Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 HỆ PHƢƠNG TRÌNH  a2 1  xa  ya  za 3 a  Bài Giải hệ phương trình:   x, y    a2 1  ax  ay  az 3 a  (Trích đề thi thử tuyển sinh quốc gia số 19 – 2015) Giải Xét véc-tơ: u    x  a; y  a; z  a , v  1;1;1    u v   x  a  y  a  z  a    3a  x  y  z  1 Tương tự  a  x  a  y  a  z    3a  x  y  z    2   x  a  y  a  z  a    a  x  a  y  a  z   18a  u.v 2 Mà cộng hai phương trình hệ ta có:  xa  ya  za   ax  ay  az   18a Tức dấu đẳng thức phải xảy bất đẳng thức (1) (2), hay:  a2 1  xa  ya  za  a  xyz  a  a 1 a  x  a  y  a  z   a  Vậy hệ phương trình có nghiệm x  y  z  a     2x   4x y   y   Bài Giải hệ phương trình   x x  y  xy   2xy  x  y   (Trích Trƣờng THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh lần – 2015) Giải Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế     2x   4x y   y     x x  y  xy   2xy  x  y   1  2 20152016 Điều kiện x  y  xy   * Vì t   t  nên 1  2x   4x   y  y  2x  y    2x  y    4x  4x  y  4x   y 2 0   y  2x  y   2x  y   y  2x Thay y  2x vào (2) ta x 3x  2x   4x  3x  x x 3      x  4    Đặt t   x x x x x x   Khi x  ta x t   t   t  Từ kết hợp với x  ta  37  37 ;y   thỏa mãn điều kiện (*) 14 Khi x  ta  t   t   t  Từ kết hợp với x  ta x  17 17  ;y  thỏa mãn điều kiện (*) Vậy hệ có cặp nghiệm… 2   x  4y  x     4y  x  2y Bài Giải hệ phương trình   x, y   4y x   x  x      (Trích Tƣờng THPT Chuyên Quốc học – Huế lần – 2015) Giải 2   x  4y  x     4y  x  2y 1   2  4y  x    x  x  x  Điều kiện  Với điều kiện y  1  x  4xy  20y   4y2  x  2y  2  4xy  16y  x   x Thay vào (1) ta có x  x    2y  1  2  2y  1  Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 Xét hàm số u  g  t   t  t  với t  1;   Hàm số đồng biến Vì x  x    2y  1   2y  1   x  2y   x   2y Thay vào (2) ta 2x  9x   x    x       x   2x  2  x 1     x    2x  2    2x   2 x  10    x   2x  2      2x  2       Phương trình bậc hai 2x   2 x  10   có Δ  2  hai nghiệm x1  52 ; x  Nghiệm x bị loại Hoàn toàn tương tự ta có x    2x  2   x  nên có 2x  2   52 2  5 2 32   5 2 3 2  ; ; Vậy hệ cho có hai nghiệm     2       y x  3y   x  y  x      Bài Giải hệ phương trình   x, y    x  y  x3    y  2  (Trích Trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định – 2015) Giải   y x  3y   x  y  x        x  y  x3    y  2  1  2  I  x  y   x  y  Điều kiện:   x  0, y   x  1, y  Nhận xét x  1, y  không nghiệm hệ Xét y  pt (1) hệ (I)  x  x x x  x  y  1   y  1   y  1 x  y  1    3 0   y 1 y 1  y 1 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế Đặt t  20152016 x , t  Khi đó, pt (1) trở thành y 1   t  t  t     t  1 t  t  2t    t  Với t  x   y  x  , vào pt (2) ta y 1 3 x  x   x    x  1  x  x    x    x  1        x  x   x2  x 1   0  x    x  1 x    x  12        x  x   x  x  1  0 2  3  x3    x  1 x    x  1         x2  x 1   x  Với x  1  x  1 1 3 y 2 1   ; Đối chiếu với điều kiện, hệ phương trình có nghiệm  x, y          y  x  y   x  3y x  xy  y    Bài Giải hệ phương trình   y2  y  5x  (Trích Trƣờng THPT Trần Phú, Hải Phòng – 2015) Giải    y  x  y   x  3y x  xy  y      y2  y  5x  1  2 y  Điều kiện:  (vì y  không thỏa hpt)  x  y  1 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 1    x  1 y  x  y 1  20152016    x  1 x  x   3y  x  1 x  y  1     x  1  x  x  3xy  3y  3y   0 y  x  y        x  1  x   3y  1 x  3y  3y   0 y  x  y     3 Xét A  x   3y  1 x  3y2  3y  Δ  3  y  1  x   A  x, y   3  x  1 Thay x  1 vào (2) ta có: y2  y    1  17 y    1  17 y   (loaïi)  1  17  Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;      2x x y  x  2y  3x   Bài Giải hệ phương trình   x, y   2xy x  2y  2y x   x        (Trích đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng lần – 2015) Giải Điều kiện: x  2y  x  2y  Từ phương trình (2) ta có 2xy  x  2y   2xy    x  2y     2xy  1 x  2y    2xy  1    2xy  1 x  2y  1  2xy    x  2y  1 (loaïi) Thay vào phương trình (1) ta có x2  2x x   3x  x Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế x  2y Điều kiện  x  1,x   1;0  Khi **  x  x  20152016 **  1 1  3  x    x  3  x x x x  1 Đặt t  x  ,  t    t  x  x x t  Khi ta có phương trình t  2t      t  3 (loaïi) Với t   x  1   x2  x    x  x Kết hợp với điều kiện ta x   1 1 thỏa mãn, suy y   2x   1     1   ; ; Vậy, hệ có nghiệm  x;y    ,          3x  2y   x  y  11 Bài Giải hệ phương trình     x  y   2x  y  (Trích đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng lần – 2015) Giải 3x  2y   Điều kiện x  y  8 2x  y   Đặt 3x  2y  a;  x  y  b;  2x  y  c  a;b;c  0 a  11  3b  11  1  2c  a  3b  11      b   2c Ta có hệ tương đương  b  2c    2 2  * a  b  c  4  a  b  c  4 c  2 Khi *    6c   1  2c   c2  4  33c2  100c  67     c  67  33 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế   a  x   3x  2y  Với c      y 1 b    8 x y 3    46 a 0 67   11 Với c    Mâu thuận điều kiện Loại 33  145 b  11  20152016 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x;y    2;1  x2  xy  2y2  y2  xy  2x2  x  y    Bài Giải hệ phương trình   8y   x    y  y  x    (Trích Trƣờng THPT Nông Cống 1, lần – 2015) Giải Điều kiện: x;y     x x x x  x PT 1              1 y y y y y  Đặt x  t;t  ta phương trình y t  t   2t  t    t  1  3 Bình phương hai vế (3) giải ta x  y   Thay x  y vào (2) ta được: 8x   x    x  x  x     4x     4x        1   x    x    Xét hàm số f  t   t  t đồng biến  4  4x    x  Giải (5) ta x  x     1   4 nên  5 34  34 34  Vậy hệ có nghiệm  x;y   2;2   x; y    ;   9   2x   y  3y  2x y  y Bài Giải hệ phương trình   x  y   y  Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133  x, y   Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 (Trích Trƣờng THPT Lƣơng Thế Vinh, Hà Nội lần – 2015) Giải 2x   y  3y  2x y  y 1     2 x  y   y  Điều kiện: y  1  2x3  2x y  y  y   y  y  3  y     y  x  2x  2x y  y   x    2  y3  y    x4   2x x  y   x  2y  y x  y  y  x :    x   2x  4x  x    x    x; y   1;1 ,  1;1 y  2x  x  2    3  2x  x   x   2x     x  1 x  3x  3x    x  4x     x    x  3x  3x   x   y  x  3x  3x    x  x  3  3x    4 Từ (3) suy 2x  x    x     vô nghiệm Vậy  x; y   1;1,  1;1  3   x  y  3y  3x   Bài 10 Giải hệ phương trình  2   x   x  2y  y   (Trích Trƣờng THPT Ngô Gia Tự, Bắc Ninh – 2015) Giải  x  y3  3y  3x     2   x   x  2y  y   1 2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 1  x  1  x   Điều kiện:  2y  y  0  y  Đặt t  x   t  0;2 Ta có 1  t  3t  y3  3y2 Hàm số f  u   u  3u nghịch biến đoạn  0;2 nên: 1  y  t  y  x    2  x   x   Đặt v   x  v  0;1     v2  2v   v   v2  2v      v  3 (loaïi) Với v  ta có x   y  Vậy hệ có nghiệm  x;y   0;1  3   x  6x  13x  y  y  10 Bài 11 Giải hệ phương trình    2x  y    x  y  x  3x  10y  (Trích Trƣờng THPT Lý Tự Trong, Khánh Hòa lần – 2015) Giải  x  6x  13x  y3  y  10 1   2x  y    x  y  x  3x  10y    1   x  3   x    y3  y Xét hàm số f  t   t  t, t   f  t  đồng biến Thay (3) vào (2): có f '  t   3t   t  1  