lời giải số toán rút gọn biểu thức - Phơng pháp: Phân tích đa thức tử mẫu thành nhân tử; Tìm ĐKXĐ (Nếu toán cha cho ĐKXĐ) Rút gọn phân thức(nếu đợc) Thực phép biến đổi đồng nh: + Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia + Bỏ ngoặc: cách nhân đơn ; đa thức dùng đẳng thức + Thu gọn: cộng, trừ hạng tử đồng dạng + Phân tích thành nhân tử rút gọn Chú ý: - Trong toán rút gọn thờng có câu thuộc loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ ,lớn Do ta phải áp dụng phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho loại *Tính giá trị A x=? * Tìm giá trị x z * Tìm giá trị nhỏ nhất, giá tri lớn A * Tìm giá trị x để A.f(x) =g(x) * Tìm giá trị x để A=k; A k;A k * Tìm x để A > A *Tìm x để A > A Dạng x + ): x x x x a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b)Tính giá trị A x=3-2 Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x x x + ): =( + ): Rút gọn A = ( x x x x x x x( x 1) Bài Cho biểu thức A=( ( x )2 + x (x + 2)( x 1) x + A= = = x ( x 1) x ( x 1) x b Khi x= 3-2 = ( 1) A= 2 + ( 1) = ( )( 52 52 = ) = 1+ +1 1 A= ữ: x +3 x x a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị xthì A > c) Tìm x để A đạt giá trị lớn Bài 2: Cho biểu thức Bài giải: a) ĐKXĐ x 0; x ( )( x + A= : = ữ x + x x x ( ) x + 3) x x = ( x )( x +3 ) x 3 x +3 b) A > A= > x +3 3 x >0 >0 x +3 3 x +3 ( ) x > ( 3( ( x + 3) > 0) x < x < Kết hợp với ĐKXĐ: x A > 1/3 c) A = đạt giá trị lớn x + đạt giá trị nhỏ x +3 ( ) = x = x = lúc AMax= x = + : Bài 3: Cho biểu thức P = ữ x +1 x +1 x a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = x + 12 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x P Mà x +33 x +3 Bài giải: a) ĐKXĐ x 0; x 3 + x x +1 = + P = = x x +1 x + ( x 1) x + x +2 x +1 x +2 = x x +1 x ( ( ( )( )( )( ) ) ) ( ) x +2 = x + = x x + = x x x = 13 x = 168 (TMĐK) x + 12 x + 12 x x + 12 x + 16 c) M = = = = = x P x x + x +2 x +2 16 16 x 2+ = x +2+ ta có x +2 x +2 16 x +2+ 16 = 2.4 = x +2 16 M = M = x + = x +2 ( b) P = ( ( ) x + 6) ( x + = 16 ) ( x +2+4 ) ( )( ) ) x +24 =0 x = x = x = 4(TMDK) Vậy Mmin= x = x x 3x + x + 1ữ Bài 4: Cho biểu thức: D = ữ: x x + x x a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức b) Tìm x để D < c) Tìm giá trị nhỏ D Dạng a+2 a a a 1ữ: + 1ữ Bài :Cho biểu thức: P = a +2 a a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a z để P nhận giá trị nguyên Bài giải: a) ĐKXĐ: a 0;a ( ) ( ) a a +2 a a a P= + = a : a + = a +2 a a +1 a b) P = =1 a +1 a +1 để P nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên dơng a + thuộc a +1 ớc dơng a +1 =1 a = a=1 (Loại không thoả điều kiện) a = a + = ( )( Vậy P nhận giá trị nguyên a = Bài 2: Cho biểu thức B = x + ( ) ( ) ) x + +1 a) Tìm x để B có nghĩa rút gọn B b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên Bài giải: a) ĐKXĐ x 3; x B= ( ) 2( x + 1 ) x + +1 b) B nhận giá trị nguyên = x + +1 ( )= x + ( x + 1) = 2( x + 2) x + nhận giá trị nguyên x+2 x + Ư(1) x + = x = thoả mãn điều kiện x + = x = Vậy x= -1; x= -3 B nhận giá trị nguyên x2 x 2x + x ( x 1) Bài 3: Cho biểu thức: P = + x + x +1 x x a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P x c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị nguyên P Dạng x +1 + ữ: Bài 1: Cho biểu thức: P = x x x x ( ) a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P > Bài giải a) ĐKXĐ x>0; x x 1 x +1 1+ x x P= + : = = x x x x x +1 x x x x b) P > > x > ( x > 0) x < x < x Kết hợp với ĐKXĐ: < x < P > ( ) Bài 2: Cho biểu thức: ( ) ( ) ( ) a +1 a +2 P= : ữ ữ a a a a a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị a để P > x x + (1 x) Bài : Cho biểu thức: P = ữ x x + x +1 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P < x x Bài 4: Cho biểu thức: P = + x x x +1 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P < a a + a a + a ữ aữ Bài 