiên thỏa mãn : 3x2 +x = 4x2 +y : a, x y 3x +3y +1 số phơng b, x y 4x +4y +1 số phơng Từ toán ta chứng minh toán tổng quát sau: * Bài toán tổng quát: Nếu x, y số tự nhiên thỏa mãn nx2 +x = ( n +1)y2 +y (n N) : a, x y nx +ny +1 số phơng b, x- y (n +1)x + (n +1)y +1 số phơng 2 Chứng minh số không số phơng Chúng ta biết cách chứng minh số số phơng Vậy để chứng minh số số phơng ta làm nào? Một số số phơng cần có điều kiện gì? Trả lời đợc câu hỏi , tìm hớng để giải toán Chứng minh sô không số phơng Sau số giải pháp thực dạng toán 2.1.Tìm số tận Do số phơng bình phơng số tự nhiên nên số phơng phải có chữ số tận 0,1,4,5,6,9 không tận 2,3,7,8 Nh muốn chứng minh số A số phơng ta chứng minh số A có chữ số tận 2, 3, ,8 Hay số A có số lẻ chữ số tận ( số phơng chứa thừa số nguyên tố 2, với số mũ chẵn , nên chứa số chẵn số tận cùng) Dựa vào kiến thức trên, ta giải đợc toán sau đây: * Bài toán 1: Chứng minh số A = 11 +112+113+114+115+116+117không số phơng Giải : Ta thấy chữ số tận A Mà số phơng có tận 0,1,4,5,6,9 không tận 2,3,7,8 Vậy kết luận A không số phơng Nhng số có chữ số tận 0,1,4,5,6,9 chắn số phơng hay cha ? ta xét toán sau: * Bài toán Chứng minh số 2006000 không số phơng Giải : Một số phơng tận số phải chứa thừa số nguyên toos với số mũ chẵn , phải tận số chẵn chữ số Vậy số 2006000 không số phơng * Bài toán Chứng minh : B = 10100 + 5050 +1 không số phơng Nhận xét : Ta thấy B có tận Vậy muốn chứng minh B không số phơng ta phải làm nh nào? Khi ta cần ý tính chất số phơng là: Một số phơng chia hết cho số p 2k+1 phải chia hết cho p 2k+2 (p số nguyên tố , k N) Vậy lời giải toán : Ta thấy B chia hết cho nhng không chia hết cho ( tổng chữ số số B chia hết cho mà không chia hết cho 9) => B số phơng * Bài toán : Chứng minh số 20070 không số phơng Giải : - Cách 1: Theo toán ta thấy số 20070 có tận số lẻ chữ số => 20070 không số phơng - Cách : Ta thấy số 20070 chia hết cho 5( có tận 0) nhng không chia hết cho 25 ( hai chữ số tận không chia hết cho 25) Do số 20070 không số phơng * Bài tập áp dụng : Chứng minh : Các số sau không số phơng a, A = + 52+ 53+ 52+ 54+ 55+ +5n (n >0) b, B = 20042005 c, C = 20062 -20052 + 20042- 20032 Chứng minh : Tổng bình phơng số tự nhiên liên tiếp số phơng Viết liên tiếp số 1,2,3,42003,2004 thành hàng ngang theo thứ tự tùy ý CMR : Số tạo thành theo cách viết số phơng 1.2 Dựa vào việc xét số d phép chia cho 3,4,5 * Bài toán 1: CMR : Số A = 2224 số phơng Nhận xét: Thật vậy, xét chữ số tận ta thấy số A có tận 4, nh kết luận đợc Mà số A chia hết cho chia hết cho 4( hai chữ số tận chia hết cho 4) Nh vậy, ta áp dụng cách chứng minh dạng vào toán Chúng ta biết chứng minh số phơng chia hết cho có số d Vậy A chia cho có số d nh nào? Khi ta có lời giải Giải: Do số A có tổng chữ số 104, số chia cho d Mà số phơng chia cho có số d Vậy A số phơng * Bài toán 2: CMR : Tổng ba số phơng liên tiếp số phơng Giải: Gọi ba số phơng liên tiếp có dạng: (n-1)2,n2, (n+1)2 Tổng chúng là: A = (n-1)2+n2+ (n+1)2 A= 3n2 +2 Do A chia cho d nên A không số phơng * Bài toán CMR : Tổng bốn số phơng liên tiếp số phơng Giải: Gọi bốn số phơng liên tiếp có dạng (n-1)2,n2, (n+1)2, (n+2)2 Tổng chúng B =(n-1)2+n2+ (n+1)2+ (n+2)2 B = 4n2 +4n+6 - Ta dễ dàng chứng minh đợc số phơng chia cho có số d - Nh số B = 4n2 +4n+6 = 4(n2 +n+1)+2 chia cho d Vậy B không số phơng * Bài toán : CMR : Tổng 20 số phơng liên tiếp số phơng Giải: Thật vậy: Gọi A tổng 20 số phơng liên tiếp Theo : Do tổng số phơng liên tiếp chia cho d Nên tổng 20 số phơng liên tiếp chia cho d Vậy A không số phơng * Bài toán CMR: Tổng sau không số phơng D = 20054 +20053 +20052 +2005 +52 Nhận xét: Nếu số d phép chia cho 3, cho ta không kết luận đợc Mà ta biết số phơng chia cho có số d d d Giải: Do D chia cho d Mà số phơng chia cho có số d hoặc Nên D không số phơng * Bài toán áp dụng: CMR tổng số phơng lẻ không số phơng CMR biểu thức sau không số phơng a, n3 n +2 b, n5 n+2 CMR tổng sau không số phơng a, A= 12 +22 +32++20032+20042 b, B = 12 +22 +32++20032 c, C =20002 +20012+ 20032 +20042+20052+20062 2.3 Chứng minh số nằm số phơng liên tiếp Ta biết hai số phơng liên tiếp số phơng Thật , n2< k0) Do n2 < n(n+1)< (n+1)2 Nên n(n+1) số phơng b, Xét tích ba số nguyên dơng liên tiếp (n-).n.(n+1); (n>1) Ta có (n-1).n.(n+1) = n.(n2 -1) Ta dễ dàng chứng minh đợc hai số nguyên dơng liên tiếp hai số nguyên tố nên (n2, n2-1 ) =1 => (n2, n2-1 ) =1 =>n(n2-1) số phơng hai thừa số n n2- số phơng Với n>1 ta có (n -1) (n -1)< (n -1) (n +1)= n2-1 n2 -1 không số phơng Vậy n.(n2 -1) không số phơng c, Xét tích số nguyên dơng liên tiếp : A = n(n+1)(n+2)(n+3) (n N*) A = n(n+3(n+1)(n+2) A = (n2 +3n).(n2+3n+2) A = (n2+3n)2 +2(n2 +3n) Do (n2+3n)2 ... nguyên tố a, b số phơng a, b số phơng * Tính chất 10: Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích số phơng hai số số II Một số dạng số phơng Chứng minh số số phơng Để chứng minh số A số phơng, tùy toán... Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên A gồm 2k chữ số số tự nhiên B gồm k chữ số Chứng minh : A-B số phơng * Bài tập áp dụng: 1, Cho hai số tự nhiên A B số A gồm 2m chữ số 1, số B gồm m chữ số Chứng... 2, CMR số sau không số phơng 2006acb 2.4.Chứng minh số chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Khi phân tích thừa số nguyên tố số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn không chứa số với số mũ