x   y  3 3x    2x  x  3x  10x  26   ;   x   5 + Chứng minh g  x   3x    2x đồng biến đoạn  1;   2  5 + Chứng minh h  x   x3  3x  10x  26 nghịch biến đoạn  1;   2 g  2  h     x  nghiệm pt (4) Đáp số  x; y    2;0  Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 2   x  y  xy   4y Bài 12 Giải hệ phương trình   x, y   2 y x  y  2x  7y      (Trích Trƣờng THPT Đông Thọ, Tuyên Quang lần – 2015) Giải Nhận xét: hệ nghiệm dạng  x ;0   x2  xy4   x  y  xy   4y  y Với y  , ta có:   2 x2   y  x  y   2x  7y   x  y  7    y  Đặt y  x2  , v  x  y ta có hệ: y    v  3, u  u  v  u   v       v  5, u   v  2u  v  2v  15   Với v  3,u  ta có hệ  x   y  x   y  x  x    x  1, y            x  2, y  x  y  y   x y   x Vậy hệ có hai nghiệm là: 1;2   2;5     x   9y x   9y x  9x  46    Với v  5,u  ta có hệ:      x  y  5  y  5  x  y  5  x Hệ vô nghiệm  Vậy hệ cho có hai nghiệm:  x; y   1;2  ,  2;5  x  y3  3y2  x  4y   Bài 13 Giải hệ phương trình   x, y    x  x   x   y (Trích Trƣờng THPT Nguyễn Huệ, Đăk Lăk lần – 2015) Giải 3   x  y  3y  x  4y     x  x   x   y 1  2 Điều kiện: x  2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 10 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016  y2  yt  t    3t    0,  x, t  TH1:  Do y2  yt  t    y  t      t   3y nên hệ phương trình vô nghiệm   y  t  1 y  t   t  y   TH2:    y  t   t  3y  y  3y   y  1  x  1; y   x  1  Vậy hệ có nghiệm  x; y   1; 1 ;  ;2  2   x  2y   y  2x  Bài 113 Giải hệ phương trình:   x, y   2  x  2x  x  3x  y y (Trích Trƣờng THPT Chuyên Quốc Học – Huế lần – 2014) Giải   x  2y   y  2x   x  2x  x  3x  y y      1  2 Điều kiện: x  2y   x  y  2   x  y   x  2x  y      x  2x  y   x   x  y  (không thỏa Từ (1) suy 2x  y  0x  2x  y     2x  y  mãn (1)) Thay y  x vào (1), ta được:  x  x  2x   x    x 1   x  2x   x Với x  ta y  (thỏa điều kiện) 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x;y   1;1     x  y  x  y  y  x  y  1  Bài 114 Giải hệ phương trình   x, y   x  4x    y    Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133  Page 94 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế   20152016 (Trích Trƣờng THPT Thu n Thành 1, Bắc Ninh – 2014) Giải  x  y  x  y  y  x  y  1    x  4x    y    Điều kiện: x  1  2 1  x  y2  xy2  y3  xy  x   x   y  y  1 x  y3  y    Δ x  y2  y  x  y  Từ tìm   x  y (loaïi) Thay y  x  vào (2) ta được:  x 1  2x x x 4  x  4x  x  2x   3 1    x 4 x 4 x    x  Với Với x x 4 x x 4   x  x   (vô nghiệm)   x  4x    x   y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;1 3   x  12x  8y  24y  16  Bài 115 Giải hệ phương trình  2   x   x  12 2y  y  8 (Trích Trƣờng THPT Phan Đăng Lƣu, Nghệ An lần – 2014) Giải  x  12x  8y3  24y  16    2   x   x  12 2y  y  8 1  2 2  x  Điều kiện:  0  y  Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 95 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 1  x3  12x   2y  23  12  2y  2 Xét hàm số f  t   t  12t  2;2 có f '  t   3t  12  0, t   2;2  Hàm số nghịch biến  2;2 nên 1  f  x   f  2y  2  x  2y  Thế vào (2) ta được:  2y  2    2y    12 2y  y  8  2y  y  2y  y    2y  y   y   x  Vậy hệ có nghiệm  x; y    0;1  x  1  2y   y    Bài 116 Giải hệ phương trình   x, y    y y  x   x   (Trích Trƣờng THPT Chuyên ĐH Vinh lần – 2014) Giải Điều kiện: x    Đặt t  x  1, t  Khi x  t  hệ trở thành:  t 1  2y   y    t  y  2ty    t  y   2ty        2 2  y  ty  t    t  y   3ty    y  y  t   t   Suy  t  y  t  y  y  t   3 t  y     t  