5: Cho biểu thức: B = a + a a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B b)Tìm a để B < 7- a Bài 6: Cho biểu thức: K = ữ: ữ a a a a +1 a a) Rút gọn biểu thức K b) Tìm giá trị K a = 3+2 c) Tìm giá trị a cho K < Dạng x Bài : Cho biểu thức: A = ữ: x x x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tìm tất giá trị x cho A < c) Tìm tất giá trị tham số m để phơng trình A x = m x có nghiệm Bài giải a) ĐKXĐ: x > 0; x x x 1 : A= = ữ: x x x x x x x x ( = ( ) x ( ) x b) A < x ) x x = x x < x < (vì x x < ) x < kết hợp với ĐKXĐ Vậy m>-1 m pt A m + > m > x = m x có nghiệm Bài 2: Cho biểu thức: P = + ữ x x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị P x = 25 c) Tìm x để P + ( ) x = x 2005 + + Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x x P = + = ữ x x x x x x 1 = b) Khi x= 25 P = 16 25 ( ( ) ữ P= ữ ( ) x ) c) P + ( ) x = x 2005 + + ( ) x ( ) ( 2+ ) x = x 2005 + + + = x 2005 + + x = 2005 TMĐK Vậy x = 2005 P + ( ) x = x 2005 + + Dạng + + Bài 1: Cho biểu thức A = ữ ữ x +1 x x a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A b)Tính giá trị A x= c)Tìm giá trị x để A > A Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x A= + ữ. + ữ= x x + x ( ( x 1) ( x ) x + 1) x +1 x A = ( x + 1+ x )( x ) x +1 x +1 = x x A= b) Khi x = 2 = = 1 1 < c) A > < A < < x +0 < x > x > 1( 1) x 2 x 0 >0 x x x x > x > Vậy x > A > A x > x x Bài 2: Cho biểu thức: A = x x x + ( ) a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A c) Với giá trị x A > A Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x A= x x x x x ( ) ( x) = x ( x +1 ) x = ( x ( ) x ) x = x x 36 = 36 x c) A > A A < < x < (vì x > ) x x < x < Kết hợp với điều kiện xác định < x A b) Khi x=36 A = Chuyên đề tam thức bậc hai A.lý thuyết I áp dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để xét số nghiêm phơng trình bậc hai Cho phơng trình bậc hai: ax +bx+c=0(a 0) = b 4ac Nếu b =2b ' ' = b ' - ac Phơng trình có nghiệm Ta xét hai trờng hợp: +Trờng hợp 1: - Nếu a = 0,phơng trình có nghiệm x= +Trờng hợp : a { c b { a ' 2.Phơng trình có nghiệm phân biệt { a >0 { a ' > 3.Phơng trình có nghiệm kép { a =0 { a ' =0 Phơng trình vô nghiệm a a tam giác PMS cân P Tam giác SPB vuông P; tam giác SMS M = Sả ' (cùng phụ với Sả ) (3) => B 1 A )2 H O B M' vuông S' ả (4) Tam giác PMS cân P => Sả '1 = M = M ả (5) Tam giác OBM cân O ( có OM = OB =R) => B ả = M ả => M ả + M ả = M ả + M ả mà M ả + M ả = ã Từ (3), (4) (5) => M AMB = 90 3 ả + M ả = PMO ã nên suy M = 900 => PM OM M => PM tiếp tuyến đờng tròn M Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Tam giác DEF có ba góc nhọn DF // BC Tứ giác BDFC nội tiếp Lời giải: (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt ta có AD = AF => tam giác ADF cân A => ãADF = ãAFD < 900 => sđ ằ < 1800 cung DF => ãAEF < 900 ( góc DEF nội tiếp chắn cung DE) ã ã Chứng minh tơng tự ta có DFE < 900; EDF < 900 Nh tam giác DEF có ba góc nhọn Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => AD AF = AB AC BD BM = CB CF => BDFC hình thang cân BDFC nội tiếp đợc đờng tròn => DF // BC DF // BC => BDFC hình thang lại có B = C (vì tam giác ABC cân) 43 Xét hai tam giác BDM CBF Ta có giác cân) ã ã = BFD (nội tiếp chắn cung DI); BDM ãCBF S => BDM CBF => BD BM = CB CF ã ã = BCF ( hai góc đáy tam DBM ã ã ã = BFD (vì so le) => BDM = CBF C Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đờng M O A B thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đờng tròn P Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp N Tứ giác CMPO hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm B' P D A' M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định Lời giải: ã ã Ta có OMP = 900 ( PM AB ); ONP = 900 (vì NP tiếp tuyến ) Nh M N nhìn OP dới góc 900 => M N nằm đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp ã ã ẳ ) Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM = ONM (nội tiếp chắn OM ã ã Tam giác ONC cân O có ON = OC = R => ONM = OCN ã ã => OPM = OCM ã ã Xét hai tam giác OMC MOP ta có MOC = OMP = 900; ã ã ã ã = OCM => CMO = POM lại có MO cạnh chung => OMC = MOP => OPM OC = MP (1) Theo giả thiết Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2) Từ (1) (2) => Tứ giác CMPO hình bình hành ã ã Xét hai tam giác OMC NDC ta có MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (nội ã ã àSlà góc chung => OMC tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MOC = DNC = 900 lại có C NDC => CM CO = => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không CD CN đổi 44 S => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M ã ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy đờng thẳng cố định vuông góc với CD D Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A B song song AB Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Lời giải: ã Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => ãAEH = 900 (vì hai góc kề bù) (1) ã = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) CFH ã => CFH = 900 (vì hai góc kề bù).(2) ã = 900 ( Vì tam giác ABC vuông A) (3) EAF Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE hình chữ nhật ( có ba góc vuông) = H ả Tứ giác AFHE hình chữ nhật nên nội tiếp đợc đờng tròn => F 1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH tiếp tuyến chung = H ả (hai góc nội tiếp chắn ằ ) => hai nửa đờng tròn (O1) (O2) => B HE 1 = F => EBC ã ã ã + EFC = ãAFE + EFC mà B 1 ã ã ã => EBC + EFC = 1800 mặt khác EBC ã ãAFE + EFC = 1800 (vì hai góc kề bù) ã hai góc đối tứ giác BEFC EFC BEFC tứ giác nội tiếp Xét hai tam giác AEF ACB ta có àA = 900 góc chung; ãAFE = ãABC S ( theo Chứng minh trên) => AEF * HD cách 2: (*) ACB => AE AF = => AE AB = AF AC AC AB Tam giác AHB vuông H có HE AB => AH2 = AE.AB Tam giác AHC vuông H có HF AC => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) (**) => AE AB = AF AC = H ả Tứ giác AFHE hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E 1 ả = H ả O1EH cân O1 (vì có O1E vàO1H bán kính) => E 2 0 + E ả = H ả + H ả mà H ả + H ả = ã ả ã => E AHB = 90 => E1 + E2 = O1 EF = 90 => O1E 2 EF 45 Chứng minh tơng tự ta có O2F EF Vậy EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K) Chứng minh EC = MN Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) Tính MN Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Lời giải: ã Ta có: BNC = 900( nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm K) ã => ENC = 900 (vì hai góc kề bù) (1) ãAMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC ã = 900 (vì hai góc kề bù).(2) ã ãAEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật ) Theo giả thiết EC AB C nên EC tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (I) (K) =C (hai góc nội tiếp chắn CN ằ ) Tứ giác CMEN hình chữ nhật nên => B 1 = N ả => B = N ả (4) Lại có KB = KN (cùng bán kính) => tam giác KBN => C 3 = N ả (5) cân K => B 1 ả = N ả mà N ả + N ả = CNB ã Từ (4) (5) => N = 900 ả + N ả = MNK ã => N = 900 hay MN KN N => MN tiếp tuyến (K) N Chứng minh tơng tự ta có MN tiếp tuyến (I) M, Vậy MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) Ta có ãAEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => AEB vuông A có EC AB (gt) => EC = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo EC = MN => MN = 20 cm Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 20 = 400 46 Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn S = S(I) - S(k)) S= ( S(o) 1 ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Lời giải: ã ã Ta có CAB = 900 ( tam giác ABC vuông A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn ã nửa đờng tròn ) => CDB = 900 nh D A nhìn BC dới góc 900 nên A D nằm đờng tròn đờng kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp ả =C ả ( nội tiếp chắn cung AB) ABCD tứ giác nội tiếp => D ả =C ả => SM ả =C ả (hai góc nội tiếp đờng tròn (O) chắn hai cung ẳ = EM ẳ => C D 3 nhau) 47 => CA tia phân giác góc SCB Xét CMB Ta có BACM; CD BM; ME BC nh BA, EM, CD ba đờng cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy ả = D ả => DM tia phân giác góc ADE.