TRNG THCS ễNG PHNG K HOCH ễN TP Thi vO LP 10 THPT Nm hc 2011 - 2012 Năm hc 2010 - 2011 Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A Để rút gọn biểu thức A ta thực bớc sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đa bớt thừa số thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có) - Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: Bài toán tính toán Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức A Tính A mà điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a Cách giải: - Rút gọn biểu thức A(x) - Thay x = a vào biểu thức rút gọn Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B Một số phơng pháp chứng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A=B A-B=0 - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B - Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh A = A1 = A2 = = C A=B B = B1 = B2 = = C - Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng A = B A' = B' A" = B" (*) (*) A = B - Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết - Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp - Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: toán liên quan tới phơng trình bậc hai Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) Các phơng pháp giải: - Phơng pháp 1: Phân tích đa phơng trình tích - Phơng pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai x2 = a x = a - Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có = b2 - 4ac + Nếu > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = b+ b ; x2 = 2a 2a + Nếu = : Phơng trình có nghiệm kép x1 = x2 = b 2a + Nếu < : Phơng trình vô nghiệm - Phơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta có ' = b'2 - ac với b = 2b' + Nếu ' > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = ' ' b ' + ' ; x2 = b a a + Nếu ' = : Phơng trình có nghiệm kép b ' x1 = x2 = a + Nếu ' < : Phơng trình vô nghiệm - Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et Nếu x1, x2 nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) thì: b x1 + x2 = a x1.x2 = c a biệt Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức a.c < phơng trình có hai nghiệm phân Bài toán 2: Biện luận theo m có nghiệm phơng trình bậc bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) Xét hệ số a: Có thể có khả a Trờng hợp a = với vài giá trị m Giả sử a = m = m0 ta có: (*) trở thành phơng trình bậc ax + c = (**) + Nếu b với m = m0: (**) có nghiệm x = -c/b + Nếu b = c = với m = m0: (**) vô định (*) vô định + Nếu b = c với m = m0: (**) vô nghiệm (*) vô nghiệm b Trờng hợp a 0: Tính ' + Tính = b2 - 4ac Nếu > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: hai ax + x1 = b+ b ; x2 = 2a 2a Nếu = : Phơng trình có nghiệm kép : x1 = x2 = b 2a Nếu < : Phơng trình vô nghiệm + Tính ' = b'2 - ac với b = 2b' Nếu ' > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = ' ' b ' + ' ; x2 = b a a b ' Nếu ' = : Phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a Nếu ' < : Phơng trình vô nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận Bài toán 3: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm Có hai khả để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm: Hoặc a = 0, b Hoặc a 0, ' Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mãn điều kiện điều kiện Bài toán 4: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm phân biệt a a ' > > Điều kiện có hai nghiệm phân biệt Bài toán 5: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm Điều kiện có nghiệm: a a a = ' b = = Bài toán 6: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép a Điều kiện có nghiệm kép: = a < hai ax + bx a ' = Bài toán 7: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm Điều kiện có nghiệm: hai ax + bx hai ax + bx a ' < Bài toán 8: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm hai ax + bx a a = b = Điều kiện có nghiệm: a ' = Bài toán : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm dấu Điều kiện có hai nghiệm dấu: c P = a > ' c P = a > Bài toán 10 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc bx + c = (a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm dơng Điều kiện có hai nghiệm dơng: c P = > a b S = a > ' c P = > a b S = a > c P = > a b S = a < ' c P = > a b S = a < Bài toán 11 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm âm Điều kiện có hai nghiệm âm: Bài toán 12 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm trái dấu Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < a c trái dấu Bài toán 13 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc bx + c = (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x = x1 Cách giải: - Thay x = x1 vào phơng trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = m - Thay giá trị m vào (*) x1, x2 P hai ax + bx hai ax + hai ax + hai ax + hai ax + - Hoặc tính x2 = S - x1 x2 = x Bài toán 14 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: a x1 + x2 = b x12 + x22 = k 1 c x + x = n d x12 + x22 h e x13 + x23 = t Điều kiện chung: ' (*) Theo định lí Viet ta có: b x1 + x2 = a = S (1) x1.x2 = c = P (2) a a Trờng hợp: x1 +x2 = b x1 + x2 = a Giải hệ x1 + x2 = x1, x2 Thay x1, x2 vào (2) m Chọn giá trị m thoả mãn (*) b Trờng hợp: x12 + x22 = k ( x1 + x2 ) x1 x2 = k Thay x1 + x2 = S = b c x1.x2 = P = vào ta có: a a S2 - 2P = k Tìm đợc giá trị m thoả mãn (*) 1 c Trờng hợp: x + x = n x1 + x2 = nx1.x2 b = nc Giải phơng trình - b = nc tìm đợc m thoả mãn (*) d Trờng hợp: x12 + x22 h S P h Giải bất phơng trình S2 - 2P - h chọn m thoả mãn (*) e Trờng hợp: x13 + x23 = t S 3PS = t Giải phơng trình S 3PS = t chọn m thoả mãn (*) Bài toán 15 : Tìm hai số u v biết tổng u + v = S tích u.v = P Ta có u v nghiệm phơng trình: x2 - Sx + P = (*) (Điều kiện S2 - 4P 0) Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u v cần tìm Nội dung 5: giải phơng trình phơng pháp đặt ẩn số phụ Bài toán1: Giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình at2 + bt + c = chúng Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x at + bt + c = vô nghiệm nghiệm âm nghiệm kép âm nghiệm dơng 2 nghiệm dơng Bảng tóm tắt ax4 + bx2 + c = vô nghiệm vô nghiệm vô nghiệm nghiệm đối nghiệm cặp nghiệm đối Bài toán 2: Giải phơng trình A( x + 1 ) + B( x + ) + C = x x = t x2 - tx + = x 1 Suy t2 = ( x + )2 = x + + x + = t x x x Đặt x + Thay vào phơng trình ta có: A(t2 - 2) + Bt + C = At2 + Bt + C - 2A = = t giải tìm x x 1 Bài toán 3: Giải phơng trình A( x + ) + B( x ) + C = x x Đặt x = t x2 - tx - = x 1 Suy t2 = ( x )2 = x + x + = t + x x x Giải phơng trình ẩn t sau vào x + Thay vào phơng trình ta có: A(t2 + 2) + Bt + C = At2 + Bt + C + 2A = Giải phơng trình ẩn t sau vào x = t giải tìm x x Bài toán 4: Giải phơng trình bậc cao Dùng phép biến đổi đa phơng trình bậc cao dạng: + Phơng trình tích + Phơng trình bậc hai Nội dung 6: giải hệ phơng trình ax + by = c a ' x + b ' y = c ' Bài toán: Giải hệ phơng trình Các phơng pháp giải: + Phơng pháp đồ thị + Phơng pháp cộng + Phơng pháp + Phơng pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: giải phơng trình vô tỉ Bài toán 1: Giải phơng trình dạng Ta có f ( x) = g ( x ) (1) g ( x) f ( x) = g ( x) f ( x ) = [ g ( x )] (2) (3) Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm (1) Bài toán 2: Giải phơng trình dạng f ( x) + h( x) = g ( x) Điều kiện có nghĩa phơng trình f ( x) h ( x ) g ( x) Với điều kiện thoả mãn ta bình phơng hai vế để giải tìm x Nội dung 8: giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối Bài toán: Giải phơng trình dạng f ( x ) =g ( x ) Phơng pháp 1: g ( x) f ( x ) =g ( x ) [ f ( x)] = [ g ( x)] 2 Xét f(x) f(x) = g(x) Xét f(x) < - f(x) = g(x) Phơng pháp 3: Với g(x) ta có f(x) = g(x) Phơng pháp 2: Nội dung 9: giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài toán: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = M - [g(x)]2n , n Z y M Do ymax = M g(x) = - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = m + [h(x)]2k kZ y m Do ymin = m h(x) = Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức Nội dung 10: toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đờng - đờng qua điểm Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) điểm A(xA;yA) Hỏi (C) có qua A không? Đồ thị (C) qua A(xA;yA) toạ độ A nghiệm phơng trình (C) A(C) yA = f(xA) Dó tính f(xA) Nếu f(xA) = yA (C) qua A Nếu f(xA) yA (C) không qua A * tơng giao hai đồ thị Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số y = f(x) y = g(x) Hãy khảo sát tơng giao hai đồ thị Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phơng trình hoành độ điểm chung: f(x) = g(x) (*) - Nếu (*) vô nghiệm (C) (L) điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiếp xúc - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung * lập phơng trình đờng thẳng Bài toán 1: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(x A;yA) có hệ số góc k Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phơng trình (D) Bài toán 2: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b y A = ax A + b y B = ax B + b (D) qua A B nên ta có: Giải hệ ta tìm đợc a b suy phơng trình (D) Bài toán 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đợc b suy phơng trình (D) Bài toán 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(x A;yA) k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đợc hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta có yA = axA + b (***) Từ (**) (***) a b Phơng trình đờng thẳng (D) Dạng 11: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: a1 + a2 + a3 + + an n a1.a2 a3 an (với a1.a2 a3 an ) n Dấu = xảy khi: a1 = a2 = a3 = = an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với số a1; a2; a3;; an; b1; b2; b3;bn ( a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn ) (a12 + a22 + a32 + + an2 )(b12 + b22 + b32 + + bn2 ) a1 a2 a3 an Dấu = xảy khi: b = b = b = = b n Một số phơng pháp chứng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A>B A-B>0 - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B + M2 > B M - Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng A > B A' > B' A" > B" (*) (*) A > B - Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C C > B A > B - Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi tơng đơng để dẫn đến điều vô lí ta kết luận A > B 10 - Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết - Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp - Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểu thức phụ 11 [...]...- Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt - Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p quy n¹p - Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô 11 ... x1 +x2 = b x1 + x2 = a Giải hệ x1 + x2 = x1, x2 Thay x1, x2 vào (2) m Chọn giá trị m thoả mãn (*) b Trờng hợp: x12 + x22 = k ( x1 + x2 ) x1 x2 = k Thay x1 + x2 = S = b c x1.x2 = P = vào. .. nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: a x1 + x2 = b x12 + x22 = k 1 c x + x = n d x12 + x22 h e x13 + x23 = t Điều kiện chung: ' (*) Theo định lí Viet ta có: b x1 + x2 = a = S (1) x1.x2 =... khi: a1 = a2 = a3 = = an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với số a1; a2; a3;; an; b1; b2; b3;bn ( a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn ) (a12 + a22 + a32 + + an2 )(b12 + b22 + b32 + + bn2 ) a1 a2 a3