y   y  t  2   Với y  t , ta có 2t    t  Suy x  2, y  Với y  t  Suy x  3  13  3 , ta có   2t  t      4t  6t    t   2 19  13  13 , y  19  13  13  ; Vậy nghiệm hệ là:  2;1 ,     Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 96 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016   x  y 4 :   x5  y5 6 (Trích Trƣờng THPT Việt Trì, Phú Thọ - 2014) Giải Bài 117 Giải hệ phương trình sau tập số thực  x  y    x   y   Điều kiện: x  0, y  1  2  x   x  y   y  10  x   x  y   y  10  HPT    5  2  x   x  y   y   y5  y  x 5  x     y   y   10   x   x   x    y  x   x  y   y   25   y5  y 5  3x  5x   3y  7y    24xy  Bài 118 Giải hệ phương trình        x 5  x  2   x  y  xy  7x  6y  14  (Trích Trƣờng THPT Tống Duy T n, Thanh Hóa lần – 2014) Giải    3x  5x  3y  7y   24xy    x  y2  xy  7x  6y  14  1  2 Ta có  2  x   y   x  y2  6y  14    Đ tồn x điều kiện là: Δ x   y    y2  6y  14   3y2  10y     y  Mặt khác  2  y2   x   y  x  7x  14    Đ tồn y điều kiện là: Δ y   x    x  7x  14   3x  16y  20    x  10 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 97 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế Xét phương trình (1) với điều kiện  x  20152016 10  y  , ta có: 3  2     3y     24 x y    Xét hàm số f  t   3t  với t  1;   t Ta có: f '  t     với t  1;   nên hàm số f(t) đồng biến 1;  t 10 Nên với điều kiện  x   y  , ta có: 3 1   3x    x  2 2      3x     3y      3.2    3.1     24 hay 1   y  x y        x  Thay  vào phương trình (2) ta thấy không thỏa mãn y  Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm Bài 119 Giải hệ phương trình  x  xy  x     x, y    2  x  1   y  1  xy  x y  2y   (Trích Trƣờng THPT Gia Lộc, Hải Dƣơng lần – 2014) Giải   Điều kiện: x y  2y   y  Từ phương trình thứ hệ ta có: xy  x  x  Thế vào phương trình thứ hai ta được:  x  12   y  1  2x  2x   x y  2y    x   3y  x y  2y   y x 2 Suy 2 y x 2 y x 2 1   hay y  x  Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 98 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 Thay vào phương trình thứ hệ ta được:     x  x x   x     x  1 x    x  1 Suy y  Vậy nghiệm hệ  x; y    1;3  x  y   x  1 y    Bài 120 Giải hệ phương trình   x, y   2 y x  4x    x y       (Trích Trƣờng THPT Thanh Chƣơng 1, Nghệ An lần – 2014) Giải Điều kiện: y  5    Khi phương trình x  y   x  1 y    x  y   y    x  y    x  y  5,  x   1 x2 Phương trình y x  4x     x  y    Xét hàm số: f  t   t t 1 Hàm số f(t) đồng biến  t  ; f ' t    x  2  t  1 t 1 2 1  y y 1 2  0, x  Do  2  f  y   f  x    y  x   x  y  Hệ phương trình cho    y  x  Giải hệ đối chiếu với điều kiện suy hệ phương trình có nghiệm   13 13   ;  x; y        x  x  4y  y   Bài 121 Giải hệ phương trình   x, y  2   x  y  x  y  x  y 1 Giải  x  x  4y  y     x  y  x  y  x  y   1  2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 99 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế  x   y Điều kiện:    x  x  4y  20152016  3   y  y  Ta có 1   2  2   x  y  x    x  x  4y   y   1'  u, v  0 Đặt u  x  y, v  x  y Thế vào (1’) (2) ta được:   2u v  u  v      u  v  uv   3  2   Lại đặt S  u  v, P  uv S2  4P  0, S  0, P  , vào (3) (4), ta được: 2P  S2  2P    S  P  S  4, P  Giải hệ ta  , suy ra: S  2, P  3 (loaïi) x  y    u  3, v    x  y   x  5, y    u  1, v    x  y    x  5, y  4    x  y  So sánh điều kiện ta thấy hệ có nghiệm  x; y    5;4  x2 y2  8  Bài 122 Giải hệ phương trình   y  2  x  12  8x  4y  3xy   Giải Điều kiện: x  1 