(1) ẳ = EM ẳ => D Theo Ta có SM ã ã Ta có MEC = 90 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) => MEB = 900 ã ã ã ã Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà hai ả góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đờng tròn => ảA2 = B ả ( nội tiếp chắn cung CD) Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => àA1 = B => àA1 = ảA2 => AM tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) (2) Ta có M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) ã ã ã Câu : ãABC = CME (cùng phụ ãACB ); ãABC = CDS (cùng bù ãADC ) => CME = ã CDS ằ = CS ằ => SM ẳ = EM ẳ => SCM ã ã => CE = ECM => CA tia phân giác góc SCB Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy Lời giải: ã Xét hai tam giác ABC EDB Ta có BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); ã = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) DEB ã ã => DEB = BAC = 900 ; lại có ãABC góc chung S => DEB CAB ã ã ã Theo DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); BAC = 900 ( ABC ã ã ã vuông A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà hai góc đối nên ADEC tứ giác nội tiếp ã B * BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); 0 ã ã = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay BFC = 90 DFB nh F A nhìn BC dới góc 90 nên A F nằm đờng tròn đờng kính BC O => AFBC tứ giác nội tiếp E Theo ADEC tứ giác nội tiếp => =C lại có E = F => F =C E 1 1 1 F G D mà hai góc so le nên suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đờng cao tam giác DBC S A C nên CA, DE, BF đồng quy S 48 Bài 17 Cho tam giác ABC có đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với cạnh AB AC Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH Chứng minh OH PQ 49 A O P Q B H M C Lời giải: Ta có MP AB (gt) => ãAPM = 900; MQ AC (gt) => ãAQM = 900 nh P Q nhìn BC dới góc 900 nên P Q nằm đờng tròn đờng kính AM => APMQ tứ giác nội tiếp * Vì AM đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ trung điểm AM Tam giác ABC có AH đờng cao => SABC = BC.AH Tam giác ABM có MP đờng cao => SABM = AB.MP Tam giác ACM có MQ đờng cao => SACM = AC.MQ Ta có SABM + SACM = SABC => 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH Tam giác ABC có AH đờng cao nên đờng phân giác ã ằ = HQ ẳ ( tính chất góc nội tiếp ) => HOP ã ã ã => HAP = HAQ => HP = HOQ (t/c góc tâm) => OH tia phân giác góc POQ Mà tam giác POQ cân O ( OP OQ bán kính) nên suy OH đờng cao => OH PQ Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H không trùng O, B) ; đờng thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M đờng tròn ; MA MB thứ tự cắt đờng tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp Chứng minh đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Lời giải: Ta có : ãACB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) M ã => MCI = 90 (vì hai góc kề bù) K C ãADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) D ã => MDI = 900 (vì hai góc kề bù) I ã ã => MCI + MDI = 1800 mà hai góc đối tứ giác MCID A B O H nên MCID tứ giác nội tiếp Theo Ta có BC MA; AD MB nên BC AD hai đờng cao tam giác MAB mà BC AD cắt I nên I trực tâm tam giác MAB Theo giả thiết MH AB nên MH đờng cao tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy I ả OAC cân O ( OA OC bán kính) => àA1 = C _ _ ả =C KCM cân K ( KC KM bán kính) => M 1 ả = 900 ( tam giác AHM vuông H) => C +C ả = 900 => C ả +C ả = Mà àA1 + M 1 0 ã 90 ( góc ACM góc bẹt) hay OCK = 90 ã ã ã ã ã Xét tứ giác KCOH Ta có OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mà OHK ã OCK hai góc đối nên KCOH tứ giác nội tiếp [...]