y  2 Ta có: 8x  4y  3xy     x  1  4y  x  1  xy   x  1 y    xy  x y 4 y  x 1 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 100 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế Đặt 20152016 x y  u; v y2 x 1  u  v  4 u  v  u  v   Hệ trở thành:  hay   uv  uv  uv  Ta  u  2; v  2 hay  u  2;v  2   x   y    x  2y   x     Với u  2;v  ta được:   y  2x   y   10  y 2   x   x  y   2  x  2y   x    Với u  2;v  2 ta được:  (loại) y   2x  y   y     2  x   10  Hệ phương trình có nghiệm:   ;    3 1  xy  xy  x  Bài 123 Giải hệ phương trình  1 y y  3 y  x x x (Trích Trƣờng THPT Chuyên Hạ Long lần – 2014) Giải Điều kiện: x  0; y  Biến đổi phương trình sau thành  xy xy  x  3x xy x   xy  xy (cả hai vế  dương)  xy xy   xy  xy   xy  xy vào  phương trình ta xy Biến đổi phương trình thành pt bậc xy ta được: 2xy xy  4xy  xy  Giải phương trình ta xy  T nh x  1; y  Vậy nghiệm hệ  x; y   1;0  Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 101 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 3   x  4y  3x  4y   Bài 124 Giải hệ phương trình   x, y   2 3x  4y  6x     (Trích Trƣờng THPT Chuyên Lƣơng Thế Vinh, Đồng Nai lần – 2014) Giải  x  13   x  1  4y3  4y   HPT   2  3  x  1  4y   a  4y3  3a  4y Đặt a  x  , ta có hệ:  2 3a  4y     Suy a  4y3   3a  4y  3a  4y2   5a  12a y  12ay2  32y3    5a  8y  a  2y    a   y  a  2y 25   y a   y thay vào hệ ta có   y   4y2   y2  23 23   8   a x 1   23 23     5 y  y    23 23   8   a x 1   23 23     5 y   y     23 23   1 Thay a  2y vào hệ ta có: y2   y   2 a  x       y  y  2   a   x       y   y   2    ; Vậy hệ có cặp nghiệm  x;y   1  23      , 1  2;   23   2   x 4x   y 2y    Bài 125 Giải hệ phương trình  x 2x  xy  3x  2 0  (Trích đề thi thử Thầy Đặng Việt Hùng lần – 2014) Giải Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 102 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế    x 4x   y 2y     x 2x  xy  3x  2 0  Điều kiện: x  4; y  Ta 1  2x  4x  1  2y 20152016 1  2 có 2y    2x   2x    2y   2y  Xét hàm số f  t   t  t , ta có f '  t   3t   0, t  * nên f(t) đồng biến *   2x 3  2x   2y    2y   f  2x   f  2y    x   2x  2y    4x   2y Từ (2) ta có 2x  xy  3x    x    4x  x  2y   6x  2x    4x  x 4x   6x  2x    4x  4x  7x  2x   Xét hàm số g  x   4x  4x  7x  2x  8; g '  x   12x  8x    4x   2x  1  2x  2x    0, x  nên g(x) đồng biến n a khoảng 2x  0;  1 Mặt khác ta dễ thấy g     x   y  2 1  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    ;1 2  5   x  5x  y  5y Bài 126 Giải hệ phương trình   x, y   2 2  x  2x  y    (Trích Đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng lần – 2014) Giải Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 103 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế  x  5x  y5  5y   2  2  x  2x  y  20152016 1  2 1  x   x   Điều kiện:  2 2 2x  y  2x  y   Xét u   x; y  , v   x '; y'  u.v  u v cos u;v  u v  u.v  u v *  xx ' yy'  x  y2 x '2  y'2     Dấu xảy cos u; v   u; v  00  u  kv  x y  x ' y' p d ng (*) cho phương trình (2) ta được:  2  2x  2x  y    2x  2x  y   y    y2   y2    y2  Khi x  1; y2  3 Xét hàm số f  t   t  5t với  t     Ta có f '  t   5t   t  t   0, t  0;1  f  t  hàm nghịch biến  0;1 Khi 1  f  x   f  y   x  y Thay vào (2) ta được:  x  x  Đặt u  x ;  u  ta được:  u  u    u   u  1  u    u  u  5u  u   u 0  u   x  0; y      u4  u  16  x    y     25 5   4   4  Vậy hệ phương trình cho có cặp nghiệm:  x; y    0;0  ,  ;  ,   ;     5   5   2  x   x    y  Bài 127 Giải hệ phương trình   x, y   x  y   y  x  4x      (Trích Đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng, lần – 2014) Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 104 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 Giải 2  x   x    y     x   y   y  x  4x  1 2 Từ (2) suy y    x    y  x  4x  Thay vào (1) ta x  4x    x  2 x   Đặt t  x  6; x   t  2 Ta có phương trình biến  đổi  thành t  2t  16t  16t  57    t  3 t  5t  t  19  Ta dễ dàng chứng minh phương trình t  5t  t  19  vô nghiệm với t2 Vậy phương trình có nghiệm t  , suy x  3; y   x  2x  5x  y  6x  11    Bài 128 Giải hệ phương trình   x, y   y2   x  x   y2    (Trích Đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng, lần – 2014) Giải Điều kiện: y  Khi hệ cho tương đương với     x  x 3   x2  x      y   13 y   6 Đặt u  x  x  3; v  y2  7, v  Khi hệ phương trình trở thành  u  2  u  v  13  u  v   2uv  13  u  v   u  v  1   v        u  3 u.v  6 uv  6 uv  6 uv  6    v  2 2 u  3   x  x   3 Với    nghiệm hệ 0;  11 , 1;  11 v  y      Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133   Page 105 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế  u  2  x  x   2    v  y     Với nghiệm 20152016 hệ  1    1   ;4  ,  ; 4   2      1    1   ;4  ,  ; 4  Vậy hệ cho có nghiệm 0;  11 , 1;  11 ,  2           xy  x  y   xy   x  y  y  Bài 129 Giải hệ phương trình   x  1 y  xy  x  x   (Trích Đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng, lần – 2014) Giải  x; y  Điều kiện:   xy   x  y  xy     1        x  y   x  y   y  xy   xy  0 x y xy   x  y   xy    y xy   x  y  xy   y    y  xy      x  y  0 x  y   xy   x  y  xy   y    Từ (2) ta có y  xy  x  x   y  xy  xy   x  y    xy   y   3 4     x  1   x   22 x 1 x 1   x y 0 x   3  x  y , thay vào (2) ta x  2x  3x      17 x  Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 106 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế Kết hợp với điều kiện ta có x  x  20152016  17 thỏa mãn hệ phương trình   17  17  ; Vậy hệ cho có nghiệm 1;1 ,     2   x  2y  x y  2xy Bài 130 Giải hệ phương trình   x, y   3 x  2y   y  14  x    (Trích Đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng, lần – 2014) Giải 1  x  2y2  x y  2xy   3  2 x  2y   y  14  x  2 Điều kiện: x  2y   x  2y  L  Từ (1) ta x  2y  x  y      x  y   Khi    x  2x   x3  14  x   x  2x   x  14   x    x  14   x    x  2x   x  14   x   14  x     x   0 6x  12x   x  2x      x  2x  1    x  14     x  14  x     x   0   0 2 x  14  x     x     x  2x  x  14  3    x  2x   x    y   Từ ta x  2x      x    y   Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 107 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế Vậy hệ  x; y   1  phương  trình 2;1  ,  2;1   cho Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 có 20152016 hai nghiệm Page 108 [...]... ta có  0, x   2;4  f  x  nghịch biến  f  x   f  2  1  1 2 1 Do đó f  x   g  x  , x   2;4 hay phương trình (4) vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm là  3;5 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 35 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 2  9x  9xy  5x  4y  9 y  7 Bài 39 iải hệ phương trình: ...  2  1  y  y2  2  y  2 Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x  4, y  2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 15 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016  x 2  3y  9 Bài 19 Giải hệ phương trình:  4 2  y  4  2x  3 y  48y  48x  155  0 (Trích Trƣờng THPT Nhƣ Thanh – 2015) Giải  x 2  9  3y  HPT   4 ...  