... 80 (giờ) y Quảng đờng ô tô đi là 100 km nên thời gian ô tô đi là ta có phơng trình 100 (giờ) y 100 80 = (1) x y Quảng đờng xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là Quảng đờng ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là Vì ô tô đi trớc xe máy 54 phút = 60 (giờ) y 120 (giờ) y 9 nên ta có phơng trình 10 120 60 9 = (2) x y 10 100 80 x y 160 80 x y 100 80 100 80 x = y x y =0 Từ (1)... việc trong 24 giờ Ngời thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ Ví dụ 2: Hai thợ cùng đào một con mơng thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc? Giải : Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công... ngời làm xong trong 2 ngày nên trong 1 ngày cả hai ngời làm đợc công việc Từ đó ta có pt 1 2 1 1 1 + = (1) y x 2 Ngời thứ nhất làm trong 4 ngày rồi ngời thứ hai làm trong 1 ngày thì xong công việc ta có pt: 4 1 + = 1 (2) x y 1 1 1 1 1 1 + = x + y = 2 x = 6 x y 2 (thoả mãn đk) Từ (1) và (2) ta có hệ pt 4 1 y = 3 3 1 + =1 = x y x 2 Vậy ngời thứ nhất làm một mình xong công việc trong 6 ngày... xong công việc trong 6 ngày Ngời thứ hai làm một mình xong công việc trong 3 ngày Bài tâp: 28 1 Hai ngời thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ Nếu ngời thứ nhất làm trong 4 giờ, ngời thứ hai làm trong 7 giờ thì đợc 1/3 công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình thì mất bao lâu sẽ xong công việc? 2 Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai đợc điều đi làm... việc khác Tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thhì bao lâu xong công việc đó? 3 Hai đội công nhân cùng đào một con mơng Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong công việc Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc? 4 Hai chiếc bình rỗng giống nhau có... 200 x 2 (đồng) 100 S tin sau hai nm Bỏc Thi phi tr l 2000000 +20000x + 20000x + 200x2 (ng) 200x2 + 40000x +2000000 (ng) Theo bi ra ta cú phng trỡnh 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000 x2 + 200x 2100 = 0 Gii phng trỡnh ta c x1 = 10 (tho món); x2 = - 210 (khụng tho món) Vy lói sut cho vay l 10 % trong mt nm Vớ d 2: Theo k hoch hai t sn xut 600 sn phm trong mt thi gian nht nh Do ỏp dng k thut mi nờn... một mình ngời thứ hai hoàn thành công việc là y(y > 0; giờ) Trong một giờ ngời thứ nhất làm đợc Trong một giờ ngời thứ hai làm đợc 1 công việc x 1 công việc y Hai ngời cùng làm thì xong trong 16 giờ Vậy trong 1 giờ cả hai ngời cùng làm đợc 1 16 công việc Ta có phơng trình: 1 1 1 + = (1) x y 16 Ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì 25%= 1 công 4 3 6 1 + = (2) x y 4 1 1 1 3 3 3... 30 + x% = x 100 + Dõn s tnh A nm ngoỏi l a, t l gia tng dõn s l x% thỡ dõn s nm nay ca tnh A l a + a x 100 Số dân năm sau là (a+a x x x ) + (a+a ) 100 100 100 Vớ d 1: Bi 42 SGK tr 58 Gi lói sut cho vay l x (%),k: x > 0 Tin lói sut sau 1 nm l 2000000 x = 20000 (ng) 100 Sau 1 nm c vn ln lói l 200000 + 20000 x (ng) Riờng tin lói nm th hai l (2000000 + 20000 x ) x = 20000 x + 200 x 2 (đồng) 100 S tin sau... thỏa mãn : x1 x 2 10 + = x 2 x1 3 Giải: a.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng là : { ' >0 S> 0,P > 0 { 1 m > 0 2 >0,m > 0 { mm< >10 0 < m < 1 b.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt ' =1-m > 0 m ... trình 10 120 60 = (2) x y 10 100 80 x y 160 80 x y 100 80 100 80 x = y x y =0 Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình 120 60 = 40 20 = x x y 10 y 10 60 12 =0 = x = 50 x 10 ... m PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta có PM OJ ( PM tiếp tuyến ), mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ (6) ã ã Dễ thấy tứ giác AONP