t 2  10  3x  4 4  x 2 t  0 Phương trình (**) trở thành 3t  t 2  0   t  3 6 Với t  0 : x  , y  5 5 Với t  3: 2  x  2 2  x  3 , phương trình vô nghiệm vì vế trái  2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 27 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 6  Vậy hệ phương trình có một nghiệm là  x; y    ; 5... 01234332133 Page 17 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 Với 2  x  2y  0 mà y  0  y  0 và x  2 Th lại ta có x  2, y  0 là nghiệm  30 2 17  Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là  2;0  ,  ;   17 17   x 4  2x  y 4  y  Bài 21 iải hệ phương trình   x, y   2 2 3 3  x  y (Trích Sở Giáo dục và Đào tạo V nh Phúc lần 2 – 2015) Giải   Đặt... Với y  2 thì x  5 Đối chi u điều kiện ta được nghiệm của hệ là  5;2   2 x  y  6  1  y Bài 24 iải hệ phương trình:  2  9 1  x  xy 9  y  0 (Trích Trƣờng THPT Qu nh Lƣu 3, Nghệ n lần 1 – 2015) Giải 2 x  y  6  1  y   2  9 1  x  xy 9  y  0 1 2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 20 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1... t  0 Suy ra (*) vô nghiệm   Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x; y   3; 11 Bài 38 iải hệ phương trình:  xy  2y  3  y  x  1  y  3x  5  x, y    1  y  2x  y  2  x  1   2x  y  1 y (Trích Trƣờng THPT Đào Duy T , Thanh Hóa lần 1 – 2015) Giải Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 34 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An,... 16 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế  20152016  1   x  3 2  6  2 3 2 Giải ra ta được nghiệm  x; y  là:  ; y  3  6  2        1 1 1    x  3 2  6  2 3 x  3 2  6  2 3 x  3 2  6  2 3 2 2 2 ; ; **  y   3  6  2 y  6  2  3 y  3  2  6    Vậy hệ có 6 nghiệm  x; y  theo (*) và (**) Bài 20 iải hệ phương trình. .. trên  ;0  , hàm số h  y   1  y nghịch biến trên  ;0  và phương trình có nghiệm y  3 nên phương trình (4) có nghiệm duy nhất y  3 Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1; 3 1  y  x 2  2y 2  x  2y  3xy  Bài 25 iải hệ phương trình:   x, y   2 2  y  1  x  2y  2y  x  (Trích Trƣờng THPT Chuyên Hƣng ên – 2015) Giải 1  y  x 2  2y 2  x  2y  3xy    y  1  x 2  2y 2 ... 3 Nếu a  , b  c2 thì x    c2   2 c 2c 2 c 2c c 3 3    3 3 1 3 3 1   2 1  ; Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x; y     ,  3 ;  3  2   3 3  2 Bài 22 iải hệ phương trình: Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 18 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016  x x  6y  4  3y 3y  4  8  2 x  y  x ... Vậy hệ đã cho có nghiệm  x;y   2;3    1  2 3xy 1  9y  1  x  1  x Bài 16 Giải hệ phương trình:   x 3 9y 2  1  4 x 2  1 x  10  (Trích Trƣờng THPT Lê Hồng Phong, lần 1 – 2015) Giải 1  2 1 3xy 1  9y  1  x  1  x Điều kiện: x  0   x 3 9y 2  1  4 x 2  1 x  10  2            Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 13 Tuyển tập Hệ phương ... x 12 x x x x 1 2 3 x3 x x x x2 x x Vi x x 5 y 2 ; i chiu vi iu kin, h phng trỡnh cú nghim x, y y x y x 3y x xy y Bi Gii h phng trỡnh... 2y y 1 y2 y 1 y 4y 2y 2y y 1 y (vỡ 4y 2y 2y 0, y ) y 1 Vi y thỡ x i chiu iu kin ta c nghim ca h l 5;2 x y y Bi 24 ii h phng trỡnh: x xy y (Trớch Trng... suy f(t) ng bin t , suy x y Thay vo (2) ta cú: x x 6x x x Do x khụng tha nờn chia c v cho x x 12 x x x ta c: 1 x x x 1 t t x x t t2 t2 t t 2 t t